自然数k次方幂和的一种简捷算法
最新自然数幂次方和公式
12 自然数幂次方和的另一组公式3摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任4 一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用k n C 表示的方法，并且给5 出了相应的系数完整表达式。
这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数6 至今仍是递推公式表达。
7 89 由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而10 每一个多项式均可用k n C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用k n C 表达出11 来。
12假设自然数幂次方和可以写成以下形式13∑∑=++===pk k n k nk p n C A k S 1111。
（1）14那么同理可应有：15∑∑=++--=-==pk k n k n k p n C A k S 111)1(11116 那么：17∑∑=+=++--=-=pk k n k pk k n k n n p C A C A S S n 111111 18[]∑∑==+++=-=pk k n k pk k nk n k pCA CCA n 111111920∑==pk kn k p C A n 121 因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个22 关于n 的p 次多项式，其中：23)1).....(1(k n n n C kn -+-=24 这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。
25分别令n=1,2,3， 。
p-1时就有：2601111+=+==∑∑∑∑=+===tk kt k pt k ktk tk k tk pk ktk pC A C A C A C A t27∑==tk kt k pC A t 1)1...3,2,1(-=p t 。
28 （2)29∑-=-=11t k k t k pt C A t A )1...3,2,1(-=p t。
30 （3）31这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，32 仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）33 成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。
求自然数幂和的一种新方法
求自然数幂和的一种新方法作者：朴元俊廉晓龙来源：《中国校外教育·高教(下旬)》2014年第04期利用待定系数法和克莱姆规则，给出了自然数幂和的一种新的推导方法和公式，对于计算机编程等都有重要的价值.自然数幂和待定系数法克莱姆规则关于自然数幂和问题一直吸引广大数学爱好者的浓厚兴趣，许多文献给出了不同的算法，文\[1\]给出了行列式的算法，文\[2\]给出了矩阵的算法，文\[3\]给出了定积分的算法.本文利用待定系数法，给出一种另类的自然数幂和的一种新的求法.本文给出的公式，规整简洁，便于记忆和“书写”，所以易实现计算机编程计算．参考文献：\[1\]贾利新.的行列式算法\[J\].高等数学研究，1992，（02）：17-18.\[2\]汪晓勤，周崇林.自然数幂和的矩阵算法\[J\].高等数学研究，2004，(02)：35-37.\[3\]马建荣，刘三洋，刘红卫.自然数幂和的定积分算法\[J\].高等数学研究，2009，(06)：33-36.\[4\]张禾瑞等.高等代数（第3版）\[M\].北京：高等教育出版社，1983.关于中医院校康复治疗学专业教师继续教育机制的思考◆隋月皎卞镝张小卿（辽宁中医药大学针灸推拿学院）继续教育是高校教师队伍建设的一项重要任务，推进康复治疗学专业教师继续教育机制改革，是培养合格中西医结合康复治疗学人才的重要保证。
康复治疗学高校教师继续教育教师是高校的主体，是高等教育的领航者和实践者，而康复治疗学作为中医院校近十年才开展起来的新兴专业，其知识更新速度快，交叉领域庞杂。
因此，该专业教师尤其需要继续教育学习，并树立终身学习的理念，这样才能成为康复治疗学发展的开拓者和引路人。
一、中医院校康复治疗学专业教师继续教育机制改革迫在眉睫1.中医院校康复治疗学发展概况20世纪80年代初期，我国开始引进西方现代康复医学。
近年来，随着老龄化社会的加剧以及几次重大自然灾害的发生，我国需要康复的人群达到1.3亿，康复医学事业进入突飞猛进的发展阶段。
自然数k次方的求和再探
自然数k 次方的求和公式的简化湖北省黄冈市罗田县第一中学 杨德兵 余咏梅（邮编438600）关于自然数k 次方的和, 文[1]介绍了朱世杰的“招差术”；文[2]通过构造几何模型给出如下递推公式：)]()([1111112311121∑∑∑∑-=-=--=-=+++-++==n i k kn i k kn i k kk ni ki CiCiCk n n k iV文[3]利用二项式展开的方法又给出如下递推公式：)]()1()1[(11112113213412311211S C S C S C S C S C S C n n k S kk k k k k k k k k k k k k +-+-+-+-+-++++++++-+-++=简记为：∑-=-+++-+-++=11111])1()1[(11k i i k i k k k S C n n k S ① （其中∑==ni kk i S 1N k ∈）可以肯定求自然数k 次方的求和用文[2]、文[3]的递推公式比对朱世杰的招差术简洁，但对于k 较大时计算仍然很复杂。
笔者通过研究给出更简化的递推公式，希望是对文[2]、文[3]的补充与增益。
文中要用到简单的微积分知识，目前高中阶段已经要求学习简单的微积分，相信本文的推导高中生能够掌握。
公式如下：(其中211=c ,612=c ，当k >2时∑-=-++++-+-=2111)211(11k i i k i k k c Ck k c )本文先证明k k kc kS S +='-1 ②（其中k S '为k S 对n 的一阶导数） 证明：（对自然数k 用第二数学归纳法）（1） k =0时n nS =+++=00021 ,2)1(211111+=+++=n n nS10121c S n S +=+=' ∴k =0时结论成立。
（2）假设m k ≤≤0 (N m ∈)命题成立。
那么k =m +1时由①得])1()1[(21111221∑-+-++==-+++++m i i m i m m m S C n n m S]1)1)(2[(21111211∑'--+++='∴=-+++++mi i mi m m mS C n m m S}])1[(1)1)(2{(21112111121S Cc S i m Cn m m m m i m m i i m i m m '-+∑-+--+++=++-+-=-+++])1(1)1)(2[(211111211112121i m m i i m m i m m i m i m m c CS C S i m Cn m m -+-=++-=++-+++∑-∑'--+--+++=又容易证得 1112)2()1(+++++=-+i m i m C m i m C m i 2,1=,)21)(2(112++='++n m S C m m])21)(2()2(1)1)(2[(2111112111111i m m i i m m i i m i m m mc C n m S C m n m m S -+-=++-=-++++∑-++∑-+--+++='∴]1[21)21()1(1111211111i m m i i m m i im i m m c C m n S Cn -+-=++-=-+++∑++-+∑--+=]221[21)1()1(1111211111i m m i i m m i im i m m c Cm m n S Cn -+-=++-=-+++∑++-+-+∑--+=]221[21)]1()1[(111111211111i m m i i m m i im i m m c Cm m n S Cn m m -+-=++-=-+++∑++-+-+∑--+++=1)1(+++=m m c S m所以k =m +1成立。
幂函数定积分与自然数方幂和的计算
幂函数定积分与⾃然数⽅幂和的计算⼀、据定积分的定义表⽰被积函数为幂函数的定积分
设被积函数为幂函数的定积分为
将积分区间匀分成n等分（n→∞），则有
⽤宽、长分别是、、…的矩形⾯积和替代各曲边梯形⾯积和
依据定积分的定义，被积函数为 y=xk，，在积分区间为闭区间[o a]上的定积分就是
⼆、幂函数定积分与⾃然数⽅幂和的计算
k＞0，依据莱布尼茨公式有
当n→∞，
因为
所以
等式两边同除以得
依据精确的⾃然数正整数次⽅的幂和公式判断，上述等式是不成⽴的。
当⾃然数n→∞的情况下，这个极限的值为1。
⽤归纳法可证明这个极限的值为1。
所以，当⾃然数n→∞的情况下，⾃然数正整数次⽅的
幂和s可⽤公式
作近似计算。
当⾃然数n→∞，K为正分数的情况下，能不能⽤此公式进⾏⾃然数⽅幂和的近似计算？从公式的推导过程来看，答案是肯定的。
限于计算⼯具、计算技巧⽅⾯的问题，这⾥不举例验证。
求自然数k次幂和的一种方法
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樊红云
（齐齐哈尔大学 数学系， 黑龙江 齐齐哈尔 )C)((C）
摘要： 给出了求自然数 ! 次幂的和的一种方法 & 关键词： 自然数； 和 ! 次幂； 中图分类号： D)E) & ! 文献标识码： F
众所周知， 可以用数学归纳法证明下面求和公式： ) （ # " )） （! # " )） # C ) ! ! )B " !B " … # B $ #（ # " )） " 在本文中， 我们研究了下面 ! 个问题： （)） 是否对任意自然数 ! ， 都有求和公式 ! ! ! ) " ! " … " # $ %! "（ ) #） )! " !! " … # ! $ 其中 %! "（ 是 # 的次数不超过 ! " ) 的多项式； （!） 如果上述答案是肯定的， 如何求这些公式 & 为此， 我们 ) #） 给出下面定理 &
! ! ! 设 ! 为自然数， 则存在次数不超过 ! " ) 的 # 的多项式 %! "（ 使 ’（ ! # ）$ ) " ! " … " # ， ) #） 当 # $ )， 有 ’（ !， & & &， !， ! " )， ! " ! 时， & ! # ）$ %! "（ ) #） 证 ! ! ") 对给定的自然数 ! ， 若存在多项式 %! "（ ) # ）$ ( ( " ( ) # " ( ! # " … " (! " ) # 使 %! "（ （)） 成立 ) # ）$ ’（ ! #）
自然数幂次方和公式
自然数幂次方和公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1自然数幂次方和的另一组公式摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用kn C 表示的方法，并且给出了相应的系数完整表达式。
这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数至今仍是递推公式表达。
由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而每一个多项式均可用kn C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用knC 表达出来。
假设自然数幂次方和可以写成以下形式∑∑=++===pk k n k nk p n C A k S 1111。
（1）那么同理可应有：∑∑=++--=-==pk k n k n k p n C A k S 111)1(111那么：∑∑=+=++--=-=pk k n k p k k n k n n p C A C A S S n 111111 []∑∑==+++=-=pk k nk pk k nk n k pCA CCA n 11111∑==pk kn k p C A n 1因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个关于n 的p 次多项式，其中：)1).....(1(k n n n C k n -+-=这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。
分别令n=1,2,3， 。
p-1时就有： 01111+=+==∑∑∑∑=+===tk kt k pt k ktk tk k tk pk k tk pC A C A C A C A t∑==tk kt k pC A t 1)1...3,2,1(-=p t 。
（2) ∑-=-=11t k k t k pt C A t A )1...3,2,1(-=p t。
（3）这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。
自然数k次方幂和的一种简捷算法
自然数k次幂求和公式是n的k+1次有理多项式。
它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可
以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然
数幂求和公式的原形。
当n为奇数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数
=(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。
当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数
又当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]
=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n 为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。
其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利
进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导。
（最终推导至李善兰自然数幂求和公式）。
自然数幂和公式推导
]
(利用(12)式)
即当 = + 1时，原式也成立。
综合①、②知(16)式成立。
【自然数幂和的公式形式】
利用 可以把 写成
=∑
(−1)
(17)
在加之二项式定理( + ) = ∑
=
!
=
=∑
∑
!
[
∑
!
∑
( ≥ 1)，得
∑
(−1)
(−1)
∑
(−1)
546
4536
22449
67284
118124
9
45
870
9450
63273
269325
723680
10
55
1320
18150
157773
902055
3416930
11
66
1925
32670
357423
2637558
13339535
12
78
2717
55770
749463
6926634
44990231
(5)
= + +
(6)
【组合积和
】
设( + 1)( + 2)( + 3) ⋯ ( + ) = ∑
。其中 称为组合积和，可看作韦达定理的特例。
显然有
=
(7)
= !
(8)
=1
(9)
当 > 时，
=0
(10)
自然数k次方的求和
思想·方法·技巧
3 7
自然数k 次方的求和
湖北省十堰市郧阳科技学校 何广友
自然数的求和以及 自然数 平方的 求和 , 在普 通高
中教材中均有详细的证 明过程 , 并给 出了相 应的 求和
公式 , 而自然数的更高次方的求和 , 在一些专业性较强 的文献资料中也给出了 一些求 和公式 .但自 然数 k(k 为自然数)次方的求和 , 是否能用一个统一的公式来表
……
(n
+1)k
+1 =
nk
+1
+
C
1 k
+1
× nk
+ C2k +1
× nk -1
+… +Ckk-+11 ×n2 +Ckk +1 ×n +1 .
将以上 n 个等式相加 , 所得 新等式 的左右相 同部
分相抵消之后得 (n +1)k +1 =1 + C1k +1 (1k +2k +3k + … + nk)
S 1 =1 +2+3 +… +n =
1 2
n (n
+1);
S
2
=1 2
+2 2
+32
+…
+n2
=
1 6
(n
+1)(2
n
+1)n
;
S 3 =13 +23 +33
+… +n3
=
1 4
n 2(n
+1)2 ;
自然数K次方和
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72Leabharlann 78666
6
6
6
6
6
6
6
（四） 连续ｎ个自然数四次方和及阶差
ｎ＝ 四次方数和 一阶差 二阶差 三阶差 四阶差 五阶差
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
17
98 354 979 2275 4676 8772 15333 25333 39974 60710 89271 127687
9
14 = 1
15
24 = 16
65
50 60
34 = 81
110
175
44 + 256
4!=24
四次方数和
24 24 24 24 24 24
60 84 108 132 156 180 204
50 110 194 302 434 590 770 974+
15 65 175 369 671 1105 1695 2465 3439
２、由上表得知：连续ｎ个自然数的ｋ次方和的阶差与几次方的阶乘有关。分析如下： 二次方数和的阶差 2＝2！＝2×1；三次方数的阶差 6＝3！＝3×2×1
３、连续 k 次方数和会在第 k 阶差时形成等差为 k！的数列。
二、试着推导出连续正整数ｎ次方和的方法 (一)我们的方法：我们称为金字塔式相加法
B
C
A
8
13 = 1
7
23 = 8
12
19
33 = 27
浅谈自然数幂和公式
浅谈自然数幂和公式一、自然数幂和是什么：所谓自然数幂和 ,系指)(211N p rn nr pp p p ∈=+⋅⋅⋅++∑= (1)在中学数学里 ,我们遇到 p= 1, 2, 3三种情形。
(1)的求和公式从低次幂到高次幂 ,从特殊到一般的历史所留给我们的不同时代、不同国家的数学家所展示的聪明才智 ,对于我们今天的数学教学仍有着现实意义。
二、自然数幂和是怎么来的：公元前 6世纪 ,古希腊毕达哥拉斯 ( pythag or as)发现 ,从 1开始 ,任意多个连续自然数之和构成三角形数 。
如图 1,毕氏以一点代表 1,二点代表 2,等等 。
如图 2,在三角形数旁补一倒立的三角形数 ,由此易得n n n n n 21212)1(212+=+=+⋅⋅⋅++ (2)毕氏还以图 3所示的正方形数的构造得出公式2)12(31n n =-+⋅⋅⋅++ (3)公元前 3世纪 ,阿基米德 ( Archimedes,前 287～ 212)在《论劈锥曲面体和球体》一书中利用几何方法证明了如下引理:])()2([3)2())(1(2222na a a na a a a na n +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++++ 当 a= 1时 ,利用 (2)可得nn n n n n n 612131)12)(1(612123222++=++=+⋅⋅⋅++ (4)公元 100年左右 ,毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘( Nico machus)著《算术引论》一书 ,书中的一条命题说 ,在奇数 1, 3, 5, 7,… 中 ,第一个是立方数 ,后面两个之和是立方数 ,再后面三个之和是立方数 ,等等 ,此即113=(1个奇数) ,5323+=(2个奇数) ,119733++=(3个奇数) ,1917151343+++=(4个奇数） ,… … … … … …)1()3()(2223-++⋅⋅⋅++-++-=n n n n z n n n (n 个奇数) . 由此易知 ,当 p= 3时 , (1)是n +⋅⋅⋅++21 个连续奇数 )1(,,3,12-+⋅⋅⋅n n之和 ,从而由 (2)、(3)即得2342333412141)]1(21[21n n n n n n ++=+=+⋅⋅⋅++ (5)《算术引论》未载此公式 ,但我们有理由相信 ,尼可麦丘 ,甚至比他更早一些的希腊数学家是知道此公式的 ,因为连当时的罗马土地丈量员也知道它 ;而且早期毕氏学派的学者们惯常用图 3所示的在 1旁相继添加直角 (添一个直角即是增加一个奇数 )的方法来求连续奇数之和 ,他们知道 ,若加到 1旁的直角个数为 r ,则和 (包括 1)为 2)1(+r .因此有了尼可麦丘的发现 ,只要找出33332n +⋅⋅⋅++中共有几个直角即可得三次幂和 .公元 5、 6世纪 ,印度数学家阿耶波多 ( Ary abha ta ,476～ ? )的数学著作中载有公式 (4)和 (5) ,后来的婆罗摩笈多 ( Br ahmag upta, 7世纪 )、摩诃毗罗 ( M ah av ira, 9世纪 )和婆什迦罗 ( Bh a ska ra, 12世纪 )的数学著作中都出现公式 (2)、 (4)和 (5) .11世纪 ,阿拉伯数学家阿尔卡克希 ( Al-ka rkhi )的数学著作中出现公式 (4)和 (5) ,其中前者的形式是)613)(1(3212222++=+⋅⋅⋅+++n n n n 阿尔卡克希用富有希腊特色的几何代数法对公式(5)作出证明 . 如图 4所示, 设边),1(2121+=+⋅⋅⋅++=n n n AB 2,1,-='''''-='''='n B B n B B n B B 等等 .在⋅⋅⋅''',,B A B A 上作正方形,,,⋅⋅⋅'''C A C A 得 n - 1个 矩 尺 形,,,,⋅⋅⋅''''''''''''D C B D C B D C B 因矩尺形 DC B '的面积)(D C BC B B D C D D BC B B S D C B ''+'=''⋅'+⋅'='而n B B n n D C n n BC ='-=''+=,2)1(,2)1(故3]2)1(2)1([n n n n n n S D C B =-++='同理，33)2(,)1(-=-='''''''''''n S n S D C B D C B 等等。
k方求和公式
k方求和公式
摘要：
1.引言
2.柯西求和公式简介
3.柯西求和公式的推导
4.柯西求和公式的应用
5.柯西求和公式与其他求和公式的关系
6.结论
正文：
【引言】
在数学领域，求和公式是数学分析、概率论、统计学等学科中的基本工具。
其中，柯西求和公式（Cauchy Summation Formula）以其广泛的应用和简洁的公式，引起了人们的关注。
【柯西求和公式简介】
柯西求和公式是指如下形式的求和：
Σ[a_n * (1 - r^n)] / (1 - r)
其中，a_n 是第n 项的值，r 是公比，n 是项数。
【柯西求和公式的推导】
柯西求和公式的推导过程相对简单。
假设我们有如下等比数列：a，ar，ar^2，…，ar^(n-1)。
该等比数列的前n 项和为：
S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)
我们可以通过对该式两边同时求导，得到柯西求和公式。
【柯西求和公式的应用】
柯西求和公式在数学分析、概率论、统计学等领域有广泛的应用。
例如，在概率论中，它可用于求解随机变量之和的分布律；在统计学中，它可用于求解指数分布的均值和方差；在数学分析中，它可用于求解级数的收敛性等。
【柯西求和公式与其他求和公式的关系】
柯西求和公式与调和求和公式、等差求和公式等有密切的关系。
通过适当的变量替换，我们可以将柯西求和公式转化为其他求和公式。
【结论】
柯西求和公式作为一种基本的数学工具，在各个领域的应用中发挥着重要作用。
求自然数方幂和的又一方法
求自然数方幂和的又一方法
张承宇
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1989(000)006
【摘要】首先,不难用归纳法证明(对n进行归纳): 1.m=1时,由公式立得 2.m=2时,公式(*)为
【总页数】2页(P35-36)
【作者】张承宇
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.求自然数方幂和的简单方法 [J], 高英敏
2.求自然数k次幂和的又一种方法 [J], 吴跃生
3.构造模型求自然数的方幂和 [J], 潘俊
4.用曲边梯形面积求自然数方幂数列n项和 [J], 张桂梅
5.求自然数方幂和的递推式的一种方法 [J], 张赞源
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自然数K方和n∑ik／i=1的求和公式
自然数K方和n∑ik／i=1的求和公式
王国森
【期刊名称】《成都大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1994(013)001
【摘要】本文通过对高阶等差数列的计讨论给出了ｉｋ的求和公式的一个递归方法
【总页数】3页(P42-44)
【作者】王国森
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O171
【相关文献】
1.自然数求和公式在初中数学规律题中的应用初探 [J], 丁云娟
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3.自然数n次幂的求和公式及其因式分解的Matlab求解 [J], 刘冬兵;马亮亮
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5.关于自然数列前n项等幂和求和公式的研究 [J], 卜建英
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k方求和公式
k方求和公式
摘要：
1.引言：介绍k 方求和公式
2.k 方求和公式的定义与表示
3.k 方求和公式的性质与应用
4.结论：总结k 方求和公式的重要性
正文：
一、引言
在数学领域，求和公式是一种常见的数学方法，它能帮助我们简化复杂的求和运算。
在求和公式中，有一种叫做k 方求和公式的公式，它在组合数学、概率论以及计算机科学等领域中都有着广泛的应用。
本文将对k 方求和公式进行详细的介绍。
二、k 方求和公式的定义与表示
k 方求和公式，又称为二项式定理，是一种求和公式，用于计算一系列数的和。
它的定义为：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 +...+ C(n,n)b^n，其中a、b 为任意实数，n 为非负整数，C(n,k) 表示组合数，即从n 个元素中选取k 个元素的组合数。
三、k 方求和公式的性质与应用
k 方求和公式具有以下性质：
1.对称性：(a+b)^n = (b+a)^n
2.展开式中各项的系数和为1：ΣC(n,k) = 1
3.展开式中奇数项和偶数项的和相等：ΣC(n,k) (k 为偶数) = ΣC(n,k) (k 为奇数)
k 方求和公式在实际应用中有许多重要作用，例如在概率论中，它可以用来计算离散型随机变量的概率质量函数；在计算机科学中，它可以用来计算二叉树的节点数；在统计学中，它可以用来计算某些随机变量的累积分布函数等。
四、结论
总的来说，k 方求和公式是一种重要的数学工具，它在各个领域中都有着广泛的应用。
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n
根据恒等式性质有
1 C0 k = a0 C k + 1 ,
i =1
C k = a0 C k + 1 + a1 C k ,
3 2 1 C2 k = a0 C k + 1 + a1 C k + a2 C k - 1 , …
1
2
1
i =1
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4) 保持 M N 不变 , 平移 A B 到一般的弦 , 可得 :
x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的直径 M N a2 b
进 [J ]. 数学教学研究 ,2005 , ( 5) .
[3] 朱保仓 . 从一道课本习题得出的几个有趣结论 [J ] . 中学教研 ( 数学) ,2003 , (9) . [4] 黄华松 , 何微 . 多树一果味更美 [J ] . 中学数学
+2- i- 1 1 +2- i 0 k+2- i + Ck n + Ck ] k+2- i k+2- in ) - n
k+2 = ∑ai - 1 [ C1 k+2 - in i=1 k+1 i- 1 k+2+ C2 k+2- in i- 2
+ …
a7 = 1 ( 1 - a0 - a1 - a2 - a3 - a4 - a5 - a6 ) = 0 .
图7
从而 x M = x 0 +
( xM - x T ) 2 =
[1] 林新建 . 椭圆与双曲线的另一定义 [J ] . 数学教
故 ( x D - x T ) ( x E - x T ) = ( x M - x T ) 2 . 又 T , D , M , E 四点共线 , 所以 T D ・T E = T M2 .
( 收稿日期 :2008 202 216)
循此 , 可求得
+ Ck + 2 - i n
2
k+2- i- 2
= ∑ai - 1 [ C k + 2 - i n
i=1
k+1
1
k+2 - i- 1
+ …+ C
k+2- i- 1 k+2- i
n + 1 ].
1
i =1 n
∑i4 = ∑i5 = ∑i6 =i Nhomakorabea=1 n
+ …+ C m m + 1 n f 1 ( n) + n].
由第一归纳法知 ∑i k = n f k ( n) , 命题成立 .
i =1
n
∑i
m- 1
=1
m- 1
+2
m- 1
+ …+ n
m- 1
= n f m - 1 ( n) .
故可设 ∑ik = a0 nk + 1 + a1 nk + a2 nk - 1 + …+ ak n1 .
= ∑ai - 1 nk + 2 - i .
i=1 k+1
n
2) 利用公式计算 ai ( i = 0 , 1 , …, 7) .
a0 = a1 =
n+ 1 i=1 n i =1
3 简捷算法的证明
由假设知 ,
( n + 1) k = ∑i k - ∑i k
= ∑ai - 1 ( n + 1) k + 2 - i - ∑ai - 1 nk + 2 i=1 i=1
a0 a0 a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a4
Ck k = a0 + a1 + a2 + …+ ak .
利用 2 中的记号知 , 求 ai ( i = 0 , 1 , 2 , …, k) 的算 … ak - 1 法成立 .
4 应用举例
1 C0 k k+1 1 1 C k C2 k+1 1 C2 C3 C2 k k+1 k k- 1 1 3 4 3 C k C k + 1 C k C2 k- 1 k- 2 1 2 C4 C5 C4 C3 k k+1 k k - 1 Ck - 2 k- 3
28 56 70 56 28 8 1 21 35 35 21 7 1 15 20 15 6 1 10 10 5 1 6 4 1 3 1 1
+1 - 1 k- 2 k- 3 Ck Ck Ck Ck k k+1 k k - 1 Ck - 2 C k - 3
… C2 2
其中 a0 =
a2 C
i- 1 k- 1
+ C
k+2- i- 1 k+2- i k
n + 1] ,
i
1
故 ∑i7 =
i =1
n
( n + 1) k = ∑ C ik n k i =0
1 8 1 7 7 6 7 4 1 2 n + n + n n + n . 8 2 12 24 12 1 5 1 4 1 3 1 n + n + n n, 5 2 3 30 1 6 1 5 5 4 1 2 n + n + n n , 6 2 12 12 1 7 1 6 1 5 1 3 1 n + n + n n + n, … 7 2 2 6 42
( n + 1) m + 1 - 1 = ∑( i + 1) m + 1 - ∑i m + 1
i =1 n i =1 n n
k 是任意自然数) , 是否也有简单的计算公式呢 ?
1983 年陈景润在 《初等数学论丛》 中给出了一种
递推的求解方法 , 即求 1 k + 2 k + …+ nk 时 , 一定要先 求出 k - 1 , k - 2 , …, 3 , 2 , 1 次方幂的和 . 该方法原则 上可以求出 1 k + 2 k + …+ nk . 但可以预见 , 当 k 比较 大时 , 计算量是很大的 , 且难以在计算机上实现 . 以 下介绍一种简捷算法 , 该方法不依赖任何条件 , 就可 以求出任意自然数 k 次方幂和 , 并且算法可以在计 算机上实现 .
定理 5 椭圆
平分该椭圆的弦 A B 于 T ( 当 A B 为直径时 , A B 与
M N 共轭 ) , P 为椭圆上一点 , 直线 PA , PB 交 M N
教学参考 ,2007 , ( 3) .
( 收稿日期 :2008 202 225)
所在直线于点 D , E , 则 T D , T M , T E 的长成等比数 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
= C1 i m + C2 im - 1 + …+ Cm i+ ∑ 1. m+1 ∑ m+1 ∑ m+1 ∑
i =1 i =1 i =1 i =1
n
n
n
n
因此 ,
( n + 1) m + 1 - 1 = C1 i m + C2 m+1 ∑ m + 1 n f m - 1 ( n)
i =1 n
自然数的 k 次方幂和 ∑i k 可表示为 n f k ( n) , 其
1 7 21 35 35 21 7 1 1 , 8 1 1 ( 7 - 28 a0 ) = , 7 2 1 7 ( 21 - 56 a0 - 21 a1 ) = , 6 12 1 ( 35 - 70 a0 - 35 a1 - 15 a2 ) = 0 , 5
1 7 ( 35 - 56 a0 - 35 a1 - 20 a2 - 10 a3 ) = , 4 24 1 ( 21 - 28 a0 - 21 a1 - 15 a2 - 10 a3 - 6 a4 ) = 0 , 3 1 1 ( 7 - 8 a0 - 7 a1 - 6 a2 - 5 a3 - 4 a4 - 3 a5 ) = , 2 12
1
k+1
, ai =
2
1
k- i+1
1 i ( C ik - a0 C ik+ + 1 - a1 C k -
- …- ai - 1 C k - i + 2 ) , 根据此式 , 可计算出 ai ( i
= 0 , 1 , 2 , …, k) , 从而有
i =1
∑i k = a0 nk + 1 + a1 nk + a2 nk - 1 + …+ ak n 1
k
令 k = 7 , 即计算自然数 7 次方幂和 1 7 + 27 + 3 7
+ …+ n7 = ? 1) 首先列出表 2 .
表2
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
…
ak
…
1
…
…
…
…
…
…
…
…
1/ 8 1/ 7 1/ 6 1/ 5 1/ 4 1/ 3 1/ 2 1
50
2 自然数 k 次方幂和的简捷算法
数学教学研究 第 27 卷第 5 期 2008 年 5 月
1 i i- 1 1 C ik = a0 C ik + + 1 + a1 C k + a2 C k - 1 + …+ ai C k i+1