自然数k次方幂和的一种简捷算法
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( 收稿日期 :2008 202 216)
循此 , 可求得
+ Ck + 2 - i n
2
k+2- i- 2
= ∑ai - 1 [ C k + 2 - i n
i=1
k+1
1
k+2 - i- 1
+ …+ C
k+2- i- 1 k+2- i
n + 1 ].
1
i =1 n
∑i4 = ∑i5 = ∑i6 =
定理 5 椭圆
平分该椭圆的弦 A B 于 T ( 当 A B 为直径时 , A B 与
M N 共轭 ) , P 为椭圆上一点 , 直线 PA , PB 交 M N
教学参考 ,2007 , ( 3) .
( 收稿日期 :2008 202 225)
所在直线于点 D , E , 则 T D , T M , T E 的长成等比数 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
= ∑ai - 1 nk + 2 - i .
i=1 k+1
n
2) 利用公式计算 ai ( i = 0 , 1 , …, 7) .
a0 = a1 =
n+ 1 i=1 n i =1
3 简捷算法的证明
由假设知 ,
( n + 1) k = ∑i k - ∑i k
= ∑ai - 1 ( n + 1) k + 2 - i - ∑ai - 1 nk + 2 i=1 i=1
28 56 70 56 28 8 1 21 35 35 21 7 1 15 20 15 6 1 10 10 5 1 6 4 1 3 1 1
+1 - 1 k- 2 k- 3 Ck Ck Ck Ck k k+1 k k - 1 Ck - 2 C k - 3
… C2 2
其中 a0 =
a2 C
i- 1 k- 1
i =1
n
联立 ( 6) 与椭圆方程得
( a2 k2 + b2 ) x 2 a2 b2 0 x - 2 x0 x + - 2 2 =0, 2 2 a k a k + b2
2
列 ,如图 7 . 证明可仿照 定理 4 , 这里 从 略. 若将椭圆换成双曲线 , 上述 性质仍然成立 . 参考文献 学 ,2003 , ( 6) .
a0 a0 a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a4
Ck k = a0 + a1 + a2 + …+ ak .
利用 2 中的记号知 , 求 ai ( i = 0 , 1 , 2 , …, k) 的算 … ak - 1 法成立 .
4 应用举例
1 C0 k k+1 1 1 C k C2 k+1 1 C2 C3 C2 k k+1 k k- 1 1 3 4 3 C k C k + 1 C k C2 k- 1 k- 2 1 2 C4 C5 C4 C3 k k+1 k k - 1 Ck - 2 k- 3
图7
从而 x M = x 0 +
( xM - x T ) 2 =
[1] 林新建 . 椭圆与双曲线的另一定义 [J ] . 数学教
故 ( x D - x T ) ( x E - x T ) = ( x M - x T ) 2 . 又 T , D , M , E 四点共线 , 所以 T D ・T E = T M2 .
1 7 21 35 35 21 7 1 1 , 8 1 1 ( 7 - 28 a0 ) = , 7 2 1 7 ( 21 - 56 a0 - 21 a1 ) = , 6 12 1 ( 35 - 70 a0 - 35 a1 - 15 a2 ) = 0 , 5
1 7 ( 35 - 56 a0 - 35 a1 - 20 a2 - 10 a3 ) = , 4 24 1 ( 21 - 28 a0 - 21 a1 - 15 a2 - 10 a3 - 6 a4 ) = 0 , 3 1 1 ( 7 - 8 a0 - 7 a1 - 6 a2 - 5 a3 - 4 a4 - 3 a5 ) = , 2 12
( n + 1) m + 1 - 1 = ∑( i + 1) m + 1 - ∑i m + 1
i =1 n i =1 n n
k 是任意自然数) , 是否也有简单的计算公式呢 ?
1983 年陈景润在 《初等数学论丛》 中给出了一种
递推的求解方法 , 即求 1 k + 2 k + …+ nk 时 , 一定要先 求出 k - 1 , k - 2 , …, 3 , 2 , 1 次方幂的和 . 该方法原则 上可以求出 1 k + 2 k + …+ nk . 但可以预见 , 当 k 比较 大时 , 计算量是很大的 , 且难以在计算机上实现 . 以 下介绍一种简捷算法 , 该方法不依赖任何条件 , 就可 以求出任意自然数 k 次方幂和 , 并且算法可以在计 算机上实现 .
n
n
根据恒等式性质有
1 C0 k = a0 C k + 1 ,
i =1
C k = a0 C k + 1 + a1 C k ,
3 2 1 C2 k = a0 C k + 1 + a1 C k + a2 C k - 1 , …
1
2
1
i =1
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
50
2 自然数 k 次方幂和的简捷算法
数学教学研究 第 27 卷第 5 期 2008 年 5 月
1 i i- 1 1 C ik = a0 C ik + + 1 + a1 C k + a2 C k - 1 + …+ ai C k i+1
, …,
为便于计算 , 列表 1 . 表1
http://www.cnki.net
1 预备定理
n
= ∑[ ( i + 1) m + 1 - i m + 1 ].
i =1
按二项式展开 :
m+1 m ( n + 1) m + 1 - 1 = ∑( C0 + C1 m+1 i m+1 i i =1 m- 1 m+1 0 m+1 ) + C2 + …+ Cm m+1 i m + 1 i + Cm + 1 i - i n
+2- i- 1 1 +2- i 0 k+2- i + Ck n + Ck ] k+2- i k+2- in ) - n
k+2 = ∑ai - 1 [ C1 k+2 - in i=1 k+1 i- 1 k+2+ C2 k+2- in i- 2
+ …
a7 = 1 ( 1 - a0 - a1 - a2 - a3 - a4 - a5 - a6 ) = 0 .
+ C
k+2- i- 1 k+2- i k
n + 1] ,
i
1
故 ∑i7 =
i =1
n
( n + 1) k = ∑ C ik n k i =0
1 8 1 7 7 6 7 4 1 2 n + n + n n + n . 8 2 12 24 12 1 5 1 4 1 3 1 n + n + n n, 5 2 3 30 1 6 1 5 5 4 1 2 n + n + n n , 6 2 12 12 1 7 1 6 1 5 1 3 1 n + n + n n + n, … 7 2 2 6 42
i =1 n
+ …+ C m m + 1 n f 1 ( n) + n].
由第一归纳法知 ∑i k = n f k ( n) , 命题成立 .
i =1
n
∑i
m- 1
=1
m- 1
ห้องสมุดไป่ตู้
+2
m- 1
+ …+ n
m- 1
= n f m - 1 ( n) .
故可设 ∑ik = a0 nk + 1 + a1 nk + a2 nk - 1 + …+ ak n1 .
4) 保持 M N 不变 , 平移 A B 到一般的弦 , 可得 :
x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的直径 M N a2 b
进 [J ]. 数学教学研究 ,2005 , ( 5) .
[3] 朱保仓 . 从一道课本习题得出的几个有趣结论 [J ] . 中学教研 ( 数学) ,2003 , (9) . [4] 黄华松 , 何微 . 多树一果味更美 [J ] . 中学数学
i =1
+ …+ Cm m + 1 n f 1 ( n) + n , C1 i m = ( n + 1) m - 1 - 1 - [ C2 m+1 ∑ m + 1 n f m - 1 ( n)
i =1 n
中 f k ( n) 是 n 的 k 次多项式 . 现用数学归纳法证明如下 :
(ⅰ ) 当 k = 1 , 2 时 , 显然成立 . (ⅱ ) 假设当 k = m - 1 时成立 , 即
= C1 i m + C2 im - 1 + …+ Cm i+ ∑ 1. m+1 ∑ m+1 ∑ m+1 ∑
i =1 i =1 i =1 i =1
n
n
n
n
因此 ,
( n + 1) m + 1 - 1 = C1 i m + C2 m+1 ∑ m + 1 n f m - 1 ( n)
i =1 n
自然数的 k 次方幂和 ∑i k 可表示为 n f k ( n) , 其
k
令 k = 7 , 即计算自然数 7 次方幂和 1 7 + 27 + 3 7
+ …+ n7 = ? 1) 首先列出表 2 .
表2
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
…
ak
…
1
…
…
…
…
…
…
…
…
1/ 8 1/ 7 1/ 6 1/ 5 1/ 4 1/ 3 1/ 2 1
k+1
k+1
a2 =
i
= ∑ai - 1 [ ( n + 1)
i=1 k+1 i=1
k+1
a3 = ]
i- 1
k+2- i
- n
k+2- i
k+2- i k+2= ∑ai - 1 [ ( C0 + C1 k+2- in k+2- in k+2- i- 2 + C2 + … k+2- in
a4 = a5 = a6 =
[2] 林新建 . 一道课本习题的探究及一个定义的引
x = x0 ±
x2 0
a2 k2 + b2 2 a2 b2 . x0 + 2 2 a2 k2 a k + b2 b2 x 2 a2 b2 0 , a2 k2 + b2 a2 k2 b2 x2 a2 b2 0 . 2 2 2 a k +b a2 k2
1
k+1
, ai =
2
1
k- i+1
1 i ( C ik - a0 C ik+ + 1 - a1 C k -
- …- ai - 1 C k - i + 2 ) , 根据此式 , 可计算出 ai ( i
= 0 , 1 , 2 , …, k) , 从而有
i =1
∑i k = a0 nk + 1 + a1 nk + a2 nk - 1 + …+ ak n 1
第 27 卷第 5 期 2008 年 5 月 数学教学研究
49
自然数 k 次方幂和的一种简捷算法
王维芳
西北师范大学 教育学院 2005 级教育硕士 730070
n
自然数 k 次方幂和 ∑i k = 1 k + 2 k + …+ nk ( 这里
i =1
下面等式显然成立 :
循此 , 可求得
+ Ck + 2 - i n
2
k+2- i- 2
= ∑ai - 1 [ C k + 2 - i n
i=1
k+1
1
k+2 - i- 1
+ …+ C
k+2- i- 1 k+2- i
n + 1 ].
1
i =1 n
∑i4 = ∑i5 = ∑i6 =
定理 5 椭圆
平分该椭圆的弦 A B 于 T ( 当 A B 为直径时 , A B 与
M N 共轭 ) , P 为椭圆上一点 , 直线 PA , PB 交 M N
教学参考 ,2007 , ( 3) .
( 收稿日期 :2008 202 225)
所在直线于点 D , E , 则 T D , T M , T E 的长成等比数 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
= ∑ai - 1 nk + 2 - i .
i=1 k+1
n
2) 利用公式计算 ai ( i = 0 , 1 , …, 7) .
a0 = a1 =
n+ 1 i=1 n i =1
3 简捷算法的证明
由假设知 ,
( n + 1) k = ∑i k - ∑i k
= ∑ai - 1 ( n + 1) k + 2 - i - ∑ai - 1 nk + 2 i=1 i=1
28 56 70 56 28 8 1 21 35 35 21 7 1 15 20 15 6 1 10 10 5 1 6 4 1 3 1 1
+1 - 1 k- 2 k- 3 Ck Ck Ck Ck k k+1 k k - 1 Ck - 2 C k - 3
… C2 2
其中 a0 =
a2 C
i- 1 k- 1
i =1
n
联立 ( 6) 与椭圆方程得
( a2 k2 + b2 ) x 2 a2 b2 0 x - 2 x0 x + - 2 2 =0, 2 2 a k a k + b2
2
列 ,如图 7 . 证明可仿照 定理 4 , 这里 从 略. 若将椭圆换成双曲线 , 上述 性质仍然成立 . 参考文献 学 ,2003 , ( 6) .
a0 a0 a1 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a4
Ck k = a0 + a1 + a2 + …+ ak .
利用 2 中的记号知 , 求 ai ( i = 0 , 1 , 2 , …, k) 的算 … ak - 1 法成立 .
4 应用举例
1 C0 k k+1 1 1 C k C2 k+1 1 C2 C3 C2 k k+1 k k- 1 1 3 4 3 C k C k + 1 C k C2 k- 1 k- 2 1 2 C4 C5 C4 C3 k k+1 k k - 1 Ck - 2 k- 3
图7
从而 x M = x 0 +
( xM - x T ) 2 =
[1] 林新建 . 椭圆与双曲线的另一定义 [J ] . 数学教
故 ( x D - x T ) ( x E - x T ) = ( x M - x T ) 2 . 又 T , D , M , E 四点共线 , 所以 T D ・T E = T M2 .
1 7 21 35 35 21 7 1 1 , 8 1 1 ( 7 - 28 a0 ) = , 7 2 1 7 ( 21 - 56 a0 - 21 a1 ) = , 6 12 1 ( 35 - 70 a0 - 35 a1 - 15 a2 ) = 0 , 5
1 7 ( 35 - 56 a0 - 35 a1 - 20 a2 - 10 a3 ) = , 4 24 1 ( 21 - 28 a0 - 21 a1 - 15 a2 - 10 a3 - 6 a4 ) = 0 , 3 1 1 ( 7 - 8 a0 - 7 a1 - 6 a2 - 5 a3 - 4 a4 - 3 a5 ) = , 2 12
( n + 1) m + 1 - 1 = ∑( i + 1) m + 1 - ∑i m + 1
i =1 n i =1 n n
k 是任意自然数) , 是否也有简单的计算公式呢 ?
1983 年陈景润在 《初等数学论丛》 中给出了一种
递推的求解方法 , 即求 1 k + 2 k + …+ nk 时 , 一定要先 求出 k - 1 , k - 2 , …, 3 , 2 , 1 次方幂的和 . 该方法原则 上可以求出 1 k + 2 k + …+ nk . 但可以预见 , 当 k 比较 大时 , 计算量是很大的 , 且难以在计算机上实现 . 以 下介绍一种简捷算法 , 该方法不依赖任何条件 , 就可 以求出任意自然数 k 次方幂和 , 并且算法可以在计 算机上实现 .
n
n
根据恒等式性质有
1 C0 k = a0 C k + 1 ,
i =1
C k = a0 C k + 1 + a1 C k ,
3 2 1 C2 k = a0 C k + 1 + a1 C k + a2 C k - 1 , …
1
2
1
i =1
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
50
2 自然数 k 次方幂和的简捷算法
数学教学研究 第 27 卷第 5 期 2008 年 5 月
1 i i- 1 1 C ik = a0 C ik + + 1 + a1 C k + a2 C k - 1 + …+ ai C k i+1
, …,
为便于计算 , 列表 1 . 表1
http://www.cnki.net
1 预备定理
n
= ∑[ ( i + 1) m + 1 - i m + 1 ].
i =1
按二项式展开 :
m+1 m ( n + 1) m + 1 - 1 = ∑( C0 + C1 m+1 i m+1 i i =1 m- 1 m+1 0 m+1 ) + C2 + …+ Cm m+1 i m + 1 i + Cm + 1 i - i n
+2- i- 1 1 +2- i 0 k+2- i + Ck n + Ck ] k+2- i k+2- in ) - n
k+2 = ∑ai - 1 [ C1 k+2 - in i=1 k+1 i- 1 k+2+ C2 k+2- in i- 2
+ …
a7 = 1 ( 1 - a0 - a1 - a2 - a3 - a4 - a5 - a6 ) = 0 .
+ C
k+2- i- 1 k+2- i k
n + 1] ,
i
1
故 ∑i7 =
i =1
n
( n + 1) k = ∑ C ik n k i =0
1 8 1 7 7 6 7 4 1 2 n + n + n n + n . 8 2 12 24 12 1 5 1 4 1 3 1 n + n + n n, 5 2 3 30 1 6 1 5 5 4 1 2 n + n + n n , 6 2 12 12 1 7 1 6 1 5 1 3 1 n + n + n n + n, … 7 2 2 6 42
i =1 n
+ …+ C m m + 1 n f 1 ( n) + n].
由第一归纳法知 ∑i k = n f k ( n) , 命题成立 .
i =1
n
∑i
m- 1
=1
m- 1
ห้องสมุดไป่ตู้
+2
m- 1
+ …+ n
m- 1
= n f m - 1 ( n) .
故可设 ∑ik = a0 nk + 1 + a1 nk + a2 nk - 1 + …+ ak n1 .
4) 保持 M N 不变 , 平移 A B 到一般的弦 , 可得 :
x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的直径 M N a2 b
进 [J ]. 数学教学研究 ,2005 , ( 5) .
[3] 朱保仓 . 从一道课本习题得出的几个有趣结论 [J ] . 中学教研 ( 数学) ,2003 , (9) . [4] 黄华松 , 何微 . 多树一果味更美 [J ] . 中学数学
i =1
+ …+ Cm m + 1 n f 1 ( n) + n , C1 i m = ( n + 1) m - 1 - 1 - [ C2 m+1 ∑ m + 1 n f m - 1 ( n)
i =1 n
中 f k ( n) 是 n 的 k 次多项式 . 现用数学归纳法证明如下 :
(ⅰ ) 当 k = 1 , 2 时 , 显然成立 . (ⅱ ) 假设当 k = m - 1 时成立 , 即
= C1 i m + C2 im - 1 + …+ Cm i+ ∑ 1. m+1 ∑ m+1 ∑ m+1 ∑
i =1 i =1 i =1 i =1
n
n
n
n
因此 ,
( n + 1) m + 1 - 1 = C1 i m + C2 m+1 ∑ m + 1 n f m - 1 ( n)
i =1 n
自然数的 k 次方幂和 ∑i k 可表示为 n f k ( n) , 其
k
令 k = 7 , 即计算自然数 7 次方幂和 1 7 + 27 + 3 7
+ …+ n7 = ? 1) 首先列出表 2 .
表2
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
…
ak
…
1
…
…
…
…
…
…
…
…
1/ 8 1/ 7 1/ 6 1/ 5 1/ 4 1/ 3 1/ 2 1
k+1
k+1
a2 =
i
= ∑ai - 1 [ ( n + 1)
i=1 k+1 i=1
k+1
a3 = ]
i- 1
k+2- i
- n
k+2- i
k+2- i k+2= ∑ai - 1 [ ( C0 + C1 k+2- in k+2- in k+2- i- 2 + C2 + … k+2- in
a4 = a5 = a6 =
[2] 林新建 . 一道课本习题的探究及一个定义的引
x = x0 ±
x2 0
a2 k2 + b2 2 a2 b2 . x0 + 2 2 a2 k2 a k + b2 b2 x 2 a2 b2 0 , a2 k2 + b2 a2 k2 b2 x2 a2 b2 0 . 2 2 2 a k +b a2 k2
1
k+1
, ai =
2
1
k- i+1
1 i ( C ik - a0 C ik+ + 1 - a1 C k -
- …- ai - 1 C k - i + 2 ) , 根据此式 , 可计算出 ai ( i
= 0 , 1 , 2 , …, k) , 从而有
i =1
∑i k = a0 nk + 1 + a1 nk + a2 nk - 1 + …+ ak n 1
第 27 卷第 5 期 2008 年 5 月 数学教学研究
49
自然数 k 次方幂和的一种简捷算法
王维芳
西北师范大学 教育学院 2005 级教育硕士 730070
n
自然数 k 次方幂和 ∑i k = 1 k + 2 k + …+ nk ( 这里
i =1
下面等式显然成立 :