“概率论与数理统计”测试题参考答案

“概率论与数理统计”测试题参考答案

1．设A , B 是两个随机事件，已知P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，P (A B )=0.2，求：（1）)(B A P ；（2）)(B A P .

解：（1） )(A P =)(1A P -= 0.4

)(B A P = )(A P )(A B P =0.4 ⨯0.2 = 0.08 （2） )(B A P =1-)(B A P

= 1 - )

()(B P B A P =1-8

.008.0= 0.9

2．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率．

解：设1A =“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，2A =“取到的都是白子”，3A =“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则 （1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-= 745.0255.0113

12

3

8=-=-

=C

C ．

（2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+= 273.0018.0255.0255.0312

3

4=+=+

C

C ．

3．两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的3倍,求任意取出的零件是合格品的概率．

解：设A i ：“是第i 台车床加工的零件”(,)i =12，B ：“零件是合格品”.由全概公式有 P B P A P B A P A P B A ()()()()()=+1122 显然4

3)(1=

A P ，4

1)(2=

A P ，99.0)(1=A

B P ，P B A ().2098=，故

9875.098.04

199.04

3)(=⨯+

⨯=

B P

4．一袋中有9个球，其中6个黑球3个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是白球的概率. 解：设如下事件：

i A ：“第i 次抽取出的是白球”（2,1=i ） 显然有9

3)(1=

A P ，由全概公式得

)()()()()(1211212A A P A P A A P A P A P += 3

183328231=⨯+⨯=

5．设)4,3(~N X ，试求⑴)95(<X P ．（已知,8413.0)1(=Φ

9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）

解：⑴)32

31()2

392

32

35(

)95(<-<

=-<

-<

-=<

1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ= ⑵)2

372

3()7(->-=>X P X P

)22

3(

1)22

3(

≤--=>-=X P X P

0228.09772.01)2(1=-=Φ-= 6．设随机变量X 的概率密度函数为

⎩⎨

⎧≤≤=其它

10)(2

x Ax x f

求（1）A ；（2）)(X E ；（3）)(X D .

解： （1）由133

1d d )(11

31

2

==

==

=

⎰

⎰

∞

+∞

-A x

A

x Ax x x f ，得出3=A

（2） =

)(X E 4

34

3d 3d )(1

41

2

=

=

⋅=

⎰

⎰

∞

+∞

-x

x x x x x xf

（3）=

)(2

X E 5

35

3d 31

52

1

2=

=

⋅⎰

x

x x x

80

316

95

3))

(()()(2

2

=-=-=X E X E X D

7．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9973.0)0.2(=Φ)． 解：（1）P （1< X < 7）=)2

372

32

31(

-<-<-X P

=)2231(<-<

-X P =)1()2(-Φ-Φ

= 0.9973 + 0.8413 – 1 = 0.8386 （2）因为 P （X < a ）=)2

32

3(

-<-a X P =)2

3(

-Φa = 0.9

所以

28.12

3=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 5.56

8．从正态总体N （μ，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知 96.1975.0=u ) 解：已知3=σ，n = 64，且n

x u σμ

-= ~ )1,0(N

因为 x = 21，96.12

1=-

α

u

，且

735.064

396.12

1=⨯

=-

n

u

σ

α

所以，置信度为95%的μ的置信区间为： ]735.21,265.20[],[2

12

1=+--

-

n

u

x n

u

x σ

σ

α

α

．

9．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm ，标准差为0.15cm .从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）

10.4，10.6，10.1，10.4 问：该机工作是否正常(05.0=α, 96.1975.0=u )？

解：零假设5.10:0=μH .由于已知15.0=σ，故选取样本函数

n

x U σ

μ

-=

～)1,0(N

经计算得375.10=x ，

075.04

15.0==

n

σ，

67.1075

.05

.10375.10=-=

-n

x σ

μ

由已知条件96.12

1=-

α

u

，且

2

196.167.1α

μ

σ

μ

-

=<=-n

x

故接受零假设，即该机工作正常.