第16讲二倍角公式及其应用
三角函数二倍角公式大全
三角函数二倍角公式大全三角函数是数学中重要的概念之一，而其中的二倍角公式更是在解题过程中经常会用到的重要公式。
二倍角公式是指，当角度为α时，对应的sin、cos、tan函数的二倍角公式分别为sin2α、cos2α、tan2α。
在解题过程中，掌握好这些二倍角公式对于简化计算、解题效率的提高至关重要。
下面我们将详细介绍三角函数的二倍角公式，希望能对大家的学习和应用有所帮助。
首先，我们来看sin函数的二倍角公式。
根据三角函数的定义，sin2α = 2sinαcosα。
这个公式在解题中经常会用到，特别是在化简复杂的三角函数式子时，可以通过sin2α的形式来简化计算，提高解题效率。
接着，我们来看cos函数的二倍角公式。
根据三角函数的定义，cos2α = cos^2α sin^2α。
这个公式在解题中也是非常常用的，特别是在化简复杂的三角函数式子时，可以通过cos2α的形式来简化计算，提高解题效率。
最后，我们来看tan函数的二倍角公式。
根据三角函数的定义，tan2α = 2tanα/ (1 tan^2α)。
这个公式在解题中同样经常会用到，特别是在计算tan函数的二倍角时，可以通过tan2α的形式来简化计算，提高解题效率。
除了上述的三角函数的二倍角公式外，还有一些相关的推导公式和性质，比如sin2α + cos2α = 1，tan2α + 1 = sec2α，1 + cot2α = csc2α等。
这些公式在解题中同样也是非常重要的，能够帮助我们简化计算，提高解题效率。
总结一下，掌握好三角函数的二倍角公式对于解题过程中的化简计算、提高解题效率非常重要。
希望大家在学习和应用三角函数时，能够充分利用这些二倍角公式，提高解题效率，更好地掌握和应用三角函数的知识。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
二倍角公式的理解与应用PPT
03
二倍角公式的应用举例
在三角函数中应 用二倍角公式
理解公式来源 二倍角公式源于对三角函数的观察与总结，如sin2θ=2sinθcosθ。 简化复杂运算 利用二倍角公式可将复杂的三角函数关系简化为易于处理的二次关系。 应用广泛 在物理，工程，计算机图形等领域，二倍角公式的应用十分普遍。 举例说明 例如，求解三角形角度时，可以利用二倍角公式快速求得答案。
二倍角公式的构成元素
二倍角公式的由来 二倍角公式起源于17世纪，由数学家欧拉提出，用以简化三角函数运算。 正弦和余弦的关系 在二倍角公式中，正弦与余弦是一对核心元素，二者的关系为 sin2θ=2sinθcosθ。 二倍角公式的应用广泛 在物理、电气工程等领域，二倍角公式被广泛应用于解决各种复杂的三 角函数问题。 半角公式与二倍角公式的联系 二倍角公式可以看作是半角公式的推广，即当θ=π/2时，二倍角公式就 变成了半角公式sinθ=±1或cosθ=0。
在解方程过程中使用二倍角公式
二倍角公式的简化运算
通过使用二倍角公式，我们可以将复 杂的三角函数运算简化为简单的加减 乘除，如2sinxcosx=sin2x。
二倍角公式在解方程中的有效性
在解决包含正弦、余弦等三角函数的 复杂方程时，利用二倍角公式可以大 大减少计算量，提高解题效率。
二倍角公式的广泛应用
如何处理复杂Βιβλιοθήκη 二倍角公式问题理解二倍角公式
二倍角公式是三角函数中的重 要工具，它简化了复杂的角度 运算。
掌握公式应用
通过实例演示，如计算 sin36°=2×sin18°等，可以加 深对二倍角公式的理解和应用 。
解决实际问题
利用二倍角公式，我们可以轻 松解决一些涉及复杂角度的数 学和物理问题。
三角函数二倍角公式推导
三角函数二倍角公式推导三角函数二倍角公式是指用角α的三角函数值来表示其二倍角2α的三角函数值的一组公式，包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式和正切二倍角公式。
这些公式在数学中有很多应用，例如求解三角恒等式、化简三角表达式、计算三角函数的极限等。
本文将介绍三角函数二倍角公式的推导过程和一些例题。
正弦二倍角公式正弦二倍角公式是：sin2α=2sinαcosα推导过程如下：根据正弦函数的和差角公式，有：sin(x+y)=sin x cos y+cos x sin y令x=y=α，则有：sin(2α)=sinαcosα+cosαsinα化简得：sin2α=2sinαcosα余弦二倍角公式余弦二倍角公式有三种形式，分别是：cos2α=cos2α−sin2αcos2α=2cos2α−1cos2α=1−2sin2α推导过程如下：根据余弦函数的和差角公式，有：cos(x+y)=cos x cos y−sin x sin y令x=y=α，则有：cos(2α)=cos2α−sin2α这是第一种形式。
利用正弦函数和余弦函数的平方关系，即sin2x+cos2x=1，可以得到另外两种形式。
将sin2x用1−cos2x替换，得到：cos(2α)=2cos2α−1这是第二种形式。
将cos2x用1−sin2x替换，得到：cos(2α)=1−2sin2α这是第三种形式。
正切二倍角公式正切二倍角公式是：tan2α=2tanα1−tan2α推导过程如下：根据正切函数的和差角公式，有：tan(x+y)=tan x+tan y1−tan x tan y 令x=y=α，则有：tan(2α)=tanα+tanα1−tan2α化简得：tan2α=2tanα1−tan2α例题例题一求sin75∘的值。
解：利用正弦二倍角公式，有：例题二求tan(−15∘)的值。
解：利用正切二倍角公式，有：sin75∘= sin(30∘+45∘)= (sin30∘)(cos45∘)+(cos30∘)(sin45∘)= (12)(√22)+(√32)(√22)= (√6+√24)tan(−15∘)= tan(30∘−45∘)=tan30∘−tan45∘1+tan30∘tan45∘=1√3−11+1√3=√3−33+√3=(√3−3)(3−√3)(3+√3)(3−√3)=−2√36= −√33。
二倍角公式课件
描述
通过二倍角公式，我们可以将一个角 度的三角函数值转化为两个较小角度 的三角函数值的组合，从而简化计算 过程。
二倍角公式的推导过程
推导
二倍角公式的推导主要基于三角函数的加法定理和倍角公式。通过将一个角度的三角函数值表示为两个较小角度的三 角函数值的和或差，再利用三角函数的加法定理进行化简，最终得到二倍角公式。
02
03
04
题目一
计算sin(45°)的值。
答案解析
通过二倍角公式，可以将45° 转换为2×22.5°，然后利用已 知的三角函数值进行计算。
题目二
求cos(135°)的值。
答案解析
利用二倍角公式，将135°转 换为2×67.5°，然后利用已知
的三角函数值进行计算。
THANKS
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二倍角公式ppt课件
目录
• 二倍角公式的定义 • 二倍角公式的形式 • 二倍角公式的扩展 • 二倍角公式的应用 • 总结与回顾
01
二倍角公式的定义
Chapter
什么是二倍角公式
定义
二倍角公式是三角函数中一系列用于 计算二倍角度Leabharlann 正弦、余弦和正切的 公式。举例
二倍角公式中最常用的有正弦二倍角 公式、余弦二倍角公式和正切二倍角 公式。
二倍角公式的应用场景
应用领域
二倍角公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的 应用。例如，在求解振动问题、波动问题、电磁学 问题等过程中，常常需要用到二倍角公式来化简角 度或计算相关量。
举例说明
在求解振动问题时，常常需要用到正弦二倍角公式 来计算振幅、频率等参数；在求解波动问题时，需 要用到余弦二倍角公式来计算波速、波长等参数； 在求解电磁学问题时，需要用到正切二倍角公式来 计算电场强度、磁场强度等参数。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
二 化简三角函数式
【例3】 化简下列各式： (1)1s－inα2csoins2αα； (2)1－1tanθ2－1＋1tanθ2. 【分析】 本题主要考查二倍角公式和三角恒等变形与代 数恒等变形能力，重点考查逆用公式的能力．
1 【解】 (1)1s－inα2csoins2αα＝2csoisn22αα＝12tan2α. (2)解法1：原式＝1＋tan1θ2－－tan12θ2－tanθ2
∴定义域不关于原点对称．
∴原函数不具有奇偶性.
cos4π＋x＝sin2π－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1659＝2143.
13
解法二：原式＝scionsπ24π＋＋2xx ＝2sinπ4c＋osx4π·＋coxs4π＋x＝2sinπ4＋x. ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且0<x<4π， ∴π4＋x∈π4，π2，
(4)原式＝2sin20°cos22s0in°2co0s°40°cos80° ＝2sin40°4csoins4200°°cos80° ＝2sin88s0in°2co0s°80°＝s8isni1n6200°°＝18.
规律技巧 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另 一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱 导公式是常用方法.
三 给值化简求值
【例4】，0<x<
π 4
，求
cos2x cos4π＋x
的
【分析】 解答本题可先化简所求式子，由化简的结果再
去寻求条件得出结论，或直接寻求条件，分析与所求式子的联
系，灵活求解．
【解】 解法一：∵x∈0，4π，∴4π－x∈0，4π. ∵sinπ4－x＝153，∴cos4π－x＝1123. 又cos2x＝sin2π－2x ＝2sinπ4－xcos4π－x ＝2×153×1123＝112609，
二倍角公式
复数的除法： (a1+b1i)/(a2+ b2i)=(a1*a2+ b1*b2)/(a2^2 +b2^2)+(b1* a2a1*b2)/(a2^2
+0b2^2)i 4
微积分中的实例
导数的计算：利 用二倍角公式简 化导数的计算过 程
积分的计算：利 用二倍角公式将 积分转化为更容 易计算的形式
级数的求和：利 用二倍角公式求 解某些级数的和
级数：利用二倍 角公式进行级数 展开，方便求解
微分方程：利用 二倍角公式求解 微分方程，提高 求解速度
04
二倍角公式的应用方法
利用二倍角公式化简表达式
引入二倍角公式：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1
举例说明：化简表达式 cos(2x) + cos(x)
应用二倍角公式：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， cos(x) = cos^2(x) sin^2(x)
求解sin(π/3)和cos(π/3)的值 c. 代入二倍角公式求解 sin(2π/3)的值
利用二倍角公式证明等式
引入二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
设定等式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = 2sin(x)cos(x) 利用二倍角公式证明等式：将等式两边同时除以2，得到sin(x)cos(x) = sin(x)cos(x) 得出结论：等式成立，证明完毕。
单击此处输入你的智能图形项 正文
步骤： a. 利用二倍角公式将sin(2π/3) 转化为sin(π/3)和cos(π/3) b. 利用
三角函数值表或计算器求解sin(π/3)和 cos(π/3)的值 c. 代入二倍角公式求解
二倍角公式公开课课件
二倍角公式的推广到多倍角公式
推广一
将二倍角公式中的角度值替换为多倍角度值 ，如将 $2A$ 替换为 $nA$，得到多倍角公 式 $sin nA = nsinfrac{A}{n}cos^{n1}frac{A}{n}$。
推广二
利用二倍角公式推导出的多倍角公式，如 $cos nA = cos^n A - S_nsin^n A$，其中 $S_n$ 是二项式系数。
应用举例
已知cos(x) = 1/3，求cos(2x)的值。利用二倍角公式cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， 可以快速得出结果为-7/9。
在解三角函数方程中的应用
总结词
通过二倍角公式将三角函数方程转化为更易于求解的形式。
应用举例
求解sin(x) = 1/2的解。利用二倍角公式，将方程转化为2sin(x/2)cos(x/2) = 1/2，进 一步得到sin(x/2) = 1/2或cos(x/2) = 1/2，从而求得x的解。
利用诱导公式化简。
04
进阶习题2答案与解析：cos(π/3 - 2α) = 4√5/5。解 析：利用二倍角公式，将cos(π/6 + α)转化为sin，再 利用诱导公式化简。
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THANKS
详细描述
二倍角公式的几何意义在于，它描述了一个角经过旋转其度数两倍后，新位置与原位置之间的正弦或余弦关系。 具体来说，当一个角绕着原点旋转到其两倍角度数的新位置时，该角所对应的正弦或余弦值可以通过二倍角公式 计算得到。
二倍角公式的应用场景
总结词
二倍角公式在解决三角函数问题中具有广泛的应用，例如在解三角形、求三角函数值、证明三角恒等 式等方面。
2倍角万能公式
2倍角万能公式一、二倍角公式。
1. 正弦二倍角公式。
- sin2α = 2sinαcosα- 推导：根据两角和的正弦公式sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B，令A = B=α，则sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα = 2sinαcosα。
2. 余弦二倍角公式。
- cos2α=cos^2α - sin^2α- 推导：根据两角和的余弦公式cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B，令A = B=α，则cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2α-sin^2α。
- 另外，由于sin^2α+cos^2α = 1，所以cos2α = 2cos^2α - 1=1 - 2sin^2α。
3. 正切二倍角公式。
- tan2α=(2tanα)/(1-tan^2)α- 推导：根据正切公式tan(A + B)=(tan A+tan B)/(1 - tan Atan B)，令A =B=α，则tan2α=tan(α+α)=(tanα+tanα)/(1-tanαtanα)=(2tanα)/(1-tan^2)α。
二、万能公式（与二倍角公式相关）1. 正弦万能公式。
- 设tan(α)/(2)=t，则sinα=(2t)/(1 + t^2)。
- 推导：- 因为sinα = 2sin(α)/(2)cos(α)/(2)，又sin^2(α)/(2)+cos^2(α)/(2)=1，tan(α)/(2)=(sinfrac{α)/(2)}{cos(α)/(2)} = t，即sin(α)/(2)=(t)/(√(1 + t^2))，cos(α)/(2)=(1)/(√(1 + t^2))。
- 所以sinα=2sin(α)/(2)cos(α)/(2)=2×(t)/(√(1 + t^2))×(1)/(√(1 + t^2))=(2t)/(1 + t^2)。
二倍角公式教案
二倍角公式教案二倍角公式是高中数学中的一个重要概念，它与三角函数的性质密切相关。
本教案将以通俗易懂的方式，帮助学生理解和掌握二倍角公式的概念和应用。
一、教学目标1. 理解二倍角公式的定义及其推导过程；2. 能够熟练运用二倍角公式求解相关问题；3. 能够将二倍角公式应用于实际问题的解决；4. 提高学生对数学的抽象思维能力和计算能力。
二、教学步骤步骤一：引入知识（10分钟）教师可设计一个小游戏或提出一个引人入胜的问题，引起学生的兴趣，来激发学生学习的积极性。
例如，可以出示一个三角形的角度ABC，让学生猜测角度BAC是多大，并给出合理的解释。
步骤二：概念解释与推导过程（15分钟）1. 教师通过对前一步骤的问题的解答，引出二倍角的概念。
2. 教师通过几何图形的引入，解释正弦、余弦和正切函数以及角度的概念。
3. 教师通过将角度的一半和角度的两倍的对比，引出二倍角公式的概念。
4. 教师通过几何图形的推导，解释二倍角公式的推导过程。
步骤三：公式的证明与性质（15分钟）1. 教师通过使用数学恒等式，根据三角函数的性质，证明二倍角公式的正确性。
2. 教师解释二倍角公式的几何意义，即角度的一半和两倍之间的关系。
3. 教师提出二倍角公式的数学性质，让学生通过举例来验证。
步骤四：公式的应用与问题解决（20分钟）1. 教师提供一些二倍角公式的应用问题，并引导学生运用二倍角公式进行计算。
2. 教师通过对问题的解答过程的讲解，让学生理解二倍角公式在解决实际问题中的应用。
3. 教师设计一些扩展问题，让学生发散思维，拓展应用二倍角公式的能力。
步骤五：小结与巩固（10分钟）教师对本节课的内容进行小结，强调二倍角公式的重要性和实用性。
并布置相关练习，巩固学生对二倍角公式的理解和应用。
三、教学重点和难点1. 理解二倍角公式的定义及其推导过程；2. 能够熟练运用二倍角公式求解相关问题。
四、教学方式1. 引导式教学：通过问题引导学生主动思考，激发他们的学习兴趣。
《高二数学二倍角》课件
对后续学习的展望与建议
展望
在后续的学习中，我们将进一步学习三 角函数的和差公式、积化和差与和差化 积公式等，这些公式与二倍角公式有着 密切的联系。通过深入学习这些公式， 我们可以更好地理解和应用二倍角公式 ，提高解决复杂问题的能力。
VS
建议
为了更好地掌握和应用二倍角公式，建议 同学们多做练习题，通过实践来加深对公 式的理解和掌握。同时，也需要注重培养 自己的数学思维和解决问题的能力，以便 更好地应对各种复杂的数学问题。
题目一解析
利用诱导公式和二倍角公式，将sin(α - 2π/3)转化为cos[π/2 + (α - 2π/3)]，再利用已知条件计算结果为-1/3 。
题目二解析
利用同角三角函数基本关系式，将1/(2sin^2α + cos^2α)转化为(cos^2α)/(2sin^2α + cos^2α)，再利 用已知条件计算结果为3/5。
题目六
已知sin(π/4 - α) = 1/3，求cos(5π/4 + α)的值。
题目四解析
利用诱导公式和二倍角公式，将sin(α - 5π/6)转化为cos[π/2 + (α - 5π/6)]，再利用已知条件计算结果为-4/5 。
题目五解析
利用同角三角函数基本关系式，将1/(sin^2α - cos^2α) 转化为(cos^2α)/(sin^2α - cos^2α)，再利用已知条件 计算结果为-3/4。
题目九
已知sin(π/6 + α) = √5/5，求cos(7π/6 - α)的值。
题目七解析
利用诱导公式和二倍角公式，将sin(5π/6 + α)转化为cos[π/2 + (5π/6 + α)]，再利用已知条件计算结果为7/8。
第十六讲 二倍角的正弦、余弦、正切公式
第十六讲 二倍角的正弦、余弦、正切公式题型一 给角求值问题求下列各式的值： (1)sin π12cos π12； (2)1－2sin 2750°； (3)2tan150°1－tan 2150°； (4)cos20°cos40°cos80°.[跟踪训练]求下列各式的值 (1)sin π8sin 3π8； (2)cos 215°－cos 275°；(3)2cos 25π12－1； (4)tan30°1－tan 230°. 题型二 条件求值问题已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．[跟踪训练](1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin4α的值； (2)已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，求锐角α.题型三 三角函数式的化简与证明(1)求证：3－4cos2A ＋cos4A 3＋4cos2A ＋cos4A ＝tan 4A .(2)化简：1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ.[跟踪训练]化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.1．sin 4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.322.2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于( ) A ．tan2α B ．Tan α C ．1 D.12 3．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89B.79 C ．－79 D ．－89 4.3－sin 70°2－cos 210°的值是( ) A.12 B.22 C ．2 D.32 5．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A ．－79 B ．－29 C.29 D.796．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝14，则sin 2α的值为( ) A.78 B ．－78 C.34D ．－34 7．已知tan 2α＝－22，且满足π4<α<π2，则2cos 2α2－sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值是( )A. 2 B ．－ 2 C ．－3＋2 2 D ．3－2 2 8．设sin2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan2α的值是__________． 9．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，则sin2x ＝__________. 10．求值：(1)sin50°(1＋3tan10°)＝________；(2)1－cos20°cos80°1－cos20°＝________.11．(2016·四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________． 12．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________． 13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________． 14．化简：(1) 12＋12 12＋12cos 2α，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π； (2)1＋sin θ－1－sin θ，其中θ∈(0，π)．15．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.课内拓展 课外阅读1．三角函数式的化简一看“角”：通过分析角之间的差异与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”：尽可能统一函数名，如弦切互化；三看“结构特征”：分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有分式通分、根式的被开方数升幂去根号等．化简下列各式：(1)(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)； (2)2＋2cos8＋21－sin8.已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值；(2)求β的值．。
二倍角的全部公式
二倍角的全部公式
二倍角公式是数学中的一种重要的公式，它可以用来计算角度的大小。
它的公式如下：
2θ=2cosθ+2sinθ
二倍角公式也被称为正弦定理，它是一个比较常见的数学定理，可以用来计算三角形的角度和边长。
它的使用范围很广，不仅可以用来计算三角形的角度，还可以用来计算圆的周长和面积。
二倍角公式的应用非常广泛，它可以帮助我们更好地理解三角形的结构。
它可以用来计算三角形的面积和周长，还可以用来计算圆周长和面积。
它可以帮助我们计算出多边形的面积和周长。
此外，二倍角公式还可以用来计算曲线上特定点的位置，还可以用来计算椭圆的面积和周长，甚至可以用来计算三维空间中的位置、距离等等。
总之，二倍角公式的应用非常广泛，它不仅能够帮助我们计算出三角形的角度和面积，还可以用来计算出圆形、多边形、曲线以及椭圆的面积和周长。
它可以帮助我们更好地理解数学中的各种几何概念，使我们在学习数学方面更加轻松。
二倍角公式的灵活应用
二倍角公式
一、教学目标
1、知识与技能：
① 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
② 运用上述公式进行简单的三角函数式求值、化简。
2、过程与方法：
① 理解二倍角公式引入的意义。
② 研究三角函数化简求值的方法。
3、情感态度与价值观：
鼓励学生大胆猜想，勇于实践的探索精神。
二、教学重点
二倍角公式的推导、C2的两种变形公式及应用。
（四）、问题变形
学生自主探究。
设计意图
遗忘的规律是先快后慢，过程的再现是深刻记忆的重要途径，在经历思考问题－观察发现－到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.展示学生自主探究的结果给出本节课的课题 ：三角函数公式。设计意图
cos22cos21，cos212sin2.二、应用训练 ㈠、公式的正用：
已知cos34,1800,2700,求sin2、cos2的值.解：因为cos3,1800,2700,43132
所以，sin1cos2144,所以，sin22sincos21334439,82cos22cos21234来自5.8㈡公式的反用：求下列各式的值
sinsincoscossincoscoscossinsin
tantantan1tantan
要求：
掌握三个公式的形式与结构并熟记公式 新授：
一、二倍角的正弦、余弦以及正切公式的导出
在上述正弦、余弦以及正切的和角公式中
二倍角公式教案
二倍角公式教案课程名称：二倍角公式适用年级：高中教学目标：1. 理解二倍角公式的概念及其运用；2. 能够准确地应用二倍角公式解决相关的数学问题；3. 能够将二倍角公式与其他数学公式进行联想和应用。
教学内容：一、二倍角公式的概念1. 介绍二倍角的概念：二倍角是指一个角的角度是另一个角度的两倍，即角A的二倍角为角2A。
二、二倍角公式的推导1. 利用三角函数的公式，推导正弦和余弦的二倍角公式；2. 利用二倍角公式推导正切的二倍角公式。
三、二倍角公式的应用1. 通过练习题来巩固、加深对二倍角公式的理解；2. 调研二倍角公式在实际应用中的具体情况；3. 利用二倍角公式解决数学问题。
教学方法：1. 线上授课：借助网络平台，通过多媒体课件、教学视频等途径进行教学；2. 课堂互动：通过小组或全班讨论、课堂练习等方式，激发学生的兴趣和主动性；3. 个性化教学：根据学生掌握情况和学习需求，进行差异化教学和个别辅导。
课堂活动：1. 通过观看视频、听讲解等方式，了解二倍角公式的定义和推导方法；2. 小组合作讨论和实践，利用二倍角公式解决与日常生活和其他学科相关的问题；3. 课堂练习和答疑，帮助学生更好地掌握和应用二倍角公式。
教学评估：1. 课堂表现：包括理解、思考、提问和互动等方面的表现；2. 书面作业：巩固和检验学生对二倍角公式的掌握熟练程度；3. 实际应用：探究和分析二倍角公式在实际问题中的应用情况，并形成个人的思考和总结。
教学重点：1. 理解二倍角公式的概念和推导方法；2. 掌握二倍角公式的应用方法。
教学难点：1. 二倍角公式的推导过程和应用方法；2. 在复杂情况下灵活运用二倍角公式。
知识拓展：1. 了解三倍角、四倍角等相关的概念和运用方法；2. 探究二次函数和三角函数之间的关系和应用方法。
教学反思：1. 教师应根据学生兴趣、实际应用、差异化教学等方面的需求，设计更加灵活、丰富、多样化的教学形式和内容，以提升学生的学习效果和体验；2. 学生可以通过独立思考、团队协作、探究实践等途径，发掘二倍角公式更广泛、深入的应用场景，以拓展知识和提升应用能力。
二倍角公式大全及推导过程
tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]
推导：tan2a=tan(a+a)=(tana+tana)/(1-tanatana)=2tana/[1-(tana)^2]。
三角函数的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角公式
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/((1+cosα))
二倍角公式是通过角的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2的三角函数值接下来分享二倍角公式大全及推导过程
二倍角公式大全及推导过程
二倍角公式是通过角α的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值，接下来分享二倍角公式大全及推导过程。
三角函数的二倍角公式
Sin2a=2Sina*Cosa
Cos2a=Cosa^2-Sina^2=1-2Sina^2=2Cosa^2-1
②余弦二倍角公式：
余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价：
1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2]
2.Cos2a=1-2Sina^2
3.Cos2a=2Cosa^2-1
推导：cos2a=cos(a+a)=cosacosa-sinasina=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2。
tan2a=(2tana)/(1-tana^2)
二倍角公式推导过程
①正弦二倍角公式：
sin2α=2cosαsinα
推导：sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa
例谈二倍角公式的应用
例谈二倍角公式的应用
二倍角公式是一种用来解决三角形的数学公式，它可以用来求出标准三角形中任意一个角的余弦值。
它的推导起源于三角函数中余弦定理，即$cos(2A)=2cos^2(A)-1$，它表示了一个角的二倍角的余弦值等于该角的余弦值的平方减去一。
因此，二倍角公式可以用来求解三角形中任意一个角的余弦值，从而求出三角形的其他边长和角度。
此外，二倍角公式还可以用来解决复杂的三角形问题，从而帮助我们计算出三角形中任意角的余弦值。
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一、基础知识
考点1
二倍角的正弦、余弦和正切公式
二倍角的正弦公式： αα=αcos sin 22sin
二倍角的余弦公式：
α-α=α22sin cos 2cos
1cos 22cos 2
-α=α α-=α2sin 212cos
二倍角的正切公式： α
-α=
α2tan 1tan 22tan
考点2
二倍角正弦、余弦和正切公式的应用
三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程．在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出角的倍、半关系，从中找到解题的突破口．对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：α2是α的倍角，而α是2
α的倍角等． 在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用．例如θθ=
θsin 22sin cos ，)2cos 1(2
1sin 2θ-=θ等等．
二、例题精析
【例题1】
（1）求值=-
10cos 310sin 1（ ） （2）求值=π⋅π12cos 12sin （ ） （3）求值 =︒⋅︒72cos 36cos （ ） （4）求值=-︒115cos 22（ ）
A ．2
B ．41
C ．23
D ．4
【例题２】
计算：︒⋅︒︒⋅︒80cos 60cos 40cos 20cos ．
【例题３】
化简：1cos 2cos sin 2sin +θ+θθ
+θ．
【例题４】
（1）已知215sin -=x ，则=π
-)4(2sin x ．
（2）已知103
cos sin =x x ，则=+π
-π
)4sin()4sin(4x x ．
【例题５】 已知21
tan -=x ，求x 2sin ，x 2cos ．
三、课堂运用
【基础】
1. （1）求值=-π18
cos 22
（ ） （2）求值=π-π8cos 8sin 22（ ） （3）求值 =︒⋅︒5.22cos 5.22sin 2（ ） （4）求值=-π112cos 22（ ） A ．22- B ．23 C ．2
2 D ．21
【巩固】
2. 计算：9
4cos 93cos 92cos 9cos π⋅π⋅π⋅π．
3. 若312tan =x ，则=+2
cos 1sin x x ． A ．3 B ．
31 C ．3- D ．31-
【拔高】
4. 若31cos -=α，)2
3,(ππ∈α，求α2sin ，α2cos ．
四、课程小结
1. 注意公式推导过程中角的变换及与公式的关系；
2．注意公式的结构特点准确记忆，并注意条件角作为单角应用；
3．注意公式应用中角的范围与三角函数值符号确定方法；
4．注意公式逆向应用及其特点．
5．证明三角恒等式通常从复杂端化向简单端；化倍角为单角；注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用．
五、课后作业
【基础】
1. 不查表，求值=+ 15cos 15sin ( )
A. 32
B. 23
C. 26
D. 2
3
2. 若3
32sin =α，则=αcos ( ) A. 32- B. 31- C. 32 D. 3
1
3. 下列各式中,值为2
3的是( ) A 2sin15°cos15° B cos 215°－sin 215°
C 2sin 215°－1
D sin 215°＋cos 2
4. 已知3
22cos =α，则=α-α44cos sin （ ） A. 32 B. 3
2- C. 1811 D. 92-
5. 已知5
3cos =θ，则=θ+θ2sin 2cos （ ） A. 259 B. 2518 C. 2523 D. 25
34
【巩固】 6. =ππ5
2cos 5cos
A. 21
B. 3
1 C. 41 D. 2
7. 求︒︒︒︒70sin 50sin 30sin 10sin 的值．
8. 证明
θ=θ
+θ+θ-θ+tan 2cos 2sin 12cos 2sin 1． 9. 已知
2
1cos sin cos sin =α-αα+α ，求α2tan ． 10. 等腰三角形底角的正弦是5
4，则顶角的余弦是______．
【拔高】
11. 已知α2sin =
135，4π<α<2
π，求α4sin ，α4cos ，α4tan 的值． 12. 已知2cos 3)2(cos +=x x f ，则=π)8
(sin f _________．。