导数在经济中的应用
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§4.7 导数在经济中的应用
导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济
管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或微 分)在经济中的一些简单的应用. 一.边际分析与弹性分析 边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研 究经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性 分析. 1.边际函数
3
0
的基础上再增加一个
求(1)日产量75件时的总成本和平均成本;
(2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量;
(3)当日产量为75件时的边际成本. 解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本C(75)=7956.25(元) C(75)/75=106.08(元/件)
(2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量
CC ( 9 0 ) C ( 7 5 ) 1 0 1 . 2 5 ( 元 / 件 ) x 9 07 5
4
(3)当日产量为75件时的边际成本 1 C ( 7 5 ) C () x 9 7 . 5 ( 元 ) C (x) x6 0 x 7 5 2 注:当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称L ( x )为销售量 为x时的边际利润,它近似等于销售量为x时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润. 例34 某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收
2 C () x 9 0 0 0 4 0 x 0 . 0 0 1 x
求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并 求出其最小平均成本和相应的边际成本.
C () x 9 0 0 0 4 00 . 0 0 1 x 15 x x
解 平 均 成 本 函 数 是 C () x
9 0 0 0 C(x ) 2 0 .0 0 1 x
当 ( x ) 0 ( 0 ) 时 , x 与 y 的 变 化 方 向 相 同 ( 相 反 ) 0
f ( x ) 就 会 产 生 () x % 的 改 变 ; 0
(3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关. 例35 当a、b、α为常数时, 求下列函数的弹性函数及在 点 x = 1处的点弹性, 并阐述其经济意义.
( x x ) f ( x ) x y f 0 0 与 x y f ( x ) 0 0 0
分别为自变量 x与ƒ(x)在点 x 0 处的相对增量.
y y 0 x 0 时 , 极 限 l i m 存 在 ,则 称 此 定义 设y =ƒ(x)当 x 0 x x 0
(1)需求弹性函数(通常记作
1 3 Q( p) a( ) (a是常数), 求 2
p
).
(2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性.
p 1 13 1 解 ( 1 ) Qp ( ) a ( ) l n ( ) 3 2 2
p Q ( p ) p 11 1 3 由 p a ()l n () 0 . 2 3 p p p Q ( p ) 32 2 1 3 a () 2
2.最大利润 设总成本函数为C(x), 总收益函数为R(x), 其中x为 产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数
为
L(x) = R(x) – C(x) 假设产量为 x
0
时, 利润达到最大, 则由极值的
必要条件和极值的第二充分条件, L(x)必定满足:
() xxx R ( x ) C ( x ) 0 L () xxx R ( x ) C ( x ) 0L 0 0 0 0 0 0
是降价还是提价均对收益没有明显的影响. 由此对例36 而言: 当p = 4时,
p 0.92 1 (低弹性),
13
此时降价使收益减少; 提价使收益增加;
当 p = 4.35 时, p 1 (单位弹性), 此时, 降价、提价对 收益没有明显的影响;
当 p = 5 时, p 1.15 1 (高弹性), 此时降价使收益增加;
C ( 3 0 0 0 ) 4 6 ( 元 /件 )
而 边 际 成 本 函 数 为 C ( x ) 4 0 0 . 0 0 2 x
故 x 3 0 0 0 时 相 应 的 边 际 成 本 为 C ( 3 0 0 0 ) 4 6 ( 元 / 件 ) .
16 显 然 , 最 小 平 均 成 本 等 于 其 相 应 的 边 际 成 本 .
则反而亏损1元.
6
结论: 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的 零点时 (L (x )0 ),反而使企业无利可图. 2.弹性 弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量
变化时, 所作出反映的强弱程度. 即弹性是用来描述
一个量对另一个量的相对变化率的一个量.
7
定义 若函数y =ƒ(x)在点 x 0 ( 0) 的某邻域内有定义, 且 f ( x0 ) 0 则称 Δ x 和 Δy 分别是 x 和 y 在点 x 0 处的绝 对增量, 并称
C (x)
1800 0 3 x
令 C ( x ) 0 得 x 3 0 0 0 .从 而 驻 点 唯 一
故 x 3 0 0 0 是 区 间 ( 0 , ) 唯 一 的 极 小 值 点
当 产 量 x 3 0 0 0 件 时 , 平 均 成 本 达 到 最 小 , 且 最 小 平 均 成 本 为
b x Байду номын сангаас ( 1 )( f xa ) e ( 2 )( f x ) x
9
f () x x b x 解 ( 1 ) 由 () x x b a b e b x 故 ( 1 )b x fx () a e
η(1)的经济意义是: 在x = 1处, 当b > 0 时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就增加(或减少) b% ; 当b < 0 时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就减少(或增加) –b% .
( 2 ) 0 . 9 2 , p 1 , p 1 . 1 5 . p p 4 p 4 . 3 5 p 5
p
易知: 任何需求函数对价格之弹性
, 均满足 p 0 .
11
在商品经济中, 商品经营者关心的的是提价(Δp>0) 或降价(Δp<0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念, 可以得出价格变动如何影响销售收入的结论.
提价使收益减少. 例37 某商品的需求量为2660单位,需求价格弹性为–1.4.
若该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变),问该商
品的需求量会降低多少?
解 设该商品的需求量为Q,在价格上涨时的改变量为 ΔQ=Q–2660 且 p p Q Q 1 . 4 8 % 2 6 6 0 2 9 8 ( 单 位 ) 8 % ,p 1 .4 p p p 课后考虑: 用类似方法, 对供给函数、成本函数等常用经济函数
x 处 的 弹 性 , 记 为 ( x ) . 极 限 值 为 函 数 fx () 在 点 0 0
8
由弹性定义可知(1)若 y = ƒ(x) 在点 x 在 x 0 处的弹性为
0
处可导. 则它
( 2 ) ( x ) 的 意 是 : 在 x 生 1 % 的 改 , 0 0x
f ( x ) yx 0 0 ( x ) l i m ( ) x 0 0 x 0 xy f ( x ) 0 0
f ( x xf ) () x 0 0 fx () ( l i m 0 ) 0 x 0 x
f ( x x ) f ( x ) 0 0 f ( x ) 当 x 0 ( 即 很 小 ) 时 ,有 0 x
在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小(再小无意义). 故有 f ( x xf ) ( x ) fx ( ) 0 0 0
14 . 进行弹性分析, 以预测市场的饱和状态及商品的价格变动等
二.函数最值在经济中的应用
在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产成本或制定
获得利润最大的一系列价格策略等. 这些问题都可归结为 求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经 济上的应用. 1.平均成本最小
例38 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为
1
定义 经济学中,把函数ƒ(x)的导函数 f ( x ) 称为ƒ(x)的边际 函数. 在点 x 0 的值 f ( x 0 ) 称为ƒ(x)在 x 0 处的边际值(或变化 率、变化速度等).
fx (0 x ) fx (0 ) f ( x ) l i m 0 x 0 x
销 售 收 入 R ( p ) p Q 的 改 变 量 为
12 R ()() p Q d p Q Q d p p d Q ( 1 ) Q d p p
由知 0 ,p R ( 1 ) Q p 从而有结论: p p p
(1)若
p
2 2 入函数分别是 C ( x ) 1 0 0 2 x 0 . 0 2 x 和 R ( x ) 7 x 0 . 0 1 x .
求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和
300公斤时的边际利润.并说明其经济意义.
5
x 1 0 0 0 . 0 1 x 解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) – C(x) = 5 边际利润函数为 L ( x ) 50 . 0 2 x
f ( x ) 故 ) 解 ( 2 ) 由 ( x ) x (1 f( x )
η(x)的经济意义是:
幂 函 数 在 任 意 一 处 的 弹 性 均 为 常 数 , 从 而 称 之 为 不 变 弹 性 函 数 .
10
例36 某日用消费品需求量 Q(件)与单价p(元)的函数关系为 p
2
(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的边 际利润分别是 L ( 2 0 0 ) L () x 1 ( 元 ) x 2 0 0
L ( 2 5 0 ) 0 ( 元 ) ,L ( 3 0 0 ) 1 ( 元 ) .
其经济意义: 当日产量为 200公斤时, 再增加1公斤, 则 总利润可增加1元.当日产量为 250公斤时,再增加1公斤, 则总利润无增加. 当日产量为300公斤时,再增加1公斤,
可见, 当产量水平 x x 0 使得边际收益等于边际
成本时, 可获得最大利润.
17
例39 .某商家销售某种商品的价格满足关系p = 7–0.2x (万元/吨), 且x为销售量(单位:吨)、商品的成本函数为 C(x) = 3x + 1(万元) (1)若每销售一吨商品, 政府要征税t (万元), 求该商家
1
(称为高弹性)时, 则 ΔR 与 Δp 异号. 此时,
降价(Δp<0)将使收益增加; 提价(Δp > 0)将使收益减少;
(2)若
p
1 (称为低弹性)时, 则 ΔR 与 Δp 同号.此时,
降价(Δp<0)将使收益减少; 提价(Δp > 0)将使收益增加; (3)若
p
1 (称为单位弹性)时, 则 R 0 . 此时, 无论
2
实际问题中, 略去“近似”二字, 就得ƒ(x)在 x 0 处的 边际值 f ( x ) 的 0 经济意义: 即当自变量 x 在 x 单位时, 函数y的改变量. 例33 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件, 假设日产品的总成本C(元)与日产量 x (件)的 函数为
1 2 Cx ( ) x 6 0 x 2 0 5 0 4
Qp () p d Q p p Q (p ) Q (p ) d p
价 格 p 的 微 小 变 化 ( 即 p 很 小 时 ) 而 引 起 的 需 求 量 的 改 变 为 d Q p d Q p p Q d Q p Q Q p d p Q d pp p Q p 需 求 量 的 相 对 改 变 量 为 Q pp
导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济
管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或微 分)在经济中的一些简单的应用. 一.边际分析与弹性分析 边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研 究经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性 分析. 1.边际函数
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0
的基础上再增加一个
求(1)日产量75件时的总成本和平均成本;
(2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量;
(3)当日产量为75件时的边际成本. 解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本C(75)=7956.25(元) C(75)/75=106.08(元/件)
(2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量
CC ( 9 0 ) C ( 7 5 ) 1 0 1 . 2 5 ( 元 / 件 ) x 9 07 5
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(3)当日产量为75件时的边际成本 1 C ( 7 5 ) C () x 9 7 . 5 ( 元 ) C (x) x6 0 x 7 5 2 注:当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称L ( x )为销售量 为x时的边际利润,它近似等于销售量为x时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润. 例34 某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收
2 C () x 9 0 0 0 4 0 x 0 . 0 0 1 x
求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并 求出其最小平均成本和相应的边际成本.
C () x 9 0 0 0 4 00 . 0 0 1 x 15 x x
解 平 均 成 本 函 数 是 C () x
9 0 0 0 C(x ) 2 0 .0 0 1 x
当 ( x ) 0 ( 0 ) 时 , x 与 y 的 变 化 方 向 相 同 ( 相 反 ) 0
f ( x ) 就 会 产 生 () x % 的 改 变 ; 0
(3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关. 例35 当a、b、α为常数时, 求下列函数的弹性函数及在 点 x = 1处的点弹性, 并阐述其经济意义.
( x x ) f ( x ) x y f 0 0 与 x y f ( x ) 0 0 0
分别为自变量 x与ƒ(x)在点 x 0 处的相对增量.
y y 0 x 0 时 , 极 限 l i m 存 在 ,则 称 此 定义 设y =ƒ(x)当 x 0 x x 0
(1)需求弹性函数(通常记作
1 3 Q( p) a( ) (a是常数), 求 2
p
).
(2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性.
p 1 13 1 解 ( 1 ) Qp ( ) a ( ) l n ( ) 3 2 2
p Q ( p ) p 11 1 3 由 p a ()l n () 0 . 2 3 p p p Q ( p ) 32 2 1 3 a () 2
2.最大利润 设总成本函数为C(x), 总收益函数为R(x), 其中x为 产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数
为
L(x) = R(x) – C(x) 假设产量为 x
0
时, 利润达到最大, 则由极值的
必要条件和极值的第二充分条件, L(x)必定满足:
() xxx R ( x ) C ( x ) 0 L () xxx R ( x ) C ( x ) 0L 0 0 0 0 0 0
是降价还是提价均对收益没有明显的影响. 由此对例36 而言: 当p = 4时,
p 0.92 1 (低弹性),
13
此时降价使收益减少; 提价使收益增加;
当 p = 4.35 时, p 1 (单位弹性), 此时, 降价、提价对 收益没有明显的影响;
当 p = 5 时, p 1.15 1 (高弹性), 此时降价使收益增加;
C ( 3 0 0 0 ) 4 6 ( 元 /件 )
而 边 际 成 本 函 数 为 C ( x ) 4 0 0 . 0 0 2 x
故 x 3 0 0 0 时 相 应 的 边 际 成 本 为 C ( 3 0 0 0 ) 4 6 ( 元 / 件 ) .
16 显 然 , 最 小 平 均 成 本 等 于 其 相 应 的 边 际 成 本 .
则反而亏损1元.
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结论: 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的 零点时 (L (x )0 ),反而使企业无利可图. 2.弹性 弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量
变化时, 所作出反映的强弱程度. 即弹性是用来描述
一个量对另一个量的相对变化率的一个量.
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定义 若函数y =ƒ(x)在点 x 0 ( 0) 的某邻域内有定义, 且 f ( x0 ) 0 则称 Δ x 和 Δy 分别是 x 和 y 在点 x 0 处的绝 对增量, 并称
C (x)
1800 0 3 x
令 C ( x ) 0 得 x 3 0 0 0 .从 而 驻 点 唯 一
故 x 3 0 0 0 是 区 间 ( 0 , ) 唯 一 的 极 小 值 点
当 产 量 x 3 0 0 0 件 时 , 平 均 成 本 达 到 最 小 , 且 最 小 平 均 成 本 为
b x Байду номын сангаас ( 1 )( f xa ) e ( 2 )( f x ) x
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f () x x b x 解 ( 1 ) 由 () x x b a b e b x 故 ( 1 )b x fx () a e
η(1)的经济意义是: 在x = 1处, 当b > 0 时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就增加(或减少) b% ; 当b < 0 时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就减少(或增加) –b% .
( 2 ) 0 . 9 2 , p 1 , p 1 . 1 5 . p p 4 p 4 . 3 5 p 5
p
易知: 任何需求函数对价格之弹性
, 均满足 p 0 .
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在商品经济中, 商品经营者关心的的是提价(Δp>0) 或降价(Δp<0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念, 可以得出价格变动如何影响销售收入的结论.
提价使收益减少. 例37 某商品的需求量为2660单位,需求价格弹性为–1.4.
若该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变),问该商
品的需求量会降低多少?
解 设该商品的需求量为Q,在价格上涨时的改变量为 ΔQ=Q–2660 且 p p Q Q 1 . 4 8 % 2 6 6 0 2 9 8 ( 单 位 ) 8 % ,p 1 .4 p p p 课后考虑: 用类似方法, 对供给函数、成本函数等常用经济函数
x 处 的 弹 性 , 记 为 ( x ) . 极 限 值 为 函 数 fx () 在 点 0 0
8
由弹性定义可知(1)若 y = ƒ(x) 在点 x 在 x 0 处的弹性为
0
处可导. 则它
( 2 ) ( x ) 的 意 是 : 在 x 生 1 % 的 改 , 0 0x
f ( x ) yx 0 0 ( x ) l i m ( ) x 0 0 x 0 xy f ( x ) 0 0
f ( x xf ) () x 0 0 fx () ( l i m 0 ) 0 x 0 x
f ( x x ) f ( x ) 0 0 f ( x ) 当 x 0 ( 即 很 小 ) 时 ,有 0 x
在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小(再小无意义). 故有 f ( x xf ) ( x ) fx ( ) 0 0 0
14 . 进行弹性分析, 以预测市场的饱和状态及商品的价格变动等
二.函数最值在经济中的应用
在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产成本或制定
获得利润最大的一系列价格策略等. 这些问题都可归结为 求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经 济上的应用. 1.平均成本最小
例38 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为
1
定义 经济学中,把函数ƒ(x)的导函数 f ( x ) 称为ƒ(x)的边际 函数. 在点 x 0 的值 f ( x 0 ) 称为ƒ(x)在 x 0 处的边际值(或变化 率、变化速度等).
fx (0 x ) fx (0 ) f ( x ) l i m 0 x 0 x
销 售 收 入 R ( p ) p Q 的 改 变 量 为
12 R ()() p Q d p Q Q d p p d Q ( 1 ) Q d p p
由知 0 ,p R ( 1 ) Q p 从而有结论: p p p
(1)若
p
2 2 入函数分别是 C ( x ) 1 0 0 2 x 0 . 0 2 x 和 R ( x ) 7 x 0 . 0 1 x .
求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和
300公斤时的边际利润.并说明其经济意义.
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x 1 0 0 0 . 0 1 x 解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) – C(x) = 5 边际利润函数为 L ( x ) 50 . 0 2 x
f ( x ) 故 ) 解 ( 2 ) 由 ( x ) x (1 f( x )
η(x)的经济意义是:
幂 函 数 在 任 意 一 处 的 弹 性 均 为 常 数 , 从 而 称 之 为 不 变 弹 性 函 数 .
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例36 某日用消费品需求量 Q(件)与单价p(元)的函数关系为 p
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(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的边 际利润分别是 L ( 2 0 0 ) L () x 1 ( 元 ) x 2 0 0
L ( 2 5 0 ) 0 ( 元 ) ,L ( 3 0 0 ) 1 ( 元 ) .
其经济意义: 当日产量为 200公斤时, 再增加1公斤, 则 总利润可增加1元.当日产量为 250公斤时,再增加1公斤, 则总利润无增加. 当日产量为300公斤时,再增加1公斤,
可见, 当产量水平 x x 0 使得边际收益等于边际
成本时, 可获得最大利润.
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例39 .某商家销售某种商品的价格满足关系p = 7–0.2x (万元/吨), 且x为销售量(单位:吨)、商品的成本函数为 C(x) = 3x + 1(万元) (1)若每销售一吨商品, 政府要征税t (万元), 求该商家
1
(称为高弹性)时, 则 ΔR 与 Δp 异号. 此时,
降价(Δp<0)将使收益增加; 提价(Δp > 0)将使收益减少;
(2)若
p
1 (称为低弹性)时, 则 ΔR 与 Δp 同号.此时,
降价(Δp<0)将使收益减少; 提价(Δp > 0)将使收益增加; (3)若
p
1 (称为单位弹性)时, 则 R 0 . 此时, 无论
2
实际问题中, 略去“近似”二字, 就得ƒ(x)在 x 0 处的 边际值 f ( x ) 的 0 经济意义: 即当自变量 x 在 x 单位时, 函数y的改变量. 例33 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件, 假设日产品的总成本C(元)与日产量 x (件)的 函数为
1 2 Cx ( ) x 6 0 x 2 0 5 0 4
Qp () p d Q p p Q (p ) Q (p ) d p
价 格 p 的 微 小 变 化 ( 即 p 很 小 时 ) 而 引 起 的 需 求 量 的 改 变 为 d Q p d Q p p Q d Q p Q Q p d p Q d pp p Q p 需 求 量 的 相 对 改 变 量 为 Q pp