高考理科数学第二轮总复习课件 (4)
2020新课标高考数学(理)二轮总复习课件：1-3-2 锥体中的线面关系与计算
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
(2)求二面角 D－PC－B 的余弦值． 解析：(2)以 O 为原点，OC，OD，OP 为坐标轴，建立如图所示坐标系，可知 C(1,0,0)， D(0,1,0)，P(0，0， 3)，B(1，－1,0)，对于平面 PDC，设其法向量 m＝(x，y，z)， ∴D→P＝(0，－1， 3)，D→C＝(1，－1,0)． ∴x－－yy＋＝03，z＝0， 取 z＝1，y＝ 3，x＝ 3. 则 m＝( 3， 3，1)．
3＝ 6
26，
在
Rt△ADG
中，sin∠ADG＝AAGD＝
6 4.
故
BC
与平面
PCD
所成角的正弦值为
6 4.
(12 分)
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
【知规则·规范解答】
——采点得分说明
直接由 EC∥FB，得出 CE∥平面 PAB，即无“BF⊂平面 PAB，EC⊄平面 PAB”
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M－PA－C 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成角的 正弦值． 解析：(2)如图，以 O 为坐标原点，O→B的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 O－xyz.
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
所以 2
3a2－34|a2＋－34a| 2＋a2＝ 23，解得 a＝－4(舍去)，a＝43，
所以 n＝－83 3，433，－43.又P→C＝(0,2，－2 3)， 所以 cos〈P→C，n〉＝ 43，
高三数学二轮复习建议——专题二：概率统计 PPT课件 图文
目目 录录
CCOONNTTEENNTTSS
1 历年高考分析 22 重点、热点分析 3 复习目标、方案专题 4 命题预测、优题展示
一 高考试题分析
1.1 2012——2017年高考考查内容分析
2 道 小 题
1 道 大 题
年份 题号
理科 考查 内容
题号
文科 考查 内容
2017 年
2016 年 2015 年 2014 年 2013 年 2012 年
T1 9
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
T14 二项式定理
2016 年
T4 几何概型
T3 古典概型
从文科高考试题看，解答题一般以工农业生产和生活中的实 频数分布、频率与概率、事件的
频数分布、频率与概率、事件的
T19 独立性、互斥事件、分布列、概 T19 独立性、互斥事件、分布列、概
√√
√
古典概型
几何概型 率 随机模拟
√√√ √ √
随机变量间的函数关系
√
√
二 重点、热点分析
重点、热点、规律方法（一）二项式定理
例
1.（1）（2017▪全国卷Ⅰ理科▪T6）
(1
1 x2
)(1
x)6
展开式中
x2
的系数为
A.15
B.20
C.30
D.35
（2）（2016▪全国卷Ⅰ理科▪T14） (2x x )5 的展开式中，x3 的系数是
T1 8
分步乘法计数原理、组合
正态分布、对立事件
T3
函数、频率与概率、分布列、期 望、方差、概率的意义
T 18
数字特征及其意义 几何概型
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
2015届高考数学(理科)二轮配套课件：专题四_第1讲_等差数列和等比数列
第 1讲
等差数列和等比数列
主干知识梳理
热点分类突破
真题与押题
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热 点，经常以小题形式出现.
考 2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是 情 解 高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的 读
综合能力．
主干知识梳理
1．an与Sn的关系Sn＝a1＋a2＋„＋an，
(2) 在等差数列 {an} 中， a5<0 ， a6>0 且 a6>|a5| ， Sn 是 数列的前n项的和，则下列说法正确的是( )
A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6„均大于0
B．S1，S2，„S5均小于0，S6，S7，„均大于0
C．S1，S2，„S9均小于0，S10，S11„均大于0
5 (2)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且 a1＋a3＝ ， 2 5 Sn a2＋a4＝ ，则 等于( 4 an A．4n－1 C．2n－1 )
思维启迪 求出 a1， q， 代入化简．
B．4n－1 D．2n－1
解析
a ＋a ＝5， 3 1 2 ∵ 5 a2＋a4＝ ， 4
(1) 等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，若 a2 ＋ a4 ＋ B.24 D.7
利用 a 1 ＋ a 7 ＝ 2 a 4 建立 S 7
a6＝12，则S7的值是( C ) 思维启迪
和已知条件的联系；
由题意可知，a2＋a6＝2a4，
则3a4＝12，a4＝4， 7×a1＋a7 所以 S7＝ ＝7a4＝28. 2ຫໍສະໝຸດ 前nna1＋an Sn＝ 2
a11－qn (1)q≠1，Sn＝ 1－ q a1－anq ＝ 1－ q (2)q＝1，Sn＝na1
高考复习课件高考二轮·理科数学专题4第11讲线面关系的判定和性质
以下是平行(垂直)关系转化图：
1．点、线、面的位置关系 例1 (1)已知a，b是两条异面直线，c∥a，那么c与b 的位置关系( ) A．一定是异面 B．一定是相交 C．不可能平行 D．不可能相交
【解析】选C. 若c与b平行，而c∥a，则a与b平行，这与a，b是两 条异面直线矛盾，所以选C.
设 PB＝2a(0≤2a≤3), 则 BH＝a，PH＝ 3a，DH＝2 －a，
所以 A1(0，0，1)，P(2－a， 3a，0)，E(0， 3， 0)，所以P→A1＝(a－2，－ 3a，1)，
因为 ED⊥平面 A1BD, 所以平面 A1BD 的一个法 向量为D→E＝(0， 3，0)，
因为直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°，
(2)解法1：假设在线段BC上 存在点P，使直线PA1与平面 A1BD所成的角为60°.
如图，作PH⊥BD于点H， 连结A1H、A1P，
由(1)有A1D⊥平面BCED， 而PH⊂平面BCED,
所以A1D⊥PH，又A1D∩BD＝D, 所以PH⊥平面 A1BD，
所以∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，
x0＝± (舍去)或
26，
2.
y0＝ 22.
所以tan∠BDC＝| 2x－0 y0|＝ 3. 又∠BDC是锐角，所以∠BDC＝60°.
【点评】证明线面关系的问题，书写一定要规
范，理论依据必须是课本上的公理或定理．
3．直线、平面垂直的判定与性质 例3等边三角形 ABC 的边长为 3，点 D、E 分别 是边 AB、AC 上的点，且满足ADDB＝CEAE＝12(如图 1)．将 △ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使二面角 A1－ DE－B 为直二面角，连结 A1B、A1C(如图 2)．
2015届高考数学(理科)二轮配套课件：专题四_第3讲_推理与证明
平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；
解析 正比，
平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成
而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，
V1 1 所以＝ ＝ . V2 27
答案 1 27
ex－e－x (2)已知双曲正弦函数 shx＝ 和双曲余弦函数 2 ex＋e－x chx ＝ 与我们学过的正弦函数和余弦函数有 2 许多类似的性质， 请类比正弦函数和余弦函数的和角 ．． 或差角 公式， 写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个 类 ．．． ．． 似的正确结论________.
被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，
由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗， 分析答案中的4组座位号，只有D符合条件.
答案 D
归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，
通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然
后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问
思 题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广 维 泛的应用 . 其思维模式是 “ 观察 —— 归纳 —— 猜 升 华 想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想
第二次坐在 2 号位上，第三次坐在 4 号位上，第四次坐 在3号位上，第五次坐在1号位上， 因此小兔的座位数更换次数以4为周期， 因为 202 ＝ 50×4 ＋ 2 ，因此第 202 次互换后，小兔所在 的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同， 因此小兔坐在2号位上，故选B. 答案 B
1 1 1 (2)已知 f(n)＝1＋ ＋ ＋„＋ (n∈N*)，经计算得 f(4)>2， 2 3 n n＋2 n * 5 7 f (2 )> ( n ≥ 2 ， n ∈ N ) f(8)> ，f(16)>3，f(32)> ，则有______________________. 2 2 2
2016高考理科数学二轮复习与增分策略课件(全国通用)：专题四 数列 推理与证明 第4讲
)
解析 由{an}为等差数列，设公差为d，
a1＋a2＋„＋an n－1 则 bn＝ ＝a1＋ 2 d， n
又正项数列{cn}为等比数列，设公比为q，
n c 则 dn＝ c1· c2· „· cn＝ 1 q
n
n
n2 n 2
c1q
n 1 2
，故选 D.
答案 D
x2 y2 (2)若点 P0(x0，y0)在椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)外，过点 P0 作该 椭圆的两条切线，切点分别为 P1，P2，则切点弦 P1P2 所在 x0x y0y x2 y2 直线的方程为 a2 ＋ b2 ＝1.那么对于双曲线a2－b2＝1(a>0， b>0) ， 类 似 地 ， 可 以 得 到 切 点 弦 所 在 直 线 的 方 程 为 ____________________.
x0x y0y 答案 a2 － b2 ＝1
x0x y0y 这说明 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线 a2 － b2 ＝1 上， x0x y0y 故切点弦 P1P2 所在直线的方程为 a2 － b2 ＝1.
热点三 直接证明和间接证明 直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果， 而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证 明方法.
1 2 3 4
即集合AB表示如图所示的所有圆点 “ ”＋所有圆点“ ” ＋所有圆点“ ”，共45个. 故AB中元素的个数为45.故选C. 答案 C
1 2 3 4
2.(2014· 北京 ) 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，
依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数 学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙， 则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位 学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数 学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 )
2015届高三人教A版理科数学二轮复习课件2-4-3
热 点 盘 点
(4)线面垂直： l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3. (5)面面平行：
[二轮备考讲义]
第二部分 专题四 第3讲
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名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
α∥β⇔μ∥ν⇔μ＝kν⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4.
基 础 记 忆
第12页
名师伴你行 · 离的计算 直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平
热 点 盘 点
提 能 专 训
面的距离． → |PM· n| 点P到平面α的距离d＝ (其中n为α的法向量，M为α内 |n| 任一点)．
[二轮备考讲义]
第二部分 专题四 第3讲
(6)面面垂直： α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ· ν＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. 2．空间角的计算
提 能 专 训
热 点 盘 点
(1)两条异面直线所成角的求法． 设直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则
[二轮备考讲义]
第二部分 专题四 第3讲
第 9页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
[二轮备考讲义]
第二部分 专题四 第3讲
第10页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
基 础 记 忆
(3)二面角的求法． ①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所
热 点 盘 点
提 能 专 训
示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角．
[二轮备考讲义]
第二部分 专题四 第3讲
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名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
基 础 记 忆
基础记忆
热 点 盘 点
试做真题
2019届高三理科数学第二轮专题复习配套文档专题四 第3讲立体几何中的向量方法
第3讲立体几何中的向量方法[真题再现]1．（2018·课标Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD，BC的中点,以DF为折痕把△DFC使点C到达点P的位置，且PF⊥BF。
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．[解］(1）证明：由已知可得BF⊥PF,BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD。
（2)解：如图，作PH⊥EF，垂足为H.由（1)得，PH⊥平面ABFD。
以H为坐标原点，错误!的方向为y轴正方向,|错误!｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H.xyz.由（1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1,所以PE＝错误!.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝错误!，EH＝错误!.则H（0，0,0），P错误!，D错误!，错误!＝错误!,错误!＝错误!.又错误!为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin θ＝错误!＝错误!＝错误!。
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为错误!.2．（2018·课标Ⅱ）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明:PO⊥平面ABC；(2）若点M在棱BC上，且二面角M。
P A-C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值[解］(1）证明：因为P A＝PC＝AC＝4,O为AC的中点,所以OP⊥AC，且OP＝2错误!.如图，连接OB.因为AB＝BC＝错误!AC,所以△ABC为等腰直角三角形，且OB ⊥AC,OB＝错误!AC＝2。
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC,OB∩AC＝O，得PO⊥平面ABC.（2）解:如图，以O为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O。
xyz。
由已知得O（0，0,0）,B（2，0，0)，A（0,－2，0）,C(0,2,0)，P(0,0，2错误!），错误!＝（0,2,2错误!)．取平面P AC的一个法向量错误!＝(2，0，0）．设M (a ，2－a,0）（0≤a ≤2)，则错误!＝(a ，4－a,0)．设平面P AM 的法向量为n ＝(x ,y ,z ）．由AP ，→·n ＝0，错误!·n ＝0得错误!可取y ＝错误!a ,得平面P AM 的一个法向量为n ＝(错误!（a －4），错误!a ，－a ）,所以cos 错误!，n ＝错误!。
浙江高考数学理科二轮讲练【专题6】第4讲-概率(含答案)
第4讲 概 率考情解读 (1)选择、填空题中常考古典概型和几何概型的基本应用，难度较小．(2)解答题中常将古典概型与概率的基本性质相结合，侧重考查逻辑思维能力，知识的综合应用能力．1．概率的五个基本性质 (1)随机事件的概率：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率是1. (3)不可能事件的概率是0.(4)若事件A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(5)若事件A ，B 对立，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝1，P (A )＝1－P (B )． 2．两种常见的概率模型 (1)古典概型①特点：有限性，等可能性．②概率公式：P (A )＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数.(2)几何概型①特点：无限性，等可能性． ②P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).热点一 古典概型例1 (2013·山东)某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．思维启迪 列举选法的所有情况，统计符合条件的方法数，然后使用古典概型的概率公式． 解 (1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M ，其包括的事件有3个，故P (M )＝36＝12.(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10个．设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N ，且事件N 包括事件有：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共3个．则P (N )＝310.思维升华 求古典概型概率的步骤(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意； (2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n 及事件A 中包含的基本事件的个数m ；(4)计算事件A 的概率P (A )＝mn.(1)一个口袋中有红球3个，白球4个．从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，则摸2次恰好第2次中奖的概率为________．答案 935解析 设“摸2次恰好第2次中奖”为事件A ，则P (A )＝C 24(C 23＋C 13C 12)C 27C 25＝935， 所以，摸2次恰好第2次中奖的概率为935.(2)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( ) A.1136 B.518 C.16 D.49 答案 D解析 根据题目条件知所有的数组(a ，b )共有62＝36组，而满足条件|a －b |≤1的数组(a ，b )有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，根据古典概型的概率公式知所求的概率为P ＝1636＝49.故选D.热点二 几何概型例2 (1)(2014·湖南)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B.35 C.25 D.15(2)(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78思维启迪 (1)几何概型，试验结果构成的区域长度；(2)几何概型，试验结果构成的区域为面积．答案 (1)B (2)C解析 (1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为p ＝35.(2) 如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤40≤y ≤4|x －y |≤2，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.思维升华 当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．(1)在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得函数f (x )＝1－x ＋x ＋3－1有意义的概率为________．(2)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14 B.13 C.23 D.12答案 (1)23 (2)D解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，得f (x )的定义域为[－3,1]，由几何概型的概率公式，得所求概率为P＝1－(－3)3－(－3)＝23. (2)取边BC 上的中点D ，由PB →＋PC →＋2P A →＝0，得PB →＋PC →＝2AP →，而由向量的中点公式知PB →＋PC →＝2PD →，则有AP →＝PD →，即P 为AD 的中点，则S △ABC ＝2S △PBC ，根据几何概率的概率公式知，所求的概率为12.热点三 互斥事件与对立事件例3 某项活动的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)．已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为12，通晓中文和日语的概率为310.若通晓中文和韩语的人数不超过3人．(1)求这组志愿者的人数；(2)现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1名，通晓韩语的志愿者1名，若甲通晓英语，乙通晓韩语，求甲和乙不全被选中的概率．思维启迪 无人通晓两种外语说明抽1人，其通晓英语、通晓日语、通晓韩语是互斥的． 解 (1)设通晓中文和英语的人数为x ，通晓中文和日语的人数为y ，通晓中文和韩语的人数为z ，且x ，y ，z ∈N *，则⎩⎨⎧x x ＋y ＋z ＝12，y x ＋y ＋z ＝310，0<z ≤3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，z ＝2，所以这组志愿者的人数为5＋3＋2＝10.(2)设通晓中文和英语的人为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，甲为A 1，通晓中文和韩语的人为B 1，B 2，乙为B 1，则从这组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各1名的所有情况为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 5，B 1)，(A 5，B 2)，共10种，同时选中甲、乙的只有(A 1，B 1)1种．所以甲和乙不全被选中的概率为1－110＝910.思维升华 求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率．(2013·江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解 (1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1. (2)数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种；数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种； 数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种； 数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种． 故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P 1＝715；因为去唱歌的概率为P 2＝415，所以小波不去唱歌的概率为P ＝1－P 2＝1－415＝1115.1．互斥事件与对立事件的关系 (1)对立一定互斥，互斥未必对立；(2)可将所求事件化为互斥事件A 、B 的和，再利用公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )来求，也可通过对立事件公式P (A )＝1－P (A )来求P (A )． 2．古典概型与几何概型古典概型 特点 ①有限性 ②等可能性 计算公式P (A )＝A 包含的基本事件个数m 总的基本事件个数n几何概型 特点①无限性 ②等可能性计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)真题感悟1．(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案 C解析 取两个点的所有情况为C 25＝10，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35.故选C. 2．(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题， S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18. 押题精练1．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字构成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( ) A.1180 B.1288 C.1360 D.1480 答案 C解析 因为时钟一分钟显示一次，故总的显示方法数为24×60＝1 440(种)，四个数字之和为23的有09：59,18：59,19：49,19：58四种情况，故所求概率为41 440＝1360.2．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π 答案 A 解析设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2.所以P ＝π－2π＝1－2π.3．甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是( ) A.13 B.23 C.34 D.35 答案 A解析 第一种情况：甲安排在第一天，则有A 24＝12种；第二种情况，甲安排在第三天，则有A 23＝6种；甲安排在第二天，则有A 22＝2种，所以P ＝12＋6＋2A 35＝13.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.78 答案 D解析 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.2．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为( ) A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8 答案 D解析 P ＝4×4×sin 150°－π×124×4×sin 150°＝1－π8.3．一个袋中有3个黑球，2个白球共5个大小相同的球，每次摸出一球，放进袋里再摸第二次，则两次摸出的球都是白球的概率为( )A.25B.45C.225D.425 答案 D解析 有放回地摸球，基本事件总数为25；两次都是白球所包含的基本事件为4.所以两次摸出的球都是白球的概率为425.4．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2bx有不等实数根的概率为( ) A.14 B.12 C.34 D.25 答案 B解析 方程x ＝22a －2bx，即x 2－22ax ＋2b ＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(－22a )2－4×2b >0， 即a >b.在如图所示的平面直角坐标系内，(a ，b )的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A “方程x ＝22a －2bx 有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P (A )＝12×1×11×1＝12.5．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为( )A.521B.27C.13D.821 答案 D解析 有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有C 410＝210种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A 为“取出球的编号互不相同，”则事件A 包含了C 15·C 12·C 12·C 12·C 12＝80个基本事件，所以P (A )＝80210＝821.6．在区间[0,2]上任取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率是( ) A.18 B.14 C.34 D.78答案 D解析 因为f ′(x )＝3x 2＋a ，由于a ≥0，故f ′(x )≥0恒成立，故函数f (x )在[－1,1]上单调递增，故函数f (x )在区间[－1,1]上有且只有一个零点的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1≥0，a －b ＋1≥0. 设点(a ，b )，则基本事件所在的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤2，0≤b ≤2，画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义，所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值，这个比值是78.故选D.二、填空题7．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为___________________________________．答案 23解析如图，设A ，M ，N 为圆周的三等分点，当B 点取在优弧MAN 上时，对劣弧AB 来说，其长度小于1，故其概率为23.8．(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．答案 2063解析 P ＝4×57×9＝2063.9．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则xy为整数的概率是________．答案 12解析 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x ，y 记作有序实数对(x ，y )，共包含16个基本事件，其中x y为整数的有 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求的概率为816＝12. 10．已知区域Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤10，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x －y ≥0，x ≤5，y ≥0}，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率P (A )＝________.答案 14解析 作出如图所示的可行域，易得区域Ω的面积为12×10×10＝50，区域A (阴影部分)的面积为12×5×5＝252.故该点落在区域A 的概率P (A )＝25250＝14. 三、解答题11．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．解 设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C12C35＋C22C25C47＝67. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67. 12．设O 为坐标原点，点P 的坐标为(x －2，x －y )．(1)在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x ，y ，求|OP |的最大值，并求事件“|OP |取到最大值”的概率；(2)若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为x ，y ，求P 点在第一象限的概率．其中基本事件的总数为9，随机事件A 为“|OP |取到最大值”包含2个基本事件，故所求的概率为P (A )＝29. (2)设事件B 为“P 点在第一象限”．若⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，0≤y ≤3，则其所表示的区域面积为3×3＝9. 由题意可得事件B 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤3，0≤y ≤3，x －2>0，x －y >0，即如图所示的阴影部分，其区域面积为1×3－12×1×1＝52. 故P (B )＝529＝518. 13．现有8名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3数学成绩优秀，B 1，B 2，B 3物理成绩优秀，C 1，C 2化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．解 (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}． 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等．因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“C 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}．事件M 由9个基本事件组成，因而P (M )＝918＝12. (2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件， 则其对立事件N 表示“A 1，B 1全被选中”这一事件， 由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，事件N 由2个基本事件组成，所以P (N )＝218＝19. 由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－19＝89.。
2024届高考二轮复习理科数学课件：函数的隐零点问题与极值点偏移问题
规律方法要证明x1+x2>2m或x1+x2<2m,如果m是函数f(x)的极值点,构造函
数g(x)=f(x)-f(2m-x),由f(x)及g(x)的单调性最后证出要证的结论.
对点训练3
(2023 江西上饶二模)已知函数
+3
f(x)=a(x+1)- e ,x∈R.
由 g'(x2)=322 -6x2+1-k=0,得 1-k=-322 +6x2,
g(x2)=23 -322 +(1-k)x2+4=23 -322 +(-322 +6x2)x2+4=-223 +322 +4,
令x2=t,g(x2)=h(t)=-2t3+3t2+4(1<t<2),h'(t)=-6t2+6t=-6t(t-1)<0,
横坐标为-2.
(1)求a;
(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
(1)解 f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2,
由题设得-
2
=-2,所以a=1.
(2)证明 (方法一)设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,g'(x)=3x2-6x+1-k>0,
e
及 f(x)max=f(1),则必有 0<x1<1<x2,要证
x1+x2>2,即证 x1>2-x2,
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题4 概率与统计 考点突破练11 概率与统计的综合问题
∵72.7<78.3,∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.
(2)由题意可知,A 小区即方案一中,满意度不低于 70 分的频率为
(0.031+0.021+0.010)×10=0.62,以频率估计概率,赞成率为 62%,B 小区即方案
二中,满意度不低于 70 分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75,以频率估计
方案的满意度得分(满分100分),将数据分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),
[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如图所示的频率分布直方图:
A小区 方案一
B小区 方案二
(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分,判断哪种
方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中
即 x>178 时,儿子比父亲矮,可得当父亲身高较高时,儿子平均身高要矮于父亲,
即儿子身高有一个回归,回归到全种群平均高度的趋势.
^
(2)由 =0.5x+89 可得
^ =0.5×160+89=169,^ =174,^ =176.5,^ =181.5,^ =184,
1
2
3
4
5
5 ^
^
所以 ∑ =885,又因为 ∑ y =885,所以 ∑
取了100名员工的测试成绩作为样本分析,并把样本数据进行了分组,绘制
了频率分布直方图,并且认为其测试成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2).
(1)求样本平均数和样本方差s2.(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表)
(2)人事部门规定测试成绩超过82.7分的新员工可参加干部竞聘初级面试.
考点2常用逻辑用语 课件(共47张PPT)2021届高考数学(理科旧高考)二轮专题复习
的两根”是“a3＝±2”的充分不必要条件，故选 A.
解析 答案
18．以下命题中真命题的个数为( )
①若命题 p 的否命题是真命题，则命题 p 的逆命题是真命题；
②若 a＋b≠5，则 a≠2 或 b≠3；
③若 p：平行四边形是矩形，则綈 p：平行四边形不是矩形；
④若∃x∈[1,4]，x2＋2x＋m>0，则 m 的取值范围是 m>－24.
C．p∧(綈 q)
D．(綈 p)∧(綈 q)
解析 对命题 p，可知 Δ＝(－1)2－4<0，所以∀x∈R，x2－x＋1>0，故 命题 p 为假命题．命题 q：取 x＝3，可知 32>23，所以∃x∈R，x2>2x，故命 题 q 为真命题，所以(綈 p)∧q 为真命题．故选 B.
解析 答案
13．(2020·青海西宁高三复习检测(一))设函数 f(x)＝cosx＋bsinx(b 为常
解析 答案
3．已知命题 p，q，则“綈 p 为假命题”是“p∧q 是真命题”的( )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 充分性：若綈 p 为假命题，则 p 为真命题，由于不知道 q 的真
假性，所以推不出 p∧q 是真命题．必要性：p∧q 是真命题，则 p，q 均为 真命题，则綈 p 为假命题．所以“綈 p 为假命题”是“p∧q 是真命题”的
解析 答案
5．(2020·辽宁丹东二模)已知 a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“a＞b” 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 若 log2a＞log2b，则 a＞b＞0，此时充分性成立．若 0＞a＞b，则 log2a＞log2b 无意义，则必要性不成立，故“log2a＞log2b”是“a＞b”的充 分不必要条件，故选 A.
2015届高三人教A版理科数学二轮复习课件2-4-2
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(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒ a⊥β.
[二轮备考讲义]
第二部分 专题四 第2讲
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4．垂直关系的转化
基 础 记 忆
与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意 图．
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[二轮备考讲义]
第二部分 专题四 第2讲
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3．直线、平面垂直的判定及其性质
基 础 记 忆
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l ⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
试做真题
基础要记牢,真题须做熟
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第二部分 专题四 第2讲
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基础知识不“背死”，就不能“用活”！
基 础 忆
1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥ α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
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和这个平面可以平行、相交、也可以在平面内，故选项D错 误．所以选B.
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第二部分 专题四 第2讲
第15页
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高中总复习二轮理科数学精品课件 第二部分 2.1 基本初等函数、函数的图象和性质
3.特别注意“若奇函数在x=0处有定义,则一定有f(0)=0”“偶函数一定有
f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.
4.函数的周期性多与函数的奇偶性、单调性等性质相结合,常涉及求解函
数的周期,常见形式主要有以下几种:
(1)如果f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数,其中一个周期为T=|ab|.
间[0,+∞)上单调递增,所以 a>b>c.
4
1
1
1
3 <3 = ,f(x)在区
,0<3
3
3
命题热点三 函数的图象及其应用
【思考】 如何识别已知函数的图象?如何根据函数的性质判断函数的图
象?
例3(2022全国甲,理5)函数y=(3x-3-x)cos
( A )
π π
x在区间 - , 上的图象大致为
2 2
- ,
2 2
C.是偶函数,且在区间
1
-∞,- 2
上单调递增
D.是奇函数,且在区间
1
-∞,2
上单调递减
∞ 上单调递增
上单调递减
)
(2)(2022新高考Ⅱ,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),
22
f(1)=1,则 ∑ f(k)=(
=1
A.-3
B.-2 C.0
因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,
f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,
所以f(1)+f(2)+…+f(6)=0.
2015届高三人教A版理科数学二轮复习课件2-4-1
则此几何体的表面积S＝S1－S正方形＋S2＋2S3＋S斜面，其中S1
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是长方体的表面积，S2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面 积，S3是三棱柱的一个底面的面积，则S＝(4×6＋3×6＋ 1 3×4)×2－3×3＋3×4＋2×2×4×3＋5×3＝138(cm2)，故选D.
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基 础 记 忆 提 能 专 训
专题四
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立体几何
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基 础 记 忆 提 能 专 训
第一讲
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空间几何体的三视图、表面积及体积
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与俯视图一样．画三视图的基本要求：正(主)、俯一样长，俯、 侧(左)一样宽，正(主)、侧(左)一样高．
[二轮备考讲义]
第二部分 专题四 第1讲
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(2)画直观图的规则：
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画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平 行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半． 2．熟记两组公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：
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4 ④V 球＝3πR3(R 为球的半径)．
[二轮备考讲义]
第二部分 专题四 第1讲
第10页
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高考真题要回访，做好真题底气足
名师伴你行届高考理科数学二轮复习专题突破题能专训第讲统计与统计案例公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
y2 b d b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
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[二轮备考讲义] 第二部分 专题五 第2讲第11页 第11页
基础记忆
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构造一个随机变量 K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，其中 n＝a
＋b＋c＋d.
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
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专项五 概率与统计
[二轮备考讲义] 第二部分 专题五 第2讲第3页 第3页
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第二讲 统计与统计案例
[二轮备考讲义] 第二部分 专题五 第2讲第4页 第4页
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分组
频数 频率
(40,45]
n1
f1
(45,50]
n2
f2
(1)确定样本频率分布表中 n1，n2，f1 和 f2 的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
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[二轮备考讲义] 第二部分 专题五 第2讲第18页 第18页
基础记忆
[二轮备考讲义] 第二部分 专题五 第2讲第10页 第10页
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基础记忆
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3．独立性检验
假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为{x1， x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称 2×2 列联表)为：
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2 易知a2 100 1100 718 482.
因为 700,750 包含存优范围， 所以最优点在区间 700,750 上． 由此知前两次试验结果中，好点是718， 所以此时存优范围取 482,1100， 所以a3 482 1100 718 864， 同理可知第三次试验后，好点仍是718， 此时存优范围是 482,864， 所以a4 482 864 718 628. 同理可求得a5 628 864 718 774.
【点评】 1 极坐标系中的问题一般可以先转化 为直角坐标系中解决，然后还原为极坐标系 中的解． x x0 a b (为参数)的斜率是 ，不 2 直线 a y y0 b 必将参数方 x 1 t cos a 例2已知直线C1： (t为参数)， y t sin a x cos C2： ( 为参数)． y sin
解析： 1 根据极坐标系与直角坐标系互化公式， cos sin 2 x y 2 交点直角 sin cos 2 y x 2 坐标为 0, 2 ，所以交点的极坐标为(2， )． 2 k 2 由直线的参数方程可知，直线l1的斜率为 ， 2 直线l2的斜率为 2. k 因为l1 l2，所以 2 1，即k 1. 2
(t为参数)
3.如果函数f x 在区间[a，b]上只有惟一的最大 (小)值点C，且在点C的两侧单调，并具有相反的 单调性，则函数f x 为区间[a，b]上的单峰函数． 4．把影响试验目标的诸多原因称为因素，如果 在一个试验过程中，只有(或主要有)一个因素在 变化，则称这类问题为单因素问题，表示试验 目标与因素之间对应关系的函数称为目标函数．
专题一选修案例 函数与导数
1．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴 为极轴，建立极坐标系，则点的极坐标( ， )与直 角坐标( x，y )的互化公式是x cos，y sin， 或 x 2 y 2，tan ( x 0)． 2．直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线的参数方程 如下表：
Fn 7．在优选法中，用渐近分数 近似代替0.618 Fn1 确定试点的方法叫做分数法．对目标函数为单峰 的情形，用分数法寻找最佳点时，当因素范围内 有Fn 1 1个试点时，最多只需作n次试验就能找出 其中的最佳点． 8．单因素单峰试验的优选法主要有黄金分割法， 分数法，对分法，盲人爬山法，分批试验法等．
三、单因素单峰试验优选法 例3若某实验的因素范围是 100,1100，现准备 用黄金分割法进行试验找到最优加入量．分别 以an 表示第n次试验的加入量(结果都取整数)．
1 a1 __________ ； 2 若干次试验后的存优范围包含在区间 700,750内，则a5 __________.
曲线 类型
直线
普通方程 y-y0=tana(x-x0) (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
x2 y 2 =1(a>b>0) a 2 b2 x2 y 2 =1(a>0，b>0) a 2 b2
参数方程
x x0 t cos a y y0 t sin a
(t为参数) (为参数)
2 C1的普通方程为x sin a y cos a sin a 0，
故当a变化时，P点轨迹的参数方程为 1 x sin 2a 2 (a 为参数)． y 1 sin a cos a 2 1 2 1 2 P点轨迹的普通方程为( x ) y ， 4 16 1 1 故P点轨迹是圆心为( ，，半径为 0) 的圆． 4 4
一、坐标系与参数方程 例11 在极坐标系( ， )(0 2 )中，曲线
(cos sin ) 2与 (sin cos ) 2的交点的
极坐标为 ____________ ． x 1 2t x s (t为参数)与直线l2： 2 若直线l1： y 2 kt y 1 2s ( s为参数)垂直，则k __________ .
圆 椭圆 双曲 线 抛物 线
x x0 tcosa y y0 tsina
x a cos y b sin
x asec y btan
x 2 pt 2 y 2 pt
( 为参数)
( 为参数)
y2=2px(p>0)
1当a
3 2 过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的 中点．当a 变化时，求P点轨迹的参数方程，并指 出它是什么曲线．
时，求C1与C2的交点坐标；
解析： 1a
3 C2的普通方程为x 2 y 2 1.
时，C1的普通方程为y x 1，
y 3( x 1) 联立方程组 2 ， 2 x y 1 1 3 解得C1与C2的交点为1,0 ， ( ， )． 2 2
5．设x1和x2是因素范围[a，b]内的任意两个试点，C 为最佳点，把两个试点中效果较好的点称为好点， 效果较差的点称为差点．以差点为分界点，把因素 范围分成两部分，其中好点所在部分称为存优范围． 5 1 6．黄金分割常数 0.618.在试验方法中， 2 利用黄金分割常数确定试点的方法叫做黄金分割法， 也叫做0.618法．在确定第n个试点xn时，如果存优范 围内相应的好点是xm，则xn 大 小 xm .用0.618法确 定试点时，n次试验后的精度为 0.618n 1.