数学建模人口预测模型

• 于是x i 1 ( t 1 ) ( 1 d i( t)x i) ( t), i 0 ,1 ,2 , m 1 ,t 0 ,1 ,2 ( 1 )
• bi (t)
•记
为第t 年 i岁女性生育率,即每位女性平均生
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• 生育率, [i1,i2] 为育龄区间,ki (t) 为第t 年 i 岁人口
龄时生育率的高低, 满足
i2
hi(t)1
(6)
ii1
利(用 6)式(对 5)式求和 : 得到
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i2
(t)bi(t) (7) ii1
• 可知 (t)表示第t 年每个育龄妇女平均生育的
人数. 若设在t 年后的一个育龄时期内各个年
龄的女性生育bi率(t)
都不变,那(么t) 又可表
示( 为t ) b i 1 ( t ) b i 1 1 ( t 1 ) b i 2 ( t i 2 i 1 )( 8 )
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•
在控制理论中, X(t)成为状态变量, 可将(t) 作为控
制变量.
•
在稳定的社会环境下可认为死亡率,生育模式和女
性比不随时间变化. 于是A(t), B(t)为常数矩阵,(14)化为
x ( t 1 ) A ( t ) x ( t ) B ( t )x( 1 )5
• 注: 这里有两个明显的人口指数:
,通过 控制生 可以控制生育的早晚和疏
密. 2020/7/22
• 将(5)式代入(4)式,并记
b i ( t ) ( 1 d 0 ( t ) 0 1 d ) 0 ( t ) h ( i ( t ) ) k i ( t )( 9 )
• 则(4)式写作
i2
x 1 (t 1 )(t) b i(t)x i(t)
至7.8亿(1968年的水平)
• 5)若 1 即全国严格执行一对夫妇只生一个孩子
的政策,则在2004年达到最大值10.6亿,50年后降至9.5 亿.
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x ( t 1 ) A ( t ) x ( t ) ( t ) B ( t ) x ( t ) ( 1 )
• 这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程.当初 始人口分布x(0)已知, 又由统计资料确定了A(t), B(t),并
且给定了总和生育率 (t) 以后,用这个方程不难预测人
口的发展方程.
(t)
i1 bi(t)
• 即 是第 t 年 岁的每位妇女一生平均生
育的人数,称为总和生育率, 或生育hi (胎t)次,是控制
人口数量的主要参数. h生i(t育) 模hi式(t) 是 ii岁妇
女生育的加权因子i , 若
表示 岁
妇女的生育率比(t岁)和 妇h女i(t的) 生育率(高t)。制订生
ห้องสมุดไป่ตู้
育育政 的策 多就 少,是通确h过定i (t)
14.2亿, 2080年达到43.1亿,近于当前世界全人口总和.
• 2)若2.3 (约为1980年水平),则2000年将达到
12.9亿,2080年为21.2亿.
• 3)若 2 (大约是保持人口长期稳定的水平), 则
2000年为12.2亿,72年后达到最大值,此后略有下降.
• 4)若1.5 ,则在2007年达到最大值,到2080年降
大周年岁)龄的为人m数岁, t ,记 0 xi, 1 (, t2 ), 为第,t i 年 i岁0 , 1 (满, 2 , i 周, 岁m 而不.到只i考+1
虑由于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移
等社会因素的影响di. (记t )
为第 t年 i 岁人口的死
亡率,即 di(t)xi(t) bix (t)ix(it1 )(t1)
•
如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来
描述. 但在实际应用中连续模型很不方便, 需要建立
相应的离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的,
要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解
也是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来
描述, 用差分方程来实现它.
•
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• 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最
我们可以建立人口的指数增长模型和阻滞增长模
型(Logistic模型), 但是这些模型只考虑人口总数和总
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• 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测 这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人 的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区 目前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例 高于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大 不一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个 变量, 年龄也是一个变量.
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对于i=0将(2),(3)代入(1)得:
i 2
x 1 ( t 1 ) ( 1 d 0 ( t 0 )1 ) d 0 ( ( t )) b i( t ) k i( t ) x i( t ) i i 1 将 bi(t)分解为
( 4 )
bi(t)(t)hi(t) (5)
其hi中 (t)是生育模式, 用于调整育龄妇女在不同年
•
生育模式取 分布的离散值:
h(r) 716 (r 81)4 8 er 2 1,8 r18(1)9
0,
r18
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• 性别比ki (t) 取统计数据的平均值0.487,在不同的总和
生育率 下得到1980---2080年的一系列结果,计算结
果表明:
• 1)若 3 (七十年代中期水平), 则2000年将达到
人口预测与控制
•
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一.
• 一些发展中国家的人口出生率过高, 越来越严重地威 胁着人类的正常生活, 有些发达国家的自然增长率趋 近于零, 甚至变负, 造成劳动力短缺, 也是不容忽视的 问题.
对于我国来说, 尤其为甚.
建立数学模型对人口发展过程进行描述,分析和预 测, 并进而研究控制人口增长和老化的生育策略, 已引 起有关专家, 官员和社会各方面的极大关注和兴趣,是 数学在社会发展中的重要应用领域.
(1)0
• 引入向量,矩阵记号
i i1
x(t)[x1(t),x2(t) , ,xm(t)T]
(1)1
0
0 0 0 0
1d1(t) 0
A(t)
1d2(t)
0
0 1dm1(t) 0
(1)2
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B(t)0 0 0bi1(t)
bi2(t)
00 0
(1)3
0
0mm
• 那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以记作
的女性比, 则第t 年的出生人数为
i2
f(t) b i(t)ki(t)xi(t)
(2 )
•
记 d00(t)
i i1
为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活
到人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在
人口统计和建模中一般都不能忽略),
• 于是
d00(t)f(t)f (tx)0(t)
x 0 ( t ) ( 1 d 0 ( t ) 0 f( ) t ) ( 3 )
• 1)人口总数N(t)
m
•
N (t) xi(t)
•
i0
• 2)平均年龄R(t)
R (t)N 1 (t)i m 0iix (t)
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(1)6
(1)7
• 我国人口总数的预测 用模型(14)根据1978年的统计 资料对我国人口总数作的预测如下:
•
死亡率用下列公式外推:
i( t) i( 1i( 1 ) 9 1 [ ( ) t 9 7 17 8 ) 1 9 8 3 5 ]0 7 i i 5 5 8 ,i 5 00 ( 1 )8