高中数学必修一模块检测
高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册
模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．2 2B ．10C ．3D ．4【答案】C【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22＋－12＋22＝3．2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →)等于( )A ．AD →B ．FA →C ．AF →D ．EF →【答案】C【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →．3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －12，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，∴－m2×(－1)＝－1，即m ＝－2．4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )A ．－9B ．1C ．1或－2D ．1或－9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为坐标原点)，则y 20的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4c 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 4c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2c 2，＋∞ 【答案】A【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2＋b 2，所以x 20＋y 20≤a 2＋b 2，又因为x 20a 2－y 20b2＝1，消去x 2得0≤y 20≤b 4a 2＋b 2，所以0≤y 20≤b 4c2．6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因为0＜e ＜1，所以可得e ＝32． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16，则OC →·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →＝(x －2，y －2，z )，EF →＝(－22，22，0)，由cos 〈EF →，BC →〉＝EF →·BC→|EF →||BC →|＝－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →|＝3，得x 2＋y 2＝x －22＋y －22，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝24，y ＝324，则OC →·OF →＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A ．22B ．1－22C ．1＋22D ．2＋ 2【答案】D【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab a ＋b 2＝1－2－2aba ＋b 2≥1－2－2ab 2ab2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0,1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 22＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝6，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2||x M |＝12×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )A ．(0，2)B ．(1，2－1)C ．(2，0)D ．(2－1,1)【答案】AC【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．故选AC ．12．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，因为16＋512＋512＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，所以不正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．【答案】(1,1，－1)3【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12＋－12＋12＝3．14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．【答案】(x ＋1)2＋(y －2)2＝1【解析】圆C ：(x －1)2＋y 2＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b2＋1＝0，ba －1＝－1，解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．【答案】32【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距离为32．16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)， 则B (6，－4,5)．OC →＝OB →＋BC →＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →＝(－7,1，－7)，又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解：(1)k BC ＝－5－－16－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－65．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56．∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11． 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减， 得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －p 2＝0，由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2＝－4， 所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2＝4y ．(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |， 得x 23＋(y 3－t )2＝x 24＋(y 4－t )2．因为x 23＝4y 3，x 24＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2＝4y 4＋(y 4－t )2， 即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)， 所以－4＝y 3＋y 4－2t ．又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝34|x 1－x 2|．由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 所以S △MNT ＝34|x 1－x 2|＝34x 1＋x 22－4x 1x 2＝3416k 2－4×－4＝3k 2＋1≥3． 所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ． 又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)． 设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a )，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量， 则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1， 又因为a 2－b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)存在定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下： 设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)，则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m 4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m2． 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数． 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0， 所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0， 整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0． 从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m2＝0，11 即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意． 综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。
人教版高中数学必修一第一章单元测试(含答案)
高中数学《必修一》第一章教学质量检测卷佛冈中学全校学生家长的全体 1、下列各组对象中不能构成集合的是（）A 、佛冈中学高一（20）班的全体男生B 、C 、李明的所有家人D 王明的所有好朋友 选择 （将 题的 填入2、 已知集合A x R|x 5 ,B x R x 1 ,那么AI B 等于3、4、5、 A 、6、 7、 A. C. {2, 2,3,4,5 3,4} D.B.2, 3,4,12,3,4,5,6,7,8 ，集合 A {1,2,315}, 设全集U 则图中的阴影部分表示的集合为（）A. 2B. 4,6C. 1,3,5D. 4,6,7,8 下列四组函数中表示同一函数的是 A. f(x) x , g(x) (Tx )2B. f (x) C. f (x)廉,g(x) |x|D. f(x) 函数 f(x)= 2x 2- 1 , x? (0,3) o1B 1C 、2D B {2,4,6} ()x 2,g(x) x 1 0 , g(x) < x 1 ■. 1 x若f （a ）= 7,则a 的值是（） x 2,(x 0)血 设f(x) !,(x 0),则f[f(1)]() A 3B 1C.0D.-1 函数f （x ） = . x + 3的值域为（） A 、[3 , +x ） B 、（一x, 3]C 、[0 , +x ）D R 8、下列四个图像中，不可能是函数图像的是 （） 9、设f （x ）是R上 的偶函数，且在 [0,+ x ）上单调 递增，则f(-2),f(3),f(- )的大小顺序是：() A f(- )>f(3)>f(-2)B 、f(- )>f(-2)>f(3) C 、f(-2)>f(3)>f(- )D 、f(3)>f(-2)>f(- ) 10、在集合｛a , b , c , d ｝上定义两种运算 和 如下:那么 b (a c)() A. aB. bC. cD. d二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11、 函数y 1 (x 3)0的定义域为12、 函数f(x) x 2 6x 10在区间［0,4］的最大值是Q I /'13、 若 A { 2,2,3,4} , B {x|x t 2,t A}，用列举法表示 B 是.14、 下列命题：①集合a,b,c,d 的子集个数有16个；②定义在R 上的奇函数f(x)必满足f (0) 0 ; ③f(x) 2x 1 2 2 2x 1既不是奇函数又不是偶函数；④偶函数的图像一定与y 轴相交；⑤f(x)」x在 ,0 U 0, 上是减函数。
新教材人教B版高中数学选择性必修第一册各章综合测验及模块测验含答案解析
人教B 选择性必修第一册综合测验第一章 空间向量与立体几何............................................................................................ 1 第二章 平面解析几何 .................................................................................................... 15 模块综合测验 . (28)第一章 空间向量与立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B .等长的向量C.共面向量 D .不共面向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又∵AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,C 正确,D 不正确. 2.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a ∥c ,b ∥c B.a ∥b ,a ⊥c C.a ∥c ,a ⊥b D.以上都不对a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),∴a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b .∵-4-2=-6-3=21,∴a ∥c .3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图所示,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD.M ,G 分别是BC ,CD 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗C.AG ⃗⃗⃗⃗⃗D.MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗M ,G 分别是BC ,CD 的中点,∴12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.在四棱锥P-ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于 ( )A.1 B .2C.13D .26ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -2y +3z =0,-4x +y =0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n =(3,12,4), 四棱锥的高h=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=2613=2.6.已知两不重合的平面α与平面ABC ,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能,n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n 1⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×1+1×1=0,得n 1⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n 1⊥平面ABC ,所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线,则平面α∥平面ABC.7.直线AB 与直二面角α-l-β的两个面分别交于A ,B 两点,且A ,B 都不在棱l 上,设直线AB 与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是( ) A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90° C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°,分别过点A ,B 向平面β,α作垂线,垂足为A 1,B 1,连接BA 1,AB 1.由已知α⊥β,所以AA 1⊥β,BB 1⊥α,因此∠BAB 1=θ,∠ABA 1=φ.由最小角定理得∠BAA 1≥θ,而∠BAA 1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA 1≤90°,当AB ⊥l 时,θ+φ=90°,应选B .8.长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}中元素的个数为( )A.1 B .2 C .3 D .4长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系, 则A 1(1,1,0),A 2(0,1,0),A 3(0,0,0),A 4(1,0,0), B 1(1,1,2),B 2(0,1,2),B 3(0,0,2),B 4(1,0,2), 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4,与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3, A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,综上集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.设向量a ,b ,c 可构成空间一个基底,下列选项中正确的是( ) A.若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z cD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z c,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=√59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=√59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH解析设正方体的棱长为1,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,1),E (1,12,0),C (0,1,0),F (0,1,12),C 1(0,1,1),H 0,12,1,G (12,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1),CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,1), 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,所以A 1E 与AC 1不垂直,故A 错误; 显然平面ADD 1A 1的一个法向量v =(0,1,0), 有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0,所以BF ∥平面ADD 1A 1,故B 正确; BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BF ⊥DG ,故C 正确; A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1E ∥CH ,故D 正确. 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°;④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确的结论有( ) A.① B.②C.③D.④,建立空间直角坐标系Oxyz ,设正方形ABCD 的边长为√2,则D (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,1),A (0,1,0),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AC ⊥BD ,①正确.又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以△ACD 为等边三角形,②正确. 对于③,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCD 的一个法向量, cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√1=√2=-√22.因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB 与平面BCD 所成的角为45°,故③错误.又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB 与CD 所成的角为60°,故④正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正四面体中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . -a 22a 的正四面体中,AB=BC=a ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,AC ⊥BD.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·a cos120°+0=-a22.14.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则xy= .2a +2b =(1+2x ,4,-y+4),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),因为(a+2b )∥(2a-b ),所以存在λ∈R 使得1+2x=λ(2-x )且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PA ⊥Rt △ABC 所在的平面α,∠BAC=90°,PB ,PC 分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA 与BC 的距离是 ;点P 到BC 的距离是 . √3 √7AD ⊥BC 于点D ,∵PA ⊥面ABC ,∴PA ⊥AD.∴AD 是PA 与BC 的公垂线.易得AB=2,AC=2√3,BC=4,AD=√3,连接PD ,则PD ⊥BC ,P 到BC 的距离PD=√7. 16.已知向量m =(a ,b ,0),n =(c ,d ,1),其中a 2+b 2=c 2+d 2=1,现有以下命题:①向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值(即与c ,d 无关); ②m ·n 的最大值为√2;③<m ,n >(m ,n 的夹角)的最大值为3π4;④若定义u ×v =|u |·|v |sin <u ,v >,则|m×n |的最大值为√2. 其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)取z 轴的正方向单位向量a =(0,0,1),则cos <n ,a >=n ·a|n ||a |=√c 2+d 2+12×1=√2=√22,∴向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值π4,命题正确;②m ·n =ac+bd ≤a 2+c 22+b 2+d 22=a 2+c 2+b 2+d 22=1+12=1,当且仅当a=c ,b=d 时取等号,因此m ·n 的最大值为1,命题错误;③由②可得|m ·n |≤1,∴-1≤m ·n ≤1, ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n | =√a 2+b 2·√c 2+d 2+12≥-1×√2=-√22, ∴<m ,n >的最大值是3π4,命题正确; ④由③可知:-√22≤cos <m ,n >≤√22,∴π4≤<m ,n >≤3π4,√22≤sin <m ,n >≤1,∴m×n =|m|×|n|×sin <m ,n >≤1×√2×1=√2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+12c , |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-12a+12b+12c 2 =14(a 2+b 2+c 2-2a ·b-2a ·c+2b ·c )=174. 所以|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长为√2. (1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1;(2)设AB 1与BC 1所成的角为π3,求侧棱的长.1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BB 1⊥平面ABC , 所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又△ABC 为正三角形,所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-π3=2π3. 因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1=0, 所以AB 1⊥BC 1.(1)知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12,所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求向量c ; (2)已知向量k a +b 与b 互相垂直,求k 的值; (3)求△ABC 的面积.∵空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), ∵|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴c =m BC⃗⃗⃗⃗⃗ =m (2,1,-2)=(2m ,m ,-2m ), ∴|c |=√(2m )2+m 2+(-2m )2=3|m|=3,∴m=±1,∴c =(2,1,-2)或c =(-2,-1,2). (2)由题得a =(-1,-1,0),b =(1,0,-2),∴k a +b =k (-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k ,-k ,-2),∵向量k a +b 与b 互相垂直,∴(k a +b )·b =1-k+4=0,解得k=5.∴k 的值是5. (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,-2), cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√5=-√10,sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-110=√10,∴S △ABC =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32.20.(12分)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).如图,连接BG ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由共面向量定理的推论知E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以EH ∥BD ,又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH.(3)连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG , 由(2)知EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 同理FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG⃗⃗⃗⃗⃗ , EH ∥FG ,EH=FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1212(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E ,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1. (1)证明:BF ⊥DE ;(2)当B 1D 为何值时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小?如图,连接A 1E ,取BC 中点M ,连接B 1M ,EM.∵E ,M 分别为AC ,BC 中点, ∴EM ∥AB.又AB ∥A 1B 1,∴A 1B 1∥EM ,则点A 1,B 1,M ,E 四点共面,故DE ⊂平面A 1B 1ME.又在侧面BCC 1B 1中,△FCB ≌△MBB 1,∴∠FBM=∠MB 1B. 又∠MB 1B+∠B 1MB=90°,∴∠FBM+∠B 1MB=90°,∴BF ⊥MB 1.又BF ⊥A 1B 1,MB 1∩A 1B 1=B 1,MB 1,A 1B 1⊂平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥DE.(2)∵BF ⊥A 1B 1,∴BF ⊥AB ,∴AF 2=BF 2+AB 2=CF 2+BC 2+AB 2=9. 又AF 2=FC 2+AC 2,∴AC 2=8,则AB ⊥BC.如图,以B 为原点,BC ,BA ,BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (2,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),F (2,0,1).则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-1,2),设DB 1=t ,则D (0,t ,2),0≤t ≤2.则平面BB 1C 1C 的法向量为m =(0,1,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -y +z =0,-x +(t -1)y +2z =0,∴n =(1+t ,3,2-t ). 则cos <m ,n >=√(1+t )+32+(2-t )=√2t 2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=1时二面角的余弦值最大,2时二面角正弦值最小.则B1D=1222.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平AD=1,CD=√3.面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?AD,AD∥BC,Q为AD的中点,BC=12∴BC∥QD,BC=QD,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴BQ∥CD.∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ.∵PA=PD,AQ=QD,∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,∴PQ ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q,∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PQB.(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-√3), PC=√(-1)2+(√3)2+(-√3)2=√7.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,-√3λ),且0≤λ≤1,得M (-λ,√3λ,√3−√3λ),∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,√3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{-λx +√3λy +√3(1-λ)z =0,√3y =0.令x=√3,则y=0,z=λ1-λ,∴平面MBQ 的一个法向量为m =√3,0,λ1-λ. 设平面PDC 的法向量为n =(x',y',z'),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√3y '=0,x '+√3z '=0.令x'=3,则y'=0,z'=-√3,∴平面PDC 的一个法向量为n =(3,0,-√3).∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos60°=|n ·m ||n ||m |=|3√3-√3·λ1-λ|√12·√3+(λ1-λ) 2=12,∴λ=12.∴PM=12PC=√72.即当PM=√72时,平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.第二章 平面解析几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2C.3D.4cos 2θ+sin 2θ=1,∴P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A (2,0),∴d 的最大值为|OA|+1=2+1=3,故选C .2.已知点P (-2,4)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)P (-2,4)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知直线l 1:x cos 2α+√3y+2=0,若l 1⊥l 2,则l 2倾斜角的取值范围是( ) A.[π3,π2) B.[0,π6] C.[π3,π2] D.[π3,5π6]l 1:x cos 2α+√3y+2=0的斜率k 1=-2√3∈[-√33,0],当cos α=0时,即k 1=0时,k 不存在,此时倾斜角为12π,由l 1⊥l 2,k 1≠0时,可知直线l 2的斜率k=-1k 1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l 2倾斜角的取值范围为[π3,π2].4.(2021全国乙,文11)设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( ) A.52 B.√6 C.√5 D.2方法一)由椭圆方程可得a=√5,b=1,故椭圆的上顶点为B (0,1).设P (x ,y ),则有x 25+y 2=1, 故x 2=5(1-y 2),由椭圆的性质可得-1≤y ≤1.则|PB|2=x 2+(y-1)2=5(1-y 2)+(y-1)2=-4y 2-2y+6=-4y 2+y2+6=-4y+142+254.因为-1≤y ≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52. (方法二)由题意可设P (√5cos θ,sin θ)(θ∈R ),又B (0,1),则|PB|2=5cos 2θ+(sin θ-1)2=5cos 2θ+sin 2θ-2sin θ+1=-4sin 2θ-2sin θ+6,于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4×116-2×(-14)+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.在一个平面上,机器人到与点C (3,-3)的距离为8的地方绕C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A (-10,0)与B (0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 B.8√2+8C.8√2D.12√2C (3,-3)距离为8的地方绕C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点C 的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;∵A (-10,0)与B (0,10),∴直线AB 的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0, 则圆心C 到直线AB 的距离为d=√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.6.设P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积是7,则a+b 等于( ) A.3+√7 B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{ 12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴a=3,c=4.∴b=√c 2-a 2=√7.∴a+b=3+√7.7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h ,跨径为a ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x 2=-2py (p>0).∵该抛物线经过点(a2,-ℎ),代入抛物线方程可得a 24=2hp ,解得p=a 28ℎ.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a 28ℎ.8.平面直角坐标系中,设A (-0.98,0.56),B (1.02,2.56),点M 在单位圆上,则使得△MAB 为直角三角形的点M 的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k AB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则k l1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bAB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.3√2+1D.8y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为√(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2P(x,y),则k PA+k PB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),所以曲线C 是中心对称图形,不是轴对称图形,故C 正确,A 错误;由x 2-xy=4>2=x 2+y 2,所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 正确; 由x 2-xy=4可知,x ∈R 且x ≠0,x ≠±2,故D 错误. 12.已知P 是椭圆E :x 28+y 24=1上一点,F 1,F 2为其左右焦点,且△F 1PF 2的面积为3,则下列说法正确的是 ( )A.P 点纵坐标为3B.∠F 1PF 2>π2C.△F 1PF 2的周长为4(√2+1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(√2-1)P 点坐标为(x ,y ),S=12×2c×|y|=12×4×|y|=3,得y=32或y=-32,故A 错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b 2tan θ2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan θ2=3,得tan θ2=34,则θ2<π4,∠F 1PF 2<π2,故B 错误;C △F 1PF 2=2a+2c=4(√2+1),故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为R ,12R (4√2+4)=3,得R=32(√2-1),故D 正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P (1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .4x 或y=x+3,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l 的方程为y=4x ;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a ,把点P (1,4)代入可得1-4=a ,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x 或y=x+3.14.若双曲线x 2m −y 2m -5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m 的值为 .或-2c=3,当双曲线的焦点在x 轴上时,m>5,c 2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y 轴上时,m<0,c 2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .√3(x-1)163F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (a ,b ),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(a-1,b )=(3a-3,3b ),则3a-3=-2,m=3b ,即a=13,此时b 2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C (-1,-2√3),则AB 的斜率k=2√32=√3,则直线方程为y=√3(x-1),代入y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163.16.已知点O (0,0),A (4,0),B (0,4).若从点P (1,0)射出的光线经直线AB 反射后过点Q (-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M (m ,0),m ∈(0,4)射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是 (结果用m 表示).2y+2=0 √2m 2+32,设点P 1(a ,b )与点P (1,0)关于直线AB 对称,则P 1在反射光线所在直线上,又由A (4,0),B (0,4),则直线AB 的方程为x+y=4,则有{ba -1=1,a+12+b2=4,解得{a =4,b =3,即P 1(4,3), 反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12, 则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M 1(a 0,b 0)与点M 关于直线AB 对称,点M 2与M 关于y 轴对称,易得M 2(-m ,0); 线段M 1M 2的长度就是光线所经过的路程,则有{b 0a 0-m=1,m+a2+b 02=4,解得{a 0=4,b 0=4-m ,即M 1(4,4-m ),又由M 2(-m ,0),则|M 1M 2|=√(4+m )2+(4-m )2=√2m 2+32.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,4),B (0,-5),C (10,0),线段AC 的垂直平分线为l.(1)求直线l 的方程;(2)点P 在直线l 上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P 的坐标.直线AC 的斜率为k AC =4-02-10=-12,所以直线l 的斜率为k 1=2,直线AC 的中点为(6,2),所以直线l 的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A 关于直线l 的对称点为点C ,所以直线BC 与直线l 的交点即为|AP|+|BP|最小的点.由B (0,-5),C (10,0)得直线BC 的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程{x -2y -10=0,2x -y -10=0,解得{x =103,y =-103,所以点P 的坐标为(103,-103). 18.(12分)已知直线l :ax-y-3a+1=0恒过定点P ,过点P 引圆C :(x-1)2+y 2=4的两条切线,设切点分别为A ,B.(1)求直线AB 的一般式方程;(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.∵直线l :y-1=a (x-3).∴直线l 恒过定点P (3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A (3,0). 由圆的性质可知AB ⊥PC ,∵k PC =1-03-1=12,∴k AB =-2,所以直线AB 的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0. (2)由题意知|PC|=√(3-1)2+(1-0)2=√5.∵PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,所以四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,PC 的中点坐标为(2,12),所以四边形PACB 的外接圆为(x-2)2+(y -12)2=54.19.(12分)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2到渐近线距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2,解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0.(2)因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,相减得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3,得b 2=48. 由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.抛物线x 2=2py 的焦点为(0,p2),所以直线AB 的方程为y=√24x+p 2, 联立{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x ,得4y 2-5py+p 2=0,所以y 1+y 2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y 1+y 2+p=9,即5p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x 2=8y. (2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0, 可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,故x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C 为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值.在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p ,故p=2,C 的方程为y 2=4x.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).又F (1,0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 2,-y 2). 因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 2-x 1=9(1-x 2),y 2-y 1=-9y 2, 得x 1=10x 2-9,y 1=10y 2.又因为点P 在抛物线C 上,所以y 12=4x 1,所以(10y 2)2=4(10x 2-9), 则点Q 的轨迹方程为y 2=25x-925. 易知直线OQ 的斜率存在.设直线OQ 的方程为y=kx ,当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由{y =kx ,y 2=25x -925,得k 2x 2=25x-925,即k 2x 2-25x+925=0,(*)当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(-25)2-4k 2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ 斜率的最大值为13. 22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∵内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b ,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得ca =c 'b ,c'=bca ,b'2=b 2-c'2=b 2-b 2c2a 2=b 2(a 2-c 2)a 2=b 4a 2.∴内椭圆的方程为y 2b 2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S 外=3S 内,即πab=3πb ·b 2a 得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),故e=√63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.设点M (x 0,y 0),切线方程为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得,(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-9]=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.模块综合测验一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3,则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,若点Q (-1,-1),那么|PQ|的取值范围为( ) A.[√2,3√2] B.[√2,2√2] C.[2√2,3√2] D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0,故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则p2则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|SA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33,∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4.又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误;过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b|a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为√5B.C的离心率为√306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.。
高中数学选择性必修一 第1章 章末检测试卷(一)
解析 由l∥α，故a⊥μ，即a·μ＝0，故选D.
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3.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则
—→ → AO1 ·AC
7.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1).若c
为平面α的法向量，则m，n的值分别为
√A.－1,2
B.1，－2
C.1,2
D.－1，－2
解析 c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1) ＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)， 由 c 为平面 α 的法向量，得cc··ba＝＝00，， 即3mm＋＋5nn＋－19＝＝00，， 解得mn＝＝2－. 1，
15.在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线
5 BC1与直线AB1所成角的余弦值为___5___.
解析 不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1). ∴—BC→1 ＝(0,2，－1)，—AB→1 ＝(－2,2,1).
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4.已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(03
C.4
D.5
解析 设BC边的中点为D，
则A→D＝12(A→B＋A→C)＝(－1，－2,2)， 所以|A→D|＝ 1＋4＋4＝3.
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高中数学选择性必修一选择性必修第一册模块检测B(解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典选择性必修第一册 模块检测B 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。
其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。
一、单选题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是底面ABCD 上（含边界）一动点，满足11A P AC ⊥，则线段1A P 长度的取值范围（ ）A ．2⎣B ．2⎣C ．⎡⎣D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理可以证明1AC ⊥平面1BDA ，这样可以确定P 的轨迹，利用平面几何的知识求出1A P 的最值，选出答案. 【详解】因为1CC ⊥底面ABCD ，DB ⊂底面ABCD ，所以1CC BD ⊥，底面ABCD 是正方形，所以有CA BD ⊥，1CC CA C ⋂=，1,CC CA ⊂平面1CC A ，因此有BD ⊥平面1CC A ，1AC ⊂平面1CC A ，所以有1BD AC ⊥，同理可证明出11AC DA ⊥，因为1BD DA D ⋂=，1,BD DA ⊂平面1BDA ，所以1AC ⊥平面1BDA ，所以点P 的轨迹就是线段BD ，所以P 在B 或D 时1A P ，在BD 中点时1A P 故选：A 【点睛】本题考查了空间点的轨迹问题，考查了线面垂直的判定定理，考查了推理论证能力.2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为且双曲线的一条渐近线与直线20x y +=平行，则双曲线的方程为（ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．221164x y -=D ．22331520x y -=【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2x +y ＝0平行，求出几何量a ，b ，c ，即可求出双曲线的方程． 【详解】∵双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为且双曲线的一条渐近线与直线2x +y ＝0平行，∴2ba=-， ∴b ＝-2a ， ∵c 2＝a 2+b 2， ∴a ＝1，b ＝2，∴双曲线的方程为2214y x -=．故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．3．设点()2,3A -，()3,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥或4k ≤- B ．344k -≤≤ C ．344k ≤≤ D ．以上都不对【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，即10kx y k -+-=，由一元二次不等式的几何意义可得(231)(321)0k k k k ++--++-，解可得k 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，设直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，即10kx y k -+-=， 直线l 过(1,1)P 且与线段AB 相交，则A 、B 在l 的两侧或在直线上， 则有(231)(321)0k k k k ++--++-，即(4)(43)0k k +-， 解得：34k或4k -， 故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次不等式表示平面区域的问题，注意直线与线段相交，即线段的2个端点在直线的两侧或在直线上．4．若圆22:2430C x y x y ++-+=关于直线620ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由题意圆C 的圆心()1,2-在直线620ax by ++=上，可得2260a b -++=，即点(),a b 在直线:30l x y -++=上，过点作圆C 的切线，切点为E ，则DE ==CD最短，可得答案. 【详解】由将圆C 的方程化为标准方程为：()()22122x y ++-=，圆心为()1,2-，因为圆C 关于直线620ax by ++=对称，所以圆心位于该直线上，将圆心坐标代入直线方程中， 有2260a b -++=，即点(),a b 在直线:30l x y -++=上， 设(),D a b ，过点作圆C 的切线，切点为E则DE ==要使得切线DE 长最短，则只需CD 最短.CD 的最小值为过点C 作直线:30l x y -++=的垂线.此时CD ==CE r ==所以根据勾股定理，得4DE ==. 故选：C【点睛】本题考查了求圆的切线长,解题关键是掌握圆的定义和圆切线的长的求法,,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.5．已知圆C 经过原点O 且圆心在x 轴正半轴上，经过点()2,0N -且倾斜角为o 30的直线l 与圆C 相切于点Q ，点Q 在x 轴上的射影为点P ，设点M 为圆C 上的任意一点，则MNMP=（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】分析：根据题干写出直线方程，再利用直线与圆相切求出圆心坐标为(2,0)，写出圆的方程，得出P 点坐标，设(,)M x y ，并将圆的方程代入MN MP可求得值为2.详解：由题可知直线3:2)3l y x =+，即320x +=， 设圆心(,0)(0)C a a >221(3)a =+，解得2a =.所以圆C 的方程为：22(2)4x y -+=，将3:(2)3l y x =+代入圆C 的方程，可解得1p x =，故(1,0)P ， 设(,)M x y ，则2222222222||(2)44||(1)21MN x y x y x MP x y x y x +++++==-++-+， 将圆C 的方程224x y x +=代入得222222||44844||2121MN x y x x MP x y x x ++++===+-++， 所以2MN MP=，故选C.点睛：已知直线方程:0l Ax By C ++=，和圆的方程222:()()C x a y b r -+-=，且设圆心(,)a b 到直线l 的距离为d ，则d r <⇔直线与圆相交；d r =⇔直线与圆相交.6．设P 为直线34130x y -+=上的动点，PA 、PB 为圆()()22:211C x y -+-=的两条切线，A 、B 为切点，则四边形APBC 面积的最小值为（ ）A ．2B ．22C ．10D ．210【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，求得PA 的最小值，进而可求得四边形APBC 面积的最小值. 【详解】 如下图所示：易知圆心()2,1C ，圆的半径为1，由圆的几何性质可得AC PA ⊥， 由勾股定理得21PA PC =-PC 取最小值时，PA 最小，PC 的最小值为点C 到直线34130x y -+=的距离()22324113334d ⨯-⨯+==+-，2min 3122PA ∴=-=由切线长定理得PA PB =，又AC BC =，PC PC =，PAC PBC ∴≅△△，所以，四边形APBC 面积12212PAC S S PA ==⨯⨯≥△. 故选：B. 【点睛】本题考查两切线围成的四边形面积最值的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．已知1F ，2F 是椭圆C ：22214x yb+=的左、右焦点，离心率为12，点A 的坐标为3(1,)2，则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为（ ）A ．2B ．1C D【答案】A 【解析】 【分析】由题得：24a =，结合12e =得出椭圆方程，根据角平分线的性质，过点1F 作角平分线的对称点F ,由中点坐标公式求出1F F 的中点Q ，即可求得12F AF ∠的平分线所在直线的斜率. 【详解】由题可知：24a =，22224c a b b =-=-，已知12e =，则22224144c b e a -===，得出23b =，所以椭圆方程为：22143x y +=.焦点()11,0F -,()21,0F 而31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，即：2AF x ⊥轴.232AF =,又因为:1224AF AF a ===得152AF =, 设：12F AF ∠的角平分线所在直线为l ， 则点1F 关于l 的对称的点为F ,所以：F 在2AF 的延长线上，但152AF AF ==，则21FF = 所以：()1,1F -设1F F 的中点为Q ，有10,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得出AQ 所在直线的斜率3122210AQk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-， 即12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为2. 故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，利用了椭圆的几何性质、离心率和角平分线的性质，以及中点坐标公式和斜率公式相结合.8．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，设点(),H H H x y ，(,)G G G x y 分别为12AF F △，12BF F △的内心，若3H G y y =，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．2]C ．(1,2]D ．(1,2)【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，由双曲线的定义及内切圆的性质可得1212AF AF F F FF -=-，即H x a =，同理可得G x a =，从而可得12HG F F ⊥，再由3H G y y =，可得3FH FG =，设直线AB 的倾斜角为θ，在2Rt F FG △和2Rt F FH △中，分别将FH ,FG 用θ表示代入即可求出直线AB 的斜率，再结合直线AB 与双曲线右支交于两点，即可求出3ba<. 【详解】不妨设直线AB 的斜率大于0．如图:连接HG ．2HF ，2GF ，设12AF F △的内切圆与三边分别切于点D ，E ，F ，则12121212()AF AF AD DF AE EF DF EF F F FF -=+-+=-=-，所以2()H H a c x c x =+--，即H x a =，同理可得G x a =，所以12HG F F ⊥， 设直线AB 的倾斜角为θ，在2Rt F FG △中，2tan ()tan22FG FF c a θθ==-，在2Rt F FH △中，2tan()tan 222FH FF c a πθπθ-⎛⎫==-⋅- ⎪⎝⎭，又3H G y y =，所以3FH FG =， 即()tan 3()tan 222c a c a πθθ⎛⎫--=-⎪⎝⎭，解得3tan 2θ=所以22tan2tan 31tan 2==-θθθAB 3由题意，直线AB 与双曲线右支交于两点，故3ba< 所以21(1,2)c b a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选:D 【点睛】本题主要考查了结合平面几何知识求双曲线的离心率的取值范围，属于难题.二、多选题9．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26面ABCD 为矩形，23CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为23C ．三棱锥B ACQ -的体积为62D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD 【解析】 【分析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴， 建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(6,0,0),(6,0,0)O D A -，(0,0,32),6,23,0),(6,23,0)P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以632Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，632(23,2QC =，显然 m 与QC 不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,22PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则36022260n AQ x zn AC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令=1x ，则y z ==所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===， 所以cos 3θ=，所以B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V SOP --==⋅1116322=⨯⨯⨯=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD =，所以2222222a a ⎛++-=++ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，x ，所以22362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得224x =，所以正四面体的表面积为2342434x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.10．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（ ）A ．()1112DA A A B A BC =-+ B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于22AC C ．异面直线AD 与1BC 6D ．若点E 到平面11ACC A 的距离等于32EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【解析】 【分析】【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,，002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以122a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，122a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即22202a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b a =． 因为//DE 平面11ABB A ，则动点E的轨迹的长度等于1BB =．选项B 正确． 对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，00B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，12a BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，因为2111cos ,6||||aBC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成角的余弦值C 正确． 对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1E F 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A EB ，即有1E F EB =，又因为在1CE F ∆中，11E F C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用. 11．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3--B ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点()1,2C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =D ．圆224x y +=上存在4个点到直线:20l x y -+=的距离都等于1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点()3,3-，判断A 错误；求出直线方程()2402ym x y -+-=，判断直线AB 经过定点(1,2)，B 正确；根据两圆外切，三条公切线，可得C 正确；根据圆心(0,0)到直线1:20x y -+=的距离等于1，判断D 错误. 【详解】对于A ，直线方程可化为(3)3430m x x y +++-=，令30x +=，则3430x y +-=，3x =-，3y =，所以直线恒过定点()3,3-，A 错误；对于B ，设点P 的坐标为(,)m n ，所以，142m n+=，以OP 为直径的圆的方程为220x y mx ny +--=，两圆的方程作差得直线AB 的方程为：4mx ny ，消去n 得，()2402ym x y -+-=，令02yx -=，240y -=，解得1x =，2y =，故直线AB 经过定点(1,2)，B 正确； 对于C ，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线2220C :x y x ++=化为标准式得，22(1)1x y ++=曲线222480C :x y x y m +--+=化为标准式得，22(2)(4)200x y m -+-=->所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即15+，解得4m =，C 正确；对于D ，因为圆心(0,0)到直线1:0x y -=的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线1:0x y -=的距离等于1，D 错误；故选：BC ． 【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．12．已知点P 是双曲线22:1169x y E -=的右支上一点，12F F 双曲线E 的左、右焦点，12PF F △的面积为20，则下列说法正确的有( ) A ．点P 的横坐标为203B ．12PF F △的周长为803C ．12F PF ∠小于3π D ．12PF F △的内切圆半径为32【答案】ABCD 【解析】 【分析】在焦点三角形中利用1212211222tan 2P P F F PF F b Sc y r Cθ=⋅==⋅⋅三种表达形式，可判定ACD 选项正确，由两点间的距离公式表示2PF ，利用双曲线的定义表示1PF ，从而表示12PF F △的周长，即可判定B 选项正确. 【详解】因为双曲线22:1169x y E -=，所以5c ==又因为12112102022P P F P F Sc y y =⋅=⋅⋅=，所以4P y = 将其代入22:1169x y E -=得2241169x -=，即203x =，所以选项A 正确；所以P 的坐标为20,4⎛⎫± ⎪，由对称性可知213PF ==,由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+= 所以1212133721038033PF F CPF PF c =++=++=，所以选项B 正确；因为122920tantan22PF F b Sθθ===，所以93tantan 22036θπ=<=， 即26θπ<，所以123F PF πθ∠=<，所以选项C 正确；因为1212180122320PF F PF F Sr C r =⋅⋅=⋅⋅=，所以32r =，所以选项D 正确.故选：ABCD 【点睛】本题考查双曲线的焦点三角形问题，主要涉及面积公式的变形应用和双曲线的定义使用，属于难题.三、填空题13．在y 轴上的截距为6-，且与y 轴的夹角为30的直线方程是__________． 【答案】36y x =-或36y x =--【解析】试题分析：因为与y 轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60120︒︒或，3-3或所以又与y 轴上的截距为－6，所以直线方程为36y x =-或36y x =--．考点：直线的方程14．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点(1,0),(0,3),B C AB AC -=，则△ABC 的欧拉线方程为____________________ 【答案】340x y +-=【分析】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段BC 的垂直平分线的斜率，由中点坐标公式得出BC 的中点坐标，最后由点斜式写出方程. 【详解】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上 设线段BC 的垂直平分线的斜率为k ，则1BC k k ⨯=-3030(1)BC k -==--，13k ∴=-又因为BC 的中点坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 所以△ABC 的欧拉线方程为311()232y x -=-+，即340x y +-= 故答案为：340x y +-= 【点睛】本题主要考查了两直线垂直斜率间的关系，中点坐标公式，点斜式写出直线方程，属于中档题. 15．如图，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线0l 与x 轴交于点M ，过M 点且斜率为k的直线l 与抛物线C 交于第一象限内的A ，B 两点，若54AM AF =，则cos AFB ∠=______.【答案】18【解析】 【分析】过点A 作0AE l ⊥，垂足为点E ，抛物线的定义知AE AF =，在Rt AME △中，利用题干条件和三角函数可得3tan 4MAE =∠，3sin 4AFN =∠，同理可得3sin 4BFx ∠=，由()cos cos 2AFB AFN π∠=-∠即可得出答案.如图所示，过点A 作0AE l ⊥，垂足为点E . 由抛物线的定义知AE AF =， 在Rt AME △中，∵54AM AF =，∴4cos 5MAE =∠， ∴3tan 4MAE =∠.过点A 作AN x ⊥轴，垂足为点N ，则3sin tan 4AN EM AF AF E N MAE A ∠∠====， 同理得3sin 4BFx ∠=，∴()21cos cos 22sin 18AFB AFN AFN π∠=-∠=∠-=. 故答案为：18【点睛】本题考查了抛物线的定义、直角三角形的边角关系、三角函数、直线的斜率等基础知识与基本技能方法的综合应用，属于中档题.16．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的离心率为______.【答案】62【解析】 【分析】本题首先可根据题意绘出图像并设出M 点坐标为()11,M x y ，然后通过圆与双曲线的对称性得出1212F F MF F NSS，再根据“点()11,M x y 即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出21b y c，然后根据图像以及232S p =可得22Sb 和8p b ，接下来利用双曲线定义得出12MF b a 以及22MF b a ，最后根据2221212MF MF F F 并通过化简求值即可得出结果。
高中数学必修一第一章单元测试卷及答案2套
高中数学必修一第一章单元测试卷及答案2套测试卷一(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个2．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1(x ∈Z )与y ＝2x －1(x ∈Z )3．设M ＝{1,2,3}，N ＝{e ，g ，h }，从M 至N 的四种对应方式如下图所示，其中是从M 到N 的映射的是( )4．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x 2－3x －2＝0}，集合B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{2}B ．{x |x ≤1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12 D ．{x |x ≤1或x ＝2}5．函数f (x )＝x|x |的图象是( )6．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈0,1]7．已知偶函数f (x )在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3)＜f (4)B ．f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (4)C ．f (4)＜f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72D ．f (4)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3) 8．已知反比例函数y ＝k x的图象如图所示，则二次函数y ＝2kx 2－4x ＋k 2的图象大致为( )9．函数f (x )是定义在0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 10．若函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x －1，则当x <0时，有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )－f (－x )>011．已知函数f (x )是定义在－5,5]上的偶函数，f (x )在0,5]上是单调函数，且f (－3)＜f (1)，则下列不等式中一定成立的是( )A ．f (－1)＜f (－3)B ．f (2)＜f (3)C ．f (－3)＜f (5)D ．f (0)＞f (1)12．函数f (x )＝ax 2－x ＋a ＋1在(－∞，2)上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．0,4]B ．2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (f (3))的值等于________．14．已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．15．若函数f (x )＝x 2＋a ＋1x ＋ax为奇函数，则实数a ＝________.16．老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质： ①此函数为偶函数； ②定义域为{x ∈R |x ≠0}； ③在(0，＋∞)上为增函数．老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确．请你写出一个(或几个)这样的函数________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5x ≤0，x ＋50<x ≤1，－2x ＋8x >1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π，f (－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f (x )的最大值．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是偶函数，且x ≤0时，f (x )＝1＋x1－x ，求：(1)f (5)的值； (2)f (x )＝0时x 的值； (3)当x >0时f (x )的解析式．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋a x，且f (1)＝10. (1)求a 的值；(2)判断f (x )的奇偶性，并证明你的结论；(3)函数在(3，＋∞)上是增函数，还是减函数？并证明你的结论．21．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )是二次函数，且f (0)＝8，f (x ＋1)－f (x )＝－2x ＋1. (1)求f (x )的解析式；(2)求证：f (x )在区间1，＋∞)上是减函数．22．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)当x ∈(－1,1)时判断函数f (x )的单调性，并证明； (3)解不等式f (2x －1)＋f (x )<0.答案1．B 解析：P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个，故选B.2．C 解析：A 中两个函数定义域不同；B 中y ＝x 2－1＝|x |－1，所以两函数解析式不同；D 中两个函数解析式不同，故选C.解题技巧：判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．C 解析：A 选项中，元素3在N 中有两个元素与之对应，故不正确；同样B ，D 选项中集合M 中也有一个元素与集合N 中两个元素对应，故不正确；只有C 选项符合映射的定义．4．C 解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，2，∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∩(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，故选C.5．C 解析：由于f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0，所以其图象为C.6．B 解析：A 选项是奇函数；B 选项为偶函数；C ，D 选项的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．7．D 解析：∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数，且－4<－72<－3，∴f (4)＝f (－4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72<f (－3)，故选D. 8．D 解析：由反比例函数的图象知k <0，∴二次函数开口向下，排除A ，B ，又对称轴为x ＝1k<0，排除C.9．D 解析：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1<13，解得12≤x <23，故选D.10．C 解析：f (x )为奇函数，当x <0时，－x >0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x －1)＝x ＋1， ∴f (x )·f (－x )＝－(x ＋1)2≤0.11．D 解析：易知f (x )在－5,0]上单调递增，在0,5]上单调递减，结合f (x )是偶函数可知，故选D.12．C 解析：由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a≥2，∴0<a ≤14，当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1为减函数，符合题意，故选C.13．2 解析：由图可知f (3)＝1，∴f (f (3))＝f (1)＝2. 14．2，＋∞) 解析：∵A ∪B ＝A ，即B ⊆A ， ∴实数m 的取值范围为2，＋∞)．15．－1 解析：由题意知，f (－x )＝－f (x )，即x 2－a ＋1x ＋a －x ＝－x 2＋a ＋1x ＋a x，∴(a ＋1)x ＝0对x ≠0恒成立， ∴a ＋1＝0，a ＝－1. 16．y ＝x2或y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >0，1＋x ，x <0或y ＝－2x(答案不唯一)解析：可结合条件来列举，如：y ＝x2或y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x >01＋x ，x <0或y ＝－2x.解题技巧：本题为开放型题目，答案不唯一，可结合条件来列举，如从基本初等函数中或分段函数中来找．17．解：∵B ⊆A ，①当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1， 解得m ≥2；②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m ＜2.综上得，m 的取值范围为{m |m ≥－1}． 18．解：(1)∵32>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2×32＋8＝5， ∵0<1π<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π＝1π＋5＝5π＋1π.∵－1<0，∴f (－1)＝－3＋5＝2. (2)如图：在函数y ＝3x ＋5的图象上截取x ≤0的部分，在函数y ＝x ＋5的图象上截取0<x ≤1的部分，在函数y ＝－2x ＋8的图象上截取x >1的部分．图中实线组成的图形就是函数f (x )的图象．(3)由函数图象可知，当x ＝1时，f (x )的最大值为6. 19．解：(1)f (5)＝f (－5)＝1－51－－5＝－46＝－23.(2)当x ≤0时，f (x )＝0即为1＋x1－x ＝0，∴x ＝－1，又f (1)＝f (－1)，∴f (x )＝0时x ＝±1.(3)当x >0时，f (x )＝f (－x )＝1－x 1＋x ，∴x >0时，f (x )＝1－x1＋x .20．解：(1)f (1)＝1＋a ＝10，∴a ＝9.(2)∵f (x )＝x ＋9x ，∴f (－x )＝－x ＋9－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(3)设x 2>x 1>3，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋9x 2－x 1－9x 1＝(x 2－x 1)＋⎝⎛⎭⎪⎫9x 2－9x1＝(x 2－x 1)＋9x 1－x 2x 1x 2＝x 2－x 1x 1x 2－9x 1x 2，∵x 2>x 1>3，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>9，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )＝x ＋9x在(3，＋∞)上为增函数．21．(1)解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴f (0)＝c ，又f (0)＝8，∴c ＝8. 又f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ， ∴f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c ) ＝2ax ＋(a ＋b )．结合已知得2ax ＋(a ＋b )＝－2x ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，a ＋b ＝1.∴a ＝－1，b ＝2.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋8. (2)证明：设任意的x 1，x 2∈1，＋∞)且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(－x 21＋2x 1＋8)－(－x 22＋2x 2＋8) ＝(x 22－x 21)＋2(x 1－x 2) ＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)． 又由假设知x 2－x 1>0， 而x 2>x 1≥1， ∴x 2＋x 1－2>0，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)>0，f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在区间1，＋∞)上是减函数． 22．解：(1)由题意可知f (－x )＝－f (x )， ∴－ax ＋b 1＋x 2＝－ax ＋b 1＋x 2，∴b ＝0.∴f (x )＝ax1＋x2.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，∴a ＝1. ∴f (x )＝x1＋x2.(2)f (x )在(－1,1)上为增函数． 证明如下：设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x21－x 21＋x 22＝x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22， ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0， 1＋x 21>0,1＋x 22>0， ∴x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)∵f (2x －1)＋f (x )<0，∴f (2x －1)<－f (x )， 又f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (2x －1)<f (－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<2x －1<1，－1<－x <1，2x －1<－x ，∴0<x <13.∴不等式f (2x －1)＋f (x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. 解题技巧：在求解抽象函数中参数的范围时，往往是利用函数的奇偶性与单调性将“f ”符号脱掉，转化为解关于参数不等式(组)．测试卷二(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数y ＝1－x 2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∩⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥2，－x 2＋3x x <2，则f (－1)＋f (4)的值为( )A ．－7B ．3C ．－8D ．44．已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且A ∪B ＝A ，则m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．1或－1或05．函数f (x )＝cx 2x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－32，满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．3或－3D ．5或－36．若函数f (x )的定义域为R ，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34>f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34<f (a 2－a ＋1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≤f (a 2－a ＋1)7．函数y ＝x |x |，x ∈R ，满足( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是偶函数又是增函数C ．既是奇函数又是增函数D ．既是偶函数又是减函数8．若f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，又f (－3)＝1，则不等式f (x )<1的解集为( )A ．{x |x >3或－3<x <0}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}9．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ，若f x ≥g x ，f x ，若f x <g x .则F (x )的最值是( )A ．最大值为3，最小值为－1B ．最大值为7－27，无最小值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 11．已知y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如下图：则F (x )＝f (x )·g (x )的图象可能是下图中的( )12．设f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数．若x 1<0，且x 1＋x 2>0，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，则满足条件的实数x 组成的集合为________．14．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的递减区间是________． 15．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，(x ，y ∈R )，则下列各式恒成立的是________．①f (0)＝0；②f (3)＝3f (1)；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12f (1)；④f (－x )·f (x )<0.16．若函数f (x )＝x 2－(2a －1)x ＋a ＋1是(1,2)上的单调函数，则实数a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A 为方程－x 2－2x ＋8＝0的解集，集合B 为不等式ax －1≤0的解集． (1)当a ＝1时，求A ∩B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)设全集为R ，A ＝{x |3<x <7}，B ＝{x |4<x <10}， (1)求∁R (A ∪B )及(∁R A )∩B ；(2)C ＝{x |a －4≤x ≤a ＋4}，且A ∩C ＝A ，求a 的取值范围．19．(本小题满分12分) 函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈3,5]．(1)判断单调性并证明； (2)求最大值和最小值．20．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝－x 2＋2ax －a 在区间0,1]上有最大值2，求实数a 的值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )的值满足f (x )>0(当x ≠0时)，对任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )·f (y )，且f (－1)＝1，f (27)＝9，当0<x <1时，f (x )∈(0,1)．(1)求f (1)的值，判断f (x )的奇偶性并证明； (2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明； (3)若a ≥0且f (a ＋1)≤39，求a 的取值范围．22．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在2，＋∞)上的单调性．答案1．D 解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－12且x ≠2.故选D.2．D 解析：∵集合M 中的元素－1不能映射到N 中为－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0.∴a ，b 为方程x 2－4x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝4.3．B 解析：f (4)＝2×4－1＝7，f (－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f (－1)＋f (4)＝3，故选B.4．D 解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{－1}或B ＝{1}．则m ＝0或－1或1.解题技巧：涉及到B ⊆A 的问题，一定要分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论，其中B ＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视．5．B 解析：f (f (x ))＝cf x 2fx ＋3＝x ，f (x )＝3x c －2x ＝cx2x ＋3，得c ＝－3. 6．C 解析：∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34>0，∴f (a2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34. 解题技巧：根据函数的单调性，比较两个函数值的大小，转化为相应的两个自变量的大小比较．7．C 解析：由f (－x )＝－f (x )可知，y ＝x |x |为奇函数．当x >0时，y ＝x 2为增函数，而奇函数在对称区间上单调性相同．8．C 解析：由于f (x )是偶函数，∴f (3)＝f (－3)＝1，f (x )在(－∞，0)上是增函数，∴当x >0时，f (x )<1即为f (x )<f (3)，∴x >3，当x <0时，f (x )＜1即f (x )<f (－3)，∴x <－3.综上知，故选C.9．B 解析：作出F (x )的图象，如图实线部分，则函数有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.10．A 解析：若x 2－x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)，∴f (x )在0，＋∞)上是减函数，∵3>2>1，∴f (3)<f (2)<f (1)． 又f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)， ∴f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.11．A 解析：由图象知y ＝f (x )与y ＝g (x )均为奇函数，∴F (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，故D 不正确．在x ＝0的左侧附近，∵f (x )>0，g (x )<0，∴F (x )<0， 在x ＝0的右侧附近，∵f (x )<0，g (x )>0，∴F (x )<0.故选A. 12．C 解析：∵x 1<0且x 1＋x 2>0，∴－x 2<x 1<0. 又f (x )在(－∞，0)上为减函数， ∴f (－x 2)>f (x 1)．而f (x )又是偶函数，∴f (－x 2)＝f (x 2)． ∴f (x 1)<f (x 2)．13．{－3,2} 解析：∵2∈M ，∴3x 2＋3x －4＝2或x 2＋x －4＝2，解得x ＝－2,1，－3,2，经检验知，只有－3,2符合元素的互异性，故集合为{－3,2}．14．(－∞，0] 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝kx 2－(k －1)x ＋2＝kx 2＋(k －1)x ＋2＝f (x )． ∴k ＝1.∴f (x )＝x 2＋2，其递减区间为(－∞，0]． 15．①②③ 解析：令x ＝y ＝0得，f (0)＝0； 令x ＝2，y ＝1得，f (3)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)； 令x ＝y ＝12得，f (1)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12f (1)；令y ＝－x 得，f (0)＝f (x )＋f (－x )．即f (－x )＝－f (x )， ∴f (－x )·f (x )＝－f (x )]2≤0.16.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥52或a ≤32 解析：函数f (x )的对称轴为x ＝2a －12＝a －12，∵函数在(1,2)上单调， ∴a －12≥2或a －12≤1，即a ≥52或a ≤32.解题技巧：注意分单调递增与单调递减两种情况讨论． 17．解：(1)由－x 2－2x ＋8＝0，解得A ＝{－4,2}． 当a ＝1时，B ＝(－∞，1]． ∴A ∩B ＝{}－4. (2)∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4a －1≤0，2a －1≤0，∴－14≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.18．解：(1)∁R (A ∪B )＝{x |x ≤3或x ≥10}， (∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}．(2)由题意知，∵A ⊆C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4≥7，a －4≤3，解得3≤a ≤7，即a 的取值范围是3,7]．19．解：(1)f (x )在3,5]上为增函数．证明如下： 任取x 1，x 2∈3,5]且x 1<x 2. ∵ f (x )＝2x －1x ＋1＝2x ＋1－3x ＋1＝2－3x ＋1，∴ f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3x 2＋1 ＝3x 2＋1－3x 1＋1＝3x 1－x 2x 1＋1x 2＋1，∵ 3≤x 1<x 2≤5，∴ x 1－x 2<0，(x 2＋1)(x 1＋1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴ f (x )在3,5]上为增函数． (2)根据f (x )在3,5]上单调递增知，f (x )]最大值＝f (5)＝32， f (x )]最小值＝f (3)＝54.解题技巧：(1)若函数在闭区间a ，b ]上是增函数，则f (x )在a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．(2)若函数在闭区间a ，b ]上是减函数，则f (x )在a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．20．解：由f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ，得函数f (x )的对称轴为x ＝a . ①当a <0时，f (x )在0,1]上单调递减，∴f (0)＝2， 即－a ＝2，∴a ＝－2.②当a >1时，f (x )在0,1]上单调递增，∴f (1)＝2， 即a ＝3.③当0≤a ≤1时，f (x )在0，a ]上单调递增，在a,1]上单调递减， ∴f (a )＝2，即a 2－a ＝2，解得a ＝2或－1与0≤a ≤1矛盾． 综上，a ＝－2或a ＝3.21．解：(1)令x ＝y ＝－1，f (1)＝1.f (x )为偶函数．证明如下：令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )·f (－1)，∵f (－1)＝1，∴f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数． (2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．设0<x 1<x 2，∴0<x 1x 2<1，f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·f (x 2)，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2f (x 2)＝f (x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2.∵0<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<1，f (x 2)>0，∴Δy >0，∴f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)∵f (27)＝9，又f (3×9)＝f (3)×f (9)＝f (3)·f (3)·f (3)＝f (3)]3， ∴9＝f (3)]3，∴f (3)＝39， ∵f (a ＋1)≤39，∴f (a ＋1)≤f (3)， ∵a ≥0，∴a ＋1≤3，即a ≤2， 综上知，a 的取值范围是0,2]．22．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)，而f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴ f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴ 函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x.任取x 1，x 2∈2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2，由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在2，＋∞)上单调递增．解题技巧：本题主要考查函数奇偶性的判断和函数单调性的判断．本题中由于函数解析式中含有参数，所以在判断函数奇偶性时需要根据参数的不同取值进行分类讨论；第(2)问中则需要根据f (1)＝2先确定参数的值，再根据函数单调性的定义判断函数的单调性．。
高中数学练习题 2019-2020学年人教B新版高一(上)模块数学试卷(必修1) -有答案
2019-2020学年人教B新版高一（上）模块数学试卷（必修1）一．选择题（每小题5分，共50分）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°1．（5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ,若a 2-b 2=3bc ,sinC =23sinB ，则A 等于（ ）√√A ．99B ．66C ．144D ．2972．（5分）等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39，a 3+a 6+a 9=27，则数列{a n }前9项的和S 9等于（ ）A ．30B ．25C ．20D ．153．（5分）某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）A ．1，2，3B ．2，3，1C ．2，3，2D ．3，2，14．（5分）下列程序运行的结果是（ ）A ．11B ．5C ．-8D ．-115．（5分）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则S 5S 2等于（ ）A ．k >4？B ．k >5？C ．k >6？D ．k >7？6．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为（ ）二.填空题（每小题5分，共25分）三.解答题（共-75分16题13分，17题13分，18题13分，19题12分，20题12分，21题12分）A ．79B ．87C ．1920D ．787．（5分）若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足A nB n =4n +25n −5，则a 5+a 13b 5+b 13的值为（ ）A ．x >3B ．0<x <2C ．3<x <2D ．3<x ≤28．（5分）已知△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，且a =x （x >0），b =2，A =60°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）√√√A ．49B ．29C ．23D ．139．（5分）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．210．（5分）若实数x ,y 满足不等式组V Y Y W Y Y X x −2≤0y −1≤0x +2y −a ≥0，目标函数t =x -2y 的最大值为2，则实数a 的值是（ ）11．（5分）从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是 ．12．（5分）已知a ,b 为正数，且满足2<a +2b <4，那么3a -b 的取值范围是 ．13．（5分）函数y =x 2+3x 2+2的最小值是．设x 、y ∈R +且1x +9y =1，则x +y 的最小值为 ．√14．（5分）设x ,y 满足约束条件V Y Y W Y Y X 3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z =ax +by （a >0，b >0）的值是最大值为12，则2a +3b 的最小值为 ．15．（5分）等差数列{a n }中，a 11a 10<-1，且其前n 项和S n 有最小值，以下命题正确的是 ．①公差d >0； ②{a n }为递减数列； ③S 1，S 2…S 19都小于零，S 20，S 21…都大于零；④n =19时，S n 最小；⑤n =10时，S n 最小．16．（13分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=-1a n2−1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）已知a∈R，解不等式xx−1>a+1．18．（13分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求A1被选中的概率；（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．19．（12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=920υυ2+3υ+1600（υ>0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？20．（12分）数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n与a n之间满足a n=2S2n2S n−1（n≥2）．（1）求证：数列{1S n}是等差数列；（2）设存在正数k,使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1对一切n∈N*都成立，求k的最大值．√21．（12分）已知a1=2，点（a n，a n+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…（1）证明数列{lg（1+a n）}是等比数列；（2）设T n=（1+a1）（1+a2）…（1+a n），求T n及数列{a n}的通项；（3）记b n=1a n+1a n+2，求数列{b n}的前n项S n，并证明S n+23T n−1=1．22．已知数列{a n}中，a1=1，na n+1=2（a1+a2+…+a n）（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）求数列{a n}的通项a n；（3）设数列{b n}满足b1=12，b n+1=1a kb n2+b n，求证：b n<1（n≤k）．。
2021_2022学年新教材高中数学模块测试卷二含解析新人教B版必修第一册
新教材高中数学：模块测试卷(二)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f (x )=-x 2+2x+4(x ∈R ),则它的值域与单调递增区间分别是( )A.值域[5,+∞),单调递增区间[1,+∞)B.值域[5,+∞),单调递增区间(-∞,1]C.值域(-∞,5],单调递增区间[1,+∞)D.值域(-∞,5],单调递增区间(-∞,1]f (x )=-x 2+2x+4=-(x 2-2x )+4=-(x-1)2+5,则函数f (x )=-x 2+2x+4(x ∈R )的值域是(-∞,5],单调递增区间为(-∞,1].故选D .2.(2021江苏扬州邗江高一期中)已知命题p :“∃x>0,x+t-1=0”,若p 为真命题,则实数t 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(-∞,1]p :“∃x>0,x+t-1=0”,即“∃x>0,x=1-t ”,又p 为真命题,则1-t>0,即t<1.故选B . 3.已知函数f (x )=ax+1x 2+2是定义在R 上的偶函数,则实数a 的取值为( ) A.1 B.0C.-1D.2f (x )=ax+1x 2+2是定义在R 上的偶函数,所以f (x )=f (-x ),即ax+1x 2+2=-ax+1(-x )2+2,解得a=0.故选B . 4.(2021湖南长沙湖南师大附中高一期末)下列说法正确的是( ) A.若a>b ,则1a<1bB.若a<b<0,则|a|>|b|C.若a>b ,则ac 2>bc 2D.若ac>bc ,则a>ba>0>b 时,1a >1b ,故A 不正确;若a<b<0,则-a>-b>0,则|a|=-a>|b|=-b ,故B 正确;当c=0时,ac 2>bc 2不成立,故C 不正确;若ac>bc ,当c<0时,a<b ,故D 不正确.故选B.5.(2021山东济宁高一期末)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a ,b ,c ,则三角形的面积S 可由公式S=√p (p -a )(p -b )(p -c )求得,其中p 为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=3,b+c=5,则此三角形面积的最大值为( ) A.3B.3C.√7D.√11p=12×(3+5)=4,S=√4(4-a )(4-b )(4-c )=√4(4-b )(4-c )=2√(4-b )(4-c )≤8-(b+c )=3,当且仅当4-b=4-c ,即b=c 时,等号成立,∴此三角形面积的最大值为3.故选B .6.(2021湖北八市高三一模)已知M ,N 均为R 的子集,且M ⊆∁R N ,则∁R M ∩N=( ) A.⌀ B.MC.ND.R,如图所示,故∁R M ∩N=N.故选C .7.(2021辽宁营口高一期末)奇函数f (x )在(0,+∞)内单调递减且f (2)=0,则不等式(x+1)f (x )<0的解集为( )A.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(2,+∞)B.(-2,-1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,2)f (x )在(0,+∞)内单调递减且f (2)=0,所以f (x )在(-∞,0)上单调递减,且f (-2)=0.由不等式(x+1)f (x )<0得{x +1>0,f (x )<0或{x +1<0,f (x )>0,即{x >-1,x >2或-2<x <0或{x <-1,0<x <2或x <-2,故x>2或-1<x<0或x<-2.故选A .8.(2021安徽江淮名校高一入学考试)设x ,y 均为正实数,且32+x +32+y =1,则x+y 的最小值为( ) A.8 B.16 C.9 D.6解析因为x ,y 均为正实数且32+x+32+y=1,所以x+y=2+x+2+y-4=[(2+x )+(2+y )]3x+2+3y+2-4=32+y+2x+2+x+2y+2-4≥32+2√y+2x+2·x+2y+2-4=12-4=8,当且仅当y+2x+2=x+2y+2,即x=y=4时,等号成立.因此x+y的最小值为8.故选A .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2021山东烟台高一期中)已知集合U=(-∞,+∞),A={x|2x 2-x ≤0},B={y|y=x 2},则( ) A.A ∩B=0,12 B.∁U A ⊆∁U BC.A ∪B=BD.∁B A=12,+∞解析∵集合U=(-∞,+∞),A={x|2x 2-x ≤0}=x 0≤x ≤12,B={y|y=x 2}={y|y ≥0},∴A ∩B=0,12,故A 正确;∁U A=x x<0或x>12,∁U B={y|y<0},∴∁U A ⊇∁U B ,故B 错误;A ∪B=[0,+∞)=B ,故C 正确;∁B A=12,+∞,故D 正确.故选ACD .10.(2021云南昆明高一期末)已知函数f (x )=ax 2+2x+1(a ≠0),若方程f (x )=0有两个不等的实数根x 1,x 2,且x 1<x 2,则( )A.当a>0时,不等式f (x )<0的解集为{x|x 1<x<x 2}B.当a>0时,不等式f (x )<0的解集为{x|x<x 1或x>x 2}C.若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则x 1>0D.若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则x 2>0a>0时,函数图像开口方向向上,所以不等式f (x )<0的解集为{x|x 1<x<x 2},故A 正确,B 错误;若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则a<0,对称轴-1a >0,函数又过定点(0,1),则x 1<0,故C 错误;若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则a<0,对称轴-1a >0,则x 2>0,故D 正确.故选AD .11.(2021湖北黄冈、天门高一期末)下列各说法中,p 是q 的充要条件的有( ) A.p :四边形是正方形;q :四边形的对角线互相垂直且平分 B.p :两个三角形相似;q :两个三角形三边对应成比例 C.p :xy>0;q :x>0,y>0D.p :x=1是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根;q :a+b+c=0(a ≠0),则四边形的对角线互相垂直且平分成立,但对角线互相垂直且平分的四边形可能是菱形,故p 不是q 的充要条件;两个三角形相似与两个三角形三边对应成比例可以互相推导,故p 是q 的充要条件;当xy>0时,可能x<0,y<0,故p 不是q 的充要条件;x=1是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根,将x=1代入方程可得a+b+c=0,当a+b+c=0时,将c=-a-b 代入方程ax 2+bx+c=0得ax 2+bx-a-b=(ax+a+b )(x-1)=0,解得x=1,故p 是q 的充要条件.故选BD . 12.(2021山东威海高一期末)已知函数f (x )={x 2-2x ,x <0,-2x +3,x ≥0,则( )A.f [f (-1)]=-3B.若f (a )=-1,则a=2C.f (x )在R 上是减函数D.若关于x 的方程f (x )=a 有两解,则a ∈(0,3]f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,所以f[f(-1)]=f(3)=-2×3+3=-3,故A正确;当a<0时,f(a)=a2-2a=-1,解得a=1,不符合题意,舍去,当a≥0时,f(a)=-2a+3=-1,解得a=2,符合题意,故B正确;作出f(x)的图像,如图所示,所以f(x)在R上不是减函数,故C错误;方程f(x)=a有两解,则y=f(x)图像与y=a图像有两个公共点,如图所示.所以a∈(0,3],故D正确.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021河北石家庄一中高一月考)已知集合A={x|-1≤x≤2,x∈Z},集合B={x|x>0},则集合A∩B的子集个数为.A={x|-1≤x≤2,x∈Z}={-1,0,1,2},B={x|x>0},∴A∩B={1,2},共有2个元素, 故集合A∩B的子集个数为22=4个.14.(2021山东威海高一期末)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式,后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=2,b=3,则该矩形的面积为.x,∵a=2,b=3,∴AB=a+b=5, 在Rt △ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2, 即(2+x )2+(3+x )2=52,即x 2+5x=6,则该矩形的面积为(2+x )(3+x )=x 2+5x+6=12.15.(2021广东深圳高三一模)已知函数的图像关于y 轴对称,且与直线y=x 相切,则满足上述条件的二次函数可以为f (x )= .2+14(答案不唯一)f (x )的图像关于y 轴对称,所以设f (x )=ax 2+c.由{y =ax 2+c ,y =x ,得ax 2-x+c=0, 所以Δ=1-4ac=0,即ac=14. 取a=1,c=14,则f (x )=x 2+14(答案不唯一).16.(2021河北邯郸高一期末)已知函数f (x )={|x +1|,x >0,x 2+1,x ≤0,若f (f (m ))=2,则m= .f (m )=t ,则f (t )=2,①当t>0时,|t+1|=2,则t=1,所以f (m )=1; 当m>0时,|m+1|=1,则m=0(舍去), 当m ≤0时,m 2+1=1,则m=0. ②当t ≤0时,t 2+1=2,则t=-1, 所以f (m )=-1;当m>0时,|m+1|=-1,显然此时方程无实数解,当m ≤0时,m 2+1=-1,显然此时方程无实数解.综上所述,m=0.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021江西名校协作体高一联考)已知二次函数f (x )的最小值为1,函数y=f (x+1)是偶函数,且f (0)=3.(1)求f (x )的解析式;(2)若函数f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.因为函数y=f (x+1)是偶函数,所以f (x )的图像关于x=1对称.又最小值为1,所以设f (x )=a (x-1)2+1. 又f (0)=3,解得a=2. ∴f (x )=2(x-1)2+1=2x 2-4x+3.(2)要使f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1, ∴0<a<12.故实数a 的取值范围为0,12.18.(12分)(2021安徽安庆高一期末)已知正实数x ,y 满足4x+4y=1. (1)求xy 的最大值;(2)若不等式4x +1y ≥a 2+5a 恒成立,求实数a 的取值范围.x+4y=1,所以14=x+y ≥2√xy ,解得xy ≤164,当且仅当x=y=18时,等号成立,∴xy 的最大值为164. (2)4x+1y =4x+1y(4x+4y )=20+16y x+4x y≥20+2√16y x·4x y=36,当且仅当x=16,y=112时,等号成立, ∴a 2+5a ≤36,解得-9≤a ≤4, 即a 的取值范围是[-9,4].19.(12分)(2021江苏苏州新区吴县中学高一月考)已知f (x )={1,x <0,2,x ≥0,g (x )=3f (x -1)-f (x -2)2. (1)当1≤x<2时,求g (x );(2)当x ∈R 时,求g (x )的解析式,并画出其图像; (3)求函数h (x )=x f (g (x ))-2g (f (x ))的零点.当1≤x<2时,x-1≥0,x-2<0,故g (x )=6-12=52.(2)由(1)知,当1≤x<2时,g (x )=52. 当x<1时,x-1<0,x-2<0, 故g (x )=3-12=1. 当x ≥2时,x-1>0,x-2≥0,故g (x )=6-22=2.所以当x ∈R 时,g (x )的解析式为g (x )={1,x <1,52,1≤x <2,2,x ≥2.其函数图像如下:(3)因为g (x )>0,则f (g (x ))=2,x ∈R , 故g (f (x ))={g (1)=52,x <0,g (2)=2,x ≥0,所以方程x f (g (x ))=2g (f (x ))化简后可得x 2=5(x<0)或x 2=4(x ≥0), 解得x=-√5或x=2.20.(12分)(2021福建三明高一期末)某市居民用电收费方式有以下两种,用户可自由选择其中一种. 方式一:阶梯式递增电价,即把居民用户每月用电量划分为三档,电价实行分档递增,具体电价如下表:方式二:阶梯式递增电价基础上实行峰谷分时电价,即先按阶梯式递增电价标准计算各档电量的电费,然后高峰时段(8:00—22:00)每度加价0.03元,低谷时段(22:00至次日8:00)每度降价0.20元,得出用户的总电费.(1)假设某居民用户月均用电量为x 度,按方式一缴费,月均电价为y 元,求y 关于x 的函数解析式; (2)若该用户某月用电a 度(0<a<420),其中高峰时段用电量占该月总用电量的23,按方式二缴费,电费为143元,求该月用电量.由题意可得当0≤x ≤230时,y=0.5x ,当230<x ≤420时,y=230×0.5+0.6(x-230)=0.6x-23,当x>420时,y=230×0.5+0.6×(420-230)+0.8(x-420),即y=0.8x-107,所以y={0.5x ,0≤x ≤230,0.6x -23,230<x ≤420,0.8x -107,x >420.(2)因为该用户某月用电a 度,高峰时段用电量为23a 度,当0≤x ≤230时,用电费用为0.3×13a+0.53×2a3=143,解得a ≈315.4>230,不合题意,舍去.当230<x ≤420时,用电费用为0.3×13+0.53×23×230+0.4×13+0.63×23(a-230)=143,解得a ≈300, 所以该月用电量约为300度.21.(12分)(2021福建福州高一期末)已知函数f (x )=√x 2-(a -1)x +2a ,且f (1)=√3. (1)求实数a 的值;(2)判断f (x )在区间(-∞,0]上的单调性并用定义证明.由f (1)=√3,得1-(a-1)+2a=3,所以a=1.(2)由(1)知f (x )=√x 2+2,其定义域为R , f (x )在区间(-∞,0]上单调递减. 证明如下:任取x 1,x 2∈(-∞,0],且x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=√x 12+2−√x 22+2=(√x 12+2-√x 22+2)(√x 12+2+√x 22+2)√x 1+2+√x 2+2=1222√x 1+2+√x 2+2 =1222√x 1+2+√x 2+2 =1212√x 1+2+√x 2+2.因为x 1≤0,x 2≤0,且x 1<x 2,所以x 1+x 2<0,x 1-x 2<0,√x 12+2+√x 22+2>0,则f (x 1)-f (x 2)>0,所以f (x 1)>f (x 2), 故f (x )在区间(-∞,0]上单调递减.22.(12分)(2021安徽滁州高一期末)设命题p :对任意x ∈[1,4],不等式x 2-4x+2≥m 2-3m 恒成立;命题q :存在x ∈0,12,使得不等式x 2-x+m-54≥0成立. (1)若p 为真命题,求实数m 的取值范围;(2)若命题p ,q 有且只有一个是真命题,求实数m 的取值范围.对任意x ∈[1,4],不等式x 2-4x+2≥m 2-3m 恒成立,即(x 2-4x+2)min ≥m 2-3m.x 2-4x+2=(x-2)2-2,当x=2时,x 2-4x+2取到最小值-2,即-2≥m 2-3m ,∴1≤m ≤2. 故p 为真命题时,实数m 的取值范围是[1,2].(2)命题q :存在x ∈0,12,使得不等式x 2-x+m-54≥0成立,故只需x 2-x+m-54max ≥0.而x 2-x+m-54=x-122+m-32, 所以当x=0时,x 2-x+m-54取到最大值m-54, 故m-54≥0,解得m ≥54.即命题q 为真命题时,实数m 的取值范围是54,+∞.依题意命题p ,q 一真一假,若p 为假命题,q 为真命题,则{m <1或m >2,m ≥54,,得m>2; 若q 为假命题,p 为真命题,则{1≤m ≤2,m <54,得1≤m<54.综上,实数m 的取值范围为1,54∪(2,+∞).。
高中数学模块综合评价(一)新人教版必修1
高中数学模块综合评价(一)新人教版必修1(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知集合M＝{x|0<x<3}，N＝{x|1<x<4}，则M∩N＝( )B．{x|0<x<4}A．{x|1<x<3}D．{x|0<x<1}C．{x|3<x<4}解析：M∩N＝{x|0<x<3}∩{x|1<x<4}＝{x|1<x<3}．答案：A 2．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}．若A⊆B，则a的范围是( )A．a≥1B．a≤1D．a≤2C．a≥2解析：在数轴上作出两个集合所在的区间，可知满足A⊆B的a≥2.答案：C 3．已知幂函数f(x)＝xa的图象过点(4，2)，若f(m)＝3，则实数m的值为( )A.B．±C．±9D．9解析：依题意有2＝4a，得a＝，所以f(x)＝x，当f(m)＝m＝3时，m＝9.答案：D4．设a＝log3，b＝，c＝2，则( )B．c<b<aA．a<b<cD．b<a<cC．c<a<b解析：数形结合，画出三个函数的图象．由图象可知a<0，0<b<1，c>1，因此a<b<c.答案：A 5．已知A∩{－1，0，1}＝{0，1}，且A∪{－2，0，2}＝{－2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有( )A．2个 B．4个 C．6个 D．8个解析：因为A∩{－1，0，1}＝{0，1}，所以0，1∈A且－1∉A.又因为A∪{－2，0，2}＝{－2，0，1，2}，所以1∈A且至多－2，0，2∈A.故0，1∈A且至多－2，2∈A，所以满足条件的A只能为{0，1}，{0，1，－2}，{0，1，2}，{0，1，2，－2}，共有4个．答案：B 6．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝( )B．[－1，1]A．∅D．[1，＋∞)C．[－1，＋∞)解析：A＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．答案：D 7．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0，x1＋x2>0，则( )A．f(－x1)>f(－x2)。
湘教版高中数学必修一模块检测.doc
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作模块检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{y|0≤y≤2}．下列A到B的对应法则中：①f：x→y＝12x；②f：x→y＝x－2；③f：x→y＝x；④f：x→y＝－|x|.其中能构成映射的有()．A．①②B．①③C．③④D．②④解析因为0≤x≤4，所以0≤12x≤2，则①应能构成映射；②中，当x＝0时，y＝－2，所以不能构成映射；③中，0≤x≤4，所以0≤x≤2，③能构成映射；④中，当x＝4时，y＝－4，所以不能构成映射．答案 B2．已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，3，6，9，12}，则A∩(∁N B)＝()．A．{1，5，7} B．{3，5，7}C．{1，3，9} D．{1，2，3}解析∵B＝{0，3，6，9，12}，∴(∁N B)中没有3和9，有1，5，7.∵A＝{1，3，5，7，9}，∴A∩(∁N B)＝{1，5，7}．答案 A3．函数y＝ln （x＋1）－x2－3x＋4的定义域为()．A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1] 解析 由题意，得⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0⇒－1<x <1.答案 C4．下列各组函数中，表示同一函数的是 ( )． A ．y ＝x ＋2和y ＝x 2－4x －2B ．y ＝x 0和y ＝1C ．y ＝x 3和y ＝(x ＋1)3D ．y ＝（x ）2x 和y ＝x（x ）2解析 A 中y ＝x ＋2的定义域为R ，y ＝x 2－4x －2的定义域为{x |x ≠－2}，所以A不是．B 中y ＝x 0的定义域{x |x ≠0}，y ＝1的定义域为R ，所以B 不是．C 中 两函数解析式不同，所以只有D 对． 答案 D5．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则 ( )． A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a 解析 a ＝log 3π>1，0<b ＝log 76<1， c ＝log 20.8<0，因此a >b >c . 答案 A6．f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有f (x ＋2 012)＝－f (x )，则f (－2 012)的值为 ( )． A ．0 B ．1 006 C ．2 012 D ．－2 012 解析 依题意得f (0)＝0，故f (－2 012)＝－f (2 012)＝ －f (0＋2 012)＝f (0)＝0.选A. 答案 A7．若x ∈(0，1)，则下列结论正确的是 ( )．A ．2x >x 12>lg xB ．2x >lg x >x 12C ．x 12>2x >lg x D ．lg x >x 12>2x解析 如图，由图象可知x ∈(0，1)时，2x >x 12>lg x .答案 A 8．式子1log 1213＋1log 1513的值所属的区间是 ( )．A ．(－2，－1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(－∞，－2)解析 因为32<10<33，所以原式＝log 1312＋log 1315＝log 310∈(2，3)．答案 C9．若log 2a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b>1，则 ( )． A ．a >1，b >0 B ．a >1，b <0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0 解析 由log 2a <0⇒0<a <1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12b>1⇒b <0.答案 D10．方程log 12x ＝2x －1的实数根的个数为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．不确定 解析 在同一坐标系中分别画出函数y 1＝log 12x ，y 2＝2x －1的图象，如图所示，可知两图象只有一个交点，即方程有一个实数根．答案 B二、填空题(每小题5分，共25分)11．计算log 222＋log23·log312＝________．解析原式＝2log2232－lg 3lg 2·lg 2lg 3＝2×32－1＝2.答案 212．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568 超过50至200的部分0.598 超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．答案148.413．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝________．解析 x >0时，－x <0，f (x )＝f (－x )＝－x －(－x )4＝－x －x 4. 答案 －x －x 414．已知奇函数f (x )在[3，6]上为增函数，在[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)＝________． 解析 f (3)＝－1，f (6)＝8，由奇函数知2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×8－(－1)＝－15. 答案 －1515．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2（x >0），2（x ＝0），0（x <0），则f (f (f (－2)))的值为________．解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝0，∴f (f (－2))＝f (0)＝2>0，f (f (f (－2)))＝f (2)＝4. 答案 4三、解答题(共75分)16．(13分)设集合M ＝{x |ax 2－2x ＋2＝0，x ∈R }至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解 (1)若a ＝0，则方程ax 2－2x ＋2＝0变为－2x ＋2＝0， 解得x ＝1，即M ＝{1}，符合条件． (2)若a ≠0，由题意知Δ＝(－2)2－4×2a ＝4－8a ≤0， ∴a ≥12.综上所述，a ≥12或a ＝0.17．(13分)已知奇函数f (x )在区间[－b ，－a ] (b >a >0)上是一个恒大于0的递减函数，试问函数|f (x )|在区间[a ，b ]上是递增函数还是递减函数？证明你的结论． 解 |f (x )|在区间[a ，b ]上是递增函数． 证明如下：设x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1<x 2， 则－a ≥－x 1>－x 2≥－b ，由f (x )在[－b ，－a ]上是递减函数，且恒大于0，∴0<f (－x 1)<f (－x 2)，又∵f (x )是奇函数，则－f (x 2)>－f (x 1)>0， ∴f (x 2)<f (x 1)<0，∴|f (x 1)|－|f (x 2)|＝－f (x 1)＋f (x 2) ＝f (x 2)－f (x 1)， 又f (x 2)<f (x 1)<0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0， ∴|f (x 1)|－|f (x 2)|<0， 即|f (x 1)|<|f (x 2)|，∴函数|f (x )|在区间[a ，b ]上是递增函数．18．(13分)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围． 解 ∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}． (1)当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，应满足⎩⎨⎧a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，应满足⎩⎨⎧3a ≤2a ≥4⇒a ∈∅，∴当43≤a ≤2时，A B .(2)要满足A ∩B ＝∅，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }， a ≥4或3a ≤2， ∴0<a ≤23或a ≥4；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或a ≥43，∴a <0时成立．验证知当a ＝0时也成立． 综上所述，当a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅.(3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然a >0且a ＝3时成立， ∵此时B ＝{x |3<x <9}，而A ∩B ＝{x |3<x <4}，故所求a 的值为3. 19．(12分)已知函数f (x )＝log a1－mxx －1(a >0，且a ≠1)是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并给出证明；(3)当x ∈(r ，a －2)时，函数f (x )的值域是(1，＋∞)，求实数a 与r 的值． 解 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即log a1＋mx －x －1＝－log a 1－mx x －1⇒1＋mx －x －1＝x －11－mx ⇒m 2x 2＝x 2. 上式对定义域内的所有x 都成立， ∴m 2＝1，m ＝±1. 当m ＝1时，f (x )无意义， ∴m ＝－1. (2)f (x )＝log a1＋x x －1＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －1.设1<x 1<x 2， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 2－1＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）>0⇒1＋2x 1－1>1＋2x 2－1，∴当0<a <1时，log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－1<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 2－1，函数f (x )在(1，＋∞)上是递增函数； 当a >1时，log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－1>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 2－1，函数f (x )在(1，＋∞)上是递减函数． (3)f (x )＝log a1＋xx －1的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 当(r ，a －2)⊆(－∞，－1)时，r <a －2≤－1，又a ≠1，则0<a <1.因此f (x )在(r ，a －2)上是递增函数，值域不可能是(1， ＋∞)．当(r ，a －2)⊆(1，＋∞)时，1≤r <a －2，得a >3， 因此f (x )在(r ，a －2)上是递减函数， f (x )>f (a －2)＝log aa －1a －3. 由题意，得log a a －1a －3＝1⇒a ＝2＋ 3.由于f (x )的值域是(1，＋∞)，所以r ＝1.20．(12分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a >0，且a ≠1)，令F (x )＝f (x )－g (x )．(1)求函数y ＝F (x )的定义域； (2)判断函数y ＝F (x )的奇偶性； (3)证明：F (x )＋F (y )＝F ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy . (1)解 由⎩⎨⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1，故函数F (x )的定义域是(－1，1)．(2)解 因为函数F (x )的定义域关于原点对称，且 F (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝log a 1－x1＋x＝－log a 1＋x1－x ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－F (x )，所以F (x )是奇函数．(3)证明 因为F (x )＋F (y )＝log a 1＋x 1－x ＋log a 1＋y 1－y ＝log a 1＋x ＋y ＋xy1＋xy －x －y ，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝log a 1＋x ＋y1＋xy 1－x ＋y 1＋xy ＝log a 1＋x ＋y ＋xy 1＋xy －x －y ，故F (x )＋F (y )＝F ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy . 21．(12分)已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0，其中2a ＋3b ＋6c ＝0. (1)当a ＝0时，求方程的根；(2)当a >0时，求证方程有一根在0和1之间．(1)解 当a ＝0时，3b ＋6c ＝0， ∴b ＝－2c .原方程可化为bx ＋c ＝0， 则x ＝－c b ，从而可得x ＝12. (2)证明 当a >0时，Δ＝b 2－4ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋2c 2－4ac ＝49a 2－43ac ＋4c 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32c 2＋3c 2>0， 则方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个根． 令f (x )＝ax 2＋bx ＋c .当c <0时，f (0)＝c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ， 由2a ＋3b ＋6c ＝0，得b ＝－23a －2c ， ∴f (1)＝a －23a －2c ＋c ＝13a －c >0， ∴f (0)·f (1)<0，∴f (x )＝0有一根在(0，1)内． 当c >0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a ＋12b ＋c ，∵b ＝－23a －2c ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a －2c ＋c ， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a －13a －c ＋c ＝－112a .由a >0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，由c >0，得f (0)＝c >0，∴f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根在内．综上所述，当a >0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根在0和1之间．。
高中数学必修一至五模块综合测试
主视图6侧视图高中数学必修模块综合测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1. 已知集合11{2,1,0,1,2}{|28R}2x M N x x +=--=<<∈，，，则M N =A ．{0,1}B ．{10}-，C ．{1,0,1}-D ．{2,1,0,1,2}--2. 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭。
在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次被抽取的总户数为A ．20B ．24C ．30D ．36 3. 已知实数列1,,,,2a b c 成等比数列，则abc 等于（ ） A ．4 B ．±4 C ．22 D ．±22 4. 过点(1,1),(1,1)A B 且圆心在直线20x y 上的圆的方程是A ．22(3)(1)4x y B. 22(3)(1)4x y C ．22(1)(1)4x yD. 22(1)(1)4x y5. 已知向量a 与b 的夹角为120，且||1a b ==||，则||a b -等于 A ．1 BC ．2D ．3 6.已知1,4,20,x y x y y -≥-+≤-≥则24x y +的最小值是 A ．8 B ．9 C ．10 D ．13 7. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示 （单位：cm ），则该几何体的表面积．．．为 A ．212cm π B. 215cm π C. 224cm π D. 236cm π 8.设,x yR 则“2x 且2y”是“224x y ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件9. 若23x <<，12xP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log Q x =，R =则P ，Q ，R 的大小关系是 A ．Q P R << B ．Q R P << C ．P R Q << D ．P Q R <<10. 一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为 AB ．34 CD ．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11.sin(30)sin(30)cos的值为 .12. 如右图所示，函数()2x f x =，()2g x x =，若输入的x 值为3，则输出的()h x 的值为 .13. 若函数()()()2213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间为 ．14. 已知数列{}n a 满足12a =,*121()n n a a n N +=+∈,则4a = ， 该数列的通项公式n a = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15.（本题满分12分）有四个数，已知前三个成等比数列，且和为19,后三个成等差数列，且和为12,求此四数。
重点中学高中数学必修一模块过关试题(含答案)
必修一模块过关试题（1）一、选择题：（每小题5分共50分） 1．函数)13lg(13)(2++-=x xxx f 的定义域是（ ）A ．),31(+∞- B ．)1,31(- C ．)31,31(- D ．)31,(--∞2．如果幂函数()nf x x =的图象经过点)2,2(,则(4)f 的值等于（ ）A ．16B ．2C ．116D ．123．已知a 是单调函数)(x f 的一个零点，且21x a x <<则（ ）A ．0)()(21>x f x fB ．0)()(21<x f x fC ．0)()(21≥x f x fD ．0)()(21≤x f x f 4．下列表示同一个函数的是（ ）A ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f B ．22)()(,)(x x g x x f == C ．2)(,)(t t g x x f == D ．222log ,log 2x y x y ==5．函数⎩⎨⎧<≥+=)0(3)0(1)(||x x x x f x 的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若偶函数()f x 在(]-∞,0上是减函数，则下列关系中成立的是（ ）A ．()()()02020011111f f f (6).<.<. B ．()()()02002111101f f f ..6..<.<.C ．()()()02020011111f f f (6).>.>. D ．()()()02020110111f f f (6).<.<.7．函数)(x f 的图象如图，则不等式0)(>⋅x f x 的解集（ ）A ．()），（，101 -∞-B ．()），（，∞+-101C ．()），（，∞+-∞-11D ．()()1001，， - 8．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当[)1,0x ∈-时()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2(log 8)f 等于（ ）A ．3B ．18C ．2-D ．29．函数2()2f x ax bx =+-是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 在区间[]1,2上是（ ）A ． 增函数B ． 减函数C ． 先增后减函数D ．先减后增函数10．若函数)3(log )(2+-=ax x x f a 在区间)2,(a -∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()1,+∞ C．(D．(二、填空题(每小题5分，共25分)11．已知(,)x y 在映射f 下的对应元素是(,)x y x y +-，则(4,6)在映射f 下的对应元素是 ；12．设)(x f 为定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，)2(log )(2+=x x f ，则0x <时)(x f 的解析式为_________ 13．当B A ,是非空集合，定义运算{}B x A x x B A ∉∈=-且，若{},1x y x M -=={}11,2≤≤-==x x y y N 则=-N M14．方程2212log x x -=的解的个数为 个.15．函数)3)(1()21(--=x x y 的递增区间是三、解答题：本题共6小题，共75分。
高中数学选择性必修第一册模块检测卷
模块检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( )A.OA →B.AB →C.OC→ D.AC→ 解析 根据向量加法、减法法则，OA →＋AB →－CB →＝OB →－CB →＝OB →＋BC →＝OC →，故选C. 答案 C2.直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交D.不确定解析 直线ax －y ＋2a ＝0可化为a (x ＋2)－y ＝0，故直线恒过定点(－2，0)，由点(－2，0)在圆x 2＋y 2＝9内可知，直线与圆相交. 答案 C3.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则b 2＋13a 的最小值为( ) A.233 B.33 C.2D.1解析 由e ＝2得ca ＝2，从而b ＝3a >0， 所以b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥2a ·13a ＝213＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时“＝”成立.故选A. 答案 A4.经过圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心，且与直线x ＋y ＝0平行的直线方程是( ) A.x ＋y －1＝0 B.x ＋y ＋1＝0 C.x －y －1＝0D.x －y ＋1＝0解析 圆x 2＋y 2－2x ＝0可化为(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1，0).设与直线x ＋y ＝0平行的直线方程为x ＋y ＋C ＝0(C ≠0)，将(1，0)代入，得C ＝－1， ∴直线方程为x ＋y －1＝0. 答案 A5.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是( )A.12B.55C.13D.22解析 由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，A (a ，0)，B (0，b )，F 2(c ，0)，于是k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac ，由k AB ＝kPF 2得b ＝2c ，故a ＝5c ，e ＝c a ＝55. 答案 B6.如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂平面α，AC ⊥平面α，BD ⊥AB ，BD 与平面α成30°角，则C ，D 间的距离为( )A.1B.2C. 2D. 3解析 |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD→＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1·cos 120°＝2.∴|CD →|＝ 2. 答案 C7.过点P (－1，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝4在第一象限的部分有交点，则直线 l 的斜率k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 解析 如图，圆C ：x 2＋y 2＝4与x 轴的正半轴的交点为A (2，0)，与y 轴正半轴的交点为B (0，2)，∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝4在第一象限的部分有交点， ∴k P A <k <k PB ，即1－0－1－2<k <1－2－1－0，∴－13<k <1.故选D. 答案 D8.如图，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A. 3B. 5C.7D.3解析 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ， ∵△ABF 2是等边三角形，即|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，即|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ， 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a .∵△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ×4a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28a 2，得c ＝7a ，由此可得双曲线C 的离心率e ＝ca ＝7.故选C. 答案 C二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.已知圆C 1：(x ＋m )2＋(y －2)2＝1与圆C 2：(x －1)2＋(y ＋m )2＝16外切，则m 的值可以为( ) A.－5 B.－2 C.2D.5解析 圆C 1的圆心为C 1(－m ，2)，r 1＝1，圆C 2的圆心为C 2(1，－m )，r 2＝4， 则|C 1C 2|＝（－m －1）2＋（2＋m ）2＝1＋4，解得m ＝2或－5. 答案 AC10.已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0).直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是( ) A.当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B.当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C.当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D.当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)解析 设P (x ，y )(x ≠±1)，则直线AP 的斜率k AP ＝y x ＋1(x ≠－1)，k BP ＝y x －1(x ≠1)，由已知得y x ＋1·y x －1＝m (x ≠±1)，化简得P 点的轨迹方程为x 2＋y 2－m ＝1(x ≠±1).故选ABD. 答案 ABD11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点.则( )A.CD ⊥ANB.BD ⊥PCC.PB ⊥平面ANMDD.BD 与平面ANMD 所成的角为30°解析 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设BC ＝1，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N (1，0，1)， 从而CD→＝(－2，1，0)，AN →＝(1，0，1)，BD →＝(－2，2，0)，PC →＝(2，1，－2)，PB →＝(2，0，－2)，AD→＝(0，2，0).∵CD →·AN →＝－2×1≠0，∴A 错误；∵BD →·PC →＝－2×2＋2×1＝－2≠0，∴B 错误；设平面ANMD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AN →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，x ＋z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，0，－1).∴PB→＝2n ，∴PB ⊥平面ANMD ，∴C 正确；∵cos 〈BD →，n 〉＝BD →·n |BD →|·|n |＝－12，∴BD 与平面ANMD 所成的角为30°，∴D 正确. 答案 CD12.已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是( ) A.P 点纵坐标为3 B.∠F 1PF 2>90°C.△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)解析 由椭圆方程，可知a ＝22，b ＝2，c ＝2.由S △F 1PF 2＝3可得3＝12·|F 1F 2|·|y P |，故|y P |＝32.故A 错误；把|y p |＝32代入椭圆方程，可求得x 2p ＝72.所以PF 1→·PF 2→＝(－2－x P ，－y P )·(2－x P ，－y P )＝x 2P ＋y 2P －4＝72＋94－4>0，故∠F 1PF 2<90°.故B 错误；△F 1PF 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝42＋4.故C 正确；S △F 1PF 2＝12·(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·R ＝3.∴R ＝32(2－1)，故D 正确. 答案 CD三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知两条直线l 1：ax ＋8y ＋b ＝0和l 2：2x ＋ay －1＝0(b <0)，若l 1⊥l 2且直线l 1的纵截距为1，则a ＝__________，b ＝________(本题第一空3分，第二空2分). 解析 ∵l 1⊥l 2， ∴2a ＋8a ＝0，得a ＝0.l 1：8y ＋b ＝0，即y ＝－b 8.令－b8＝1，得b ＝－8. 答案 0 －814.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝43x ，则此双曲线的离心率为________.解析 由题意知b a ＝43，∴b 2a 2＝169， ∴c 2－a 2a 2＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53. 答案 5315.正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点S 在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成的角是________. 解析 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .设OD ＝OS ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a ，0，0)，B (0，a ，0)，C (－a ，0，0)， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，从而CA →＝(2a ，0，0)，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a ，0). 设平面P AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·CA →＝0，n ·AP →＝0，可求得n ＝(0，1，1)，则cos 〈n ，CB →〉＝n ·CB →|n |·|CB →|＝12，∴〈n ，CB →〉＝60°，∴直线BC 与平面P AC 所成的角为90°－60°＝30°. 答案 30°16.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________.解析 如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又AM →＝MB →， ∴M 为AB 的中点.过点B 作BP 垂直准线l 于点P ， 则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴||BP ＝12||AB ＝||BM . ∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2. 答案 2四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2， 故直线经过一定点M (2，－2).(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立.18.(12分)已知抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0，2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程.解 由题意知直线l 的斜率存在且不为0，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝2x消去x 得ky 2－2y ＋4＝0，由Δ＝4－16k >0得k <14(k ≠0). 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4k ，又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12y 21，x 2＝12y 22，故x 1x 2＝14(y 1y 2)2＝4k 2.由题意知OM ⊥ON ，∴k OM ·k ON ＝－1， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴4k 2＋4k ＝0，解得k ＝－1.∴所求直线方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.19.(12分)已知圆心为N (3，4)的圆被直线x ＝1截得的弦长为2 5. (1)求圆N 的方程；(2)点B (3，－2)与点C 关于直线x ＝－1对称，求以C 为圆心且与圆N 外切的圆的方程.解 (1)圆心N (3，4)到直线x ＝1的距离等于3－1＝2. ∵圆N 被直线x ＝1截得的弦长为25， ∴圆N 的半径r ＝（5）2＋22＝3.∴圆N 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝9.(2)∵点B (3，－2)与点C 关于直线x ＝－1对称，∴点C 的坐标为(－5，－2).设所求圆的方程为(x ＋5)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)，∵圆C 与圆N 外切， ∴r ＋3＝（3＋5）2＋（4＋2）2＝10，得r ＝7.∴圆C 的方程为(x ＋5)2＋(y ＋2)2＝49.20.(12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，AA 1＝4，D 是棱AA 1的中点.(1)求证：DC 1⊥平面BCD ；(2)求平面ABD 与平面DBC 的夹角的大小. (1)证明 如图所示建立空间直角坐标系.由题意知C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，D (2，0，2)，A 1(2，0，4)，C 1(0，0，4).∴DC →1＝(－2，0，2)，DC →＝(－2，0，－2)，DB →＝(－2，2，－2). ∵DC →1·DC →＝0，DC →1·DB →＝0. ∴DC 1⊥DC ，DC 1⊥DB .又∵DC ∩DB ＝D ，DC ，DB ⊂平面BDC ，∴DC 1⊥平面BDC .(2)设n ＝(x ，y ，z )是平面ABD 的法向量，则n ·AB →＝0，n ·AD→＝0， 又AB→＝(－2，2，0)，AD →＝(0，0，2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，2z ＝0，取y ＝1，得n ＝(1，1，0). 由(1)知，DC →1＝(－2，0，2)是平面DBC 的一个法向量，记n 与DC →1的夹角为θ， 则cos θ＝－22·22＝－12，∴所求平面ABD 与平面DBC 的夹角的大小是π3.21.(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF 2的面积.解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1， 故椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1，0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2，x 22＋y 2＝1消y 得9x 2＋16x ＋6＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169，x 1·x 2＝23，∴|CD |＝1＋（－2）2|x 1－x 2| ＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1029， 又点F 2(1，0)到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4109.22.(12分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为长方形，SB ⊥底面ABCD ，其中BS ＝2，BA ＝2，BC ＝λ，λ的可能取值为：①λ＝14；②λ＝12；③λ＝32；④λ＝32；⑤λ＝3.(1)求直线AS 与平面ABCD 所成角的大小；(2)若线段CD 上能找到点E ，满足AE ⊥SE ，则λ可能的取值有几种情况？请说明理由；(3)在(2)的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，线段CD 上满足AE ⊥SE 的点有两个，分别记为E 1，E 2，求平面E 1SB 与平面E 2SB 的夹角的大小.解 (1)因为SB ⊥底面ABCD ，所以∠SAB 即为直线AS 与平面ABCD 所成的角. 在Rt △SBA 中，tan ∠SAB ＝1，∴∠SAB ＝45°，即直线AS 与平面ABCD 所成角的大小为45°.(2)以B 为坐标原点，BC ，BA ，BS 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：B (0，0，0)，A (0，2，0)，D (λ，2，0)，S (0，0，2).设E (λ，x ，0)(0≤x ≤2).所以SE→＝(λ，x ，－2)，EA →＝(－λ，2－x ，0). 由SE→⊥EA →，得－λ2＋x (2－x )＝0，即λ2＝x (2－x ). 因为x ∈[0，2]，所以λ2＝x (2－x )∈[0，1].所以在所给的数据中，λ可以取①②③.(3)由题意及(2)知λ＝32，此时，x ＝12或x ＝32，即满足条件的点E 有两个，不妨设E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0和E 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0， 则BE 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，BE 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0. 因为SB ⊥平面ABCD ，BE 1，BE 2⊂平面ABCD ，所以SB ⊥BE 1，SB ⊥BE 2， 所以∠E 1BE 2是平面E 1SB 与平面E 2SB 的夹角.由cos 〈BE 1→，BE 2→〉＝BE 1→·BE 2→|BE →1|×|BE →2|＝34＋341×3＝32， 知平面E 1SB 与平面E 2SB 的夹角的大小为30°.。
人教A版必修一高中数学单元测试卷第二章章末检测B(含答案)
章末检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知函数f (x )＝lg(4－x )的定义域为M ，函数g (x )＝0.5x －4的值域为N ，则M ∩N 等于()A ．MB ．NC ．[0,4)D ．[0，＋∞)2．函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为()A ．[2,8]B ．[0,8]C ．[1,8]D ．[－1,8]3．已知f (3x )＝log 29x ＋12，则f (1)的值为()A ．1B ．2C ．－1 D.124．21log 52 等于()A ．7B ．10C ．6 D.925．若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b 等于()A ．0B ．1C ．2D ．36．比较13.11.5、23.1、13.12的大小关系是()A ．23.1<13.12<13.11.5B ．13.11.5<23.1<13.12C ．13.11.5<13.12<23.1D ．13.12<13.11.5<23.17．式子log 89log 23的值为()A.23B.32C ．2D ．38．已知ab >0，下面四个等式中：①lg(ab )＝lg a ＋lg b ；②lg a b ＝lg a －lg b ；③12lg(ab )2＝lg a b；④lg(ab )＝1log ab 10.其中正确命题的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．39．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点()A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象的交点个数是()A ．0B ．1C ．2D ．311．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于()A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}12．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是()A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )x ，x ≥41)，x <4，则f (2＋log 23)的值为______．14．函数f (x )＝log a 3－x 3＋x(a >0且a ≠1)，f (2)＝3，则f (－2)的值为________．15．函数y ＝212log (32)x x -+的单调递增区间为______________．16．设0≤x ≤2，则函数y ＝124x -－3·2x ＋5的最大值是________，最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的反函数g (x )的解析式；(2)解不等式：g (x )≤log a (2－3x )．18．(12分)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．19．(12分)已知x>1且x≠43，f(x)＝1＋log x3，g(x)＝2log x2，试比较f(x)与g(x)的大小．20．(12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，14≤x≤4，(1)若t＝log2x，求t的取值范围；(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．21．(12分)已知f(x)＝log a1＋x1－x (a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围．22．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋2是奇函数．(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．章末检测(B)1．C [由题意，得M ＝{x |x <4}，N ＝{y |y ≥0}，∴M ∩N ＝{x |0≤x <4}．]2．B [当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8，故值域为[0,8]．]3．D [由f (3x )＝log 29x ＋12，得f (x )＝log 23x ＋12，f (1)＝log 22＝12.]4．B [21log 52 ＝2·2log 52＝2×5＝10.]5．B [由100a ＝5，得2a ＝lg 5，由10b ＝2，得b ＝lg 2，∴2a ＋b ＝lg 5＋lg 2＝1.]6．D[∵13.11.5＝1.5－3.1＝(11.5)3.1，13.12＝2－3.1＝(12)3.1，又幂函数y ＝x 3.1在(0，＋∞)上是增函数，12<11.5<2，∴(12)3.1<(11.5)3.1<23.1，故选D.]7．A [∵log 89＝log 232log 223＝23log 23，∴原式＝23.]8．B [∵ab >0，∴a 、b 同号．当a 、b 同小于0时①②不成立；当ab ＝1时④不成立，故只有③对．]9．C [y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，即y ＋1＝lg(x ＋3)．故选C.]10．D [分别作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象．知有一个x <0的交点，另外，x ＝2，x ＝4时也相交，故选D.]11．B [∵f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴令f (x )>0，得x >2.又f (x )为偶函数且f (x －2)>0，∴f (|x －2|)>0，∴|x －2|>2，解得x >4或x <0.]12．A [由f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，可知a >1，而f (－4)＝a |－4＋1|＝a 3，f (1)＝a |1＋1|＝a 2，∵a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．]13.124解析∵log 23∈(1,2)，∴3<2＋log 23<4，则f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23log 312+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(12)3·12log 32-＝18×13＝124.14．－3解析∵3－x 3＋x>0，∴－3<x <3∴f (x )的定义域关于原点对称．∵f (－x )＝log a 3＋x 3－x ＝－log a 3－x 3＋x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．∴f (－2)＝－f (2)＝－3.15．(－∞，1)解析函数的定义域为{x |x 2－3x ＋2>0}＝{x |x >2或x <1}，令u ＝x 2－3x ＋2，则y ＝12log u 是减函数，所以u ＝x 2－3x ＋2的减区间为函数y ＝()212log 32x x -+的增区间，由于二次函数u ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32，所以(－∞，1)为函数y 的递增区间．16.5212解析y ＝124x -－3·2x ＋5＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，x ∈[0,2]，则1≤t ≤4，于是y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，1≤t ≤4.当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝12×(1－3)2＋12＝52.17．解(1)指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f (x )的反函数g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)．(2)∵g (x )≤log a (2－3x )，∴log a x ≤log a (2－3x )若a >1>0－3x >0≤2－3x ，解得0<x ≤12，若0<a <1>0－3x >0≥2－3x ，解得12≤x <23，综上所述，a >1时，不等式解集为(0，12]；0<a <1时，不等式解集为[12，23)．18．解(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3,0]，则t ∈[18，1]，故y ＝2t 2－t －1＝2(t －14)2－98，t ∈[18，1]，故值域为[－98，0]．(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2ax 2－x －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时，解为x ＝－1<0，不成立；当a <0时，开口向下，对称轴x ＝14a<0，过点(0，－1)，不成立；当a >0时，开口向上，对称轴x ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，符合要求．故a 的取值范围为(0，＋∞)．19．解f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 34＝log x 34x ，当1<x <43时，34x <1，∴log x 34x <0；当x >43时，34x >1，∴log x 34x >0.即当1<x <43时，f (x )<g (x )；当x >43时，f (x )>g (x )．20．解(1)∵t ＝log 2x ，14x ≤4，∴log 214≤t ≤log 24，即－2≤t ≤2.(2)f (x )＝(log 24＋log 2x )(log 22＋log 2x )＝(log 2x )2＋3log 2x ＋2，∴令t ＝log 2x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，∴当t ＝－32即log 2x ＝－32，x ＝322 时，f (x )min ＝－14.当t ＝2即x ＝4时，f (x )max ＝12.21．解(1)由对数函数的定义知1＋x 1－x>0，故f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝－log a 1＋x 1－x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)(ⅰ)对a >1，log a 1＋x 1－x >0等价于1＋x 1－x>1，①而从(1)知1－x >0，故①等价于1＋x >1－x 又等价于x >0.故对a >1，当x ∈(0,1)时有f (x )>0.(ⅱ)对0<a <1，log a 1＋x 1－x >0等价于0<1＋x 1－x<1，②而从(1)知1－x >0，故②等价于－1<x <0.故对0<a <1，当x ∈(－1,0)时有f (x )>0.综上，a >1时，x 的取值范围为(0,1)；0<a <1时，x 的取值范围为(－1,0)．22．解(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b －12＋2＝0⇒b ＝1.∴f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1，设x 1<x 2则f (x 1)－f (x 2)＝12112121x x -++＝()()2112222121x x x x -++.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数且x 1<x 2，∴22x －12x >0.又(12x ＋1)(22x ＋1)>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因为f (x )是奇函数，从而不等式：f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0.等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.。
1467_高中数学试卷：必修一 滚动练习四 模块质量检测(新人教B版)_0
滚动练习四模块质量检测一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设全集为U＝{x∈N |x <7}，集合A ＝{1，3，6}，集合B ＝{2，3，4，5}，则集合A ∩(∁U B )＝()A．{3}B．{1，3，6}C．{2，4，5}D．{1，6}2．已知函数f (x x ，x ≥0，2，x ＜0，则f (f (－2))的值是()A．4B．－4C．8D．－83．设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设函数f (x x ，x ≤0，2，x >0，若f (a )＝4，则实数a ＝()A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或25．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (2)<0且f (3)>0，则f (x )在(2，3)上的零点()A．至多有一个B．有1个或2个C．有且仅有一个D．一个也没有6．函数f (x )＝x －1＋2x 2－4的定义域为()A．[1，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．[1，2)∪(2，＋∞)7．若二次不等式ax 2＋bx ＋c >0|15<x 那么不等式2cx 2－2bx －a <0的解集是()A.{x |x <－10或x >1}|－14<x C．{x |4<x <5}D．{x |－5<x <－4}8．已知函数f (x )＝x (|x |＋1)，则不等式f (x 2)＋f (x －2)＞0的解集为()A．(－2，1)B．(－1，2)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是()A．A ∩B ＝∅B．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C．A ∪(∁R B )＝{x |x ≤－1或x >2}D．A ∩(∁R B )＝{x |2<x ≤3}10．下列图形中是函数的图象的是()11．下列四个命题中是假命题的为()A．存在x ∈Z ，1＜4x ＜3B．存在x ∈Z ，5x ＋1＝0C．任意x ∈R ，x 2－1＝0D．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞012．下列说法正确的是()A．x ＋1x 的最小值为2B．x 2＋1的最小值为1C．3x (2－x )的最大值为2D．x 2＋7x 2＋2的最小值为27－2三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为________．14．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的单调递增区间是________．15．能说明“若a >b ，则1a <1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次可以为________．16．已知λ∈R ，函数f (x －4，x ≥λ，2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则实数λ的取值范围是________.四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－6x －16≤0}，B ＝{x |－3≤x ≤5}．(1)若C ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，C ⊆(A ∩B )，求实数m 的取值范围；(2)若D ＝{x |x >3m ＋2}，且(A ∪B )∩D ＝∅，求实数m 的取值范围．18．(12分)已知函数f(x)＝1x－1＋1.(1)证明：函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数；(2)记函数g(x)＝f(x＋1)－1，判断函数g(x)的奇偶性，并加以证明．19．(12分)已知函数f(x)＝ax2－(3＋2a)x＋6(a∈R).(1)当a＝1时，求f(x)在x∈[1，6)上的值域；(2)当a>0时，解关于x的不等式：f(x)>0.20．(12分)函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R，求使f(x)≥a恒成立时a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]，求使f(x)≥a恒成立时a的取值范围．21．(12分)高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过m (40＜m ≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求m 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝x ＋1x ＋1，g (x )＝ax ＋5－2a (a ＞0).(1)判断函数f (x )在[0，1]上的单调性，并加以证明；(2)若对任意m ∈[0，1]，总存在m 0∈[0，1]，使得g (m 0)＝f (m )成立，求实数a 的取值范围．滚动练习四模块质量检测1．解析：由题意U ＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以∁U B ＝{0，1，6}，A ∩(∁U B )＝{1，6}．答案：D2．解析：f (－2)＝(－2)2＝4，f (f (－2))＝f (4)＝2×4＝8.答案：C3．解析：x 3>8的解集为M ＝(2，＋∞)，|x |>2的解集为N ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，M N .答案：A≤0，a＝4，>0，2＝4，得a＝－4或a＝2.答案：B5．解析：由二次函数的图象得出．答案：C6．解析：令x－1≥0且x2－4≠0得出[1，2)∪(2，＋∞).答案：D＋14＝－ba，×14＝ca，＝－920a，＝120a，代入2cx2－2bx－a<0，得110ax2＋910ax－a<0，∵a<0，即为x2＋9x－10>0，解得x<－10或x>1.答案：A8．解析：因为f(x)＝x(|x|＋1)，所以f(－x)＝－x(|－x|＋1)＝－x(|x|＋1)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋x，可知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0]上也单调递增，即f(x)为R上的增函数，所以f(x2)＋f(x－2)＞0⇒f(x2)＞－f(x－2)⇒f(x2)＞f(2－x)，所以x2＞2－x，解得：x＜－2或x＞1.答案：D9．解析：∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x ≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，故A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；∵∁RB＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2，或x>－1}，故C不正确；A∩(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2，或x>2}＝{x|2<x≤3}，故D正确．答案：BD10．解析：对于B，因为对任意的自变量x可能有两个不同的y值与其对应，这与函数的定义有唯一确定的元素y与之对应矛盾．答案：ACD11．解析：选项A 中，14＜x ＜34且x ∈Z ，不成立；选项B 中，x ＝－15，与x ∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．答案：ABC12．解析：当x <0时，x ＋1x <0，故选项A 错误；因为x 2＋1≥1，所以选项B 正确；因为3x (2－x )＝－3(x －1)2＋3≤3，当x ＝1时取等号，故3x (2－x )的最大值为3，所以选项C 错误；因为x 2＋7x 2＋2＝(x 2＋2)＋7x 2＋2－2≥2（x 2＋2）·7x 2＋2－2＝27－2，(当且仅当x 2＋2＝7x 2＋2时取“＝”)，所以选项D 正确．答案：BD13．解析：化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，所以不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞).答案：(－∞，－1)∪(32，＋∞)14．解析：函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋2是偶函数，则函数的对称轴为y 轴，所以m －1＝0，即m ＝1，所以函数的解析式为f (x )＝－x 2＋2，所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0].答案：(－∞，0]15．解析：由题意知，当a ＝1，b ＝－1时，满足a >b ，但是1a >1b ，故答案可以为1，－1.(答案不唯一，满足a >0，b <0即可)答案：1，－1(答案不唯一)16．解析：令x －4＝0，解得x ＝4；令x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4.答案：(1，3]∪(4，＋∞)17．解析：(1)因为A ＝{x |x 2－6x －16≤0}＝{x |－2≤x ≤8}，B ＝{x |－3≤x ≤5}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}，因为C ⊆(A ∩B )，C ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，①若C ＝∅，则m ＋1>2m －1，所以m <2；②若C ≠∅＋1≤2m －1，＋1≥－2，m －1≤5，所以2≤m ≤3，综上，实数m 的取值范围为{m |m ≤3}，(2)由(1)得A ∪B ＝{x |－3≤x ≤8}，因为D ＝{x |x >3m ＋2}，且(A ∪B )∩D ＝∅，所以只需3m ＋2≥8，解得m ≥2，所以实数m 的取值范围为{m |m ≥2}．18．解析：(1)证明：设任意x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1≠x 2，则x 1－1>0，x 2－1>0.则Δf Δx ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝1x 1－1－1x 2－1x 1－x 2＝－1（x 1－1）（x 2－1）<0，∴f (x )在(1，＋∞)上递减．(2)解：g (x )＝f (x ＋1)－1＝1x，g (x )是奇函数，证明如下：∵g (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且g (－x )＝－1x ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．19．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－5x ＋6是开口向上，对称轴为x ＝52的二次函数，又因为x ∈[1，6)，所以当x ∈[1，52)时，函数f (x )单调递减；当x ∈[52，6)时，函数f (x )单调递增；所以f (x )min ＝f (52)＝254－5×52＋6＝－14，又因为f (1)＝2，f (6)＝12，所以f (x )max ＝12，因此f (x )在x ∈[1，6)上的值域为[－14，12).(2)由f (x )>0，得ax 2－(3a ＋2)x ＋6＝(ax －3)(x －2)>0.因为a >0，所以①当a ＝32时，由f (x )>0解得x ≠2；②当0<a <32时，由f (x )>0解得x <3a 或x >2；③当a >32时，由f (x )>0解得x <2或x >3a ，综上，当a ＝32时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当0<a <32时，原不等式的解集为|x <3a 或x当a >32时，原不等式的解集为|x <2或x 20．解析：(1)方法一f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，可知Δ＝a 2－4(3－a )≤0，解得－6≤a ≤2，故a 的取值范围为[－6，2].方法二x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，只需g (x )＝x 2＋ax ＋3－a 的最小值g (x )min ≥0，又g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ＝(x ＋a 2)2＋3－a －a 24，∴g (x )min ＝3－a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2，故a 的取值范围为[－6，2].(2)原不等式可化为x 2＋ax ＋3－a ≥0，x ∈[－2，2]，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则只需g (x )在x ∈[－2，2]上的最小值大于等于0.①若－a2≥2，即a ≤－4，则g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7，∴－7≤a ≤－4；②若－2<－a2<2，即－4<a <4，则g (x )min ＝g (－a 2)＝3－a －a 24≥0，∴－6≤a ≤2，∴－4<a ≤2；③若－a2≤－2，即a ≥4，则g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73，∴a ∈∅，综上，得－7≤a ≤2.21．解析：(1)当0＜x ≤40时，y ＝100x ；当40＜x ≤m 时，y ＝[100－(x －40)]x ＝－x 2＋140x ；当x ＞m 时，y ＝(140－m )x,所以y x ，0<x ≤40，x 2＋140x ，40<x ≤m ，m ）x ，x >m .(2)因为当0＜x ≤40时，y ＝100x ，y 随x 的增大而增大，当x ＞m 时，因为40＜m ≤100，所以140－m ＞0.所以y ＝(140－m )x ，y 随x 的增大而增大，当40＜x ≤m 时，y ＝[100－(x －40)]x ＝－x 2＋140x ＝－(x －70)2＋4900，所以当40＜x ≤70时，y 随x 增大而增大，当x ＞70时，y 随x 增大而减小，因为x ≤m ，所以，当40＜m ≤70时，景点收取的总费用随着团队中人数的增加而增加．22．解析：(1)函数f (x )在[0，1]上单调递增．证明如下：设0≤x 1＜x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1＋1－x 2－1x 2＋1＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1）＝（x 1－x 2）（x 1x 2＋x 1＋x 2）（x 1＋1）（x 2＋1），因为x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1x 2＋x 1＋x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[0，1]上单调递增．(2)由(1)知，当m ∈[0，1]时，f (m )∈[1，32].因为a ＞0，g (x )＝ax ＋5－2a 在[0，1]上单调递增，所以m 0∈[0，1]时，g (m 0)∈[5－2a ，5－a ]，依题意，只需[1，32]⊆[5－2a ，5－a ]，a ≤1，a ≥32，解得2≤a ≤72，即实数a 的取值范围为[2，72].。
高中数学模块素养测评卷二新人教A版必修第一册
模块素养测评卷(二)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合U＝{x∈N|0<x<8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则下列结论错误的是( )A．A∩B＝{3} B．A∪B＝{1，2，3，4，5，6}C．∁U A＝{4，5，6，7，8} D．∁U B＝{1，2，7}2．函数f(x)＝1x＋2＋1－x的定义域为( )A．[－2，1] B．(－2，1] C．(0，1] D．(1，＋∞)3.毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约 1050 km，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转π3rad，昆仑站运动的路程约为( )A．2 200 kmB．1 650 kmC．1 100 kmD．550 km4．设a＝20.6，b＝20.5，c＝0.50.6，则( )A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a5．已知点P(3，－4)是角α的终边上一点，则sin α－cos α＝( )A ．－75B ．－15C ．15D ．756．“log2x >log 2y ”是“1x<1y”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数f (x )＝2x＋3x ＋a 在区间(0，1)内存在零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－5) B ．(－5，－1) C ．(0，5) D ．(1，＋∞)8．已知函数f (x )满足f (sin x )＝cos 2x ＋cos2x ，则f (sin x －cos x )＝( ) A ．3sin 2x －1 B ．1－3sin 2x C ．3cos 2x －1 D ．1－3cos 2x二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝cos 2xC ．y ＝ln 1＋x 1－xD ．y ＝ln (1＋x )＋ln (1－x )10．关于函数f (x )＝tan (x 2－π3)，下列说法正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为2πB ．f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋5π6，k ∈Z C ．f (x )的图象的对称中心为(k π＋2π3，0)，k ∈Z D ．f (x )在区间(0，π)上单调递增11．下列说法正确的是( )A ．若x ，y >0，满足x ＋y ＝2，则2x＋2y的最大值为4 B ．若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最小值为3C ．若x ，y >0，满足x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为2D ．函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为912．已知函数f (x )＝|lg x |，若a ＞b ＞c ，且f (c )>f (a )>f (b )，则( ) A ．a ＞1 B ．b ＞1 C ．0＜c ＜1 D ．0＜ac ＜1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．幂函数f (x )的图象过点(3，3)，则f (8)＝________． 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π6x ，x 是有理数，sin x ，x 是无理数．则f (f (13))＝________．15．Sigmoid 函数是一个在生物学、计算机神经网络等领域常用的函数模型，其解析式为S (x )＝11＋e －x ，则此函数在R 上________(填“单调递增”“单调递减”或“不单调”)，值域为________．16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数且以6为周期，若f (2)＝0，则f (x )在区间(0，10)内至少有________个零点．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点(2，9)， (1)求实数a 的值；(2)若f (2x －1)<3，求实数x 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知α是第三象限角，且sin α＝－35，(1)求cos （π2＋α）·cos （2π－α）·tan （α－π）sin （α－3π）·tan （－π－α）的值；(2)求sin (2α＋π3)的值．19．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)当x∈R时，求使f(x)≤1成立的x的取值集合．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log211－x，(1)设函数h(x)＝f(x)＋g(x)，判断函数h(x)的奇偶性，并说明理由；(2)∀x∈(－1，1)，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，求函数M(x)的解析式．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)把f (x )图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，再向左平移5π24个单位长度，向下平移1个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的单调区间．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数， (1)当x ＜0时，f (x )＝x (x －1)，求当x ＞0时，f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，0]上单调递增，①判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的判断；②若f (－2x 2＋x )＋f (－2x 2－k )<0对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围．模块素养测评卷(二)1．答案：C解析：因为集合U ＝{x ∈N |0<x <8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，所以A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6}，∁U A ＝{4，5，6，7}，∁U B ＝{1，2，7}．2．答案：B解析：要使函数f (x )＝1x ＋2＋1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>01－x ≥0，解得－2<x ≤1， 则函数f (x )的定义域为(－2，1]. 3．答案：C解析：因为昆仑站距离地球南极点约1 050 km ，地球每自转π3 rad ，所以由弧长公式得：l ＝1 050×π3≈1 100.4．答案：D解析：由题， c ＝0.50.6＝(12)0.6＝2－0.6，对于指数函数y ＝2x可知在R 上单调递增，因为－0.6<0.5<0.6， 所以2－0.6<20.5<20.6，即c <b <a .5．答案：A解析：由三角函数的定义可得 sin α－cos α＝－432＋（－4）2－332＋（－4）2＝－75. 6．答案：C解析：log 2x >log 2y ⇔x >y >0， 1x<1y⇔x >y >0⇔x >y >0，因此“log 2x >log 2y ”是“1x <1y”的充分必要条件．7．答案：B解析：函数f (x )＝2x＋3x ＋a 在区间(0，1)内存在零点，且函数在定义域内单调递增， 由零点存在性定理知f (0)·f (1)<0， 即(1＋a )(5＋a )<0，解得－5<a <－1， 所以实数a 的取值范围是(－5，－1). 8．答案：A解析：∵f (sin x )＝cos 2x ＋cos2x ＝1－sin 2x ＋1－2sin 2x ＝2－3sin 2x ， ∴f (x )＝2－3x 2，∴f (sin x －cos x )＝2－3×(sin x －cos x )2＝2－3×(1－2sin x cos x )＝－1＋6sin x cos x ＝－1＋3sin 2x . 9．答案：BD解析：A 选项定义域为R ，又f (－x )＋f (x )＝(－x )3＋x 3＝0，故A 选项为奇函数；C 选项定义域为(－1，1)，又f (－x )＋f (x )＝ln 1＋x 1－x ＋ln 1－x1＋x ＝ln 1＝0，故C 选项为奇函数；故AC 选项不对；B 选项定义域为R ，f (－x )＝cos (－x )＝cos x ＝f (x )，故B 为偶函数；D 选项定义域为(－1，1)，f (x )＝ln (1＋x )＋ln (1－x )，f (－x )＝ln (1－x )＋ln (1＋x )，于是f (x )＝f (－x )，D 选项为偶函数．10．答案：ACD解析：函数f (x )的最小正周期为T ＝π12＝2π，A 对；由x 2－π3≠k π＋π2(k ∈Z )，解得x ≠2k π＋5π3(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域为{x |x ≠2k π＋5π3，k ∈Z }，B 错；由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， 所以，函数f (x )图象的对称中心为(k π＋2π3，0)(k ∈Z )，C 对；当0<x <π时，－π3<x 2－π3<π6，故函数f (x )在区间(0，π)上单调递增，D 对． 11．答案：CD解析：若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x＋2y≥22x ＋y＝2×2＝4，当且仅当x ＝y ＝1时等号成立，没有最大值，故A 错误；若x <12，即2x －1<0，则函数y ＝2x －1＋12x －1＋1≤－2（2x －1）12x －1＋1＝－1，当且仅当x ＝0等号成立，故B 错误；若x ，y >0，xy ＝3－(x＋y )≤（x ＋y ）24，所以(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，所以(x ＋y ＋6)(x ＋y －2)≥0，所以x ＋y ≥2，(当且仅当x ＝y ＝1时取等)，所以x ＋y 的最小值为2.故C 正确；y ＝1sin 2x ＋4cos 2x＝(sin 2x ＋cos 2x )(1sin 2x ＋4cos 2x )＝5＋cos 2x sin 2x ＋4sin 2xcos 2x≥5＋2cos 2x sin 2x ·4sin 2xcos 2x＝9，当且仅当2sin 2x ＝cos 2x 时等号成立，故D 正确．12．答案：ACD解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－lg x ，0<x <1lg x ，x ≥1，定义域为(0，＋∞)，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为a ＞b ＞c ，且f (c )>f (a )>f (b )，结合函数图象可知，0<c <1，且a >1，b 则可能大于1，也可能大于0小于1，故AC 正确，B 错误；其中－lgc >lg a ，则lg c ＋lg a ＝lg ac <0，故0<ac <1，D 正确．13．答案：2 2解析：由f (x )为幂函数，则可设f (x )＝x α， 又函数f (x )的图象过点(3，3)， 则3α＝3，则α＝12，即f (x )＝x 12，则f (8)＝812＝2 2. 14．答案：12解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π6x ，x 是有理数，sin x ，x 是无理数．所以f (f (13))＝f (13π6)＝sin (13π6)＝sin (2π＋π6)＝sin π6＝12.15．答案：单调递增 (0，1)解析：∵S (x )＝11＋e －x ＝11＋1ex＝e xe x ＋1＝1－1e x ＋1，定义域为R ， ∀x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则S (x 1)－S (x 2)＝1－1e x 1＋1－(1－1e x 2＋1)＝e x 1－e x 2（e x 1＋1）（e x 2＋1），∵x 1<x 2，∴0<e x 1<e x 2，e x 1＋1>0，e x 2＋1>0，e x 1－e x 2<0， ∴S (x 1)－S (x 2)<0，即S (x 1)<S (x 2)， 所以函数S (x )＝11＋e －x 在R 上单调递增；又e x>0，所以e x＋1>1，0<1e x ＋1<1，－1<－1e x＋1<0，0<1－1e x ＋1<1，即S (x )∈(0，1). 16．答案：6解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数且以6为周期， 所以f (x )＝－f (－x )，f (x )＝f (x ＋6)，即f (－x )＋f (x ＋6)＝0，所以f (x )的图象关于(3，0)对称，且f (3)＝0， 则f (9)＝0，又f (0)＝0，f (6)＝0， 又f (2)＝0，所以f (8)＝0，f (－2)＝0，f (4)＝0， 所以f (x )在区间(0，10)内至少有6个零点． 17．解析：(1)依题意a >0且a ≠1，f (2)＝a 2＝9⇒a ＝3.(2)∵f (x )＝3x在R 上是增函数， 且f (2x －1)<3＝f (1)， ∴2x －1<1， ∴x <1，∴所求x 的取值范围是(－∞，1).18．解析：(1)由α是第三象限角，且sin α＝－35，得cos α＝－45.原式＝（－sin α）·cos α·tan α（－sin α）（－tan α）＝－cos α＝45.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝725，所以sin (2α＋π3)＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝12sin 2α＋32cos 2α＝24＋7350. 19．解析：(1)表中数据补充完整为：f (x )＝2sin (3x －6).(2)由2sin (3x －π6)≤1，可得sin (3x －π6)≤12，所以2k π－7π6≤3x －π6≤2k π＋π6，解得23k π－π3≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z ，所以使f (x )≤1成立的x 的取值集合为[23k π－π3，23k π＋π9]，k ∈Z .20．解析：(1)h (x )＝log 2(1＋x )＋log 211－x＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， h (x )的定义域为(－1，1)，h (－x )＝log 2(1－x )－log 2(1＋x )＝－h (x )，所以h (x )是奇函数．(2)f (x )－g (x )＝log 2(1＋x )－log 211－x＝log 2[(1＋x )(1－x )]＝log 2(1－x 2)≤log 21＝0，所以当x ∈(－1，1)时，f (x )≤g (x )，所以M (x )＝max{f (x )，g (x )}＝g (x )＝log 211－x ，x ∈(－1，1).21．解析：(1)由图可知A ＋b ＝3，－A ＋b ＝－1，所以A ＝2，b ＝1.又T 2＝5π12＋π12＝π2，所以T ＝π， 因为ω>0，所以ω＝2πT＝2.因为f (5π12)＝2sin (5π6＋φ)＋1＝3，所以5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π，得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin (2x －π3)＋1.(2)由题意得g (x )＝2sin (4x ＋π2)＝2cos 4x ，由2k π≤4x ≤π＋2k π(k ∈Z )，得k π2≤x ≤π4＋k π2(k ∈Z )， 故g (x )的单调递减区间为[k π2，π4＋k π2](k ∈Z )， 由π＋2k π≤4x ≤2π＋2k π(k ∈Z )， 得π4＋k π2≤x ≤π2＋k π2(k ∈Z )， 故g (x )的单调递增区间为[π4＋k π2，π2＋k π2](k ∈Z ). 22．解析：(1)当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x (－x －1)， 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，11 所以f (－x )＝－f (x )，故－f (x )＝－x (－x －1)，所以当x >0时，f (x )＝－x (x ＋1).(2)①f (x )在(0，＋∞)上单调递增，理由如下：因为f (x )在(－∞，0]上单调递增，所以对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2时，有f (x 1)<f (x 2)，则－x 1，－x 2∈(0，＋∞)，且－x 1>－x 2，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (x 1)＝－f (－x 1)，f (x 2)＝－f (－x 2)，故－f (－x 1)<－f (－x 2)，即f (－x 1)>f (－x 2)，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )在(－∞，0]上单调递增，可得函数f (x )在R 上单调递增，又f (－2x 2＋x )<－f (－2x 2－k )，则f (－2x 2＋x )<f (2x 2＋k )，因为f (x )在R 上单调递增，故－2x 2＋x <2x 2＋k 恒成立，即k >－4x 2＋x ＝－4(x －18)2＋116，所以实数k 的取值范围为(116，＋∞).E －2。
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模块检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( )．A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A解析 A 、B 、C 中符合“∈”“⊆”用错． 答案 D2．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( )．A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析 由1－x >0得x <1，∴M ＝{x |x <1}．∵1＋x >0，∴x >－1.∴N ＝{x |x >－1}．∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}．答案 C3．若0<m <n ，则下列结论正确的是 ( )．A ．2m >2nB ．(12)m <(12)nC ．log 2m >log 2nD ．解析 ∵y ＝2x 是增函数0<m <n ， ∴2m <2n ；∵y ＝(12)x 是减函数，0<m <n ，∴(12)m >(12)n ；y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 2m <log 2n . 答案 D4．若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是( )．A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点B ．函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)内有零点C ．函数f (x )在区间[2,16)内无零点D ．函数f (x )在区间(1,16)内无零点 解析 零点在(0,2)内，则不在[2,16)内． 答案 C5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1 x <1x 2＋ax x ≥1若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于 ( )．A.12B.45 C ．2D ．9解析 ∵f (0)＝20＋1＝2.∴f (f (0))＝f (2)＝22＋2a ＝4a ， ∴2a ＝4，∴a ＝2. 答案 C6．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足的x 的取值范围是( )．A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞) C ．(0，18)∪(12，2) D．(0，12)答案 B 7．函数y ＝x ＋43－2x的定义域是( )．A ．(－∞，32] B ．(－∞，32) C ．[32，＋∞)D ．(32，＋∞)解析 由3－2x >0得x <32. 答案 B8．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则(A ∩U B )∪(B ∩U A )＝( )． A ．∅ B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0或x ≤－1}解析 U B ＝{x |x >－1}，U A ＝{x |x ≤0}，∴A ∩U B ＝{x |x >0}，B ∩U A ＝{x |x ≤－1}，∴(A ∩U B )∪(B ∩U A )＝{x |x >0或x ≤－1}． 答案 D9．设a >0，a ≠1，则函数y ＝log a x 的反函数和函数y ＝log a 1x 的反函数的图象关于( )．A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．原点对称解析 y ＝log a x 与y ＝log a 1x ＝－log a x 关于y 轴对称， 则其反函数也关于y 轴对称． 答案 B10．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )．A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析 由题意知需f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 答案 A11．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 21x ＋1的图象关于y ＝x 对称，则f (1)的值为( )．A ．1B ．－1C.12D．－12解析(m，n)关于y＝x的对称点(n，m)，要求f(1)，即求满足1＝log21x＋1的x的值，解得x＝－1 2.答案 D12．若函数f(x)＝log a(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a等于()．A.13 B. 2C.22D．2解析∵x∈[0,1]，∴x＋1∈[1,2]．当a>1时，log a1≤log a(x＋1)≤log a2＝1，∴a＝2.当0<a<1时，log a2≤log a(x＋1)≤log a1＝0与值域[0,1]矛盾．答案 D二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．计算：0.25×(－12)－4＋lg 8＋3lg 5＝________.解析原式＝14×24＋3lg 2＋3lg 5＝4＋3＝7.答案714．满足对定义域内任意x1，x2，都有f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2)成立的函数f(x)＝________(写出一个即可)．解析由于指数函数y＝a x，有故只需写一个指数函数即可．答案2x15．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，f(2)＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为________．解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f (log 2x )>0，可化为：f (|log 2x |)>f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴|log 2x |>2，∴log 2x >2或log 2x <－2， ∴x >4或0<x <14.答案 (0，14)∪(4，＋∞) 16．设在m >1时，a 、b 、c 的大小关系是________．解析 因为m >1，所以0<a ＝(23)m <23，故b >a >c .答案 b >a >c三、解答题(共6小题，共70分)17．(10分)设A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}． (1)当x ∈N *时，求A 的子集的个数；(2)当x ∈R 且A ∩B ＝∅时，求m 的取值范围． 解 (1)由题意知A 中元素为{1,2,3,4,5}， ∴A 子集的个数为25＝32.(2)∵x ∈R 且A ∩B ＝∅，∴B 可分为两个情况． ①当B ＝∅时，即m －1>2m ＋1⇒m <－2；②当B ≠∅时，可得⎩⎨⎧ 2m ＋1<－2m －1≤2m ＋1或⎩⎨⎧m －1>5m －1≤2m ＋1，解得－2≤m <－32或m >6. 综上：m <－32或m >6.18．(12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解 (1)由⎩⎨⎧1－x >0x ＋3>0得－3<x <1，所以函数的定义域{x |－3<x <1}，f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)， 设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值， 所以log a 4＝－2，解得：a ＝12.19．(12分)已知函数f (x )＝ax ＋1x 2(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解 (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝1x 2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾； 若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)，1＝－1矛盾， ∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)任取x 1>x 2≥3，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22)．∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数，∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立．∵1x 1x 22＋1x 21x 2<227，∴a ≥227. 20．(12分)已知函数f (x )＝a x －a ＋1，(a >0且a ≠1)恒过定点(3,2)，(1)求实数a；(2)在(1)的条件下，将函数f(x)的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g(x)，设函数g(x)的反函数为h(x)，求h(x)的解析式；(3)对于定义在[1,9]的函数y＝h(x)，若在其定义域内，不等式[h(x)＋2]2≤h(x2)＋m＋2恒成立，求m的取值范围．解(1)由已知a3－a＋1＝2，∴a＝3，(2)∵f(x)＝3x－3＋1，∴g(x)＝3x，∴h(x)＝log3x(x>0)．(3)要使不等式有意义，则有1≤x≤9且1≤x2≤9，∴1≤x≤3，据题有(log3x＋2)2≤log3x2＋m＋2在[1,3]恒成立．∴设t＝log3x(1≤x≤3)，∴0≤t≤1.∴(t＋2)2≤2t＋m＋2在[0,1]时恒成立，即：m≥t2＋2t＋2在[0,1]时恒成立，设y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，t∈[0,1]，∴t＝1时有y max＝5，∴m≥5.21．(12分)设函数f(x)＝ax－1x＋1，其中a∈R.(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．解f(x)＝ax－1x＋1＝a(x＋1)－a－1x＋1＝a－a＋1x＋1，设x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝a＋1x2＋1－a＋1x1＋1＝(a＋1)(x1－x2) (x1＋1)(x2＋1).(1)当a＝1时，f(x)＝1－2x＋1，设0≤x1<x2≤3，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)(x1＋1)(x2＋1)，又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在[0,3]上是增函数，∴f(x)max＝f(3)＝1－24＝12，f(x)min＝f(0)＝1－21＝－1.(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0.若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)<0，而f(x1)－f(x2)＝(a＋1)(x1－x2)(x1＋1)(x2＋1)，∴当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．∴当a<－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．22．(12分)某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系为f(x)＝1150x(x＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12)．(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式．(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？解(1)由题意知：g(x)＝f(x)－f(x－1)＝1150·x(x＋1)(35－2x)－1150(x－1)x[35－2(x－1)]＝1150x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)]＝1150x(72－6x)＝125x(12－x)．∴g(x)＝125x(12－x)(x∈N且x≤12)．(2)g(x)＝x25(12－x)＝－125(x2－12x＋36－36)＝－125[(x－6)2－36]＝－125(x－6)2＋3625，∴当x＝6时，g(x)有最大值36 25.即第六个月需求量最大，为3625万件．。