初中数学知识点精讲精析 解一元二次方程的算法

第2节 解一元二次方程的算法

要点精讲

1. 因式分解法：

当一元二次方程一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可以使每个一次因式为0，分别解出两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。 这种方法我们称之为因式分解法。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

（1）将方程的右边化为0。

（2）将方程的左边分解成两个一次因式的积。

（3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程。

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。

2. 直接开平方法：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。

这种方法适合解左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的方程，即形如（x ＋a ）2＝b （b ≥0）的方程。

直接开平方法的步骤：

强调：当b ＜0时，负数平方根，即方程（x ＋a ）2＝b 无实数解。

3. 配方法：

把形如ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的一元二次方程通过配方变形为（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的形式，然后用直接开平方法解一元二次方程，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，同时在数学的其它方面也有重要的应用。

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

（1）化二次项系数为1

（2）移项：使方程左边只有二次项和一次项，常数项在右边。

（3）配方：在方程两边都加上一次项系数一半的平方。

（4）方程变形为（x ＋m ）2＝n 的形式

4. 公式法

公式法是求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

即方程有解的条件是：b 2－4ac ≥0

如果b 2－4ac ＜0时，该一元二次方程没有实数根，在应用公式解一元二次方程时，也()（）用完全平方公式将方程化为的形式；102

x a b b +=≥()（）方程两边开平方得：2x a b +=±（）求得原方程的解：，312x a b x a b =+=-222)(2b a b ab a ±=+±全平方式：配方法的理论依据是完，可得解；，得如果n m x n ±=+≥0，原方程没有实数根。如果0

应将方程化为一般形式。

用求根公式解一元二次方程的一般步骤：

（1）把一元二次方程化成一般形式；

（2）确定公式中a、b、c的值；

（3）求出b2－4ac的值。

（4）若b2－4ac≥0，则把a、b、c及b2－4ac的值代入公式即可求解；若b2－4ac＜0，此时方程无实数根。

典型例题

【例1】解方程：x2+4x+4=1

【答案】x1=-1，x2=-3

【解析】很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1

直接开平方，得：x+2=±1

即x+2=1，x+2=-1

所以，方程的两根x1=-1，x2=-3

【例2】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．

【答案】20%

【解析】设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2

解：设每年人均住房面积增长率为x，

则：10（1+x）2=14.4

（1+x）2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．

所以，每年人均住房面积增长率应为20%．