选修2-2《导数及其应用》函数的单调性与导数
人教A版数学选修2-2课件：1.3.1函数的单调性与导数
【解析】∵f(x)＝x3－3x， ∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)． 令f′(x)＞0，可解得x＜－1或x＞1， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 令f′(x)＜0，可解得－1＜x＜1， ∴f(x)的单调递减区间为(－1,1)． 故f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在区间 (－1，1)上单调递减．
C．y＝12x
D．y＝1x
【答案】BCD
【解析】在 A 中，y＝log2x 在区间(0，＋∞)上为增函数；在 B 中，y＝－ x在区间(0，＋∞)上为减函数；在 C 中，y＝12x 在 区间(0，＋∞)上为减函数；在 D 中，y＝1x在区间(0，＋∞)上为 减函数．故选 BCD．
(202X年四川成都外国语学校月考)已知函数f(x)＝x2＋ 2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是 ()
x＝1－xl2n
x .
∵0＜x＜2，∴ln x＜ln 2＜1,1－ln x＞0.
∴f′(x)＝1－xl2n x＞0.
根据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)＝
ln x
x
在区间
(0,2)上是单调递增函数．
利用导数证明一个函数在给定这时一般是先将函数的导 数求出来，然后对其进行整理、化简、变形，根据不等式的相 关知识，在给定区间上判断导数的正负，从而得证．
【解析】(1)函数的定义域为R.
y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．
令y′＞0，则2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2.
所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．
令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2，
高中数学 第一章 导数及其应用 3.1 函数的单调性与导数(2)课件 新人教B版选修2-2
(3 )函 数 y x 3的 定 义 域 为 R ,并 且 在 定 义 域 上 是 增 函 数 ,
其 导 数 y 3 x 2
若 x 0 , 则 其 导 数 3 x 2 0 ; 当 x 0 , 则 其 导 数 3 x 2 0 . (4)函 数 y1的 定 义 域 为 (,0) (0,),并 且
第1章 导数及应用
1.3.1 函数的单调性与导数
函数的 单调性 与导数
内容：利用导数研究函数的单调性
应用
利用导函数判断原函数大致图象
利用导数求函数的单调区间 从导数的角度解释增减及增 减快慢的情况
有关含参数的函数单调性问题
本课主要学习利用导数研究函数的单调性.利用动画剪纸之 对称性引入新课,接着复习了函数单调性的相关问题，通过探 究跳水运动中高度h随时间t变化的函数的图象,讨论运动员的 速度v随时间t变化的函数关系，再结合具体函数，探究函数在 某个点处的导数值与函数在该点处的单调性问题。结合具体例 子探索函数的单调性与导数的关系、利用导数判断函数的单调 性或求函数的单调区间、从导数的角度解释增减及增减快慢的 情况及含参数的函数单调性问题．重点是利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间．
函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调
性的关系是：
y f (x)
(x1, f (x1))
(x0, f (x0))
在 xx0处 ,f(x0)0,切 线 是 左 下 右 上 , 函 数 f(x)在 x0附 近 单 调 递 增
在 xx1处 ,f(x1)0,切 线 是 左 上 右 下 , 函 数 f(x)在 x1 附 近 单 调 递 减
4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
图象法 定义法
单增区间：(２，+∞). 单减区间：(－∞，２).
高中数学教学课例《函数的单调性与导数》课程思政核心素养教学设计及总结反思
一步熟练导数研究单调性的方法，规范解题格式步骤； 其次，三个导函数题都与二次函数有关，且用到指数函 数的性质，进一步强化二次不等式的解法和指数函数性 质，让学生体会导数问题的综合性．再次，第 3 题中设 置了参数 a，在此不需单独讨论，但在老师的追问下， 有些学生已经意识到有时要对 a 进行讨论，为下面针对 参数的分类讨论埋下伏笔．
解：若函数在上是增函数， 则大于或等于零在上恒成立 恒成立，解得实数的取值范围为[2，4]. 针对变式 4 中学生出现的两种思路，教师再提出问 题：请同学们思考下面这个问题： 变式 5、（1）若函数的单调递减区间为（）求实 数的取值范围． （2）若函数的在区间（）上单调递减，求实数的 取值范围． 我的思考：“单调递减区间为（）”与“在区间（） 上单调递减”是两个截然不同的问题情境．设计这个变 式题组，一是让学生辨析这两种不同叙述的含义，二是 对变式 4 两种思路的进一步明晰． 学生独立思考，然后进行生生交流，最后统一答案． （1）解：令导数，即，再讨论的符号， 当>0 时，解得， 所以函数的单调减区间为， 函数的减区间为（），则（）， 所以，即； 当 a=0 时，函数的导数恒成立． 所以 a=0 时函数不存在单调减区间； 当时，函数的导数总成立．
(完整word版)高中数学选修2-2函数的单调性与导数
1.3.1函数的单调性与导数［学习目标］1•结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函.3.会求函数的单调区间(其中多项式数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式函数的最高次数一般不超过三次).尸知识梳理自主学习知识点一函数的单调性与其导数的关系在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系:导数函数的单调性f' (x)>0单调递增f' (x)<0单调递减—f' (x) = 0常函数思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设X i V X2的前提下，比较f(x i)与f(X2)的大小，在函数y= f(x)比较复杂的情况下，比较f(x i)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减知识点二利用导数求函数的单调区间利用导数确定函数的单调区间的步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域.⑵求出函数的导数f' (x).(3)解不等式f' (x)>0,得函数的单调递增区间；解不等式f' (x)v0,得函数的单调递减区间.知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度如图，函数y= f(x)在(a,0)和(0, b)内的图象“陡峭”，在(一® a)和(b,+^ )内的图象“平题型一利用导数确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间.(1)f(x) = 3X2—2ln x; (2)f(x)= x2• e e；1(3)f(x) = x+ x .解⑴函数的定义域为 D = (0 ,+^). T f' (x)= 6x—2,令f (x) = 0，得x i = ¥, X2= —申x 3 3 (舍去)，用x i分割定义域D，得下表:x0,号3+ 8 3 ,+f' (x)一0+f(x)•••函数f(x)的单调递减区间为0,呼，单调递增区间为.3 3⑵函数的定义域为D = (— 8,+^). •/ f' (x)= (x2)' e—x+ x2(e—x)' = 2xe—x—x2e—x= e—x(2x —x2)，令f' (x)= 0，由于e x> 0, • x i = 0, x2= 2,用x i, x2分割定义域D，得下表：x(—8, 0)0(0,2)2(2, +8)f' (x)一0+ 0一f' (x)• f(x)的单调递减区间为(—8, 0)和(2, +8)，单调递增区间为(0,2).(3)函数的定义域为D = (—8 , 0)U (0, +8).1f ' (x)= 1 —~2,令f' (x)= 0，得x i=—1, X2= 1，用x i , X2 分割定义域D，得下表:xx(—8,—1)—1(—1,0)(0,1)1(1 ,+ 8 )f' (x)+0一一0+f(x)•••函数f(x)的单调递减区间为(一1,0)和(0,1)，单调递增区间为(一8,—1)和(1,+8).反思与感悟首先确定函数定义域，然后解导数不等式，最后写成区间的形式，注意连接同类单调区间不能用“U”.跟踪训练1 求函数f(x)= x3—3x的单调区间.解f' (x)= 3x2—3 = 3(x2—1).当f' (x)> 0 时，x v—1 或x> 1,此时函数f(x)单调递增；当f' (x)v 0时，一1 v x v 1,此时函数f(x)单调递减.•函数f(x)的递增区间是(—8,—1), (1,+ 8 )，递减区间是(一1,1).题型二利用导数确定函数的大致图象例2 画出函数f(x) = 2x3—3x2—36x+ 16的大致图象.解f' (x) = 6x2—6x—36= 6(x2—x—6)= 6(x—3)(x+ 2).由f' (x)> 0 得x v — 2 或x> 3,•函数f(x)的递增区间是(一8,—2)和(3,+ 8).由f' (x)v 0 得一2v x v 3,•函数f(x)的递减区间是(一2,3).由已知得f( —2) = 60, f(3)=—65, f(0) = 16.•结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一).反思与感悟利用导数可以判定函数的单调性，而函数的单调性决定了函数图象的大致走向当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象跟踪训练2已知导函数f' (x)的下列信息：当2v x v 3 时，f' (x)v 0;当x> 3 或x v 2 时，f' (x)> 0;当x= 3 或x= 2 时，f' (x)= 0;试画出函数f(X )图象的大致形状•解当2 v X V 3时，f' (x)v 0，可知函数在此区间上单调递减；当x> 3或x v 2时，f' (x)> 0，可知函数在这两个区间上单调递增；当x= 3或x= 2时，f' (x)= 0，在这两点处的两侧，函数单调性发生改变综上可画出函数f(x)图象的大致形状，如图所示(答案不唯一).例3 已知函数f(x)= 2ax—x3, x€ (0,1］, a>0,若函数f(x)在(0,1］上是增函数，求实数a的取值范围•解f' (x) = 2a —3x2,又f(x)在(0,1］上是增函数等价于f' (x)>0对x€ (0,1］恒成立，且仅有有限个点使得f' (x) = 0,3••• x€ (0,1］时，2a —3x2>0,也就是a>3x2恒成立.3 3又x€ (0,1］时，/2€ 0, ,3• a的取值范围是-,+ ^反思与感悟已知函数在某个区间上的单调性，求参数的范围，是近几年高考的热点问题，解决此类问题的主要依据就是导数与函数的单调性的关系，其常用方法有三种：①利用充要条件将问题转化为恒成立问题，即f' (x)> 0(或f' (x) w 0)在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；②利用子区间(即子集思想)，先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求出的增或减区间的子集；③利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置•1跟踪训练 3 已知函数f(x)= In x, g(x)= 2ax2+ 2x, a^ 0.(1)若函数h(x) = f(x)—g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围;⑵若函数h(x) = f(x)—g(x)在［1,4］上单调递减，求a的取值范围1解(1)h(x) = In x —?ax2—2x, x€ (0, + ),1• h' (x)= -一ax— 2.xh(x)在(0, + m)上存在单调递减区间,1•••当 x € (0,+^)时，-一ax — 2v 0 有解，x 1 2即a >X — 2有解. 1 2设 G(x) = x 2-X ， 只要a >G(x)min 即可. 工1 2而 G(x) = - — 1 2— 1,x--G (x)min = 一 1 , a > — 1.(2) •/ h(x)在［1,4］上单调递减，1• x € ［1,4］时，h ' (x) = 一一 ax — 2< 0 恒成立,x 1 2即a > £— 2恒成立，x 2 x- 1 …--a 》G(X )max ，而 G(x)= x 一 1 一 1 ,• ■ • a 》—16.1 1错解 y ' = 1 — i,令y ' = 1 —1 >0,得x > 1或x v 0,所以函数y = x — ln x 的单调递增区x x 1间为(1, + m ), (—g, 0).令y ' = 1 — _v 0,得0 v x v 1,所以函数y = x — In x 的单调递减 x 区间为(0,1).错因分析在解与函数有关的问题时，一定要先考虑函数的定义域，这是最容易忽略的地方. 正解 函数y = x — ln x 的定义域为(0, + g ), 又 y ' = 1 —-,X ，1令y ' = 1 — ->0,得x > 1或x v 0(舍去)，所以函数y = x — ln x 的单调递增区间为(1, + g ). x 1令y ' = 1 — _v 0,得0v x v 1,所以函数y = x — ln x 的单调递减区间为(0,1). x 防范措施 在确定函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域--G (x)max =_7 16,例4 求函数y = x — ln x 的单调区间m当堂检测宜查自纠1•函数f(x) = x + In x 在(0,6)上是()A. 单调增函数B. 单调减函数1 1C. 在0,-上是减函数，在-，6上是增函数e e1 1D. 在0, -上是增函数，在-，6上是减函数e e答案A1解析•/ x€ (0,6)时，f，(x) = 1 + -> 0,•••函数f(x)在(0,6)上单调递增.x2. f，(x)是函数y= f(x)的导函数，若y= f，(x)的图象如图所示，则函数y= f(x)的图象可能是( )答案D解析由导函数的图象可知，当x v 0时，f，(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0v x v 2时, f，(x)< 0，即f(x)为减函数；当x> 2时，f，(x)> 0，即函数f(x)为增函数•观察选项易知D正确•3•若函数f(x)= x3—ax2- x+ 6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A. [1,+旳B.a= 1C.(—s, 1]D.(0,1)答案A解析T f，(x) = 3x2—2ax—1,且f(x)在(0,1)内单调递减，•不等式3x2—2ax—K 0在(0,1)内恒成立，• f，(0)w 0,且f，(1)w 0, • a> 1.4•函数y = x 2— 4x + a 的增区间为 ________ ，减区间为 ________ . 答案(2,+^ )( — 8, 2)解析 y ' = 2x — 4,令 y ' > 0,得 x > 2;令 y ' v 0,得 x v 2, 所以y = x 2— 4x + a 的增区间为(2,+ g )，减区间为(一^, 2).1 一5•已知函数 f(x) = 2ax — -, x € (0,1］.若f(x)在x € (0,1］上是增函数，则 a 的取值范围为x1答案—2，+m1解析 由已知条件得f ' (x) = 2a +采.••• f(x)在 (0,1］上是增函数，1而g(x) = — 2"2在 (0,1］上是增函数,1f ' (x)=— 1 + p 对 x € (0,1］有 f ' (x)>0,且仅在 x = 1 时, —1• a =— 时，f(x)在(0,1］上是增函数 一 1• a 的取值范围是一夕+g ._课堂小结 ------------------判断函数单调性的方法如下：(1)定义法.在定义域内任取 X 1 , x 2,且X 1V X 2，通过判断f(X 1)—f(x 2)的符号来确定函数的单调 性.⑵图象法.利用函数图象的变化趋势进行直观判断.图象在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图象在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数 (3)导数法.利用导数判断可导函数 f(x)在区间(a , b)内的单调性，步骤是：①求f ' (x);②确定f ' (x)在(a , b)内的符号；③确定单调性.(x)> 0, 12护在x € (0,1］上恒成立g(X )max = g(1)=— 12.f ' (x) = 0.求函数y = f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f' (x) > 0和f' (x) v 0所得的x的取值集合.反过来，如果已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f' (x)>0在D上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f(x)中参数的值.同样可以解决已知f(x)在区间D上单调递减，求f(x)中参数的值的问题.课时精练一、选择题1•函数y=(3 —x1 2)e x的单调递增区间是()A. ( —g, 0)B.(0 ,+s )C.( — g,—3)和(1 ,+g )D.( —3,1)答案D解析求导函数得y' = (—x2—2x+ 3)e x.令y' = (—x2—2x+ 3)e x>0,可得x2+ 2x—3v 0,—3v x v 1.•••函数y = (3 —x2)e x的单调递增区间是(—3,1).2.已知函数f(x) = —x3+ ax2—x—1在(一g, +g )上单调递减，则实数a的取值范围是()A. ( —g,—.3] U [ 3,+g )B. [ —.3, .3]C. ( — g,—.3) U ( 3,+g )D. ( —. 3, .3)答案B解析由题意得f' (x) = —3x2+ 2ax—1< 0在(—g , + g)上恒成立，且仅在有限个点上f' (x)=0，则有△= 4a2—12W 0,解得—.3W a w 3.3. 下列函数中，在(0,+g )内为增函数的是()A.y= sin xB.y= xe2C. y= x3—xD.y= In x—x答案B解析显然y= sin x在(0, + g)上既有增又有减，故排除A；对于函数y= xe2,因e2为大于零的常数，1对于 D , y' = —— 1 (x> 0).x故函数在(1, + g)上为减函数，在(0,1)上为增函数.故选B.不用求导就知y= xe2在(0 ,+g)内为增函数；对于C, y' = 3x2— 1 = 3 x+于x —_33,故函数在—g,——3, -3, + g上为增函数，3 3在—专，专上为减函数；3 34•设f(x), g(x)在［a, b］上可导，且f' (x)>g ' (x),则当a v x v b 时，有()A. f(x)> g(x)B. f(x)v g(x)C. f(x) + g(a)> g(x) + f(a)D. f(x) + g(b)> g(x) + f(b)答案C解析■/ f' (x) - g' (x) > 0,•••(f(x)—g(x))' >0,••• f(x)- g(x)在［a, b］上是增函数，•••当a v x v b 时f(x)- g(x)> f(a)- g(a),• f(x) + g(a)> g(x) + f(a).5. 函数y= ln_|x|的图象大致是()x答案C解析T y= f(—x)= ln~! =—f(x),—x•- y= f(x) = ln |x l为奇函数,x• y= f(x)的图象关于原点成中心对称，可排除 B.又•••当x> 0 时，f(x)=乎，f' (x)= 1-x2l x,•当x> e 时，f' (x)v 0,•函数f(x)在(e,+s)上单调递减；当O v x v e 时，f' (x)>0,•函数f(x)在(0, e)上单调递增.故可排除A , D，而C满足题意.6. 定义在R上的函数f(x)满足：f' (x)> 1 —f(x) ,f(O)= 6 ,f' (x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x) >e x+ 5(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(O,+s )B.( 0) U (3 ,+s )C.( — f, 0)U (1 ,+s )D.(3 ,+s )答案A解析由题意可知不等式为e x f(x) —e x—5> 0,设g(x) = e x f(x)—e x—5,••• g' (x)= ef(x)+ e x f' (x) —e x=e x[f(x) + f'x)—1] > 0.•函数g(x)在定义域上单调递增.又••• g(0) = 0, • g(x)> 0 的解集为(0,+^).二、填空题7•若函数f(x)= 2x2—In x在定义域内的一个子区间(k —1, k+ 1)上不是单调函数，贝U实数k的取值范围是__________________ .3答案1, 31 4x2—1解析显然函数f(x)的定义域为(0, + f), f' (x) = 4x — - = --- •由f' (x)> 0,得函数f(x)x x1 1的单调递增区间为2,+ m；由f'(x)< 0，得函数f(x)单调递减区间为0, 2 •因为函数在1 1 3区间(k—1, k+ 1)上不是单调函数，所以k—1v 2< k + 1,解得一2< k v3，又因为(k—1, k3+1)为定义域内的一个子区间，所以k— 1 >0，即k> 1•综上可知，K k<3.38•函数y= f(x)在其定义域—2, 3内可导，其图象如图所示，记y= f(x)的导函数为y= f' (x),则不等式f' (x)< 0的解集为__________ •1答案—3, 1 U [2,3)9.函数y= In(x2—x—2)的递减区间为________ •答案(— R, —1)2x—1 1解析f' (x)= -，令f' (x)< 0得x<—1或1<x< 2,注意到函数定义域为(―8,—x2—x— 2 2 4 4 U (2, + f)，故递减区间为(一8,—1)・1 110•若函数f(x)= x 2+ ax + -在2，+m上是增函数，则a 的取值范围是 _________X 2 答案 [3 ,+^ )1 1解析 因为f(x)= x 2 + ax + -在2,+ m上是增函数,'X. 厶1 1故f ' (x)= 2x + a —采》0在2，+g 上恒成立， 1 1即a ＞尹—2x 在-,+ 上恒成立•2则 h ' (x)=— --3 — 2,入1当x € 2，+ g 时，h ' (x) v 0,贝U h(x)为减函数, 1所以 h(x) v h 2 = 3,所以 a >3. 三、解答题11. 已知函数f(x) = ax 3+ bx 2的图象经过点 M(1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线 垂直.(1) 求实数a , b 的值；⑵若函数f(x)在区间[m , m + 1]上单调递增，求 m 的取值范围.解 (1) •••函数 f(x)= ax 3 + bx 2 的图象经过点 M(1,4)，二 a + b = 4.① f ' (x)= 3ax 2+ 2bx ,则 f ' (1) = 3a + 2b.1由条件 f ' (1) •— 9 =— 1,即 3a + 2b = 9.② 由①②解得a = 1, b = 3.(2) f(x) = x 3 + 3x 2，则 f ' (x)= 3x 2 + 6x. 令 f ' (x)= 3x 2 + 6x >0,得 x >0 或 x < — 2. •••函数f(x)在区间[m , m + 1]上单调递增， •••[m , m + 1]?(—g,— 2] U [0,+ g) /• m >0或 m + K — 2, • m >0 或 m W — 3.12. 已知函数f(x)= a x + x 2— xln a — b(a , b € R , a > 1), e 是自然对数的底数. (1)试判断函数f(x)在区间(0,+g )上的单调性；⑵当a = e , b = 4时，求整数k 的值，使得函数f(x)在区间(k , k + 1)上存在零点 解 (1)f ' (x) = a x ln a + 2x — In a = 2x + (a x — 1)ln a.•/a > 1, •••当 x € (0, + g )时，ln a >0 , a x — 1>0 ,1令 h(x)=护—2x ,x + 9y = 0• f' (x)> 0,•函数f(x)在(0 , +g)上单调递增.⑵•/ f(x) = e x+ x2- X—4, ••• f (x) = e x+ 2x—1,••• f' (0) = 0.当x> 0 时，e x> 1, • f' (x) >0,• f(x)是(0, + g)上的增函数.同理，f(x)是(-g, 0)上的减函数•又f(0) =—3v 0, f(1) = e—4v 0, f(2) = e2—2>0, 当x>2 时，f(x)>0,•••当x> 0时，函数f(x)的零点在(1,2)内，•- k= 1满足条件.1 1f(0) = —3V0, f(—1)=——2V 0, f( —2) = -2+ 2>0, e e当x v—2 时，f(x)>0,•••当x v 0时，函数f(x)零点在(一2,—1)内，•- k=—2满足条件.综上所述，k= 1或—2.13. 求下列函数的单调区间.(1) y= In (2x+ 3) + x2;x一1(2) f(x) = aln x+ (a 为常数).x+ 13解(1)函数y= In (2x+ 3) + x2定义域为一§, + g •/y= In (2x+ 3) + x2, , 2 4x2+ 6x+ 2 2 2x+ 1 x+ 1…y = + 2x= =y 2x+ 3 2x+ 3 2x+ 3当y' > 0,即一3v x v —1 或x>—丄时，2 2函数y= In(2x+ 3) + x2单调递增.1当y' v 0,即一1 v x v —时，函数y= In(2x+ 3) + x2单调递减.3 1故函数y = In(2x + 3) + x 2的单调递增区间为 一2, — 1 , — ?, 当a >0时，f ' (x)> 0,函数f(x)在(0,+s )上单调递增当 a v 0 时，令 g(x)= ax 2 + (2a + 2)x + a , 由于 △= (2a + 2尸一4a 2= 4(2a + 1),1①当 a =-㊁时，A= 0, g(x )w 0,1② 当 a v -号时,Av 0, g(x)v 0, f ' (x)v 0，函数f(x )在(0 ,+a )上单调递减 1③当一2< a v 0 时，A> 0.设x 1, X 2(X 1< X 2)是函数g(x)的两个零点, Qa 2+ 2a + — 2a + 1 >。
《函数的单调性与导数》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.3.1课时)
新知探究
例4 如图1.3-6，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器 中，试分别找出与各容器对应的高度h与时间t的函数关系图像.
1 h
2 h
3 h
o A t
o B t
o C t
图1.3 6
4 h
o D t
新知探究
解 1 → B, 2 → A, 3 → D, 4 → C.
（-∞，0）
函数在R上
（-∞，0）
f '(x) 1 0 f '(x) 2x 0 f '(x) 3x2 0 f '(x) x2 0
（0，+∞）
（0，+∞）
f '(x) 2x 0
f '(x) x2 0
新知探究
函数单调性与导数的关系 在某个区间（a，b）内， ①如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增. ②如果f’(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
当f ' x 0,即
时,函数f x
;
当f ' x 0,即
时,函数f x
.
fx 2x3 3x2 24x 1的图象如图1.3 54所示.
y
f x 2x3 3x2 24 x 1
51
O
x
图1.3 54
新知探究
你能小结求解函数单调区间的步骤吗？ （1）确定函数y=f(x)的定义域； （2）求导数f’(x)； （3）解不等式f’(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
A.a 1 3
B.a 1
C.a 0
选修2-2函数的单调性与导数
因此,函数fx = sinx - x,x∈0,π内 单调递减 .
如图（3）所示.
y
o
图3
x
fx = sinx - x
4因为f x = 2x3 + 3x2 - 24x +1,所以fx = 6 x 2 6 x 24 .
当fx > 0,即
x 1 17 或x 1 17
2
2
时,
函数f x
单调递增
;
当fx < 0,即
t
Oa
b
(1)
(2)
观察下面一些函数图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负
的关系. y yx
y y x2
OO
x
1
y
y x3
2 OO
x
y y1 x
OO
x
3
OO
x
4
如图,导数f x0 表示函数
f x 在点 x0,f x0 处的
y y f x
切线的斜率.在x = x0 处,
f x0 > 0,切线是“左下
一些.如图所示,函数y = f x 在0,a或
-a,0内图象“陡峭”,在 a,+∞或 -∞,-a内
“平缓”.
例4 已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)
上是减函数，求实数a的取值范围．
【解析】f′(x)＝3ax2＋6x－1， 由题意得3ax2＋6x－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立． 当a＝0时，6x－1≤0，x≤1 不满足题意，∴a≠0.
试画出函数f（x）图象的大致形状.
解当: 1 < x < 4 时, f(可x )知> 0 , 在此区f(间x)内单调
递增;
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2
导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。
它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。
通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。
事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。
教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。
师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。
其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。
教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。
五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。
教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。
教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。
六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。
人教A版选修2-2导数及其应用优质课：函数的单调性与导数
[对点训练]
1．函数 f(x)＝2x2－ln x 的递增区间是
()
A．0，12
B．0，12和12，＋∞
C．12，＋∞
D．－∞，12和0，12
解析：选 C ∵f(x)＝2x2－ln x，
∴f′(x)＝4x－1x＝4x2x－1＝2x－1x2x＋1(x>0)，
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f′(x)＝x＋bx′＝1－xb2， 令 f′(x)＞0，则x12(x＋ b)(x－ b)＞0， ∴x＞ b，或 x＜－ b. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－ b)和( b，＋∞)． 令 f′(x)＜0，则x12(x＋ b)(x－ b)＜0， ∴－ b＜x＜ b，且 x≠0. ∴函数的单调递减区间为(－ b，0)和(0， b)．
(1)利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为： ①确定函数 f(x)的定义域； ②求导数 f′(x)； ③ 在 函 数 f(x) 的 定 义 域 内 解 不 等 式 f′(x)>0 和 f′(x)<0； ④根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间． (2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一 个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗 号”或“和”字隔开．
1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质 求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． (2)先令 f′(x)>0(或 f′(x)<0)，求出参数的取值范围后， 再验证参数取“＝”时 f(x)是否满足题意． 2．恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max. (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿一、教材分析1教材的地位和作用“函数的单调性和导数”这节新知在教材是选修2—1，本节计划两个课时完成。
作为高三总复习课首先明确考纲的要求了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。
其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。
激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。
2教学内容本节课的主要教学内容是导数在研究函数中的应用（1）—函数的单调性与导数。
在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。
例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。
培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
3教学目标（一）知识与技能目标：1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。
（二）过程与方法目标：1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。
2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
（三）情感、态度与价值观目标：1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。
4教学重点，难点教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。
探求含参数函数的单调性的问题。
二、教法分析1“ 以”, 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。
2018学年高中数学新选修2-2课件：第一章 导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数 含解析 精品
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4.函数 y＝x2－4x＋a的增区间为_(2_，__＋__∞__)_，减区间为_(－__∞__，__2_)_. 解析 y′＝2x－4， 令y′＞0，得x＞2； 令y′＜0，得x＜2， 所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).
解析答案
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解析答案
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答案
知识点二 利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)求出函数的导数 f′(x). (3)解不等式 f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式 f′(x)＜0， 得函数的单调递减区间.
知识点三 导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在 这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)； 反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了 函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图，函数 y＝f(x)在(a,0)和(0，b)内的图象“陡峭”，在(－∞，a)和(b， ＋∞)内的图象“平缓”.
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题型探究
题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f(x)＝3x2－2ln x；
重点突破
解析答案
(2) f(x)＝x2·e－x求函数 f(x)＝x3－3x的单调区间. 解 f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1). 当 f′(x)＞0时，x＜－1或x＞1， 此时函数 f(x)单调递增； 当 f′(x)＜0时，－1＜x＜1，此时函数 f(x)单调递减. ∴函数 f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间是(－1,1).
解析答案
题型三 利用导数确定参数的取值范围 例3 已知函数 f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a＞0，若函数 f(x)在(0,1]上是 增函数，求实数a的取值范围.
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第3章导数应用第1节导数的单调性与极性
§1函数的单调性与极值1. 1 导数与函数的单调性学习目标核心素养1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性．(重难点)3．会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其它函数的单调区间．(重点) 1．借助图象认识函数的单调性与导数的关系，提升学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数研究函数的单调性的学习，培养学生的数学抽象和数学运算的核心素养.1．函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0 常数函数2．函数图像的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图像越大大比较“陡峭”(向上或向下)越小小比较“平缓”(向上或向下) 思考：如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？[提示]函数f(x)为常函数．1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)＝0 D．不能确定A[由条件可知，f(x)在(a，b)内单调递增，∵f(a)≥0，∴在(a，b)内有f(x)>0.]2．已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )B [由f′(x)图像可知，f′(x)>0，函数单调递增，且开始和结尾增长速度慢，故应选B.] 3．已知函数f(x)＝12x 2－x ，则函数f(x)的单调增区间是( )A ．(－∞，－1)和(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)和(1，＋∞)D ．(1，＋∞)D [法一：f(x)＝12x 2－x ＝12(x －1)2－12，对应的抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，可知函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．法二：f′(x)＝x －1，令f′(x)>0，解得x>1．故函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．]单调性与导数的关系【例1】 (1)函数y ＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法： ①函数y ＝f(x)的定义域是[－1,5]； ②函数y ＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]； ③函数y ＝f(x)在定义域内是增函数； ④函数y ＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0. 其中正确的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图像如图所示，则导函数y ＝f′(x)的图像可能为( )A BC D思路探究：研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．(1)A (2)D[(1)由图像可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.]1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图像研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负．1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )A B C D(2)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是( )(1)D (2)D [(1)A ，B ，C 均有可能；对于D ，若C 1为导函数，则y ＝f(x)应为增函数，不符合；若C 2为导函数，则y ＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)根据函数的导数的正负与单调性的关系，对照图像可知，答案应选D.]利用导数求函数的单调区间【例2】 求函数f(x)＝x ＋ax(a≠0)的单调区间．思路探究：求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间．[解] f(x)＝x ＋ax的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax 2.当a>0时，令f′(x)＝1－ax2>0，解得x>a 或x<－a ；令f′(x)＝1－a x 2<0，解得－a<x<0或0<x<a ；当a<0时，f′(x)＝1－ax2>0恒成立，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a ，＋∞)；单调递减区间为(－a ，0)和(0，a)．当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f(x)的定义域． 2．求导数f′(x)．3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x 的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．2．(1)函数f(x)＝e x－ex ，x∈R 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)(2)函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)(1)D (2)B [(1)∵f′(x)＝(e x－ex)′＝e x－e ， 由f′(x)＝e x－e>0，可得x>1．即函数f(x)＝e x －ex ，x∈R 的单调增区间为(1，＋∞)，选D. (2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1x －1，由f′(x)＝1x－1>0，得0<x<1，所以函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是(0,1)，选B.]已知函数的单调性求参数的取值范围1．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b<0时，f(x)的单调性如何？ [提示] 求函数的导函数f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a 2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数．2．函数单调性的充要条件如何？[提示] (1)在某个区间内，f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件．例如，函数f(x)＝x 3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但f′(x)＝3x 2≥0.(2)函数f(x)在(a ，b)内单调递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，且f′(x)在(a ，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f′(x)＝0并不影响函数f(x)在该区间内的单调性．【例3】 已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b.(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．思路探究：(1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值． [解] y′＝3x 2－a.(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数．则y′＝3x 2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立， 即a≤3x 2在x∈(1，＋∞)时恒成立， 则a≤(3x 2)min . 因为x>1，所以3x 2>3.所以a≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]．(2)令y′>0，得x 2>a3.若a≤0，则x 2>a3恒成立，即y′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符． 若a>0，令y′>0，得x>a3或x<－a 3. 因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．将本例(1)改为“若函数y 在(1，＋∞)上不单调”，则a 的取值范围又如何？ [解] y′＝3x 2－a ，当a<0时，y′＝3x 2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a>0时，函数y 在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x 2－a ＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x 2－a ＝0可得x ＝a3或x ＝－a3(舍去)． 依题意，有a3>1，∴a>3， ∴a 的取值范围是(3，＋∞)．2．本例(1)中函数改为f(x)＝x 3－ax 2－3x.区间“(1，＋∞)”改为“[1，＋∞)，a 的取值范围如何？ [解] 由f(x)＝x 3－ax 2－3x 得 f′(x)＝3x 2－2ax －3，∵f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数， ∴3x 2－2ax －3≥0， ∴a 3≤x 2－12x. 令g(x)＝x 2－12x，x∈[1，＋∞)，g′(x)＝x 2＋12x2>0，即g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝0， ∴a 的取值范围为a≤0.1．解答本题注意可导函数f(x)在(a ，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a ，b)上恒成立，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a ，b)上的单调性，求参数取值范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a ，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a ，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．3．已知函数f(x)＝2ax 3＋4x 2＋3x －1在R 上是增函数，求实数a 的取值范围． [解] f′(x)＝6ax 2＋8x ＋3.∵f(x)在R 上是增函数，∴f′(x)≥0在R 上恒成立， 即6ax 2＋8x ＋3≥0在R 上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧64－72a≤0，a>0，解得a≥89.经检验，当a ＝89时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，＋∞.1．函数的单调性与导数符号的关系 设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在(a ，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a ，b)为f(x)的单调增区间； (2)如果在(a ，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a ，b)为f(x)的单调减区间． 2．利用导数求函数的单调区间的步骤求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是所求的单调区间，其步骤如下：(1)求函数f(x)的定义域； (2)求出f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0可得函数f(x)的单调增区间，解不等式f′(x)<0可得函数f(x)的单调减区间． 3．函数f(x)在(a ，b)内单调递增(减)的充要条件是f ′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f′(x)＝0并不影响函数f(x)在该区间内的单调性．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．[答案](1)×(2)×(3)√2．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有( )A．f(2)＜f(e)＜f(3)B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2)D．f(e)＜f(3)＜f(2)A[因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝12x ＋1x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.]3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．(1,2)[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2．] 4．已知函数f(x)＝x3－ax－1．(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1,1)；(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．[解]f′(x)＝3x2－a.(1)∵f(x)的单调减区间是(－1,1)，∴－1<x<1是f′(x)<0的解，∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵y＝3x2在R上的最小值为0.∴a≤0，∴a的取值范围是(－∞，0]．1.2 函数的极值学习目标核心素养1．理解函数的极大值和极小值的概念．(难点) 2．掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值．(重点、难点) 1．借助图象理解函数的极大值和极小值，提升了学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数求函数的极值的学习，培养了学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.1．极大值点与极大值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．2．极小值点与极小值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．[提醒]在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．3．极值的判断方法如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．4．求函数y＝f(x)极值点的步骤(1)求出导数f′(x)．(2)解方程f′(x)＝0.(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．思考：导数为0的点都是极值点吗？[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x ＝x 0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x 0两侧的符号是否相反．1．下列四个函数中，在x ＝0处取得极值的函数是( ) ①y＝x 3；②y＝x 2＋1；③y＝|x|；④y＝2x. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①③B [y′＝3x 2≥0恒成立，所以函数y ＝x 3在R 上单调递增，无极值点，①不符合；y′＝2x ，当x>0时，函数y ＝x 2＋1单调递增，当x<0时，函数y ＝x 2＋1单调递减，②符合；结合该函数图像可知，函数y ＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，③符合；函数y ＝2x在R 上单调递增，无极值点，④不符合．]2．函数y ＝x 3－3x 2－9x(－2＜x ＜2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值C [由y′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x ＜－1或x ＞3时，y′＞0；由－1＜x ＜3时，y′＜0， ∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2,2)，故无极小值．] 3．函数f(x)＝x 3－3x 2＋1在x ＝__________处取得极小值． 2 [由f(x)＝x 3－3x 2＋1， 得f′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数． 故当x ＝2时，函数f(x)取得极小值．]求函数的极值(1)f(x)＝x 2－2x －1； (2)f(x)＝x 44－23x 3＋x22－6；(3)f(x)＝|x|.[解] (1)f′(x)＝2x －2，令f′(x)＝0，解得x ＝1． 因为当x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0， 所以函数在x ＝1处有极小值， 且f(x)极小值＝－2．(2)f′(x)＝x 3－2x 2＋x ＝x(x 2－2x ＋1)＝x(x －1)2．令f′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝1．所以当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,1) 1 (1，＋∞)f′(x) － 0 ＋ 0 ＋ f(x)单调 递减↘极小 值单调 递增↗无极值单调 递增↗所以当x ＝0时，函数取得极小值，且f(x)极小值＝－6.(3)f(x)＝|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0.显然函数f(x)＝|x|在x ＝0处不可导， 当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增； 当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0， 函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减． 故当x ＝0时，函数取得极小值， 且f(x)极小值＝0.极值点与导数的关系1．可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点． 点x 0是可导函数f(x)在区间(a ，b)内的极值点的充要条件： (1)f′(x 0)＝0；(2)点x 0两侧f′(x)的符号不同．2．不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x ＝0点)，也可能不是极值点(如y ＝x ，在x ＝0处不可导，在x ＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．1．已知函数f(x)＝x 2－2ln x ，则f(x)的极小值是________． 1 [∵f′(x)＝2x －2x ，且函数定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)， 当x∈(0,1)时，f′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x ＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1．]利用函数的极值求参数【例2】 已知f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－3时都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．思路探究：(1)求导函数f′(x)，则由x ＝1和x ＝－23是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a ，b.(2)由f(－1)＝32求出c ，再列表求解．[解] (1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x)＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f′(x)＝0的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－23＝－23a ，1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝b 3，∴a＝－12，b ＝－2．(2)由(1)知f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f(－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1，∴f(x )＝x 3－12x 2－2x ＋1，∴f′(x)＝3x 2－x －2．当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，⎭⎪⎫－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 1 (1，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)单调递增 ↗4927单调递减 ↘－12单调递增 ↗∴f(x)的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1.当x ＝－23时，f(x)有极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝4927；当x ＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－12.已知函数极值求解析式的两点注意(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．已知函数f(x)＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x(x∈R，m 为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．[解] f′(x)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6. 因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f′(x)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋6)>0，f′(1)＝1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得m>3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．函数极值的综合应用[探究问题]1．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有几个极小值点？[提示] 一个．x 1，x 2，x 3是极值点，其中x 2是极小值点，x 1，x 3是极大值点． 2．函数y ＝f(x)在给定区间(a ，b)内一定有极值点吗？[提示] 不一定，若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内是单调函数，就没有极值点．【例3】 已知函数f(x)＝x 3－3x ＋a(a 为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．思路探究：求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a 的取值范围．[解] 令f′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1． 当x<－1时，f′(x)>0； 当－1<x<1时，f′(x)<0； 当x>1时，f′(x)>0.所以当x ＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a. 因为方程f(x)＝0有三个不同实根，所以y ＝f(x)的图像与x 轴有三个交点，如图．由已知应有⎩⎪⎨⎪⎧2＋a>0，－2＋a<0，解得－2<a<2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．1．本例中，若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”，结果如何？ [解] 由已知应有 2＋a<0或－2＋a>0. 即a>2或a<－2．2．本例中，若把“三个不同实根”改为“恰有两个实根”，结果如何？ [解] 由条件可知，只要 2＋a ＝0或－2＋a ＝0即可， 即a ＝±2．转化的思想求导数范围的应用方程f(x)＝0的根就是函数y ＝f(x)的零点，是函数图像与x 轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图像与x 轴交点的问题．我们可以根据函数图像在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围．3．设a 为实数，函数f(x)＝x 3－x 2－x ＋a. (1)求f(x)的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点？[解] (1)f′(x)＝3x 2－2x －1． 令f′(x)＝0，则x ＝－13或x ＝1．当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 －13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 1 (1，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)单调递 增↗极大值单调递 减↘极小值单调递 增↗所以f(x)的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f(1)＝a －1．(2)函数f(x)＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f(x)>0， x 取足够小的负数时，有f(x)<0， 所以曲线y ＝f(x)与x 轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f(x)极小值＝f(1)＝a －1．∵曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0， 即527＋a<0或a －1>0，∴a<－527或a>1， ∴当a∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点．1．函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．由图可以看出，极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷”．2．极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．3．函数在定义域内可能有许多极大值或极小值，但极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．4．若函数f(x)在[a ，b]上有极值且函数图像连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋1必有两个极值． ( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合． ( ) (3)函数f(x)＝1x 有极值．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．已知a 为函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2D [由题意得f′(x)＝3x 2－12，令f′(x)＝0得x ＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x ＝2处取得极小值，∴a＝2．]3．设a ∈R，若函数y ＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． (－∞，－1) [∵y＝e x＋ax ，∴y′＝e x＋a ，令y′＝e x＋a ＝0，则e x＝－a ， 即x ＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1．] 4．求函数y ＝x 4－4x 3＋5的极值． [解] y′＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)． 令y′＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：故当x 极小值。
高中数学选修2-2课件1.3.1《函数的单调性与导数》课件
y y=x
y y = x2
y y = x3
y
y1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,如果 f (x) 0 ,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 如果 f (x) 0 ,那
么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减.
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是常数。
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
练习2
已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0,
若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
[
3 2
,)
例3：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
在（－ ∞ ，1）上是减 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。
在(－ ∞,＋∞)上是 增函数
(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。
第1章导数及其应用专解3 求函数的单调区间-人教A版高中数学选修2-2专题考点训练(必备知识点)
【必备知识点】1.函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数()f x在某个区间是增函数或减函数，那么就说()f x在这一区间具有单调性.已知函数2()43f x x x=-+的图象如图所示，由函数的单调性易知，当2x<时，()f x是减函数；当2x>时，()f x是增函数.现在我们看看各个单调区间内任意一点的切线情况：考虑到曲线()y f x=的在某点处切线的斜率就是函数()f x在改点的导数值，从图象可以看到：在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即'()240f x x=<时，()f x为减函数.在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即'()240f x x=>时，()f x为增函数.导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数()y f x=在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若()0f x '>，则()f x 在这个区间上为增函数； （2）若()0f x '<，则()f x 在这个区间上为减函数； （3）若恒有()0f x '=，则()f x 在这一区间上为常函数.反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．2.利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法： 设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数.【典例展示】例1. 确定函数32()267f x x x =-+的单调区间.【解析】第一步：确定函数的定义域： ()f x 的定义域为R ；第二步：求导：2'()6126(2)f x x x x x =-=-， 第三步：方法一：解不等式'()0f x >确定函数的单调增区间： 令'()0f x >，解得x ＜0或x ＞2， 则函数()f x 在x ＜0或x ＞2时是增函数； 方法二：列表法：令'()=0f x ，解得x =0或x =2.当x 变化时，()f x '、()f x 的变化状态如下表：第四步：确定单调区间：因此，函数()f x 的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞），而单调减区间为（0，2）.例2 求函数22ln y x x =-的单调区间．【解析 】第一步：确定函数的定义域：函数22ln y x x =-的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)；第二步：求导：222(1)2(1)(1)()2x x x f x x x x x --+'=-==；第三步：方法一：解不等式()0f x '>确定单调增区间：令2(1)(1)x x x -+>，利用穿线法解不等式，得1<0x < 或1x >.方法二：令()=0f x '得，=1x ±.当x 变化时，()f x '、()f x 的变化状态如下表：第四步：确定单调区间：函数()f x 的单调增区间是（-1，0)和（1，+∞)，减区间是(-∞，-1)和(0，1)．例3. 已知函数22()(1)(1)x bf x x x -=≠-，求导函数'()f x ，并确定()f x 的单调区间.【解析】第一步：确定函数的定义域：()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞+∞；第二步：求导：2432(1)(2)2(1)2[(1)]'()(1)(1)x x b x x b f x x x ---⋅----==--； 第三步：解不等式'()0f x >，求单调增区间： 令'()0f x >，得32[(1)]0(1)x b x --->-，同解于[(1)](1)0x b x ---<.当11b ->，即2b >，不等式的解为11x b <<-； 当11b -=，即2b =，不等式的解为空集； 当11b -<，即2b <，不等式的解为11b x -<<.综上，当2b >时，()f x 的单调增区间为(1,1)b -，单调减区间为(,1)(1,)b -∞-+∞和； 当2b =时，()f x 的单调减区间为(,1)(1,)-∞+∞和，无增区间；当2b <时，()f x 的单调增区间为(1,1)b -，单调减区间为(,1)(1,)b -∞-+∞和.例4．证明不等式2(1)ln 1x x x ->+，其中1x >.【解析】设2(1)()ln ,(1)1x f x x x x -=->+，214'()(1)f x x x =-+，1,'()0x f x >∴>，()f x ∴在(1,)+∞内为单调增函数.又(1)0f =，当1x >时，()(1)0f x f ∴>=，即2(1)ln 01x x x -->+，2(1)ln 1x x x -∴>+.【思路总结与方法】1. 思路：求函数的单调区间即为求使其导函数为正（或负）的x 值的范围，先正确求出函数的导函数，然后再在函数的定义域内解导函数的不等式即可。
选修2—2导数与函数的单调性
利用导数研究函数的单调性考点1 导数与函数的单调性考法1 导数与函数的单调性的关系1.设函数()f x 在区间(,)a b 内可导，①若()0f x '>，则()f x 在区间(,)a b 上 ； ②若()0f x '<，则()f x 在区间(,)a b 上 .2.若在函数()y f x =区间(,)a b 内单调递增，则有()0f x '≥在区间(,)a b 内恒成立； 若在函数()y f x =区间(,)a b 内单调递减，则有()f x ' 在区间(,)a b 内恒成立. 例如：函数3()f x x =在R 上是 函数，恒有()f x ' 0.3.对于函数()f x 来说，()0f x '>是()f x 在(,)a b 上单调递增的 条件；()0f x '<是()f x 在(,)a b 上单调递减的 条件.考法2函数单调性的直观理解1.设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能的是2.（2009·天津卷·文科）若函数()y f x =导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是3.设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图像如图所示，则()y f x =的图像ABDC ABCD4.设函数()f x 在定义域内可导，()y fx =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能是4.（2007·浙江卷·理科）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能的是B考点2 利用导数求函数的单调区间考法1 求函数的单调区间 考向1 整式函数1.（2009·江苏卷）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .2.（2008·重庆卷·文科）设函数32()91f x x ax x =+--（0a <），若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求： （Ⅰ）a 的值；（Ⅱ）函数()f x 的单调区间.3.（2018·全国卷Ⅱ·文科）已知函数321()3(1)3f x x x x =-++.求()f x 的单调区间.考向2 指数函数1.（2009·广东卷·文科）函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A.(,2)-∞ B.(0,3) C.(1,4) D.(2,)+∞2.设函数()x f x x e =-.讨论()f x 的单调性；3.（2017·全国卷Ⅱ·文科）设函数2()(1)x f x x e =-.讨论()f x 的单调性；4.（2010·课标全国卷·文科）设函数21()(1)2x f x x e x =--.求()f x 的单调区间；5.（2010·天津理科）已知函数()x f x xe -=（x R ∈）.求函数()f x 的单调区间； 考向3 对数函数1.函数()ln f x x x =-的单调递减区间为 .2.（2012·辽宁卷·文科）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为 A.(1,1]- B.(0,1] C.[1,)+∞ D.(0,)+∞3．（2007·广东卷·文科）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ． 4. （2013·天津卷·理科）已知函数2()ln f x x x =.求函数()f x 的单调区间. 5.（2014·湖北卷·文科）π为圆周率， 2.71828e =为自然对数的底数.求函数ln ()xf x x=的单调区间. 考向4 三角函数1.求函数()2sin f x x x =-的单调区间．2.求函数()sin 2xf x x =+的单调区间． 考法2 含参数的函数的单调区间的确定 考向1 高次函数1.设函数3()31f x x ax =--（0a ≠），求()f x 的单调区间.2.设函数322()1f x x ax a x =+-+（0a ≠），求()f x 的单调区间.3.设函数3223211()()32f x x a a x a x a =-+++（0a ≠），求()f x 的单调区间.考向2 指数式函数1.设函数2()kx f x x e =，求()f x 的单调区间.2.设函数2()ln f x x a x x=--，求()f x 的单调区间.考向3 对数式函数1.设函数2()ln 2x f x k x =-（0k >）,求()f x 的单调区间.2.设函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，求()f x 的单调区间. 考法3 求参数的取值范围1.（2014·新课标卷Ⅱ·文科）若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．(],2-∞- B.(],1-∞- C.[)2,+∞ D.[)1,+∞ 2.（2013·大纲全国卷·理科）若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是A.[]1,0-B.[)1,+-∞C.[]0,3D.[)3+∞，。
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9
问题 2:试确定函数 f(x)=2x3－6x2+7 在哪个区间 上是增函数,哪个区间上是减函数.
解： f ( x) (2x3－6x2+7)′=6x2－12x
令 f (x) 0 即 6x2－12x＞0，解得 x＞2 或 x＜0; 令 f (x) 0 即 6x2－12x＜0，解得 0＜x＜2. ∴f(x)分别在(2,+∞)、(－∞,0)上是增函数, f(x)在(0,2)上是减函数.
当曲线下降时, f ( x) 0 , y
反之也成立.
f (x) 0
f (x) 0
a
0b
cx
也就是说函数的单调性与导数的符号有如下关系:
在 某 个 区 间 (a ,b) 内 , 如 果 f ( x) 0 , 那 么 函 数
y f ( x) 在这个区间内单调递增；如果 f ( x) 0 ，那
令 2ax+b＜0，解得 x＜－ b , 2a
∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是(－∞,－ b ) 2a
有了导数这一工具二次函数的单调性就看得很清楚.
cx
严格地说,对于给定区间上的函数f(x), 如果对于属
于这个区间的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1<x2时，
(1)若f(x1)<f(x2), 那么f(x)在这个区间上是增函数.
(2)若f(x1)>f(x2),
那么f(x)在这个区间上是减函数.
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3
导数的几何意义:
导数 f (x) lim f (x x) f (x) 的几何意义是:
x0
x
函数 y f ( x) 的图象在
y
点 ( x, f ( x)) 处的切线的
斜率.(如图)
f (x) 0
f (x) 0
a
0b
cx
观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的大
小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小,你
发现了什么规律?
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4
导数与单调性
举一例子再观察
不难发现,当曲线上升时, f ( x) 0 ;
么函数 y f ( x) 在这个区间内单调递减．
注:如果 f ( x) 0 ,那么函编辑数ppt 是常数函数．
5
考察函数的单调性与导数的关系：
观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
.. .. 2 .. . 0
总结: 该函数在区间(－∞,2) 上单调递减,切线斜率小 于0,即其导数为负; 该函数在区间(2,+∞) 上单调递增,切线斜率大
数函数.
导数的符号显示了函数值变化的增减情况.
(自学课本例1)
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7
问题 1.求证:函数 f ( x) x2 2x 3 在1, 上是增函数.
法一:可用定义证明.
哪
证明：取 x1<x2∈R，
种
f(x1)－f(x2)=（x12－2x1－3）－（x22－2x2－3） 方
=（x1+x2)(x1－x2）－2(x1－x2）
即函数的单调递减区间为(-∞,0).
练习 2：讨论二次函数 y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间.
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2答案
练习 2：讨论二次函数 y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间. 解: y =(ax2+bx+c)′=2ax+b,
令 2ax+b＞0,解得 x＞－ b 2a
∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－ b ,+∞) 2a
证明：取 x1<x2∈R，
f(x1)－f(x2)=（x12－2x1－3）－（x22－2x2－3） =（x1+x2)(x1－x2）－2(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－2） ∵当 1<x1<x2 时， x1+x2－2>0， f(x1)<f(x2)，
∴f(x) 在1, 上是增函数
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x 于0,即其导数为正.
而当x=2时其切线斜率
为0,即导数为0.函数在该
点单调性没发生改变.
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6
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间
如果 f (x) 0 ,则f(x)为增函数;
如果f (x) 0 ,则f(x)为减函数.
注:如果在某个区间内恒有 f (x) 0 ,则f(x)为常
函数的单调性与导数(一)
一句话引入
函数的单 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性概念
导数的几何 意义及导数 与单调性的 关系探究
问题思考
课堂练习
本课小结
作业:课本 P33 A 组第 1 题
(明天评讲试卷,这一周学习内容为运用导数研究
函数的单调性及函数的极值与最值问题)
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1
函数的单调性与导数(一)
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研 究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数 的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数 的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的 了解.正是因科学家们对数量的变化规律进行了长期的 研究,导致了微积分的创立.
此题用定义做就很困难了,可以看到利用导数 研究单调性是很方便的,而且这种方法有一般性
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10
自学课本例 2,然后做课堂练习 P27
练习1.判定函数 y=ex-x 的单调区间.
解: f ( x ) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0.
则函数的单调递增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0.
法
= (x1－x2)(x1+x2－2）
更
∵当 1<x1<x2 时， x1+x2－2>0， f(x1)<f(x2)， 简
∴f(x) 在1, 上是增函数
洁
法二:运用导数来证明
!
证明:∵ f ( x) x2 2x 3 ，∴ f (x) 2x 2 2 x 1
∴当 x 1时， f ( x) 0
∴函数 f ( x) x2 2x 3 在1, 上是增函数；
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8
用定义证明
问题2
由定义证明函数的单调性的一般步骤：
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值,且x1<x2.
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形. (3)判断差的符号(与０比较),从而得函数的单调性.
问题 1.求证:函数 f (x) x2 2x 3 在1, 上是增函数.
本节课,我们就来探究函数的单调性与导数的关 系.
首先我们回忆一下函数的单调性的概念 和导数的几何意义.
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2
函数的单调性概念:
直观地来看,如图从a到b曲线是上升的,说函数f(x)
在区间(a,b)上是增函数;
y
从b到c曲线是下降的, 说函数f(x)在区间(b,c)上
y f(x)
是减函数.
a
0b