选修2-2《导数及其应用》函数的单调性与导数

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= (x1-x2)(x1+x2-2)

∵当 1<x1<x2 时, x1+x2-2>0, f(x1)<f(x2), 简
∴f(x) 在1, 上是增函数

法二:运用导数来证明
!
证明:∵ f ( x) x2 2x 3 ,∴ f (x) 2x 2 2 x 1
∴当 x 1时, f ( x) 0
本节课,我们就来探究函数的单调性与导数的关 系.
首先我们回忆一下函数的单调性的概念 和导数的几何意义.
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2
函数的单调性概念:
直观地来看,如图从a到b曲线是上升的,说函数f(x)
在区间(a,b)上是增函数;
y
从b到c曲线是下降的, 说函数f(x)在区间(b,c)上
y f(x)
是减函数.
a
0b
函数的单调性与导数(一)
一句话引入
函数的单 调性概念
导数的几何 意义及导数 与单调性的 关系探究
问题思考
课堂练习
本课小结
作业:课本 P33 A 组第 1 题
(明天评讲试卷,这一周学习内容为运用导数研究
函数的单调性及函数的极值与最值问题)
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1
函数的单调性与导数(一)
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,研 究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数 的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数 的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的 了解.正是因科学家们对数量的变化规律进行了长期的 研究,导致了微积分的创立.
当曲线下降时, f ( x) 0 , y
反之也成立.
f (x) 0
f (x) 0
a
0b
cx
也就是说函数的单调性与导数的符号有如下关系:
在 某 个 区 间 (a ,b) 内 , 如 果 f ( x) 0 , 那 么 函 数
y f ( x) 在这个区间内单调递增;如果 f ( x) 0 ,那
∴函数 f ( x) x2 2x 3 在1, 上是增函数;
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8Hale Waihona Puke Baidu
用定义证明
问题2
由定义证明函数的单调性的一般步骤:
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值,且x1<x2.
(2)作差f(x1)-f(x2),并变形. (3)判断差的符号(与0比较),从而得函数的单调性.
问题 1.求证:函数 f (x) x2 2x 3 在1, 上是增函数.
此题用定义做就很困难了,可以看到利用导数 研究单调性是很方便的,而且这种方法有一般性
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10
自学课本例 2,然后做课堂练习 P27
练习1.判定函数 y=ex-x 的单调区间.
解: f ( x ) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0.
则函数的单调递增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0.
x 于0,即其导数为正.
而当x=2时其切线斜率
为0,即导数为0.函数在该
点单调性没发生改变.
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6
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间
如果 f (x) 0 ,则f(x)为增函数;
如果f (x) 0 ,则f(x)为减函数.
注:如果在某个区间内恒有 f (x) 0 ,则f(x)为常
cx
严格地说,对于给定区间上的函数f(x), 如果对于属
于这个区间的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1<x2时,
(1)若f(x1)<f(x2), 那么f(x)在这个区间上是增函数.
(2)若f(x1)>f(x2),
那么f(x)在这个区间上是减函数.
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3
导数的几何意义:
导数 f (x) lim f (x x) f (x) 的几何意义是:
即函数的单调递减区间为(-∞,0).
练习 2:讨论二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的单调区间.
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11
2答案
练习 2:讨论二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的单调区间. 解: y =(ax2+bx+c)′=2ax+b,
令 2ax+b>0,解得 x>- b 2a
∴y=ax2+bx+c(a>0)的单调增区间是(- b ,+∞) 2a
令 2ax+b<0,解得 x<- b , 2a
∴y=ax2+bx+c(a>0)的单调减区间是(-∞,- b ) 2a
有了导数这一工具二次函数的单调性就看得很清楚.
数函数.
导数的符号显示了函数值变化的增减情况.
(自学课本例1)
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7
问题 1.求证:函数 f ( x) x2 2x 3 在1, 上是增函数.
法一:可用定义证明.

证明:取 x1<x2∈R,

f(x1)-f(x2)=(x12-2x1-3)-(x22-2x2-3) 方
=(x1+x2)(x1-x2)-2(x1-x2)
么函数 y f ( x) 在这个区间内单调递减.
注:如果 f ( x) 0 ,那么函编辑数ppt 是常数函数.
5
考察函数的单调性与导数的关系:
观察函数y=x2-4x+3的图象:
y
.. .. 2 .. . 0
总结: 该函数在区间(-∞,2) 上单调递减,切线斜率小 于0,即其导数为负; 该函数在区间(2,+∞) 上单调递增,切线斜率大
x0
x
函数 y f ( x) 的图象在
y
点 ( x, f ( x)) 处的切线的
斜率.(如图)
f (x) 0
f (x) 0
a
0b
cx
观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的大
小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小,你
发现了什么规律?
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4
导数与单调性
举一例子再观察
不难发现,当曲线上升时, f ( x) 0 ;
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问题 2:试确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间 上是增函数,哪个区间上是减函数.
解: f ( x) (2x3-6x2+7)′=6x2-12x
令 f (x) 0 即 6x2-12x>0,解得 x>2 或 x<0; 令 f (x) 0 即 6x2-12x<0,解得 0<x<2. ∴f(x)分别在(2,+∞)、(-∞,0)上是增函数, f(x)在(0,2)上是减函数.
证明:取 x1<x2∈R,
f(x1)-f(x2)=(x12-2x1-3)-(x22-2x2-3) =(x1+x2)(x1-x2)-2(x1-x2) = (x1-x2)(x1+x2-2) ∵当 1<x1<x2 时, x1+x2-2>0, f(x1)<f(x2),
∴f(x) 在1, 上是增函数
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