工程水文学 第四章水文统计基本知识
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工程水文学 第四章水文统计基本知 识
第二节 概率的基本概念与定理
一、事件
必然事件： P=1.0
事件：随机试验的结果 不可能事件： P=0
二、概率
随机性： 0<P<1.0
1、概率：随机事件发生的可能性大小。
所以事件发生是等可能的
2、古典概型： 事件发生的可能结果数是有限的
P( A) m n
P（A）——A事件一定条件下可能出现的概率； m——在试验中A事件的可能结果数； n——在试验中所有可能结果总数。
1 P
水文上常用“重现期”来代替“频率”
@COPY RIGHT 扬大陈平
三、水文频率计算——配线法（适线法）
1.原则：以点为据，以线适点 “点”经验频率点，“线”P-Ⅲ型 曲线
2.步骤：
（1）将实测资料由大到小排列，计算各 项的经验频率，在频率格纸上点绘经验点 据（纵坐标为变量取值，横坐标为对应的 经验频率）。
f(x)()(xa0)e(xa0) （密度分布图）
其中：
4 ； 2 ；
Cs
XCsCv
a0
X(1 2Cv Cs
)
三个参数： X，Cs，Cv
分布函数：
F(Xxp) xp f(x)dx
x p X X (C v 1 ) K pX
查值表K； p值表
如何求 X，Cs，Cv 在以后介绍
@COPY RIGHT 扬大陈平
六、优化适线法 优化适线法准则： 1、离差平方和最小准则（OLS）（最小二乘法） 2、离差绝对值和最小准则（ABS） 3、相对离差平方和最小准则（WLS）
@COPY RIGHT 扬大陈平
本章结束
@COPY RIGHT 扬大陈平
其他参数不变时，其中一个参数加大时：
X 增大，曲线向上提升 Cv增大，曲线顺时针转 Cs增大，曲线向中心合
“升” “转” “合”
@COPY RIGHT 扬大陈平
五、配线法的注意点 1、尽量照顾点群的趋势； 2、曲线通过点群中心； 3、侧重考虑中上部的较大洪水点据； 4、对特大洪水作具体分析；具体处理见后。
@COPY RIGHT 扬大陈平
3、水文事件：不属于古典概型。因为其所以可能结果总 数n是无限的。
4、水文概率：就不能用上面的公式计算概率。 怎么办？引进频率的概念。
三、频率 1、频率：设事件A在n次试验中出现了m次，则称：
W ( A) m n
2、大数定律：当n趋向于无穷大时，频率无限接近于概率。
第四节 统计参数估计
一、样本与总体 1.总体：随机变量所有可能取值的全体。 水文总体往往是无限的。 2.样本：从总体中任意抽取的一部分。 3.样本容量：样本中包含的项数。n 4.总体与样本的关系：样本来自总体； 样本的分布基本上反映总体的分布规律。 水文的总体是无限的，所以采用样本来估计总 体；样本（实测资料）的分布反映总体分布规律。
3、水文常用频率代替概率。 当然希望n足够大，一般n>25。 注意：频率与概率的区别与联系
@COPY RIGHT 扬大陈平
第三节 随机变量及其概率分布
一、随机变量 1.定义：若随机事件的每次试验结果，可用一个数值X
表示。在一次试验中，X数值是随机的。则称此变量为随 机变量。
离散型：如X=1，2，3…….
@COPY RIGHT 扬大陈平
第五节 现行水文频率计算方法——配线法 一、经验频率曲线 1.定义：根据实测点据（经验点）绘出的F（X）曲线。
2.经验频率： P m
n 1
式中：n——是n次随机试验；m——是n次试验中出现的次数。
为何不用P=m/n? 若n是资料的总体，以上公式是 正确的，合理的。但由于是样本资料估计总体。 当m=n时，P=100%。这就是说样本的最小项是总 体的最小项，也就是说最小项是必然要发生的， 这是不合理的。
@COPY RIGHT 扬大陈平
年 雨 量 （
mm)
600 500 400 300 200
0.01
1
10
50
90 99.9%
@COPY RIGHT 扬大陈平
（2）选定水文频率分布线型（一般选用P-Ⅲ型）。
（3）初估统计参数
X
1 n
Xi
Cv
1 X
(Xi X)2 n1
Cs Cv
（4）假定一组频率（一般为7个）
600 500 400 300 200
0.01
1
10
50
图XX XXX站年雨量频率曲线
90 99.9%
@COPY RIGHT 扬大陈平
四、三参数对曲线的影响规律
前面配线时，如果配合不好，则改变参数，继 续求Xp值，第二次配线。
参数有3个，改变哪一个呢？无从下手。 这就需要弄清3参数对曲线的影响规律。
由初估X的 ，C： s，Cv查K
或
p
计7 个 算 x p ： 到 X (C v 1 ) K pX
@COPY RIGHT 扬大陈平
@COPY RIGHT 扬大陈平
年 雨 量 （
mm)
600 500 400 300 200
0.01
1
10
50
90 99.9%
@COPY RIGHT 扬大陈平
（5）将9个Xp值点绘到经验频率点中， 看它们与 经验点的配合情况 。
分布函数与密度函数的关系 f(x)
四、几种常用线型
1.正态分布：
0
f (x)
1
(xx)2
e 22
2
x ( x )
x
特点：1〉对称；2〉单峰；3〉 f (x) 0
4〉两端以X轴为渐进线；
5〉f(x)曲线与X轴间的面积为1。
参数： X，
@COPY RIGHT 扬大陈平
2.皮尔逊型分布(P-Ⅲ型） 我国水文现象的分布就符合该分布。
F(x)F(xx) 表示X落在 (x，xx) 的概率线密度。
x
liF ( m x ) F ( x x ) liF ( m x x ) F ( x ) F ( x )
x 0 x
x 0 x
引入概论密度函数： f(x)F(x)
F(x)P(Xx)x f(x)dx
@COPY RIGHT 扬大陈平
………..
@COPY RIGHTБайду номын сангаас扬大陈平
二、经验频率与重现期
1.重现期：某一随机事件，在许多次随机试验中， 重复出现的平均时间间隔。T，年
T=100年，平均一百年出现一次，但不是一定100 年出现一次。 2.经验频率与重现期的关系
T1 P
多水年：P≤50% ，防洪、排涝
T 1
少水年：P>50% ， 抗旱
@COPY RIGHT 扬大陈平
3.经验频率计算
（1）超过制概率。 P（X>xp） （2）水文资料由大到小排列。
则：m就是排位序号，也即大于或等于 该值的样本数量。
序号 1 2 3
……..
年降雨量（mm） P=1/（N+1）
1105
1/（50+1）
1056
2/（50+1）
987
3/（50+1）
……..
2.分类：
连续型：X在某区间取值
二、概率分布
1.概率分布函数： F(x)P(Xxi)
水文上采用超过制概率： F(x)P(Xxi)
@COPY RIGHT 扬大陈平
2.概率密度函数
随机变量落在某一区间的问题： (x，xx) x 是区间的长度
P ( x x X x ) F ( x ) F ( x x )
1）如果配合情况好，则此时参数即为所求，配线 结束 。 2）如果配合不好，则改变参数，继续求Xp值，第 二次配线。
（6）最后选择与经验点据配合较好的点据连成曲 线作为采用曲线。相应的参数便看作是总体参数的 估值。
@COPY RIGHT 扬大陈平
@COPY RIGHT 扬大陈平
年 雨 量 （
mm)
@COPY RIGHT 扬大陈平
二、样本统计参数的估算
1.矩法估计
X 1 n
X
；
i
(Xi X)2
n
离差系数：
Cv
X
； 偏态系数：
Cs
(Ki 1)3 (n3)Cv3
2.无偏估计
X
1 n
Xi
1
CvX
(XiX)2 (ki1)2
n1
n1
其中： ki
xi x
水文上，一般不计算Cs，取：Cs Cv
第二节 概率的基本概念与定理
一、事件
必然事件： P=1.0
事件：随机试验的结果 不可能事件： P=0
二、概率
随机性： 0<P<1.0
1、概率：随机事件发生的可能性大小。
所以事件发生是等可能的
2、古典概型： 事件发生的可能结果数是有限的
P( A) m n
P（A）——A事件一定条件下可能出现的概率； m——在试验中A事件的可能结果数； n——在试验中所有可能结果总数。
1 P
水文上常用“重现期”来代替“频率”
@COPY RIGHT 扬大陈平
三、水文频率计算——配线法（适线法）
1.原则：以点为据，以线适点 “点”经验频率点，“线”P-Ⅲ型 曲线
2.步骤：
（1）将实测资料由大到小排列，计算各 项的经验频率，在频率格纸上点绘经验点 据（纵坐标为变量取值，横坐标为对应的 经验频率）。
f(x)()(xa0)e(xa0) （密度分布图）
其中：
4 ； 2 ；
Cs
XCsCv
a0
X(1 2Cv Cs
)
三个参数： X，Cs，Cv
分布函数：
F(Xxp) xp f(x)dx
x p X X (C v 1 ) K pX
查值表K； p值表
如何求 X，Cs，Cv 在以后介绍
@COPY RIGHT 扬大陈平
六、优化适线法 优化适线法准则： 1、离差平方和最小准则（OLS）（最小二乘法） 2、离差绝对值和最小准则（ABS） 3、相对离差平方和最小准则（WLS）
@COPY RIGHT 扬大陈平
本章结束
@COPY RIGHT 扬大陈平
其他参数不变时，其中一个参数加大时：
X 增大，曲线向上提升 Cv增大，曲线顺时针转 Cs增大，曲线向中心合
“升” “转” “合”
@COPY RIGHT 扬大陈平
五、配线法的注意点 1、尽量照顾点群的趋势； 2、曲线通过点群中心； 3、侧重考虑中上部的较大洪水点据； 4、对特大洪水作具体分析；具体处理见后。
@COPY RIGHT 扬大陈平
3、水文事件：不属于古典概型。因为其所以可能结果总 数n是无限的。
4、水文概率：就不能用上面的公式计算概率。 怎么办？引进频率的概念。
三、频率 1、频率：设事件A在n次试验中出现了m次，则称：
W ( A) m n
2、大数定律：当n趋向于无穷大时，频率无限接近于概率。
第四节 统计参数估计
一、样本与总体 1.总体：随机变量所有可能取值的全体。 水文总体往往是无限的。 2.样本：从总体中任意抽取的一部分。 3.样本容量：样本中包含的项数。n 4.总体与样本的关系：样本来自总体； 样本的分布基本上反映总体的分布规律。 水文的总体是无限的，所以采用样本来估计总 体；样本（实测资料）的分布反映总体分布规律。
3、水文常用频率代替概率。 当然希望n足够大，一般n>25。 注意：频率与概率的区别与联系
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第三节 随机变量及其概率分布
一、随机变量 1.定义：若随机事件的每次试验结果，可用一个数值X
表示。在一次试验中，X数值是随机的。则称此变量为随 机变量。
离散型：如X=1，2，3…….
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第五节 现行水文频率计算方法——配线法 一、经验频率曲线 1.定义：根据实测点据（经验点）绘出的F（X）曲线。
2.经验频率： P m
n 1
式中：n——是n次随机试验；m——是n次试验中出现的次数。
为何不用P=m/n? 若n是资料的总体，以上公式是 正确的，合理的。但由于是样本资料估计总体。 当m=n时，P=100%。这就是说样本的最小项是总 体的最小项，也就是说最小项是必然要发生的， 这是不合理的。
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年 雨 量 （
mm)
600 500 400 300 200
0.01
1
10
50
90 99.9%
@COPY RIGHT 扬大陈平
（2）选定水文频率分布线型（一般选用P-Ⅲ型）。
（3）初估统计参数
X
1 n
Xi
Cv
1 X
(Xi X)2 n1
Cs Cv
（4）假定一组频率（一般为7个）
600 500 400 300 200
0.01
1
10
50
图XX XXX站年雨量频率曲线
90 99.9%
@COPY RIGHT 扬大陈平
四、三参数对曲线的影响规律
前面配线时，如果配合不好，则改变参数，继 续求Xp值，第二次配线。
参数有3个，改变哪一个呢？无从下手。 这就需要弄清3参数对曲线的影响规律。
由初估X的 ，C： s，Cv查K
或
p
计7 个 算 x p ： 到 X (C v 1 ) K pX
@COPY RIGHT 扬大陈平
@COPY RIGHT 扬大陈平
年 雨 量 （
mm)
600 500 400 300 200
0.01
1
10
50
90 99.9%
@COPY RIGHT 扬大陈平
（5）将9个Xp值点绘到经验频率点中， 看它们与 经验点的配合情况 。
分布函数与密度函数的关系 f(x)
四、几种常用线型
1.正态分布：
0
f (x)
1
(xx)2
e 22
2
x ( x )
x
特点：1〉对称；2〉单峰；3〉 f (x) 0
4〉两端以X轴为渐进线；
5〉f(x)曲线与X轴间的面积为1。
参数： X，
@COPY RIGHT 扬大陈平
2.皮尔逊型分布(P-Ⅲ型） 我国水文现象的分布就符合该分布。
F(x)F(xx) 表示X落在 (x，xx) 的概率线密度。
x
liF ( m x ) F ( x x ) liF ( m x x ) F ( x ) F ( x )
x 0 x
x 0 x
引入概论密度函数： f(x)F(x)
F(x)P(Xx)x f(x)dx
@COPY RIGHT 扬大陈平
………..
@COPY RIGHTБайду номын сангаас扬大陈平
二、经验频率与重现期
1.重现期：某一随机事件，在许多次随机试验中， 重复出现的平均时间间隔。T，年
T=100年，平均一百年出现一次，但不是一定100 年出现一次。 2.经验频率与重现期的关系
T1 P
多水年：P≤50% ，防洪、排涝
T 1
少水年：P>50% ， 抗旱
@COPY RIGHT 扬大陈平
3.经验频率计算
（1）超过制概率。 P（X>xp） （2）水文资料由大到小排列。
则：m就是排位序号，也即大于或等于 该值的样本数量。
序号 1 2 3
……..
年降雨量（mm） P=1/（N+1）
1105
1/（50+1）
1056
2/（50+1）
987
3/（50+1）
……..
2.分类：
连续型：X在某区间取值
二、概率分布
1.概率分布函数： F(x)P(Xxi)
水文上采用超过制概率： F(x)P(Xxi)
@COPY RIGHT 扬大陈平
2.概率密度函数
随机变量落在某一区间的问题： (x，xx) x 是区间的长度
P ( x x X x ) F ( x ) F ( x x )
1）如果配合情况好，则此时参数即为所求，配线 结束 。 2）如果配合不好，则改变参数，继续求Xp值，第 二次配线。
（6）最后选择与经验点据配合较好的点据连成曲 线作为采用曲线。相应的参数便看作是总体参数的 估值。
@COPY RIGHT 扬大陈平
@COPY RIGHT 扬大陈平
年 雨 量 （
mm)
@COPY RIGHT 扬大陈平
二、样本统计参数的估算
1.矩法估计
X 1 n
X
；
i
(Xi X)2
n
离差系数：
Cv
X
； 偏态系数：
Cs
(Ki 1)3 (n3)Cv3
2.无偏估计
X
1 n
Xi
1
CvX
(XiX)2 (ki1)2
n1
n1
其中： ki
xi x
水文上，一般不计算Cs，取：Cs Cv