工程水文学 第四章水文统计基本知识
工程水文学第四章 水文统计基本方法
反应系列 总水平
定义模比系数： 则：
Ki
xi x
1
1 n
n i 1
Ki
K1 K2 Kn n
⒉ 均方差σ、变差系数Cv：
反映系列中各变量值集中或离散的程度
n
(xi x)2
i1
n
Cv
n
(Ki 1)2
i 1
n
例4-2： 5， 10， 15 x=10 σ=4.08 995，1000，1005 x=1000 σ=4.08
Cv=0.48 Cv=0.0048
⒊偏态系数（Cs）: 反映系列在均值两边对称程度
n
( Ki 1)3
Cs i1 nCv3
正态曲线或正态分布： 密度函数：
密度曲线：
例4-3：计算系列的统计参数均值、变差系数、 偏态系数。
样本 1 2 3 4 5
系列 300 200 185 165 150
例如:
T 1 1 P
当某一洪水的频率为P=1%时，则T=100年，称此洪
水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均100
年会遇到一次。
对于p=80%的枯水流量，则 T=5 年，称作以五年一
遇枯水流量作为设计来水的标准。表示小于等于这样的
流量平均5年会遇到一次。说明具有80%的可靠程度。
第五节 P—Ⅲ型分布参数估计
经验频率 （5） 9.1 18.2 27.3 36.4 45.5 54.5 63.6 72.7 81.8 90.9
某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线
二、理论频率曲线： 1、皮尔逊Ⅲ型分布曲线（ P-Ⅲ)
一端有限，一端无限 的不对称单峰曲线
形状、尺度和 位置参数
可以推证：
4 CS2
工程水文学第四章 水文统计基本方法共63页文档
三、概率分布函数与概率密度函数的关系 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数。
F (x)
F(x)P(Xx)xf(x)d x
四、随机变量的统计参数
⒈总体统计参数、样本统计参数 ⒉均值、均方差、变差系数、偏态系数
⒊总体：随机变量所有取值的全体。 ⒋样本：从总体中抽取的一部分。 ⒌样本容量：样本包括的项数，样本大小。
f (x)dx xP
即求出的 x p 应满足 ：
x p 取决于P、、、a0 四个参数。
令： x x ，Φ是均值为零，标准差为1的 xC v 标准化变量（离均系数）
则有: xx(1Cv)
该式包含CS、P与 Φp的关系，根据拟定CS值，可
得值不，同通过P 下的式Φ即p 值可，求附出表与。各然种后P利相用应已的知的值x p，从和x而CV可
经验频率 （5） 9.1 18.2 27.3 36.4 45.5 54.5 63.6 72.7 81.8 90.9
某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线
二、理论频率曲线： 1、皮尔逊Ⅲ型分布曲线（ P-Ⅲ)
一端有限，一端无限 的不对称单峰曲线
形状、尺度和 位置参数
可以推证：
4
C
2 S
2 xC vC s
第四章 水文统计基本方法
⒈概率的基本概念 ⒉ 随机变量及其概率分布 ⒊水文频率曲线线型 ⒋P—Ⅲ型分布参数估计 ⒌水文频率计算—适线法 ⒍相关分析
第一节 概述 一、水文现象的随机性： 二、概率论和数理统计学在水文分析中的应用： 三、水文统计解决的问题：
给定样本，求指定频率的设计值 例：求指定频率的设计洪水。 方法：确定频率曲线。
工程水文学水文第四章统计3
二、优化适线法
优化适线是在一定的适线原则下，求解与经 验点据拟合最优的频率曲线的参数的方法
优化适线拟合最优的准则： （一）、离差平方和最小准则
离差平方和最小
n
2
SL ( ) = xi − f (Pi; ) i = 1,2,.....n
绝对值和最小准则的基本假定是，绝对值误差不随系列而变， 也迁就了大洪水，但其影响不及上法。
相对离差平方和最小准则的基本假定是系列相对误差不变。 这个假定较前两假定更符合实际资料条件。可获得较好的精度。
第六节 相关分析
一、相关分析的概念 前面分析的只是一种随机变量的变化规律。自然界中常遇到
两种或两种以上的随机变量，这些变量之间存在一定的联系。 相关分析：研究两个或两个以上随机变量之间的关系
4、由 X P = X (1+ CV )
计算不同的P 对应的 X P
值
5、点绘 (P , X P )
点据，分析人员凭经验判断调整 参数，看与经验点据配合的情况
若不理想，则修改参数再次计算。
由于频率曲线含有三个参数，无法同时判断哪种组合最优 修改参数时，先考虑改变 CS
其次考虑改变 CV 必要时调整 X
研究2个变量的相关关系，称为简相关，在水文中常见 研究3个或3个以上变量的相关关系------复相关
按相关图形可分为： 直线相关
非直线相关
3．相关分析的内容 （1）判断变量之间是否存在相关 （2）确定相关关系的数学形式和相关的 密切程度 （3）插补延长倚变量，并作误差分析。
二、简单直线相关 1、相关图解法
建立回归方程 第一步：确定线型——直线，
《工程水文学》四五章复习
第四章水文统计基本知识一、概述1.随机现象：是在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象。
水文现象2.随机现象所遵循的规律称为统计规律，研究统计规律的学科称为概率论而由随机现象的一部分试验资料去研究全体现象的数量特征和规律的学科称为数理统计学。
3.水文统计：将概率论和数理统计引入水文学，研究水文现象的统计变化规律的学科，被称为水文统计。
二、概率的基本概念1.事件2.概率：随机事件A在试验结果中可能出现也可能不出现，但其出现可能性的大小的数量标准就是概率。
m出现随机事件的结果数n试验中所有可能出现结果数古典概型P(A)=m/n3.频率：水文事件不属古典概型事件。
设事件A在ｎ次试验中出现了ｍ次，则称为事件A的频率 P(A)=m/n，当n趋于无穷大时，P(A)稳定并趋于概率。
4.概率定理加法定理：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ，当A、B互斥时P(AB)=0乘法定理：P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) ，当A、B独立时，P(AB)=P(A)P(B)三、随机变量及其概率分布1.随机变量：表示随机试验结果的一个变量，一般用大写变量表示，如 X，Y，Z等。
水文统计研究的是水文随机变量。
离散型随机变量、连续型随机变量总体与样本总体：随机变量所有取值的全体，样本：从总体中随机抽取的一部分，样本容量：样本包括的项数，样本大小。
2.随机变量的概率分布随机变量的取值与其概率之间的对应关系，记为F(X)。
连续型随机变量的概率分布(区间概率)对于水文变量，研究大于等于某一取值x 的概率，即分布函数F(x)—概率分布曲线 即: F(X)=P(X>Xp)=p水文上通常称概率分布曲线为频率曲线 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数3. 随机变量的统计参数：说明随机变量统计规律某些特征的数字，称为随机变量的统计参数。
例如平均降雨量、年平均流量等， （1）均值(数学期望值)均值为分布的中心，表示对象的平均情况，即总体水平的高低（2）均方差表示分布函数的绝对离散程度。
工程水文学水文第四章统计1
统计参数不仅能反映水文系列的基本规律，用简明的数字来概括 水文现象的基本特性，即具体又明确，又便于与邻近地区比较，进 行地区综合，对解决缺乏资料地区中小河流的水文计算问题具有重 要的实际意义。
1、均值
第四章 水文统计基本原理与方法
第一节 概述
水文现象是一种自然现象，一切自然现象都包含有必然性的一 面，也包含着随机性的一面。水文现象也是如此。
必然性——成因法来研究确定性的水文现象。
例：P，
Pa
成因分析法
汇流
———— 净雨————
Q—t（确定性水文现象）
扣损
河流中的流量Q每年不一样，看上去好象没有什么规律。因为 影响因素多且错综复杂，它具有随机性。
除此之外还研究随机变量的取值大于等于某一值的概率。
水文上习惯研究随机变量不小于某值的概率。P（X x）。
数学上习惯研究随机变量小于某值的概率。P（X<x）。
显然，P（X x）（即概率）是变量X取值 x的函数。这个函数
称为随机变量X的分布函数。
二、连续型随机变量的概率分布
F（x)=P (X x )
随机变量的概率分布能比较完整地刻划随机变量的统计规律。然 而在一些实际问题中，随机变量的分布函数不易确定。有一些实际 问题也不一定需要完整的形式来说明随机变量，只要知道某些特征 值，能说明随机变量的主要特性就行了。
例：某地年降水量是一个随机变量，各年不同，有一定的概率 分布曲线。但若只了解该地年降水量的概括情况，那么多年平均 年降水量就是反映该地年降水量多少的一个重要指标。
权函数法的实质在于用一、二阶权函数矩来推求Cs 具体计算式如下：
第四章 水文统计基本原理与方法 工程水文学
lim W(A) P(A)
n
五、概率的加法定理与乘法定理
1、概率的加法定理
互不相容（互斥）：P(A1+A2+…An)= P(A1)+P(A2)+……P(Ai)
非互斥事件 ： P(A1+A2)= P(A1)+P(A2)- P(A1A2)
式中：P(A1+A2+……An)为它们中任一个出现的概率
目估外延。 2、理论累积频率曲线
四．理论累积频率曲线
1.频率密度
正态分布：
1 ( x x )2 f ( x) exp 2 2 2
P
x
x
1 ( x x )2 exp dx 0.683 2 2 2
1 ( x x )2 P exp dx 0.997 2 x 3 2 2 1 ( x x )2 P exp dx 1 2 2 2
若求百年一遇的洪水
,m=1 ，得,n=99年。即
是说，在推求百年一遇的洪水时，至少需要99年的实测资料。
2.经验累积频率曲线绘制步骤
1)将实测水文特征值如水位、流量或降雨量不论年序，按大小 排序，对于洪水资或大于某特征值 x≥xi，的
例4-1：江河中出现的最高水位或最大流量，每年的实测值 各不相同，为互斥事件。某水文站观测到一河段50年的洪 水水位资料如下表4-2，求小于258m水位出现的频率。
水位高程Hi(m) 出现的频数 fi(年) 频率w(Hi)%
250 3 6
255 7 14
258 9 18
265 16 32
268 15 30
均系数表。后经雷布京等人的修正，成为专用水文计算表。
1961年中国科学院水文研究所又对此离均系数ФP计算表进行 修正扩展，加密点据，将ФP值补充到Cs=6.4。 x K p 1 pCv；xP KP x 理论累计频率曲线的坐标值：令 K
工程水文学 第4章 水文统计的基本知识
第四章水文统计的基本知识第一节概述 (2)第二节概率的基本概念 (2)第三节随机变量及其概率分布 (3)第四节水文频率曲线线型 (5)第五节频率曲线参数估计方法 (11)第六节水文频率计算适线法 (12)第七节相关分析 (14)小结 (18)课前学习指导课程要求（1）了解概率、随机变量及其概率分布的基本概念；（2）了解水文频率曲线常用的线型，要掌握P-III型分布曲线和经验频率曲线的性质和计算方法；（3）了解频率曲线参数的估算方法，要掌握矩法估算参数的方法；（4）掌握水文频率计算适线法的具体步骤和方法，特别是参数对频率曲线的影响；（5）了解相关分析的基本概念和方法，特别要掌握两变量直线相关、曲线相关的方法和具体步骤。
课时安排共需6个课内学时，10个课外学时课前思考频率与概率有何区别与联系?某水利枢纽施工期预定3年,施工用的围堰的设计标准按照20年一遇洪水设计,在施工期内发生设计洪水的概率、一次也不发生设计洪水的概率？水文变量常用线型与参数估计方法？进行回归（相关）分析，其目的是什么？如何提高参数估计的精度？学习重点掌握Pearson—III型分布曲线性质与计算方法，如何利用适线法估计水文系列参数；难点如何灵活应用概率论原理（如古典概率，概率的加法和乘法定律等）计算事件发生的概率，如何调整参数使得水文理论频率曲线与经验点据拟合好？第一节概述一、水文现象的特性水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也具有偶然性的一面。
1、必然现象是指在一定条件下，必然出现或不出现的现象；水文学中称水文现象的这种必然性为确定性。
2、偶然现象是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象，偶然现象也称随机现象；偶然现象仍然是有规律的，一般称为统计规律。
二、水文统计规律的研究 - 水文统计数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论, 而由随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规律的学科称为数理统计学。
概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上则称为水文统计。
工程水文第4章水文统计的基本知识
样本抽样误差的均方值称为均方误，是衡
量抽样误差的大小的常用指标。
皮尔逊Ⅲ型分布参数矩法估计的均方误公式：
X
n
2n 1 3 2 cs 4 3 2 CS 2C V C S 4
Cv
Cv 2n
6
2 1 2cv
Cs
n
(1
3 5 2 4 CS CS 2 16
第四章
第一节
水文统计的基本知识
水文现象
第二节
第三节 第四节 第五节 第六节
概率的基本概念
随机变量及其概率分布 水文常用频率曲线 统计参数估算 适线法估计水文分布参数
第一节
水文现象
水文现象是自然现象的一种，在其发生和
演变过程中，包含着必然性的一面，也包着偶
然性的一面。
必然现象是在一定条件下，必然出现或不
样本参数的均方误（相对误差，%）
参数
EX
100 50 25 10 100 50
CV
25 10 100 50
CS
25 10
n Cv
0．1 0．3 0．5 0．7 1．0
1 3 5 7 10
1 4 7 10 14
2 6 10 14 20
3 10 12 22 23
7 7 8 9 10
50 10 11 12 14
F（x）
概率分布函数与密度函数关系
三、随机变量的分布参数
概率分布曲线完整地刻划了随机变量的
统计规律。但在一些实际问题中，有时只要 知道概率分布某些特征数值。这种以简便的 形式显示出随机变量分布规律的某些特征数 字称为随机变量的分布参数。
均值
x
x i pi i
工程水文第4章水文统计的基本知识精品PPT课件
＝0.3×0.1 / 0.2
＝0.15
第三节 随机变量及其概率分布
一、水文随机变量 随机变量是表示随机试验结果的数 量表示。水文随机变量一般指水文特征 值，如水位、流量、雨量等，属连续型 随机变量。
二、随机变量的概率分布
随机变量的取值x与其概率P 的对应关系，
二、概率
随机事件A在试验结果中可能出现也可 能不出现，但其出现可能性的大小的数量标 准就是概率。
古典概率表达式
P(A) m n
三、频率
水文事件不属古典概型事件，只能通过
试验来估算概率。设事件A在ｎ次试验中出 现了ｍ次，则称
W (A)
m n
为事件A的频率。
试验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊
掷币试验出现正面的频率表
称为随机变量的概率分布。水文统计学研究随 机变量的取值大于某一个值的概率
F（x）＝P（X＞x）
称此为随机变量的概率分布函数或概率 分布曲线。
x
1100
某雨量站的年雨量分布曲线
1000
900
800
700
0.2
0.4
0.6
0.8
（（（1（）23）4）年）年P雨P（雨（量X量X＞超小≤x过）于9x=08）000m0=.mm1的m0的的.概1设概的率计率设值计x值x
P（P（PX（＞Xx＞X9=＞08009x）09））5=m==m01.0-2.502.1= 0.9 P（X≤x 8=007）20=m1m－0.52=0.48
1.0
P（X ＞ x）
函数f（x）＝-F ’（x）为概率密度函数，
简称为密度函数或密度曲线。
f（x）
f（x）dx
第四章水文统计基础知识
2、均方差 和变差系数 Cv
均方差和变差系数都是反映随机变量系列对其均值离
散程度的参数。
x 系列中各随机变量
对其均值
i
的x差称为离差，用
Di 表示，Di xi。 x
n
n
方差是离差的平方和
D2 i
(x，i 可x)以2 用来表示系列总
的离散程度。
i 1
i 1
均方差 表达各随机变量对其均值的平均离散程度。
0
f(x)
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 频率密度
2500 2000 1500 1000 500
0 0
频率直方图
概率分布曲线
F(x)
20
40
60
80
累积频率
累积频率曲线
100
120
x
P(x xP ) F(xP )
f (x)dx
xP
>
P xP x
P(A) m n
掷币试验出现正面的频率表
试验者 蒲丰
皮尔逊 皮尔逊
掷币次数 ４０４０ １２０００ ２４０００
出现正面次数 ２０４０ ６０１８
１２０１４
频率 ０.５０８０ ０.５０１６ ０.５００６
在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概 率是十分接近的。
二、随机变量的概率分布
概率分布
例 4-1
与频率曲线形状的关系
x 对频率曲线的影响
Cv 对频率曲线的影响
Cs 对频率曲线的影响
x3>x2>x1
x
x3
x2 x1
CV3>CV2>CV1
x
CV3
CV2
第四章 水文统计基本知识
水文现象的统计规律
水文现象是一种自然现象，它具有必然性，也具有偶然性。 其中偶然现象(随机现象)所遵循的规律称为统计规律 水文统计及其任务 研究随机现象统计规律的学科称为概率论, 而由随机现象的 一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规律的学科称为 数理统计学。概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上则 称为水文统计
对于连续型随机变量：
变量的取值充满整个数值区间，无法一一列出其 每一个可能值，只能以区间的概率分析其分布规律
连续系列按由大到小顺序排列，分成N组，组距 值△ x=xi+1 - xi，任一组内概率为△p，则区间平均概 率为f(x)= △p/△x，此值称为△x区间对应的概率密 度
区间足够小时，
x
f ( x)
2 （－ 1 10） (10 10)2 (19 10)2 乙 7.35 3
表明：乙系列的离散程度大于甲系列 均值相同时，均方差可以反映其离散程度；但均值不 同时，却无法比较。因此引入离差系数（变差系数）
2 离差系数(变差系数、离势系数)：均方差和平均数 的比值，表征随机变量分布的相对离散度
三
频率
水文事件不属古典概率事件，其试验结果可能的
总数未知，试验结果是否等可能也未知，因而不能
预先推知某事件的概率。为此引入“频率”概念来 计算随机水文事件的概率 频率：设随机事件A在重复试验n次中出现 f 次，则 f 与 n 的比值称为事件A的频率，即 W(A)＝f / n
这里的n 不是所有可能的结果总数，仅是随机试验
(3) 年重现期与次重现期
水文计算中为延长实测样本系列的容量，常在一年中 取多个样本系列，所得重现期为次重现期 排水工程的设计标准常遇T<1年，因而需一年多次取样 设平均每年所取样本为α个，n年所得样本容量 由年频率P(χ≥χi) = m／n 次频率Pˊ(χ≥χi) = m／S=P/ α S=nα，
第四章 水文统计基本原理与方法 工程水文学
求的安全率称设计频率标准。
§4-2经验累积频率曲线与理论累积 频率曲线
§4-2经验累积频率曲线与理论累积频率曲线
一、频率密度曲线与频率分布曲线
1.频率密度函数与分布函数
水文现象中的变量为连续型随机变量，其累积频率P(x≥xi)、
P(x≤xi)可以用一连续函数F(x)来表示，即P(x≥xi)=F(x)， F(x) 称该随机变量的分布函数。
例 4-2 ：某城市在不同河流上建有独立运行的两水泵站。 A 泵 站受到洪水淹没破坏的概率为 2%，B泵站破坏的概率为 5%，求 洪水期它们同时遭到破坏的概率有多大？
1 P( AB ) P( A) P( B ) 2% 5% 10000
六、累积频率与重现期
1. 累积频率 1）定义：一定范围内，水文特征值出现的总可能性即累积频率。 （累积频率可以预测多个水文特征值未来发生的概率。）
2、安全率：建筑物保持正常运转的可能性大小（即概率）称
为安全率，其值为1-P。
3、保证率：建筑物在n年内保持安全运转的可能性大小称之为 保证率，由概率的乘法定理，保证率为(1-P)n。 4、风险率：n年内安全运转遭到破坏的可能性的大小则称之为 风险率，为1-(1-P)n。 5、设计频率标准：国家根据工程的重要性和建筑物等级制定 的建筑物允许破坏率或要求的安全率。这一允许的破坏率或要
均系数表。后经雷布京等人的修正，成为专用水文计算表。
1961年中国科学院水文研究所又对此离均系数ФP计算表进行 修正扩展，加密点据，将ФP值补充到Cs=6.4。 x K p 1 pCv；xP KP x 理论累计频率曲线的坐标值：令 K
xP x(1 P Cv )
P与 xP一一对应。以x为纵坐标，P为横坐标，可绘出一条P~
工程水文学第四章知识题含答案解析
第四章习题【思考题】1、选择题水文现象是一种自然现象，它具有[D_]。
a、不可能性；b、偶然性；c、必然性；d、既具有必然性，也具有偶然性。
水文统计的任务是研究和分析水文随机现象的[C]。
a、必然变化特性；b、自然变化特性；c、统计变化特性；d、可能变化特性。
2、是非题由随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规律的学科称为概率论？（×）偶然现象是指事物在发展、变化中可能出现也可能不出现的现象？（√）3、简答题什么是偶然现象？有何特点？何谓水文统计？它在工程水文中一般解决什么问题？1、选择题一棵骰子投掷一次，出现4点或5点的概率为[A]。
a、；b、；c、；d、一棵骰子投掷8次，2点出现3次，其概率为[C]。
a、；b、；c、；d、2、是非题在每次试验中一定会出现的事件叫做随机事件？（×）随机事件的概率介于0与1之间？（√）3、简答题概率和频率有什么区别和联系？两个事件之间存在什么关系？相应出现的概率为多少？1、选择题一阶原点矩就是[A]。
a、算术平均数；b、均方差c、变差系数；d、偏态系数偏态系数Cs﹥0，说明随机变量x[B]。
a、出现大于均值的机会比出现小于均值的机会多；b、出现大于均值的机会比出现小于均值的机会少；c、出现大于均值的机会和出现小于均值的机会相等；d、出现小于均值的机会为0。
水文现象中，大洪水出现机会比中、小洪水出现机会小，其频率密度曲线为[C]。
a、负偏；b、对称；c、正偏；d、双曲函数曲线。
2、是非题x、y两个系列的均值相同，它们的均方差分别为σx、σy，已知σx＞σy，说明x系列较y系列的离散程度大。
【答案】Y统计参数Cs是表示系列离散程度的一个物理量。
【答案】N3、简答题分布函数与密度函数有什么区别和联系？不及制累积概率与超过制累积概率有什么区别和联系？什么叫总体？什么叫样本？为什么能用样本的频率分布推估总体的概率分布？统计参数、σ、Cv、Cs的含义如何？【思考题】1、选择题在水文频率计算中，我国一般选配皮尔逊III型曲线，这是因为[D]。
第四章 水文统计的基本知识
实例 某地区位于甲、乙二河的汇合点，当任 某地区位于甲、乙二河的汇合点， 一河流泛滥时，该地区就会被淹没。 一河流泛滥时，该地区就会被淹没。设在某个 时期内，甲河泛滥的概率P =0.1； 时期内，甲河泛滥的概率P（A）=0.1；乙河泛 滥的概率P =0.2；又知当甲河泛滥时， 滥的概率P（B）=0.2；又知当甲河泛滥时， 乙河泛滥的概率P B/A）=0.3。 乙河泛滥的概率P（B/A）=0.3。求这个时期 内该地区被淹没的概率。又当乙河泛滥时， 内该地区被淹没的概率。又当乙河泛滥时，甲 河泛滥的概率是多少？ 河泛滥的概率是多少？ 事件相容且不独立， 解：因A、B事件相容且不独立，故该地区被淹 没的概率为： 没的概率为：
非互斥事件： 互斥事件： P（A+B）= P（A）+ P（B）-P（AB） A+B） P（ P（ AB） 2、概率乘法定理 对于两个独立事件， 对于两个独立事件，该两项事件同时 发生的概率等于这两个事件概率的乘积， 发生的概率等于这两个事件概率的乘积， AB）=P（ 即： P（AB）=P（A）·P（B） 不独立事件： AB） P（ B/A） 不独立事件： P（AB）= P（A）P（B/A） P（AB）= P（B）P（A/B） AB） P（ A/B） 式中，P（B/A）——事件B在事件A已发生 式中， B/A）——事件 在事件A 事件B 情况下的概率，简称为B的条件概率。 情况下的概率，简称为B的条件概率。
( )
( )
( )
( )
本节小结
一、事件的分类 二、概率、频率及二者的区别和联系 概率、 三、概率的加法定理和乘法定理
§4—3 随机变量及其概率分布
一、随机变量 1、定义：随试验结果而发生变化的量。 定义：随试验结果而发生变化的量。 总体：某种随机变量所取数值的全体。 总体：某种随机变量所取数值的全体。 样本： 样本：从总体中不带主观成分任意抽取的 一部分。 一部分。 样本容量：样本所包含的项数。 样本容量：样本所包含的项数。 水文现象中的随机变量， 水文现象中的随机变量，一般是指某 水文特征值，如某站的年降水量等。 种水文特征值，如某站的年降水量等。 它们的总体通常是无限的， 它们的总体通常是无限的，而样本则 是指有限期间的实测水文数列。 是指有限期间的实测水文数列。
最新工程水文及水资源教案——第四章 水文统计
“工程水文及水资源”第四章电子教案授课时间年月日第周星期第节授课时间年月日第周星期第节图4-1C s对密度曲线的影响授课时间年月日第周星期第节图4-2某站年降雨量频率曲线图图4-2 某站年降雨量频率曲线图授课时间年月日第周星期第节图4-3均值x对频率曲线的影响图4-4变差系数C v对频率曲线的影响教学过程（四）总结频率计算——图解适线法的目的和过程？“实践是判别真理的唯一标准”在适线过程中如何体现的？“适线”与“试算”从形式上是否一样？上述这些问题引导学生思考并做说明。
（五）布置作业布置作业4-6图解适线法频率计算补充教学内容教学总结图4-5偏态系数C s对频率曲线的影响授课时间年月日第周星期第节课题§4水文统计4.6相关分析学时 2教学目的1、理解相关分析的目的，能应用相关图解法，理解相关计算法的思路2、能熟练利用Excel建立线性回归方程3、了解回归方程的误差教学重点和难点重点：相关图解法应用，相关计算思路，线性回归方程的建立和应用难点：回归方程的误差；线性回归方程使用时要注意的几个问题课型单一课教学方法讲授、启发、归纳、演示教具电脑和投影仪教学过程一、教学思路1、从需要对两个及两个以上水文变量之间关系进行分析之目的出发说明相关分析的意义，进而是分析方法。
2、相关计算法注重思路。
3、通过学生对线性回归方程的回答，阐述参数a、b的涵义和计算，并演示利用Excel建立回归方程的方法。
4、通过实例讲述利用回归方程外延水文变量时要特别注意的问题。
二、教学内容具体设计（一）内容复习、导入新课1、复习降雨径流形成过程，重点说明之间的关系。
2、稳定水位与流量关系。
通过对这些关系扼要回顾，说明研究其之间关系的重要性，从而导入新课。
（二）相关分析1、相关分析的概念数理统计法把建立两个或多个随机变量之间的联系，称之为近似关系或相关关系。
把对这种关系的分析和建立称为相关分析。
举例说明。
相关的种类根据变量之间相互关系的密切程度，变量之间的关系有三种情况：（1）完全相关（函数关系）（2）零相关（没有关系）（3）相关关系图4－6相关关系示意图（a）直线相关；（b）曲线相关。
工程水文学第四章
工程水文学第四章：水文资料的收集与处理1. 简介水文学是研究水文过程，利用运筹学和水利工程技术等学科工具，解决水资源合理利用的科学。
整体来看，水文学的关键是数据，所以收集及处理水文资料的质量将直接影响到分析与预测的结果。
该文档将对水文资料的收集与处理方法进行介绍。
2. 水文资料收集水文资料的收集是水文学研究的基础，主要包括历史资料的搜集和现代仪器的观测数据的收集。
2.1 历史资料的收集历史资料的收集主要是指古代和现代气象、地质、水文序列资料的分析、提取和整理。
古代气象、地质和水文序列资料的收集往往需要查阅历史文献，了解古人的实地经验和观察，这些都是得出长时间序列数据的可靠依据。
2.2 现代仪器资料的收集现代仪器资料是指气象、水文、水文生态等要素的现场观测数据。
如国内观测水污染的数万个断面，其中大部分都配备有水文仪器。
我们只要选取合适的仪器，采集计算机数据，就能够得到大量的准确数据。
3. 水文资料处理水文资料处理主要是获取最终的现象、输入和系统响应，通常可以分为以下几个步骤。
3.1 数据的预处理预处理阶段是数据处理中的一个重要环节，针对数据的不同特点和要求，进行归一化处理、数据偏差修正、数据降噪等处理工作。
这个阶段的核心是确定数据处理的目的，选择合适的数据预处理方法。
3.2 数据的分析数据分析是要对已经处理好的数据进行分析，找到数据中有用的信息，从而发现数据的规律和趋势。
数据分析的主要方法有统计分析、时间序列分析、频谱分析和空间分析。
3.3 模型的建立根据所分析的数据特点和趋势，可以建立相应的模型。
这个阶段的任务是将已经分析好的数据和理论知识深入结合起来，以找到合理的模型形式，达到模型的科学性和合理性。
3.4 模型的求解解决模型即是指在模型中提取系统的参数，确定参数的值。
根据不同的求解方法，我们可以选择确定性的方法和随机的方法，它们的选择必须根据我们的输入与系统响应两者之间的关系来决定。
3.5 模型的验证模型的验证主要是指将已经得出的模型应用于不同的数据情况中，检验模型的预测能力。
工程水文学第四章 水文统计基本方法 共63页
第二节 概率的基本概念 一、事件 指在一定条件组合下，随机试验的结果。 分为：必然事件、不可能事件、随机事件。 水文测验可看作随机试验。
二、概率 反映随机事件出现的可能性大小的数量标准：
三、频率
P( A) k n
对于水文现象，用频率作为概率的近似值：
w( A) m n
第三节 随机变量及其概率分布
Cs
i 1
(
n
3)C
3 v
二பைடு நூலகம்权函数法
马秀峰（1984）提出。
三、抽样误差 由随机抽样引起的误差，称为抽样误差。 以均值为例；抽样误差定义为：
xixix总(i1 ,2, ,k)
样本均值是随机变量,抽样误差也为随机变量。抽 样误差近似服从正态分布。
可以证明，xi(i1,2,,k) 系列的均方差 x
样本系列统计参数计算（P.40）
(xi-x)2 (xi-x)3
Ki
Ki-1
10000 1000000 1.5
0.5
0
0
1
0
225
-3375 0.925 -0.075
1225
-42875 0.825 -0.175
2500 -125000 0.75 -0.25
2790
165750
52.8
0.264102 1.12
用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的参 数，如P—Ⅲ型的 x 、CV、CS 。
一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之间的关 系，来估计频率曲线的参数。
⒈ 均值x 无偏估计：
⒉ CV的无偏估计量：
n
(Ki 1)2
Cv
i 1
n 1
⒊ CS 的无偏估计量：
第4章 水文统计的基本知识及方法
离差系数表示分布函数的相对离散程度；Cv越大，分布函 离差系数表示分布函数的相对离散程度；Cv越大， 越大 数越分散，反之亦然。 数越分散，反之亦然。
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图4-8
例1：若系列1为5，10，15和系列2为1，10，19；计算均方差并比较 若系列1 10，15和系列 和系列2 10，19； 它们的离散程度。 它们的离散程度。 答案1 答案1：σ1＝4.08和σ2＝7.35 4.08和 例2：若序列1为5，10，15和序列2为995，1000，1005；计算变差系 10，15和序列 和序列2 995，1000，1005； 若序列1 数并比较它们的离散程度。 数并比较它们的离散程度。 答案2 答案2：EX1＝10，σ1＝4.08，Cv1=0.408和EX2＝1000， 10， 4.08， =0.408和 1000， σ2＝4.08，Cv2＝0.00408 4.08，
《工程水文学》 工程水文学》
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第4章 水文统计的基本知识及方法
4.1 概述 4.2 概率的基本概念 4.3 随机变量及其概率分布 4.4 统计参数估算 4.5 现行水文频率计算方法——适线法 现行水文频率计算方法—— ——适线法 4.6 相关分析
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4.1 概述
水文现象 水文现象受多种因素影响，具有随机性，故为随机现象。 水文现象受多种因素影响，具有随机性，故为随机现象。 譬如： 譬如： • 同一距离用同一皮尺测多次，所得的结果彼此有差异； 同一距离用同一皮尺测多次，所得的结果彼此有差异； • 给定相同的降雨强度和降雨时间，在同一块场地上进行多次 给定相同的降雨强度和降雨时间， 人工降雨实验，每次所得结果彼此不同； 人工降雨实验，每次所得结果彼此不同； • 某水文站年平均流量每年都不相同。 某水文站年平均流量每年都不相同。 上述例子说明，在基本条件保持不变的情况下， 上述例子说明，在基本条件保持不变的情况下，多次试验 会获得不一致的结果。其原因是除主要条件外， 会获得不一致的结果。其原因是除主要条件外，还有许多次要 因素作用。 因素作用。 随机性规律需要用大量资料加以统计， 随机性规律需要用大量资料加以统计，以得到统计规律及 相应的数字特征，常采用概率论 数理统计进行研究 概率论和 进行研究。 相应的数字特征，常采用概率论和数理统计进行研究。
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f(x)()(xa0)e(xa0) （密度分布图）
其中：
4 ； 2 ；
Cs
XCsCv
a0
X(1 2Cv Cs
)
三个参数： X，Cs，Cv
分布函数：
F(Xxp) xp f(x)dx
x p X X (C v 1 ) K pX
查值表K； p值表
如何求 X，Cs，Cv 在以后介绍
@COPY RIGHT 扬大陈平
600 500 400 300 200
0.01
1
10
50
图XX XXX站年雨量频率曲线
90 99.9%
@COPY RIGHT 扬大陈平
四、三参数对曲线的影响规律
前面配线时，如果配合不好，则改变参数，继 续求Xp值，第二次配线。
参数有3个，改变哪一个呢？无从下手。 这就需要弄清3参数对曲线的影响规律。
第四节 统计参数估计
一、样本与总体 1.总体：随机变量所有可能取值的全体。 水文总体往往是无限的。 2.样本：从总体中任意抽取的一部分。 3.样本容量：样本中包含的项数。n 4.总体与样本的关系：样本来自总体； 样本的分布基本上反映总体的分布规律。 水文的总体是无限的，所以采用样本来估计总 体；样本（实测资料）的分布反映总体分布规律。
@COPY RIGHT 扬大陈平
二、样本统计参数的估算
1.矩法估计
X 1 n
X
；
i
(Xi X)2
n
离差系数：
Cv
X
； 偏态系数：
Cs
(Ki 1)3 (n3)Cv3
2.无偏估计
X
1 n
Xi
1
CvX
(XiX)2 (ki1)2
n1
n1
其中： ki
xi x
水文上，一般不计算Cs，取：Cs Cv
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年 雨 量 （
mm)
600 500 400 300 200
0.01
1
10
50
90 99.9%
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（2）选定水文频率分布线型（一般选用P-Ⅲ型）。
（3）初估统计参数
X
1 n
Xi
Cv
1 X
(Xi X)2 n1
Cs Cv
（4）假定一组频率（一般为7个）
工程水文学 第四章水文统计基本知 识
第二节 概率的基本概念与定理
一、事件
必然事件： P=1.0
事件：随机试验的结果 不可能事件： P=0
二、概率
随机性： 0<P<1.0
1、概率：随机事件发生的可能性大小。
所以事件发生是等可能的
2、古典概型： 事件发生的可能结果数是有限的
P( A) m n
P（A）——A事件一定条件下可能出现的概率； m——在试验中A事件的可能结果数； n——在试验中所有可能结果总数。
2.分类：
连续型：X在某区间取值
二、概率分布
1.概率分布函数： F(x)P(Xxi)
水文上采用超过制概率： F(x)P(Xxi)
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2.概率密度函数
随机变量落在某一区间的问题： (x，xx) x 是区间的长度
P ( x x X x ) F ( x ) F ( x x )
其他参数不变时，其中一个参数加大时：
X 增大，曲线向上提升 Cv增大，曲线顺时针转 Cs增大，曲线向中心合
“升” “转” “合”
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五、配线法的注意点 1、尽量照顾点群的趋势； 2、曲线通过点群中心； 3、侧重考虑中上部的较大洪水点据； 4、对特大洪水作具体分析；具体处理见后。
F(x)F(xx) 表示X落在 (x，xx) 的概率线密度。
x
liF ( m x ) F ( x x ) liF ( m x x ) F ( x ) F ( x )
x 0 x
x 0 x
引入概论密度Xx)x f(x)dx
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六、优化适线法 优化适线法准则： 1、离差平方和最小准则（OLS）（最小二乘法） 2、离差绝对值和最小准则（ABS） 3、相对离差平方和最小准则（WLS）
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本章结束
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3、水文常用频率代替概率。 当然希望n足够大，一般n>25。 注意：频率与概率的区别与联系
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第三节 随机变量及其概率分布
一、随机变量 1.定义：若随机事件的每次试验结果，可用一个数值X
表示。在一次试验中，X数值是随机的。则称此变量为随 机变量。
离散型：如X=1，2，3…….
1 P
水文上常用“重现期”来代替“频率”
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三、水文频率计算——配线法（适线法）
1.原则：以点为据，以线适点 “点”经验频率点，“线”P-Ⅲ型 曲线
2.步骤：
（1）将实测资料由大到小排列，计算各 项的经验频率，在频率格纸上点绘经验点 据（纵坐标为变量取值，横坐标为对应的 经验频率）。
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3.经验频率计算
（1）超过制概率。 P（X>xp） （2）水文资料由大到小排列。
则：m就是排位序号，也即大于或等于 该值的样本数量。
序号 1 2 3
……..
年降雨量（mm） P=1/（N+1）
1105
1/（50+1）
1056
2/（50+1）
987
3/（50+1）
……..
………..
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二、经验频率与重现期
1.重现期：某一随机事件，在许多次随机试验中， 重复出现的平均时间间隔。T，年
T=100年，平均一百年出现一次，但不是一定100 年出现一次。 2.经验频率与重现期的关系
T1 P
多水年：P≤50% ，防洪、排涝
T 1
少水年：P>50% ， 抗旱
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3、水文事件：不属于古典概型。因为其所以可能结果总 数n是无限的。
4、水文概率：就不能用上面的公式计算概率。 怎么办？引进频率的概念。
三、频率 1、频率：设事件A在n次试验中出现了m次，则称：
W ( A) m n
2、大数定律：当n趋向于无穷大时，频率无限接近于概率。
分布函数与密度函数的关系 f(x)
四、几种常用线型
1.正态分布：
0
f (x)
1
(xx)2
e 22
2
x ( x )
x
特点：1〉对称；2〉单峰；3〉 f (x) 0
4〉两端以X轴为渐进线；
5〉f(x)曲线与X轴间的面积为1。
参数： X，
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2.皮尔逊型分布(P-Ⅲ型） 我国水文现象的分布就符合该分布。
1）如果配合情况好，则此时参数即为所求，配线 结束 。 2）如果配合不好，则改变参数，继续求Xp值，第 二次配线。
（6）最后选择与经验点据配合较好的点据连成曲 线作为采用曲线。相应的参数便看作是总体参数的 估值。
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年 雨 量 （
mm)
由初估X的 ，C： s，Cv查K
或
p
计7 个 算 x p ： 到 X (C v 1 ) K pX
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年 雨 量 （
mm)
600 500 400 300 200
0.01
1
10
50
90 99.9%
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（5）将9个Xp值点绘到经验频率点中， 看它们与 经验点的配合情况 。
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第五节 现行水文频率计算方法——配线法 一、经验频率曲线 1.定义：根据实测点据（经验点）绘出的F（X）曲线。
2.经验频率： P m
n 1
式中：n——是n次随机试验；m——是n次试验中出现的次数。
为何不用P=m/n? 若n是资料的总体，以上公式是 正确的，合理的。但由于是样本资料估计总体。 当m=n时，P=100%。这就是说样本的最小项是总 体的最小项，也就是说最小项是必然要发生的， 这是不合理的。