数学人教版九年级上册《切线长定理》

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人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理教案

此外，小组讨论的环节中，我发现学生们在讨论切线长定理的实际应用时，思路不够开阔。这可能是因为他们在日常生活中对几何图形的观察不够细致，或者是缺乏将理论知识应用到实际中的经验。我打算在之后的课程中，增加一些观察和分析实际几何图形的练习，帮助学生培养从生活中发现数学的能力。
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。

九年级上册数学精品课件：切线长定理

课堂小结
切线长切线长定理
三角形内切圆
原理作用
辅助线
有关概念应用
图形的轴对称性
提供了证线段和角相等的新方法
① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
内心概念及性质
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
谢谢观看
证明：∵PA切☉O于点A，
O.
P
∴ OA⊥PA.
B
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
想一想：若连结两切点A、B，AB交
A
OP于点M.你又能得出什么新的结论? O. M
并给出证明.
P
OP垂直平分AB.
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
OP=5 3cm.
即铁环的半径为 5 3cm.
练一练
PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP=5 ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
A
O
P
B
二三角形的内切圆及作法
互动探究
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
BF=BD=AB-AF=13x(由cmB).D+CD=BC，可得
F E
O
(13-x)+(9-x)=14， C
D

人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)

三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置外心不一定在三角形内部内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为

切线长定理初中九年级数学教学课件PPT 人教版

（3）写出图中所有的全等三角形？
△ AOP≌ △ BOP， △ AOC≌ △ BOC，△ ACP≌ △ BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形？
△ ABP，△ AOB
练习
1.如图， P 为⊙O 外一点，PA，PB 为⊙O的切线,A和B为切点. （1）若PA=3，则PB= ＿3＿＿（2）若PA=2x-1,PB=x+5,则x=＿6＿＿
中考链接
如图，PA，PB切⊙O于A,B,MN切
⊙O于C，交PA于M，交PB于N，
PA=7.5cm，则△PMN的周长是（ C）
A.7.5cm
B.10cm
C.15cm
D.12.5cm
巩固练习
△ABC中,∠ ABC=50°, ∠ACB=70 °, 点O是⊙O的内心，求∠ BOC的度数．
解：∵点O是⊙O的内心 ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ∴∠1=1/2∠ABC=25° ∠3=1/2∠ACB=35° ∴∠BOC=180°－25°－35° =120°
解：连接AO，BO. ∵PA，PB是⊙O的两条切线, ∴OA⊥AP ，OB⊥BP.
又 OA=OB， OP=OP,
∴ Rt△AOP≌Rt△BOP (HL)
∴ PA=PB， ∠OPA=∠OPB.
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
符号语言
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时切线长定理
1.理解切线长的概念.理解并掌握切线长定理.
2.知道三角形内切圆、内心的概念.
3.运用切线长定理和三角形内切圆知识解题.
复习旧知
1、直线和圆有什么位置关系？
相交、相切、相离

九年级数学切线长定理课件人教版

B
OP垂直平分AB
O
。
M
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB
∵OA=OB
∴OP垂直平分AB
例题讲解：已知：如图，PA，PB是⊙O 的两条切线，A、B为切点。直线OP交⊙O 于点D、E，交AB于点C。（1）写出图中所有的垂直关系； B OA⊥PA，OB⊥PB， OP⊥AB
:
.A 1.切线长：在经过圆外一点的圆的切 F o. . P D 线上，这点和切点 .B 小之间的线段的长，结叫做这点到圆的切：线长。 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
达标检测
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、 PB 为⊙ O 的切线，A和B是切点， BC是直径求证：AC∥OP
（2）写出图中所有的全 E 等三角形；
O
。
C D A
P
△OAP≌△OBP;△OCA≌△OCB △ACP≌△BCP
（3）图中有哪些线段相等(除半径外)、弧相等？ PB=PA;BC=AC 弧BD=弧AD; 弧EB=弧EA
A E P
O C B
D
（5）如果PA=4cm，
PD=2，①求半径OA的长。
②求弦AB的长。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A P
思考：切线长和切线的区别？
O
B
小结：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
探索！
o.
.BA
B B A B
.P
OB是⊙O的一条半径吗？PB是线段PA与PB， ∠ APO 与∠BPO ⊙O的切线吗？有什么关系？

人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理及三角形的内切圆(教案)

举例解释：
(1)对于切线长定理的证明，教师可以采用构造辅助线、利用相似三角形等方法，逐步引导学生理解证明过程，降低难度。
(2)在讲解内切圆半径计算时，可以针对不同类型的三角形，给出具体的计算步骤和方法，让学生通过练习逐步掌握。
(3)针对解决实际问题时思路的拓展，教师可以设置一些具有挑战性的题目，引导学生运用所学知识，培养学生的问题分析和解决能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理及内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决实际问题的能力培养：通过典型例题，重点训练学生运用切线长定理和内切圆性质解决实际问题的能力。
举例解释：
(1)在讲解切线长定理时，可以通过图形演示和实际测量，让学生直观地理解切线长的概念，并掌握切线长的计算方法。
(2)对于三角形内切圆的性质，通过构造具体的三角形模型，让学生观察内切圆与三角形各边的关系，理解并掌握内切圆半径的计算方法。
2.教学难点
-切线长定理的证明：对于定理的证明过程，学生可能难以理解，需要教师通过直观演示和逐步引导，帮助学生突破这一难点。
-内切圆半径的计算：学生在计算内切圆半径时，可能会对涉及到的几何关系和代数运算感到困惑，需要教师详细讲解并举例说明。
-解决实际问题时思路的拓展：学生在面对复杂的几何问题时，可能会缺乏解题思路，教师需要指导学生如何将问题转化为切线长定理和内切圆性质的应用。
四、教学流程

人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计

人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》是九年级数学中的一个重要知识点。

切线长定理是指：圆的切线长等于半径的长度。

这个定理在几何学中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象力有重要作用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的相关概念和性质有所了解。

但是，对于切线长定理的证明和应用，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解切线长定理的证明过程，并通过例题让学生掌握切线长定理的应用。

三. 教学目标1.让学生理解切线长定理的定义和证明过程。

2.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。

四. 教学重难点1.切线长定理的证明过程。

2.切线长定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过探究问题来理解切线长定理。

2.使用多媒体课件，直观展示切线长定理的证明过程。

3.通过例题和练习题，让学生巩固切线长定理的应用。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.练习题和测试题。

3.黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些与圆和切线有关的图片，引发学生的兴趣。

然后提出问题：“圆的切线长和半径有什么关系？”让学生思考。

2.呈现（10分钟）讲解切线长定理的定义和证明过程。

首先，解释切线的概念，然后说明切线与半径的关系，最后证明切线长等于半径的长度。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试证明一个圆的切线长等于半径的长度。

每组派代表进行讲解，老师点评并给予指导。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、选择题和解答题，涵盖切线长定理的证明和应用。

5.拓展（10分钟）让学生思考：切线长定理在实际生活中有哪些应用？可以举例说明。

鼓励学生发表自己的观点和想法。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行简要回顾，强调切线长定理的定义和证明过程，以及其在实际问题中的应用。

人教版九年级数学课件-切线长定理

即 1AC•BC1AC•r1BC•r1AB•r ，所以 r 1 AC BC AB ，代入數據
2
222
2
得r=1cm.
方法小結：直角三角形的外接圓半徑等於斜邊長的一半，
內接圓半徑
r abc 2
.
（2）若移動點O的位置，使⊙O保持與
A
△ABC的邊AC、BC都相切，求⊙O的半徑r
的取值範圍.
D
24.2 直線和圓的位置關係
第3課時切線長定理
學習目標
1.掌握切線長定理，初步學會運用切線長定理進行計算與證明.（重點）
2.瞭解有關三角形的內切圓和三角形的內心的概念. 3.學會利用方程思想解決幾何問題，體驗數形結合思想. （難點）
問題1 上節課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線（如
左圖所示），如果點C是圓外一點，又怎麼作該圓的切線
⑵ ∠DOE= 70°. P
DA
C
O
E B
例2 △ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切於點D、
E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE
的長. A
想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？
理由是什麼？
F
解:設AF=xcm，則AE=xcm.
E O
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
2
總結歸納
設Rt△ABC的直角邊為a、b，斜邊為c，則Rt△ABC
的內切圓的半徑 r＝ a＋b－c 2
ab
或r＝ a＋b＋c
當堂練習
1.如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別是A、B，如
果AP=4, ∠APB= 40 ° ,則∠APO=20 ° ,PB=4 .

人教版九年级数学上册切线长定理课件

若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别
是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？
并证明你所发现的结论。
B
PA = PB
。
P
∠OPA=∠OPB
O
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
复习旧课导入新课
1、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
几何应用:
OA是⊙O的半径 OA⊥l于A
.O
L A
l是⊙O的切线.
2、切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径
几何应用:
∵L是⊙O的切线， ∴OA⊥L
.O
L A
过圆外一点可以引圆的几条切线？
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
A
∵ OA=OB，OP=OP
3、通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度。
切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
切线长定理的基本图形的研究
1、理解切线长的概念，掌握切线长定理。
切点，直线OP交于⊙O于点D、E， E 交AB于C。
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP

人教版初中数学九年级上册第二十四章切线长定理和三角形的内切圆

课堂小结
（1）通过本节课的学习你学会了哪些知识？（2）圆的切线和切线长相同吗？（3）什么是三角形的内切圆和内心？
针对训练
2.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC
＝80°，则∠BOC的度数为( A )
A．130° B．100° C．50° D．65°
针对训练
3.从⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于点A和B，在弧
AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.且 ∠P=40°, PA=6. △PDE的周长是多少？∠DOE度数为多少？
24.2切线长定理和三角形的内切圆
• 学习目标：
1．知道三角形内切圆、内心的概念，理解切线长定理，并会用其解决有关问题；
2．经历探究切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，渗透转化思想．
• 学习重点：
切线长定理及其应用．
情境导入
已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能够过点 P 的内切圆 ⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于
点 D，E，F，且 AB=9，BC=14，CA=13．求 AF，BD，CE
的长．
A E
F
B
D
C
针对训练
1.下列说法正确的是( C )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
例题讲解
例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与
⊙O分别相切与点E、F、G、H.
D
求证：AB+CD=AD+BC.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O
分别相切与点E、F、G、H，

上册切线长定理人教版九年级数学全一册课件

第二十四章圆
第10课时切线长定理
学习目标
1．清楚认识切线长的概念以及切线长定理． 2．灵活应用切线长定理来解决相关问题． 3．了解内切圆的有关概念.
知识要点
知识点一：切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
对点训练
1.如图，PA，PB都是⊙O的切线， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝ PB ， ∠APO＝∠ BPO.
上册切线长定理人教版九年级数学全一册课件
上册切线长定理人教版九年级数学全一册课件
上册切线长定理人教版九年级数学全一册课件
(2)解：如图，作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于
H， ∵DM＝5 2，∴BC＝ 2DM＝10，而AB＝8，∴AC＝ BC2－AB2＝6.
上册切线长定理人教版九年级数学全一册课件
上册切线长定理人教版九年级数学全一册课件
13.如图，直尺、三角尺都和⊙O相切，AB＝8 cm，则⊙O的直径为 16 3 cm .
上册切线长定理人教版九年级数学全一册课件
上册切线长定理人教版九年级数学全一册课件
8.【例 5】如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，且∠ABC＝60°， ∠ACB＝80°，则∠BOC 的度数为 110° .
上册切线长定理人教版九年级数学全一册课件
上册切线长定理人教版九年级数学全一册件(1)证明：∵点I是△ABC的内心， ∴∠2＝∠7， ∵DG平分∠ADF，∴∠1＝21∠ADF， ∵∠ADF＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥CA.
解：如图，设DC与⊙O的切点为E. ∵PA，PB分别是⊙O的切线，且切点为A，B，

人教版九年级上册数学课件24.2.2切线长定理

于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm,则△PDE的周长为____
求证：AC∥OP.
B 点C到⊙O的切线长
· 1、如图，一个钢管放在V形架内，钢管的半径是20cm.
点A到⊙O的切线长
∵OA＝OB OP＝OP
∵PA、PB是⊙O的切线
(3)经过圆外一点，作⊙O的切线，能作出几条？
· 规则：同学们得到答案后，随机确定一个小组派代表讲解，保底分3分！
这一点和圆心的连线_____两条切线的夹角. (2)如果∠UVW=60°，VT是多少？到⊙O的切线长为_____
谈谈你本堂课的收获！
证明：∵BC是⊙O的直径
1
2
4
3
∴∠1＝90° ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴PA＝PB ∠2＝∠3
∴PD⊥AB
∴∠4＝90° ∵∠1＝∠4
∴AC∥OP
规则：同学们得到答案后，随机确定一个小组派代表讲解，保底分3分！
2、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA、PB
∵∴POAA、 ⊥1PA、BP是⊙O如B⊥O的B图P切线，AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A=50°，点P是圆上异
到⊙O的切线长为_____ 到⊙O的切线长为_____
50°
规则：同学们得到答案后，随机确定一个小组派代表讲解，保底分3分！
3、如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，
(3)经过圆外一点，作⊙O的切线，能作出几条？
规则：同学们在书本上完成题目，之后确定一个小组派代表展示，保底分3分！
在Rt△VUT中
∵PA、PB切⊙O于A、B
在Rt△VUT中 ∴OA⊥AP OB⊥BP
?
VT VU 2＋ UT 2