含绝对值的二次函数
二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。
二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。
一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。
它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。
例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。
（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。
（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。
当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。
（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。
本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。
二、合理用公式，灵活换视角公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。
例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1.解 由韦达定理，得⎩⎨⎧=-=+b x x a x x 2121 ⎩⎨⎧==+∴.|||||,|||2121b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1，又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|.1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。
二次函数绝对值问题
常见绝对值类问题汇总——辽宁数学小丸子编辑【题1】已知32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当1x ≤时，'()f x M ≤恒成立，求a 的最大值【题2】设1()42(,)x x f x a b a b R +=+⋅+∈，若对于1[0,1],()2x f x ∀∈≤都成立，求b 【题3】2()f x x bx c =++在定区间[,]m n 上的最大值为M ，则M 有一个最小值2()8m n -，当且仅【题4】设,,a b c R ∈,对任意满足1x ≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___【题5】设函数(),,f x x ax b a b R =--∈，若对任意实数,a b ，总存在实数0[0,4]x ∈使得不等式0()f x m ≥成立，求实数m 的取值范围【题6】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()1f x ≤，求证：当2x ≤时，()7f x ≤【推广】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()f x k ≤，求证：当x n ≤时，2()(21)f x n k≤-【题7】已知二次函数22(),(),(1)1,(0)1,(1)1f x ax bx c g x cx bx a f f f =++=++-≤≤≤求证：当11x -≤≤时，（1）5()4f x ≤（2）()2g x ≤【题8】设函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有24ax b +≤【推广】设函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有2(*)nax b n n N +≤∈【题9】设,,a b c R ∈,对任意满足01x ≤≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___【题10】设函数1()(1,)f x x c b c R x b=++<-∈-，函数()()g x f x =在区间[1,1]-上的最大值为M ，若M k ≥对任意的,b c 成立，求k 最大。
衔接点05 含绝对值函数的图象(解析版)
衔接点05 含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y k x b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12k x b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论； （3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b所求函数表达式为3242y x =-++． （2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示， 由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12k x b x+＞的解集是：60x-<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数（一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根；②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值； ②当x ＞1时，y 随x 的增大而减小； （4）①由图象得：抛物线与x 轴有两个交点 ∴方程﹣x 2+2|x |+1＝0有2个实数根； 故答案为2；②由图象可知：﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，即y ＝a 时，与图象有4个交点，所以a 的取值范围是：1＜a ＜2． 故答案为1＜a ＜2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，结合图像作答是解题的关键． 3．写出函数12)(2+-=x xx f 在什么范围内，y 随x 的增大而增大，. y 随x 的增大而减小？【答案】()f x 的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1]【解析】由题意转化条件为2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，作出函数图象，数形结合即可得解.由题意2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，其图象如图所示：由该函数的图象可得函数2()2||1f x x x =-+的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1].【点睛】本题考查了分段函数单调区间的确定，考查了二次函数图象与性质及数形结合思想的应用，属于基础题.（二）绝对值在解析式上 4．探究函数22y x x=-的图象与性质.(1)下表是y 与x 的几组对应值.其中m 的值为_______________；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分；(3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________；(4)若关于x 的方程220x x t --=有2个实数根，则t 的取值范围是___________________. 【答案】(1)3；(2)见解析；(3)图象关于直线x=1轴对称.（答案不唯一）；(4)t ＞1或t=0.【解析】（1）把x =3代入解析式计算即可得出m 的值；（2）画出图象即可；（3）根据图象得出性质；（4）观察图象即可得出结论．解：（1）当x =3时，y =2323-⨯=3，∴m =3； （2）如图所示：（3）图象关于直线x =1轴对称．（答案不唯一）（4）观察图象可知：当t ＞1或t =0时，关于x 的方程220x x t --=有2个实数根． 【点睛】本题考查了函数的图象及性质．解题的关键是画出图象． 5．某班数学兴趣小组对函数6||y x =的图象和性质将进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x 的取值范围是除0外的全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m =_________．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出一条函数性质． （4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴交点情况是________，所以对应方程60||x =的实数根的情况是________． ②方程62||x =有_______个实效根； ③关于x 的方程6||a x =有2个实数根，a 的取值范围是________． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）在第一象限内，y 随着x 的增大而减小；（4）①无交点，无实数根；②2；③0a >．【解析】（1）把x=-2代入6||yx=求得y的值，即可得出m的值；（2）根据表格提供的数据描点，连线即可得到函数6||yx=的另一部分图象；（3）观察图象，总结出函数的性质即可；（4）①由于x的值不能为0，故函数值也不能为0，从而可得出函数图象与x轴无交点，因而6||x=无实数根；解：（1）把m=-2代入6||yx=得，63|2|y==-，所以，m=3，故答案为：3（2）如图所示:（3）观察图象可得，在第一象限内，y随着x的增大而减小；（答案不唯一）（4）①∵0x≠，∴y≠0∴函数图象与x轴无交点，∴6||x=无实数根；故答案为：无交点；无实数根；②求方程62||x=的根的个数，可以看成函数6||yx=与直线y=2的交点个数，如图，函数6||yx=与直线y=2有两个交点，故方程62||x=有2个实数根，故答案为：2；③由②的图象可以得出，关于x的方程6||ax=有2个实数根，a的取值范围是0a＞，故答案为：0a＞．【点睛】本题考查的是反比例函数，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数的性质及函数特征．6．在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习过绝对值的意义(0(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩）．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题： 在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3． (1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质； (3)在图中作出函数y=3x -的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx -1|+b≤3x-的解集． 【答案】（1）y=|x -1|-3．（2）图象见解析．性质：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． ；（3）1≤x≤3或-3≤x<0．【解析】（1）根据在函数y ＝|kx−1|＋b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3，可以求得该函数的表达式； （2）由题意根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象； （3）由题意直接根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3∴2131b k b -=+⎧⎨-=-+⎩，解得：31b k =-⎧⎨=⎩，即函数解析式为：y=|x -1|-3．（2）图象如下：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． （3）图象如下，观察图像可得不等式|kx -1|+b≤3x-的解集为：1≤x≤3或-3≤x<0． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．7．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数⎪⎩⎪⎨⎧>--≤=)1(1)1(2x x x x y 的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ① 点()15,A y -，27,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，15,2C x ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,6D x 在函数图象上，1y 2y ，1x 2x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）② 当函数值2y =时，求自变量x 的值；③ 在直线1x =-的右侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ，()44,Q x y ，且34y y =，求34x x +的值；④ 若直线y a =与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①<，<；②3x =或1x =-；③342x x +=；④0<<2a . 【解析】 【分析】(1)描点连线即可；(2)①观察函数图象，结合已知条件即可求得答案； ②把y=2代入y=|x -1|进行求解即可；③由图可知1x 3-时，点关于x=1对称，利用轴对称的性质进行求解即可； ④观察图象即可得答案. 【详解】 (1)如图所示： (2)①()1A 5,y -，27B ,y 2⎛⎫- ⎪⎝⎭， A 与B 在1y x=-上，y 随x 的增大而增大，12y y ∴<；15C x ,2⎛⎫⎪⎝⎭，()2D x ,6， C 与D 在y=|x 1|-上，观察图象可得12x <x ， 故答案为<，<； ②当y 2=时，12x =-，1x 2∴=-(不符合)， 当y 2=时，2x 1=-，x 3∴=或x 1=-； ③()33P x ,y ，()44Q x ,y 在x=1-的右侧，1x 3∴-时，点关于x=1对称，34y y =， 34x x 2∴+=；④由图象可知，0<a<2.【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．。
绝对值二次函数
例6、设函数f ( x ) x 2 | 2 x a | (a为常数) (1)若f ( x )为偶函数，求实数a的值 (2)设a 2, 求函数f ( x )的最小值
Байду номын сангаас
含绝对值的二次函数
例1：已知函数f ( x ) x 2 | x | 2与y m有4个零点， 求m的取值范围
变式：直线y 1与曲线y x 2 | x | a有4个交点， 求实数a的取值范围
变式：已知函数f ( x ) | x 2 2 x a | 与y 3有四个交点， 求a的取值范围
变式：偶函数f ( x )在[0, )上为减函数，不等式 f (ax 1) f (2 x )恒成立，求实数a的取值范围
2
1 例4：已知函数f ( x ) | x 2 x | a在R上有4个零 2 点x1 , x2 , x3 , x4 (互不相同)
2
(1)求x1 +x2 +x3 +x4的值 (2)求x1 x2 x3 x4的范围
例2：函数f ( x ) x | x m | 2 x 3在R上单调递增， 求m的取值范围
变式：设函数f ( x ) x 2 | x 2 ax 9 | (a为实数)， 在区间( , 3)和(3, )上单调递增，求实数a 的取值范围
例3：已知函数f ( x ) x | x |,当x [a , a 1]时，不等式 f ( x 2a ) f (4 x )恒成立，求实数a的范围
例5、已知函数f ( x ) x 2 2ax 5(a 1), 若f ( x )在区间 ( , 2]上是减函数，且对任意的x1 , x2 [1, a 1], 总有 | f ( x1 ) f ( x2 ) | 4, 求实数a的取值范围
二次函数中的a的绝对值
二次函数中的a的绝对值
二次函数是一种有广泛应用的函数，也叫做二次形式。
它由一个参数构成，其中参数a可以是任意数值。
一般来说，a的绝对值能够用来决定一个二次函数的特点。
本文将对a的绝对值的影响进行介绍。
首先，要理解a的绝对值，需要回顾一下标准的二次函数的形式：y=ax²+bx+c。
在这个函数中，参量a就是绝对值。
这样，a的绝对值就决定了函数的特点，也就是
决定了函数图像的一般形状。
如果a是正数，这说明变量x与y成正比，因此函数图像开口朝上，即为凸函数。
而如果a是负数，这就表明变量x与y成反比，函数图像开口就朝下，即为凹函数。
这就是a的绝对值对函数图像的影响。
另外，a的绝对值也影响函数的极限值。
如果a的绝对
值越大，就会使函数的极限值越大，反之亦然，a的绝
对值越小，函数的极限值也越小。
因此，a的绝对值能
够影响函数的极限值，也就是函数曲线的上升或下降。
最后，a的绝对值还能影响函数的极值点，也就是说，
a的绝对值能够决定函数曲线是否具有极大值和极小值。
如果a的绝对值大于0，函数就会具有极大值和极小值，反之亦然，a的绝对值小于0，就不具有极大值和极小值。
总之，a的绝对值对二次函数影响十分重要，它能够决
定函数的特点，以及函数曲线是否具有极大值和极小值。
以下是了解a的绝对值所需知道的几点：它能够决定函数曲线开口朝上还是朝下，它能够决定函数的极限值大小，以及它能够决定函数曲线是否具有极大值和极小值。
5含绝对值的二次函数(教案及练习)
含绝对值的二次函数含绝对值的二次函数其本质是分段函数，研究含绝对值的二次函数就是分段研究二次函数的局部性态．设定分类讨论的标准是问题解决的前提条件，数形结合则是问题能否正确解决的关键 所在．例1．解下列各题：（1）（2010全国）直线1=y 与曲线a x x y +-=2有4个交点，则实数a 的取值范围是 ．（2）（2008浙江）已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间]3,0[上的最大值为2，则=t ．（3）设集合{}{}2,,022<=∈<++-=x x B R a a a x x x A ，若Φ≠A 且B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．例2．设函数R x a x x x f ∈+-+=,1)(2（1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）求函数)(x f 的最小值．例3．已知函数1)(,1)(2-=-=x a x g x x f ．（1）若关于x 的方程)()(x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围；（2）若R x ∈时，)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求函数)()()(x g x f x h +=在区间]2,2[-上的最大值．例4．设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--．（1）若(0)1f ≥，求实数a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值．5.含绝对值的二次函数班级 姓名一、综合练习1．设b a <<0，且xx x f ++=11)(，则下列大小关系式成立的是（ ） （A ）)()2()(ab f b a f a f <+< （B ）)()()2(ab f b f b a f <<+ （C ）)()2()(a f b a f ab f <+< （D ）)()2()(ab f b a f b f <+< 2．已知{}n a 为等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和,若9843=++a a a ，则9S = ．3．直线750x y +-=截圆221x y +=所得的两段弧长之差的绝对值是 ．4．函数y k x a b =--+与y k x c d =-+的图象1(k 0k )3>≠且交于两点)3,8(),5,2(，则c a +的值是_______________. 5．任意满足305030x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩的实数,x y ，若不等式222()()a x y x y +<+恒成立，则实数a 的取值范围是 .6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，N M ,是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PN PM ,的斜率分别为12,k k ，021≠k k ，若21k k +的最小值为1,则双曲线的离心率为 ．二、本讲练习1．设函数c bx x x x f ++=)(给出下列四个命题：① 0=c 时，)(x f y =是奇函数； ② 0,0>=c b 时，方程0)(=x f 只有一个实根； ③ )(x f y =的图象关于),0(c 对称； ④ 方程0)(=x f 至多有两个实根．其中正确的命题是 （ ）（A ）①④ （B ）①③ （C ）①②③ （D ）①②④2．若不等式21x x a <-+的解集是区间()33-，的子集，则实数a 的范围为 . 3．设a 为实数，函数a x x x f -=)(，求函数)(x f 在]2,2[-上的最大值．4．己知2)(,0bx ax x f a -=>函数，（1）();2,10b a x f R x b ≤≤∈>证明：都有时，若对任意当（2）当 1>b 时，证明：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是：b a b 21≤≤-．5．已知函数)1(52)(2>+-=a ax x x f ．（1）若函数)(x f 的定义域和值域均为],1[a ，求实数a 的值；（2）若)(x f 在区间]2,(-∞上是减函数，且对]1,1[,21+∈∀a x x ，总有4)()(21≤-x f x f ，求实数a 的取值范围．6．已知函数2()(1)||f x x x x a =+--．（1）若1a =-，解方程()1f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围．6．已知函数2()(1)||f x x x x a =+--．（1）若1a =-，解方程()1f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围．解：（1）当1-=a 时，有⎩⎨⎧-<-≥-=1,11,12)(2x x x x f ………2分 当1-≥x 时，1122=-x ，解得：1=x 或1-=x当1-<x 时，1)(=x f 恒成立 ………4分∴方程的解集为：1|{-≤x x 或}1=x ………5分（2）⎩⎨⎧<-+≥++-=a x a x a a x a x a x x f ,)1(,)1(2)(2 ………7分 若)(x f 在R 上单调递增，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0141a a a ，解得：31≥a ………10分 （3）设)32()()(--=x x f x g ，则⎩⎨⎧<+--≥+++-=a x a x a a x a x a x x g 3)1(,3)3(2)(2 即不等式0)(≥x g 对一切实数R x ∈恒成立 ………11分∵1<a∴当a x <时，)(x g 单调递减，其值域为：),32(2∞++-a a∵22)1(3222≥+-=+-a a a ，∴0)(≥x g 恒成立 ………13分当a x ≥时，∵1<a ，∴43+<a a ， ∴08)3(3)43()(2min ≥+-+=+=a a a g x g ，得53≤≤-a∵1<a ，∴13<≤-a ………15分 综上：13<≤-a ………16分。
二次函数及绝对值
表達式 b 2 4ac 稱為二次方程的 判別式， 並以符號 來表示，即 b 2 4ac
(1) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 有兩個不等的實根
(2) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 有兩個相等的實根 （或稱該二次方程有二 重根）
x 10 1 或 3 2
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法 例 1.2
1 若二次方程 2 x 2 kx 6 0 的根是 ， 2 試求 k 的值及方程的另一根
1 解： 因為方程 2 x 2 kx 6 0 的根是 ， 2 2 1 1 2 k 6 0 2 2 1 k 6 0 2 2 1 k 12 0 左右兩邊乘以 2。
2
x
3 17 4
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法
利用配方法推導二次公式
解方程 ax 2 bx c 0 ， 其中 a 0
x2
2
b c x a a
2 2
b b b c x x a 2a 2a a b b 2 4ac x 2a 4a 2 b b 2 4ac x 2a 2a
解： (a) (6) 2 4(3)(2)
12 0 所以，該方程有兩個不等的實根，且為無理數 (b) (3) 2 4(2)(2) 25
52 0 所以，該方程有兩個不等的實根，且為有理數 (c) (12) 2 4(9)(4)
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二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法
含绝对值的二次函数
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配套精练
方法二：因为 f(x)＝|x2－4|＋x2＋kx 在(0，4)上有两个不同的零点，所以方程－k＝ |x2－4x|＋x2在(0，4)上有两个不同的解，所以直线 y＝－k 与函数 y＝24xx，－04x＜，x2≤＜2x，＜4 的图象在(0，4)上有两个不同的交点． 作出函数 y＝24xx，－04x＜，x≤ 2＜2， x＜4的图象如图所示，由图可知 2＜－k ＜7，即－7＜k＜－2．
含绝对值的二次函数
视角 1 单调性
1 若函数f(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是 ____[_－__2_，__0_]___．
【解析】 当 0≤x＜1 时，f(x)＝x2－mx＋m，由 f(x)单调递增，可得m2 ≤0，即 m≤0； 当 x≥1 时，f(x)＝x2＋mx－m，由 f(x)单调递增，可得－m2 ≤1，则 m≥－2．
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5．已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m＞0，且函数f(x)的值域为[0，4]，则
实数m的取值范围是___[_2_，__2_＋__2__2_]___．
【解析】 如图，由函数 f(x)＝x|x－4|的图象可知，当 x＞4 时，令 x|x －4|＝4，即 x2－4x－4＝0，解得 x＝2＋2 2．因为 x∈[0，m]，函数 f(x)的值域为[0，4]，所以实数 m 的取值范围是[2，2＋2 2]．
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含绝对值的二次函数(初三)
含绝对值的二次函数(初三)
一、什么是二次函数
二次函数，又称二次多项式，是一类数学函数，它可以把曲线图形由直线变换为抛物线，如抛物线模型可用二次函数来表达，在概率和统计分析中，二次多项式可用来描述变量数据的曲线关系。
二、包含绝对值的二次函数
这里所谓的二次函数包含绝对值，是指当我们把下面的函数
y = a * x2 + b * x + c
改写为如下形式时：
y = a * x2 + b * |x| + c
就是一个包含绝对值的二次函数，其中a、b和c均为实数。
三、包含绝对值的二次函数的图像
一般来讲，包含绝对值的二次函数会形成一条V状的抛物线，它的y 轴取值范围是从$+a*c^2+b*c$到$-a*c^2-b*c$，其中c是x的取值范围
的中间值。
当x>c时，抛物线的走势是先减后增；当x<c时，抛物线的走势是先增后减。
四、什么是它的应用
一般来讲，包含绝对值的二次函数有可能应用于以下几类问题：
1. 科学、技术、工程以及计算所需求解的方程；
2. 生物或化学实验中两个变量之间的关系；
3. 统计学中，用来表示两个值之间的线性关系等。
因此，包含绝对值的二次函数还可以用来模拟实际问题，如地形图上的折线，以及建筑物的设计中的曲线等。
53.怎样快速求含绝对值的二次函数最值---刘培杰 代数
53怎样快速求含绝对值的二次函数最值我们介绍如下的含绝对值的二次函数，即形如①c bx d c b a y i i n i ++++⋅+⋅=∑=ωμμ||21 或 ②c bx ax L c b x a y i l ni +++⋅+⋅+=∑=21|.|)((其中c b a n i d c b a i i i i ,,,,,2,1,,,, =均为常数，且①中的②,i i b a 中的i i c a 不全为零，),,2,1n i = 的极值的一种快速求法，其方法与步骤为：(1)找出函数的零点，将函数写成分段函数；(2)找出分段函数中每个抛物线顶点的横坐标在相应分段区间上的点；(3)列表，表中第一横行x 列函数的零点值及抛物线顶点横坐标在相应分段区间上的值将(一∞，+∞)分成若干区间；表中第二横行Y 列出第一横行中相应点的Y 值，再根据相邻两点处Y 值的大小，画出抛物线段上升(记作7↗)或下降(记作↘)的方向；(4)表中相邻两箭头相反处，即是函数的极值点及极值．例1求函数|6|22---+=x x x y 的极值．解 (1)令,062=--x x 解得函数的零点一2，3，将所给函数写成分段函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧>++-≤≤---<++-=3,8232,42,82222x x x x x x x x y (2) )2,(1,122--∞∉=-- ]3,2[0,020-∈=- ),3(1,12+∞∉=- (4)由表明显看出：当x=一2时，函数y 取极大值0；当x=0时，函数y 取极小值一4；当x=3时，函数y 取极大值5．例2 求函数1|1||4|2++--=x x y 的极值．解 令04,012=-=+x x 得函数的零点为一2，一l ，2，所给函数写成分段函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+---<≤-++--<-+=2,421,42,62,22222x x x x x x I x x x x x x y 而)2,(21--∞∉- ].1,2[2121--∉=-- ]2,1[2121-∈-=--- ),2(2121+∞∉=-- 列表[注：a ，b 表示(a ，b)区间]：由上表明显看出：当x=一2时，函数Y 取极小值0；当21-=x 时，函数y 取极大值;417 当x=2时，函数Y 取极小值一2．。
专题1含参二次函数 - 解析版
专题1含参二次函数含参数的二次函数,由于渗透参数导致二次函数的许多性质具有不确定性,再加上绝对值进行复合或分段,求解难度加大、卡壳点增多,需要解题思维的智慧点来支撑.二次函数问题在高考数学命题中永不过时,必须积累大量智慧点,积累破解难点的学习经验.一、二次函数不同表达式间的链接问题1:已知,b c ∈R ,函数()2f x x bx c =++在()0,1上与x 轴有两个不同的交点,求()21c c b ++的取值范围.【解析】卡壳点:不会将二次函数系数与零点沟通.应对策略:参数与零点间的联系通过二次函数不同表达式间的联系来建立.问题解答:设()f x 的两个零点分别为12,x x ,且1201x x <<<,则()()()12f x x x x x =--. 于是()()()()121200,11110c f x x c b f x x ==>++==-->,从而()()()()()()2221122121211101101112216x x x x c c b c c b f f x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<++=++==--≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由1201x x <<<知,等号不成立,所以()21c c b ++的取值范围是10,16⎛⎫⎪⎝⎭.【反思】二次函数至少有三种表达形式,即一般式、零点式和对称式,对这三种形式之间的联系不熟悉是产生解题痛点的原因,如何将目标参数与函数零点结合起来?“桥梁”就是二次函数的零点式.在确定最值时,零点式的结构给我们启示,借助基本不等式实现“元”的消失,从而获得参数的范围.二、含绝对值的二次函数结构等价转化问题2:已知函数()211f x x x a x =+-++在R 上有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是 【解析】卡壳点:不会将复杂函数的零点转化为两个函数图象交点思考.应对策略:既含参数又有绝对值的二次函数,可将其复杂结构在其本质结构(即函数零点、方程实根、图象交点)间相互转化.1问题解答:()211f x x x a x =+-++在R 上有两个不同的零点,可转化为方程(211)a x x x +=-+-在R 上有两个不同的实根,再转化为两函数1y a x =+与()()21y g x x x ==-+-的图象有两个不同交点.而()()2221,1,11, 1.x x x g x x x x x x ⎧-+-≤=-+-=⎨--+>⎩画出1y a x =+与()y g x =的图象,如图1.显然当0a <时,开口向下的“V”形线才能与拋物线相交,“V”形线开口的大小决定它们交点的个数.根据图象可知,只需考虑方程组()21,1y a x y x x ⎧=+⎨=-+-⎩和()21,1y a x y x x ⎧=-+⎨=-+-⎩的解的情况,考虑图象相切的情形,则联立方程组所得方程()2110x a x a +-++=和2(1x -+a)10x a -+=都有唯一解. 由()()21410a a --+=得323a =-由()()21410a a +--=得323a =--所以当323323a --<<-,1y a x =+与()y g x =的图象才会有两个交点.【反思】面对复杂的代数式结构,冷静地分解代数式,尝试寻找代数式的主体结构(如二次函数与一次函数图象)间的关系,通过数形结合的方法解决.三、二次复台函数不动点转化之桥一一零点表达问题3:已知,b c ∈R ,函数()2f x x bx c =++,它的不动点为12,x x ,且212x x ->,若四次方程()()f f x x =的另两个根为34,x x ,且34x x <,试判断这四个根的大小. 【解析】卡壳点:不会将二次复合函数与函数零点建立关系.应对策略:理解函数不动点概念,将复合结构用零点式表达,并进行化简与转化. 问题解答:由题意得()()()12f x x x x x x -=--,即()()()12f x x x x x x =--+. 于是()()()()()12f f x x f x x f x x f x x ⎡⎤⎡⎤-=--+-⎣⎦⎣⎦()()()()()()12112212x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=--+---+-+--⎣⎦⎣⎦()()()()()()12121211x x x x x x x x x x x x =---+-++-- ()()()()1212111x x x x x x x x ⎡⎤=---+-++⎣⎦.所以34,x x 为方程()()()121110g x x x x x =-+-++=的两个根. 由212x x ->,得()()11222120,20g x x x g x x x =-+=-+.如图2,因为二次函数()g x 的图象开口向上,所以方程()0g x =在区间(∞-,)1x 和()12,x x 上各有一个根.又34x x <,得()()31412,,,x x x x x ∞∈-∈.所以3142x x x x <<<.【反思】函数()f x 的不动点12,x x 即为方程()0f x x -=的两个实根.如何比较这四个根的大小?思路隐藏得比较深,但二次函数的零点表达式又帮助我们建立起一种联系,特别是复合函数的简单化,使我们再一次认识此函数的本来面目.二次复合函数的根的分布情况,最终用零点定理确定.四、合参二次函数抓“形式”促“结构”问题4:设()(){}()()()()()(),,min ,,,f x f xg x f x g x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若()2f x x px q =++的图象经过两点()(),0,,0αβ,且存在整数n ,使得1n n αβ<<<+,则A.()(){}1min ,14f n f n +>B.()(){}1min ,14f n f n +<C.()(){}1min ,14f n f n +=D.()(){}1min ,14f n f n +≥【解析】卡壳点:不会将较小者函数与零点建立关系.应对策略:深刻理解较小者函数的数学符号,借助零点式进行转化.问题解答:设()()()f x x x αβ=--,图象如图3,由题意可知()()()0f n n n αβ=-->.()()()()()()111f n f n n n n n αβαβ+=--+-+-()()()()11n n n n αβαβ=--+-+- ()()()()11n n n n ααββ=-+--+- 22111,2216n n n n ααββ-++--++-⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1,1n n n n ααββ-=+--=+-时,等号成立. 但由1n n αβ<<<+知等号不成立,所以()(){}()()21min ,1116f n f n f n f n +≤+<, 即()(){}1min ,14f n f n +<.【反思】因为()(){}()()(){}()min ,1,min ,11f n f n f n f n f n f n +≤+≤+,所以()(){}()()2min ,11f n f n f n f n +≤+.问题转化为探求()()1f n f n +的最大值,此时二次函数的零点式为探求()()1f n f n +的最大值起到了桥梁作用,对()()1f n f n +零点式的代数结构的识别为基本不等式的运用奠定了基础.任何数学问题的外在形式中必隐藏着其本质结构,对于二次函数,其表达形式至少有一般式、零点式和顶点式,它们之间联系紧密,可以相互转化.本题中抓住()()()()()()111f n f n n n n n αβαβ+=--+-+-这一智慧点,就能解决问题.五、含参二次函数抓“形态”促“化数”因为二次函数的图象是最基本的图形,若题目给出了特定区间上的抛物线,则应将抛物线补充“完整”,以帮助分析、寻找解题途径与思路.问题5:设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ,当214a b =+时,求函数()f x 在[]1,1-上的最小值()g a 的表达式.【解析】卡壳点:不会分类处理定区间上抛物线弧的最值. 应对策略:抓住二次函数的几何形态,分类将二次函数代数式转化.3问题解答:()22221142a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=+++=++ ⎪⎝⎭,其图象的对称轴方程为2a x =-.(1)当12a -<-,即2a >时,()()2124a g a f a =-=-+,如图4.(2)当112a -≤-≤,即22a -≤≤时,()12a g a f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,如图5.(3)当12a ->,即2a <-时,()()2124a g a f a ==++,如图6.所以()222,2,41,22,2, 2.4a a a g a a a a a ⎧-+>⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪++<-⎪⎩【反思】从抛物线的形态上看,抓住对称轴2ax =-进行分类讨论,求出a 的取值范围即可得证.此问题涉及二次函数图象的形态,㧓住对称轴思考,帮助分析此二次函数的最值.六、含参二次函数抓“分类”促“分解”因为高中二次函数问题中一般含有参数或绝对值,也可能是复合或分段函数,求解时都离不开分类讨论,通过分类达到分解综合问题之目的.对于二次函数的分类,关键还是对称轴,因为它制约着二次函数的最值与值域.问题6:设()()()22222,0,43,0,k x a k x f x x a a x a x ⎧+-≥⎪=⎨+++-<⎪⎩其中a ∈R .若对任意的非零实数1x ,存在唯一的非零实数()212x x x ≠,使得()()12f x f x =成立,则k 的取值范围为【解析】卡壳点:不会从几何角度思考分段、任意、存在、含参的二层分类. 应对策略:抓住二次函数图象的对称轴分类,将综合问题按层分解. 问题解答:设()()()()22222,43g x k x a k h x x a a x a =+-=+++-.(1)若二次函数()h x 图象的对称轴在y 轴的左侧,对任意的非零实数1x 就会破坏()212x x x ≠的唯一性.(2)若二次函数()h x 图象的对称轴不在y 轴的左侧,即240a a +≤.①两个函数的图象在y 轴上不交于同一点,对任意的非零实数1x ,会破坏()212x x x ≠的唯一性; ②因为两个函数的图象在y 轴上交于同一点,即()()00g h =,所以69k a =-在[]4,0-上有解,从而[]33,9k ∈--.【反思】一个分段函数中含有二次函数(的一部分),从形上思考分类,抓住抛物线的对称轴进人第一层分类,然后抓住分段点位置进人第二层分类,思维的有序性是解决问题的关键. 强化练习1.设函数()f x 的定义域为R ,满足()()12f x f x +=,且当(]0,1x ∈时,()()1f x x x =-.若对任意(],x m ∞∈-,都有()89f x ≥-,则m 的取值范围是A.9,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B.7,3∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C.5,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D.8,3∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】如答图, 作出函数图象, 可以直接排除选项 C,D.因为当 x ∈(0,1] 时, f(x) 的值域为 [−14,0], 所以 把函数值转移到 [−14,0] 上, 才能求出对应的 x 值.f(x)=2f(x −1)=4f(x −2)=−89,即 f(x −2)=−29=(x −2)(x −3), 代值检验可知 选 B.【反思】人们常常利用周期性把自变量转移到某个区间, 求得函数值, 现在反过来, 需要根据值域, 用类似周期的关系 把自变量进行转移.2.已知a ∈R ,设函数()222,1,ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立,则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e【解析】由 f(0)⩾0, 得 a ⩾0.当 0⩽a ⩽1 时, f(x)=x 2−2ax +2a =(x −a)2+2a –a 2⩾2a −a 2 =a(2−a)>0.当 a >1 时, f(1)=1>0.故当 a ⩾0 时, x 2−2ax +2a ⩾0 在 (−∞,1] 上恒成立.若 x −alnx ⩾0 在 (1,+∞) 上恒成立, 即 a ⩽xlnx 在 (1,+∞) 上恒成立. 令 g(x)=xlnx , 则 g ′(x)=lnx−1(lnx)2.易知 x =e 为函数 g(x)=xlnx 在 (1,+∞) 上唯一的极小 值点, 也是最小值点.故 g(x)min =g(e)=e , 所以 a ⩽e . 综上所述, a 的取值范围为 [0,e], 故选 C.【反思】 分段函数中对二次函数进行分析判断, 对超越函数进行参变分离.3.已知λ∈R ,函数()24,,43,,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩当2λ=时,不等式()0f x <的解集是__.若函数()f x 恰有2个零点,则λ的取值范围是_.若函数()f x 恰有1个零点,则λ的取值范围是若函数()f x 恰有3个零点,则λ的取值范围是____【解析】由 f(x)<0, 解得 1<x <4.画出函数 f(x) 的图象, 如答图所示, 可以判断函数 f(x) 恰有 2 个零点, 此时 1<λ⩽3,λ>4.令 y =x −4,y =x 2−4x +3, 分析当 λ 变化时, 函数零 点的变化情况: (1) 当 λ⩽1 时, 有 1 个零点; (2) 当 1<λ⩽3 时, 有 2 个零点; (3) 当 3<λ⩽4 时, 有 3 个零点; (4) 当 λ>4 时, 有 2 个零点;【反思】 数形结合, 以形促数, 直观判断.4.已知函数()221f x ax x =++,若对任意x ∈R ,都有()()0f f x ≥恒成立,则实数a 的取值范围是_____【解析】显然 a >0, 否则, 当 x →∞ 时, 有 f(f(x)) →−∞, 不符合题意. 当 a >0 时, 函数 f(x) 的值域是 [a−1a,+∞).根据题意, 对函数 f(x) 值域中的任意一个数 t , 都有 f(x)⩾0, 因此 f(x) 没有零点, 或者 f(x) 的较大零点不超 过a−1a.即 4−4a <0, 或者 {4−4a >0,−2+√4−4a 2a ⩽a−1a, 解得实数 a 的取值范围是 [√5−12,+∞). 换一个思路: 根据对称轴 x =−1a<a−1a , 知 f(x) 在 (a−1a ,+∞) 上单调递增, 于是 f (a−1a )⩾0, 解得 a ⩾√5−12 【反思】 此问题考查学生对二次函数性质的理解运用能力, 复合结构阻碍了学生的思维, 只有抓住二次函数的重要 特征, 关于对称轴、单调性与值域的问题才能迎扨而解.5.已知函数()2221f x x x a x a =+--,当[)1,x ∞∈+时,()0f x ≥恒成立,则实数a 的取值范围是______【解析】解法 1 (分离变量法) 当 x ∈[1,+∞) 时, f(x)⩾0 恒成立等价于 ∀x ∈[1,+∞),a 2+√2x −1a − x 2−x ⩽0 恒成立, 解此不等式得−√2x −1+√4x 2+6x −12⩽a ⩽−√2x −1+√4x 2+6x −12. 函数 u(x)=−√2x−1+√4x 2+6x−12 在 [1,+∞) 上 单调递减, 因此 a ⩾u max =u(1)=−2.当 x ∈[1,+∞) 时, 函数 v(x)=−√2x−1+√4x 2+6x−12 ⩾x+2−√2x−12⩾1,且知 v(1)=1, 因此 a ⩽v min =v(1)=1.综上, a 的取值范围是 [−2,1].必要性: 由 f(1)⩾0, 解得 −2⩽a ⩽1. 以下解法只证明 充分性.解法 2 (直接研究 f(x) 的单调性)当 −2⩽a ⩽0 时, f(x) 在 [1,+∞) 上单调递增, 故 f(x)⩾f(1)⩾0.当 0<a ⩽1 时, x 2−√2x −1a ⩾x 2−√2x −1⩾x 2 −x ⩾0.又有 x −a 2⩾1−1=0, 相加可得 f(x)⩾0.综上,充分性得证.解法 3(直接求导法)f ′(x)=2x +1√2x−1=√2x−1−a √2x−1. 函数 y =(2x +1)√2x −1−a 在 [1,+∞) 上单调递 增, 因此 (2x +1)√2x −1−a ⩾3−a >0, 即 f ′(x)>0.∀x ∈[1,+∞), 当 a ∈[−2,1] 时, f(x) 在 [1,+∞) 上 单调递增, 故 f(x)⩾f(1)⩾0.【反思】 在不同思维基础下, 多角度思考, 学会必要性探路 和充分性证明的基本思路.6.已知()2f x ax bx c =++,其中*,,a b c ∈∈N Z ,若方程()0f x x -=的根在()0,1上,求a 的最小值.【解析】令 g(x)=f(x)−x =0 的两根为 x 1,x 2, 则 g(x)=a (x −x 1)(x −x 2).由题设知, g(0)>0,g(1)>0.g(0)g(1)=a 2x 1x 2(1−x 1)(1−x 2)⩽a 2(x 1+1−x 12)2. (x 2+1−x 22)2=a 216, 当且仅当 x 1=x 2=12 时等号成立. 又 a ∈N ∗,b,c ∈Z,g(0)>0,g(1)>0,g(0)=c ⩾1, g(1)=f(1)−1=a +b +c −1⩾1, 所以 g(0)g(1)⩾1.综上可知, a 216⩾1, 即 a 2⩾16,a ⩾4.又 a ∈N ∗, 所以 a 的最小值为 4 .【反思】 二次函数不同表达式的链接. 7.探求()2y f x x x c ==++在定区间[],(,m n m n 为常数)上的最值.【解析】 y =f(x)=x 2+x +c =(x +12)2+c −14. 设 M(c) 和 m(c) 分别表示所求的最大值和最小值.(1) 当 −12⩽m 时, f(x) 在 [m,n] 上单调递增,所以 M(c)=f(n),m(c)=f(m).(2) 当 m <−12⩽m+n 2 时, M(c)=f(n),m(c)= f (−12)=c −14. (3) 当 m+n 2<−12⩽n 时, M(c)=f(m),m(c)= f (−12)=c −14. (4) 当 −12>n 时, f(x) 在 [m,n] 上单调递减,所以 M(c)=f(m),m(c)=f(n).因此 M(c)={f(n),1⩾−(m +n),f(m),1<−(m +n), m(c)={f(m),1⩾−2m,c −14,−2n ⩽1<−2m,f(n),1<−2n.【反思】 一段抛物线弧上最值的分类思考需要整体设计. 不论是动抛物线在定区间上的最值, 还是定抛物线在动区间上的最值, 都需要根据抛物线的对称轴与定义区间的位置关 系进行分类讨论. 此问题含有字母, 抽象表达显得更为重要. 8.如果一个函数的值域与其定义域相同,则称该函数为“同域函数”.已知函数()21f x ax bx a =+++{}210,0x ax bx a x +++≥≥∣. (I)若1,2a b =-=,求()f x 的定义域;(II)当1a =时,若()f x 为“同域函数”,求实数b 的值;(III)若存在实数0a <且1a ≠-,使得()f x 为“同域函数”,求实数b 的取值范围.【解析】(I) 当 a =−1,b =2 时, f(x) 的定义域为 [0,2].(II) 当 a =1 时, f(x)=√x 2+bx +2,x ⩾0.(i) 当 −b 2⩽0, 即 b ⩾0 时, f(x) 的定义域为 [0,+∞), 值域为 [√2,+∞),所以当 b ⩾0 时, f(x) 不是“同域函数”. (ii) 当 −b 2>0, 即 b <0 时, 当且仅当 Δ=b 2−8=0 时, f(x) 是“同域函数”, 此时 b =−2√2. 综上所述, 实数 b 的值为 −2√2.(III) 设 f(x) 的定义域为 A , 值域为 B .(i) 当 a <−1 时, a +1<0, 此时 0∉A,0∈B , 从而 A ≠B,f(x) 不是“同域函数”. (ii) 当 −1<a <0 时, a +1>0. 设 x 0=−b−√b 2−4a(a+1)2a , 则 f(x) 的定义域 A =[0,x 0](1) 当 −b 2a ⩽0, 即 b ⩽0 时, f(x) 的值 域 B = [0,√a +1]. 若 f(x) 是“同域函数”, 则 x 0=√a +1, 从而 b =−(√a +1)2. 又 −1<a <0, 所以实数 b 的取值范围是(−1,0)(2) 当 −b 2a >0, 即 b >0 时, f(x) 的 值 域 B = [0,√4a(a+1)−b 24a ], 若 f(x) 是 “同域函数”, 则 x 0= √4a(a+1)−b 24a , 从而 b =√b 2−4a(a +1)(√−a −1)(∗).此时, 由 √−a −1<0,b >0 可知, (∗) 式不成立.综上所述, 实数 b 的取值范围是 (−1,0).【反思】 分析双参数时, 固定其中的一个参数, 对另一个参 数分类讨论.。
中学数学 二次函数及绝对值 课件
(1) 当 a > 0 时，曲线的开口向上；当a < 0 時，曲线 的开口向下
(2) 先把曲线 y = ax2沿水平方向移动h单位，再沿垂直 方向移动k单位，即可得出 y = a (x – h)2 + k 的图像 (当h > 0 时，先向右移动；当k > 0 時，则向上移 动。 当 h 、 k 为负数时，则以相反方向移动 )
已知 () 的根是 x b b2 4ac 2a
表达式 b2 4ac 为二次方程的 判別式， 并以符号 來表示，即 b2 4ac
(1) 若 0 ，則二次方程 ax2 bx c 0 有两个不等的实根
(2) 若 0 ，則二次方程 ax2 bx c 0 有兩个相等的实根 （或二次方程有二重根）
2
4ac 4a
b2
(1) 当 a 0 时，曲线的开口向上；当 a 0 时，曲线的开口向下
(2)
顶点位于
b 2a
,
4ac 4a
b2
若 a 0 ，y 在 x b 处取得其极小值 2a
若 a 0 ，y 在 x b 处取得其极大值 2a
(3) 直线 x b 是这条曲线的对称轴 2a
1 二次方程、二次函数及绝对值
1.3 二次方程的根之和与积
例 1.12
若二次方程 x2 mx ( m 5) 0 的根是 和 1 ，试求 m 的实数值
解：
两根之和： 1 m 2 1 m....................(1)
两根之积： ( 1) m 5................( 2 )
x 4 12 2
2 3
1 二次方程、二次函数及绝对值
1.1 二次方程的解法 例 1.4
含绝对值函数的图象
含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数 1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y kx b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12kx b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．【解析】（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论；（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集．解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b 所求函数表达式为3242y x =-++．（2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示，由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12kx b x +＞的解集是：60x -<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数 （一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y ＝﹣x 2+2|x |+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m ＝ ．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x 2+2|x |+1＝0有 个实数根；②关于x 的方程﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是 ．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x ＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①由图象得：抛物线与x轴有两个交点∴方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根；故答案为2；。
例谈含绝对值的二次函数相关题型再探讨
例谈含绝对值的二次函数相关题型再探讨
含绝对值的二次函数是高等教育中一项重要的数学概念，它最为人们所熟悉，也经常被用在诸多理工类学科中。
含绝对值的二次函数是一种把绝对值表达式和一个二次函数表达式结合起来的函数，用简洁的符号表示，例如y=|x^2|-1。
它
的特点是将一些复杂的问题拆分成更加简单的方程组，只有将它们结合起来才能求得最终解决方案，无论问题的复杂程度有多高，都可综合解决。
使用含绝对值的二次函数主要有以下几类应用。
首先，它可以用作高校对
学生的考核标准。
高校从定义中可以指定一系列绝对值函数，从而根据学生的实际能力来划分学生的分数。
其次，含绝对值的二次函数可以用作高校组织教学时的任务分配标准。
学校可以按照相同的函数模式安排和分配老师的任务，从而保证教学水平的统一。
届时，学生就可以更加密切地联系到老师，并得到学习上的更大帮助。
最后，含绝对值的二次函数可以用来学校管理活动计划。
学校可以划定一
定的绝对值函数，根据CGPA或其他标准，来指导学生和家长安排相应的课外活动，从而实现学校流动轨迹的可控性和有序性。
从以上可以看出，含绝对值的二次函数是高校和高等教育中一项重要的数
学概念，它能够广泛用于考核标准、任务分配标准、活动计划等教学管理中，有效地提高学校管理的效率与秩序，实现教育质量的可持续性提升。
与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题
与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明。
1．设()c bx ax x f ++=2，当1≤x 时，总有()1≤x f ，求证当2≤x 时，()7≤x f . 证明：由于()x f 是二次函数，()x f 在[]2,2-上最大值只能是()()2,2-f f ，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f 2，故只要证明()()72;72≤-≤f f ；当22≤-a b 时，有72≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f ，由题意有()()()11,11,10≤≤-≤f f f .由()()()⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==c b a f c b a f c f 110 得()()()[]()()[]()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=01121021121f c f f b f f f a()()()()()()()0311303113242f f f f f f c b a f +-+≤--+=++=∴7313=++≤.()()()()()()()0313103131242f f f f f f c b a f +-+≤--+=+-=-7331=++≤.()()()()()()1112111211121=+≤-+≤--=f f f f b . ∴ 当22≤-a b 时，22444222b a b c a b c a b ac a b f ⋅-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 72212122<=⨯+≤⋅+≤b a b c . 因此当2≤x 时，()7≤x f . 点评：从函数性质的角度分析，要证2≤x 时，()7≤x f ，只要证当2≤x 时，()x f 的最大值M 满足7≤M . 而()x f 又是二次函数，不论a 、b 、c 怎么取值()x f 在[]2,2-上的最大值只能是()()2,2f f -，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f 2，因而只要证明()()72,72≤-≤f f ，72≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b f ，这里需要特别指出的是要将()()2,2-f f 与()()()1,1,0-f f f 建立联系，将二次函数中的系数b a ,c ,用()1f 、()1-f 、()0f 表示：()()(),20211f f f a --+=()()()0,211f c f f b =--=，然后用含有绝对值不等式的性质，进行适当放缩。
培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)
培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a ab =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数)f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；[,1]t t +【例4】已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；上的最大值为【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明上单调递减，应满足【例2】已知二次函数的图象过点，且不等式20ax bx c ++≤1(1)求()f x 的解析式：24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；时，函数【例4】已知函数，R b ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【例5】在①2,2x ∀∈-，②1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间]22-,上的值域；【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立．(1)求二次函数()f x 的解析式；(1)若x f 为偶函数，求a 的值；(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间；)x(1)当2a =时，求f x 的单调增区间；，所以(1)若函数f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，=【例2】已知函数()1,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.(1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值；(2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值【例3】已知函数()22f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠．(1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值．【例4】已知二次函数，满足对任意实数(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；【例5】已知函数－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；m n <【例6】已知函数()2f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数【例7】已知是定义在R 上的函数，且0f x f x +-=，当0x >时，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-．(1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．证明：对任意1,2x ∈，总存在1,3x ∈-，使得f x g x =成立．【例2】函数y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x .(1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：①()11+-g x 是奇函数；②当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的0,2x ∈1,5x ∈，使得()()g x f x =所以【例3】已知函数(1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；[2,2]x ∈-[2,2]x ∈-f x g x =。
对一道含绝对值的二次函数的变式探究
对一道含绝对值的二次函数的变式
探究
一、定义
二次函数是在二维坐标系中，由常数a、b、c决定的曲线图形，其方程为f(x)=ax^2+bx+c（其中a≠0）。
而含有绝对值的二次函数就是其标准形式的变式，即：
y=|ax^2+bx+c|。
二、特征
含绝对值的二次函数的特点是其函数图形被一条竖直线分割成上下两部分，且上下两部分的函数图形对称。
三、变式探究
1. 如果a>0，那么前面绝对值函数的右侧函数图形会被移动到原来的位置上。
可以看出，当a>0时，绝对值函数的表达式可以化简为y=ax^2+bx+c，即为标准二次函数。
2. 如果a<0，那么前面绝对值函数的右侧函数图形会被移动到原来的位置上。
可以看出，当a<0时，绝对值函数的表达式可以写作y=-ax^2-bx-c，此时函数图形发生了翻转，即变为了以原点为对称轴的函数图形。
3. 当b>0时，可以看出，绝对值函数的函数图形会向右平移，即右侧函数图形会移动到原来的位置上。
4. 当b<0时，可以看出，绝对值函数的函数图形会向左平移，即左侧函数图形会移动到原来的位置上。
5. 当c>0时，可以看出，绝对值函数的函数图形会向上平移，即上部函数图形会移动到原来的位置上。
6. 当c<0时，可以看出，绝对值函数的函数图形会向下平移，即下部函数图形会移动到原来的位置上。
四、总结
从上述变式探究可以看出，含绝对值的二次函数的变式探究主要依靠常数a、b、c的大小来决定其函数图形的变化情况。
此外，当a、b、c变化时，含绝对值的二次函数的函数图形也会发生相应的变化。
浅析含绝对值的二次函数问题
浅析含绝对值的二次函数问题
徐加生
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2004(000)008
【摘要】含绝对值的二次函数是二次函数与绝对值及不等式的一类综合性问题，是高考的重要命题类型。
本文归纳了几种常见类型及解题方略，供参考。
【总页数】2页(P1-2)
【作者】徐加生
【作者单位】江苏省金湖县教师进修学校211600
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.教学夯实基础解题水到渠成——例谈含绝对值的二次函数综合题解题策略 [J], 顾红俏;
2.对一道含绝对值的二次函数的变式探究 [J], 耿道永
3.例谈含绝对值的二次函数相关题型再探讨 [J], 岳建卿
4.例谈含绝对值的二次函数的最值问题 [J], 高鹏
5.含参二次函数中绝对值问题的解题策略 [J], 叶兴炎
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