薛定谔方程
-薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
薛定谔方程
v v v v ψ(r ,t) =c1 1(r ,t) +c2ψ2(r ,t) +⋅⋅⋅ = ∑ iψi (r ,t) ψ c
也是这个系统的一个可能的量子态。 也是这个系统的一个可能的量子态。
i
薛定谔方程是复数方程，因此它的解， ② 薛定谔方程是复数方程，因此它的解，即波函数 一般是复数。 一般是复数。
一、含时薛定谔方程 1. 自由粒子的含时薛定谔方程 自由粒子的波动性对应于平面波，因此， 自由粒子的波动性对应于平面波，因此，描述自由 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数： 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数：
2 2 2
∂ψ ih = Eψ ∂t
v −ih∇ = pψ ψ
−h ∇ ⇔p
2 2 2
∂ v ih ⇔E −ih∇⇔ p ∂t
箭头左边的符号作用于波函数等于箭头右边的物理 量乘以波函数。 量乘以波函数。 不考虑相对论效应， 动能与动量的关系： 不考虑相对论效应，则动能与动量的关系： 与动量的关系
p E= 2µ 2 p Eψ = ψ 2µ
v 波矢， 波矢 大小等于角波数，沿着波传播方向。 k——波矢，大小等于角波数，沿着波传播方向。
角频率。 角频率 ω ——角频率。
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
ω
2π 2π E 1 = hν = E = = 2πν = T h h h v v v v v k 2π k 2π h k 1 k k = k k = λ k = h λ k = h p k
大学物理-薛定谔方程
若 m、a、( U0 – E ) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。 例如，★ 放射性核的 粒子衰变
★ 扫描隧穿显微镜
* 怎样理解粒子通过势垒区?
经典物理： 从能量守恒的角度看是不可能的。
量子物理： 粒子有波动性，遵从不确定关系，
粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。
n 1 ,1 2a
a
0
a
x
2 n 呈驻波状 2
讨论: 1.能量只能取分立值
按经典理论……粒子的“能量连续”；
但量子力学……束缚态能量只能取分立值（能级）
2.当 m 很大（宏观粒子）时，
能量连续， 量子 经典。
En
n2
22 2ma 2
,Hale Waihona Puke 3.最低能量不为零（称零点能）
22
E1 2ma2 0
只要势垒区宽度 x = a 不是无限大，
粒子能量就有不确定量E 。
p2
2pΔ p pΔ p
E ΔE
2m
2m
m
x = a 很小时，P 很大，使 E也很大 ， 以至
可以有： E U0 E E +E > U0
§2.4 一维谐振子
谐振子不仅是经典物理的重要模型，
而且也是量子物理的重要模型。
如：黑体辐射、分子振动，晶格点阵振动。
有
d2
d x2
2m 2
[E
1 m 2 x 2 ]
2
0
3. 谐振子的能量 解定态薛定谔方程得
En
(n
1 )
2
(n
1 )h
2
，n
=
0,
1,
2,
9-4薛定谔方程
隧道效应
贯穿势垒的概率定义为在 x a处透射波的强度与
入射波的强度之比：
T
3(a) 2
2a
e
2m(U0 E )
A2
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
扫描隧道显微镜(STM)
原理： 利用电子的隧道效应。
金属样品外表面有一层 电子云，电子云的密度随着 与表面距离的增大呈指数形 式衰减，将原子线度的极细 的金属探针靠近样品，并在 它们之间加上微小的电压， 其间就存在隧道电流，隧道 电流对针尖与表面的距离及 其敏感，如果控制隧道电流 保持恒定，针尖的在垂直于 样品方向的变化，就反映出 样品表面情况。
z z 为 轴，角动量在 轴上的投影 Lz 只能取
Lz ml ml 0, 1, 2,..., l
ml 称为磁量子数。对于一定的角量子数l, ml 可以取 2(l 1) 个值。
B(z)
2 角动量的空间量子化 o 2
L 6
l2
三、电子的自旋
1925年，乌仑贝克 ( G.E.Uhlenbeck ) 和古兹密特(S.A.Goudsmit)提出电子自旋假说。把 电子绕自身轴线的转动称为自旋。
4 E1
n 1
0
a2
ax 0
a2
aEE1x0
四、一维势垒 隧道效应
一维方势垒如图
U
U
(x)
U0
0xa
0 x 0, x a
U0 E
粒子沿 x 方向运动,当
Ⅰ E U0
ⅡⅢ
粒子可以通过势垒。
oa x
当 E U0，实验证明粒子也能通过势垒,这只有 由量子力学的到解释。
设三个区域的波函数分别为 1, 2,3
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年[1]描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
目录[隐藏], 1 含时薛定谔方程, 2 不含时薛定谔方程, 3 历史背景与发展, 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引, 4.1.1 假设, 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引, 5 特性o 5.1 线性方程, 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性, 5.3.1 证明o 5.4 完备基底, 6 相对论性薛定谔方程, 7 解析方法, 8 实例o 8.1 自由粒子o 8.2 一维谐振子o 8.3 球对称位势, 8.3.1 角部分解答, 8.3.2 径向部分解答, 9 参阅, 10 参考文献, 11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为;(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
薛定谔方程的内容
薛定谔方程的内容薛定谔方程是量子力学中的基本方程，描述了微观粒子的运动和行为。
它是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔在1925年提出的，为量子力学的发展做出了重要贡献。
薛定谔方程的一般形式可以写作：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化形式，Ψ是波函数，t 是时间，H是哈密顿算符。
这个方程描述了波函数随时间的变化，并通过哈密顿算符来描述粒子的能量。
薛定谔方程的解决了经典物理学无法解释的一些现象，例如电子在原子轨道中的稳定性和光谱线的出现等。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，从而了解其位置和动量的概率分布。
薛定谔方程的解可以是复数形式，其中实部表示波函数的振幅，而虚部表示波函数的相位。
波函数的模的平方给出了在给定位置找到粒子的概率密度。
这种概率解释是量子力学与经典力学的一个重要区别，体现了量子粒子的波粒二象性。
薛定谔方程在解释微观粒子行为方面有着广泛的应用。
例如，它可以用来描述电子在晶体中的行为，从而解释材料的导电性和光学性质。
薛定谔方程也被用于描述分子的结构和反应，以及原子核的性质等。
薛定谔方程的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值方法或近似方法来获得解析解。
由于方程中包含了时间变量，因此需要指定初始条件来确定波函数的演化。
在实际应用中，研究者通常会利用计算机模拟来求解薛定谔方程，以获得粒子在不同条件下的行为。
薛定谔方程的提出使得量子力学得以发展，并取得了许多重要的成果。
它为我们理解微观世界的规律提供了一个强大的工具。
通过研究薛定谔方程，我们可以更好地理解和解释量子力学中一系列奇特的现象，如量子纠缠、量子隧道效应和量子叠加态等。
薛定谔方程是量子力学的基石，它描述了微观粒子的运动和行为。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，从而了解其位置和动量的概率分布。
薛定谔方程的提出为量子力学的发展做出了重要贡献，为我们揭示了微观世界的奥秘。
薛定谔方程及其在量子力学中的应用
薛定谔方程及其在量子力学中的应用量子力学是一门研究微观世界的科学，它描述了微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程是量子力学的基石之一，它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，是描述微观粒子的波函数随时间演化的数学方程。
薛定谔方程的形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数（ħ=h/2π，h为普朗克常数），Ψ是波函数，t是时间，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算符，V是势能。
薛定谔方程描述了波函数随时间的演化，通过求解薛定谔方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而了解微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程在量子力学中有广泛的应用。
首先，它可以用来描述粒子的定态和非定态。
定态是指粒子的能量和其他性质都是确定的状态，非定态是指粒子的能量和其他性质都不是确定的状态。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的定态波函数，从而得到粒子的能量和其他性质。
而非定态波函数则描述了粒子的能量和其他性质在不同状态之间的转变。
其次，薛定谔方程还可以用来解释粒子的波粒二象性。
根据薛定谔方程，波函数Ψ可以表示粒子的概率幅，即波函数的模的平方|Ψ|²表示在某个位置上找到粒子的概率。
这就是波粒二象性，即微观粒子既具有粒子性又具有波动性。
薛定谔方程还可以用来解释量子力学中的量子纠缠现象。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在着一种特殊的关系，它们的状态是相互依赖的，无论它们之间的距离有多远。
薛定谔方程可以描述量子纠缠现象，通过求解薛定谔方程，我们可以得到纠缠态的波函数，从而了解量子纠缠的本质和特性。
此外，薛定谔方程还可以应用于量子力学中的量子力学力学中的研究。
量子力学力学是一种研究微观粒子运动规律的方法，它可以通过求解薛定谔方程得到粒子的运动轨迹和动力学性质。
总之，薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，它描述了微观粒子的波函数随时间演化的规律。
计算材料学 薛定谔方程
计算材料学薛定谔方程计算材料学是一门涵盖材料科学、物理学和化学等学科的交叉学科，它通过计算机模拟，预测、优化和设计新的材料。
而薛定谔方程则是计算材料学中最基础且最核心的方程之一。
一、薛定谔方程的基本概念薛定谔方程是研究微观粒子运动的基本方程，它描述的是粒子的波函数在空间中的演化过程。
波函数用于描述粒子在空间中的行为，包括位置和能量等信息。
薛定谔方程的数学描述形式为：HΨ=EΨ其中，H为哈密顿量，Ψ为波函数，E为能量。
该方程本质上是时间无关的薛定谔方程，是描述粒子在定态下的运动。
二、薛定谔方程在计算材料学中的应用薛定谔方程在计算材料学中应用非常广泛。
材料结构的稳定性和性质通常可以通过求解薛定谔方程来加以解释。
特别是对于具有复杂结构和较高运动速度的粒子，直接进行实验研究是非常困难的，而求解薛定谔方程则使得计算机模拟成为了一种非常有效的手段。
1. 晶体结构优化在计算材料学中，最常用的方法是优化能量。
优化能量可以得到材料体系内每个原子的最新坐标。
因此，通过求解薛定谔方程，可以对晶体结构进行优化设计，从而实现理性设计新型材料。
2. 电子结构计算薛定谔方程可以帮助研究者解释原子中的电子结构、物质的各种性质和反应，包括它们的磁性、电性和光性等。
通过计算材料学方法，可以用薛定谔方程解释某些化学反应的发生原因，以及这些反应如何影响材料的性质和性能。
三、结语薛定谔方程在计算材料学中扮演着重要的角色，它使得科学家们能够更好地理解和设计新材料。
通过计算机模拟，研究者可以以更加优化的方式研究材料结构、性质、反应等，为新一代材料的设计发展做出贡献。
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程是一个重要的理论模型，它使物理学家们能够更进一步地了解和解释量子力学中的现象。
它于1926年被提出，由荷兰物理学家薛定谔提出。
薛定谔方程描述了量子力学中描述双原子共振和双原子退相干特性时所需的方程，从而解释普朗克定律中自由粒子的行为。
薛定谔方程是一个基于能量的矩阵方程，它是由薛定谔推导出来的。
它的公式是：
HΨ = EΨ
其中，H是原子的能级矩阵，Ψ是量子态的矢量，E是能量的标量。
薛定谔方程有三个重要的功能：
首先，它可以用来描述量子力学中的双原子共振，它可以用来解释双原子间的能量级和轨道混合情况，从而解释量子力学中双原子结构的概念。
其次，它可以用来解释双原子退相干特性。
双原子退相干指的是，在两个原子相互作用时，他们的总能量会减少，这一特性由薛定谔方程可以解释。
最后，薛定谔方程还可以应用于电子结构性质的计算，用来计算杂化理论中的电子结构性质。
薛定谔方程对于量子力学的研究有重要意义，它为物理学家们提供了量子力学中最基本的模型，使他们能够更深入地了解和研究相关
现象。
薛定谔方程也为建立一个现实世界中可行的量子力学模型打下了基础，从而为量子力学的研究提供了一条新的发展道路。
总之，薛定谔方程是一个重要的理论模型，它可以用来描述量子力学中的双原子共振和双原子退相干特性，并且可以用来计算杂化理论中的电子结构性质。
它的出现，是量子力学研究的一个重大突破，也为量子力学的未来发展提供了指引。
薛定谔方程一般表达式
薛定谔方程一般表达式
薛定谔方程是描述量子力学中粒子的运动和性质的方程。
一般表达式为：
Hψ = Eψ
其中，H是哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。
在一维情况下，薛定谔方程可以写成：
-ħ²/2m * ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ = Eψ
其中，ħ是普朗克常数除以2π，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，E是粒子的能量。
在三维情况下，薛定谔方程可以写成：
-ħ²/2m * (∂²ψ/∂x² + ∂²ψ/∂y² + ∂²ψ/∂z²) + V(x, y, z)ψ = Eψ
其中，x、y、z是空间坐标，V(x, y, z)是势能函数，E是粒子的能量。
这些方程描述了波函数随时间和空间的变化，通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数以及与波函数相关的物理量，如能量、位置、动量等。
薛定谔方程表达式
薛定谔方程表达式薛定谔方程（Schrödinger equation）是一种经典的方程，用于描述粒子的波动性。
它是量子力学在研究量子系统中的基础方程式。
薛定谔方程由詹姆斯·薛定谔在1925年第一次提出，并用于量子力学建模和解决，并被用于许多不同领域，如原子物理学和材料科学。
一、定义薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来描述粒子的波动性和量子力学，也用于原子物理学和材料科学等领域建模。
它可以用来描述量子现象的基础力学行为。
它的表达式是：$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\hat{H}\psi(x,t)$$其中$\psi$是粒子的函数，$\hat{H}$是粒子的Hamilto算符，$t$表示时间，$i$表示虚数单位，$\hbar$是由物理常数Planck的常数除以2$\pi$所得的单位。
二、特点薛定谔方程具有以下特点：（1）数学严谨性：薛定谔方程是一个基本的数学方程，可以用来准确描述粒子波动性；（2）应用广泛性：薛定谔方程不仅可以用于量子力学建立模型和解决问题，同时还可以应用到原子物理学、材料科学等领域；（3）简洁性：薛定谔方程只需要一个数学表达式，却可以描述量子力学中基本的力学行为；（4）学习方便性：薛定谔方程可以利用之前学过的代数知识去理解，不需要特别复杂的数学知识即可学习。
三、应用薛定谔方程被用于原子物理学，材料科学，电子学，化学物理，高分子物理，量子生物物理，量子信息等多个领域中。
（1）量子力学：薛定谔方程可以用来描述系统的粒子波动性和量子效应，它描述了受物理量子系统的特定粒子的波动动力；（2）原子物理：薛定谔方程用于描述原子核的结构，它能够提供一个准确的模型来表达原子核的特征；（3）材料科学：薛定谔方程可以用于描述晶体中原子分子之间的相互作用，它也可以用来识别晶体材料的特性；（4）电子学：薛定谔方程可以用来解释物理和化学特性，它还能够用于模拟终端器件，从而可以提高终端设备的效能。
薛定谔方程解析
薛定谔方程解析薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了量子体系的演化规律。
它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被誉为量子力学的基石之一。
薛定谔方程在解释微观粒子的运动和性质方面起着重要的作用。
薛定谔方程是对量子体系的波函数进行数学描述的方程。
波函数是描述微观粒子行为的数学函数，它包含了粒子的位置和动量等信息。
薛定谔方程可以用来计算波函数在时间和空间上的演化。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，Ψ是波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程的左侧表示波函数随时间的变化率，右侧表示哈密顿算符作用在波函数上得到的结果。
哈密顿算符包含了粒子的动能和势能等信息。
薛定谔方程的解析解通常较为复杂，只有在一些特殊情况下才能得到解析解。
对于大多数真实的物理系统，需要采用数值方法求解薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解可以用来计算粒子的能级和波函数。
能级是粒子在不同能量状态下的取值，波函数则描述了粒子的位置和动量分布。
薛定谔方程的解析解在量子力学的发展中起到了重要的作用。
它为解释微观世界的现象提供了基础，例如描述原子和分子的结构和性质。
薛定谔方程的解析解还被应用于量子力学中的各种问题，如谐振子、氢原子等。
薛定谔方程的解析解还引发了一些深入的思考和讨论。
例如，波粒二象性的概念，即微观粒子既可以表现为粒子又可以表现为波动的性质。
波函数的坍缩和量子纠缠等现象也是基于薛定谔方程得到的。
薛定谔方程是量子力学中的一个重要方程，用于描述量子体系的演化规律。
它的解析解可以用来计算粒子的能级和波函数，为解释微观世界的现象提供了基础。
薛定谔方程的发展和应用推动了量子力学的发展，对物理学和其他相关领域产生了深远的影响。
大学物理 薛定谔方程
说明 E:
——一维定态薛定谔方程 一维定态薛定谔方程
粒子能量 ; Ψ (x): 定态波函数 定态波函数. 概率密度在空间上的分布稳定. 概率密度在空间上的分布稳定
r r −i E t r 2 r 2 h Ψ(r , t ) =ψ (r )e ⇒ Ψ(r , t ) = ψ (r )
定态: 定态
3.波函数的标准条件： 波函数的标准条件： 波函数的标准条件
单值、连续、有限. 单值、连续、有限
4.波函数的性质： 波函数的性质： 波函数的性质
描写同一状态(C为常量 （1）ψ与 Cψ描写同一状态 为常量 ） 与 描写同一状态 为常量); 因为粒子出现的概率仅具有相对意义。 因为粒子出现的概率仅具有相对意义。 （2）|ψ|2 满足归一化条件 满足归一化条件: ）
P = ∫ ψn (x) dx = ∫
2 a 4 0 a 4 0
1 1 nπ 2 2 nπx sin sin dx = − 4 2π n 2 a a
a
n =1
n=∞
9 P= 1 100 25 P= 2 100
0
2 2 nπx ψn (x) = sin a a
2
0
a
（2）a/4 处的概率密度 ）
2 2 nπ a 2 2 nπ a ψn ( ) = sin ( ⋅ ) = sin 4 a a 4 a 4
Ψ (x)
n =4
当n很大时, 很大时, 很大时 量子概率分 布就接近经 典分布
n =3 n =2 n =1 a 0
0
a
3.一维无限深势阱粒子的驻波特征 3.一维无限深势阱粒子的驻波特征
E3 = 32 E1
E2 = 22 E1
E1
0
12-6 薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
薛定谔方程及其应用
薛定谔方程及其应用薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，描述了微观粒子的行为和性质。
它由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出，被广泛应用于原子物理、分子物理、凝聚态物理等领域。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理以及其在量子力学研究和实际应用中的重要性。
薛定谔方程是描述量子力学体系中粒子的波动性质的基本方程。
它的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = ĤΨ其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数，t是时间，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的演化规律。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，从而计算出粒子的能量、动量、位置等物理量。
薛定谔方程的解可以用波函数表示，波函数的模的平方表示了粒子存在于不同位置的概率。
波函数的具体形式取决于体系的边界条件和势能场。
对于自由粒子，波函数可以用平面波表示；对于束缚态，波函数则由边界条件和势能场决定。
薛定谔方程的解可以通过数值计算或近似方法求得。
薛定谔方程在量子力学的研究中起着重要的作用。
它可以用来描述原子和分子的电子结构，解释化学反应的机理，预测材料的性质等。
在原子物理中，薛定谔方程被用来计算原子的能级和光谱线；在分子物理中，薛定谔方程可以用来研究分子的振动和转动；在凝聚态物理中，薛定谔方程被用来描述电子在晶体中的行为和导电性质。
除了用于研究基本粒子和物质的性质，薛定谔方程还被应用于量子计算和量子通信等领域。
量子计算是一种基于量子力学原理的新型计算方法，利用量子叠加和量子纠缠的特性，可以在某些情况下比传统计算方法更高效。
薛定谔方程提供了描述量子比特（qubit）行为的数学工具，为量子计算的实现提供了理论基础。
此外，薛定谔方程还被应用于量子力学中的一些基本现象的研究，如量子隧穿效应、量子干涉和量子纠缠等。
这些现象在实验室中已经得到了验证，并且在量子信息科学和量子技术的发展中发挥着重要作用。
总之，薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了微观粒子的波动性质。
薛定谔方程
② 若势能V(r)具有某一不连续间断点或间断面， 则波函数及其一阶导数在该点或面处也处处连续。
③ 若势能V(r)具有一阶奇点，则波函数必须连 续，其一阶导数可以不连续。
讨论：
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒 子状态随时间的变化规律。
2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验 证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能 从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确 性由它解出的结果是否符合实验来检验。
§2.3 薛定谔方程
② 若势能V(r)具有某一不连续间断点或间断面，则波函数及其一阶导数在该点或面处也处处连续。 薛定谔方程是量子力学的基本假定之一，是整个波动学的基础，不是推导出来的，它与牛顿方程在经典里写中的地位相仿。 ① 若势能V(r)处处连续，则波函数及其一阶导数也处处连续。 1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 ② 若势能V(r)具有某一不连续间断点或间断面，则波函数及其一阶导数在该点或面处也处处连续。 3、薛定谔方程是线性方程。 薛定谔方程是量子力学的基本假定之一，是整个波动学的基础，不是推导出来的，它与牛顿方程在经典里写中的地位相仿。
Quantum mechanics 在利用算符对应规则时，这些算符不具有坐标变换的不变性，例如，对极坐标
Quantum mechanics 薛定谔方程是量子力学的基本假定之一，是整个波动学的基础，不是推导出来的，它与牛顿方程在经典里写中的地位相仿。 在利用算符对应规则时，这些算符不具有坐标变换的不变性，例如，对极坐标 ② 若势能V(r)具有某一不连续间断点或间断面，则波函数及其一阶导数在该点或面处也处处连续。 三、关于薛定谔方程的说明 ① 若势能V(r)处处连续，则波函数及其一阶导数也处处连续。 3、薛定谔方程是线性方程。 是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。 2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。 4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。 ① 若势能V(r)处处连续，则波函数及其一阶导数也处处连续。
薛定谔方程
第二章dinger oSchr 方程 §2.1dinger oSchr 方程dinger oSchr 方程是非相对论量子力学的基本方程、是公设，正确性只能由它导出结论和实验是否符合来检验。
下面只是去理解它。
已知无外场自由粒子波函数为()(),i p r Et r t Ceψ⋅-=由于22p E m=，这个(),r t ψ 表达式显然满足下面形式的波动方程()()2ˆ,,2r t p i r t t m ψψ∂=∂这就是自由微观粒子的dinger oSchr 方程。
用一种简明的公设性程式——“一次量子化”方法直接“得到”这个方程：将非相对论经典物理学关于自由粒子能量等式22p E m=，按以下对应关系替换为量子算符（2.1a ） 将得到的算符方程作用到系统状态波函数(),r t ψ上即可。
若有外场()V r ，系统总能量为()22p E V r m=+。
采用“一次量子化”程式：（2.1b ） 将所得算符方程作用到波函数(),r t ψ上，就得到对应的量子系统的非相对论动力学方程━dinger oSchr 方程：(2.2)这里()()()()ˆˆ,,V r r t V r r t ψψ= ，通常记()()22ˆ22p V r V r H m m+=-∆+= ，称为此量子系统的哈密顿量算符。
这里指出四点：第一，全面写开，非相对论性量子系统的dinger oSchr 方程为(2.3) 其中()(),0r f r ψ=为给定的初始条件，根据需要再配以适当边界条件，组成一个完整的非相对论量子力学问题。
第二，“一次量子化”程式只是一种理解，不能当作严肃的逻辑论证。
虽然在理解方程中用到了第一、第二公设，实质上方程仍然是个独立的公设1，共同代表着由经典力学向量子力学的逻辑飞跃。
第三，对复杂经典系统，比如势V 中还含有动量p的情况，一次量子化过程中，一个经典力学量表达式可能对应几个量子算符表达式。
它们之间差别仅在于其中ˆr和ˆp 的排列顺序不同。
薛定谔方程的基本解读
薛定谔方程的基本解读薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，描述了微观粒子的行为。
它由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出，是量子力学的重要里程碑。
本文将对薛定谔方程进行基本解读，介绍其数学形式、物理意义以及应用领域。
薛定谔方程的数学形式是一个偏微分方程，通常用Ψ表示波函数，可以写成如下形式：iħ∂Ψ/∂t = -ħ^2/2m∇^2Ψ + VΨ其中，i为虚数单位，ħ为约化普朗克常数，t为时间，m为粒子的质量，∇^2为拉普拉斯算子，V为势能。
这个方程描述了波函数Ψ随时间演化的规律。
薛定谔方程的物理意义在于，它描述了微观粒子的波粒二象性。
根据波粒二象性理论，微观粒子既可以表现出粒子的特性，如位置和动量，又可以表现出波的特性，如干涉和衍射。
波函数Ψ描述了粒子的状态，它的模平方|Ψ|^2表示了在某个位置找到粒子的概率。
薛定谔方程的解可以分为定态解和非定态解。
定态解对应于粒子的能量本征态，可以用一个复数函数表示。
非定态解则描述了粒子的时间演化，需要用到波包的概念。
波包是一种局域化的波函数，可以看作是许多不同频率的波叠加而成。
它在空间上具有有限的范围，可以用高斯函数表示。
波包的形状和演化受到薛定谔方程的影响，可以通过数值计算得到。
薛定谔方程的应用领域非常广泛。
在原子物理中，薛定谔方程被用来解释原子的能级结构和光谱现象。
在凝聚态物理中，薛定谔方程被用来研究晶体中的电子行为，如导电性和磁性。
在量子力学的基础研究中，薛定谔方程是研究量子纠缠和量子计算的基础。
除了基础研究，薛定谔方程还有许多实际应用。
在材料科学中，薛定谔方程可以用来模拟材料的电子结构和性质，为新材料的设计和开发提供理论指导。
在化学领域，薛定谔方程被用来研究分子的结构和反应动力学。
在生物物理学中，薛定谔方程被用来研究生物大分子的结构和功能。
总之，薛定谔方程是量子力学的基础方程，描述了微观粒子的波粒二象性。
它的数学形式简洁而优美，物理意义深远。
薛定谔方程在各个领域都有重要的应用，为我们深入理解微观世界提供了强大的工具。
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第一章 薛定谔方程
§1.1.波函数及其物理意义
1. 波函数： 用波函数描述微观客体的运动状态。
例：一维自由粒子的波函数
推广 ：三维自由粒子波函数
2. 波函数的强度——模的平方
3. 波函数的统计解释
用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。
t 时刻，出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。
t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的概率。
t 时刻，粒子在空间分布的概率密度
4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1
标准条件：一般情况下，
有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。
对微观客体的数学描述： 脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾
§1.2. 薛定谔方程
是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。
1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般）
一维自由粒子的振幅方程
非相对论考虑
2. 一维定态薛定谔方程
2
|),,,(|t z y x ψ1d d d d d ||2===⋅=ψ⎰⎰⎰N N N N V V N N V V V .
是单值、有限、连续的ψ0)(2d )(d 222=ψ+ψx mE x x
0)()(2d )(d 222=ψ-+ψx U E m x x
3. 三维定态薛定谔方程
4. 一般形式薛定谔方程
5. 多粒子体系的薛定谔方程
讨论：
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U 中粒子状态随时间的变化规律。
2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。
薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。
3、薛定谔方程是线性方程。
是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。
4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。
5、薛定谔方程是非相对论的方程。
量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。
求解问题的思路：
1. 写出具体问题中势函数U (r )的形式代入方程
2. 用分离变量法求解
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数
4. 讨论解的物理意义，
薛定谔的另一伟大科学贡献
《What is life ？》
薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖
定态薛定谔方程
一．定态薛定谔方程条件：V （r,t ）=V(r)， 与t 无关。
用分离变量法, 令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程：
此称定态薛定谔方程
整个定态波函数形式：
),,,(),,,()],,,(2[),,,(2121212221t r r t r r V t r r m t r r t i i
i i ψ+ψ∇-=ψ∂∂∑)t (Ef t
)t (f i =∂∂ Et i ce )t (f -=)r (E )r ()r (V )r (m
ϕ=ϕ+ϕ∇-222Et i
e )r ( -ϕ=ψ
特点：
A.波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘；
B．时间部分函数是确定的。
定态波函数几率密度W与t无关，几率分布不随时间而变，因此称为定态。
重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。
二、本征方程、本征函数与本征值
算符本征方程：λ：本征值，有多个，甚至无穷多个。
ψλ：本征值为λ的
本征函数。
也有多个，甚至无穷多个，有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。
若一个本征值对应的不同本征函数数目为N，则称N重简并。
三、定态情况下的薛定谔方程一般解
说明：1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就称为体系的能量本征值（energy eigenvalue），而相应的解称为能量的本征函数（energy eigenfunction）。
2、是体系的哈密顿量算符，当不显含t时，体系的能量是收恒量，可用分离变量。
3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。
§1.3 一维无限深势阱
一、一维势阱实例
如：金属中的自由电子。
金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。
总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。
二、微分方程
三、一维无限深势阱求解
四、宇称
§1.4 一维线性谐振子
什么叫谐振子？弹簧振动、单摆就是谐振子，它们的位移或角位移满足方程：谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。
比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。
双原子分子的振动可化为谐振子。
这节介绍求解线性谐振子（一维）的定态薛定谔方程，解出波函数与能量，并作些讨论.
三．谐振子的几率分布
结论：1. 在经典振幅之外，仍有粒子出现，这也是量子效应。
2．从前几个波函数曲线看，量子与经典没有什么相似，但当n很大时，量子的平均结果与经典曲线相似。
4.熟记有关结论。
四、S维各项同性谐振子
五、位移谐振子
六、耦合谐振子（对角化解耦）
Summary:
1、由于谐振子势具有空间反射不变性，按定理3的推论，必有确定的宇称。
可证：
2、基态：能量：并不为零，称为零点能（zero-point energy）。
是微观粒子的波动-粒子两重性的表现。
处于基态的谐振子在空间的概率分布是一个高斯型分布，在原点处找到粒子的概率最大。
按经典力学的观点，基态谐振子只允许在的区域中运动，而属于经典禁区，但按照量子力学中波函数的统计诠释，粒子有一定概率处于经典禁区（量子效应），可以计算此概率（考研究生题）。
3、能量本征值随量子数n的变化不但是断续的，而且是等间距的，间距只和振子的固有频率有关。
4、“能量量子化”和“零点能存在”是量子振子能量不同于经典振子能谱的两大特点。
均是波动性的体现。
5、熟练掌握本节内容。
6、“突然近似”，谐振子：k突然变成2k；无限势阱：a突然变成2a。
§1.5 隧道效应
势垒贯穿－能量低于势垒高度的粒子有一定几率穿过势垒。
例：势垒贯穿现象—金属电子的热发射-电子有冷发射：如果给金属加上一个外电场（约1000000V/CM），使金属成为阴极，则该电场会使电子释放出来而形成电流，这种现象叫金属电子的冷发射。
应用:
1973年:固体中的隧道效应,
半导体中的隧道效应.
约朔夫森, 江琦, 迦埃非.1986年:设计世界上第一架电子显微镜,设计隧道效应显微镜.
鲁斯卡, 宾尼(德国),罗雷尔因(瑞士).
1997年：量子隧道效应。
经典物理无法理解势垒贯穿。
∵E＝T＋V，T＝E－V＜0，不可能,本节介绍量子力学如何解释势垒贯穿，以及如何计算穿过势垒的几率。
一、一维方势垒
二、求解
三、势垒贯穿几率
讨论:
1.经典:E<U0 时, 无反射.
(1)量子力学:有反射.
(2)共振透射, 研究D, D max=1条件:
于是D就发生振荡,叫做共振透射.
(3) 都有反射和透射.
2. E<U0 (隧道效应).
用于基因突变率的计算.
(1)D与U0, E, a有关;
(2)隧道效应;
a=1 埃 D 0.1
a=2埃 D 0.0012
a=5埃 D 0.0000017
a=10埃 D 0.00000000003
习题: (1) 2.8,
(2) 剖析：p34或曾书p43。
2.3. 求动能为E的粒子对势垒的投射系数。
第二章波函数和薛定谔方程（小结）
一.波函数统计解释
二.态迭加原理
三.薛定谔方程
四.粒子流密度和粒子数守恒定律
五.定态薛定谔方程
六.一维无限深势阱
七.线性谐振子
八.势垒贯穿
几个概念：波函数，宇称，定态，简并，
束缚态，量子化，零点能，隧道效应，
数学：厄米方程，厄米方程多项式势垒。
超越方程曾书p34，一维有限深势阱。