薛定谔方程

第一章 薛定谔方程

§1.1.波函数及其物理意义

1. 波函数： 用波函数描述微观客体的运动状态。

例：一维自由粒子的波函数

推广 ：三维自由粒子波函数

2. 波函数的强度——模的平方

3. 波函数的统计解释

用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。 t 时刻，出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。 t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的概率。 t 时刻，粒子在空间分布的概率密度

4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1

标准条件：一般情况下，

有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。

对微观客体的数学描述： 脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾

§1.2. 薛定谔方程

是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。

1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般）

一维自由粒子的振幅方程

非相对论考虑

2. 一维定态薛定谔方程

2

|),,,(|t z y x ψ1d d d d d ||2===⋅=ψ⎰⎰⎰N N N N V V N N V V V .

是单值、有限、连续的ψ0)(2d )(d 222=ψ+ψx mE x x

0)()(2d )(d 222=ψ-+ψx U E m x x

3. 三维定态薛定谔方程

4. 一般形式薛定谔方程

5. 多粒子体系的薛定谔方程

讨论：

1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U 中粒子状态随时间的变化规律。 2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。

3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。

4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。

5、薛定谔方程是非相对论的方程。

量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。

求解问题的思路：

1. 写出具体问题中势函数U (r )的形式代入方程

2. 用分离变量法求解

3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数

4. 讨论解的物理意义，

薛定谔的另一伟大科学贡献

《What is life ？》

薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖

定态薛定谔方程

一．定态薛定谔方程条件：V （r,t ）=V(r)， 与t 无关。用分离变量法, 令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程：

此称定态薛定谔方程

整个定态波函数形式：

),,,(),,,()],,,(2[),,,(2121212221t r r t r r V t r r m t r r t i i

i i ψ+ψ∇-=ψ∂∂∑)t (Ef t

)t (f i =∂∂ Et i ce )t (f -=)r (E )r ()r (V )r (m

ϕ=ϕ+ϕ∇-222Et i

e )r ( -ϕ=ψ

特点：

A.波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘；

B．时间部分函数是确定的。

定态波函数几率密度W与t无关，几率分布不随时间而变，因此称为定态。重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。

二、本征方程、本征函数与本征值

算符本征方程：λ：本征值，有多个，甚至无穷多个。ψλ：本征值为λ的

本征函数。也有多个，甚至无穷多个，有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为N，则称N重简并。

三、定态情况下的薛定谔方程一般解

说明：1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就称为体系的能量本征值（energy eigenvalue），而相应的解称为能量的本征函数（energy eigenfunction）。

2、是体系的哈密顿量算符，当不显含t时，体系的能量是收恒量，可用分离变量。

3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。

§1.3 一维无限深势阱

一、一维势阱实例

如：金属中的自由电子。

金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。

二、微分方程

三、一维无限深势阱求解

四、宇称

§1.4 一维线性谐振子

什么叫谐振子？弹簧振动、单摆就是谐振子，它们的位移或角位移满足方程：谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。双原子分子的振动可化为谐振子。

这节介绍求解线性谐振子（一维）的定态薛定谔方程，解出波函数与能量，并作些讨论.

三．谐振子的几率分布

结论：1. 在经典振幅之外，仍有粒子出现，这也是量子效应。2．从前几个波函数曲线看，量子与经典没有什么相似，但当n很大时，量子的平均结果与经典曲线相似。

4.熟记有关结论。

四、S维各项同性谐振子

五、位移谐振子

六、耦合谐振子（对角化解耦）

Summary:

1、由于谐振子势具有空间反射不变性，按定理3的推论，必有确定的宇称。

可证：

2、基态：能量：并不为零，称为零点能（zero-point energy）。

是微观粒子的波动-粒子两重性的表现。

处于基态的谐振子在空间的概率分布是一个高斯型分布，在原点处找到粒子的概率最大。按经典力学的观点，基态谐振子只允许在的区域中运动，而属于经典禁区，但按照量子力学中波函数的统计诠释，粒子有一定概率处于经典禁区（量子效应），可以计算此概率（考研究生题）。

3、能量本征值随量子数n的变化不但是断续的，而且是等间距的，间距只和振子的固有频率有关。

4、“能量量子化”和“零点能存在”是量子振子能量不同于经典振子能谱的两大特点。均是波动性的体现。

5、熟练掌握本节内容。

6、“突然近似”，谐振子：k突然变成2k；无限势阱：a突然变成2a。

§1.5 隧道效应

势垒贯穿－能量低于势垒高度的粒子有一定几率穿过势垒。

例：势垒贯穿现象—金属电子的热发射-电子有冷发射：如果给金属加上一个外电场（约1000000V/CM），使金属成为阴极，则该电场会使电子释放出来而形成电流，这种现象叫金属电子的冷发射。

应用:

1973年:固体中的隧道效应,

半导体中的隧道效应.

约朔夫森, 江琦, 迦埃非.1986年:设计世界上第一架电子显微镜,设计隧道效应显微镜.

鲁斯卡, 宾尼(德国),罗雷尔因(瑞士).

1997年：量子隧道效应。

经典物理无法理解势垒贯穿。∵E＝T＋V，T＝E－V＜0，不可能,本节介绍量子力学如何解释势垒贯穿，以及如何计算穿过势垒的几率。

一、一维方势垒

二、求解

三、势垒贯穿几率

讨论:

1.经典:E

(1)量子力学:有反射.