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描述函数法
系统有发散趋势；
x 1时，阻尼为正，系统输出能量，
系统有收敛趋势；
如果一个周期中，吸收的能量和发散的能量相等，
则系统就产生一个振幅和频率都不变的持续振荡。
2、x频率对振幅的依赖 x
硬••弹簧•
例2 m x f x Kx K' x3 0
式中：m, f , K为正数
0
••
m x
f
•
x
K
t
K
'
非线性系统 1 曲线， N
再利用Nyquist稳定判据。
饱和非线性的描述函数：
N
2k
arcsin
s X
s X
k
1
s
2
X
X s X s
Im
1
N
X
0 X s
1
0 Re
k
两位置继电特性的描述函数为: N 4M
X
Im
1 X
N 4M X 0
X
0 Re
y
死区非线性
x k
y
xt
x yt
饱和环节
当输入正弦信号幅值大于一定值时， 其输出出现切顶，变成与输入同频率的 周期非正弦信号。
y1 t
yt y5 t
0
t
y3 t
可以分解成一系列正弦波的叠加， 其基波的频率与输入正弦的频率相同。
一、描述函数定义：
N
Y1 X
1
式中：N— 描述函数；
X— 正弦输入的振幅；
Y1— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
第九章 控制系统的
概述
严格地讲，所有实际物理系统都是非 线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙 等非线性现象。所谓线性系统只是在一定 的工作范围内，非线性的影响很小，以致 可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统， 可采用第二章所述的线性化方程解决非线 性问题；但也有一定数量的非线性问题不 能这样处理，只能采用 其他的方法。
描述函数法讲解
0
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
描述函数法
7.2 描述函数
一、描述函数的定义 1.描述函数法的应用条件
(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性 环节N+一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 (2)非线性环节N的输入输出特性曲线奇对称，以保 证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直 流分量。
(3)线性部分G(s)具有良好的低通特性，使得系统 信号中的高次谐波大大衰减，可以用基波来近似。
7.2 描述函数
描述函数定义为：输出的基波分量与输入正弦函 数的复数比：
B1 ( A) jA1 ( A) Y1 ( A) j1 ( A) N ( A) e A A 显然，描述函数是A的增益与输入正弦函数的幅值有关。如果 非线性特性是单值奇对称的，那么：
1 1
1 1
0 ; | x | a t [(0, 1 ) ( 1, 1 ) (2 1,2 )]
二、描述函数的计算
因为死区特性是单值奇对称的，所以
B1
4
1
2
A1 0, 1 0
0
y (t ) sin td (t ) y (t ) sin td (t )
A1 0, 1 0, N B1 / A
二、 描述函数的计算
1）死区特性
y
1 1
1 2 1
二、 描述函数的计算
-a a
输入：x(t ) A sin t ( A a)
输出:
k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( , ) y k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( ,2 )
1 1 1 1
Y1 sin( t 1 ) Y1 A1 B1
描述函数
非线性特性的描述函数的共同点
1）单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描述函数是复数：
2）非线性的描述函数可叠加、即
y y1 y2
设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A）
N(A) N1(A) N2 (A)
N1 N2
N1( A) N 2 ( A)
非线性系统与线性系统的差异
b点为稳定自振交点。
a点:不稳定自振交点 b点:稳定自振交点 c点:不稳定自振交点
典型非线性系统的稳定性
具有饱和特性的非线性系统 具有死区特性的非线性系统 具有间隙特性的非线性系统 具有理想继电器特性的非线性系统 具有滞环继电器特性的非线性系统
具有饱和特性的非线性系统
1
N ( A) 2k[sin 1 a a 1 ( a )2
ImG( j) 0
2
ReG( j) |
2
3K
4 52 4 |
2
1 N ( A)
Re G( j) |
0.5
2
K=3
非线性系统的校正
C(s) G(s)N(A) R(s) 1 G(s)N(A)
！改变G(j ) ！改变N(A)
① K＝20，死区继电器特性M＝3，a＝l，试分析系统稳定性； ②如果系统出现自持振荡，如何消除之？
b Ab
具有理想继电器特性的非线性系统
1 A N(A) 4M
负倒描述函数轨迹为整个负实轴
1）如只有一个交点 必为稳定的自振交点
2）如有数个交点 必有稳定的自振交点
具有滞环继电器特性的非线性系统
1 A (180 0 sin1 h )
N ( A) 4M
自控 第8章-3 描述函数法
3
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 (Yn sin( nt n ) n1
其中，
A0
1
2
2
y(t)d (t)
0
为直流分量
Yn sin( nt n ) 为n次谐波
转换关系 Yn
An2 Bn2 ,
n
arctg
An Bn
An , Bn 为傅里叶系数
4
傅里叶系数计算
An
1
2
y(t) cos ntd(t)
0
Bn
1
2
y(t) sin ntd(t)
0
(n 1,2, )
若 A0 0 ， 且 n 1 时，Yn 均很小
则可以用一次谐波近似表示非线性环节的正弦响应
y(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin( t 1)
5
非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信 号的复数比定义为非线性环节的描述函数
24
图B： 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使 A A1 A0 因为系统稳定
所以，振幅将衰减，最终 A 0
j
1 N ( A)
0 N1 N0 N2
G( j)
图B
若 A A2 A0 系统不稳定 所以，振幅将增大，最终 A
所以N0点的周期运动是不稳定的
25
图C：两个交点
对于N20点，若 A A2 A20 系统不稳定 A A20
23
图A：交点标记为N0 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使
j
1 N ( A)
0 N2 N0 N1
A A1 A0
G( j)
因为 G( j)曲线包围 N (1A)曲线，系统不稳定
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 (Yn sin( nt n ) n1
其中，
A0
1
2
2
y(t)d (t)
0
为直流分量
Yn sin( nt n ) 为n次谐波
转换关系 Yn
An2 Bn2 ,
n
arctg
An Bn
An , Bn 为傅里叶系数
4
傅里叶系数计算
An
1
2
y(t) cos ntd(t)
0
Bn
1
2
y(t) sin ntd(t)
0
(n 1,2, )
若 A0 0 ， 且 n 1 时，Yn 均很小
则可以用一次谐波近似表示非线性环节的正弦响应
y(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin( t 1)
5
非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信 号的复数比定义为非线性环节的描述函数
24
图B： 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使 A A1 A0 因为系统稳定
所以，振幅将衰减，最终 A 0
j
1 N ( A)
0 N1 N0 N2
G( j)
图B
若 A A2 A0 系统不稳定 所以，振幅将增大，最终 A
所以N0点的周期运动是不稳定的
25
图C：两个交点
对于N20点，若 A A2 A20 系统不稳定 A A20
23
图A：交点标记为N0 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使
j
1 N ( A)
0 N2 N0 N1
A A1 A0
G( j)
因为 G( j)曲线包围 N (1A)曲线，系统不稳定
第七章(非线性系统的描述函数法)
§7.4非线性系统的描述函数分析法一、描述函数法的基本概念假设非线性系统的输入函数为)sin()(t X t x ω=非线性环节Nx (t )n(t )输出n(t)将是非正弦的周期信号。
可以展成傅利叶级数，n(t)是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。
假设1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以输出信号n(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响应的平均值为零。
假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值远小于基波。
闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。
对于一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤波性越好，用描述函数法分析的精度越高。
上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研究其基波成分就足够了。
假设系统中非线性环节的输入函数为tX t x ωsin )(=输出信号可以展成傅利叶级数∑∑∞=∞=++=++=1010)sin(2)cos sin (2)(i i i i i i t i Y A t i B t i A A t n ϕωωω⎰=πωωπ20)()cos()(1t d t i t n A i ⎰=πωωπ20)()sin()(1t d t i t n B i 22iii BA Y +=iii B A tg1-=ϕ若非线性部分是齐次对称的，则A 0=0，线性部分又具有低通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能够通过闭环回路反馈到输入端。
输出部分的基波分量为)sin(cos sin )(11111ϕωωω+=+=t Y t B t A t y ⎰=πωωπ201)()cos()(1t d t t n A ⎰=πωωπ201)()sin()(1t d t t n B 21211B A Y +=1111B A tg -=ϕ可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号基波的关系。
8-4描述函数法
n 1 n 1
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1
1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10
k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20
x2 x20 | x2 | x20 x2 x20
2
Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1
0
y (t ) sin t d t cos
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1
1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10
k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20
x2 x20 | x2 | x20 x2 x20
2
Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1
0
y (t ) sin t d t cos
函数的三种表示方法课件
03
表格法
通过表格列出函数在不同 自变量值下的对应函数值。
优点
能够直观地展示函数的变 化趋势和数值特征。
缺点
对于连续函数，需要大量 的数据点才能准确反映函 数关系。
图象法
图象法
通过绘制函数图象来表示 函数关系。
优点
直观、形象，能够清晰地 展示函数的形态和变化规 律。
缺点
对于复杂函数，可能难以 准确绘制其图象。
抛物线开口向下。
接这些点即可得到函数的图象。
高次函数图象法表示
01
高次函数图象是一个连续曲线，其一般形式为y=anx^n+a(n-1)x^(n1)+...+a1x+a0，其中an至a0为常数且an≠0。
02
根据n的奇偶性，高次函数的增减性不同：当n为奇数时，函数在x>0时单调递 增，在x<0时单调递减；当n为偶数时，函数在x>0时单调递减，在x<0时单调 递增。
通过实例分析，加深 对函数表示方法的理 解和应用。
能够根据实际需求选 择合适的函数表示方 法。
02
函数的数学表示方法
解析法
解析法
缺点
使用数学表达式来表示函数关系，如 $y = f(x)$。
对于复杂函数，可能难以找到准确的 数学表达式。
优点
精确、明了，能够准确表达函数的数 学关系。
表格法
01
02
03
解析法实例
一次函数解析法表示
一次函数解析法表示：$y = ax + b$，其中$a$和$b$是常数，$a neq 0$。 实例：$y = x + 1$，其中$a = 1$，$b = 1$。
图像：直线。
第八章 描述函数法
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
G1 ( s ) N ( A) 1 1 G1 ( s ) G1 ( s ) 0.5( s 1) G * ( s) 2 1 G1 ( s ) s 0.5s 0.5
§7.3.3
1
1 2 2 2 非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式 A0 y ( t ) d t Yn A n Bn 0 2 为此，定义正弦信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波 1 2 1 2 分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用 N(A) 表示： B y ( t ) sin n t d t An y ( t ) cos n t d t 1 1 n 1 1 0 0
KA 2b 2b b b [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] 2 A A A A K 2b 2b b b 4Kb b N ( A) [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] j ( 1) 2 A A A A A A
4 MKe j t 3 2 j ( 2 2 ) A
4 5
2 4
22 ( arctan ) 3
M 1 K 10 9.93 代入 A 4 比较模和相角得 1 t arctan 0.322 1 3
第7章_3_描述函数法介绍
2
描述函数法也称为谐波线性化法 谐波线性化法，或称为谐波 谐波线性化法 谐波 平衡法。这是一种工程近似方法。 主要分析非线性 平衡法 系统极限环的稳定性，以及确定非线性闭环系统在 正弦函数作用下的输出特性。 应用描述函数法分析非线性系统时， 系统的阶次 不受限制。
3
7.5.1 描述函数的基本概念
A 的变化而变化的。
1 非线性系统负倒描述函数曲线 − 是临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
22
在线性部分为稳定环节的前提下，给出Nyquist图 稳定性判据： 中的非线性系统稳定性判据 稳定性判据 （1） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
=0向
1 ω → ∞ 变化时，非线性系统负倒描述特性 − N ( A) 始终位于曲线 G ( jω ) 的左侧，即曲线 G ( jω )不包围临界 1 点轨迹线 − ，则非线性系统稳定，不可能产生 N ( A)
A 其中： n =
n =1 ∞ n =1
∞
1 2π A0 = ∫0 x(t )dωt 2π 1 2π Bn = ∫ x(t ) sin nωtdωt
∫ π
π
1
2π
0
x(t ) cos nωtdωt
0
Xn = A + B
2 n
2 n
An φn = arctan Bn
12
图像关于原点中心对称， 当非线性特性是奇函数时， 则有：A0
N ( A) =
从而有：
A +B e A
2 1 2 1
A1 j arctan B1
当非线性输出为单值奇函数时，有： 1 A
=0
A1 φ1 = arctan = arctan 0 = 0 B1
描述函数法也称为谐波线性化法 谐波线性化法，或称为谐波 谐波线性化法 谐波 平衡法。这是一种工程近似方法。 主要分析非线性 平衡法 系统极限环的稳定性，以及确定非线性闭环系统在 正弦函数作用下的输出特性。 应用描述函数法分析非线性系统时， 系统的阶次 不受限制。
3
7.5.1 描述函数的基本概念
A 的变化而变化的。
1 非线性系统负倒描述函数曲线 − 是临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
22
在线性部分为稳定环节的前提下，给出Nyquist图 稳定性判据： 中的非线性系统稳定性判据 稳定性判据 （1） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
=0向
1 ω → ∞ 变化时，非线性系统负倒描述特性 − N ( A) 始终位于曲线 G ( jω ) 的左侧，即曲线 G ( jω )不包围临界 1 点轨迹线 − ，则非线性系统稳定，不可能产生 N ( A)
A 其中： n =
n =1 ∞ n =1
∞
1 2π A0 = ∫0 x(t )dωt 2π 1 2π Bn = ∫ x(t ) sin nωtdωt
∫ π
π
1
2π
0
x(t ) cos nωtdωt
0
Xn = A + B
2 n
2 n
An φn = arctan Bn
12
图像关于原点中心对称， 当非线性特性是奇函数时， 则有：A0
N ( A) =
从而有：
A +B e A
2 1 2 1
A1 j arctan B1
当非线性输出为单值奇函数时，有： 1 A
=0
A1 φ1 = arctan = arctan 0 = 0 B1
描述函数法
§ 描述函数法
描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提 出的, 它是线性系统频域法在非线性系统中的推广， 是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具 有良好的低通特性并且非线性较弱。描述函数法的 优点是能用于高阶系统。描述函数法本质上是一种 谐波线性化方法，其基本思想是：当系统满足一定 的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用 下的输出可用一次谐波分量来近似。
n 1
A0 Yn sin( nt n )
n 1
式中
Yn
2 2 An Bn
An n arctan( ) Bn An Bn
1
1
2
0 2
y (t ) cos ntd (t ) y (t ) sin ntd (t )
0
如果非线性特性是奇对称的，那么直流分量A0=0， 这时输出的基波分量是：
1
2 Mh ( m 1) A
2 B1 y ( t ) sin td ( t ) 0 2 2 M sin td (t )
1
2 2 2M mh h 1 1 ) A A N ( A) ( A1 jB1 ) / A 2 2 2M mh h 2 Mh 1 ( m 1) 1 ) j 2 A A A A
（2）极限环的稳定性
正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一 个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数 来分析。参见附图11
附图11
极限环的稳定性
图中 A 、 B 两点都出现极限环，先看 A 点：如果 因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到
描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提 出的, 它是线性系统频域法在非线性系统中的推广， 是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具 有良好的低通特性并且非线性较弱。描述函数法的 优点是能用于高阶系统。描述函数法本质上是一种 谐波线性化方法，其基本思想是：当系统满足一定 的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用 下的输出可用一次谐波分量来近似。
n 1
A0 Yn sin( nt n )
n 1
式中
Yn
2 2 An Bn
An n arctan( ) Bn An Bn
1
1
2
0 2
y (t ) cos ntd (t ) y (t ) sin ntd (t )
0
如果非线性特性是奇对称的，那么直流分量A0=0， 这时输出的基波分量是：
1
2 Mh ( m 1) A
2 B1 y ( t ) sin td ( t ) 0 2 2 M sin td (t )
1
2 2 2M mh h 1 1 ) A A N ( A) ( A1 jB1 ) / A 2 2 2M mh h 2 Mh 1 ( m 1) 1 ) j 2 A A A A
（2）极限环的稳定性
正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一 个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数 来分析。参见附图11
附图11
极限环的稳定性
图中 A 、 B 两点都出现极限环，先看 A 点：如果 因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到
第4.5 描述函数法
1 , e(t ) 0 sign(e(t )) 1 , e(t ) 0
（4.86b）
式中 （4.86c）
(3) 饱和特性的描述函数
饱和特性在正弦输入下的输出波形如图4.21所示。
图4.21 饱和特性正弦输入下的输出波形
其中A1=0
4 B1 π
x(t ) sinω td(ω t )
e(t )
N
x(t ) G(s)
c(t )
图4.17 非线性系统
当输入正弦函数时，其输出x(t)中含有与输入信号频 率相同的基波分量，还有其它高频分量，但没有常值 分量。线性部分在x(t)作用下产生的响应c(t)中，也 会包含这些高频分量。但很多线性系统具有低通滤波 特性,c(t)中的高频分量相对于基波分量要小得多。在 这种情况下，可以只考虑x(t)中基波分量的作用，用 来近似分析非线性系统的特性，这就是描述函数法的 基本思想。
1.描述函数的定义 对于很多非线性环节，当输入信号为正弦函数 e(t ) A sinω t 时，输 出量x(t)一般都不是同频率的正弦波，而是一个非正弦的周期函 数，其周期与输入信号的周期相同，一般可以展开为傅里叶级数 A0 (4.80) x(t ) ( Ai cos iω t Bi siniω t )
（4）死区特性的描述函数 死区特性在正弦输入下的输出波形如图4.24所示。
图4.24 死区特性正弦输入下的输出波形
可见，是单值奇函数，具有半周期的对称性，所以 A1=0
42 B1 x (t ) sin ω td (ω t ) π 0
在1/4周期内，x(t)的数学表达式为
0, 0 ωt α 1 x(t ) k ( A sin ω t a ), α ω t 1 2
（4.86b）
式中 （4.86c）
(3) 饱和特性的描述函数
饱和特性在正弦输入下的输出波形如图4.21所示。
图4.21 饱和特性正弦输入下的输出波形
其中A1=0
4 B1 π
x(t ) sinω td(ω t )
e(t )
N
x(t ) G(s)
c(t )
图4.17 非线性系统
当输入正弦函数时，其输出x(t)中含有与输入信号频 率相同的基波分量，还有其它高频分量，但没有常值 分量。线性部分在x(t)作用下产生的响应c(t)中，也 会包含这些高频分量。但很多线性系统具有低通滤波 特性,c(t)中的高频分量相对于基波分量要小得多。在 这种情况下，可以只考虑x(t)中基波分量的作用，用 来近似分析非线性系统的特性，这就是描述函数法的 基本思想。
1.描述函数的定义 对于很多非线性环节，当输入信号为正弦函数 e(t ) A sinω t 时，输 出量x(t)一般都不是同频率的正弦波，而是一个非正弦的周期函 数，其周期与输入信号的周期相同，一般可以展开为傅里叶级数 A0 (4.80) x(t ) ( Ai cos iω t Bi siniω t )
（4）死区特性的描述函数 死区特性在正弦输入下的输出波形如图4.24所示。
图4.24 死区特性正弦输入下的输出波形
可见，是单值奇函数，具有半周期的对称性，所以 A1=0
42 B1 x (t ) sin ω td (ω t ) π 0
在1/4周期内，x(t)的数学表达式为
0, 0 ωt α 1 x(t ) k ( A sin ω t a ), α ω t 1 2
函数的表示法 课件
x 1 x2
【解题指导】
【规范解答】令 1 1， t…………………………………2分
x
则x 1 , t, …1①…………………………………………4分
t 1
1
∴
f
t
1
t (
1 1
)2……t2t…12…t .………………………8分
t 1
又t2-2t≠0，∴t≠0且t≠2，
∴t≠0，且t≠1，t≠2②, …………………………………10分 ∴f(x)= x (x1≠0,且x≠1，x≠2).……………………12分
缺 只能近似求出自变量的
点
值所对应的函数值，而 且有时误差较大
2.函数三种表示方法的内在联系 (1)解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自 变量和函数值的对应关系.
(2)在已知函数的解析式研究函数的性质时，可以先由解析式确 定函数的定义域，然后通过取一些有代表性的自变量的值与对 应的函数值列表，描点连线作出函数的图象，利用函数图象形 象直观的优点，能够帮助我们理解概念和有关性质.数形结合是 研究数学的一种重要的数学思想，是解题的一种有效途径.
【规范训练】(12分)用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为
半圆形的框架，若矩形底边长为2ｘ，求此框架围成的面积ｙ
与ｘ的函数关系式，并指出其定义域．
【解题设问】(1)矩形的另一边怎样表示？ l 2x . x
2
(2)矩形的边长应满足什么关系？_两__边__均__大__于__0.
【规范答题】由条件知，矩形的底边长为2ｘ，即半圆的半径
【想一想】(1)解答题2的关键点是什么？ (2)用换元法求函数解析式应注意什么问题？ 提示：(1)解答题2的关键点是设出所求函数解析式利用恒等式 求解. (2)用换元法求函数解析式时，要注意新元的取值范围，即换 元后的函数的定义域.
【解题指导】
【规范解答】令 1 1， t…………………………………2分
x
则x 1 , t, …1①…………………………………………4分
t 1
1
∴
f
t
1
t (
1 1
)2……t2t…12…t .………………………8分
t 1
又t2-2t≠0，∴t≠0且t≠2，
∴t≠0，且t≠1，t≠2②, …………………………………10分 ∴f(x)= x (x1≠0,且x≠1，x≠2).……………………12分
缺 只能近似求出自变量的
点
值所对应的函数值，而 且有时误差较大
2.函数三种表示方法的内在联系 (1)解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自 变量和函数值的对应关系.
(2)在已知函数的解析式研究函数的性质时，可以先由解析式确 定函数的定义域，然后通过取一些有代表性的自变量的值与对 应的函数值列表，描点连线作出函数的图象，利用函数图象形 象直观的优点，能够帮助我们理解概念和有关性质.数形结合是 研究数学的一种重要的数学思想，是解题的一种有效途径.
【规范训练】(12分)用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为
半圆形的框架，若矩形底边长为2ｘ，求此框架围成的面积ｙ
与ｘ的函数关系式，并指出其定义域．
【解题设问】(1)矩形的另一边怎样表示？ l 2x . x
2
(2)矩形的边长应满足什么关系？_两__边__均__大__于__0.
【规范答题】由条件知，矩形的底边长为2ｘ，即半圆的半径
【想一想】(1)解答题2的关键点是什么？ (2)用换元法求函数解析式应注意什么问题？ 提示：(1)解答题2的关键点是设出所求函数解析式利用恒等式 求解. (2)用换元法求函数解析式时，要注意新元的取值范围，即换 元后的函数的定义域.
7-1描述函数法
（3）相平面法（本质非线性）
相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相
平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。 这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。
（4）计算机求解法
用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于12 分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。
1
第七章 非线性系统
内容提要 7.1 典型非线性特性 7.2 描述函数法 7.3 相平面法 学习指导与小结
2
※7.1 典型非线性特性
前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线 性系统，仍可进行线性化处理，从而可视为线性系统。 事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地带 有某种程度的非线性、系统中只要具有一个非线性环 节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都是 非线性系统。本章将主要讨论关于非线性系统的基本 概念，以及两种基本分析方法：描述函数法和相平面 法。
0
14
由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高，An, Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波 分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳
态输出只含基波分量，即
y(t) y1(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin(t 1)
式中
A1
1
x 2(1 x 2 )x x 0 >0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使x<1时，因为(1x2 )<0，系统具有负阻
尼，此时系统从外部获得能量，x(t)的运动呈发散形式；
当x>1时，因为(1x2 )>0，系统具有正阻尼，此
时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式；而当x=1时， 系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡形式。上述分析表 明，系统能克服扰动对x的影响，保持幅值为1的等幅振 荡。
相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相
平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。 这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。
（4）计算机求解法
用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于12 分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。
1
第七章 非线性系统
内容提要 7.1 典型非线性特性 7.2 描述函数法 7.3 相平面法 学习指导与小结
2
※7.1 典型非线性特性
前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线 性系统，仍可进行线性化处理，从而可视为线性系统。 事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地带 有某种程度的非线性、系统中只要具有一个非线性环 节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都是 非线性系统。本章将主要讨论关于非线性系统的基本 概念，以及两种基本分析方法：描述函数法和相平面 法。
0
14
由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高，An, Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波 分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳
态输出只含基波分量，即
y(t) y1(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin(t 1)
式中
A1
1
x 2(1 x 2 )x x 0 >0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使x<1时，因为(1x2 )<0，系统具有负阻
尼，此时系统从外部获得能量，x(t)的运动呈发散形式；
当x>1时，因为(1x2 )>0，系统具有正阻尼，此
时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式；而当x=1时， 系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡形式。上述分析表 明，系统能克服扰动对x的影响，保持幅值为1的等幅振 荡。
描述函数法
所以，总的描述函数为
N
B11
B21 A
j
A11
A21 A
( B11 A
j
A11 ) ( B21
A
A
j
A21 ) A
N1
N2
（2）非线性环节串联
1）忽略某些非线性特性：对系统的工作条件及状态进 行分析，可以忽略其中的某些非线性特性。
2）合并非线性特性为一个总的环节：如果必须同时考 虑几个非线性环节的影响时，常需把几个非线性结合 在一个总的非线性环节中，然后再求取这个总环节的 描述函数。
（4）死区特性的描述函数 死区特性在正弦输入下的输出波形如图4.24所示。
图4.24 死区特性正弦输入下的输出波形
可见，是单值奇函数，具有半周期的对称性，所以 A1=0
42
B1
π
x(t) sinω td(ω t)
0
在1/4周期内，x(t)的数学表达式为
x(t)
k
(
A
0, sinω
比，定义为该非线性环节的描述函数，记为N(A,j)， 即
N(A, j)
x1 e
X1e j1 Ae j0
X1 e j1 A
B1 A
j A1 A
(4.85)
2.描述函数的求取
由描述函数的定义可以看出，求描述函数的步骤为:
1）绘制输入—输出波形图，写出输入 输出表达式；
为时非线性
2．基本条件
描述函数法的应用条件是： 1）非线性特性是斜对称的，这样输出中的常值分量为
零； 2）线性部分具有较好的低通滤波特性，以衰减高次谐
N
B11
B21 A
j
A11
A21 A
( B11 A
j
A11 ) ( B21
A
A
j
A21 ) A
N1
N2
（2）非线性环节串联
1）忽略某些非线性特性：对系统的工作条件及状态进 行分析，可以忽略其中的某些非线性特性。
2）合并非线性特性为一个总的环节：如果必须同时考 虑几个非线性环节的影响时，常需把几个非线性结合 在一个总的非线性环节中，然后再求取这个总环节的 描述函数。
（4）死区特性的描述函数 死区特性在正弦输入下的输出波形如图4.24所示。
图4.24 死区特性正弦输入下的输出波形
可见，是单值奇函数，具有半周期的对称性，所以 A1=0
42
B1
π
x(t) sinω td(ω t)
0
在1/4周期内，x(t)的数学表达式为
x(t)
k
(
A
0, sinω
比，定义为该非线性环节的描述函数，记为N(A,j)， 即
N(A, j)
x1 e
X1e j1 Ae j0
X1 e j1 A
B1 A
j A1 A
(4.85)
2.描述函数的求取
由描述函数的定义可以看出，求描述函数的步骤为:
1）绘制输入—输出波形图，写出输入 输出表达式；
为时非线性
2．基本条件
描述函数法的应用条件是： 1）非线性特性是斜对称的，这样输出中的常值分量为
零； 2）线性部分具有较好的低通滤波特性，以衰减高次谐
8-4描述函数法
是关于A的复变函数, 因此两者的曲线可画在同一复平面
上,而 和A均作为参变量在复平面上并不出现. 则由两者
曲线的交点, 可确定系统产生自激振荡的性质, 自激振荡 的频率和幅值。
（1）非线性系统的稳定性判据 线性系统：
设线性系统的特征方程为1 G( s ) 0,
若G( s )为最小相角系统，
则G( j )曲线包围( 1, j0 )点系统不稳定，
Y1
cos t B1
A12 B12
sin1taArctYg 1ABs11in(tA
1
)
（2）非线性系统描述函数法分析的应用条件
1）非线性系统可以归化为一个非线性环节和 一个线性部分闭环连接的典型结构
2）非线性特性具有奇对称性 非线性环节的输入输出特性y(x)应是x的奇
函数，即f(x)=-f(-x) 或正弦输入下的非线性环节的输出为t的
y
kk22k(1 xx1(
12)k12
)
k2( a2 2 )
k212
x11
xa2
a2 k1
1
a2
a2
k1
x1
1
x
x y x1
0
y
0 x 1
x1 k1( x 01 )
k
0 k1( x 1 k) k2 1k2
a 2
a2
kx1( x 1 )
k1( x a1
)1a2ak211
2 k1
k(x+△） x<-△
sin 0t△dt ψcoπs π t-ψ sin / A,cos 1 ( / A)2 2
xπ(-tAψ)ψ=NB(Aπ2Aω1πs)tiXn(2ωtx2k)t(k=At)NA[(2sAiAn)Aω1=a0BtrBc1414s1k1i+An012j20A2A2ky[0y12A(y((At(ty)=st)Ac)(isnt≈cBAoi)n2oss1Bsi1n01ttstddin(tdtωAtst))itns200i]nt]Adt>dt△t
上,而 和A均作为参变量在复平面上并不出现. 则由两者
曲线的交点, 可确定系统产生自激振荡的性质, 自激振荡 的频率和幅值。
（1）非线性系统的稳定性判据 线性系统：
设线性系统的特征方程为1 G( s ) 0,
若G( s )为最小相角系统，
则G( j )曲线包围( 1, j0 )点系统不稳定，
Y1
cos t B1
A12 B12
sin1taArctYg 1ABs11in(tA
1
)
（2）非线性系统描述函数法分析的应用条件
1）非线性系统可以归化为一个非线性环节和 一个线性部分闭环连接的典型结构
2）非线性特性具有奇对称性 非线性环节的输入输出特性y(x)应是x的奇
函数，即f(x)=-f(-x) 或正弦输入下的非线性环节的输出为t的
y
kk22k(1 xx1(
12)k12
)
k2( a2 2 )
k212
x11
xa2
a2 k1
1
a2
a2
k1
x1
1
x
x y x1
0
y
0 x 1
x1 k1( x 01 )
k
0 k1( x 1 k) k2 1k2
a 2
a2
kx1( x 1 )
k1( x a1
)1a2ak211
2 k1
k(x+△） x<-△
sin 0t△dt ψcoπs π t-ψ sin / A,cos 1 ( / A)2 2
xπ(-tAψ)ψ=NB(Aπ2Aω1πs)tiXn(2ωtx2k)t(k=At)NA[(2sAiAn)Aω1=a0BtrBc1414s1k1i+An012j20A2A2ky[0y12A(y((At(ty)=st)Ac)(isnt≈cBAoi)n2oss1Bsi1n01ttstddin(tdtωAtst))itns200i]nt]Adt>dt△t
函数的表示法 课件
一般地，列表法是指：列出 表格 来表示两个变量之间的对应关系. 函数三种表示法的优缺点：
类型一 解析式的求法 例1 根据下列条件，求f(x)的解析式. (1)f [f (x)]＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
(2)f(x＋1x)＝x2＋x12； 解 f(x＋1x)＝x2＋x12＝(x＋1x)2－2， ∴f(x)＝x2－2. 又 x≠0，∴x＋1x≥2 或 x＋1x≤－2， ∴f(x)中的 x 与 f(x＋1x)中的 x＋1x取值范围相同，
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出
水；③4点到6点不进水不出水.则正确论断的个数是( )
A.0
B.1
C.2 D.3
类型三 函数表示法的选择 例3 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩
及班级平均分表.
测试序号
姓名
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
解 由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9， ∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9， 即2ax＋3a＋2b＝2x＋9， 由恒等式性质，得23aa＝ ＋22， b＝9， ∴a＝1，b＝3. ∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
跟踪训练3 画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值， 最小值. 解 y＝2x2－4x－3(0<x≤3)的图象如右： 由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3. 由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5， ∴当x＝1时，y有最小值－5.
成绩
王伟
98
87
91
92
88
5描述函数分析
5.3.3 描述函数分析的可靠性 在以下三方面不够准确： ① 所预测的极限环的幅值和频率不精确 ② 预测有极限环，但实际不存在 ③ 存在预测不到的极限环
原因或解决方法：
① 计算机仿真很有必要
② 后两种情况并不经常出现，它们通常是因为违背了滤波假设或两条 曲线几乎相切造成的；在两条曲线几乎垂直的情况下，预测通常是
1 2 式中：A0 y (t )d t 0 2 1 2 An y (t ) cos n td t
0
Bn Yn
1
2
0
y (t ) sin n td t
2 2 An Bn
n arctan
An Bn
根据第4个条件，对于奇对称函数，
A0 0
由第3个条件，只考虑基波分量： y (t ) A1 cos t B1 sin t Y1 sin(t 1 )
w x x3 / 2
输出w(t ) A sin(t ) A3 sin 3 (t ) / 2可以展开成Fourier级数 基波分量是 w1 (t ) a1 cos(t ) b1 sin(t ) 3 3 而且a1 0, b1积分得b1 A A 8
所以基波分量是 w1 ( A 3 A3 / 8) sin(t ) 描述函数为 N ( A, ) 1 3 A2 / 8
可靠的
“硬”非线性：不连续非线性系统（它们不能局部地 用线性函数逼近）
饱和非线性
如：晶体管放大器、伺服电动机的输出力矩
开关（继电器）非线性
电子继电器、航天飞机控制中喷气发动机的输出力矩
死区非线性
直流电机转轴上的静摩擦作用