3D模型和匹配估计

flambert

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表面取向
对于物体表面上的一个点，可用一个切面或表面法向矢量 来表示。
物体表面方程为： z g ( x, y)
该表面的法向矢量为：
[ g(x, y) , g(x, y) ,1]
x
y
表面法向的梯度表示
表面梯度矢量（p，q）的分量分别定义为：
p g ( x, y) , q g ( x, y)
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3D数学历史
简单地说就是两个轴旋转到同一个方向上去了， 这两个轴平行了，因此就比原来少了一维。
过了一百多年，汉密尔顿（Sir William Rowan Hamilton）创建了四元数（quaternion）解决了 因为旋转而导致万向节锁的问题，然后四元数还 有其他用处，但在3D数学里主要是用来处理旋转 问题。
（1）需要在左右两幅图中寻找对应点，而为了在 所感兴趣的点上建立一一对应关系，有可能不存 在充分的视觉信息，如强度不够或颜色无法区分。
（2）由于遮掩或阴影的影响，景物中的某些部分 有可能只出现在立体对的一个观察点上。
而当基线Ly减小即两台摄像机靠近，遮掩虽然会 减少，但随之带来的是测深精度的下降。
3D数学历史
正是因为有了笛卡尔坐标，我们才能够用简单的 矩阵（Matrix）来表示三维变换。但用矩阵来表 示三维变换操作有一个无法解决的问题-万向节 锁。
什么是万向节锁呢？
万向节锁是指物体的两个旋转轴指向同一个方向。 实际上，当两个旋转轴平行时，我们就说万向节 锁现象发生了，换句话说，绕一个轴旋转可能会 覆盖住另一个轴的旋转，从而失去一维自由度。

ຫໍສະໝຸດ Baidu[(1
p2
1 ps p qsq q2 )(1 ps2
qs 2 )]1/ 2
图象亮度约束方程
反射图表示了表面亮度与表面朝向的以来关系，图象上一 点的照度I(x,y)是正比于场景中目标表面对应点亮度的。 所以：

I(x, y) = R(p, q)
这个方程称为图象亮度约束方程。它表明在图象中（x,y） 处像素的灰度I(x,y)取决于该像素由（p,q）所表达的反 射特性R(p,q)。
当我们用摄像机观察一个物体时，观察方向上由物体表面 小曲面元所产生的辐射强度L与光源从某一方向照射到物 体表面小曲面元上的照度E之间的关系，可以用双向反射 分布函数（BRDF-Bidirection reflectance distribution function)来描述，即：
f
(i ,i ,e ,e )
问题求解
反射图R(p,q)到图象灰度的映射是唯一的，但是，反过来 却不一定，有时甚至无限多个表面朝向可给处相同的亮度；
为了恢复表面朝向需要引入新的信息：利用在不同光线下， 采集的两幅图象可对每个图象点产生两个方程：
I1(x, y) = R1(p, q) I2(x, y) = R2(p, q) 如果方程线性独立，则有唯一解，否则，可以有多个解或
上式变换后得：
z f ( y2 y1 Ly ) ( y2 y1)
上式把物体与像平面的距离（3D信息中的深度） 与视差D（像坐标的差）直接联系起来，视差的大 小与深度有关。所以视差中包含了3D物体的空间 信息。另外世界坐标系的其他两个坐标也可以算 出来。
虽然双目体视的几何关系是非常明确的，但在实 际应用中仍然存在若干问题：
成像系统几何原理
Z δI
D/2 α
f
θ
α
δA
d
假定上述成像系统服从简单几何光学定律的理想 系统，物体表面上一个无限小曲面元δA反射的面 辐射强度L经透视投影到图像平面的便面元δI上， 而物体表面上其他部分的光线不会射到这块面积 上。图像中，点（x，y）处的表面元δI的照度 (入射光通量）经推导可得：
3D模型和匹配估计
——模型表示
3D数学历史
我们都学过几何学，应该都知道欧几里得（公元 前3世纪希腊数学家）这位几何学鼻祖，正是这位 大牛创建了欧几里得几何学，他提出了基于 X，Y， Z 三轴的三维空间概念。
到了17世纪，又出了位大牛笛卡尔，我们通常所 说的笛卡尔坐标就是他的创造，笛卡尔坐标非常 完美地将欧几里得几何学理论与代数学联系到一 块。
形状分布方法计算3D模型的几何信息（如测地线距离，角 度，面积等）对该项几何信息用直方图表示，通过对比两 个模型的直方图来计算两个模型的相似度。该方法具有平 移，缩放，选择的稳定性，具有鲁棒性，然而对模型检索 的准确率低。
旋转不变描述符对现有3D模型分成n个大小相同的长方体 块，对需要进行比对的模型进行直角内沿坐标轴方向的旋 转，根据每个长方体块中顶点重合数目对长方体块进行分 类，比对各类长方体块数量，并应用直方图表示。
x
y
于是，表面的法向矢量可表示为[-p,-q,1]。
梯度空间是物体表面斜率的一个二维空间，该空间是用面 向观察者的坐标系定义的，这一概念对于理解面法线的恢 复变换算法特别有用。
反射图
BDRF对于理解物体表面的反射是很重要的，但理解图像形 成过程所需要的是反射图。反射图考虑了光源分布的特性 和物体表面具有的反射性质，它使物体表面取向与亮度之 间的关系一目了然。考虑一个朗伯表面，其指向为[-p,q,1]，光源的照度为E，则该表面元的辐射强度为（以观 察者为中心的坐标系统）
者无解。 实际情况常使用3个不同的光源，这不仅可使方程线性化，
更重要的是可提高精度和增加可求解的表面朝向范围。
从双目图象中获得深度
人的视觉的功能之一是通过双目体视来重构世界的三维表 示，也就是通过把在两个不同视点所得到的一对二维图像 进行组合，建立其周围表面的深度。由于这种双目体视是 在自然照明的情况下进行的，而且人的眼-脑组合的如此 有效，使得被动立体测距成为机器视觉三维感知的一种重 要方法。
双目成像的几何关系图
X1/x 1
y1 x1
y2 x2
(x1,y1)
(x2,y2)
B
f
O1’ O1
B X2/x 2
O2 O2’
镜头中心
Z1
（ X1/X2，Y1/Y2， Z1/Z2）
Z2
深度的计算
根据摄象机成像模型：
y1 Y1 f z f y2 Y2 f z f Y2 Y1 Ly

L(e ,e ) E(i,i)
双向反射分布函数BRDF
法线 θ
光线
法线
观察者 (θe, φe)
光源 (θi, φi)
φ
BRDF可用来定义一种朗伯（Lambertian）表面， 这种表面具有这样一种性质：在均匀照明即平行 光照明情况下，从任何视点方向去观测其表面的 亮度都是相等的，即：
L

(E

) c os(i
)
式中 i 是照射光与朗伯表面取向的夹角。
如果光源在 s ( ps ,qs ,1) 方向上，则：
cosi
1 ps p qsq 1 p2 q2 1 ps2 qs2
由此得到场景亮度与表面朝向的关系，记这样得到的关系 数为 ：
R(
p, q)
（3）满足对应点匹配计算的候选点，有可能出现 假对应。
3D模型形状分析
3D模型检索技术拥有较好的实用价值，美国普林 斯顿大学提供的检索系统是最具有代表性的成果。
一般模型检索的流程包括：对3D模型坐标预处理 和标准化；根据检索的时效性和准确度要求，应 用适当方法对模型进行特征提取；对特征提取结 果做相似性度量，从而得到提取结果。
E(x, y) ( d ) 2 cos4 ( )L
4f
通过公式可以得出两个有意义的结论：
（1）光轴附近cos4α=1，图像照度与景物的面辐 射强度L成正比；
（2）比例因子含有轴偏角α的四次方，在理想情 况下，应对成像系统进行标定和校准，以消除灵 敏随α的变化。
表面反射系数
成像过程的一个基本物理性质是物体的表面发射，它确定 了图像中物体的“亮度”与成像环境固有的性质和几何结 构的依从关系。表面反射系数是在任何给定方向上，表面 反射的面辐射强度在给定入射光通量中所占的比例。
3D模型形状特征分析方法
3D模型形状分析应该达到计算消耗低，存储空间 小，具有平移、缩放、旋转的稳定性，有较强的 描述能力，并不容易被噪声干扰的目标。对于目 前国内外的研究情况，形状分析主要分为统计特 征、拓扑特征和变换特征三种方法，除此之外也 存在一些值得借鉴的其他方法。
统计特征提取时三维检索特征提取中应用最多的方法，该 方法可以适应各种形状的3D模型，计算复杂度相对较低， 并且不容易被噪音干扰。然而对于特征的分辨能力较弱。
基于统计特征提取的方法主要包括光线描述符、形状分布、 旋转不变描述符、参数统计量等方法。
光线描述符法是对于每个3D模型，将模型进行标准化处理， 使模型处在一个长度为单位长度的最大外切球中，从圆心 位置发射n条方向均匀的射线，判断射线与模型三角片面 相交情况，将每条射线与模型表面交点与圆心的连线长度 作为该射线的特征值，用特征向量作为模型提取出的特征。 该方法简单但准确率低。