第六章 随机规划

第六章 随机规划

第一节 问题的提出

随机规划所研究的对象是含有随机因素的数学规划问题。例如，我们熟悉的线性规划问题

CX X f =)(min

≥=X b AX （6.1） 如果其中的A ，b ，C 的元素中部分的或全部的是随机变量，则称其为随机线性规划问题。

在数学规划中引入随机性是很自然的事情。在模型中的A ，b ，C 的元素常常代表价格、成本、需求量、资源数量、经济指标等参数。由于各种不确定性因素的影响，这些参数经常出现波动。例如，市场上对某种商品的需求量一般无法精确的预知，只能作出大致的预测，某种产品的生产成本往往受原材料价格、劳动生产率等各种因素的影响而经常变化，这些变化与波动，在许多场合可以用一定的概率分布去描述。因此，在数学规划中引入随机变量，能够使模型更加符合实际情况，从而是的决策更加合理。 例1 某化工厂生产过程中需要A ，B 两种化学成分，现有甲、乙两种原材料可供选用。其中原料甲中化学成分A 的单位含量为10/a ，B 的单位含量为3/a ；原料乙中化学成分A 的单位含量为10/1，B 的单位含量为3/1。根据生产要求，化学成分A 的总含量不得少于10/7个单位，化学成分A 的总含量不得少于3/4个单位。甲、乙两种原料的价格相同，问如何采购原料，使得即满足生产要求，又是的成本最低？

显而易见，这个问题可以用线性规划模型来描述。根据题意，设原料甲的采购数量为1x ，原料乙的采购数量为2x ，容易得到如下线性模型：

21)(m in x x X f +=

,047

212121≥≥≥+≥+x x x bx x ax （6.2）

于是只要知道a 和b 的值，立即可以求得最优解。

但是，如果由于某种原因，原料甲中化学成分A 、B 的单位含量不稳定，其中T b a ),(=ξ是矩形}13

1,41{≤≤≤≤y x 内的均匀分布随机向量，则问题（7.2）就成为随机线性规划问题了。

由于引入了随机量，随机规划问题的分析与求解比普通数学规划问题要复杂大多。在处理随机规划问题时，人们最容易想到的方法也许是将模型中的随机变量用它们的期望值来代，从而得到确定性的数学规划模型，再去求解。事实上，过去许多确定性数学规划正是这样建立起来的，但是应当指出，这种处理方法在实际问题中并不总可行的。为了说明这一点，我们不妨用此方法试解例1中的问题。容易求得

T T b a E E )3/2,2/5(]),[()(==ξ， （6.3） 将此值代入问题（7.2），得到确定线性规划模型如下：

21)(m in x x X f +=

,043

272

5212121≥≥≥+≥+x x x x x x （6.4） 可以求得此问题的唯一最优解为

T T x x X )11/32,11/18(),(*2

*1*==， （6.5） 于是以此*X 作为原随机线性规划问题（7.2）的最优解。可是，由于问题（7.2）中的T b a ),(是随机向量，我们自然希望知道，上述*X 是问题（7.2）的最优解这一事件的概率有多大？是问题（7.2）的可行解这一事件的概率有多大？然而，我们发现，

4/1}3/2,2/5),{(}

4,7),{(*2*1*2*1=≥≥=≥+≥+b a b a P x bx x ax b a P T T ， （6.6）

也即，*X 对问题（7.2）是可行解以0.75的概率是不可能的，只有0.25的可能性，这个解显然是不可用的。这个例子说明，用上述方法处理随机规

划问题时应当十分谨慎。

随机规划问题可以大致分为两种类型：被动型和主动型。被动型即所谓“等待且看到（wait and see ）”模型，即决策者等待着观察问题中随机变量的实现，然后适当地利用这些实现的信息作出决策，分布问题即属于此种类型。主动型即所谓“这里且现在（here and now ）”模型，决策者必须在没有机变量的实现的信息的情况下就作出决策，二阶段问题和机会约束规划均属于这种类型。

第二节 分布问题

一、分布问题的提法

例1 设某工厂生产几种产品，需要用m 种原料。第j 种产品对第i 种原料的单位需要量为ij a ，第i 种原料的拥有量为i b ，第j 种产品的单位利润为j c ，试问如何安排各产品的生产量j x （),...,1n j =），以使的在现有条件下利润最大？

容易列出这个问题的线性规划模型为

∑==n

j j j x c X f 1)(max

n

j x m i b x a j i n j j ij

,...,1,0,...,1,1=≥=≤∑= （6.7）

进一步考虑后，发现上述模型中的系数ij a 总存在误差，故认为ij a 是服从正

态分布的随机变量；而单位利润系数j c 亦可能随市场价格波动而变化，此

外原料拥有量i b 也可能因运输、保管等原因而发生短缺。于是，上述系数均

可视为随机变量，记为)(w a ij ，j c )(w ，)(w b i ，Ω∈w （n j m i ,...,1;,...,1==）。为了合理安排生产，显然希望知道，在各种可能的情况下，)(max X f 的值是什么，也即希望知道)(max X f 的分布如何，或者希望知道)(max X f 的数学期望是多少。

也就是说，对于每个样本Ω∈w 求解一个线性规划问题

∑==n

j j j x w c X f 1)()(max

n

j x m i w b x w a j i n j j ij

,...,1,0,...,1),()(1=≥==∑= ， （6.8）

然后再求)(max X f 的分布。这就是本节将要讨论的分部问题。

一般地，所谓分布问题就是对于每个样本Ω∈w 求解一个线性规划问题

X w C w )(min )(=ξ

)()(≥=X w b X w A ， （6.9） 并求)(w ξ的分布函数或其他概率特征。

上述问题中，)(w A 为随机矩阵，)(w b 和)(w c 分别随机向量。显然为使上述分布问题在数学上有意义，首先要求)(w ξ必须是一个随机变量，即)(w ξ是概率空间),,(P P Ω上的Borel 可测函数。对此有如下定理。

定理 1在上述分部问题中，最优目标函数值)(w ξ是一个随机变量，并且适当选择后可以找到该问题的一个最优解)(*w X 为随机向量。

随着w 的变化，问题（7.9）的最优目标函数值)(w ξ可能有限，也可能为无穷大。如果)(w ξ取∞+活∞-的概率大于0，则)(w ξ的数学期望及其它概率特征均不存在，从而该问题在许多情况下将无实际意义。因此，我们感兴趣的是：1))(:(=+∞<<-∞w w P ξ的情况，此时问题的最优值称为无缺陷的分布。

对于分部问题可以像对待普通线性规划那样按照参数规划的思路来讨论和求解，比如单纯形法、灵敏度分析等。