最新台球技术问题的数学模型

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台球桌上的秘密——最短路径问题

此时ZUMN的周长最短。
图9
图10
【思路解析】
思路一:如图10,作点A关于ON的对
称点人，过点人作0M的垂线段由C,交射线
ON于巨B。
思路二:如图11,作射线0M关于ON 对称的射线0M,,过点A作射线0陆的垂线段4C,交射线O/V于点B。
（作者单位:江苏省海安市李堡中学）
图8
图6
图7
【拓展提升】如图7,在五边形ABCDE
中，ABAE= 120°,山="=90。，在 BC、DE 上
分别找一点M、N,使得4AMN的周长最小，
则厶4MN+"NM=_________ o
【思路解析】如图8,作点4关于BC的
对称点人,作4关于DE的对称点人,连接
AtA2,与BC的交点为M,与DE的交点为N,
由对称可知,厶B4M=ZAi, Z-NAE=^A1O 在中，•/ "虫42=120°,Z.A1+ “2=60°。又 T ^AMN=jLBAM+Z_Ai=2Z-A |, AANMZ-NAE+Z_A2=2^2, .-.^AMN+/LANM=2^At +2zS42=120°o 【拓展提升】如图9,点人是锐角厶M0N 内部任意一点、，在射线ON上取一点、B,使 B4与点B到射线0M的距离之和最短。
台球桌上的秘密 — —最短路径问题
亟陈玲玲
【问题情境】如图，台球桌上有一个白球、一个红球，如何用球杆去击白球，使其撞到汕边反弹后再撞到红球？
A
B
【思路解析】台球桌上隐藏的秘密实
际上是“光线反射”原理，在数学上反映的
是“利用轴对称，求最短路径”的本质问
题。建构数学模型:如图1,已知点M、N在

台球运动中的数学原理

台球运动中的数学原理摘要：在现实生活中，台球作为一种娱常见的乐消遣活动，因为娱乐方式很简单，几乎所有人都接触过，首先提出本文的目的是为了更好的帮助桌球初学者提高桌球技术，本文主要是利用数学原理及物理原理找到击球角度与击球后目标球运动的方向问题，最后给出与击球角度有关的数学公式。

关键词：数学原理；击打一、问题重述现实生活中，台球作为一种常见的消遣活动，因其娱乐方式很简单，几乎所有的朋友都接触过这种运动，当然，对于大部分人来说，所谓高手就是打得次数很多，经过了大量的练习；而普通选手或者说菜鸟之所以不能够准确打进球，是因为不具备专业球手那种指哪打哪的能力。

本文讨论的是在近距离击球时，击球的角度与击球后目标球的运动方向的关系问题，本文需要解决的问题是球在目标球，白球及袋口位置确定后假设球球心与目标球球心的连线和BA的延长线的夹角的公式，如图1所示。

D图1二、问题分析首先进行一些简单的定义，把需要打进的球定义为目标球，击打目标球的球称之为白球，进球口称为袋口。

因为本文阐述的问题与具体球袋(一个球台有四个角袋和两个中袋)的位置没有关系，因此下文，主要以中袋作为研究的切入点。

而且本文只考虑传统的击球方式，即采用球杆击打白球的中心去碰撞目标球，因此这里所说的击球点仅指得是白球碰到目标球的点位，而非球杆击打白球时的点位。

而且下文所涉及到的进球仅指直接进球，通过反弹方式进球不在本文考虑之内。

图2 中最上部是中袋的一个示意图，其中心为P 点，假设有一目标球位于距中袋一定距离的垂直正下方某点(除掉袋口球，这种球与击球点已无关系)，用 C 点表示其几何中心，MN 是和球台侧壁相平行的一条假想直线，A 表示任意白球球心所在方位，首先，总的来讲，A点只有位于MN 虚线以下的任何一点才有可能把目标球打进中袋，因为，假设白球和目标球的接触点为O 点，根据力学中的碰撞原理[1]，只有白球去撞击了O 点，目标球才有可能进袋(从理论上来说，因为袋口的宽度要比球的直径稍大，如果白球不是正好撞击在O 点，而是撞击在距离O 点极小距离的左右某一点上，也有进球可能，但是为了说明问题的方便性，本文只考虑球袋中心进球情况)。

台球技巧之图解多库解球的技法

台球技巧之图解多库解球的技法在介绍一库解球之前，先解释一个台球常用名词，就是＂库＂．台球桌面的四周用台呢包覆，用橡胶条衬里的边岸，英文名词叫＂CUSHING＂，我国台球界称之为＂库＂或＂颗星＂，是取其英文的中国话．１．利用对称点一库解球如图一所示，将主球放在三个不同的位置A1A2A3对目标球B进行一库解球．只要对准B球的一次对称点B1，就能实现一库解球．可以有三条一库解球路线．２．利用平行线一库解球图二是利用平行线来实现一库解球的典型球势，目标球B被彩球所挡，且离彩球较近，主球如果稍有偏斜就可能撞上彩球．可采用平行线法，先取B球相对于彩球C的对称点B１，过彩球C作直线垂直于上岸交于b点．以B1到b点的直线为基准线，再从主球作直线平行于B 1b并交于上岸a，那么ba线段的中点e就是一库解球的瞄准点．（另外还有一些经验的吃库瞄准方法：1、若要吃库击母球A打B，过A和B做库的垂线AD、BE，连接BD、AE，交点为C，过C做库的垂线CO，O即为瞄准点（图2）。

在标有ept的彩图上面，要将花球打进下面中袋，只要将花球瞄准至图中白线和上库的交点。

此主题相关图片如下：5.jpg）第二部分两库解球在台球运动中，经常遇到用一库不能解决解球问题的球，这就要用二库进行解球．但是，台球在二库碰撞中由于岸边台呢的摩擦作用使球发生旋转，所以台球在第二次碰岸时反射角小于入射角，不能按理想的轨迹运动．因此，二库解球技法不同于一库的地方，主要是应进行旋转修正．１．用对称点或平行线进行二库解球（贴岸球）如图三所示的，利用平行线可破下岸腰袋口和左侧的目标球；如图四所示的，利用主球A对目标球B的二次对称点B1并加旋转修正，可破左上角袋旁的目标球．２．等距二库解球如图五所示，主球和目标球离上岸的距离相等，这时二库解球瞄准点e的确定就比较简单，只要取平行线所形成的线段的中点就可以了．过目标球Ｂ对左下角袋O1作基准线BO1，过主球A作直线平行于BO1，取线段O1a1的中点就是二库解球瞄准点e1的位置，对左上角袋02也同样可作基准线BO2，过A作平行线Aa2，求得e2．注意要进行旋转修正．３．对折二库解球（N形解球）二库解球的又一种技法是利用上下岸的对折来实现，统称为（N）形解球，如图六所示．关键是如何确定解球点e.如果AB两球离上岸为等距离，则可先判定两球的距离ab，则ab的四分之一处就是解球点e的所在位置．大家可能回问，如何考虑主球的旋转修正量？从图上可以观察到，主球先向上右方向碰岸，产生顺右旋，然后以下左方向碰岸，产生逆左旋，这样就左右对消，所以上下折射二库解球不需进行旋转修正．第三部分三库解球斯诺克台球的三库解球问题比二库解球更复杂，一般都认为难以确定解球瞄准点，因此望而却步．三库解球存在一定的可。

台球与博弈论如何制定最佳策略

台球与博弈论如何制定最佳策略策略在任何竞技游戏中都是至关重要的。

而在台球与博弈论中，制定最佳策略更是决定胜负的关键。

本文将从台球和博弈论两个方面探讨如何制定最佳策略，并分析其中的原理和方法。

一、台球中的最佳策略1. 分析球桌布局：在台球比赛中，首要任务是分析球桌的布局。

这包括考虑球的位置、球与球之间的相对位置以及球桌边角的位置等。

通过细致的观察和计算，可以得出最佳的球击球顺序和击球力度，以争取更好的球位。

2. 考虑球桌边角位置：在制定最佳策略时，球桌边角的位置是需要特别注意的。

通过巧妙地利用边角，可以使击球后的球体更容易得到理想的球位。

因此，合理利用球桌边角是制定台球策略的重要一环。

3. 考虑对手策略和球的状态：在台球比赛中，了解对手的策略和球的状态也是制定最佳策略的关键。

通过观察对手的击球方式和球的堆叠情况，可以预测对手下一步的战略，并相应地制定自己的策略。

4. 灵活应变：在台球比赛中，面对不同的局面和对手的不同策略，制定最佳策略需要具备灵活应变的能力。

根据实时的局势变化，及时调整自己的策略，并根据不同情况调整击球力度和角度，以达到最佳效果。

二、博弈论中的最佳策略1. 需求分析：在博弈论中，制定最佳策略首先需要对各方的需求进行分析和评估。

通过了解各方的目标和利益，才能在博弈中找到最佳策略。

2. 选择合适的博弈模型：博弈论研究了许多不同的博弈模型，如零和博弈、合作博弈、非合作博弈等。

在制定最佳策略时，需要根据具体情况选择适合的博弈模型，并在此基础上进行分析和决策。

3. 分析对手策略：在博弈中，对手的策略是制定最佳策略的关键因素。

因此，需要通过对对手的行为和决策进行分析，预测对手的策略，并相应地制定自己的策略。

4. 考虑风险与收益：在制定最佳策略时，需要综合考虑风险与收益。

在博弈过程中，对某些决策做出权衡是必要的。

通过分析不同决策的风险与收益，选择最佳的策略来优化结果。

5. 实施与调整：博弈论中的策略制定并不是一次性的决策，而是需要根据实际情况进行实施和调整。

台球技术与数学应用

情况一当母球与彩球的中心及球袋中心在一条直线上时，只要瞄准彩球的中心，这样撞击后彩球可以运动到球袋的中心，进入球袋。

情况二当母球与彩球的中心及球袋中心不在一条直线上时，则下杆时要偏移一定的角度，瞄准点在彩球中心附近一点，确定该点方法如下：彩球位于B点，母球在A点，球袋中心为P。

为了让彩球B沿直线BP运行到P处，瞄准点应在直线BP的反向延长线上的某一点。

以B为圆心，台球直径为半径做一个圆，延长BP和圆交于点O，O就是所求的瞄准点。

（球杆的击打方向与参照直线ＡＢ形成∠BAO=α,调整α使∠OBA=β理想。

）在△ABO中,用余弦定理∣AO∣２=∣AB∣2+∣BO∣2−2∣AB∣∣BO∣cosβ求得:∣AO∣=√∣AB∣2+∣BO∣2−2∣AB∣∣BO∣cosβ用正弦定理∣AO∣sinβ=∣BO∣sinα求出的α的理论值。

α=arc sin√∣AB∣2+∣BO∣2−2∣AB∣∣BO∣cosβ（0°≤β≤90°）⑴（在实际中已知︱AB︱,︱BO︱,β取理想值，可计算α的大小）角度大小估计与长度距离的估计的转化我们在一定条件下已计算了的理论值，然而人的眼睛与手不容易打出这个理论值α，因为在人们的日常生活中，对长度的估计比对角度的估计相对准确，所以我们可以把对角度的估计转化为对长度的估计。

以球杆长为腰，构造等腰三角形，得到D=2L sinα2即球杆以母球为顶点，以AB为参照，球杆向彩球同侧转动，球杆末端移动D，即获得α角，这是最佳击球位置。

D误差角度分析与计算误差分析在打球时实际的偏角α与理想的β的取值是允许有误差的，这是因为球袋口的入口比台球的直径要大，只要经过球杆与母球的撞击、母球与彩球的撞击，把偏角α的误差传到β的误差，使其误差范围不超过球袋入口的直径即可，这个误差也是可以估计的。

如上图所示，当彩球被击到O或O’时可以进袋，O和O’是彩球进袋的“临界位置”，如果彩球球心的运动轨迹处在O和O’之间就可以保证能进球袋，所以我们就可以考虑球心在这两点时的β角，算出临界角度β1和β2，只要撞击后的角度在[β1,β2]之间，就可以使得彩球的球心轨迹在O和O’之间。

台球技术问题的数学模型

台球技术问题的数学模型肖习雨陈家跃扬姗姗（韶关学院数学系，512005）摘要利用物理学碰撞原理,分析台球碰撞后的运动轨迹,确定了理想的瞄准点.当母球和彩球的位置确定后,通过建立三角关系式,得出了瞄准时球杆的偏移角度,使下杆时有了理论的依据,解决了下杆时如何瞄准的问题.通过角度和距离的转化, 把不容易用眼睛估计的角度变换为对距离的估计.然后再根据实际情况,引入误差分析,在某一个误差范围内都可以把彩球打入球袋里.使得瞄准后知道如何更好下杆.还分析了一个状态,下杆时球杆和参照线角度在0015.468.4和之间(相应的估计距离在cm cm 25.1286.10和之间)就可以入球.关键词：台球模型;瞄准点;角度估计;距离估计1 问题的提出台球运动场地小，是室内运动，不受季节、天气、时间等因素影响；台球的运动量不大，不会耗费大的体力，适合任何人；台球是一种智力的体育活动，趣味性很强.台球运动在我国已十分普及，从城市到乡村，到处可见，成为中国人健身娱乐的项目之一.优秀台球手的技术能给人深刻的印象，他们能从各种距离和各个角度击球入袋.初学者应不断地努力训练，学会如何操杆撞击球，使母球与彩球相撞，将彩球以合适的角度和速度送进袋中.试对台球技术问题建立数学模型，指导初学者，帮助他们提高技艺.台球的网口虽然很小，但有较小的余地，即使你不是瞄得很准球也能入网.人的误差总是存在的，所以一个有趣的问题是在一次击球中允许多大的偏差，仍能保证彩球进入球网.这里考虑台球桌上只有母球和一个彩球.2 模型的假设2.1台球桌面绝对平滑，不存在凹凸；2.2没有撞击的台球运动轨迹是一条直线；2.3两个台球碰撞等同于物理上两个刚体的碰撞；2.4两个台球的运动速度不受摩擦的影响；2.5两个台球的形状质量完全一样；2.6碰撞轨迹与母球的初始速度无关.3 模型的准备v)3.1撞击后台球的运动轨迹(母球碰撞前瞬间的速度为V，彩球静止03.1.1 母球和彩球位于同一直线上母球和彩球位于同一直线，即彩球的球心在母球的运动轨迹所在直线上.当母球以速度V撞击彩球，撞击瞬间，母球的动量全部传递给彩球，母球立刻停止运动.根据动量守恒：V，'v V.MV++，即有'0=mv''mvMV3.1.2母球和彩球不在同一直线上母球和彩球不是在同一直线，即彩球的球心不在母球的运动方向上.母球撞击彩球，撞击瞬间后，两球的速度符合以原母球速度为对角线的“矩形定则”，碰撞后的母球和彩球运动方向互相垂直，瞬间的母球与彩球的速度夹角成九十度，构成了矩形的两个边，这个矩形对角线，就是原母球的速度.3.2 瞄准点的确定3.2.1 母球和彩球的球心与球袋中心在同一直线上当母球和彩球的球心与球袋中心三者在同一条直线上时，只要瞄准彩球的球心，这样碰撞后彩球便可以运动到球袋的中心，进入球袋.3.2.2 母球和彩球的球心与球袋中心不在同一直线上当母球和彩球的球心与球袋中心三者不在同一条直线上时，则下杆时要偏移一定的角度，这时瞄准点不是彩球的中心点，而是在这个中心点附近的某一点.具体确定该点可以按如下的方法：假想彩球球心与球袋中心上有一条连结二者的直线，而你向彩球击出母球时，如果碰撞时母球与彩球的接触点正好在这一条想像的连线上时，彩球就会朝球袋中心前进.而在接触瞬间时母球的中心点就是假想中心点.说得更清楚一点，我们可以在彩球球心与球袋中心连线上假想有一颗球与彩球正好紧密地靠在一起，而这颗假想球的中心必须是在这条假想的连线上.当你击球的时候，就是要把母球击向这一颗假想球的位置上.当母球被击出而能运动到在这个位置上，然后再碰触到彩球时，彩球就会顺利入袋.因为在碰触的那一瞬间，母球和彩球的球心与球袋中心正好在一直线上.设彩球在台面上A处，母球在O处，为了让彩球A可以沿直线AP运行到球袋开口中点P处，我们的瞄准点应该在直线AP的反向延长线上的某一点.具体的做法如下:以A为圆心,台球的直径为半径作一个圆.延长AP和圆相交于点'O,'O就是所OO就是母球的理想轨迹.求的瞄准点.而'4 模型的建立4.1 三角关系模型的建立为了简化问题，便于分析，我们把台球桌上的状态简化如下：A 是母球原位置，B 是彩球的位置，C 是瞄准点.母球原位置A 与彩球原位置B 决定一条有向直线AB ；母球运动方向决定一条有向直线AC ；彩球碰撞后运动方向决定一条有向直线CB .这样就构成一个三角形ABC .根据瞄准点的确定，知道碰撞点在BC 中点，所以|BC|=2d ,在某一个特定的状态下||BC 也是一个定值.所以在ABC ∆中我们在击球时能控制调整的是BAC ∠，通过控制调整BAC ∠使ABC ∠达到理想值，进而使彩球能顺利入袋.βα为为记ABC BAC ∠∠,.在ABC ∆中，由余弦定理得βcos ||||2||||||222BC AB BC AB AC -+=βcos ||||2||||||22BC AB BC AB AC -+= ……………… (1) 由正弦定理得：αβsin ||sin ||BC AC = ……………… (2) 于是αββsin ||sin cos ||||2||||22BC BC AB BC AB =-+ ……………… (3) 4.2 分析一个特定例子在某一个已知的状态中，可以视|AB|和|BC|为已知的值，α与β为变量，那么该方程反应了变量α与β的必然联系.击球时就可以通过控制和调整α的大小，来决定β的大小.在实际中，已知|AB|,|BC|,β取为理想值，便可以计算α的大小.由(3)式可得)900()cos ||||2||||sin ||arcsin(0022≤≤-+=βββαBC AB BC AB BC (4)我们假设某一个状态中，台球半径d=2.5cm ，彩球与母球的球心距离为5Ocm ，β的理想角度为045，这时候才能使彩球落进球袋中心.我们可以计算出α的值.把已知代入上述公式得：002204.4)076.0arcsin())45cos(5502550)45sin(5arcsin(==⨯⨯-+=α.也就是说，当球杆的击打方向与参照线AB 形成04.4夹角，可把彩球准确打入球袋.4.3 角度大小估计与长度距离的估计的转化利用上面的模型，我们在给定某一个条件下已计算出了α的理论值，然而人的眼睛与手是不容易打出这个理论值(04.4)的.也就是说：我们怎么做才能更好的打出和参照线||AB 成04.4的夹角呢? 因为人的生活经验对长度数量的直观估计比对角度数值的估计要相对准确，所以我们可以把对角度的估计转化为数值长度的估计.假设顶角为α，以球杆长度为腰，构造一个等腰三角形，得到:2sin()2D l (5)所以利用这个公式来把握要好一些.在上面一个状态里，假设球杆长150cm ，那么cm d 5.11)2.2sin(15020=⨯⨯=即，当用150cm 长的球杆打球时，只要将球杆以母球为顶点，以AB 为参照线，将球杆向与彩球同侧稍加转动，使球杆未端移动约11.5cm ，即可获得04.4的角度，这是最佳击球位置.5 考虑实际的误差的情况5.1 误差的大小分析在打球时，实际的偏角α与理想的β取值是允许有误差的.这是因为球袋口的入口直径比台球直径要太.只要经过球杆与母球击打、母球与彩球碰撞，把偏角α的误差传到β的误差范围不超过球袋口的直径即可.这个误差也是可以估计的.如上图所示，当彩球被击到O O '或者时还可以进球袋，O O '和是彩球能进球袋的“临界位置”，如果彩球球心的运动轨迹处在O O '和之间就可以保证能进球袋.所以我们就可以考虑球心在这两点时的β角，算出临界角度l r ββ和，只要撞击后的角度在[]l r ββ,之间，就可以使彩球球心的运动轨迹在O O '和之间了.5.2 误差角度计算由基本的几何知识知道：OCB CA O r l ∠-=∠+=ββββ,'.BCBO OCB =∠)tan()arctan(BC BO OCB =∠ ………………(6) 同理)arctan(''AC AO CA O =∠ ………………(7) 由（4）式可以计算出[,]l r :)cos ||||2||||sin ||arcsin(22l l l BC AB BC AB BC ββα-+= ………………(8) )cos ||||2||||sin ||arcsin(22r r r BC AB BC AB BC ββα-+= (9)5.3 误差对下杆影响在某一状态下，只要击球的角度偏差不要太大，范围在l r αα和之间，就可以保证彩球可以进球袋.与上面相同的情况下，假设'1.5, 1.5,40BO cm AO cm BC cm ，038.0)tan(==∠BCBO OCB ,即是02.2=∠OCB ，同理得到0'2.2=∠CA O . 0000045 2.242.8,l r 0=45+2.2=47.2,分别代入（8）式和（9）式得到004.68, 4.15l r .同样地，可以把角度转化为对距离的估计：cm d cm d 86.10)215.4sin(1502,25.12)268.4sin(150221=⨯==⨯= 以AB 为参照线，下杆时只要距离估计范围在[10.86,12.25]cm cm 之间，就可以把彩球打入球袋.6 模型的应用及推广6.1 在实际的台球技术中，文章可以对初学者有一定的指导作用.可以避免初学者盲目的练习.可以有针对性的练习和提高对角度和距离的估计，这样对入球会有明显的提高.6.2 台球游戏的开发中，编程设计时可以借鉴本文的一些结果.6.3 对物理学上的粒子碰撞和碰撞后的粒子轨迹的研究，也有一定的参考价值.７参考文献[1] 李钧.台球撞击的偏角方程[J].中学数学杂志(高中).20OO 年.第2期.30-31[2] 戴俊, 傅怀梁,等.一个边界振荡的台球模型[J]. 扬州大学学报(自然科学版).2004年11月第7卷第4期.27－31[3] 李东升.台球桌上的物理问题.中学物理教学参考.2002年.第31卷.第1～2期.28[4] 刘宗良.台球桌上的数学.数学教学.2005年.第5期.23。

台球就是性能工程

台球就是性能工程展开全文所谓的性能工程，是指在现有的性能表现上加以管理，用以达到自己计划上要达到的性能要求。

一上来就有个定义，把所要讲的问题分清楚，接下去就是两个话题：1、怎么分析台球的性能工程；2、不要指望能做到物理上达不到的性能盲区。

一、台球的性能工程当用球杆击打完白球后，白球产生的冲力和旋转是可以管理的白球打击性能；当白球撞击完目标球后，目标球以什么速度奔向袋口，以及白球会怎么走位，是撞击后的性能变化，是初始性能叠加撞击后的性能表现。

用这样一段文字进行概括后，基本就有简单的数学模型了，如下：{ 初始白球=打击函数（冲力，旋转）；白球走位=撞击函数（撞击角度，完整打击函数）；目标球走位=被撞击函数（撞击角度，打击函数的冲力部分）撞击角度=瞄准目标球进袋的角度；附加：因打击和撞击的时间有限，不考虑打击函数的衰减问题。

}有不同意见的可以提出，我也不是专门做这个物理学研究的，提出这个想法也只是一种爱好。

这个函数的表面是非常好理解的，以白球走位的旋转为例：低杆旋转会加大撞击角度本来反应出来的分离角，高杆则减少分离角；如果撞击角度比较直，那就没有什么分离角，旋转转化为继续前进或拉回；目标球受撞击后，一般不受白球旋转原因的影响，只有力度的传导。

很简单吧，简直是废话中的废话；接着我们看下面要讲的内容，性能上的盲区。

二、性能上的盲区这部分才是精华。

是考虑解决问题时的倒退算法，真正要算的时候，细节都是魔鬼。

1、不可能有力量小而旋转大的打击函数！简单释义：如果目标球是一个袋口贴边球，入袋时不能速度和力量过大，否则会撞袋弹出，那你就不用去想旋转要求大的杆法了，那是不可能实现的。

用最平庸的小力杆法去推白球吧，这个打击函数旋转的取值几乎没有。

2、不可能有需要一定力量，又有一定分离角的极小白球走位函数！简单释义：目标球不是洞口球，而且是个较薄的打击，虽然你的下一个目标球就在附近，你也不可能打进这个，还能尽可能地少走动白球而走到下一个目标球。

台球桌上的数学问题

台球桌上的数学问题
摘要：
1.引言：介绍台球桌上的数学问题
2.目标球和袋口的角度问题
3.球的反弹和旋转问题
4.结论：总结台球桌上的数学问题
正文：
在台球这项运动中，人们常常会发现许多有趣的数学问题。

在这篇文章中，我们将探讨两个主要的数学问题：目标球和袋口的角度问题以及球的反弹和旋转问题。

首先，让我们来看看目标球和袋口的角度问题。

在台球比赛中，选手需要将球击入对面的袋口中。

为了成功击中目标，选手需要精确地计算出球与袋口之间的角度。

这个角度的计算涉及到了三角函数的知识，选手需要根据球的位置、目标球的位置以及袋口的位置来计算出击球时的角度。

如果计算不准确，就有可能导致球偏离目标，无法进入袋口。

其次，我们来看看球的反弹和旋转问题。

在台球比赛中，选手常常会使用旋转球来控制球的行进路线。

他们需要精确地控制球的旋转速度和方向，以便让球在碰到桌面后按照他们预想的路线反弹。

这个问题涉及到了物理学中的反弹和旋转原理，需要选手对这些原理有深入的理解。

总的来说，台球桌上的数学问题涉及到了许多数学和物理知识，需要选手对这些知识有深入的理解。

台球与数学如何利用几何原理提高击球准确性

台球与数学如何利用几何原理提高击球准确性在台球运动中，击球的准确性是取得成功的关键之一。

而要提高准确性，数学中的几何原理可以给我们很大的帮助。

本文将介绍如何运用几何原理来提高台球击球的准确性。

一、角度的选择在击球时，选取合适的击球角度是决定击球准确性的重要因素之一。

几何学中的角度概念可以帮助我们正确地选择击球角度。

几何学中的垂直线和水平线是决定角度的基本工具。

首先，需要观察球杆和目标球的相对位置，利用几何原理，找出垂直于目标球的直线。

然后，以目标球为圆心，画出合适的圆弧，找出水平线。

击球角度就是两者交汇点与目标球的连线所形成的角度。

而具体选择何种角度需要根据实际情况来决定，不同的击球距离、目标球位置等都会对角度起到影响。

因此，通过几何原理来提供合适的击球角度是至关重要的。

二、碰撞角度的计算在台球运动中，当白球和目标球相撞时，了解碰撞角度的计算能够帮助我们预测和控制球的移动轨迹。

在几何学中，我们可以利用碰撞角度和入射角度之间的关系来计算碰撞后球的运动情况。

当白球撞击目标球时，入射角度等于出射角度。

通过利用几何原理，可以计算出初始碰撞角度和速度，从而帮助我们预测球的运动轨迹。

此外，还可以使用几何原理来计算不同碰撞角度下球杆对白球和目标球施加的力。

通过合适的施力计算，可以使得球的运动更加精准和准确。

三、球的旋转问题球的旋转是台球运动中一个重要而复杂的问题。

不同的旋转方式会对球的运动轨迹产生不同的影响。

利用几何原理可以帮助我们更好地理解和控制球的旋转情况。

在几何学中，我们可以通过观察球的形状和旋转轨迹，利用旋转的几何原理来计算球的旋转速度和转动方向。

这样，我们就可以通过调整球杆的击球方式和力度来达到控制球旋转的目的，从而使球的移动更加准确和可控。

四、距离和击球力度的控制除了角度的选择和球的旋转控制外，了解几何原理还可以帮助我们在击球过程中控制击球力度和距离。

几何学中的直线距离概念可以帮助我们计算白球和目标球的距离，并据此调整击球力度。

台球桌上的数学问题

台球桌上的数学问题
在台球桌上，当我们挑战好友进行友谊赛时，除了需要技巧和策略外，还有许
多数学问题融入其中。

这些数学问题能够帮助我们预测球的移动轨迹、角度和速度，从而更好地规划我们的击球策略。

首先，一个重要的数学问题是如何计算球的反射角度。

当我们击打一只球时，
球会与被击球的球杆接触，并反弹到台球桌的另一个位置。

在这个过程中，我们需要考虑到入射角度和反射角度之间的关系。

根据光的反射定律，入射角等于反射角。

这意味着，如果我们以45度的角度击打球，球会以45度的角度反弹。

这种数学问题帮助我们预测球的移动轨迹，并决定如何击打下一个球。

其次，我们还需要考虑球的速度和距离问题。

在击打球时，我们需要根据球的
速度和距离来调整击球的力度和方向。

在数学中，我们可以使用速度、时间和距离的公式来帮助我们计算这些问题。

例如，如果我们想要将球推向远处的一个特定位置，我们需要估计所需的力度，这可以通过计算球的速度和时间来实现。

最后，我们还可以应用一些几何学的概念来解决一些与球的击打和碰撞相关的
数学问题。

例如，当两个球碰撞时，我们可以使用几何学中的交叉点概念来预测碰撞点的位置。

通过理解几何学中的角度和距离，我们可以更好地规划我们的战略，以便在游戏中取得更好的成绩。

总而言之，在台球桌上玩台球不仅仅是一项技巧和策略的运动，还与数学紧密
相关。

通过理解和应用这些数学问题，我们可以更好地理解球的移动轨迹、角度和速度，从而提高我们的台球技巧，并在游戏中取得更好的表现。

数学和台球的问题(数学问题在台球中的应用)

生活中的数学--台球问题1 问题的提出我们平时经常接触数学的理论知识，其实走出书本，在生活中也有许许多多关于数学的问题值得我们去接触去学习。

今天，我们小组准备就台球问题进行研究，以下是我们小组研究的成果。

台球运动在我国已十分流行，从城市到乡村，到处可见，成为中国人健身娱乐的项目之一.优秀台球手的技术能给人深刻的印象，他们能从各种距离和各个角度击球入袋.初学者应不断地努力训练，学会如何操杆撞击球，使母球与彩球相撞，将彩球以合适的角度和速度送进袋中.我们试着对台球技术问题建立数学模型，帮助提高技艺.台球的网口虽然很小，但有较小的余地，即使你不是瞄得很准球也能入网.人的误差总是存在的，所以一个有趣的问题是在一次击球中允许多大的偏差，仍能保证彩球进入球网.这里考虑台球桌上只有母球和一个彩球.2 模型的假设台球桌面绝对平滑，不存在凹凸；没有撞击的台球运动轨迹是一条直线；两个台球的运动速度不受摩擦的影响；两个台球的形状质量完全一样；碰撞轨迹与母球的初始速度无关.3 模型的准备、撞击后台球的运动轨迹(母球碰撞前瞬间的速度为V，彩球静止0v=)母球和彩球位于同一直线上母球和彩球位于同一直线，即彩球的球心在母球的运动轨迹所在直线上.当母球以速度V撞击彩球，撞击瞬间，母球的动量全部传递给彩球，母球立刻停止运动.根据动量守恒：''mv MV mv MV +=+，即有'0V =，'v V =.母球和彩球不在同一直线上母球和彩球不是在同一直线，即彩球的球心不在母球的运动方向上.母球撞击彩球，撞击瞬间后，两球的速度符合以原母球速度为对角线的“矩形定则”，碰撞后的母球和彩球运动方向互相垂直，瞬间的母球与彩球的速度夹角成九十度，构成了矩形的两个边，这个矩形对角线，就是原母球的速度.4.瞄准点的确定母球和彩球的球心与球袋中心在同一直线上当母球和彩球的球心与球袋中心三者在同一条直线上时，只要瞄准彩球的球心，这样碰撞后彩球便可以运动到球袋的中心，进入球袋.母球和彩球的球心与球袋中心不在同一直线上设彩球在台面上A处，母球在O处，为了让彩球A可以沿直线AP运行到球袋开口中点P处，我们的瞄准点应该在直线AP的反向延长线上的某一点.具体的做法如下:以A为圆心,台球的直径为半径作一个圆.延长AP和圆相交于点'OO就是母球的理想轨迹.O,'O就是所求的瞄准点.而'模型的建立5.三角关系模型的建立为了简化问题，便于分析，我们把台球桌上的状态简化如下：A是母球原位置，B是彩球的位置，C是瞄准点.母球原位置A与彩球原位置B决定一条有向直线AB；母球运动方向决定一条有向直线AC；彩球碰撞后运动方向决定一条有向直线CB.这样就构成一个三角形ABC.根据瞄准点的确定，知道碰撞点在BC中点，所以|BC|=2d ,在某一个特定的状态下||BC 也是一个定值.所以在ABC ∆中我们在击球时能控制调整的是BAC ∠，通过控制调整BAC ∠使ABC ∠达到理想值，进而使彩球能顺利入袋.βα为为记ABC BAC ∠∠,.在ABC ∆中，由余弦定理得βcos ||||2||||||222BC AB BC AB AC -+=βcos ||||2||||||22BC AB BC AB AC -+= ……………… (1) 由正弦定理得：αβsin ||sin ||BC AC = ……………… (2) 于是αββsin ||sin cos ||||2||||22BC BC AB BC AB =-+ ……………… (3) 分析一个特定例子在某一个已知的状态中，可以视|AB|和|BC|为已知的值，α与β为变量，那么该方程反应了变量α与β的必然联系.击球时就可以通过控制和调整α的大小，来决定β的大小.在实际中，已知|AB|,|BC|,β取为理想值，便可以计算α的大小.由(3)式可得)900()cos ||||2||||sin ||arcsin(0022≤≤-+=βββαBC AB BC AB BC (4)我们假设某一个状态中，台球半径d=2.5cm ，彩球与母球的球心距离为5Ocm ，β的理想角度为045，这时候才能使彩球落进球袋中心.我们可以计算出α的值.把已知代入上述公式得：002204.4)076.0arcsin())45cos(5502550)45sin(5arcsin(==⨯⨯-+=α.也就是说，当球杆的击打方向与参照线AB 形成04.4夹角，可把彩球准确打入球袋.角度大小估计与长度距离的估计的转化利用上面的模型，我们在给定某一个条件下已计算出了α的理论值，然而人的眼睛与手是不容易打出这个理论值(04.4)的.也就是说：我们怎么做才能更好的打出和参照线||AB 成04.4的夹角呢? 因为人的生活经验对长度数量的直观估计比对角度数值的估计要相对准确，所以我们可以把对角度的估计转化为数值长度的估计.假设顶角为α，以球杆长度为腰，构造一个等腰三角形，得到:2sin()2D l a = ………………(5) 所以利用这个公式来把握a 要好一些.在上面一个状态里，假设球杆长150cm ，那么cm d 5.11)2.2sin(15020=⨯⨯=即，当用150cm 长的球杆打球时，只要将球杆以母球为顶点，以AB 为参照线，将球杆向与彩球同侧稍加转动，使球杆未端移动约11.5cm ，即可获得04.4的角度，这是最佳击球位置.6.考虑实际的误差的情况误差的大小分析在打球时，实际的偏角α与理想的β取值是允许有误差的.这是因为球袋口的入口直径比台球直径要大.只要经过球杆与母球击打、母球与彩球碰撞，把偏角α的误差传到β的误差范围不超过球袋口的直径即可.这个误差也是可以估计的.如上图所示，当彩球被击到O O '或者时还可以进球袋，O O '和是彩球能进球袋的“临界位置”，如果彩球球心的运动轨迹处在O O '和之间就可以保证能进球袋.所以我们就可以考虑球心在这两点时的β角，算出临界角度l r ββ和，只要撞击后的角度在[]l r ββ,之间，就可以使彩球球心的运动轨迹在O O '和之间了.误差角度计算由基本的几何知识知道：OCB CA O r l ∠-=∠+=ββββ,'.BCBO OCB =∠)tan( )arctan(BC BO OCB =∠ ………………(6) 同理)arctan(''AC AO CA O =∠ ………………(7) 由（4）式可以计算出[,]l r a a :)cos ||||2||||sin ||arcsin(22lll BC AB BC AB BC ββα-+= ………………(8) )cos ||||2||||sin ||arcsin(22rrr BC AB BC AB BC ββα-+= (9)5.3 误差对下杆影响在某一状态下，只要击球的角度偏差不要太大，范围在l r αα和之间，就可以保证彩球可以进球袋.与上面相同的情况下，假设'1.5, 1.5,40BO cm AO cm BC cm ===，038.0)tan(==∠BCBO OCB ,即是02.2=∠OCB ，同理得到0'2.2=∠CA O . 0000045 2.242.8,l r b b =-=0=45+2.2=47.2,分别代入（8）式和（9）式得到004.68, 4.15l r a a ==.同样地，可以把角度转化为对距离的估计：cm d cm d 86.10)215.4sin(1502,25.12)268.4sin(150221=⨯==⨯= 以AB 为参照线，下杆时只要距离估计范围在[10.86,12.25]cm cm 之间，就可以把彩球打入球袋.7.参考文献[1] 李钧.台球撞击的偏角方程[J].中学数学杂志(高中).20OO 年.第2期.30-31[2] 戴俊, 傅怀梁,等.一个边界振荡的台球模型[J]. 扬州大学学报(自然科学版).2004年11月第7卷第4期.27－31[3] 李东升.台球桌上的物理问题.中学物理教学参考.2002年.第31卷.第1～2期.28[4] 刘宗良.台球桌上的数学.数学教学.2005年.第5期.238.活动心得我们小组的成员都在这次的数学研究活动中受益匪浅，我们把数学融入到生活中，体验到了不同于课堂中理论知识的乐趣，我们共同希望在以后的生活中，多接触数学，体验其中的乐趣.。

罗慧花式台球颗星公式计算方法

罗慧花式台球颗星公式计算方法一、母球撞一岸解球。

这是解障碍球最常用的方法。

由于具体情况千变万化，我们很难靠几个范例来总结，但万变不离其宗基本原理就是在理想状态下，母球撞案的反射角等于入射角。

现实中由于球案的弹性，母球的旋转，击球力度的变化，反射角通常是不等于入射角的。

但是在击球的力度很柔，而且母球不带有任何侧旋（不加塞）的情况下，反射角与入射角的偏差就非常小，可以忽略。

这个原理是撞案救球的基础，但在事实上同样的入射角，击球的力量越大，反射角就越大；加塞的情况就更复杂，要靠反复的练习去慢慢体会了。

一本台湾出版的撞球书籍中提供了一个两颗星公式（颗星即为岸边的意思）：第２岸星点＝第１岸星点ｘ２＋母球旋转值２。

应用公式解球首先要了解两个概念，一是星点数值的定义，就是给花式九球台边的刻度赋值。

这个公式星点数值的定义为球杆延伸至岸边的星点数值为0；二是母球旋转值，即我们说的加塞，数值越大塞加得越大，击球点在范例中均已标明。

范例一：如图，球杆延伸至球台的点为０，目标点为６，所以第１岸星点应该是２的位置。

需要说明的是，所谓第１岸星点的瞄准点，并不是母球撞岸点正好在2，而是瞄准２的点打，实际撞点应该靠前一些，后面的例子均如此。

母球旋转值2即图中所示击球点，为右塞（顺塞）。

范例二：如图，球杆延伸至球台的点为０，目标点为８，所以第１岸星点应该是３的位置。

８＝３（第1岸星点）ｘ２＋２（母球旋转值）。

范例三：球杆延伸至球台的点为０，目标点为６，所以第１岸星点应该是２的位置。

二、母球吃两岸解球类型一：加二制加二制公式为：第３岸星点＝第１岸星点值＋球杆延长点值（母球旋转值＝２）说明：這個公式只适用于吃第１岸是短边时。

如图，通常是母球在白色框內，目标球在黃色框內时，可以使用这个方法解球。

星点数值的定义为：击球方向的短边的星点值，由上而下分別为３、５、７，而长边靠母球的洞口为０，另一洞口为８。

用加二制解球都要加顺塞，母球旋轉值＝２，击球点均已在范例图中标明范例一：如图，球杆延伸至球台的点为２，目标点为８，所以第１岸星点应该是８-２=６的位置。

台球跳球的数学建模

台球运动中跳球问题的数学模型卢浩然信科-计算机201211211038 摘要先将台球运动中一些不必要的细节进行理想化，建立了方便计算的理想物理模型利用物理学碰撞原理,和牛顿经典力学分析母球在击球后的运动状态，并经过资料查找和高速录像的慢速回放,得到了台球中跳球的正确击打方式并确定了击球时的击球点，并得出了球杆仰角，击球力量大小与母球被击出后的轨迹的数学关系式。

最终通过计算得出了所要击球效果与击球角度和力量大小的关系。

关键词：理想化牛顿经典力学碰撞原理问题的提出台球运动场地小，是室内运动，不受季节、天气、时间等因素影响；台球的运动量不大，不会耗费大的体力，适合任何人；台球是一种智力的体育活动，趣味性很强.台球运动在我国已十分普及，从城市到乡村，到处可见，成为中国人健身娱乐的项目之一.优秀台球手的技术能给人深刻的印象，他们能从各种距离和各个角度击球入袋.初学者应不断地努力训练，学会如何操杆撞击球，使母球与彩球相撞，将彩球以合适的角度和速度送进袋中.试对台球技术问题建立数学模型，指导初学者，帮助他们提高技艺.台球的网口虽然很小，但有较小的余地，即使你不是瞄得很准球也能入网.人的误差总是存在的，所以一个有趣的问题是在一次击球中允许多大的偏差，仍能保证彩球进入球网.这里考虑台球桌上只有母球和一个彩球.模型假设1台球桌面绝对平滑，不存在凹凸；2没有撞击的台球运动轨迹是一条直线；3两个台球碰撞等同于物理上两个刚体的碰撞；4两个台球的运动速度不受摩擦的影响；5两颗台球的形状质量完全一样；6球杆击球时接触面为一点，忽略杆头的形变。

7球台不存在形变。

8击球过程时间极短，不存在连击问题。

（连击指在一次击球过程中球杆两次与球接触，属犯规行为）9台球均为均匀球体，击球过程中不存在形变。

模型的准备为了建立跳球时的数学物理模型，我首先对台球运动中各种的受力情况进行了简单的物理分析。

运动中的球与桌面：相对滑动速度：球心速度为c V ，角速度为),,(z y x ωωω=Ω。

桌球计算数学模型

sin c D sina L2
tan c
sin c 1 sin 2 c
离目标球球心 L1 l tan c 29.61451901 的距离L1 击球点位置x L1 x （表示离目标 1.036378618 D/2 球球心x倍D/2 的距离）注：1、l实质上是用L来大概判断的，这样准确度更高；2、球桌的长度一般平均分为6等分，每等分为一颗星长度；3、绿色为要输入的值，橙色为输出结果。
（母球和目标球中线）与（目标球 a换算成角几颗星和球洞中线）的角度a 度制后 30 0.5235988
母球和目标球距离（用几颗星来代替）l 3 1410
深绿色为输入已知值，橙色为输出结果（瞄准点位置）第二页为具体每个位置的计算结果
桌球的直径D 57.15
球桌的长度A 2810
球桌的宽度B 1530
球中间变量L2 中间变量sinc 中间变量tanc
公式
计算结果 1360.806698 0.020998574 0.021003205
L2 D2 l 2 2Dl cosa

台球中的数学

台球中的数学
世界台球冠军戴维斯在花色台球表演中，一记猛击，使白球连撞球台四边后击中黑球并使黑球落网，那准确无误的计算和潇洒自如的风度博得满堂喝彩。

其实，戴维斯在表演中运用了数学中对称变换的知识。

如图，先找出B点(黑球)关于CD的对称点B1，再找出B1关于DE的对称点B2，再找出B2关于EF的对称点B3，最后找出B3关于CF的对称点B4，连结AB4交CF于点M，连结MB3交EF于点N，连结NB2交DE于点P，连结PB1交CD于点Q，折线AMNPQB就是被击打的白球，经球台四边反弹后击中黑球的路线。

运用对称变换确定点M，沿AM方向击球，你也可以像戴维斯一样表演精彩的花色台球技艺。

粘弹性波动方程

粘弹性波动方程
粘弹性波动方程是一个复杂的物理现象，它可以用来描述许多不同的物理系统。

它的性质很复杂，也很有意义，因此才被称为粘弹性波动方程，也被称作“台球问题”。

粘弹性波动方程可以用来描述现实世界中的许多物理现象，比如电磁学中的空波传播，声学中的声音传播，流体力学中的流动，热力学中的热传导，发电机中的励磁机理等等。

这些模型可以用于描述物理系统的响应，从而更好地了解物理系统中发生的现象。

粘弹性波动方程是一个抽象的数学模型，它通过描述拉格朗日方程系统，从而表征力学系统的波动性。

它可以用来描述动力学行为，从而了解物理系统的动力学性质。

粘弹性波动方程用来描述一个复杂的物理系统的行为，这个行为涉及到物理规律，数学技术以及计算技术等多个方面。

由于它反映出真实物理世界中发生的有趣现象，所以这个方程用来描述复杂系统非常有效。

因此，粘弹性波动方程有着重要的意义。

它既有助于更好地描述物理系统的行为，也可以用来指导现代科学和技术的发展。

通过使用粘弹性波动方程，科学家可以更轻松地探索复杂的物理系统，从而更好地研究它们，最终解决问题。

台球技术问题的数学模型

台球技巧问题的数学模型吴琛11级电气学院本科2班摘要利用物理学碰撞原理,分析台球碰撞后的运动轨迹,确定了理想的瞄准点.当母球和彩球的位置确定后,通过建立三角关系式,得出了瞄准时球杆的偏移角度,使下杆时有了理论的依据,解决了下杆时如何瞄准的问题.通过角度和距离的转化, 把不容易用眼睛估计的角度变换为对距离的估计.然后再根据实际情况,引入误差分析,在某一个误差范围内都可以把彩球打入球袋里.使得瞄准后知道如何更好下杆.还分析了一个状态,下杆时球杆和参照线角度在015.468.4和之间(相应的估计距离在cmcm25.1286.10和之间)就可以入球，研究台球模型意义在于用科学的角度解析台球，使台球的技术和美观完美的的搭配，更好的打好台球。

关键词：台球模型;瞄准点;角度估计;距离估计1 问题的提出台球运动场地小，是室内运动，不受季节、天气、时间等因素影响；台球的运动量不大，不会耗费大的体力，适合任何人；台球是一种智力的体育活动，趣味性很强.台球运动在我国已十分普及，从城市到乡村，到处可见，成为中国人健身娱乐的项目之一.优秀台球手的技术能给人深刻的印象，他们能从各种距离和各个角度击球入袋.初学者应不断地努力训练，学会如何操杆撞击球，使母球与彩球相撞，将彩球以合适的角度和速度送进袋中.试对台球技术问题建立数学模型，指导初学者，帮助他们提高技艺.台球的网口虽然很小，但有较小的余地，即使你不是瞄得很准球也能入网.人的误差总是存在的，所以一个有趣的问题是在一次击球中允许多大的偏差，仍能保证彩球进入球网.这里考虑台球桌上只有母球和一个彩球.2 模型的假设2.1台球桌面绝对平滑，不存在凹凸；2.2没有撞击的台球运动轨迹是一条直线；2.3两个台球碰撞等同于物理上两个刚体的碰撞；2.4两个台球的运动速度不受摩擦的影响；2.5两个台球的形状质量完全一样；2.6碰撞轨迹与母球的初始速度无关.3 模型的准备3.1撞击后台球的运动轨迹(母球碰撞前瞬间的速度为V ，彩球静止0v =) 3.1.1 母球和彩球位于同一直线上母球和彩球位于同一直线，即彩球的球心在母球的运动轨迹所在直线上.当母球以速度V 撞击彩球，撞击瞬间，母球的动量全部传递给彩球，母球立刻停止运动.根据动量守恒：''mv MV mv MV +=+，即有'0V =，'v V=.3.1.2母球和彩球不在同一直线上母球和彩球不是在同一直线，即彩球的球心不在母球的运动方向上.母球撞击彩球，撞击瞬间后，两球的速度符合以原母球速度为对角线的“矩形定则”，碰撞后的母球和彩球运动方向互相垂直，瞬间的母球与彩球的速度夹角成九十度，构成了矩形的两个边，这个矩形对角线，就是原母球的速度.3.2 瞄准点的确定3.2.1 母球和彩球的球心与球袋中心在同一直线上当母球和彩球的球心与球袋中心三者在同一条直线上时，只要瞄准彩球的球心，这样碰撞后彩球便可以运动到球袋的中心，进入球袋.3.2.2 母球和彩球的球心与球袋中心不在同一直线上当母球和彩球的球心与球袋中心三者不在同一条直线上时，则下杆时要偏移一定的角度，这时瞄准点不是彩球的中心点，而是在这个中心点附近的某一点.具体确定该点可以按如下的方法：假想彩球球心与球袋中心上有一条连结二者的直线，而你向彩球击出母球时，如果碰撞时母球与彩球的接触点正好在这一条想像的连线上时，彩球就会朝球袋中心前进.而在接触瞬间时母球的中心点就是假想中心点.说得更清楚一点，我们可以在彩球球心与球袋中心连线上假想有一颗球与彩球正好紧密地靠在一起，而这颗假想球的中心必须是在这条假想的连线上.当你击球的时候，就是要把母球击向这一颗假想球的位置上.当母球被击出而能运动到在这个位置上，然后再碰触到彩球时，彩球就会顺利入袋.因为在碰触的那一瞬间，母球和彩球的球心与球袋中心正好在一直线上.设彩球在台面上A 处，母球在O 处，为了让彩球A 可以沿直线AP 运行到球袋开口中点P 处，我们的瞄准点应该在直线AP 的反向延长线上的某一点.具体的做法如下:以A 为圆心,台球的直径为半径作一个圆.延长AP 和圆相交于点'O ,'O就是所求的瞄准点.而'OO 就是母球的理想轨迹.4 模型的建立4.1 三角关系模型的建立为了简化问题，便于分析，我们把台球桌上的状态简化如下：A 是母球原位置，B 是彩球的位置，C 是瞄准点.母球原位置A 与彩球原位置B 决定一条有向直线AB ；母球运动方向决定一条有向直线AC ；彩球碰撞后运动方向决定一条有向直线CB .这样就构成一个三角形ABC .根据瞄准点的确定，知道碰撞点在BC 中点，所以|BC|=2d ,在某一个特定的状态下||BC 也是一个定值.所以在ABC ∆中我们在击球时能控制调整的是BAC ∠，通过控制调整BAC ∠使ABC∠达到理想值，进而使彩球能顺利入袋.βα为为记ABC BAC ∠∠,.在ABC ∆中，由余弦定理得βcos ||||2||||||222BC AB BC AB AC -+=βcos ||||2||||||22BC AB BC AB AC -+= (1)由正弦定理得：αβsin ||sin ||BC AC = ……………… (2) 于是αββsin ||sin cos ||||2||||22BC BC AB BC AB =-+ ……………… (3) 4.2 分析一个特定例子在某一个已知的状态中，可以视|AB|和|BC|为已知的值，α与β为变量，那么该方程反应了变量α与β的必然联系.击球时就可以通过控制和调整α的大小，来决定β的大小.在实际中，已知|AB|,|BC|,β取为理想值，便可以计算α的大小.由(3)式可得)900()cos ||||2||||sin ||arcsin(0022≤≤-+=βββαBC AB BC AB BC (4)我们假设某一个状态中，台球半径d=2.5cm ，彩球与母球的球心距离为5Ocm ，β的理想角度为45，这时候才能使彩球落进球袋中心.我们可以计算出α的值.把已知代入上述公式得：002204.4)076.0arcsin())45cos(5502550)45sin(5arcsin(==⨯⨯-+=α.也就是说，当球杆的击打方向与参照线AB 形成4.4夹角，可把彩球准确打入球袋.4.3 角度大小估计与长度距离的估计的转化利用上面的模型，我们在给定某一个条件下已计算出了α的理论值，然而人的眼睛与手是不容易打出这个理论值(4.4)的.也就是说：我们怎么做才能更好的打出和参照线||AB 成04.4的夹角呢?因为人的生活经验对长度数量的直观估计比对角度数值的估计要相对准确，所以我们可以把对角度的估计转化为数值长度的估计.假设顶角为α，以球杆长度为腰，构造一个等腰三角形，得到:2sin()2D l a= ………………(5) 所以利用这个公式来把握a 要好一些.在上面一个状态里，假设球杆长150cm ，那么cmd 5.11)2.2sin(15020=⨯⨯=即，当用150cm 长的球杆打球时，只要将球杆以母球为顶点，以AB 为参照线，将球杆向与彩球同侧稍加转动，使球杆未端移动约11.5cm ，即可获得4.4的角度，这是最佳击球位置.5 考虑实际的误差的情况5.1 误差的大小分析在打球时，实际的偏角α与理想的β取值是允许有误差的.这是因为球袋口的入口直径比台球直径要太.只要经过球杆与母球击打、母球与彩球碰撞，把偏角α的误差传到β的误差范围不超过球袋口的直径即可.这个误差也是可以估计的.如上图所示，当彩球被击到O O '或者时还可以进球袋，O O '和是彩球能进球袋的“临界位置”，如果彩球球心的运动轨迹处在O O '和之间就可以保证能进球袋.所以我们就可以考虑球心在这两点时的β角，算出临界角度l rββ和，只要撞击后的角度在[]l r ββ,之间，就可以使彩球球心的运动轨迹在O O '和之间了.5.2 误差角度计算由基本的几何知识知道：OCBCA O r l ∠-=∠+=ββββ,'.BCBOOCB =∠)tan()arctan(BC BOOCB =∠ ………………(6) 同理)arctan(''AC AO CA O =∠ (7)由（4）式可以计算出[,]l r a a :)cos ||||2||||sin ||arcsin(22lll BC AB BC AB BC ββα-+= (8))cos ||||2||||sin ||arcsin(22rrr BC AB BC AB BC ββα-+= (9)5.3 误差对下杆影响在某一状态下，只要击球的角度偏差不要太大，范围在l rαα和之间，就可以保证彩球可以进球袋.与上面相同的情况下，假设'1.5, 1.5,40BO cm AO cm BC cm===，038.0)tan(==∠BCBOOCB ,即是02.2=∠OCB ，同理得到0'2.2=∠CA O . 0000045 2.242.8,l r b b =-=0=45+2.2=47.2,分别代入（8）式和（9）式得到004.68, 4.15l r a a ==.同样地，可以把角度转化为对距离的估计：cm d cm d 86.10)215.4sin(1502,25.12)268.4sin(150221=⨯==⨯= 以AB 为参照线，下杆时只要距离估计范围在[10.86,12.25]cm cm 之间，就可以把彩球打入球袋.6 模型的应用及推广6.1 在实际的台球技术中，文章可以对初学者有一定的指导作用.可以避免初学者盲目的练习.可以有针对性的练习和提高对角度和距离的估计，这样对入球会有明显的提高.6.2 台球游戏的开发中，编程设计时可以借鉴本文的一些结果.6.3 对物理学上的粒子碰撞和碰撞后的粒子轨迹的研究，也有一定的参考价值.７参考文献[1] 李钧.台球撞击的偏角方程[J].中学数学杂志(高中).20OO年.第2期.30-31[2] 戴俊, 傅怀梁,等.一个边界振荡的台球模型[J]. 扬州大学学报(自然科学版).2004年11月第7卷第4期.27－31[3] 李东升.台球桌上的物理问题.中学物理教学参考.2002年.第31卷.第1～2期.28[4] 刘宗良.台球桌上的数学.数学教学.2005年.第5期.23。

台球桌上的数学问题

台球桌上的数学问题摘要：一、台球运动的起源与发展1.台球的起源2.台球在我国的发展3.台球在国际上的影响力二、台球桌上的数学问题1.介绍台球桌的基本参数2.探讨台球运动中的几何关系3.实际案例分析：解决台球比赛中遇到的数学问题三、台球运动中的策略与技巧1.数学在制定台球策略中的重要性2.运用几何知识提高台球技巧3.结合实际情况，分析著名台球选手如何运用数学技巧获得胜利四、台球运动与数学教育的结合1.将台球运动引入数学教育，提高学生学习兴趣2.通过台球运动培养学生的几何直观能力3.总结：台球运动在数学教育中的积极作用正文：台球，一项起源于15世纪的英国的运动，经过数百年的发展，已经成为世界上最受欢迎的体育项目之一。

在我国，台球运动同样具有广泛的影响力，不仅拥有众多的爱好者，还培养出了许多世界级的台球选手。

台球运动看似轻松简单，实际上却蕴含着丰富的数学原理。

今天，我们就来探讨一下台球桌上的数学问题。

首先，我们来了解一下台球桌的基本参数。

一张标准的台球桌长为2.54米，宽为1.27米，桌面四周设有6条长边和6条短边，共12条边。

此外，桌面上还分布着15个球洞，其中1个为母球洞，14个为彩色球洞。

了解了这些基本参数，我们就可以开始探讨台球运动中的几何关系。

在实际的台球比赛中，选手们需要根据球桌上的几何关系来制定击球策略。

例如，在击打目标球时，选手需要考虑母球与目标球之间的角度、距离以及速度，以保证目标球顺利撞到库边并弹入球袋。

此外，选手还需要根据台球桌的形状和球洞的分布，来判断自己的击球是否能够成功将球送入球袋。

在著名的台球比赛中，许多选手都运用了数学技巧来获得胜利。

例如，我国台球选手丁俊晖在比赛中，经常运用几何知识来判断球的走势，从而制定出精妙的击球策略。

这充分说明，在台球运动中，数学知识的重要性不容忽视。

将台球运动引入数学教育，可以提高学生的学习兴趣。

通过实际操作，学生可以直观地感受到几何知识在实际生活中的应用，从而激发他们对数学的兴趣。

斯诺克的数学趣题

题目：斯诺克台球比赛中的数学问题假设有一场斯诺克台球比赛，有16个球需要打入袋中，分为红球（1-7号）、彩球（粉、黑、绿、蓝、棕）和白球。

每个球员有3次击球机会，目标是尽可能地将更多的球打入袋中。

首先，我们考虑红球和彩球的分配问题。

假设红球和彩球的数量相等，每个球员需要尽可能地减少击球次数。

那么，每个球员应该优先击打红球吗？首先，我们来考虑一个最简单的情况：红球在起始位置，而所有其他球都在底袋中。

那么，最优策略就是每次都用红球击打底袋中的球，直到所有的彩球也进入底袋。

这种情况下，每个球员都可以将所有的红球和彩球都打入袋中，而且击球次数最少。

但是，如果红球和彩球的位置不是起始位置，那么情况就会变得复杂。

此时，每个球员应该如何选择？他们应该优先击打红球吗？或者他们应该尝试尽可能地使用白球将所有的目标球移到起始位置？这个问题需要用到组合数学的知识，涉及到组合和排列的数量计算。

另外，我们还应该注意到白球的特殊地位。

它是用于控制球的移动和定位的，它可以用来把其他球移动到合适的位置，从而减少击球次数。

因此，白球的正确使用也是比赛中的关键技巧之一。

最后，我们还可以考虑比赛中的得分问题。

每个入袋的球都会给球员增加相应的分数，而犯下的错误则会减少分数。

那么，如何最大化得分并最小化犯错，也是每个球员需要思考的问题。

这涉及到对球的分布和位置的精确预测和控制，需要用到概率和统计的知识。

总的来说，斯诺克台球比赛不仅需要技巧和反应速度，还需要对数学知识的运用。

通过组合数学、概率统计和几何知识，球员可以更好地理解比赛中的各种情况，制定出更有效的策略，从而在比赛中获得优势。

因此，数学在斯诺克台球比赛中起着重要的作用。