直角三角形存在性问题专项训练(一)
直角三角形的性质练习题
直角三角形的性质练习题一、选择题1. 在直角三角形ABC中，角A为90°，且满足AB = 3，AC = 4，BC = 5，那么∠B的度数是：A) 30°B) 45°C) 60°D) 90°2. 直角三角形PQR中，∠P = 90°，PR = 5，RQ = 12，那么∠Q的度数是：A) 30°B) 45°C) 60°D) 90°3. 若一个直角三角形的一个锐角的度数是30°，那么另一个锐角的度数是：A) 30°B) 45°C) 60°D) 90°4. 若三角形ABC是直角三角形，其中∠A = 90°，AB = 8，AC = 15，则BC的长度为：A) 7B) 9C) 17D) 245. 直角三角形XYZ中，∠X = 90°，XY = 5，YZ = 12，则∠Y的正弦值是：A) 5/12B) 12/13C) 5/13D) 12/5二、填空题1. 直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 7，BC = 24，则AB的长度为 ________。
2. 设直角三角形XYZ中，∠Y = 90°，XY = 6，则YZ的长度为________。
3. 直角三角形PQR中，PR = 5，RQ = 12，则∠P的度数为________。
4. 若直角三角形ABC中，∠B = 90°，AB = 14，则AC的长度为________。
5. 若直角三角形XYZ中，∠Y = 90°，XY = 9，则∠Z的度数为________。
三、解答题1. 已知直角三角形ABC，其中∠A = 90°，AB = 5，AC = 12，求BC的长度。
解析：根据直角三角形的性质，可使用勾股定理求解。
根据勾股定理，若AC、BC、AB分别表示直角三角形ABC的三条边的长度，则有AC² = AB² + BC²。
直角三角形存在性问题
直角三角形存在性问题1．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m与y轴交于点B，与x轴交于点C，OC＝8，直线y＝kx+n经过点B与x轴负半轴交于点A，13 AOBO，（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，以线段AB为斜边作等腰直角三角形ABD（点D在y轴右侧），直线OD 与BC交于E，求点E的坐标；2．如图，一次函数y1＝x+n与x轴交于点B，一次函数y2＝﹣x+m与y轴交于点C，且它们的图象都经过点D（1，﹣）．（1）则点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐标．3．[模型建立]（一线三等角）（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A 作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；[模型应用]（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，直线l2经过点A与直线l1垂直，求直线l2的函数表达式．（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（6，﹣8），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+2上的动点且在第四象限内．若△CPD成为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．4．如图，直线l1：y＝x和直线l2：y＝kx+3交于点A（2，2），P（t，0）是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，使其与直线l1和直线l2分别交于点D，E．（1）求k的值．（2）用t表示线段DE的长．（3）点M是y轴上一动点，当△MDE是等腰直角三角形时，求出t的值及点M的坐标．。
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。
直角三角形存在性问题及真题典例分析(含解析)
直角三角形存在性问题【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点轴上找一点C 使得△ ABC 是直角三角形，求点A 坐标为（1,1 ），点B 坐标为（5,3），在x C坐标．几何法】两线一圆得坐标1）若∠ A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；2）若∠ B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C；3）若∠C 为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）构造三垂直】BN NC2由A、B坐标得AM=2 ，BM=4 ，NC2=33代入得：BN=213故C2坐标为（，0）2重点还是如何求得点坐标，C1、C2 求法相同，以C2为例：易证△AMB ∽△BNC 2AM MBAM MC3易证△AMC3∽△C3NB，C3N= NB由A、B坐标得AM=1，BN=3，设MC3=a，C3N=b1a代入得：= ，即ab=3 ，又a+b=4，故a=1 或3 b3故C3坐标为（2,0），C4坐标为（4,0）构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下C1待求，不妨来求下C1 ：1）表示点：设C1坐标为（2）表示线段：AB 2 5，AC13）分类讨论：当BAC1 为直角时，24）代入得方程：20 m 1 122222m11，BC1m 532AB2AC12BC12；m5222 32，解得： 3 m．2C3、C4 求法相同，以C3为例：m，0），又A（1，1）、B（5，3）；还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线AC1与AB 互相垂直，k AC1 k AB 1，可得：k AC1 2，又直线AC1过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，33所以与x 轴交点坐标为3,0 ，即C1坐标为3,0 ．22 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~【小结】几何法：（1）“两线一圆”作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A、B、C 坐标；（2）表示线段AB、AC、BC；（3）分类讨论① AB2+AC2=BC2、② AB2+BC2=AC2、③ AC2+BC2=AB2；（4）代入列方程，求解．如果问题变为等腰直角三角形存在性， 则同样可采取上述方法， 只不过三垂直得到的不是相 似，而是全等．三垂直构造等腰直角三角形】 中考真题（删减）】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 模型呈现】如图，在 Rt △ABC ，∠ACB=90°，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 AD ，过点 D 作DE ⊥AC 于点 E ，可以推理得到△ ABC ≌△ DAE ，进而得到 AC=DE ，BC=AE ． 我们把这个数学模型成为 “K 型 ”． 推理过程如下：【模型迁移】二次函数 y ax 2 bx 2的图像交 x 轴于点 A （ -1,0）， B （ 4,0）两点，交 y 轴于点 C ．动点 M 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作MN x 轴交直线 BC 于点 N ，交抛物线于点 D ，连接 AC ，设运动的时间为 t 秒． （1）求二次函数 y ax 2 bx 2 的表达式；（2）在直线 MN 上存在一点 P ，当 PBC 是以 BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时 点 D 的坐标．E A C分析】1 2 3 1）yx x 2 ； 222）本题直角顶点 P 并不确定，以 BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为 P 点，再 过点P 作水平线，得三垂直全等．设 HP=a ，PQ=b ，则 BQ=a ， CH=b ，故 D 点坐标为（ 1,3 ）思路 2：等腰直角的一半还是等腰直角．如图，取BC 中点 M 点，以BM 为一直角边作等腰直角三角形， 则第三个顶点即为 P 点．根 据 B 点和 M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为 1 和 2 ，故 P 点坐标易求．由图可知：b aa b 42 ，解得：a1 b3同理可求此时解得： m 1 12 ， m 2 1 2 ， m3 1 6 ， m4 1 6 （舍）如下图，对应 P 点坐标分别为 1 2, 11 2, 1 、 1 6,1中考真题】12如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x 2bx c 与 x 轴交于 A 、B 两点，点 B （3,0），25经过点 A 的直线 AC 与抛物线的另一交点为 C （4, ），与 y 轴交点为 D ，点 P 是直线 AC 下2 方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动， 当 OPQ 是以OP 为直角边的等腰直角三角形时， 请直接写出符合条件的点 P 的坐标．分析】2）①当∠ POQ 为直角时，考虑 Q 点在对称轴上，故过点 Q 向 y 轴作垂线，垂线段长为 垂线，长度必为 1，故 P 的纵坐标为 ±1．如下图，不难求出 P 点坐标．13设 P 点坐标为 m,1 m 2 m 3 ，22可得： 1 m 2 m 3 1．2212 3； xx2 21) y1，可知过点 P 向 x 轴作②当∠ OPQ 为直角时，如图构造△ OMP ≌△ PNQ ，可得： PM=QN ． 设 P 点坐标为 m,21m 2 m 32 ，1，若 1m 2 m 3 m 1 ，解得： m 1 5 ， m 25 （舍）．22若 1m 2 m 3 m 1，解得： m 1 2 5， m 2 2 5（舍） 22对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点， 构造出三垂直后， 表示出一组对应边， 根据相等关系列方程求解即可．则PM 01 2 3 mm2212 m 23， QN= m 21， 如下图，对应 P 点坐标分别为 5,1 5中考真题】如图，抛物线y ax2 bx 2交x轴于点A( 3,0)和点B(1,0)，交 y轴于点C． (1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点 D的坐标为( 1,0) ，点 P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．( 3)点 M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使MNO 为等腰直角三角形，且MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．x备用图分析】2 2 41) y x x 2 ；332) 连接AC，将四边形面积拆为△ APC 和△ADC 面积，考虑△ ADC 面积为定值，故只需△APC 面积最大即可，铅垂法可解；过点N 作NE⊥x 轴交x 轴于E 点，如图1，过点M 向NE 作垂线交EN 延长线于易证△OEN≌△ NFM ，可得：NE=FM．22 m3当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM ．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．3)F 点，设N 点坐标为m, 24 m3，则NE22m3 ，FM m 1 ，22m34m 2=m31，解得：m17 731) m27 737 73（图4）4对应N 点坐标分别为3 734734m 2=31，解得：m373(图2)、m41 73（图3）4 对应N 点坐标分别为7343 7343 734一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似．而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等．对称轴上寻找点】（中考真题）如图，已知抛物线y ax2 bx c（a 0）的对称轴为直线x 1 ，且抛物线与x 轴交于 A、B两点，与 y轴交于C点，其中A（1,0），C （0,3）．（1）若直线y mx n 经过 B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x 1上找一点 M ，使点 M 到点 A的距离与到点C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；（3）设点 P为抛物线的对称轴x 1上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P坐标．分析】1）直线BC：y x3抛物线：y x2 2x3；2）将军饮马问题，考虑到M 点在对称轴上，且点 A 关于对称轴的对称点为点B ，故MA+MC=MB+MC，∴当B、M、C 三点共线时，M到A和C的距离之后最小，此时M 点坐标为（-1，2）；3）两圆一线作点P：yx以 P 1 为例，构造△ PNB ∽△ BMC ，考虑到 BM =MC =3，易求 P 2 坐标为（ 1,4）．P 3、 P 4求法类似，下求 P 3：已知 PN=1， PM=2，设 CN=a ，BM=b ， 1a，即 ab=2，由图可知： b-a=3， b2∴BN=PN=2，故 P 1 点坐标为（ -1， -2）． xx舍），对应 x故可解： 类似可求P 3坐标为1,3217．2由相似得：2 抛物线 y ax 2 2x c 与 x 轴交于 A( 1,0) ，B (3,0)两点，与 y 轴交于点 C ，点 D 是该抛物线的顶点．1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式；2）请在 y 轴上找一点 M ，使 BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标；3）试探究：在拋物线上是否存在点 P ，使以点 A ， P ， C 为顶点， AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线上寻找点】中考真题） 如图，在平面直角坐标系中，分析】1）抛物线：y x2 2x 3 ，直线AC：y=3x+3；2）看图，M 点坐标为（0,3）与C 点重合了．3）考虑到AC 为直角边，有如下两种情况，故分别过A、C 作AC 的垂线，与抛物线交点即为所求P 点，xP：x先求过A 点所作垂线得到的点设P 点坐标为 m, m22m3，则PM=m+1，AM= 0 m22m2m3，易证△ PMA∽△ ANC，且AN =3，m 1 m2 2m 3 ∴ ，解得：31CN=1，m110，3m21（舍），故第1个P点坐标为130, 193再求过点C 所作垂线得到的点PM 3m2m 2m故第2 个P 点坐标为综上所述，P 点坐标为3 2 m2m，CN=m，m17，m2（舍）37,203,910137, 20或3939P：3，解得：1m22m动点还可能在⋯⋯】中考真题)如图，抛物线y ax2 bx 2(a 0)与x轴交于A( 3,0) ，B(1,0)两点，与 y轴交于点C ，直线 y x 与该抛物线交于 E ， F 两点．1)求抛物线的解析式．2) P 是直线 EF 下方抛物线上的一个动点，作 PH EF 于点 H ，求 PH 的最大值．3) 以点C 为圆心，1 为半径作圆，e C 上是否存在点 M ，使得BCM 是以CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出 M 点坐标；若不存在，说明理由．分析】CM 为直角边，故点C 可能为直角顶点，点M 也可能为直角顶点．①当 BCM 为直角时，如图：1)22x32；2) 过点P 作x 轴的垂线交EF 于点Q，所谓PH 最大，即PQ 最大，易解．3)M 1 ：不难求得 CF=1，BF=2，故 M 1 坐标为同理可求 M 2 坐标为【总结】 对于大部分直角三角形存在性问题， 构造三垂直全等或相似基本上可解决问题， 牢 记构造步骤：（ 1）过直角顶点作水平或竖直线；（ 2）过另外两端点向其作垂线．∴ EM 1 : EC 1: 2，又 CM 1 1， 可得： EM 155，EC525 5BOCM 44M 3 ：不难发现 CM=1，BC= 5 ，∴ BM 2，即△ MEC ∽△ BFM ，且相似比为 1：2， 设 EC=a ， EM=b ，则 FM=2a ， BF=2b ， 2a 由图可知： 2a2b22，解得：13 54 5故点M 3 的坐标为至于 M 4坐标，显然 1, 2．综上所述， M 点坐标为或 255, 2或 1, 2 ．如图： yBO放大C②当∠ BMC 为直角时，y。
挑战压轴题----直角三角形的存在性问题
挑战压轴题----直角三角形的存在性问题1．（10分）（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a ≠0）相交于A （，）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．2.（2015•连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=41x 2交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是-2． （1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由． （3）过线段AB 上一点P ，作PM ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN+3MP 的长度最大？最大值是多3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作y 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．4.如图，抛物线y=-x 2+bx+c的顶点为D ，与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM ∥y 轴，且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当四边形OBMC 的面积最大时，求△BPN 的周长；（3）在（2）的条件下，当四边形OBMC 的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△CNQ 为直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标．5.（2015宜宾）如图，抛物线y=- 1/2x2+bx+c与x轴分别相交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2．点P 从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA．（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；（2）求t为何值时,△DPA的面积最大,最大为多少？（3）在点P从O向A运动的过程中,△DPA能否成为直角三角形？若能,求t的值．若不能,请说明理由；（4）请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长．2.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M。
初中数学几何培优小专题：翻折之直角三角形存在性
中考数学翻折专题训练直角三角形存在性问题1.（2017•河南）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM 的长为．2.（2020•郑州二模）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD边上一动点，将△AEO沿直线EO折叠，点A落在点F处，线段EF，OD相交于点G．若△DEG是直角三角形，则线段DE的长为．3.（2020•恩施市校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD 上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝．4.（2020•洛阳一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，BD平分∠ABC，点E是边AB上一动点（不与A、B重合），沿DE所在的直线折叠∠A，点A的对应点为F，当△BFC是直角三角形且BC为直角边时，则AE的长为．5.（2020春•二七区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：4，点E是对角线BD上一动点（不与点B，D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A，B的对应点G，F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN：BN的值为．6.（2019•临颍县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E、F分别在边AC、BC上，连接EF，沿EF折叠该三角形，使点C的对应点D落在边AB上．若△BDF是直角三角形，则CF的长为．7.（2019•包河区一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AC＝8，点E是AB的中点，点F是对角线AC上一点，△GEF与△AEF关于直线EF对称，EG交AC于点H，当△CGH中有一个内角为90°时，则CG的长为．8.（2018秋•蜀山区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，点A落在矩形ABCD的内部，且∠AA′G＝90°，若以点A′、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE＝．9.（2019秋•川汇区期末）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E是BC边的中点，连接AE，△AB′E和△ABE关于AE所在直线对称，若△B′CD是直角三角形，则BC边的长为．10.（2019秋•建湖县期中）如图，长方形ABCD中，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝CD＝5，AD＝BC ＝13，点E为射线AD上的一个动点，若△ABE与△A'BE关于直线BE对称，当△A'BC为直角三角形时，AE 的长为．11.（2020•梁园区校级二模）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，对角线AC与BD交于点O，E 是AD边动点，作直线OE交BC于点G，将四边形DEGC沿直线EG折叠，点D落在点D′处，点C落在点C′处，ED′交AC于F，若△AEF是直角三角形，则AE＝．12.（2020•望城区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C落在点C′处，连接AC′，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为．13.（2020•宜城市模拟）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，E 为AB 边上一点，将△BEC 沿着CE 翻折，使点B 落在点F 处，连接AF ，当△AEF 为直角三角形时，BE ＝ ．14.（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 为边AD 上一动点，连接OP ，以OP 为折痕，将△AOP 折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ．若△PDF 为直角三角形，则DP 的长为 ．15.如图，在三角形ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D,E 分别是AB ，BC 上的动点，将BDE Δ沿着直线DE 翻折得到FDE Δ，使点F 落在射线AC 上，当BE 的长为 时，ADF Δ是直角三角形。
一次函数之存在性(直角三角形)(人教版)(含答案)
一次函数之存在性（直角三角形）（人教版）一、单选题(共3道，每道33分)1.如图，直线y=2x+4与坐标轴交于A，B两点，P为直线x=1上一动点，连接AP，BP．当△ABP是以点A，B为直角顶点的直角三角形时，点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点①首先研究基本图形，对信息进行标注；②研究目标△ABP，A，B为定点，P为动点，若△ABP是直角三角形，需要根据直角顶点进行分类，根据题目信息，分别以B，A作为直角顶点；③对于直角，需要结合题目背景灵活处理，如以点B，点A为直角顶点时，可以借助坐标系背景用函数解析式来求点坐标．2．解题过程由题意得，A（-2，0），B（0，4）．①当时，如图所示，．∵点的横坐标为1，∴．②当时，如图所示，，∴．综上得，点P的坐标为．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性2.如图，直线交y轴于点A，且经过点B（4,1）．若P是y轴上的一动点，当△ABP是以点A，B为直角顶点的直角三角形时，点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：1．解题要点①首先研究基本图形，对信息进行标注；②研究目标△ABP，A，B为定点，P为动点，若△ABP是直角三角形，需要根据直角顶点进行分类，根据题意信息，点A，B轮流作为直角顶点；③对于直角，需要结合题目背景灵活处理，如以点B为直角顶点时，可以借助坐标系背景用函数解析式来求点坐标；④审题需要注意，点P是y轴上的一动点，需要弄清目标．2．解题过程①若点Ａ充当直角顶点，即时，显然不成立；②若点Ｂ充当直角顶点，即时，过点B作⊥AB，交y轴于点，如图所示，则，∴．综上所述，符合题意的点P的坐标为．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性3.如图，将△ABC放在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0），C （0，2），P是线段AC上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作平行于x轴的直线，交BC于点Q，若在x轴上存在点R，使得△PQR是等腰直角三角形，则点R的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①观察题目特征，确定为等腰直角三角形存在性问题．②分析定点、动点、不变特征．从直角入手，分类讨论．③画图，表达线段长，借助等腰直角三角形性质建等式．2．解题过程由题意，得A（-1，0），B（3，0），C（0，2），则，．设，则，PQ=-2m+4．①如图，当点Q为直角顶点时，PQ=RQ．，，由-2m+4=m，得，∴．②如图，当点P为直角顶点时，PQ=PR．，，由-2m+4=m，得，∴．③如图，当点R为直角顶点时，RP=RQ．过点R作RD⊥于点D，则，由，得m=1，∴．综上得，点R的坐标为．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性。
直角三角形存在性问题
1．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1Q -，且与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD y ∥轴，交线段AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)设(),P x y ，PD 的长度为l ，求l 与x 的函数关系式，并求l 的最大值；(3)当ADP △是直角三角形时，求点P 的坐标．2．抛物线 212y x bx c =++与x 轴交于点()2,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于M ，交x 轴于N ，设点P 的横坐标为t ．(1)求该抛物线的解析式；(2)用关于t 的代数式表示线段PM ，求PM 的最大值及此时点M 的坐标；(3)过点C 作CH PN ⊥于点H ，9BMN CHM S S =△△，①求点P 的坐标；①连接CP ，在y 轴上是否存在点Q ，使得CPQ 为直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的解析式和点A 和点B 的坐标；(2)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使BCQ △是以BC 为直角边的直角三角形． 4．如图，抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的解析式和点A 和点B 的坐标；(2)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使BCQ △是以BC 为直角边的直角三角形． 5．已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （m ，0）两点，与y 轴交于点C （0，5）．(1)求b ，c ，m 的值；(2)如图1，点D 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D 在第一象限内，过点D 作x 轴的平行线交抛物线于点E ，作y 轴的平行线交x 轴于点G ，过点E 作EF ①x 轴，垂足为点F ，当四边形DEFG 的周长最大时，求点D 的坐标；(3)如图2，点M 是抛物线的顶点，将△MBC 沿BC 翻折得到△NBC ，NB 与y 轴交于点Q ，在对称轴上找一点P ，使得△PQB 是以QB 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标．6．如图，抛物线()224y x m x =-++的顶点C 在x 轴的正半轴上，直线2y x =+与抛物线交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧．(1)求m 的值；(2)点P 是抛物线()224y x m x =-++上一点，当PAB 的面积是ABC 面积的2倍时，求点P的坐标；(3)将直线AB 向下平移(0)k k >个单位长度，平移后的直线与抛物线交于D ，E 两点(点D 在点E的左侧)，当DEC为直角三角形时，求k的值．。
直角三角形存在性问题练习
直角三角形存在性问题练习题
1、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C 两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图14，已知抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（-1,0），对称轴为直线x = 2.
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点。
已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9.求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；
（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动。
设点P运动的时间为t秒。
①当t为秒是，△PAD的周长最小？当t为秒时，△PAD是以AD为腰
的等腰三角形？（结果保留根号）
②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
直角三角形的存在性问题
直角三角形的存在性问题（因动点产生的直角三角形的存在性问题）课前预热1、两点式2、两直线互相垂直，两直线的解析式为11b x k y +=与22b x k y += → 121-=⋅k k3、三角形相似：射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=24、三角函数求解新课认知问题提出：已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求 解第三点解决方法：1、找点方法：双线一圆（两垂线一圆）一圆指以已知边为直径作圆，双线指过线段（边）端点（顶点）做垂线. 2、分析题目中的定长、定角3、确定点的坐标情况分类：（1）当动点在直线上运动时常用方法:①121-=⋅k k ；②三角形相似；③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动是时情况分类：①已知点处做直角方法：①121-=⋅k k ；②三角形相似；③勾股定理.②动点处做直角方法：寻找特殊角.动点在直线上运动时例1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=-2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为秒时，△PAD的周长最小？当t为秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由当动点在曲线上运动时 (1)求解过程中只有已知点处做直角例2 如图，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）求解过程中动点处做直角例3 如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ=43AB,求tan ∠CED 的值②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．1、（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋12x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．（1）求证：△BDC ≌△COA ； （2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知抛物线y=ax 2+bx+3（a ≠0）经过A （3，0），B （4，1）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线y=ax 2+bx+3（a ≠0）的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（1），连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标．3、（2012内蒙古）如图，抛物线2y x bx 5=--与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF 的解析式；（3）在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例1（1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM．∵MN∥y轴，AB∥CD，∴四边形ODMN是矩形．∴DM=ON=2，∴CD=2×2=4．∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴AB=2，∵梯形ABCD的面积=（AB+CD）•OD=9，∴OD=3，即c=3．∴把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得．∴y=x2+4x+3．将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）．（3）①当t为2秒时，△PAD的周长最小；当t为4或4﹣或4+秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形．②存在．∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，∴∠PDM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°，∴∠PDM=∠APN，∵∠PMD=∠ANP，∴△APN∽△PDM，∴=，∴=，∴PN2﹣3PN+2=0，∴PN=1或PN=2．∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．故答案为：2；4或4﹣或4+例2（1）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=8，∵点B在点A的右侧，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．当x=0时，y=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）．（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．设直线BD的解析式为y=kx+b，则，解得k=﹣，b=4．∴直线BD的解析式为y=﹣x+4．∵l⊥x轴，∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣4）．如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，∴（﹣m+4）﹣（m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4）．化简得：m2﹣4m=0，解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．此时，四边形CQBM是平行四边形．解法一：∵m=4，∴点P是OB的中点．∵l⊥x轴，∴l∥y轴，∴△BPM∽△BOD，∴==，∴BM=DM，∵四边形CQMD是平行四边形，∴DM CQ，∴BM CQ，∴四边形CQBM是平行四边形．解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则，解得k1=，b1=﹣4．故直线BC的解析式为y=x﹣4．又∵l⊥x轴交BC于点N，∴x=4时，y=﹣2，∴点N的坐标为（4，﹣2），由上面可知，点M的坐标为（4，2），点Q的坐标为（4，﹣6）．∴MN=2﹣（﹣2）=4，NQ=﹣2﹣（﹣6）=4，∴MN=QN，又∵四边形CQMD是平行四边形，∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，∵在△BMN与△CQN中，，∴△BMN≌△CQN（ASA）∴BN=CN，∴四边形CQBM是平行四边形．（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（﹣2，0），Q2（6，﹣4）．若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：①以点Q为直角顶点．此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．∵P在线段EB上运动，∴﹣8≤x Q≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，故此种情形不存在．②以点D 为直角顶点．连接AD ，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，由勾股定理得：AD=，BD=，∵AB 2+BD 2=AB 2，∴△ABD 为直角三角形，即点A 为所求的点Q ． ∴Q 1（﹣2，0）；③以点B 为直角顶点．如图，设Q 2点坐标为（x ，y ），过点Q 2作Q 2K ⊥x 轴于点K ，则Q 2K=﹣y ，OK=x ，BK=8﹣x ． 易证△QKB ∽△BOD ， ∴，即，整理得：y=2x ﹣16．∵点Q 在抛物线上，∴y=x 2﹣x ﹣4． ∴x 2﹣x ﹣4=2x ﹣16，解得x=6或x=8，当x=8时，点Q 2与点B 重合，故舍去；当x=6时，y=﹣4，∴Q 2（6，﹣4）．例3 ⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴1221b b a -=-=⨯ ∴b =－2．∵抛物线与y 轴交于点C （0，－3），∴c =－3，∴抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．⑵∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，当y =0时，x 2－2x －3=0．∴x 1=－1,x 2=3.∵A 点在B 点左侧，∴A （－1，0），B （3，0）设过点B （3，0）、C （0，－3）的直线的函数表达式为y =kx ＋m ， 则033k m m =+⎧⎨-=⎩，∴13k m =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的函数表达式为y =x －3． ⑶①∵AB =4，PO =34AB ， ∴PO =3∵PO ⊥y 轴∴PO ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得点P 的横坐标为12-， ∴P （12-，74-）∴F（0，74 -），∴FC=3－OF=3－74=54．∵PO垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）．过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE－CG=52－1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG=．②P1（12），P2（1－252）．练习1、【答案】解：（1）证明：∵∠BCD ＋∠ACO ＝90°，∠ACO ＋∠OAC ＝90°，∴∠BCD ＝∠OAC 。
直角三角形存在性问题专项训练(一)(含答案)
直角三角形存在性问题专项训练（一）试卷简介:在前面通过训练平行四边形存在性、等腰三角形存在性让学生感受有序思考、有序操作的基础上，一方面训练学生直角三角形存在性操作要领，一方面继续训练有序思考和有序操作，需要学生能够掌握整合信息，读题标注；分析特征，有序思考，设计方案；根据方案作出图形，有序操作；检查验证整个过程。
一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，已知点在直线上，P是x轴上一点，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①理解题意，整合信息．将A，B两点坐标以及函数解析式都标注在图上．②分析特征有序思考，设计方案．分析定点，动点：△ABP中，A，B是定点，P是动点；确定分类标准：以三角形的三个顶点轮流当直角顶点进行分类讨论．③根据方案作出图形，有序操作．当定点A或B为直角顶点时，由于AB是定直线，可以利用求解；当动点P为直角顶点时，可以利用相似（三等角模型）或求解．④结果检验，总结．作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍．2．解题过程当∠BAP=90°时，过点A作，交x轴于点，如图所示，∵，∴，∴．当∠ABP=90°时，过点B作，交x轴于点，如图所示，∵，∴，∴．当∠APB=90°时，如图，过点B作BD⊥x轴于点D．则△AOP∽△PDB，∴，即，解得，∴，如图所示，综上，符合题意的点P的坐标为．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性2.如图，已知A（1，0），B（0，3），P是直线x=2上一点，若△ABP是以AB为斜边的直角三角形，则点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：1．解题要点①理解题意，整合信息．将A，B两点坐标及直线信息标注在图上．②分析特征有序思考，设计方案．分析定点，动点：△ABP中，A，B是定点，P是动点；确定分类标准：题目要求△ABP是以AB为斜边的直角三角形，所以只能是点P作为直角顶点．③根据方案作出图形，有序操作．当动点P为直角顶点时，可以利用相似（三等角模型）或求解．④结果检验，总结．作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍；2．解题过程如图，设点P满足∠APB=90°，直线x=2与x轴交于点C，过点B作BD⊥CP于点D．∵∠APB=90°，∴∠BPD+∠APC=90°．∵∠BPD+∠PBD=90°，∴∠PBD=∠APC，则Rt△DBP∽Rt△CPA，∴，即，解得PC=1或PC=2，∴，即符合题意的点P的坐标为．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性3.如图，已知A(0，2)，B(4，0)，点C在x轴上，CD⊥x轴，交线段AB于点D，且点D不与A，B两点重合，将△ABO沿CD折叠，使点B落在x轴上的点E处．设点C的横坐标为x，则当△ADE为直角三角形时，x的值为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：1．解题要点①理解题意，整合信息．将A，B两点坐标及翻折信息标注在图上．②分析特征有序思考，设计方案．分析定点，动点：△ADE中，A是定点，D，E是动点；确定分类标准：以三角形的三个顶点轮流当直角顶点进行分类讨论，但结合题目信息，∠ADE不可能为直角，所以直角顶点只能是点A和点E．③根据方案作出图形，有序操作．当定点A为直角顶点时，由于AD是定直线，可以利用求解；当动点E为直角顶点时，可以利用相似（三等角模型）或求解．④结果检验，总结．作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍．2．解题过程∵A(0，2)，B(4，0)，∴OA=2，OB=4．由题意得，BC=CE，∠DBE=∠DEB．∵，∴．①当∠DAE=90°时，过点A作AE⊥AB，交x轴于点E，作BE的垂直平分线，找到折痕CD的位置，如图所示，在Rt△AEB中，，∴OE=1，∴E（-1，0），∴，．②当∠AED=90°时，点E只能在x轴的正半轴上，如图所示，∵C（x，0），∴BC=CE=4-x，∴．∵△AOE∽△ECD，∴，即，解得．∵，∴．综上，符合题意的x的值为．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性4.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两邻边OA，OC分别在x轴、y轴上，顶点B的坐标为（5，2），D是点A右侧的x轴上一点，E是y轴负半轴上一点，且OE=2AD=2t．连接BD，BE，DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为( )A.4B.C. D.答案：A解题思路：1．解题要点①理解题意，整合信息．将信息标注在图上．②分析特征有序思考，设计方案．分析定点，动点：△BDE中，B是定点，D，E是动点；确定分类标准：以三角形的三个顶点轮流当直角顶点进行分类讨论，但结合题目信息，∠BED不可能为直角，所以直角顶点只能是点B和点D．③根据方案作出图形，有序操作．当定点B为直角顶点时，结合题目背景，可以利用相似来解决问题；当动点D为直角顶点时，结合题目背景，可以利用相似（三等角模型）来解决问题．④结果检验，总结．作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍．2．解题过程由题意得BC=OA=5，AB=OC=2．∵OE=2AD=2t，∴CE=2+2t．①当∠EBD=90°时，如图所示，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠=∠3，∴Rt△BCE∽Rt△BAD，∴，即，解得，符合题意．∴当时，△BDE是直角三角形．②当∠EDB=90°时，如图所示，过点D作直线轴，分别过点B，E作直线的垂线，垂足分别为点G，H．则四边形OEHD和四边形BADG都是矩形，BG=AD=t，DG=AB=2，EH=OD=t+5，DH=OE=2t．∵△BGD∽△DHE，∴，即，解得，不符合题意．综上，符合题意的t的值为4．试题难度：三颗星知识点：直角三角形的存在性。
专题二次函数中的存在性问题-重难点题型(沪科版)
专题21.10 二次函数中的存在性问题-重难点题型【沪科版】【题型1 二次函数中直角三角形存在性问题】【例1】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【变式1-1】（2021春•望城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）连接P A、PC、AC，求△P AC面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2021•长沙模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．（1）求二次函数解析式；（2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-3】（2021•长沙模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由．【题型2 二次函数中等腰三角形存在性问题】【例2】（2020秋•曾都区期末）如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P 是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．【变式2-1】（2020秋•云南期末）如图，直线y=−12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．（1）求B，C两点的坐标．（2）求该二次函数的解析式．（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式2-2】（2021•南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=5 2．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2021•建华区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝；（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME 长的最大值及点M的坐标；（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型3 二次函数中平行四边形存在性问题】【例3】（2020秋•元阳县期末）如图，直线y=−12x+c与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC．（1）求抛物线的函数解析式．（2）M为x轴的下方的抛物线上一动点，求△ABM的面积的最大值．（3）P为抛物线上一动点，Q为x轴上一动点，当以B，C，Q，P为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标．【变式3-1】（2020秋•泰山区期末）如图，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图．（1）求直线AB和抛物线的表达式；（2）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，在备用图中画出图形并求出点Q的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点且AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-2】（2021春•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P从点B出发，沿着射线BC运动，速度每秒√2个单位长度，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．设运动时间为t秒．①在运动过程中，当t为何值时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大？并求出此时点P的坐标．②若点N同时从点B出发，向x轴正方向运动，速度每秒v个单位长度，问：是否存在t使点B，C，M，N构成平行四边形？若存在，求出t，v的值；若不存在，说明理由．【变式3-3】（2021•北碚区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A，C（﹣6，0）两点（点A在点C右侧），交y轴于点B，连接BC，且AC＝4．（1）求抛物线的解析式．（2）若P是BC上方抛物线上不同于点A的一动点，连接P A，PB，PC，求当S△PBC−12S△P AC有最大值时点P的坐标，并求出此时的最大值．（3）如图2，将原抛物线向右平移，使得点A刚好落在原点O，M是平移后的抛物线上一动点，Q是直线BC上一动点．当A，M，B，Q组成的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点Q的坐标．【题型4 二次函数中菱形存在性问题】【例4】（2020秋•巴南区期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值．（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2021•湘潭）如图，一次函数y=√33x−√3图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y=√33x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．交于点A（4，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；（2）将点C向右平移n个单位得到点D，点D在该二次函数图象上．点P是直线BD下方该二次函数图象上一点，求△PBD面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）中，当△PBD面积取得最大值时，点E是过点P且垂直于x轴直线上的一点．在该直角坐标平面内，是否存在点Q，使得以点P，D，E，Q四点为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型5 二次函数中矩形存在性问题】【例5】（2021春•九龙坡区校级期末）如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，连接AC、BC．（1）求三角形ABC的面积；（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-1】（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2√2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．【变式5-2】（2021春•杏花岭区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△BCP的面积最大，求△BCP 的最大面积及此时点P的坐标；（3）点M为抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，直接写出点M的坐标．【变式5-3】（2021•北碚区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y=12x﹣4．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2√5个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【题型6 二次函数中正方形存在性问题】【例6】（2021•渝中区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣2，0），并且抛物线过点D（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线CD上方抛物线上一点，过P作PE∥y轴交BC于点E，连接CP，PD，DE，求四边形CPDE面积的最值及点P的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），是否在新抛物线上存在点M，在平面内存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由．【变式6-1】（2020秋•高明区期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，GM⊥x轴于点M，N为直线PF上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．【变式6-2】（2021•合川区校级模拟）如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接F A，FB，求出四边形F AOB面积最大值及此时点F的坐标．（3）如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M 使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【变式6-3】（2021•海南模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B （4，0），交y轴于点C（0，4）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y=34x+94与抛物线交于A、D两点，与直线BC交于点E．若点M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当S EOG=12S△AOE时，求m的值；②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．。
专题1.3 含30°角的直角三角形性质专项训练(30道)(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.3 含30°角的直角三角形性质专项训练（30道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择题10道，填空题10道，解答题10道，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，综合性较强！一．选择题（共10小题）1．（2021秋•娄星区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠A＝30°，则下列结论中正确的是（ ）A．AC＝2AD B．CD＝2BD C．BC＝2CD D．BC＝2BD【解题思路】根据直角三角形的性质可得在直角三角形ACB中AB＝2BC，在直角△CDB中BC＝2BD，在直角△ACD中AC＝2CD．【解答过程】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴△ACB是直角三角形，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CD是AB边上的高，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴∠ACD＝60°，∴∠DCB＝30°，∴BC＝2BD，AC＝2CD．故选：D．2．（2021春•丹东期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝4，则BC的长为（ ）A．8B．10C．11D．12【解题思路】依据等腰三角形的内角和，即可得到∠C＝∠B＝30°，依据AD⊥AB交BC于点D，即可得到BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，CD＝AD＝4，进而得出BC的长．【解答过程】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠B＝30°，∵AD⊥AB交BC于点D，∴BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，∴CD＝AD＝4，∴BC＝BD+CD＝8+4＝12．故选：D．3．如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（ ）A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm【解题思路】过点P作PE⊥OB于点E，根据△PCD为等腰三角形，则E为CD的中点，再由△POE为直角三角形，∠AOB＝60°，即可得出答案．【解答过程】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，则PE⊥CD，∵PC＝PD，∴△PCD为等腰三角形，∴点E为CD的中点，∵OC＝5cm，OD＝8cm，∴CD＝3cm，∴OE＝6.5cm，∵∠AOB＝60°，∴∠OPE＝90°﹣60°＝30°，∴OP＝2OE＝13cm，故选：A．4．（2021春•濮阳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（ ）A．8B．4C．12D．6【解题思路】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，∠CAD＝90°，可得∠DAB＝∠B＝30°，即BD＝AD＝4．Rt△ACD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得CD＝2AD＝8，由此可求得BC的长．【解答过程】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥AC，AD＝4，∴CD＝2AD＝2×4＝8，∵∠C+∠ADC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°，∵∠ADC＝∠DAB+∠B，∴∠DAB＝30°，∴∠DAB＝∠B，∴DB＝AD＝4，∴BC＝BD+DC＝4+8＝12，故选：C．5．（2021春•新城区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ）A．5B．6C．8D．10【解题思路】先设BD＝x，则CD＝10﹣x，根据△ABC是等边三角形得出∠B＝∠C＝60°，求出∠BDE ＝30°，∠CDF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出CF和CF，再相加即可．【解答过程】解：设BD＝x，则CD＝10﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，∴BE=12BD=x2同理可得，CF=10x 2，∴BE+CF=x2+10x2=5，故选：A．6．（2021春•岳麓区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（ ）A．10B．8C．6D．4【解题思路】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答过程】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．7．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE 是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（ ）A．4.5B．5C．5.5D．6【解题思路】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．【解答过程】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．8．（2020秋•丛台区校级期末）如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（ ）A．3B．4C．5D．6【解题思路】根据等边三角形的性质得出AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，求出∠ACD＝60°，∠CAD＝90°，求出∠ADC＝30°，根据很30度角的直角三角形性质得出DC＝2AC，求出即可．【解答过程】解：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，AB＝3，∠BAD＝150°，∴AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝150°﹣60°＝90°，∴∠ADC＝30°，∴DC＝2AC＝6，∴DE＝DC＝6，故选：D．9．（2021•海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）A．4B．6C．8D．10【解题思路】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可．【解答过程】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故选：D．10．（2021春•织金县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝3AD，其中正确的个数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【解题思路】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定定理、直角三角形的性质判断即可．【解答过程】解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝60°，∠C＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE=12∠ABC＝30°，∴∠EBC＝∠C，∴EB＝EC，∴AC﹣BE＝AC﹣EC＝AE，①正确；∵EB＝EC，∴点E在线段BC的垂直平分线上，②正确；∵∠BAC＝90°，∠ABE＝30°，∴AEB＝60°，∵AD⊥BE，∴∠DAE＝30°，∴∠DAE＝∠C，③正确；∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴BC＝2AB，同法AB＝2AD,∴BC＝4AD,④错误，故选：B．二．填空题（共10小题）11．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为 1.85m ．【解题思路】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答过程】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC=12AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE=12BC＝1.85m，故答案为：1.85m．12．（2020秋•沂水县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝6，点D，E分别是边BC，AC上的点，且BD＝2CD，DE∥AB，则DE的长是 2 ．【解题思路】由∠ACB＝90°，∠ABC＝60°得∠A＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=12AB＝3，由BD＝2CD可得CD＝1，根据平行线的性质得∠DEC＝∠A＝30°，即可得DE＝2CD＝2．【解答过程】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴BC=12AB＝3，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴DE＝2CD＝2．故答案为：2．13．（2021春•普宁市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝2，则CF的长为 4 ．【解题思路】连接AF，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠B＝∠C＝30°，利用线段垂直平分线的性质可求解∠BAF＝30°，即可求解∠FAC＝90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可求解CF的长．【解答过程】解：连接AF，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵EF垂直平分AB，∴BF＝AF，∴∠BAF＝∠B＝30°，∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，∴CF＝2AF＝2BF，∵BF＝2，∴CF＝4．故答案为4．14．（2021春•垦利区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD．若AD＝2cm，则△ABC的周长为 12 cm．【解题思路】利用平行线的性质和CD⊥AD，先得到∠DCB的度数，再求出∠ACD的度数，再直角三角形中，利用30°角所对的边与斜边的关系求出AC，最后求出等边三角形的周长．【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°．∵AD∥BC，CD⊥AD，∴∠D+∠DCB＝180°，∠D＝90°．∴∠DCB＝90°．∴∠ACD＝∠∠DCB﹣∠ACB＝30°．在Rt△ACD中，∵AD＝2cm，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝4（cm）．L＝AB+AC+BC＝12（cm）．△ABC故答案为：12．15．（2021春•九江期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，F为AC上一点，FD垂直平分AB，交AB于点D，线段DF上点E满足EF＝2DE＝2，连接CE、EB，若BE＝EC，则CF的长为 4 ．【解题思路】连接AE，过点E作EG⊥AC交AC于点G，根据已知条件，可得等腰三角形AEC，利用等腰三角形的三线合一解题即可．【解答过程】解：如图，连接AE，过点E作EG⊥AC交AC于点G．在△ABC 中，∠CAB ＝30°，FD 垂直平分AB ，EF ＝2DE ＝2，∴FD ＝3DE ＝3，AF ＝2FD ＝6，AE ＝BE ，∵BE ＝EC ，∴AE ＝EC ，∴GF =12EF ＝1，AG ＝GC ＝5，∴CF ＝GC ﹣GF ＝5﹣1＝4．故答案为：4．16．（2021春•沂源县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠ABC ＝15°，则△ABC 的面积为 16 ．【解题思路】过B 点作BD ⊥AC ，交CA 的延长线于点D ，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求得∠BAD 的度数，由含30°角的直角三角形的性质可求解BD 的长，利用三角形的面积公式可求解△ABC 的面积．【解答过程】解：过B 点作BD ⊥AC ，交CA 的延长线于点D ，，∵AB ＝AC ，∠ABC ＝15°，∴∠C ＝∠ABC ＝15°，∴∠DAB ＝∠ABC +∠C ＝30°，∵AB ＝AC ＝8，∴BD =12AB ＝4，∴△ABC 的面积为：12AC ⋅BD =12×8×4=16．故答案为16．17．（2021春•济宁期末）如图，△ABC 是等边三角形，点D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ，EF ∥AB ，AD ＝6，则△EFC 的周长为 27 ．【解题思路】利用含30度角的直角三角形求出AE 的长，根据平行线的性质、等边三角形的性质和判定求出△EFC 各边长，周长即可求．【解答过程】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ．∵点D 为AB 的中点，AD ＝6，∴AB ＝2AD ＝12．∵DE ⊥AC 于点E ，AD ＝6，∴∠ADE ＝30°，∴AE =12AD ＝3，∴CE ＝AC ﹣AE ＝9．∵EF ∥AB ，∴∠FEC ＝∠A ＝60°，∵∠C ＝60°，∴△EFC 是等边三角形．∴△EFC 的周长＝9+9+9＝27．故答案为27．18．（2020秋•西城区期末）如图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ．若AD ＝12，则DE ＝ 6 ；△EDC 与△ABC 的面积关系是：S △EDC S △ABC = 18 ．【解题思路】由等边三角形的性质得出∠C ＝∠BAC ＝60°，由直角三角形的性质得出DE ＝6，由直角三角形的性质得出BC ＝4EC ，根据三角形的面积公式可得出答案．【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠DAC=12∠BAC＝30°，∵AD＝12，∴DE=12AD＝6；∵DE⊥AC，∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∴EC=12 DC，∴BC＝4EC，∵S△EDC =12ED⋅EC=12×6×EC＝3EC，S△ABC=12AD×BC=12×12×BC＝6BC＝24EC，∴S△EDCS△ABC=3EC24EC=18．故答案为：6，1 8．19．（2020秋•海珠区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为 6 ．【解题思路】根据三角形的内角和定理求出∠ACB，根据平行线的性质求出∠AMN＝30°，根据角平分线的定义求出∠NMC＝∠ACM＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出即可≤【解答过程】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝30°，∵∠A＝90°，AN＝1，∴MN＝2AN＝2，∵MN平分∠AMC，∠AMN＝30°，∴∠AMC＝∠AMN+∠NMC＝60°∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠ACM=12∠ACB＝30°，∴∠ACM＝∠NMC，∴MN＝CN＝2，∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝2×3＝6，故答案为：6．20．（2020秋•梁园区期末）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是钝角三角形时，t满足的条件是 0＜t＜32或t＞6 ．【解题思路】过A作AP⊥BC和过A作P'A⊥AB两种情况，利用含30°的直角三角形的性质解答．【解答过程】解：①过A作AP⊥BC时，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP=3 2，∴当0＜t＜32时，△ABP是钝角三角形；②过A作P'A⊥AB时，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP'＝6，∴当t＞6时，△ABP'是钝角三角形，故答案为：0＜t＜32或t＞6．三．解答题（共10小题）21．（2021春•渠县校级期末）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE＝3AE．【解题思路】连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，再根据等腰三角形两底角相等求出∠C＝30°，再求出∠ADE＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半进行求解即可．【解答过程】证明：如图，连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠C=12（180°﹣120°）＝30°，∵DE⊥AC，∴∠ADE＝∠C＝30°，在Rt△ADE中，AD＝2AE，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝4AE，∴CE＝AC﹣AE＝4AE﹣AE＝3AE，即CE＝3AE．22．（2020秋•无棣县期末）如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．若CD＝3cm，求DF的长．【解题思路】由等边三角形性质和平行线的性质证得∠EDC＝60°，再根据利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝CD＝3（cm），∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°，∴DF＝2DE＝6（cm）．23．（2020秋•丰台区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，AE∥CB，∠AEB＝90°．求证：AE＝CD．【解题思路】由等边三角形的性质得出CD＝AD=12AB，由平行线的性质得出∠BAE＝∠ABC＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性质得出AE=12AB，则可得出答案．【解答过程】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC，∵BD⊥AC，∴CD＝AD=12 AB，∵AE∥BC，∴∠BAE＝∠ABC＝60°，∵∠AEB＝90°，∴∠ABE＝30°，∴AE=12 AB，∴AE＝CD．24．（2020秋•温岭市期中）一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明原因．【解题思路】作PD⊥AB，利用直角三角形性质求出PD长，和3.8海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．【解答过程】解：有触礁危险．理由如下：作PD⊥AB于D，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB＝15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠APB＝15°，∴AB＝PB＝7海里，∵∠PBD＝30°，∴PD=12PB＝3.5＜3.8，∴该船继续向东航行，有触礁的危险．25．（2020春•揭西县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB 和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．【解题思路】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．【解答过程】（1）证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：连接CD．∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．26．（2020秋•西华县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD ＝BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，MF的长为2．（1）求∠ADE的度数；（2）△ADF是正三角形吗？为什么？（3）求AB的长．【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B和∠C，求出∠BDE，即可求出答案；（2）求出DF＝CF，根据等腰三角形的性质求出∠FDC＝∠C，求出∠AFD和∠DAF，根据等边三角形的判定得出即可；（3）求出CF和DF，根据等边三角形的性质求出AF，求出AC，即可求出AB．【解答过程】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=12×（180°﹣∠BAC）＝30°，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED=12×（180°﹣∠B）＝75°，∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝15°；（2）△ADF是正三角形，理由是：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，∴DF＝CF，∵∠C＝30°，∴∠FDC＝∠C＝30°，∴∠AFD＝∠C+∠FDC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAF＝90°﹣∠C＝60°，∴∠ADF＝60°，即∠FAD＝∠ADF＝∠AFD＝60°，∴△ADF是正三角形；（3）∵CD的垂直平分线MF，∴∠FMC＝90°，∵∠C＝30°，MF＝2，∴FC＝2MF＝4，∵DF＝FC，∴DF＝4，∵△ADF是等边三角形，∴AF＝DF＝4，∴AC＝AF+CF＝4+4＝8，∵AB＝AC，∴AB＝8．27．（2021秋•官渡区期末）如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．【解题思路】先延长AD、BC交于E，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD＝CE＝DE＝x，根据AD＝4，BC＝1和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．【解答过程】解：延长AD、BC交于E，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°，∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，设CD＝CE＝DE＝x，∵AD＝4，BC＝1，∴2（1+x）＝x+4，解得；x＝2，∴CD＝2．28．（2021春•昌图县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【解题思路】用含t的代数式表示出BP、BQ．（1）由于∠B＝60°，当BP＝BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；（2）分两种情况进行讨论：当∠BOP＝90°时，当∠BPQ＝90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论．【解答过程】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴t=4 3．当t=43时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴t=8 5．即当t=85或t＝1时，△PBQ为直角三角形．29．（2021秋•禹州市期中）如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．（1）若BQ＝2，求PE的长（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．【解题思路】（1）先根据△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，可知∠EBP＝30°，由PE⊥AB于点E，进而可得PE=12BP，然后由线段BP的垂直平分线交BC于点F，可得BP＝2BQ＝4，进而可求PE的长；（2）由等边三角形的性质得出∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，求出∠BPE＝60°，由线段垂直平分线的性质得出FB＝FP，由等腰三角形的性质得出∠FBQ＝∠FPQ＝30°，得出∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°即可．【解答过程】解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠PBC＝30°，∵PE⊥AB于点E，∴∠BEP＝90°，∴PE=12 BP，∵QF为线段BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝2×2＝4，∴PE=12×4＝2；（2）△EFP是直角三角形．理由如下：连接PF、EF，如图所示：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∴∠BPE＝60°，∵FQ垂直平分线段BP，∴FB＝FP，∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，∴△EFP是直角三角形．30．（2021•沙坪坝区校级二模）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE 交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．【解题思路】（1）根据角平分线的性质得到∠ABE＝∠CBE＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD ＝∠ADC＝75°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质计算，即可证明．【解答过程】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝4CH，在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．。
专题01直角三角形的存在性问题(解析版)
专题一直角三角形的存在性问题【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。
这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。
【解题攻略】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【解题类型及其思路】当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角【典例指引】类型一【确定三角形的形状】典例指引1．（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x=--；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t tSt t t t⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．试题解析：解（1）∵2+430x x+=，∴11x=-，23x=-，∵m，n是一元二次方程2+430x x+=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x=--的图象经过点A（m，0），B（0，n），∴10{3b cc-+==-，∴2{3bc=-=-，∴抛物线解析式为223y x x=--；（2）令y=0，则2230x x--=，∴11x=-，23x=，∴C（3，0），∵223y x x=--=2(1)4x--，∴顶点坐标D（1，﹣4），过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，223t t--），过点Q 作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ2，∴QF=1．①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（223t t--）=23t t-+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t-+=21322t t-+，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM=223t t--﹣（t﹣3）=23t t-，∴S=12PM×QF=12（23t t-）=21322t t-．综上所述，S=2213(03)22{13(03)22t t tt t t t或-+<<-．【举一反三】（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y =a （x +1）（x -3），展开得到-2a =2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C （0，3），然后利用待定系数法求直线AC 的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D 的坐标为（1，4），作B 点关于y 轴的对称点B ′，连接DB ′交y 轴于M ，如图1，则B ′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB +MD 的值最小，则此时△BDM 的周长最小，然后求出直线DB ′的解析式即可得到点M 的坐标；（3）过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y =-13x +b ，把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为y =-13x +3，再解方程组223133y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P 点坐标；当过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P 时，利用同样的方法可求出此时P 点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y =a （x +1）（x ﹣3），即y =ax 2﹣2ax ﹣3a ，∴﹣2a =2，解得a =﹣1，∴抛物线解析式为y =﹣x 2+2x +3；当x =0时，y =﹣x 2+2x +3=3，则C （0，3），设直线AC 的解析式为y =px +q ，把A （﹣1，0），C （0，3）代入得03p q q -+=⎧⎨=⎩，解得33p q =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y =3x +3；（2）∵y =﹣x 2+2x +3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，4），作B 点关于y 轴的对称点B ′，连接DB ′交y 轴于M ，如图1，则B ′（﹣3，0），∵MB =MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组223 1133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.类型二【确定点的坐标】典例指引2．19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N 旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM 为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；（3）存在，P为（1172+，﹣2）或（1172，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．【解析】分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N （0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标．本题解析：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），∴﹣4=a•1﹣3，解得a=﹣1，∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．设衍生直线为y=kx+b，∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），∴304bk b -=+⎧⎨-=+⎩，∴13 kb=-⎧⎨=-⎩，∴衍生直线为y=﹣x﹣3．（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得22121y xy x⎧=-+⎨=-+⎩，解得1xy=⎧⎨=⎩或11xy=⎧⎨=-⎩，∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．（3）∵N（0，﹣3），∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．设点P坐标为（x，﹣2），∵O（0，0），M（1，﹣4），∴OM2=（x M﹣x O）2+（y O﹣y M）2=1+16=17，OP2=（|x P﹣x O|）2+（y O﹣y P）2=x2+4，MP2=（|x P﹣x M|）2+（y P﹣y M）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，解得x=117+或x=117-，即P（117+，﹣2）或P（117-，﹣2）．②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得x=9，即P（9，﹣2）．③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．综上所述，当P为（117+，﹣2）或（117-，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．【名师点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是：利用其表示坐标系中两点距离，是近几年中考的热点,需学生熟练运用.如图，抛物线y =﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣5，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E （x ，y ）为抛物线上一点，且﹣5＜x ＜﹣2，过点E 作EF ∥x 轴，交抛物线的对称轴于点F ，作EH ⊥x 轴于点H ，得到矩形EHDF ，求矩形EHDF 周长的最大值；（3）如图2，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点P ，使以点P ，A ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =﹣x 2﹣4x +5．（2）372；（3）P 坐标为（﹣2，7）或（﹣2，﹣3）或（﹣2，6）或（﹣2，﹣1）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；（3）分三种情形分别求解①当90,ACP ∠=o 由222AC PC PA +=， 列出方程即可解决．②当90CAP ∠=︒时，由222AC PA PC +=， 列出方程即可解决．③当90APC ∠=︒ 时，由222PA PC AC +=，列出方程即可；试题解析：(1)把A (−5,0),B (1,0)两点坐标代入2y x bx c =-++， 得到255010b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得45b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数表达式为24 5.y x x =--+(2)如图1中，∵抛物线的对称轴x =−2,2(,45)E x x x ，--+ ∴2452EH x x EF x =--+=--，，∴矩形EFDH 的周长225372()2(53)2().22EH EF x x x =+=--+=-++ ∵−2<0， ∴52x =-时,矩形EHDF 的周长最大,最大值为37.2 (3)如图2中,设P (−2,m )①当90,ACP ∠=o ∵222AC PC PA +=，∴22222(52)2(5)3m m ++-=+，解得m =7，∴P 1(−2,7).②当90CAP ∠=o 时,∵222AC PA PC +=，∴22222(52)32(5)m m ++=+-，解得m =−3，∴P 2(−2,−3).③当90APC ∠=o 时,∵222PA PC AC +=，∴2222232(5)(52)m m ，+++-=解得m=6或−1，∴P3(−2,6),P4(−2,−1)，综上所述,满足条件的点P坐标为(−2,7)或(−2,−3)或(−2,6)或(−2,−1).类型三【确定动点运动的时间】典例指引3．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x ＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．(1)求实数a，b的值；(2)如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F5AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．【解析】试题分析：（1）根据抛物线图象经过点A以及“当x=﹣2和x=5时二次函数的函数值y相等”两个条件，列出方程组求出待定系数的值．（2）①首先由抛物线解析式能得到点A、B、C三点的坐标，则线段OA、OB、OC的长可求，进一步能得出AB、BC、AC的长；首先用t表示出线段AD、AE、AF（即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF 是直角，可分成三种情况讨论：i）点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；ii）点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；iii）点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC 又是钝角，所以这种情况不符合题意．②此题需要分三种情况讨论：i ）当点E 在点A 与线段AB 中点之间时，两个三角形的重叠部分是整个△DEF ；ii ）当点E 在线段AB 中点与点O 之间时，重叠部分是个不规则四边形，那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得；iii ）当点E 在线段OB 上时，重叠部分是个小直角三角形．试题解析：解：（1）由题意得： 16420{ 4222552a b a b a b +-=--=+-，解得：a =12，b =32-． （2）①由（1）知二次函数为213222y x x =--.∵A （4，0），∴B （﹣1，0），C （0，﹣2），∴OA =4，OB =1，OC =2，∴AB =5，AC =BC AC 2+BC 2=25=AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB =90°．∵AE =2t ，AF ，∴AF AB AE AC ==又∵∠EAF =∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴∠AEF =∠ACB =90°，∴△AEF 沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点D 处；由翻折知，DE =AE ，∴AD =2AE =4t ，EF =12AE =t ． 假设△DCF 为直角三角形，当点F 在线段AC 上时： ⅰ）若C 为直角顶点，则点D 与点B 重合，如图2，∴AE =12AB =52t =52÷2=54； ⅱ）若D 为直角顶点，如图3．∵∠CDF =90°，∴∠ODC +∠EDF =90°．∵∠EDF =∠EAF ，∴∠OBC +∠EAF =90°，∴∠ODC =∠OBC ，∴BC =DC ．∵OC ⊥BD ，∴OD =OB =1，∴AD =3，∴AE =32，∴t =34； 当点F 在AC 延长线上时，∠DFC ＞90°，△DCF 为钝角三角形．综上所述，存在时刻t ，使得△DCF 为直角三角形，t =34或t =54． ②ⅰ）当0＜t ≤54时，重叠部分为△DEF ，如图1、图2，∴S =12×2t ×t =t 2； ⅱ）当54＜t ≤2时，设DF 与BC 相交于点G ，则重叠部分为四边形BEFG ，如图4，过点G 作GH ⊥BE 于H ，设GH =m ，则BH = 12m ，DH =2m ，∴DB =32m ． ∵DB =AD ﹣AB =4t ﹣5，∴ 32m =4t ﹣5，∴m =23（4t ﹣5），∴S =S △DEF ﹣S △DBG =12×2t ×t ﹣12（4t ﹣5）×23（4t ﹣5）=2134025333t t -+-； ⅲ）当2＜t ≤52时，重叠部分为△BEG ，如图5． ∵BE =DE ﹣DB =2t ﹣（4t ﹣5）=5﹣2t ，GE =2BE =2（5﹣2t ），∴S =12×（5﹣2t ）×2（5﹣2t ）=4t 2﹣20t +25． 综上所述： 2225(0)41340255{(2) 3334542025(2)2t t S t t t t t t <≤=-+-<≤-+<≤ ．【名师点睛】此题主要考查的是动点函数问题，涉及了函数解析式的确定、直角三角形以及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及图形面积的解法等综合知识；第二题的两个小题涉及的情况较多，一定要根据动点的不同位置来分类讨论，抓住动点的关键位置来确定未知数的取值范围是解题的关键所在．【举一反三】（2018·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）；（2）存在．S △PBC 最大值为2716；（3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．【解析】【分析】（1）在2y mx 2mx 3m =--中令y =0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD =90°时；②∠BDM =90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y =0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）． （2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =．∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD <90°, ∴讨论∠BMD =90°和∠BDM =90°两种情况：当∠BMD =90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m =22m =(舍去)． 当∠BDM =90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m =或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【新题训练】1．（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣34x +3；（2）R （1，92）；（3）BT ＝2或BT ＝165． 【详解】 解：（1）令y =0，即2333084x x -++=，解得122,4x x =-=， ∵点A 在点B 的左侧∴A （﹣2，0），B （4，0），令x =0解得y =3，∴C （0，3），设BC 所在直线的解析式为y =kx +3， 将B 点坐标代入解得k =34-∴BC 的解析式为y ＝-34x +3； （2）∵MQ ⊥BC ，M 作x 轴，∴∠QMH ＝∠CBO ，∴tan ∠QMH ＝tan ∠CBO ＝34， ∴QH ＝34QM ，MH ＝54MQ ， ∴△MHQ 周长＝MQ +QH +MH ＝34QM +QM +54MQ ＝3QM ， 则求△MHQ 周长的最大值，即为求QM 的最大值； 设M （m ，233384m m -++）， 过点M 与BC 直线垂直的直线解析式为243733812y x m m =--+， 直线BC 与其垂线相交的交点22972721,35025200100Q m m m m ⎛⎫+--+⎪⎝⎭， ∴()23=410MQ m m -+，∴当m＝2时，MQ有最大值65，∴△MHQ周长的最大值为185，此时M（2，3），函数的对称轴为x＝1，作点M关于对称轴的对称点M'（0，3），连接AM'与对称轴交于点R，此时|AR﹣MR|＝|AR﹣M'R|＝AM'，∴|AR﹣MR|的最大值为AM'；∵AM'的直线解析式为y＝32x+3，∴R（1，92）；（3）①当TC'∥OC时，GO⊥TC'，∵△OCT≌△OTC'，∴3412=55 OG⨯＝，∴12655 T⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴BT＝2；②当OT⊥BC时，过点T作TH⊥x轴，OT＝125，∵∠BOT＝∠BCO，∴3=1255cOo BOTHs∠＝，∴OH＝36 25，∴36482525 T⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴BT＝165；综上所述：BT＝2或BT＝165．2．（2019·福建师范大学附属中学初中部初三月考）如图，抛物线y＝mx2+nx﹣3（m≠0）与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求点C坐标及抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2212；（3）点D的坐标为：310，﹣310)、(310﹣10)、(1，﹣3)【详解】 解：（1）∵抛物线与x 轴交于A (﹣3，0)，B (1，0)两点，∴抛物线的表达式为：()22(3)(1)23=23=+-=+-+-y a x x a x x ax ax a ，即﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）过点P 作PM ∥y 轴交直线EF 于点M ，设点P (x ，x 2+2x ﹣3)、点M (x ，﹣x )，则PH ＝22PM ＝()2222321223=2228⎛⎫---+-++ ⎪⎝⎭x x x x ， 当x ＝﹣32时，PH 的最大值为2128； （3）①当∠BCD ＝90°时，如图2左侧图，当点D 在BC 右侧时，过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，则CD ＝1，OB ＝1，OC ＝3，tan ∠BCO ＝13＝tan ∠CDM ＝tanα，则sinα10，cosα10x D ＝CDcosα＝310，同理y D ＝﹣3﹣10， 故点D (310，﹣3﹣1010)； 同理当点D （D ′）在BC 的左侧时，同理可得：点D ′(﹣310，﹣3+10)； ②当∠CDB ＝90°时，如右侧图，CD ＝OB ＝1，则点D (1，﹣3)；综上，点D 的坐标为：(310，﹣3﹣10)、(﹣310，﹣3+10)、(1，﹣3)． 3．（2019·四川中考真题）如图，顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ，点B 在该图象上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB ∆的形状，并求出此时点B 的坐标． ②求证：BNM ONM ∠=∠．【答案】（1）二次函数的关系式为2211y (x 3)3x 2x 33=--+=-+；（2）①NOB ∆是等腰直角三角形，此时点B 坐标为(332,3)+-；②见解析【详解】解：（1）∵二次函数顶点为(3,3)P∴设顶点式2(3)3y a x =-+∵二次函数图象过点(6,0)A∴2(63)30a -+=，解得：13a =- ∴二次函数的关系式为2211y (x 3)3x 2x 33=--+=-+（2）设21(,2)(3)3B b b b b -+>∴直线OB 解析式为：1(2)3y b x =-+∵OB 交对称轴l 于点M∴当3M x =时，1(2)363M y b b =-+⨯=-+∴(3,6)M b -+∵点M 、N 关于点P 对称∴3(6)3NP MP b b ==--+=-，∴33N y b b =+-=，即(3,)N b ①∵12OP MN = ∴OP MP =3b =-解得：3b =+∴22112(32(3333b b -+=-⨯++⨯+=-∴(33)B +-，(3,3N +∴222(3(3)36OB =++-=+2223(336ON =++=+B 222(33)(3372BN =++---=+∴OB ON =，222OB ON BN +=∴NOB ∆是等腰直角三角形，此时点B 坐标为(33)+-．②证明：如图，设直线BN 与x 轴交于点D∵21(,2)3B b b b-+、(3,)N b设直线BN解析式为y kx d=+∴21233kb d b bk d b⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩解得：1k b3d2b⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BN：123y bx b=-+当0y=时，1203bx b-+=，解得：6x=∴(6,0)D∵(3,0)C，NC x⊥轴∴NC垂直平分OD∴ND NO=∴BNM ONM∠=∠4．（2018·贵州中考真题）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a=++≠的对称轴为直线1x=-，且抛物线与x 轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中(1,0)A，(0,3)C.（1）若直线y mx n=+经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x=-上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴1x=-上的一个动点，求使BPC∆为直角三角形的点P的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x=--+，直线的解析式为3y x=+.（2）(1,2)M-；（3）P的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,)2+-或317(1,)2--.【详解】（1）依题意得：123baa b cc⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x=--+.∵对称轴为1x=-，且抛物线经过()1,0A，∴把()3,0B-、()0,3C分别代入直线y mx n=+，得303m nn-+=⎧⎨=⎩，解之得：13mn=⎧⎨=⎩，∴直线y mx n=+的解析式为3y x=+.（2）直线BC与对称轴1x=-的交点为M，则此时MA MC+的值最小，把1x=-代入直线3y x=+得2y=，∴()1,2M-.即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为()1,2-.（注：本题只求M坐标没说要求证明为何此时MA MC+的值最小，所以答案未证明MA MC+的值最小的原因）.（3）设()1,P t-，又()3,0B-，()0,3C，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+，①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =， ③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=，2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.5．（2018·四川中考真题）如图①,已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x =2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m .（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y =x 2-4x +3.（2）当m =52时，四边形AOPE 面积最大，最大值为758.（3）P 点的坐标为 ：P 13+515-），P 235-，1+5），P 35+51+5），P 455-15-. 【详解】（1）如图1，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758，∵-32＜0，∴当m=52时，S有最大值是758；（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=5+52或552-∴P 5+51+555-15-）；如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP ≌△PMF ， ∴PN =FM ，则-m 2+4m -3=m -2，解得：x =3+5或35-； P 的坐标为（3+5，152-）或（352-，1+52）； 综上所述，点P 的坐标是：（5+5，1+5）或（55-，15-）或（3+5，15-）或（35-，1+52）． 6．（2019·云南中考模拟）已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使P A +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中， 得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==， ∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠，将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中，得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+．Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=，()22[11](0)AM m =--+-． 分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭7．（2019·黑龙江中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+2x +c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线y =ax 2+2x +c 的解析式:；（2）点D 为抛物线上对称轴右侧、x 轴上方一点，DE ⊥x 轴于点E ，DF ∥AC 交抛物线对称轴于点F ，求DE +DF 的最大值；（3）①在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q 在抛物线对称轴上，其纵坐标为t ，请直接写出△ACQ 为锐角三角形时t 的取值范围．【答案】（1）y =﹣x 2+2x +3；（2）DE +DF 有最大值为132；（3）①存在，P 的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t ＜83． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y =a （x +1）（x ﹣3），即y =ax 2﹣2ax ﹣3a ，∴﹣2a =2，解得a =﹣1，∴抛物线解析式为y =﹣x 2+2x +3；（2）当x =0时，y =﹣x 2+2x +3=3，则C （0，3），设直线AC 的解析式为y =px +q ，把A （﹣1，0），C （0，3）代入得03p q q -+=⎧⎨=⎩，解得33p q =⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为y =3x +3，如答图1，过D 作DG 垂直抛物线对称轴于点G ，设D （x ，﹣x 2+2x +3），∵DF ∥AC ，∴∠DFG =∠ACO ，易知抛物线对称轴为x =1，∴DG =x -1，DF 10x -1），∴DE +DF =﹣x 2+2x 10（x -1）=﹣x 2+（10）x 10，∴当x =101+，DE +DF 有最大值为132；答图1 答图2（3）①存在；如答图2，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=13-x+m，把C（0，3）代入得m=3，∴直线P1C的解析式为y=13-x+3，解方程组223133y x xy x⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P1点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，直线AP2的解析式可设为y=13-x+n，把A（﹣1，0）代入得n=13 -，∴直线PC的解析式为y=1133x--，解方程组2231133y x xy x⎧=-++⎪⎨=--⎪⎩，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P2点坐标为（103，139-），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t＜83．8．（2019·广西中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）设点P 为抛物线的对称轴x =﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．【答案】（1）y =x +3， y =﹣x 2﹣2x +3；（2）（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3172） 或（﹣1，3172） 【详解】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，且抛物线经过A （1，0），抛物线与x 轴的另一交点为B ，∴B 的坐标为：（﹣3，0），设抛物线的解析式为：y =a （x ﹣1）（x +3），把C （0，3）代入，﹣3a =3，解得：a =﹣1，∴抛物线的解析式为：y =﹣（x ﹣1）（x +3）=﹣x 2﹣2x +3；把B （﹣3，0），C （0，3）代入y =mx +n 得： 30{3m n n -+==， 解得：1{3m n ==，∴直线y =mx +n 的解析式为：y =x +3；（2）设P （﹣1，t ），又∵B （﹣3，0），C （0，3），∴BC 2=18，PB 2=（﹣1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（﹣1）2+（t ﹣3）2=t 2﹣6t +10，①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2，即：18+4+t 2=t 2﹣6t +10，解之得：t =﹣2；②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2，即：18+t2﹣6t+10=4+t2，解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，即：4+t2+t2﹣6t+10=18，解之得：t1=3172+，t2=3172-；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3172+）或（﹣1，3172-）．9．（2019·山东中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12 DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，111，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【详解】解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C（﹣2，0），Rt△ABC中，tan∠ABC=2，∴AC2BC=，∴AC23=，∴AC=6，∴A（﹣2，6），把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：42610b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：34bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），∴AB的解析式为：y=﹣2x+2，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），∵PE=12 DE，∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2），∴x=-1或1（舍），∴P（﹣1，6）；②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=311，∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）；ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=132，∴M（﹣1，132）；综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．10．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△P AB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【详解】（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （﹣2，0），∴设抛物线解析式为y =a （x ﹣6）（x +2），将点A （0，6）代入，得：﹣12a =6，解得：a =﹣12， 所以抛物线解析式为y =﹣12（x ﹣6）（x +2）=﹣12x 2+2x +6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y =kx +b ， 将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y =﹣x +6， 设P （t ，﹣12t 2+2t +6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t +6）， ∴PN =PM ﹣MN =﹣12t 2+2t +6﹣（﹣t +6）=﹣12t 2+2t +6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △P AB =S △P AN +S △PBN=12PN •AG +12PN •BM =12PN •（AG +BM ） =12PN •OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6=﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t =3时，△P AB 的面积有最大值；（3）△PDE 为等腰直角三角形，则PE =PD ，点P （m ，-12m 2+2m +6）， 函数的对称轴为：x =2，则点E 的横坐标为：4-m ，则PE =|2m -4|，即-12m 2+2m +6+m -6=|2m -4|， 解得：m =4或-2或5+17或5-17（舍去-2和5+17）故点P 的坐标为：（4，6）或（5-17，317-5）．11．（2019·陕西中考模拟）如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P 1-1313-1）；（3）Q 点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－3）.。
2015年上海中考数学专题-等腰相似直角三角形存在性问题试题一和参考答案
2015年上海中考数学专题-等腰相似直角三角形存在性问题试题一和参考答案研究创造才智，知识成就未来。
以下是上海市初中数学考试的几道题目。
题目一：等腰相似直角三角形存在性问题给定顶点为P(4,-4)的二次函数图像，经过原点，并且点A在该图像上。
连接OA与对称轴l的交点为M，点M和N 关于点P对称，连接AN和ON。
1) 求该二次函数的关系式。
2) 若点A的坐标是(6,-3)，求△ANO的面积。
3) 当点A在对称轴l右侧的二次函数图像上运动时，请回答以下问题：①证明：∠ANM=∠XXX。
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由。
题目二：等腰三角形的存在性问题在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△XXX与△XXX重合在一起，△XXX不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点。
1) 求证：△ABE∽△ECM。
2) 探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由。
3) 当线段AM最短时，求重叠部分的面积。
题目三：抛物线问题已知抛物线y=3/2x^2+bx+63经过A(2,0)。
设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。
1) 求b的值，求出点P、点B的坐标。
2) 如图，在直线y=3x上是否存在点D，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
3) 在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由。
题目四：三角形问题在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=1.把△XXX的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=AC与y轴交于点E。
1) 求AC所在直线的函数解析式。
2) 过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积。
直角三角形的性质练习题
直角三角形的性质练习题直角三角形的性质练习题直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
它具有一些独特的性质和特点，我们可以通过练习题来加深对这些性质的理解和应用。
下面是一些直角三角形的性质练习题，希望能够帮助你更好地掌握这一知识点。
1. 在一个直角三角形ABC中，角A为90度，边AC的长度为5，边BC的长度为12。
求边AB的长度。
解析：根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
设边AB的长度为x，则有x^2 = 5^2 + 12^2，即x^2 = 25 + 144，解得x =√169，即x = 13。
所以边AB的长度为13。
2. 在一个直角三角形DEF中，角D为90度，边DE的长度为9，边DF的长度为15。
求角E的度数。
解析：根据正弦定理，对于一个三角形，任意两边的比值等于其对应角的正弦值的比值。
设角E的度数为x，则有sin(x) = 9/15，即sin(x) = 3/5。
查表可得sin(x) = 0.6，所以x = arcsin(0.6)。
计算得x约等于36.87度。
所以角E的度数约为36.87度。
3. 在一个直角三角形GHI中，角G为90度，边GI的长度为10，角H的度数为30度。
求边GH的长度。
解析：根据正弦定理，对于一个三角形，任意两边的比值等于其对应角的正弦值的比值。
设边GH的长度为x，则有sin(30) = x/10，即1/2 = x/10。
解得x = 5。
所以边GH的长度为5。
4. 在一个直角三角形JKL中，角J为90度，边JK的长度为8，边KL的长度为6。
求角K的度数。
解析：根据余弦定理，对于一个三角形，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的这两边的长度乘积与这两边夹角的余弦值的乘积。
设角K的度数为x，则有8^2 = 6^2 + KL^2 - 2*6*KL*cos(x)。
化简得64 = 36 + KL^2 -12KL*cos(x)。
整理得KL^2 - 12KL*cos(x) = 28。
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直角三角形存在性问题专项训练（一）
试卷简介:在前面通过训练平行四边形存在性、等腰三角形存在性让学生感受有序思考、有序操作的基础上，一方面训练学生直角三角形存在性操作要领，一方面继续训练有序思考和有序操作，需要学生能够掌握整合信息，读题标注；分析特征，有序思考，设计方案；根据方案作出图形，有序操作；检查验证整个过程。
一、单选题(共4道，每道25分)
1.如图，已知点在直线上，P是x轴上一点，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
2.如图，已知A（1，0），B（0，3），P是直线x=2上一点，若△ABP是以AB为斜边的直角三角形，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
3.如图，已知A(0，2)，B(4，0)，点C在x轴上，CD⊥x轴，交线段AB于点D，且点D不与A，B两点重合，将△ABO沿CD折叠，使点B落在x轴上的点E处．设点C的横坐标为x，则当△ADE为直角三角形时，x的值为( )
A. B.
C. D.1
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两邻边OA，OC分别在x轴、y轴上，顶点B的坐标为（5，2），D是点A右侧的x轴上一点，E是y轴负半轴上一点，且OE=2AD=2t．连接BD，BE，DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为( )
A.4
B.
C. D.。