随机信号分析习题2

随机信号分析习题二：

1. 设正弦波随机过程为

0()cos X t A w t =

其中0w 为常数；A 为均匀分布在[0,1]内的随机变量，即

1,01

()0,others A a f a ≤≤⎧=⎨

⎩

(1) 试求000

30,

,

,

44t w w w π

π

π

=时，()X t 的一维概率密度；

(2) 试求0

2t w π

=

时，()X t 的一维概率密度。

2. 若随机过程()X t 为 (),X t At t =-∞<<+∞式中，A 为在区间[0,1]上均匀分布的随

机变量，求[()]E X t 及12(,)X R t t 。 3. 设随机振幅信号为

0()sin X t V w t =

其中0w 为常数；V 是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

4. 设随机相位信号0()cos()X t a w t φ=+式中a 、0w 皆为常数，

φ为均匀分布在[0,2]π上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

5. 设()sin(),X t A w t t θ=+-∞<<+∞，()sin(),Y t B w t t θφ=++-∞<<+∞，其中

A ，

B ，w ，φ为实常数，~[0,2]U θπ，试求(,)XY R s t 。

6. 数学期望为()5sin X m t t =、相关函数为2

210.5()

12(,)3t t X R t t e

--=的随机信号()X t 输入

微分电路，该电路输出随机信号()()Y t X t =

。求()Y t 的均值和相关函数。

7. 设随机信号3()cos 2t

X t Ve t =，其中V 是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的 随机信号0

()()t Y t X d λλ=

⎰

。试求()Y t 的均值、相关函数、协方差函数和方差。

8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程

cos ,()2,

t X t t π⎧=⎨⎩出现正面

出现反面

设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。 (1) 求()X t 的一维分布函数(,1/2)X F x 和(,1)X F x ； (2) 求()X t 的二维分布函数12(,;1/2,1)X F x x 。

9. 给定一个随机过程()X t 和任一实数x ，定义另一个随机过程

1,()()0,()X t x

Y t X t x

≤⎧=⎨

>⎩ 证明()Y t 的均值函数和自相关函数分别为()X t 的一维和二维分布函数。 10. 定义随机过程

1,()1,n X t n ⎧=⎨-⎩第次投掷均匀硬币出现正面

第次投掷均匀硬币出现反面

0,1,2,,(1)n n S t nS =±±-<< ，S 为正常数，设[0,]U S ξ ，且ξ与()X t 相互独立，

令()()Y t X t ξ=-，试求(,)X R s t 与(,)Y R s t 。

11. 考虑一维随机游动过程n Y ，0,1,2,n = ，其中00Y =，1

n

n i i Y X ==

∑

，i X 为一取值1-

和1+的随机变量，已知(1)i P X q =-=，(1)i P X p =+=，0,1p q ≤≤，1p q +=，且i X ，

1,2,i = 相互独立，试求：

1) ()n P Y m =; 2)

n E Y 和n D Y 。

12. 考虑随机过程()X t ，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每 个样本函数都具有相同的形状，将0t =时刻以后出现的第一个零值时刻记为0T ，假设0T 是一个均匀分布的随机变量

01,0()0,

others T T t T

p t ≤≤⎧=⎨

⎩ 求()X t 的一维概率密度()X p x

13. 将上题中的锯齿波过程作一点改动，使每个脉冲的幅度A 为服从麦克斯韦(Maxwell)分 布的随机变量

2

2

,0

()20,

A a a p a b

a ⎛⎫

-≥ ⎪=⎝⎭<⎩ 其中0T 的定义和上题相同。假设不同脉冲的幅度A 之间统计独立，并均与0T 统计独立，求

()Y t 的一维概率密度()Y p y 。

14. 考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振荡器的输出正弦波可视 为一个随机过程

()sin()X t A t =Ω+Θ

其中振幅A 、角频率Ω和相位Θ是相互独立的随机变量，并且已知：

20

2,0()0,others A a

a A A p a ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩

1,250350()100

0,others w p w Ω⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 1

,02()20,others p θπθπΘ⎧≤≤⎪

=⎨⎪⎩

求()X t 的一维概率密度。