随机信号分析习题2
随机信号分析课后习题答案
1第一次作业:练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0,1,2,3四个样本组成,相当于四元通信中的四个电平,四个样本的取值概率顺序为1/2,1/4,1/8,和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解:875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求(1)系数A ;(2)X 取值在(0.5,1)内的概率)15.0(<<x P 。
解:⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数,如果是概率分布函数,求其概率密度。
(1)⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F (3)0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F (4)0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解:(1)⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时,对于12x x ≥,有)()(12x F x F ≥,)(x F 是单调非减函数; 1)(0≤≤x F 成立;)()(x F x F =+也成立。
随机信号分析2习题(供参考)
2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T<t<nT 式中电平A 或-A 以等概率独立出现,T 为正常数,以及n=0,正负1,正负2,正负3……(1)、画出一个样变函数的草图;(2)、它属于哪一类随机过程?(3)、求一、二维概率密度函数。
(1)(2) 所以是确定的。
(3)2.2 设有下列离散随机过程:X (t )=CC 为随机变量,可能取值为1,2,3,其出现的概率分别为0.6,0.3,0.1(1) 是确定性随机过程?(2 ) 求任意时刻X(t)的一维概密。
解:(1)是(2) 1X(t)2,p(x,t)0.6(1)0.3(2)0.(3)3x x x δδδ⎧⎪==-+-+-⎨⎪⎩2.3 已知随机过程X(t)为 00),t (Xcos )t (X ωω=是标准高斯随机变量是常熟X ,,求X (t )的一维概率密度。
解:发22x x cos(t)(,)(,)())cos(t)2cos (t)d x p x t F x t p dx ωωω'==- 2.4 利用投掷一枚硬币的实验定义随机过程为X(t)=cos πt,出现正面,2t ,出现反面,假设出现正面和反面的概论各位1/2,试确定X(t)的一维分布函数Fx(x;1/2), Fx(x;1),以及二维发布函数Fx(x1,x2;1/2,1).解: x1 x2X :(t=1/2) 0 1Y (t=1) 1 22.5 随机过程X(t)由四条样本函数组成,如图题 2.6,出现的概论分别为p(§1)=1/8,p(§2)=1/4,p(§3)=3/8,p(§4)=1/4,求E[X(t1)],E[X(t2)],E[X(t1)X(t2)]及联合概率密度函数px(x1,x2;t1,t2)。
解:2.6 随机过程X(t)由如题 2.6图所示的三条样本函数曲线组成,并以等概率出现,试求E[X(2)], E[X(6)], E[X(2)X(6)], Fx(x;2),Fx(x;6),Fx(x1,x2;2,6).解:()A or A A A k -=-=∑∞-∞=,;nT t h )t (X k kX1 x2 x3T1=2 3 4 6E[X(2)]=313)643(31=++ E[X(6)]=314)752(31=++ E[X(2) X(6)]=155(3x54x76x2)33++= [])6x ()4x ()3x (31)x,2(f -+-+-=δδδ2.7随机过程X(t)由三条样本函数构成,cost )3,t (X sint;)2,t (X ;1)1,t (X ===ξξξ ,并以等概率出现,求E (X(t)),和 R(t1,t2)解:2.8 已知随机过程X(t) 的均值为m(t), 协方差函数为C(t1,t2), 又知f(t)是确定的时间函数,试求随机过程Y(t)=X(t)+f(t)的均值及协方差。
电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案
2.12.22.3 掷一枚硬币定义一个随机过程:cos t 出现正面X(t)2t 出现反面设“出现正面” 和“出现反面” 的概率相等。
试求:( 1 ) X(t) 的一维分布函数F X (x,12) ,F X (x,1);(2) X(t)的二维分布函数F X ( x1, x2 ;1 2,1) ;(3)画出上述分布函数的图形。
2.3 解:1)一维分布为:F X (x;0.5) 0.5u x 0.5u x 1F X (x;1) 0.5u x 1 0.5u x 2X (0.5) 0, X (1) 1 , 依概率 0.5发生X (0.5) 1, X (1) 2 ,依概率 0.5发生 二维分布函数为F ( x 1, x 2 ;0.5,1) 0.5u x 1,x 2 1 0.5u x 1 1,x 2 22.4 假定二进制数据序列 {B(n), n=1, 2, 3, , .} 是伯努利随机序列, 其每一位数据对 应随机变量 B(n) ,并有概率 P[B(n)=0]=0.2 和P[B(n)=1]=0.8 。
试问,( 1)连续 4 位构成的串为 {1011}的概率是 多少?(2)连续 4 位构成的串的平均串是什么?( 3)连续 4 位构成的串中,概率最大的 是(2) cos X(t) c 2o t s 出现正面出现反面什么?( 4 )该序列是可预测的吗?如果见到10111后,下一位可能是什么?2.4 解:解:(1)P 1011P B n 1 P B n 1 0 P B n 2 1 P B n 3 10.8 0.2 0.8 0.8 0.10242)设连续 4 位数据构成的串为B(n) ,B(n+1) ,B(n+2) ,B(n+3) ,n=1, 2, 3,⋯.其中B(n) 为离散随机变量,由题意可知,它们是相互独立,而且同分布的。
所以有:3k串(4bit 数据)为:X (n) 2k B(n k),k0其矩特性为:因为随机变量B(n) 的矩为:均值: E[B(n)] 0 0.2 1 0.8 0.802 0.2 12 0.8 0.8220.8 0.82 0.16 所以随机变量 X(n) 的矩为:均值:3E[X(n)] E k0332k E B(n k) 2k 0.8 12k 0 k 0方差:3k D[X(n)] D 2k B(n k) k03 2 3 2k 2 D B(n k) 4k 0.16 13.6k 0 k 0如果将 4bit 串看作是一个随机向量 , 则随机向量的均值和方差为: 串平均 :B n ,B n 1 ,B n 2 ,B n 3 0.8,0.8,0.8,0.8方差:Var B(n) Bn 2Bn 2k B(n k)串方差:Var B n ,B n 1 ,B n 2 ,B n 30.16,0.16,0.16,0.163) 概率达到最大的串为1,1,1,14) 该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立,下一位数据是0 或1,与前面的序列没有任何关系。
随机信号分析习题答案(部分)
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求:①系数k ; ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率; ③随机变量X 的概率密度。
解:第①问 利用()X F x 右连续的性质 k =1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞(拉普拉斯分布),求:①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解: 第①问 ()112f xd x k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站,每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001,若每天有1000辆汽车进出汽车站,问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少?,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立,0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中,只需满足,二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-===1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求:①系数k ?②(,)X Y 的分布函数?③{01,02}P X X <≤<≤?第③问 方法一:联合分布函数(,)XY F x y 性质:若任意四个实数1212,,,a a b b ,满足1212,a a b b ≤≤,则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二:利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ?②判断X 和Y 是否独立?给出理由。
随机信号分析(常建平+李海林)习题答案.
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求:①系数k ; ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率; ③随机变量X 的概率密度。
解:第①问 利用()X F x 右连续的性质 k =1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞(拉普拉斯分布),求:①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解: 第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站,每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001,若每天有1000辆汽车进出汽车站,问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少?,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立,0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中,只需满足,二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-===1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求:①系数k ?②(,)X Y 的分布函数?③{01,02}P X X <≤<≤?第③问 方法一:联合分布函数(,)XY F x y 性质:若任意四个实数1212,,,a a b b ,满足1212,a a b b ≤≤,则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二:利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ?②判断X 和Y 是否独立?给出理由。
随机信号分析(第3版)习题及答案
1. 2. 3. 4. 5.6.有四批零件,第一批有2000个零件,其中5%是次品。
第二批有500个零件,其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件,次品约占10%。
我们随机地选择一个批次,并随机地取出一个零件。
(1) 问所选零件为次品的概率是多少?(2) 发现次品后,它来自第二批的概率是多少?解:(1)用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件,用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=(2)发现次品后,它来自第二批的概率为,()()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===7. 8.9. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数,并给出图形。
解:()()()()0.210.520.33f x x x xδδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-10.11. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=,求:(1)系数a ;(2)其分布函数。
解:(1)由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =(2)()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩12.13.14.X Y求:(1)X 与Y 的联合分布函数与密度函数;(2)X 与Y 的边缘分布律;(3)Z XY =的分布律;(4)X 与Y 的相关系数。
随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第二章习题讲解
A与 B独立 , f AB (a, b) f A (a) fB (b)
X (t) A Bt Y(t) A
A Y(t) X (t) Y (t)
B t
01 J1 1 1
t tt
1
xy 1
xy
f XY (x, y; t ) J f AB (a,b) t f AB ( y, t ) t f A ( y) f B ( t )
E X (t) E A cost XH cost EA XH
D X (t) E X 2 (t ) E2 X (t )
方法 2:
D X (t)
D Acost XH D Acost cos2 t DA cos2 t
12
D XH
公式: D aX+ bY a2 D X b2 D Y 2abC XY
RX (t1, t2 )=E Acost1 XH A cost2 XH
f X (x1;0)
1
x12 e 2,
2Байду номын сангаас
A
1
X (t)
~ N (0, )
t 30
2
4
f X ( x2; 3
)=
0
2 2
e
2
x2
2
,
X (t) t
=0,
f ( x3;2
)
0
20
( x3)
(离散型随机变量分布律 )
2-2 如图 2.23 所示,已知随机过程 X (t) 仅由四条样本函数组
成,出现的概率为
数 RX (t1, t2 ) ?②若已知随机变量相 A, B 互独立,
它们的概率密度分别为 f A (a) 和 f B (b) ,求 X (t) 的一
随机信号课后习题答案2
2.1 随机过程t B t A t X ωωsin cos )(+=,其中ω为常数,A 、B 是两个相互独立的高斯变量,并且0][][==B E A E ,222][][σ==B E A E 。
求X (t )的数学期望和自相关函数。
解: ]sin []cos []sin cos [)]([t B E t A E t B t A E t X E ωωωω+=+=t B E t A E ωωsin ][cos ][+= 0= (0][][==B E A E ))]sin cos )(sin cos [()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++==]sin sin cos sin sin cos cos cos [2122121212t t B t t AB t t AB t t A E ωωωωωωωω+++=2122121212sin sin ][cos sin ][][sin cos ][][cos cos ][t t B E t t B E A E t t B E A E t t A E ωωωωωωωω+++=212212sin sin ][cos cos ][t t B E t t A E ωωωω+= (22])[(][][X E X D X E +=) )(cos 122t t -=ωσ)(cos 2τωσ= (12t t -=τ)2.2 若随机过程X (t )在均方意义下连续,证明它的数学期望也必然连续。
证: 由均方连续的定义0])()([lim 2=-∆+→∆t X t t X E t ,展开左式为:)]()()()()()([lim 220t X t X t t X t X t t X t t X E t +∆+-∆+-∆+→∆=0))]()()((([))]()()((([{lim 0=-∆+--∆+∆+→∆t X t t X t X E t X t t X t t X E t固有0)]([)]([lim 0=-∆+→∆t X E t t X E t ,证得数学期望连续。
随机信号分析习题二设正弦波随机过程为其中为常数;为均匀分布在内
随机信号分析习题二:1. 设正弦波随机过程为0()cos X t A w t =其中0w 为常数;A 为均匀分布在[0,1]内的随机变量,即1,01()0,others A a f a ≤≤⎧=⎨⎩(1) 试求00030,,,44t w w w πππ=时,()X t 的一维概率密度; (2) 试求02t w π=时,()X t 的一维概率密度。
2. 若随机过程()X t 为(),X t At t =-∞<<+∞式中,A 为在区间[0,1]上均匀分布的随机变量,求[()]E X t 及12(,)X R t t 。
3. 设随机振幅信号为0()sin X t V w t =其中0w 为常数;V 是标准正态随机变量。
求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
4. 设随机相位信号0()cos()X t a w t φ=+式中a 、0w 皆为常数,φ为均匀分布在[0,2]π上的随机变量。
求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
5. 设()sin(),X t A wt t θ=+-∞<<+∞,()sin(),Y t B wt t θφ=++-∞<<+∞,其中 A ,B ,w ,φ为实常数,~[0,2]U θπ,试求(,)XY R s t 。
6. 数学期望为()5sin X m t t =、相关函数为2210.5()12(,)3t t X R t t e --=的随机信号()X t 输入 微分电路,该电路输出随机信号()()Y t X t =。
求()Y t 的均值和相关函数。
7. 设随机信号3()cos2tX t Ve t =,其中V 是均值为5、方差为1的随机变量。
现设新的随机信号0()()tY t X d λλ=⎰。
试求()Y t 的均值、相关函数、协方差函数和方差。
8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程cos ,()2,t X t t π⎧=⎨⎩出现正面出现反面设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。
随机信号分析中文版答案
1≤ y ≤ 6
1 b−a
+∞ −∞
X 1 ⋅⋅⋅ X n 相互独立
φ X (ω ) = ∫
i
f X ( xi )e jω xi dxi
=∫
b
a
1 jω xi 1 1 jωb e dxi = (e − e jω a ) b−a b − a jω
(b+ a ) ⎛ (b − a )ω ⎞ jω 2 = Sa ⎜ ⎟e 2 ⎝ ⎠
π
2
−2+
π2
8
2 2 2 ∴ D [ x] = σ X =E⎡ ⎣x ⎤ ⎦ − E [ x] 2 =σy =
π
2
−2+
π2
8
−
π2
16
=
π2
16
+
π
2
−2
(4)
Rxy = E [ xy ]
π 1 π 2 2 xy sin ( x + y ) dxdy 2 ∫0 ∫0 π π ⎤ 1 π ⎡ = ∫ 2 x ⎢ − y cos ( x + y ) 02 + sin ( x + y ) 02 ⎥ dx 2 0 ⎣ ⎦
5
《随机信号分析》 课后习题答案
武汉理工大学信息工程学院
cx1x 2 = rx1x 2 − mx1mx 2 cx1x 2 ⎞ ⎛10 2 ⎞ ⎛c cx ( x1, x 2) = ⎜ x1x1 ⎟=⎜ ⎟ ⎝ cx 2 x1 cx 2 x 2 ⎠ ⎝ 2 10 ⎠
1 − f x ( x1 , x2 ) = e 192π
1.8 解: C XY = E[( x − mx )( y − m y )] = E[ XY ] − mx m y = m11 − mx m y
(仅供参考)随机信号分析与处理简明教程--第二章习题答案
证明:设τ = t2 − t1
Rz
(τ
)
=
E[z( t1 )z( t 2
)]
≤
E[
z2
(t1)
+ 2
z2
(t2
)]
=
1 2
E[z2
(t1 )
+
z2
(t2
)]
=
1 2
E[z
2
(t1
)]+
1 2
E[z2(t2 Nhomakorabea)]=
1 2
(R
z
(0)
+
R
z
(0))
=
R
z
(0)
(平稳过程)
所以, R z (0)
= σz2
+
可看作一个随机过程 X (t) = Acos(Ωt + Θ) ,其中 A, Ω, Θ 是相互独立的随机变量,且已知
f
A
(a)
=
⎧ ⎪ ⎨
2a A02
,
a ∈ (0, A0 ) ,
fΩ (ω) = ⎪⎨⎧1010 ,
ω
∈ (250,350) ,
fΘ (θ
)
=
⎪⎧ ⎨
1 2π
,
θ ∈ (0, 2π )
⎪⎩0, 其他
第 2 章习题解答
2.1 设有正弦波随机过程 X (t) = V cosωt ,其中 0 ≤ t < ∞ , ω 为常数,V 是均匀分布于 [0,1] 区间的随机变量。
(1)画出该过程两条样本函数;
(2)确定随机变量
X (ti ) 的概率密度,画出 ti
=
0,
π 4ω
随机信号分析基础第二章习题
FX (x; 2) PX (2) x
x
p(x)dx
1
x
0
3
FX (x1, x2; 2, 6) P{X (2) x1, X (6) x2}; P{(X (2) x1 X (6) x2};
用表格来表示所求的联合分布:
x1
x2
x2 2
x1 3
0
3 x1 4 4 x1 6
CX (t1,t2 ) E[{X (t1) mX (t1)}{ X (t2 ) mX (t2 )}]
随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数
RXY (t1,t2) E[X (t1)Y (t2)]
互协方差函数
CXY (t1,t2 ) E[{X (t1) mX (t1)}{Y (t2 ) mY (t2 )}]
RX (t1,t2) E[X (t1)X (t2)]
E[a2 cos(0t1 ) cos(0t2 )]
a2 2
E[cos(0
(t1
t2
))
cos(0t1
0t2
2)]
a2 2
cos[0 (t1
t2 )]
0
a2 cos
2
其中 t1 t2
2.11 解:
E[X (t)] E[Acos(0t )]
E{[X (t1) mX (t1)][X (t2) mX (t2)]}
CX (t1, t2 )
2.9 解:(1)直接由定义可得:
E[X (t)] E[Acos(0t) Bsin(0t)] E[A]cos(0t) E[B]sin(0t)
0
(2)由自相关函数的定义: RX (t1,t2) E[X (t1)X (t2)]
x,
2)
1 3
随机信号分析第3版第二章 习题答案.pdf
k =0
k =0
如果将 4bit 串看作是一个随机向量,则随机向量的均值和方差为:
串平均: Ε ⎡⎣{B (n) , B (n +1) , B (n + 2) , B (n + 3)}⎤⎦ = {0.8, 0.8, 0.8, 0.8}
串方差:
Var ⎡⎣{B (n), B (n +1), B (n + 2) , B (n + 3)}⎤⎦ = {0.16, 0.16, 0.16, 0.16}
3
∑ 串(4bit 数据)为: X (n) = 2k B(n + k) ,其矩特性为: k =0
因为随机变量 B(n) 的矩为:
均值: E[B(n)] = 0× 0.2 +1× 0.8 = 0.8
{ } 方差:
Var
[
B(n)
]
=
Ε
⎡ ⎣
B
(
n
)2
⎤ ⎦
−
Ε ⎡⎣B (n)⎤⎦
2 = 02 × 0.2 +12 × 0.8 − 0.82
= E{[ X (s + a) − X (s)][X (t + a) − X (t)]} = E[ X (s + a) X (t + a)] − E[ X (s + a) X (t)] − E[ X (s) X (t + a)] + E[ X (s) X (t)] = RX (s + a, t + a) − RX (s + a, t) − RX ( s, t + a) + RX ( s, t)
P ⎡⎣{1011}⎤⎦ = P ⎡⎣B (n) = 1⎤⎦ × P ⎡⎣B (n) = 0⎤⎦ × P ⎡⎣B (n) = 1⎤⎦ × P ⎡⎣B (n) = 1⎤⎦
(仅供参考)随机信号分析与处理简明教程--第二章习题答案
⎧ 0,
(2)
FX
⎜⎛ ⎝
x1
,
x2
;
1 2
,1⎟⎞ ⎠
=
⎪⎩⎪⎨ 121,,
x1 < 0,−∞ < x2 < ∞; 0 ≤ x1 < 1, x2 ≥ −1;
x1 ≥ 1,
x1 ≥ 0, x2 < −1 x1 ≥ 1,−1 ≤ x2 < 2
x2 ≥ 2
2.3 设某信号源,每 T 秒产生一个幅度为 A 的方波脉冲,其脉冲宽度 X 为均匀分布于[0,T ]
当 ti
=
0 时,
fX
( x, t )
=
⎧1 ⎨⎩ 0
0< x <1 else
当 ti
=
π 4ω
时,
fX (x,t)
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2 0
0<x< π 4ω
时,
fX (x,t)
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2 0
− 2 2<x<0 else
当 ti
=
π ω
时,
fX
( x, t )
=
⎧1 ⎨⎩ 0
当kl时有rtsx2????????????eakutkt0utkt01uskt0uskt01ea2eut?k?t?ut?k?t?1us?k?t?us?k?t?1k0000eut?k?t0?ut?k?t0?1us?k?t0?us?k?t0?1kt00faa?2??0a0是在02中均匀分布的随机变量且与a统计独立为常量
D[ X (t)] = D[ Acosωt + B sin ωt] = D[ A]cos2 ωt + D[B]sin2 ωt = σ 2
随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第二章习题讲解
2-1 已知随机过程0()cos X t A t ω=,其中0ω为常数,随机变量A 服从标准高斯分布。
求000,3,2t πωπω=三个时刻()X t 的一维概率密度?解:221~(0,1)..........()2A a A N f a e π-=21211()~(0,1)(0)2t X x X t A N f x eπ-==⇒=;,2223203A 12()~(0,)()242X t x X t N f x e πωπωπ-==⇒;=, 002323()0()()t X t f x x πωπωδ===,;(离散型随机变量分布律)2-2 如图2.23所示,已知随机过程()X t 仅由四条样本函数组成,出现的概率为1131,,,8484。
t()X t 1234561t 2t 1()x t 2()x t 3()x t 4()x t o图2.23 习题2-2在1t 和2t 两个时刻的分布律如下:1ζ 2ζ 3ζ 4ζ1()X t 1 2 6 3 2()X t 5 4 2 1 1212(,)k k p t t1/8 1/4 3/8 1/4求 ? 1212[()],[()],[()()]E X t E X t E X t X t ()41129[()]8k k k E X t x p t ===∑221[()]8E X t =()()(){}121212121122[()()],,X k k E X t X t R t t k k p X t k X t k ====∑∑2-23[][]12()cos (0,1)(;),()()(,)X X X t A t XH A U f x t E X t D X t R t t =+~随机过程,其中(均匀分布)。
求,,?[][][][][][][][][][][]()()()22221212221121222()cos cos ()()()()cos cos cos cos 12(,)cos cos cos cos cos cos 1cos c 232o X XYD aE X t E A t XH t EA XHD X tE X t E X t D X t D A t XH D A t D XH tt DA R t t E A t XH X a D X b D Y abC EA EA A t XH t t XH t t XH t =+=⋅+⎡⎤=-⎣⎦=+=+=⋅=++⎡⎤⎣⎦+==+=+++公式:+b =Y方法:()2212s cos cos 2XH t t t XH +++()()()()22cos 022~,322cos 022~,cos 0()2122,cos 2cos cos cos c 21322,(;)cos o 2s 2X k t k t tX t U XH XH k t k t t X t U XH XH t k t X t XHk t k XH x XH t k t k XH x XH f x t t x X t t t t ππππππππππππππππππδ-+<<+>+<<+<=+==-+<<+<<-++<<+<+++<=-对某一固定时刻对某一固定时刻概率密度用冲激函数表示(),20H t k x XH else ππ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪⎩2-4 已知随机过程()X t A Bt =+,其中,A B 皆为随机变量。
随机信号分析第二次阶段测试试题
Y t 的功率。
S S
S t
X t
Y t
A
0
0
N t
W 0 2
0
W 0 W 2 0 2
0
W 2
(a) 系统框图
(b) S t 的功率谱密度 S S
H
1
0
0
0
W 2
W 0 W 0 0 2 2
《随机信号分析》第二次阶段测试试题考试时间 题号 得来自 一 二 45 三 分钟 四 总分
班级
学号
姓名
任课教师
注意:本试题需要写出计算过程,并按照计算过程给分。
4 5 2 6 一. (20 分)求输入谱为 S X ( ) 4 时的白化滤波器。 10 2 9
二. (20 分)一均值为零、自相关函数为 R X 、功率谱密度为 S X 的宽平稳随机过
W 0 2
(c) 窄带带通滤波器的系统传递函数 图2
ˆ t , ˆ t cos t X t sin t 程 X t ,其希尔伯特变换为 X (1)求随机过程 V t X 0 0
的自相关函数; (2)求 V t 的功率谱密度,其中 0 为常数。
三. (30 分)一个均值为 a ( a 为常数) ,双边功率谱密度为 1 的理想高斯白噪声通过 如图 1 示的线性系统, (1)求该系统的等效噪声带宽; (2)求该系统输出的平均功率; (3)求输出信号的一维概率密度。
H
图 1 线性系统的传递函数
四. (30 分) 在如图 2(a)所示的系统中, 零均值的平稳随机信号 S t 的功率谱密度 S S 如图(b)所示,N t 为一个均值为 0, 双边功率谱密度为
随机信号分析习题.doc
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ,试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。
并求下列概率:)1(<ξP ,)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21ex p 1),(22y xy x y x f XY π 求:(1)边沿密度)(x f X ,)(y f Y(2)条件概率密度|(|)Y X f y x ,|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-,取每个值的概率都为4/1,又设随机变量3()Y g X X X ==-。
(1)求Y 的可能取值(2)确定Y 的分布。
(3)求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ,Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求:(1)X 与Y 不相关时的所有A 值。
(2)X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量(X ,Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0,2π]上均匀分布的随机变量,讨论X ,Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f 。
8. 两个随机变量1X ,2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度? 9. 设X 是零均值,单位方差的高斯随机变量,()y g x =如图,求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ,Y 是相互独立的高斯变量。
随机信号分析2习题(供参考)
2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T<t<nT 式中电平A 或-A 以等概率独立出现,T 为正常数,以及n=0,正负1,正负2,正负3…… (1)、画出一个样变函数的草图;(2)、它属于哪一类随机过程? (3)、求一、二维概率密度函数。
(1)(2) 所以是确定的。
(3)2.2 设有下列离散随机过程:X (t )=CC 为随机变量,可能取值为1,2,3,其出现的概率分别为0.6,0.3,0.1 (1) 是确定性随机过程?(2 ) 求任意时刻X(t)的一维概密。
解:(1)是(2) 1X(t)2,p(x,t)0.6(1)0.3(2)0.(3)3x x x δδδ⎧⎪==-+-+-⎨⎪⎩2.3 已知随机过程X(t)为 00),t (Xcos )t (X ωω=是标准高斯随机变量是常熟X ,,求X (t )的一维概率密度。
解: )2x (ex p 21p(x )2-=π xcos(t)F(x,t)P{X(t)x}P{Xcos(t)x}xxP{X }p()d ()cos(t)cos(t)t t ωωωω-∞=≤=≤=≤==Φ⎰发22xxcos(t)(,)(,)())cos(t)2cos (t)dx p x t F x t p dx ωωω'==-202xx )2cos t ω=-()A or A A A k -=-=∑∞-∞=,;nT t h )t (X k k ()()[]()()()()[]A x A x A -x A -x 0.5t p(x,A x A -x 0.5t p(x,2121+++=++=δδδδδδ))2x1-exp()2⎫-⎪⎭2.4 利用投掷一枚硬币的实验定义随机过程为X(t)=cosπt,出现正面,2t,出现反面,假设出现正面和反面的概论各位1/2,试确定X(t)的一维分布函数Fx(x;1/2), Fx(x;1),以及二维发布函数Fx(x1,x2;1/2,1).解:x1 x2X:(t=1/2)0 1Y (t=1) 1 2[]1f(x,1/2)(x)(x1)2δδ=+-[]1F(x,1/2)(x)(x1)2U U=+-[]1f(x,1)(x-1)(x2)2δδ=+-[]1F(x,1)(x-1)(x2)2U U=+-[]1F(x1,x2,1/2,1)(x)(x-1)(x-1)(x2)2U U U U=+-[]1F(x1,x2,1/2,1)(x2+1)(x1-1)(x1)(x22)2U U U U=+-2.5随机过程X(t)由四条样本函数组成,如图题 2.6,出现的概论分别为p(§1)=1/8,p(§2)=1/4,p(§3)=3/8,p(§4)=1/4,求E[X(t1)],E[X(t2)],E[X(t1)X(t2)]及联合概率密度函数px(x1,x2;t1,t2)。
随机信号分析 第2次习题课
mX 2 =R X ()=a 2 ; mX a
输出的均值为:
mY mX h( )d a e
a d
5.11.RC积分电路的输入电压为 ( t ) X 0 cos(w0t ), 其中X 0和 X 分别是在 0,1]和[0,2 ]上均匀分布的随机变量 [ ,且互相独立。 求输出电压Y (t )的自相关函数。
在根据公式GY ( w) GX ( w) | H ( w) |2 得 输出的功率谱密度为: 2 GY ( w) 2 { ( w) [ ( w w0 ) ( w w0 )]} 2 w 3 2
2
根据傅里叶反变换求得输出自相关函数为:
1 RY ( ) 2 1 2
4 4 [ ( w 2 ) ( w 2 )] 1 (w )2 1 (w )2
f1 (t ) f 2 (t )
1 F1 (w)* F2 (w) 2
4.19设X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程,均值 分别为mx,mY 都不为零,定义Z(t)= X(t)+Y(t),求 互谱密度GXY(w)和GXZ(w) 解:先求自相关函数再求功率谱密度
RZ (t , t ) E[ Z (t ) Z (t )] E[{aX (t ) bY (t )}{aX (t ) bY (t )}] a 2 RX ( ) b 2 RY ( ) abRXY ( ) abRYX ( )
故Z (t )也是平稳过程,它的功 率谱密度为
则Y(t)功率谱密度为
GY (w) ( A2 2 ABmX )2 (w) B 2GX (w)
4.12已知平稳过程X (t)的自相关函数为
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随机信号分析习题二:
1. 设正弦波随机过程为
0()cos X t A w t =
其中0w 为常数;A 为均匀分布在[0,1]内的随机变量,即
1,01
()0,others A a f a ≤≤⎧=⎨
⎩
(1) 试求000
30,
,
,
44t w w w π
π
π
=时,()X t 的一维概率密度;
(2) 试求0
2t w π
=
时,()X t 的一维概率密度。
2. 若随机过程()X t 为 (),X t At t =-∞<<+∞式中,A 为在区间[0,1]上均匀分布的随
机变量,求[()]E X t 及12(,)X R t t 。
3. 设随机振幅信号为
0()sin X t V w t =
其中0w 为常数;V 是标准正态随机变量。
求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
4. 设随机相位信号0()cos()X t a w t φ=+式中a 、0w 皆为常数,
φ为均匀分布在[0,2]π上的随机变量。
求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
5. 设()sin(),X t A w t t θ=+-∞<<+∞,()sin(),Y t B w t t θφ=++-∞<<+∞,其中
A ,
B ,w ,φ为实常数,~[0,2]U θπ,试求(,)XY R s t 。
6. 数学期望为()5sin X m t t =、相关函数为2
210.5()
12(,)3t t X R t t e
--=的随机信号()X t 输入
微分电路,该电路输出随机信号()()Y t X t =。
求()Y t 的均值和相关函数。
7. 设随机信号3()cos 2t
X t Ve t =,其中V 是均值为5、方差为1的随机变量。
现设新的 随机信号0
()()t Y t X d λλ=
⎰。
试求()Y t 的均值、相关函数、协方差函数和方差。
8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程
cos ,()2,
t X t t π⎧=⎨⎩出现正面
出现反面
设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。
(1) 求()X t 的一维分布函数(,1/2)X F x 和(,1)X F x ; (2) 求()X t 的二维分布函数12(,;1/2,1)X F x x 。
9. 给定一个随机过程()X t 和任一实数x ,定义另一个随机过程
1,()()0,()X t x
Y t X t x
≤⎧=⎨
>⎩ 证明()Y t 的均值函数和自相关函数分别为()X t 的一维和二维分布函数。
10. 定义随机过程
1,()1,n X t n ⎧=⎨-⎩第次投掷均匀硬币出现正面
第次投掷均匀硬币出现反面
0,1,2,,(1)n n S t nS =±±-<< ,S 为正常数,设[0,]U S ξ ,且ξ与()X t 相互独立,
令()()Y t X t ξ=-,试求(,)X R s t 与(,)Y R s t 。
11. 考虑一维随机游动过程n Y ,0,1,2,n = ,其中00Y =,1
n
n i i Y X ==
∑
,i X 为一取值1-
和1+的随机变量,已知(1)i P X q =-=,(1)i P X p =+=,0,1p q ≤≤,1p q +=,且i X ,
1,2,i = 相互独立,试求:
1) ()n P Y m =; 2)
n E Y 和n D Y 。
12. 考虑随机过程()X t ,其样本函数是周期性锯齿波。
两个典型的样本函数如图所示。
每 个样本函数都具有相同的形状,将0t =时刻以后出现的第一个零值时刻记为0T ,假设0T 是一个均匀分布的随机变量
01,0()0,
others T T t T
p t ≤≤⎧=⎨
⎩ 求()X t 的一维概率密度()X p x
13. 将上题中的锯齿波过程作一点改动,使每个脉冲的幅度A 为服从麦克斯韦(Maxwell)分 布的随机变量
2
2
,0
()20,
A a a p a b
a ⎛⎫
-≥ ⎪=⎝⎭<⎩ 其中0T 的定义和上题相同。
假设不同脉冲的幅度A 之间统计独立,并均与0T 统计独立,求
()Y t 的一维概率密度()Y p y 。
14. 考虑一个正弦振荡器,由于器件的热噪声和分布参数的影响,振荡器的输出正弦波可视 为一个随机过程
()sin()X t A t =Ω+Θ
其中振幅A 、角频率Ω和相位Θ是相互独立的随机变量,并且已知:
20
2,0()0,others A a
a A A p a ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
1,250350()100
0,others w p w Ω⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 1
,02()20,others p θπθπΘ⎧≤≤⎪
=⎨⎪⎩
求()X t 的一维概率密度。