根轨迹例题
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Kg 4K G( s) H ( s) s( s 1)(s 4) s( s 1)(s 4)
其中
K g 4K
①开环极点0，－1，－4，它们是三条根轨迹起点。系统无有 限开环零点，故根轨迹将趋向于无穷远点。 ②根轨迹的渐近线： a 1 4 0 1.67 30
实部为零 虚部为零
5 6 ＝ 3
k 1391
（rad/s ）
k K 3.47 400
根据以上结果画出概略的根轨迹图。
例1：已知系统的开环传递函数为： K G( s) H ( s) s( s 1)(0.25s 1) （1）绘制系统的根轨迹图； （2）为使系统的阶跃响应呈现衰减形式，试确定K值范围。 解： 系统的开环传递函数为
前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）， 这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ “ ”和零点○ 确定实轴上的根迹区间； ”；
画出n-m条渐进线。其与实轴的交点和倾角分别为：
(2k 1) ; , k 0,1,2,3... nm nm 计算极点处的出射角和零点处入射角： 出射角 (2k 1) （从其他极点到该极点的 矢量幅角 ）
渐近线与实轴的交点：
p z
j i
nm
0 20 2 4 j 2 4 j 6 40
( 2k 1) 45 , 135 渐近线的倾角： nm
（5）根轨迹的分离点：
d D(s) d 4 3 2 [ s 24 s 100 s 400s] ds N (s) ds
(2k 1) ( p3 p1 ) ( p3 p2 ) ( p3 p4 ) (2k 1) 116.6 12.5 90 39
(取k 0)
p3
p2
根据对称性规则： p4 39 （7）根轨迹与虚轴的交点：
p4
(2k 1) a 30
即
(k 0,1,2)
a＝60 ， 180 ， 300
③实轴上的根轨迹区间是（－∞，－4），（－1，0） ④求根轨迹分离点 d D( s ) d [ ] [ s( s 1)(s 4)] 3s 2 10s 4 0 ds N ( s) ds
4s 3 72s 2 200s 400 0
求得分离点为： （6）根轨迹的起始角：
s 15
因为开环有一对共轭复数极点，需求 p3、 4 处的根轨迹起始角。
p (2k 1) ( p3 zi ) ( p3 p j )
3
m
n
i 1
j 1 j 3
系统的大致根轨迹如图：
确定K值范围：与分离点s1相应的
K g s . s 1. s 4 s0.46 0.88
K K g 4 0.22
因此，若使系统在阶跃响应下为衰减振荡型，K的取值 范围应为 0.22 K 5 。
例2：已知控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为：
K ( s 1) G(s) 2 , s 4s 4 5 H ( s) s5
（1）绘制系统的根轨迹，确定使闭环系统稳定的K值范围。 （2）若已知系统闭环极点s1=－1，试确定系统的闭环传递函数。 解：（1）
G( s) H ( s)
5K ( s 1) 5K ( s 1) ( s 5)(s 2 4s 4) ( s 5)(s 2) 2
j i
p z
（从各个零点到该极点的 矢量幅角 ） 入射角 (2k 1) （从各个极点到该零点的 （从其他零点到该零点的 矢量幅角 ）
矢量幅角 ）
计算根轨迹和虚轴的交点；
计算会合点和分离点：
由N' (s)D(s)- N(s)D' (s) 0求解
注意：
后两步可能不存在； 在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。
开环无零点。 按照绘制根轨迹规则的顺序求根轨迹的有关参数。 （1）开环传递函数有四个极点，故有四条根轨迹； （2）确定实轴上的根轨迹：
p3
p2
p4
p1
在实轴上（0，－20）之间为根轨迹段。 （3）根轨迹的起点：四个开环极点； 根轨迹的终点：四条根轨迹均终止于无穷远处。 （4）根轨迹渐近线：
K [例]开环传递函数为 Gk (s) s(0.05s 1)(0.05s 2 0.2s 1) ，试绘制系
统的根ຫໍສະໝຸດ Baidu迹。
解：将开环传递函数写成绘制根轨迹的标准形式
k Gk ( s) s( s 20)(s 2 4s 20) (k 400K )
开环有四个极点：
p1 0 p2 20 p3、 4 2 4 j
5s 2 K g 0
5s 2 20 0 s j j 2
求交点也可用如下方法： 令 s j 代入方程得： K g 5 2 j(4 2 ) 0
解得
2 4 0 2 2 K 20 K g 5 0 g
p
1
系统闭环特征方程为： s 4 24s 3 100s 2 400s k 0 将 s j 代入得：
( j)4 24( j)3 100( j)2 400( j) k 0
求得：
4 100 2 k 0
－24 3 400 0
s1 0.46
s2 2.87
由③知s2不在根轨迹上，故s1是根轨迹的分离点。 ⑤求根轨迹与虚轴的交点
闭环特征方程为：
3 s 劳斯阵列为： s2
s3 5s 2 4s Kg 0
1 5 20 K g 5 Kg 4 Kg 0 0
s1 s
0
第一列出现零，即Kg＝20时系统处于临界稳定，其对应的临 界开环增益为K＝Kg/4＝5。 相应的辅助方程为 即 与虚轴的交点为：
其中
K g 4K
①开环极点0，－1，－4，它们是三条根轨迹起点。系统无有 限开环零点，故根轨迹将趋向于无穷远点。 ②根轨迹的渐近线： a 1 4 0 1.67 30
实部为零 虚部为零
5 6 ＝ 3
k 1391
（rad/s ）
k K 3.47 400
根据以上结果画出概略的根轨迹图。
例1：已知系统的开环传递函数为： K G( s) H ( s) s( s 1)(0.25s 1) （1）绘制系统的根轨迹图； （2）为使系统的阶跃响应呈现衰减形式，试确定K值范围。 解： 系统的开环传递函数为
前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）， 这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ “ ”和零点○ 确定实轴上的根迹区间； ”；
画出n-m条渐进线。其与实轴的交点和倾角分别为：
(2k 1) ; , k 0,1,2,3... nm nm 计算极点处的出射角和零点处入射角： 出射角 (2k 1) （从其他极点到该极点的 矢量幅角 ）
渐近线与实轴的交点：
p z
j i
nm
0 20 2 4 j 2 4 j 6 40
( 2k 1) 45 , 135 渐近线的倾角： nm
（5）根轨迹的分离点：
d D(s) d 4 3 2 [ s 24 s 100 s 400s] ds N (s) ds
(2k 1) ( p3 p1 ) ( p3 p2 ) ( p3 p4 ) (2k 1) 116.6 12.5 90 39
(取k 0)
p3
p2
根据对称性规则： p4 39 （7）根轨迹与虚轴的交点：
p4
(2k 1) a 30
即
(k 0,1,2)
a＝60 ， 180 ， 300
③实轴上的根轨迹区间是（－∞，－4），（－1，0） ④求根轨迹分离点 d D( s ) d [ ] [ s( s 1)(s 4)] 3s 2 10s 4 0 ds N ( s) ds
4s 3 72s 2 200s 400 0
求得分离点为： （6）根轨迹的起始角：
s 15
因为开环有一对共轭复数极点，需求 p3、 4 处的根轨迹起始角。
p (2k 1) ( p3 zi ) ( p3 p j )
3
m
n
i 1
j 1 j 3
系统的大致根轨迹如图：
确定K值范围：与分离点s1相应的
K g s . s 1. s 4 s0.46 0.88
K K g 4 0.22
因此，若使系统在阶跃响应下为衰减振荡型，K的取值 范围应为 0.22 K 5 。
例2：已知控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为：
K ( s 1) G(s) 2 , s 4s 4 5 H ( s) s5
（1）绘制系统的根轨迹，确定使闭环系统稳定的K值范围。 （2）若已知系统闭环极点s1=－1，试确定系统的闭环传递函数。 解：（1）
G( s) H ( s)
5K ( s 1) 5K ( s 1) ( s 5)(s 2 4s 4) ( s 5)(s 2) 2
j i
p z
（从各个零点到该极点的 矢量幅角 ） 入射角 (2k 1) （从各个极点到该零点的 （从其他零点到该零点的 矢量幅角 ）
矢量幅角 ）
计算根轨迹和虚轴的交点；
计算会合点和分离点：
由N' (s)D(s)- N(s)D' (s) 0求解
注意：
后两步可能不存在； 在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。
开环无零点。 按照绘制根轨迹规则的顺序求根轨迹的有关参数。 （1）开环传递函数有四个极点，故有四条根轨迹； （2）确定实轴上的根轨迹：
p3
p2
p4
p1
在实轴上（0，－20）之间为根轨迹段。 （3）根轨迹的起点：四个开环极点； 根轨迹的终点：四条根轨迹均终止于无穷远处。 （4）根轨迹渐近线：
K [例]开环传递函数为 Gk (s) s(0.05s 1)(0.05s 2 0.2s 1) ，试绘制系
统的根ຫໍສະໝຸດ Baidu迹。
解：将开环传递函数写成绘制根轨迹的标准形式
k Gk ( s) s( s 20)(s 2 4s 20) (k 400K )
开环有四个极点：
p1 0 p2 20 p3、 4 2 4 j
5s 2 K g 0
5s 2 20 0 s j j 2
求交点也可用如下方法： 令 s j 代入方程得： K g 5 2 j(4 2 ) 0
解得
2 4 0 2 2 K 20 K g 5 0 g
p
1
系统闭环特征方程为： s 4 24s 3 100s 2 400s k 0 将 s j 代入得：
( j)4 24( j)3 100( j)2 400( j) k 0
求得：
4 100 2 k 0
－24 3 400 0
s1 0.46
s2 2.87
由③知s2不在根轨迹上，故s1是根轨迹的分离点。 ⑤求根轨迹与虚轴的交点
闭环特征方程为：
3 s 劳斯阵列为： s2
s3 5s 2 4s Kg 0
1 5 20 K g 5 Kg 4 Kg 0 0
s1 s
0
第一列出现零，即Kg＝20时系统处于临界稳定，其对应的临 界开环增益为K＝Kg/4＝5。 相应的辅助方程为 即 与虚轴的交点为：