直线与抛物线位置关系

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直线与抛物线的位置关系

x p O 2 p y 2 p ( my ) 2 x my 2
即：y 2 pmy p 0
2 2
p x my 2
y A F B x
y1 y2 p （定值）
2
例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 2 px( p 0)于 A ，B两点，设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 p 2 .

解由题意, 设直线 l的方程为 y 1 k x 2.
由方程组
2
y 1 k x 2 , y 4x ,
2

①
可得 ky 4 y 4 2k 1 0
1 当k 0时,由方程 ① 得 y 1,
1 把 y 1代入 y 4 x, 得 x . 4
y
C H D E F A
B O
x
例4、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交于A、B，求AB中点的轨迹方程.
y
解：设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y)
2 y 1 2 x1 y1 y2 2 由 2 相减得： ( x1 x2 ) x1 x2 y1 y2 y2 2 x2
x
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到准线l的距离分别为 d A , dB .
由抛物线的定义可知 AF d A x1 1, BF d B x2 1,
B’
所以 AB AF BF x1 x2 2 8
变式：过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．

3.3.3直线与抛物线的位置关系课件(人教版)

第三章圆锥曲线的方程
3.3.3直线与抛物线的位置关系
学习目标
掌握抛物线的几何性质. 会判断直线与抛物线的位置关系.
准备好了吗？一起去探索吧！
抛物线的几何性质.
重点
难点
弦长公式的求解. 判断直线与抛物线的位置关系.
提问
探究一抛物线的方程与性质
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A,B 两点，求线段 AB 的长？
在前面椭圆，双曲线的学习中，我们也遇到过类似的直线与椭圆、双曲线相交的问题，回忆一下是如何解决的？对于这道题你有什么解题思路？
解答方法一
将直线与抛物线联立为方程组，求出两个交点 A,B，然后利用两点间的距离公式求 AB 的长.
解法一：可求得直线的方程为 y x 1，
yx1
联立直线的方程与抛物线的方程 y2 4 x ，整理得 x2 6x 1 0 ，
∵ M (2，y0 ) 在直线上，∴ y0 2 ，
AB
1 k 2 x2 x1
5
42
4
4 22
2
15 .
探究二直线和抛物线的位置关系
（1）设直线 l : y kx b ，抛物线 y2 2 p（x p 0），
ykxb
直线与抛物线交点的个数等价于方程组 y2 2 px 解的组数，也等价于方程 ky2 2 py 2bp 0解的个数
a.当 k 0 时，若 0 ，则直线和抛物线相交，有两个公共点；若 =0 ，则直线和抛物线相切，有一个公共点；若 0 ，则直线和抛物线相离，无公共点.
b. 当 k=0 时，直线y=b与抛物线 y2 2 p（x p 0）相交，有一个公共点.特别的，当直线l的斜率不存在时，设 l : x m ，则当 m 0 时，l与抛物线相交，有两个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相切，有一个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相离，无公共点.

第7节第2课时直线与抛物线的位置关系--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第2课时直线与抛物线的位置关系课标解读考向预测1.会判断直线与抛物线的位置关系.2.会求直线与抛物线相交所得的弦长.3.能解决与抛物线的切线相关的简单几何问题.从近几年高考来看，直线与圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点，高考试题中加大了思维能力的考查，以及二级结论的考查，减少了对复杂运算的考查．预计2025年高考对直线与抛物线综合问题考查的难度会增加，平时应注意二级结论的应用.必备知识——强基础1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系(2)设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x 的方程k 2x 2＋(2km －2p )x ＋m 2＝0.①若k ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线04相交，有05两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线06相切，有07一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线08相离，09无交点．②若k ＝0，直线与抛物线10只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的11必要不充分条件．2．弦长问题设直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2(k为直线的斜率，k≠0)．3．抛物线的焦点弦问题若MN为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)，则焦点弦长为|MN|＝12x1＋x2＋p(x1，x2分别为M，N的横坐标)．设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式如下表．标准方程弦长公式y2＝2px(p>0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p>0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)|AB|＝p－(y1＋y2)4.抛物线的切线(1)过抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x1，y1)的切线方程是y1y＝p(x＋x1)．(2)抛物线y2＝2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y＝kx＋p2k(k≠0)．抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝p1－cosα，|BF|＝p1＋cosα，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1 |FA|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，长度为2p；(8)过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点．设直线l1的倾斜角为α，则|AB |＝2psin 2α，|DE |＝2psin ＝2p cos 2α.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则过点A (－1，0)恰有2条直线与抛物线C 有且只有一个公共点．()(2)已知过抛物线C ：y 2＝x 的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若直线l 垂直于x 轴，则|AB |＝1.()(3)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 的倾斜角为60°且经过点F .若l 与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1x 2＝2.()答案(1)×(2)√(3)×2．小题热身(1)(人教A 选择性必修第一册3.3例4改编)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝()A ．83B ．163C ．5D ．33答案B解析由题意得，抛物线的焦点为F (1，0)，直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．＝3（x －1），2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.3T12改编)过定点P (0，1)且与抛物线y 2＝8x 有且仅有一个公共点的直线有________条．答案3解析当斜率不存在时，直线方程为x ＝0，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋1，＝kx ＋1，2＝8x ，得k 2x 2＋(2k －8)x ＋1＝0，当k ＝0时，直线方程为y＝1，只有一个公共点，符合题意；当k ≠0时，令Δ＝(2k －8)2－4k 2＝0，解得k ＝2，即直线与抛物线有一个公共点，符合题意．所以满足题意的直线有3条．(3)过点P (4，－3)作抛物线y ＝14x 2的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________________．答案2x －y ＋3＝0解析设切点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，同理，切线PB 的方程为y ＝12x 2x －y 2，由P (4，－3)是PA ，PB 的交点可知，－3＝2x 1－y 1，－3＝2x 2－y 2，由两点确定一条直线，可得过A ，B 的直线方程为－3＝2x －y ，即2x －y ＋3＝0.(4)(2024·山东济南模拟)已知A ，B 为抛物线C ：x 2＝4y 上的两点，M (－1，2)，若AM →＝MB →，则直线AB 的方程为________________．答案x ＋2y －3＝0解析由题意知点M (－1，2)在抛物线内，且M (－1，2)是线段AB 的中点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，21＝4y 1，22＝4y 2，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝4(y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝－12，则直线AB 的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.＋2y －3＝0，2＝4y ，消去y ，得x 2＋2x －6＝0，Δ＝22－4×(－6)＞0，故斜率为－12符合题意．因此直线AB 的方程为x ＋2y－3＝0.考点探究——提素养考点一抛物线的切线例1(1)过抛物线x 2＝4y 上一点(4，4)的抛物线的切线方程为()A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0答案A解析解法一：设切线方程为y －4＝k (x －4)．－4＝k （x －4），2＝4y⇒x 2＝4(kx －4k ＋4)⇒x 2－4kx ＋16(k －1)＝0，由Δ＝(－4k )2－4×16(k －1)＝0，得k 2－4k ＋4＝0.∴k ＝2.故切线方程为y －4＝2(x －4)，即2x －y －4＝0.解法二：由x 2＝4y ，得y ＝x 24，∴y ′＝x 2.∴y ′|x ＝4＝42＝2.∴切线方程为y －4＝2(x －4)，即2x －y－4＝0.(2)(2023·四川成都适应性考试)已知A ，B 为抛物线y ＝x 2上两点，以A ，B 为切点的抛物线的两条切线交于点P ，过点A ，B 的直线斜率为k AB ，若点P 的横坐标为13，则k AB ＝________．答案23解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以A ，B 为切点的抛物线的切线斜率分别为k A ，k B ，由y ＝x 2，得y ′＝2x ，故k A ＝2x 1，k B ＝2x 2，所以切线PA 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即x 21－2x 1x ＋y ＝0.同理可得，切线PB 的方程为x 22－2x 2x ＋y ＝0.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以x 21－2x 1x 0＋y 0＝0，x 22－2x 2x 0＋y 0＝0，所以x 1，x 2为方程x 2－2x 0x ＋y 0＝0的两根，故x 1＋x 2＝2x 0，x 1x 2＝y 0，则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2＝2x 0＝23.【通性通法】求抛物线切线方程的方法方法一首先设出切线方程，然后与抛物线方程联立，利用判别式求解方法二首先求导得出切线的斜率，然后由点斜式得出切线方程方法三过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0)【巩固迁移】1．(多选)(2023·辽宁名校联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线l 的方程为y ＝－1，过C 的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，以A ，B 为切点分别作C 的两条切线，且两切线交于点M ，则下列结论正确的是()A ．C 的方程为x 2＝2yB ．∠AMB ＝90°C ．M 恒在l 上D ．|MF |2＝|AF |·|BF |答案BCD解析由题得－p2＝－1，所以p ＝2，因此C 的方程为x 2＝4y ，A 错误；由题意可知AB 的斜率存在，F (0，1)，设AB 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝kx ＋1，2＝4y ，得x 2－4kx－4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由y ＝14x 2得y ′＝12x ，所以AM 的斜率为k AM ＝12x 1，所以AM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y －14x 21＝12x 1(x －x 1)①，同理BM 的斜率为k BM ＝12x 2，所以BM 的方程为y －14x 22＝12x 2(x －x 2)②，所以k AM ·k BM ＝14x 1x 2＝－1，即AM ⊥BM ，所以∠AMB＝90°，B 正确；由①②得(x 2－x 1)y ＝14x 1x 2(x 2－x 1)，因为x 1≠x 2，所以y ＝－1，将y ＝－1代入①②得x ＝x 2＋x 12＝2k ，所以点M 的坐标为(2k ，－1)，又C 的准线l 的方程为y ＝－1，所以M 恒在l 上，C 正确；当AB 的斜率k 不为零时，则k MF ＝－1－12k ＝－1k ，所以k AB ·k MF ＝－1，所以AB ⊥MF ，当AB 的斜率k ＝0时，点M 的坐标为(0，－1)，显然AB ⊥MF ，在Rt △ABM 中，由△AMF ∽△MBF 得|MF ||AF |＝|BF ||MF |，所以|MF |2＝|AF |·|BF |，D 正确．故选BCD.考点二焦点弦问题例2(1)(2024·河北邯郸模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |＝()A ．4B ．92C ．5D ．6答案B解析解法一：易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1)．＝k （x －1），2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设点A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则x A x B ＝1①，因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1②，由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.解法二：由对称性，不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式，得|AB |＝2p sin 2θ＝92.解法三：因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.(2)(多选)(2023·湖北鄂州市教学研究室期末)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，准线l 与y 轴的交点为D ，过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，点O 为坐标原点．下列结论正确的是()A ．存在点A ，B ，使∠AOB ≤π2B ．|AB |的最小值为4C ．DF 平分∠ADBD ．若点M (2，3)是弦AB 的中点，则直线m 的方程为x －y ＋1＝0答案BCD解析抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，1)，由题意分析可知，直线m 的斜率一定存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线m 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线C ：x 2＝4y 联立，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 214·x 224＝－4＋1＝－3<0，所以∠AOB 为钝角，故A 错误；|AB |＝y 1＋y 2＋2＝kx 1＋1＋kx 2＋1＋2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4≥4(当且仅当k ＝0时，等号成立)，故B 正确；因为点D (0，－1)，k DA ＋k DB ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2kx 1x 2＋2（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k ×（－4）＋2×4kx 1x 2＝0，即直线DA 和直线DB 的倾斜角互补，所以DF 平分∠ADB ，故C 21＝4y 1，22＝4y 2，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝4(y 1－y 2)，因为点M (2，3)是弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，所以直线m 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1，所以直线m 的方程为x －y ＋1＝0，故D 正确．故选BCD.【通性通法】解决焦点弦问题的策略(1)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解．(2)利用与抛物线焦点弦有关的二级结论求解．【巩固迁移】2．(2024·山东聊城质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为()A．y2＝125x B．y2＝245xC．y2＝12x D．y2＝6x 答案B解析因为直线l的方程为y＝即y＝2x－p，2＝2px，＝2x－p，消去y，得4x2－6px＋p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p2，又因为弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，所以|AB|＝6，而|AB|＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝6－p，故3p2＝6－p，解得p＝125，所以抛物线的方程为y2＝245x.故选B.3．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()A．p＝2B．|MN|＝83C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形答案AC解析对于A，直线y＝－3(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以p2＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，A正确；对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＞x2，＝－3（x－1），2＝4x，消去y并化简，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝13，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋13＋2＝163，B错误；对于C，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝12(d1＋d2)＝12(|MF|＋|NF|)＝12|MN|，即A到直线l的距离等于|MN|的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C正确；对于D，由上述分析可知y1＝－3×(3－1)＝－23，y2＝－3×＝233，所以|OM|＝32＋（－23）2＝21，|ON |＝133，所以△OMN 不是等腰三角形，D 错误．故选AC.考点三直线与抛物线的综合问题例3(2023·重庆统考模拟预测)如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，F 为其焦点，点A (2，y 0)在C 上，△OAF 的面积为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P (m ，0)(m >0)作斜率为－1的直线l 1交抛物线C 于点M ，N ，直线MF 交抛物线C 于点Q ，以Q 为切点作抛物线C 的切线l 2，且l 2∥l 1，求△MNQ 的面积．解(1)由题意，可知抛物线C 的焦点将A (2，y 0)代入抛物线C 的方程，得y 20＝4p ，且p >0，则|y 0|＝2p ，因为△OAF 的面积为12×p 2×2p ＝p p 2＝4，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)由(1)可得抛物线C 的方程为y 2＝8x ，焦点F (2，0)，设直线l 1：x ＝－y ＋m (m >0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 3，y 3)，＝－y ＋m ，2＝8x ，消去x ，得y 2＋8y －8m ＝0，则Δ＝64＋32m >0，可得y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8m ，因为点M (x 1，y 1)在抛物线上，则y 21＝8x 1，即x 1＝y 218，所以直线MF 的方程为x ＝x 1－2y 1y ＋2＝y 218－2y 1y ＋2＝y 21－168y 1y ＋2，＝y 21－168y 1y ＋2，2＝8x ，消去x ，得y 2＋16－y 21y 1y －16＝0，可得y 1y 3＝－16，即y 3＝－16y 1，则x 3＝y 21－168y 1×2＝32y 21，即因为l 2∥l 1，可设l 2：x ＝－y ＋n ，代入得32y 21＝16y 1＋n ，即n ＝32y 21－16y 1，所以l 2：x ＝－y ＋32y 21－16y 1，＝－y ＋32y 21－16y 1，2＝8x ，消去x ，得y 2＋8y ＋0，因为l 2为抛物线C 的切线，则Δ＝64－0，整理得y 21－8y 1＋16＝0，解得y 1＝4，又因为y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8m ，y 1y 3＝－16，可得y 2＝－12，m ＝6，y 3＝－4，即Q (2，－4)，l 1：x ＝－y ＋6，可得|MN |＝2×|4－(－12)|＝162，点Q (2，－4)到直线l 1：x ＋y －6＝0的距离d ＝|2－4－6|2＝42，所以S △MNQ ＝12|MN |·d ＝12×162×42＝64.【通性通法】解决直线与抛物线综合问题的策略(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线y 2＝2px 的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则一般用弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【巩固迁移】4．(2023·甘肃张掖高台县第一中学统考期末)已知点A (x 0，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，且A 到C 的焦点F 的距离与到x 轴的距离之差为12.(1)求抛物线C 的方程；(2)当p <2时，M ，N 是C 上不同于点A 的两个动点，且直线AM ，AN 的斜率之积为－2，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点E ，使得|DE |为定值．解(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为准线方程为x ＝－p2，又点A (x 0，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，即(－2)2＝2px 0，∴x 0＝2p ，即－依题意，可得2p ＋p 2－2＝12，解得p ＝1或p ＝4，∴y 2＝2x 或y 2＝8x .(2)证明：∵p <2，∴y 2＝2x ，A (2，－2)．设MN ：x ＝my ＋n ，2＝2x ，＝my ＋n ，消去x ，整理得y 2－2my －2n ＝0，Δ＝4m 2＋8n >0，(ⅰ)且y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2n ，∴k AM ·k AN ＝2y 1－2·2y 2－2＝－2，∴(y 1－2)(y 2－2)＝－2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋6＝0，∴n ＋2m ＝3，适合(ⅰ)，将n ＝3－2m 代入x ＝my ＋n ，得x －3＝m (y －2)，－3＝0，－2＝0，＝3，＝2，∴直线MN 恒过定点Q (3，2)．又AD ⊥MN ，∴点D 在以AQ 为直径的圆上，∵A ，Q |AQ |＝（2－3）2＋（－2－2）2＝17，∴以AQ ＋y 2＝174，∴存在点使得|DE |＝172，为定值．课时作业一、单项选择题1．已知直线l 与抛物线x 2＝2py (p >0)只有一个公共点，则直线l 与抛物线的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切答案D解析直线l 与抛物线的对称轴平行或直线l 与抛物线相切时只有一个公共点，所以D 正确．故选D.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若点C (x 1，0)与点D (x 2，0)关于直线x ＝32对称，则|AB |＝()A ．3B ．4C ．5D ．6答案C解析抛物线y 2＝4x ，∴p ＝2，过焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p 2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又点C (x 1，0)与点D (x 2，0)关于直线x ＝32对称，则x 1＋x 2＝32×2＝3，∴|AB |＝3＋2＝5.3．(2023·四川资阳统考三模)已知抛物线C ：y 2＝8x ，过点P (2，－1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AP |＝|BP |，则直线l 的斜率是()A ．－4B ．4C ．－14D ．14答案A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，21＝8x 1，22＝8x 2，作差得y 21－y 22＝8(x 1－x 2)．因为|AP |＝|BP |，所以P 是线段AB 的中点，所以y 1＋y 2＝－2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝－4.故选A.4.(2024·江西九江二模)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为1cm ，瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同且长度为22cm 的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁．若筷子的中点离桌面的最小距离为7cm ，则该抛物线的通径长为()A ．16B ．18C ．20D ．22答案C解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线为x 2＝2py (p >0)，焦点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AB |＝22，|AB |≤|AF |＋|BF |，∴y 1＋y 2＋p ≥22，设线段AB 的中点为M ，则2y M ＋p ≥22，由题意知，y M 的最小值为6，即12＋p ＝22，得p ＝10，∴该抛物线的通径长为2p ＝20.故选C.5．(2023·辽宁名校联考)过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点A 处的切线与x ，y 轴分别交于点M ，N .若△MON (O 为坐标原点)的面积为12，则|AF |＝()A ．2B ．3C ．4D ．5答案A解析由题意可知，直线l 的斜率存在，且过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F ，与其交于A ，B 两点，设，14a又y ＝14x 2，所以y ′＝x 2，所以点A 处的切线方程为y －14a 2＝a2(x －a )．令x ＝0，可得y ＝－14a 2，即，－14a令y ＝0，可得x ＝a 2，即因为△MON 的面积为12，所以12×|－14a 2|×|a2|＝12，解得a 2＝4，所以|AF |＝14a 2＋1＝2.故选A.6．(2023·河北石家庄模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 中点的纵坐标为2，且|AB |＝8，则p ＝()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析设直线AB ：y ＝k ≠0.2＝2px ，＝得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k2＝p ＋2p k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－p )＝2pk .由题可知，x 1＋x 2＋p ＝8，y 1＋y 22＝2，＋pk2＝4，2，＝1，＝2.故选B.7．(2023·湖北武汉模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．y ＝－3B ．y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－32答案B解析根据题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 21＝2py 1①，x 22＝2py 2②，由①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝2p (y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ，因为直线AB 的斜率为1，线段AB 中点的横坐标为3，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ＝3p ＝1，即p ＝3，所以抛物线的方程为x 2＝6y ，准线方程为y ＝－32.故选B.8．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为()A ．16B ．14C ．12D ．10答案A解析抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则直线l 2的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)．2＝4x ，＝k （x －1），消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.同理可得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号．故|AB |＋|DE |的最小值为16.二、多项选择题9．(2023·广州模拟)已知点O 为坐标原点，直线y ＝x －1与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，则()A ．|AB |＝8B ．OA ⊥OBC ．△AOB 的面积为22D ．线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为2答案AC解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为抛物线C ：y 2＝4x ，则p ＝2，焦点为(1，0)，则直线y ＝x －1过焦点．＝x －1，2＝4x ，消去y ，得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－4，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8，故A 正确；因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3≠0，所以OA 与OB 不垂直，故B 错误；原点到直线y ＝x －1的距离为d ＝12，所以△AOB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝12×8×12＝22，故C 正确；因为线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为x 1＋x 22＝62＝3，故D 错误．故选AC.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若M (m ，2)是线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．p ＝4B ．抛物线的方程为y 2＝16xC ．直线l 的方程为y ＝2x －4D ．|AB |＝10答案ACD解析由焦点F 到准线的距离为4，并根据抛物线的定义可知p ＝4，故A 正确；抛物线的方程为y 2＝8x ，故B 错误；因为焦点F (2，0)，y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，若M (m ，2)是线段AB 的中点，则y 1＋y 2＝4，所以y 21－y 22＝8x 1－8x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2，所以直线l 的方程为y ＝2x －4，故C 2＝8x ，＝2x －4，得x 2－6x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4＝10，故D 正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·天津高考)过原点O 的一条直线与圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝3相切，交曲线y 2＝2px (p >0)于点P ，若|OP |＝8，则p 的值为________．答案6解析由题意得直线OP 的斜率存在．设直线OP 的方程为y ＝kx ，因为该直线与圆C 相切，所以|－2k |1＋k2＝3，解得k 2＝3.将直线方程y ＝kx 与曲线方程y 2＝2px (p >0)联立，得k 2x 2－2px＝0，因为k 2＝3，所以3x 2－2px ＝0，解得x ＝0或x ＝2p 3，设P (x 1，y 1)，则x 1＝2p3，又O (0，0)，所以|OP |＝1＋k 2|x 1－0|＝2×2p3＝8，解得p ＝6.12．(2024·陕西咸阳二模)过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若l的倾斜角为45°，则线段AB 的中点到x 轴的距离是________．答案3解析由题意，抛物线方程为x 2＝4y ，则F (0，1)，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1，将直线方程代入抛物线方程，整理，得x 2－4x －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，故线段AB的中点的横坐标为x 1＋x 22＝2，代入直线l 的方程，得y ＝3，∴线段AB 的中点到x 轴的距离是3.13．(2024·贵州遵义统考)已知抛物线x 2＝2y 上两点A ，B 关于点M (2，t )对称，则直线AB 的斜率为________．答案2解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程x 2＝2y ，21＝2y 1，22＝2y 2，则x 21－x 22＝2(y 1－y 2)①，因为A ，B 两点关于点M (2，t )对称，则x 1≠x 2，x 1＋x 2＝4，所以由①得y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝2，即直线AB 的斜率为2.14．(2023·山东鄄城三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过A (－1，0)作抛物线C 的切线，切点为B ，|BF |＝3，则抛物线C 上的动点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离与到y 轴的距离之和的最小值为________．答案32－2解析根据抛物线的对称性，不妨设B (x 0，y 0)(y 0>0)，由抛物线定义知，|BF |＝x 0＋p2＝3，∴x 0＝3－p2>0，∴p <6，∴y 0＝6p －p 2，当y >0时，y ＝2px ，∴y ′＝2p 2x ，∴2p23－p2＝6p －p 23－p 2＋1，解得p ＝0(舍去)或p ＝4或p ＝203(舍去)，则抛物线C 的方程为y 2＝8x ，焦点F (2，0)，准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝|2－0＋4|12＋（－1）2＝32，抛物线C上的动点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离与到y 轴的距离之和的最小值为32－2.四、解答题15．已知F 为抛物线T ：x 2＝4y 的焦点，直线l ：y ＝kx ＋2与T 交于A ，B 两点．(1)若k ＝1，求|FA |＋|FB |的值；(2)点C (－3，－2)，若∠CFA ＝∠CFB ，求直线l 的方程．解由已知得F (0，1)，设12＝kx ＋2，2＝4y ，得x 2－4kx －8＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，①x 1x 2＝－8.②(1)|FA |＋|FB |＝x 214＋1＋x 224＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 24＋2.当k ＝1时，由①②，得|FA |＋|FB |＝10.(2)由题意可知，FA →1，x 214－FB →2，x 224－FC →＝(－3，－3)．由∠CFA ＝∠CFB ，得cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉，即FA →·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|，又|FA |＝x 214＋1，|FB |＝x 224＋1，所以由FA →·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC→|FB →||FC →|，得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0，即4＋8k ＋8＝0，解得k ＝－32，所以直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0.16．(2024·江西南昌等四地联考)已知直线l ：x －y ＋1＝0与抛物线C ：x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求p ；(2)设抛物线C 的焦点为F ，过点F 且与l 垂直的直线与抛物线C 交于E ，G 两点，求四边形AEBG 的面积．解(1)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，－y ＋1＝0，2＝2py ，可得x 2－2px －2p ＝0，易得Δ＝4p 2＋8p >0，所以x A ＋x B ＝2p ，x A x B ＝－2p ，则|AB |＝2×（x A ＋x B ）2－4x A x B ＝22×p 2＋2p ＝8，即p 2＋2p －8＝0，因为p >0，所以p ＝2.(2)由题意可得抛物线C 的焦点为F (0，1)，直线EG 的方程为x ＋y －1＝0.＋y －1＝0，2＝4y ，化简可得x 2＋4x －4＝0，则Δ＝16＋16>0，设E (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2－(x 1＋x 2)＝6，则|EG |＝y 1＋y 2＋p ＝8，因为AB ⊥EG ，所以S 四边形AEBG ＝12|AB |·|EG |＝12×8×8＝32.17．(多选)(2023·云南昆明模拟)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则()A ．∠AOB 可能为直角B ．x 1x 2为定值C ．若与抛物线C 分别相切于点A ，B 的两条切线交于点N ，则点N 在抛物线C 的准线上D ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点答案BC解析设直线l AB ：x ＝ty ＋1，与y 2＝4x 联立并消去x ，得y 2－4ty －4＝0，y 1y 2＝－4，则x 1x 2＝y 21y 2216＝1，故B 正确；因为x 1x 2＝1，所以k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2≠－1，所以∠AOB ≠π2，故A 不正确；设N (x 0，y 0)，由y 2＝4x ，得y ＝±2x ，所以y ′＝±1x ，因为AN ，BN 均为切线，设k AN ＝1x 1，k BN ＝－1x 2，则AN 的方程为y －y 1＝1x 1(x －x 1)，化简，得yy 1－2x －2x 1＝0，BN 的方程为y －y 2＝－1x 2(x －x 2)，化简，得yy 2－2x －2x 2＝0，因为AN 与BN 的交点为N (x 0，y 0)，所以y 0y 1－2x 0－2x 1＝0，y 0y 2－2x 0－2x 2＝0，则直线AB 的方程为y 0y －2x 0－2x ＝0，由于直线AB 过点F (1，0)，所以x 0＝－1，又因为抛物线C 的准线方程为x ＝－1，所以点N 在抛物线C 的准线上，故C 正确；设BF 的中点，|BF |2＝1＋x 22，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故D 不正确．故选BC.18．(多选)(2023·河北秦皇岛模拟)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点A (1，－4)作两条相互垂直的直线，与C 的另外两个交点分别为M ，N ，则()A ．C 的准线方程是x ＝－4B ．过C 的焦点的最短弦长为8C ．直线MN 过定点(0，4)D ．当点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程为2x ＋y －38＝0答案AD解析将A (1，－4)代入C 的方程中，得p ＝8，所以C 的方程为y 2＝16x ，所以C 的准线方程是x ＝－4，故A 正确；当过C 的焦点且与x 轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B 不正确；设y y 直线MN 的方程为x ＝my ＋n ，将直线MN 的方程代入C 的方程，得y 2－16my －16n ＝0，所以y 1＋y 2＝16m ，y 1y 2＝－16n .因为AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝1，y 1＋1，y 2＋＝（y 21－16）（y 22－16）256＋(y 1＋4)(y 2＋4)＝0.因为y 1≠－4，y 2≠－4，所以(y 1＋4)(y 2＋4)≠0，所以（y 1－4）（y 2－4）256＋1＝0，整理得y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋272＝0，所以－16n －64m ＋272＝0，得n ＝－4m ＋17，所以直线MN 的方程为x ＝m (y －4)＋17，所以直线MN 过定点P (17，4)，故C 不正确；当MN ⊥AP 时，点A 到直线MN 的距离最大，此时直线MN 的方程为2x ＋y －38＝0，故D 正确．19．(2023·河北石家庄三模)已知M ，N 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上不同两点，O 为坐标原点，OM ⊥ON ，过O 作OH ⊥MN 于H ，且点H (2，2)．(1)求直线MN 的方程及抛物线C 的方程；(2)若直线l 与直线MN 关于原点对称，Q 为抛物线C 上一动点，求点Q 到直线l 的距离最短时，点Q 的坐标．解(1)如图，由点H (2，2)，得直线OH 的斜率为1，又OH ⊥MN ，则直线MN 的斜率为－1，故直线MN 的方程为y －2＝－(x －2)，整理，得直线MN 的方程为x ＋y ＝4.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＋y ＝4，2＝2px ，得y 2＋2py －8p ＝0，1＋y 22p ，1y 2＝－8p ，由OM ⊥ON ，得OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 224p2＋y 1y 2＝0，因为y 1y 2≠0，所以y 1y 2＝－4p 2，所以－4p 2＝－8p ，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设点A (x ，y )是直线l 上任一点，则点A 关于原点的对称点A ′(－x ，－y )在直线MN 上，所以－x ＋(－y )＝4，即直线l 的方程为x ＋y ＝－4.设点Q (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，点Q 到直线l 的距离d ＝|x 0＋y 0＋4|2＝|y 204＋y 0＋4|2＝（y 0＋2）2＋1242，当y 0＝－2时，d 取得最小值322，此时Q (1，－2)．20．(2023·辽宁沈阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，且l 1与l 2交于点M .(1)求p 的值；(2)若l 1⊥l 2，求△MAB 面积的最小值．解(1)由题意知，准线方程为y ＝－p 2，焦点到准线的距离为2，即p ＝2.(2)由(1)知，抛物线的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，设12l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)，l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)，由于l 1⊥l 2，所以x 12·x 22＝－1，即x 1x 2＝－4.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立，＝kx ＋m ，2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4m＝0，Δ＝16k 2＋16m >0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1，即直线l ：y ＝kx ＋1，此时Δ＝16k 2＋16>0.＝x 12x －x 214，＝x 22x －x 224，＝2k ，＝－1，即M (2k ，－1)．点M 到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝21＋k 2，|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4，当k ＝0时，△MAB 的面积取得最小值4.。

直线与抛物线的位置关系

6
点 F 交抛物线于 A ， B 两点， O 为坐标原点，则△ ABO 的面积为
64
.
(2)依题意，抛物线 C ： y 2＝16 x 的焦点为 F (4，0)，
直线 l 的方程为 x ＝ 3 y ＋4.
＝ 3 + 4，
由൝ 2
= 16，
消去 x ，整理得 y 2－16 3 y －64＝0.
12
2
− 2 ，
22 ＝
22
2
− 2 ，
即 x 1， x 2是方程 x 2－4 x －4p 2＝0的两根，
2
2
2 − 1
2 2
2 −1
2
2
所以 x 1＋ x 2＝4， x 1 x 2＝－4 p ，所以 kAB ＝
＝
＝，
2 −1
2 −1

所以｜ AB ｜＝ 1 + 2 · (1 ＋2 )2 − 41 2 ＝
直线与抛物线的位置关系
考点一
直线与抛物线的位置关系
过点(0，3)的直线 l 与抛物线 y 2＝4 x 只有一个公共点，则直线 l 的
1
y ＝ x ＋3或 y ＝3或 x ＝0
方程为
.
例1
3
1
当直线 l 的斜率 k 存在且 k ≠0时，由相切容易求出直线 l 的方程为 y ＝ x
3
＋3；当 k ＝0时，直线 l 的方程为 y ＝3，此时直线 l 平行于抛物线的对称
(6)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最
短的弦.
跟踪训练
2.
3
2
(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线 C ： y ＝3 x 的焦点为 F ，斜率为的直线 l

如何用代数法判断直线与抛物线的位置关系

谈学论教在解答圆锥曲线问题时，我们经常会遇到判断直线与抛物线位置关系的问题.此类问题侧重于考查直线的方程、弦长公式、点到直线的距离公式、抛物线的方程、一元二次方程的根的判别式、韦达定理等.判断直线与抛物线的位置关系，主要有代数法和几何法两种方法.本文主要探讨一下如何用代数法判断直线与抛物线的位置关系.一、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相交、相切、相离.如下图所示.其中相交的有两种情况，即相交于一点（当直线与抛物线的对称轴平行或重合时）、相交于两点.相交于一点相交于两点相离相切于一点二、用代数法判断直线与抛物线的位置关系的思路设抛物线的方程为y 2=2px (p >0),直线l 的方程为：y =kx +b ,则直线与抛物线的位置关系有如下几种情况：1.当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +b ,将此方程代入抛物线的方程y 2=2px (p >0),得k 2x 2+(2kb -2p )x+b 2=0()1，由于方程（1）的二次项系数中含有字母k ，因此方程的最高次数可能是2，也可能是1.若k =0，则方程（1）可化为-2px +b 2=0，由于p >0,所以方程（1）是一元一次方程，此时方程有1个解x =b 22p.由于k =0，所以直线l 与x 轴平行或重合，由图形知，直线与抛物线相交于一点.若k ≠0,则方程（1）是关于x 的一元二次方程.若∆>0，则方程有2个解x 1,x 2(x 1≠x 2)，此时直线与抛物线相交于两点；若∆=0，则方程有1个解x 1=x 2,此时直线与抛物线相切于一点；若∆<0，则方程无解，此时直线与抛物线相离.2.当直线l 的斜率不存在时，设l ：x =n ,将此方程代入到抛物线的方程，得y 2=2pn ()2,这是关于y 的一元二次方程.若∆>0，即2pn >0，则方程（2）有2个解y 1,y 2(y 1≠y 2),此时直线与抛物线相交于两点；若∆=0，即2pn =0，则方程（2）有1个解y 1=y 2,此时直线与抛物线相切于一点；若∆<0，即2pn <0，则方程（2）无解，此时直线与抛物线相离.综上所述，不管直线的斜率是否存在，要判断直线与抛物线的位置关系，只需将直线的方程代入抛物线的方程中，若得到的方程是一元一次方程，则直线与抛物线必相交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合；若得到的方程是一元二次方程，则需分三种情况进行讨论.当∆>0时，直线与抛物线相交于两点；当∆=0时，直线与抛物线相切于一点；当∆<0时，直线与抛物线相离.这也就是说，当k =0时直线与抛物线相交于一点⇔k =0;当k ≠0时直线与抛物线相交于两点⇔{k ≠0,Δ>0;直线与抛物线相切于一点⇔{k ≠0,Δ=0;直线与抛物线相离⇔{k ≠0,Δ<0.例题：已知直线l 的方程为y =kx +1和抛物线C 的方程为y 2=4x ,请讨论直线l 与抛物线C 的公共点的个数.分析：直线与抛物线的公共点个数有三种情况：（1）2个公共点.即直线l 与抛物线C 相交于两点；（2）1个公共点.即直线l 与抛物线C 相交或相切于一点；（3）没有公共点.即直线l 与抛物线C 相离.这些位置关系与所得的一元二次方程的二次项系数及∆有关.解：将直线的方程代入抛物线的方程中得k 2x 2+(2k -4)x +1=0,若k =0，则l 与C 相交于一点；若{k ≠0,(2k -4)2-4k 2=0，即当k =1时，l 与C 相切于一点；若{k ≠0,(2k -4)2-4k 2>0，即当k <1,且k ≠0时，l 与C 相交于两点；当{k ≠0,(2k -4)2-4k 2<0，即k >1时，l 与C 相离.综上所述，当k =0,或1时，l 与C 有1个公共点；当k <1,且k ≠0时，l 与C 有2个公共点；当k >1时，l 与C 无公共点.利用代数法判断直线与抛物线的位置关系，关键是要构造出关于x 或y 的一元二次方程，讨论其二次项的系数和判别式.只要抓住了这个关键点，就能顺利解题.（作者单位：陕西省神木市第七中学）55。

直线与抛物线的位置关系

,
汇报人：
目录
交点个数
直线与抛物线相交的个数取决于直线的斜率和抛物线的
开口方向
当直线斜率存在且与x轴不垂直时直线与抛物线最多有两
个交点
当直线斜率不存在（垂直于x 轴）时直线与抛物线有一个
交点
当直线斜率不存在（垂直于x 轴）且过抛物线顶点时直线与抛物线有无
数多个交点
交点坐标
当夹角达到90度时直线与抛物线相切
夹角的变化还会影响交点的个数以及与对称轴的关系
汇报人：
交点性质
交点个数：直线与抛物线可能有一个或两个交点交点位置：交点位于抛物线的对称轴上或对称轴的一侧交点坐标：通过联立方程求得交点的坐标交点性质的应用：判断直线与抛物线的位置关系求解相关问题
直线与抛物线平行无交点
平行
直线与抛物线平行交点在无穷远处
直线与抛物线平行交点在抛物线上
直线与抛物线平行交点在直线两侧
交点坐标的求法：联立直线与抛物线的方程解得交点的x 坐标和y坐标。
交点的性质：交点是直线与抛物线的公共点满足两个方
程。
交点的几何意义：交点是直线与抛物线的交点也是它们
相切的点。
交点与切线的关系：在切点处切线的斜率等于该点的导
数值。
交点与参数关系
当参数为0时直线与抛物线交于原点当参数不为0时直线与抛物线交于两点与参数的正负有关参数的正负决定了交点的位置和数量参数的变化会影响交点的位置和数量
抛物线开口大小变化对位置关系的影响
开口大小变化：影响抛物线的位置关系
开口向上：抛物线与x轴交点随开口增大而增多
开口向下：抛物线与x轴交点随开口减小而减少
开口大小变化对直线与抛物线位置关系的影响：开口增大时直线与抛物线交点增多；开口减小时直线与抛物线交点减少

“直线与抛物线的关系”精讲精练

直线与抛物线的关系【直线与抛物线的位置关系】直线与抛物线的位置关系：直线与抛物线有两个公共点；直线与抛物线有一个公共点；直线与抛物线没有公共点. 直线与抛物线位置关系的判断：将直线与抛物线方程联立方程组，消去x 或y ，化得形如20ax bx c ++=的式子.1、当0a =时，方程20ax bx c ++=为一次方程，只有一解，即直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线不是相切，而是相交（直线与抛物线对称轴平行或者重合）.2、当0a ≠时，方程20ax bx c ++=为二次方程，①若0∆>，则方程有两个不相等的实数根，此时直线与抛物线相交于两点； ②若0∆=，则方程有两个相等的实数根，此时直线与抛物线相切； ③若0∆<，则方程没有实数根，此时直线与抛物线相离（即没有公共点）. 【直线与抛物线相交的弦长】1、弦长公式：设直线交抛物线于点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则A B AB x x =-2、若弦是“焦点弦”，则其长为12AB x x p =++ 【例题】1、经过x y 82=的焦点F 作与对称轴成3π的直线与抛物线相交于A 、B 两点，则AB =2、已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+3、直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A 、B 两点，则O A O B ⋅=4、已知直线l ：4y kx =-与抛物线C ：28y x =有且只有一个公共点，则实数k = 5、抛物线2y x =上距直线24x y -=最近的点的坐标是6、过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无数条D ．不存在7、已知抛物线x y 42=截直线b x y +=2所得的弦AB 的长为53，P 是其对称轴上一点，若39PAB S ∆=，则P 点的坐标.8、已知抛物线2y x =-与直线(1)y k x =+相交于,A B 两点，当OAB ∆时，求k 的值9、已知直线l ：1y kx =+和抛物线28y x =.（1）若直线l 与抛物线有两个公共点，求k 的取值范围；（2）若直线l 与抛物线只有一个公共点，求k 的取值范围；（3）若直线l 与抛物线没有公共点，求k 的取值范围10、直线y x b =+与抛物线2(1)y x =-交于A 、B 两点，（！）求弦长AB 关于b 的函数关系式；（2）若弦AB 的中点M 落在圆224x y +=内部，求实数b 的取值范围.11、已知抛物线26y x =，过点(4,1)P 引一弦，使它恰好在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程. 【练习】1、已知直线2y x =-与抛物线2y ax =（0a ≠）相交于A 、B 两点，且O A O B ⊥，则实数a =2、求过定点(0,1)M ，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程.3、已知(0,1),(3,2)A B -，P 是抛物线132+=x y 上任一点，求△PAB 面积最小值及此时P 点的坐标.4、已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆224x y +=相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程.5、A 为抛物线272y x =-上一点，F 为抛物线的焦点，1198AF =,求过点F 且与OA 垂直的直线l 的方程.6、已知抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的一个焦点F ，且垂直于椭圆两焦点所在直线，已知抛物线与椭圆的一个交点为)362,32(M ，求椭圆和抛物线的方程.7、已知抛物线)0(22>=p px y 有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为角边的方程是2y x =,求抛物线的方程.8、已知点1122(2,8),(,),(,)A B x y C x y 在抛物线22y px =（0p >）上，ABC ∆的重心与此抛物线的焦点F 重合.（1）求出该抛物线的方程；（2）求出线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程.。

直线与抛物线的位置关系

第3课时直线与抛物线的位置关系一、直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线公共点的个数可以有0个、1个或2个．将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线相切，若Δ>0，则直线与抛物线相交，若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有一个公共点．2．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．题型一、直线与抛物线的位置关系例1、已知抛物线C ：y 2＝－2x ，过点P (1,1)的直线l 斜率为k ，当k 取何值时，l 与C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[解析] 直线l ：y －1＝k (x －1)，将x ＝－y 22代入整理得，ky 2＋2y ＋2k －2＝0.(1)k ＝0时，把y ＝1代入y 2＝－2x 得，x ＝－12，直线l 与抛物线C 只有一个公共点(－12，1)．(2)k ≠0时，Δ＝4－4k (2k －2)＝－8k 2＋8k ＋4.由Δ＝0得，k ＝1±32， ∴当k <1－32或k >1＋32时，Δ<0，l 与C 无公共点．当k ＝1±32时，Δ＝0，l 与C 有且只有一个公共点．当1－32<k <1＋32且k ≠0时，Δ>0，l 与C 有两个公共点．综上知，k <1－32或k >1＋32时，l 与C 无公共点；k ＝1±32或k ＝0时，l 与C 只有一个公共点；1－32<k <0或0<k <1＋32时，l 与C 有两个公共点．例2、已知点A(0,2)和抛物线C ：2y ＝6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程．[解析] 当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知，直线l 就是y 轴，其方程为x ＝0. 由⎩⎨⎧x ＝0y 2＝6x，得y 2＝0.因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0,0)．如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.这个方程与抛物线C 的方程联立得方程组 ⎩⎨⎧y ＝kx ＋2y 2＝6x，由方程组消去x 得方程，ky 2－6y ＋12＝0① 当k ＝0时，得－6y ＋12＝0，可知此时直线l 与抛物线相交于点()23，2. 当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ＝36－48k .由Δ＝0得k ＝34，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y ＝34x ＋2，即3x －4y＋8＝0.因此，直线l 的方程为x ＝0，或3x －4y ＋8＝0，或y ＝2. 题型二、弦长问题例3、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为______． [答案] y 2＝12x 或y 2＝－4x例4、已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标(0,2)，则1y 1＋1y 2＝__________________.[答案] 12 题型三、对称问题例5、已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)、B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎨⎧k ·y 1－y 2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1，得⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.故实数k 的取值范围是－2<k <0.例6、求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．[正解] (1)若直线斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎨⎧ x ＝0y 2＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝0y ＝0.即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．(2)若直线的斜率存在，设为k ，则过点P (0,1)的直线方程为y ＝kx ＋1，由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x .消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，得⎩⎨⎧x ＝12.y ＝1.即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，所以k ＝12，直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.课后作业一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3[答案] D[解析] 设A (y 214，y 1)、B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝(－4)216－4＝－3，故选D.3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是( )A ．1B ．2 C.58 D.158[答案] D[解析] 如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3[答案] B[解析] 设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B.5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＋y 22的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝1，∴y 21＝4，y 22＝4， ∴y 21＋y 22＝8.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋8， ∵k 2>0，∴y 21＋y 22>8，综上可知，y 21＋y 22≥8，故y 21＋y 22的最小值为8.6．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223[答案] D[解析] 设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)y 2＝8x 消去y 得，k 2x 2＋4x (k 2－2)＋4k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4(2－k 2)k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4，∴4(2－k 2)k 2＝5，∴k 2＝89，∵k >0，∴k ＝223. 二、填空题6．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是______________________．[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．7．在已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M 、N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为__________________．[答案] k >14或k <－14[解析] 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×(－12k )＋92＝4.因中点P 在y ＝x 2内，有4>(－12k )2⇒k 2>116，∴k >14或k <－14.三、解答题8．已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥ OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．[解析] 由A 、B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A (y 216，y 1)、B (y 226，y 2)．因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0.由OA →＝(y 216，y 1)，OB →＝(y 226，y 2)，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36，① ∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24. 将①式代入，得y 1＋y 2＝－6.②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610. 9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解析] (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， ∴p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .消去x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55，可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 综上知：t ＝1.所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(－1k)2＋4. ∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.。

直线与抛物线的位置关系

x2 x2
6 1
OF
x
B’ B
AB 2 (x1 x2 )2 4x1x2 8
所以，线段AB的长是8。
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法二:由题意可知,
y
p

2,
p 2

1,
准线l
:
x

1.
A’
§2.4.2 直线与抛物线的位置关系
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，
两个交点）
与双曲线的
y
情况一样
O
x
例 1、已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过定点 P(2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 y2 4x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?
解析：抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.
由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2 ＝x1＋x2＋p，即 x1＋x2＋2＝7，得 x1＋x2＝5，于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 52，因此点 M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.
课堂练习: 1.过抛物线 y2 = 8x的焦点,作倾斜角为 450
16 的直线,则被抛物线截得的弦长为_________
2.过点 M(0,1) 且和抛物线 C: y2 4x 仅有一个公共点的直线的方程是__________________________.
y 1或 x 0或
联立

ykx y2 4x
1
y x1

直线和抛物线的位置关系

（2）M过（p，0）（3）M过（2p，0）
x1x2=p2;y1y2=-2p2. x1x2=4p2;y1y2=-4p2.
OA OB
（4）M过（3p，0）
x1x2=9p2;y1y2=-6p2.
（5）M过。。。。。。。
y
A
M
x
B
y2=2px
l
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
得到一元一次方程
直线与抛物线的对称轴平行或重合
相交（一个交点）
得到一元二次方程计算判别式
>0 =0 <0 相交相切相离
例1 求过定点P（0，1）且与抛物线 y2 2x
只有一个公共点的直线的方程.
{ { 解:
(1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是
x0
x 0
xy=0.
由 y2 2x 得 y0
OF
x
B` B
B
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
证明：如图，
y
M M1
A A1
B B1 2
AF BF 2
AB 2
l A1
A
故以AB为直径的圆与准线相切.
F
O
M1
M
X
B1
B
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
yc
-
py1 2x1
-
py1 2 y12
p2 y1

直线与抛物线的位置关系(附学生使用讲义)

直线与抛物线的位置关系一、知识点1）直线与抛物线的位置关系的判断2）中点问题3）弦长问题4）韦达定理应用二、教学过程1、直线与抛物线位置关系例1 已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？解：设直线方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x -=+⎧⎨=⎩可得 244(21)0ky y k -++=当0k =，一个公共点，当0k ≠，0∆=即11,,2k or k =-=时一个公共点，当0k ≠，0∆>即11,02k k -<<≠时两个公共点当0k ≠，0∆<即1-1,2k k <>时无公共点说明：1）联立方程后，消元时，可以选择将抛物线方程代入直线方程2）判断位置关系用∆方法，当需注意二次项的系数的讨论，其中二次项系数为零对应的直线与抛物线的对称轴平行3）直线与抛物线的位置关系仍分相交、相切、相离三种情形，但当相交时有可能为一个或两个公共点，也即一个公共点不一定相切配套练习：求过点(1,2)P 且与抛物线24y x =只有一个交点的直线方程参考答案：2,,10y or x y =+-=2、中点问题例2 已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y 为,A B 的中点，求证：1202AB p p k y y y ==+ 配套练习：过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，求弦AB 所在直线的方程．参考答案：4x －y －15＝0.3、弦长公式例3 已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．解：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y ，得2x 2－ax ＋a ＝0. ∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8.∴|AB |＝＝145（a 2－8a ）a ＝－4或a ＝12， ∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .4、韦达定理应用例4 若点 P （1，2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线y 2=2px （p ＞0）上的不同的三个点，直线AP ，BP 的斜率分别是k 1，k 2，若k 1+k 2=0，求直线AB 的斜率k ．分析1：设直线AP ：12(1)y k x -=-，联立抛物线方程24y x =可知，1142y k =-，同理2142y k =--，则1221p k y y ==-+ 分析2：设AB ：y kx m =+，联立抛物线方程24y x =可知，2440ky y m --= 又121244022k k y y +=+=++，则1244y y k +=-=，所以1k =- 配套练习：已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的动弦，且90AOB ∠=，求证直线AB 过定点参考：过定点(2,0)p直线与抛物线的位置关系讲义一、知识点1）直线与抛物线的位置关系的判断2）中点问题3）弦长公式4）韦达定理应用二、教学过程2、直线与抛物线位置关系例1 已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？练习：求过点(1,2)P 且与抛物线24y x =只有一个交点的直线方程2、中点问题例2 已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y 为,A B 的中点，求证：1202AB p p k y y y ==+练习：过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，求弦AB 所在直线的方程．3、弦长公式例3 已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．4、韦达定理应用例4 若点 P （1，2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线y 2=2px （p ＞0）上的不同的三个点，直线AP ，BP 的斜率分别是k 1，k 2，若k 1+k 2=0，求直线AB 的斜率k ．练习：已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的动弦，且90AOB ∠=，求证：直线AB 过定点。

直线与抛物线位置关系

【学习目标】直线与抛物线的位置关系及判断方法（1）直线和抛物线有三种位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）。

（2）直线和抛物线的位置关系的判断：设直线方程：,m kx y +=抛物线方程：,22px y =两方程联立消去y 可得方程：222(22)0k x km p x m +-+=222(22)0k x km p x m +-+=，一般形式为20,Ax Bx C ++=若A=0，则直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交且只有一个交点；若A 0≠其判别式为∆=24B AC -当∆>0时，直线与抛物线相交且直线和抛物线有两个交点；当∆=0时，直线与抛物线相切且只有一个交点；当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点。

（注意：把直线和圆锥曲线的方程联立后得到方程20,ax bx c ++=它不一定是一元二次方程，要分析2x 的系数a ，才能确定。

如果不能确定，要分类讨论）。

（3）中点弦问题：在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0.考向一：直线与抛物线的位置关系例1 已知抛物线24y x =过定点A(-2, 1)的直线l 的斜率为k,下列情况下分别求k 的取值范围：（1）l 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）l 与抛物线恰有两个公共点；（3） l 与抛物线没有公共点.考向二：弦长及中点弦问题例2、已知抛物线x y 22=，过点)1,2(Q 作一直线交抛物线于A 、B 两点，试求弦AB 的中点轨迹方程。

2.4.3直线与抛物线的位置关系（第1课时，共1课时）考向三、对称问题例3：已知抛物线y ＝ax 2－1(a ≠0)上总有关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点，求a 的取值范围．考向四定点与定值问题①定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。

高中数学直线和抛物线的位置关系

复习引入
1 直线和抛物线的位置关系有哪几种?
相交: 直线和抛物线有两个公共点，或一个公
共点(直线和抛物线的对称轴平行或重合).
相切: 直线和抛物线有且只有一个公共点,且直
线和抛物线的对称轴不平行也不重合.
相离: 直线和抛物线没有公共点.
复习引入
1 直线和抛物线的位置关系有哪几种?
y L1 L4 L2 o x
例2 求过定点P（0，1）且与抛物线只有一个公共点的直线的方程.
y 2x
2
解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是 x=0. 由
{
x 0 得 2 y 2x
{
x 0 y 0
故直线 x=0与抛物线只有一个交点. (2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是 y=kx+1, 由方程组
L3
2 直线和抛物线方程联立的方程组解的个数与位置关系
若消元得到二次方程,则 0 方程组两组解
0 0
方程组一组解方程组没有解
相交相切

相离
若消元得到一次方程，则方程组只有一组解，直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系.
例题选讲
例1 当b为何值时,直线y= -2x+b与抛物线 x 2 2y (1)相交,(2)相切,(3)相离?
解：由方程组
{
y 2x b x 2 2y
消去 y ，并整理得
x 2 4x 2b 0
Δ 42 4 (2b) 8(2 b)
(1)当 0 即b>-2时，直线与抛物线相交 (2)当 0 即b=-2时，直线与抛物线相切 (3)当 0 即b<-2时，直线与抛物线相离
另解二: 如图,由抛物线的定义可知, |AF| 等于点A到准线 x=-1 的距离|AA’|,而|AA’|= x1 1 . 同理|BF|=|BB’|=x 2 1, y 于是得 |AB|=|AF|+|BF|= x1 x 2 2 . 又由方程 x 6x 1 0 可得

直线和抛物线的位置关系整理

直线和抛物线的位置关系1.直线与抛物线的位置关系：（1）位置关系的判定：联立直线:l y kx m =+和抛物线22(0)y px p =>消y 整理得：2222()0k x km p x m +-+=当0a ≠时0∆>⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点0∆=⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点0∆<⇔直线与抛物线相离，没有公共交点当0a =时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切(2)若直线与抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长AB =AB = 2.焦点弦问题：设过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点(,0)2p F 的直线与抛物线交于),(),,(1111y x B y x A ，直线与的斜率分别为21,k k ，直线的倾斜角为，则有 ①221p y y -=；②4221p x x =；③421-=k k ；④α221sin 2p p x x AB =++=， ⑤αcos 1-=p FA ，αcos 1+=p FB ；⑥112AF BF p+=， ⑦过,A B 两点做准线的垂线，垂足分别为,M N ,则090MFN ∠=, ⑧通径P AB 2=；⑨以弦AB 长为直径的圆总与准线相切题型一：交点个数问题例1. 抛物线C:x 4y 2=，直线L 过点P(0,1)，若L 与C 只有一个公共点，求直线L 的方程。

变式练习：已知直线l ：1y kx =+和抛物线28y x =（1）若直线l 与抛物线有两个公共点，求k 的取值范围（2）若直线l 与抛物线只有一个公共点，求k 的取值范围（3）若直线l 与抛物线没有公共点，求k 的取值范围题型二：弦长问题例2.过抛物线x 2y 2=的焦点作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B 两点，则线段AB 的长是多少？变式练习：已知抛物线x y 42=截直线b x y +=2所得的弦AB 的长为53，P 是其对称轴上一点，若S △PAB =39，求P 点的坐标。

直线与抛物线的位置关系课件

题型三弦长问题
例 3 已知顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线被直线
y＝2x＋1 截得的弦长为 15，求抛物线的方程．
解析：设抛物线的方程为 y2＝2px，则
y2＝2px， y＝2x＋1，
消去 y 得：4x2－(2p－4)x＋1＝0，
∴x1＋x2＝p－2 2，x1x2＝14.
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
直线与抛物线的位置关系
设直线l: y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋ c＝0.
(1)若 a≠0，当Δ__>__0时，直线与抛物线相交，有
两个交点；
当Δ_＝___ 0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ_<___0时，直线与抛物线相离，无公共点．
∵P1P2 的中点为(4,1)，∴6k＝2，∴k＝3，
∴所求直线方程为 y－1＝3(x－4)，
即 3x－y－11＝0.
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝
1
1＋k2
（y1＋y2）2－4y1y2＝
3 .
点评：处理中点问题的基本方法是点差法和联立方程的方
∵P1，P2 在抛物线上， ∴y21＝6x1，y22＝6x2. 两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)． ∵y1＋y2＝2，∴k＝yx11－－yx22＝y1＋6 y2＝3，
∴直线的方程为 y－1＝3(x－4)．即 3x－y－11＝0.
由yy2＝＝36xx－，11，得 y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝ 1＋19 22－
（－22）＝2 3230.

直线和抛物线的位置关系

直线和抛物线的位置关系一．直线与抛物线的位置关系的判定(1) 相交：①直线与抛物线交于两个不同点⇔判别式0>∆；②直线与抛物线交于一点，直线平行于抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴重合．(2) 相切0=∆⇔.(3) 相离0<∆⇔．二．有关弦长问题(1)一般弦长公式：设直线b kx y +=交双曲线于()111,y x P ，()222,y x P，则 ()21221222121411x x x x k kx x P P -+⋅+=+-=(2)焦点弦长问题若AB 为抛物线()022>=p px y 的一条过焦点F 的弦，()11,y x A ，()22,y x B ，则弦长.21p x x BF AF AB ++=+=三、基础自测 1.抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于（） (A) 15 (B) 152 (C)215 (D) 15 2．过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B ，若x 1+x 2=6,则|AB|的值为（）(A)4 (B)6 (C)8 (D) 123．过点P(0, 2)且与抛物线y 2=2px(p>0)只有一个公共点的直线有（）(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条4.设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为_____________.5.设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于6.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线x y 42=的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。

若直线l 的倾斜角为60º.则△OAF 的面积为7.已知抛物线x y 42=，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则2221y y +的最小值是． 8.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若λ+=，求λ的值．9.已知斜率为1的直线经过抛物线()042>=p px y 的焦点，且与该抛物线交于A,B 两点，若三角形OAB 的面积为22(O 为原点），求该抛物线的方程．。

直线与抛物线的位置关系

1、直线与圆
y
0
x
2、直线和椭圆
y
F1 0
F2
x
3、直线与双曲线
y
渐进线方程
．．
F
O
x
一、直线与抛物线位置关系种类
y 相离
O
相切
x
相交
一个交点或者两个交点
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线的对称轴平行
y
O
例：判断直线 y = 6与抛
物线 y2 =4x的位置
关系及求交点坐标？
x
计点坐标为（9，6）
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线的对称轴平行
变式练习：
y
若直线y=kx+1与抛物
线y2= x仅有一个公共
点，则 k 的值？
O
x
2、直线与抛物线的对称轴不平行
y
O
例：判断直线 y = x -1与
抛物线 y2 =4x 的位置关系及求弦长？
x 计算结果：
晚众叛亲离.悦悦,动作快些,这地方我一刻都不想呆.”一看见她就想起自己以前の白痴样,简直无地自容.“哎.”陈悦然开心地应下.所以,等陆羽收拾好东西出来客厅,发现早已人去楼空,留下一室の凌乱与垃圾.她没说什么,挽起袖子开始打扫卫生.傍晚时分,房东带着人来了,三下五除二就把门锁换成新の,给了陆羽一把,其余の交还给房东.陆羽顺便告诉房东退租の事,并叮嘱说：“我那舍友已经搬出去,以后她找您拿钥匙不必给.”“好,”房东太太应下,语气关切地问,“那你找到房子了？剩下の三个月你一个人交租？”“嗯.”陆羽笑笑说,“我有事要出去一趟,可能需要三两个月の时间,房租我会定期转帐の.”在人们眼里,一个十八岁就已经本科毕业の女孩跟天才儿童没区别,因此格外看重偏心.“哦,那这样吧,房租我给你减两百,”

14.直线和抛物线的位置关系3.4

x 2 2x C 0
由 Δ (2)
2
()
得 C=-1
又由（）得 x=1，∴y=1.
4 (C) 0
故所求点的坐标是（1，1）. 点评：此处用到了数形结合的方法.
y x2
y
p
O
x
2x-y-4=0
互动练习 1.过点(0,2)与抛物线 y 点的直线有( C）（A）1条 (B)2条 (C)3条 P (D)无数多条
直线和抛物线
的位置关系
一、直线和抛物线的位置关系
若消元得到二次方程,则 0 方程组两组解
0 0

相交
y
方程组一组解方程组没有解
相切相离
Oxຫໍສະໝຸດ 若消元得到一次方程，直线和抛物线的对称轴平行或重合, 为相交关系.
思考：只有一个交点一定是相切吗？
例1.求过定点P（0，1）且与抛物线 y 2x 只有一个公共点的直线的方程.

A
O
.
M Q
F

x
B
k AB
又k AB
1 y
y 1 x2
1 y 1 即y 2 y x 2 0 y x2
当x1 x2 =2时， , y)为(2,0)满足y2 y x 2 0 (x
中点M轨迹方程为: y 2 y x 2 0
y2=64x
消x化简得 ∴b=-12
y2+48y-48b=0
△=482-4×(-48b)=0
∴切线方程为：y=-4/3 x-12 解方程组 y=-4/3 x-12 y2=64x 得 x=9 y=-24
∴切点为P（9，-24）切点P到Ｌ的距离d=

直线与抛物线位置关系

直线与抛物线的位置关系

3.3.3直线与抛物线的位置关系课件(人教版)

第7节 第2课时 直线与抛物线的位置关系--2025年高考数学复习讲义及练习解析

直线与抛物线的位置关系

如何用代数法判断直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系

“直线与抛物线的关系”精讲精练

直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系

直线和抛物线的位置关系

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直线与抛物线位置关系

高中数学 直线和抛物线的位置关系

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直线与抛物线的位置关系 课件

直线和抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系

14.直线和抛物线的位置关系3.4

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