曲面特征线
曲面的第一基本形式
第三章 曲面的第一基本形式本章将接触到曲面论的最基本概念．类比于曲线；但内容更加丰富，特别要注意两者的差异．首先要明确曲面的局部表示和相关的基本概念；其次要明确度量几何的基本要素——弧长元素．在学习的过程中，应该注意对概念的深入理解．§1 参数化曲面一．E 3 中参数化曲面的定义r : U →E 3(u , v )→ r (u , v ) = (x (u , v ), y (u , v ), z (u , v )) ．C k 阶参数化曲面，简称参数曲面；参数，或称曲线坐标或曲纹坐标，简称坐标．点． u 坐标曲线，简称u 线； v 坐标曲线，简称 v 线；坐标曲线．坐标曲线网或参数网．自然切向分别表示为∂r ∂u = r u ，∂r ∂v= r v ． 连续曲面，光滑曲面．参数化通常在曲面局部有意义，在整体不一定能做到．以后不声明时在局部总考虑 C 3 类参数曲面，并简称之为曲面．二．正则曲面定义1 奇（异）点；正则点．正则曲面，正则参数． 正则点的几何意义是当参数在该点处作微小变动时动点的轨迹构成二维实体；正则点附近总存在小邻域，使得参数值与其位置向量之间保持一一对应．例5 按定义直接计算可知例1和例2中的参数曲面都是正则的．对于例3中的参数曲面，有r u = (- v sin u , v cos u , 0) ，图3-1r v = (cos u , sin u , 1) ，r u ⨯r v = (v cos u , v sin u , - v ) = v (cos u , sin u , -1) ；r u ⨯r v 当且仅当参数 v = 0 时为零向量，故参数值 (u , 0) 对应于全部非正则点——锥顶．对于例4中的旋转面，当 f (v ) = 0 时，对应点不是正则的．例6 单位圆柱面具有存在奇点的下列参数化：r (t , z ) = (cos t 2 , sin t 2 , z ) ． 一般地，存在奇点的参数曲面在奇点附近的性质需要单独加以讨论，并且往往比较复杂；而对于连续可微参数曲面，正则点附近总存在较小邻域使正则性得到满足．因此将曲面论的局部基本理论建立在正则曲面之上，是具有一般性的．三．正则曲面的切平面和法线已知正则曲面 S : r = r (u , v ) ．考虑过点 r (u 0, v 0) , r (u 0+∆u , v 0) 和 r (u 0,v 0+∆v ) 的平面 ∏ 当 (∆u , ∆v )→(0, 0) 时的极限位置，亦即切平面的位置．正则性保证了平面 ∏ 的极限位置平面 ∏0的法向向量确定为r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0) ．曲面上的曲线在该点处的切向量总落在平面 ∏0 上面；任给坐标曲线自然切向量的线性组合，曲面上总存在曲线以之为点 r (u 0, v 0) 处的切向．定义2 切平面；法线，法向；单位法向特指为单位向量(1.2) n (u 0, v 0) = r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0) |r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0)|； 正定向，简称正向；负定向，简称负向．正则曲面是有正定向的曲面．在切点 P : r (u 0, v 0) 处的切平面通常记为 T P ，它按坐标曲线自然切向量的线性组合可以理解为二维向量空间(1.3) T P = {a r u (u 0, v 0) + b r v (u 0, v 0) | (a , b )∈R 2 } ≅ E 2 ，其中的向量称为曲面的切向量，两个切向量 a 和 b 的内积 (a , b ) 规定为 E 3 的诱导内积，即(1.4) (a , b ) = a ∙b , ∀ a , b ∈T P ．图3-5此时，切平面同时具有向量空间结构和度量结构．切平面的基向量组{r u, r v} 通常称为自然基，而标架场{r;r u, r v, n} 通常称为自然标架场．用经典微积分的观点来看，切平面上的微元(1.5)d r(u, v) =r u(u, v)d u+r v(u, v)d v是位置向量增量 [r(u + d u , v + d v) -r(u, v)] 的线性主部，称为切向微元；按(1.3) 式所表示的同构，其按自然基分解的系数(d u, d v) 亦可视为切平面中的微元，其方向由比例d u:d v确定．例8已知半径为a > 0 的圆柱面的经纬参数方程为r(t, z) = (a cos t , a sin t , a z) ．试求其过点 (a, 0, a) 的任意切向以及分别由比例 1:2 和 1:0 确定的切向．例9已知正则曲面由隐式方程F(x, y, z) = 0 确定，其中梯度向量∇F = (F x, F y, F z) ≠0．证明该曲面上点 (x, y, z) 处的法向确定为∇F(x, y, z) ．四．参数变换定义3给定正则曲面S: r= r(u, v) ，若参数变换{u=u(u*, v*)v=v(u*, v*)满足①是连续可微的一一对应；②Jacobi行列式∂(u, v)∂(u*, v*)=∂u∂u*∂v∂u*∂u∂v*∂v∂v*处处非零，u*图3-6则称之为容许参数变换；当 ∂(u , v ) ∂(u *, v *) > 0 时称之为保向的，当 ∂(u , v ) ∂(u *, v *)< 0 时称之为反向的．注记 容许参数变换只有保向或反向两种．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，有 (1.6) ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ⎝⎛⎭⎫ r ur v， (1.7) r u *⨯r v * = ∂(u , v ) ∂(u *, v *)r u ⨯r v ． 由此可知，在容许参数变换下，正则性和可微性保持不变，切平面不变；单位法向在保向容许参数变换下不变，在反向容许参数变换下变号．五．参数曲面的等价类似曲线的论断：① 一个曲面点集实体允许存在多种参数化方式，有参数变换．② 曲面实体的几何属性不依赖于其参数化的方式，也不依赖于空间直角坐标系的选取．③ 两个合同的曲面实体相当于同一曲面实体的不同位置表现形式． ④ 若两张正则曲面之间仅仅相差一个容许的参数变换，则它们表示同一个几何实体，称这两张正则曲面是相同的．相同的正则曲面实际上是指正则曲面的一种等价类，其在同一实点上的切平面、法线等等几何实体分别是重合的．⑤ 定向相同的；定向相反的．⑥ 定向相同的曲面的单位法向以及有向切平面，对于每个对应点都是唯一确定的．⑦ 曲面的整体概念和整体性质是复杂的，将留待于第八章中进行较为深入的讨论．约定：在以后讨论曲面局部性质的各章中，不声明时总考虑正则曲面和容许参数变换，并分别简称为曲面和参数变换．§2 直纹面与可展曲面直纹面可以由一族直线“织成”，即：过曲面上每一点都存在过该点的直线落在该曲面上．一．直纹面及其上的参数变换直纹面的直纹或（直）母线；准线．直纹的位置和直纹上的点的相对位置，给出直纹面 S 的下列自然参数化(2.1) S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，其中准线为连续可微参数曲线(2.2) C : r * = a (u ) ，过准线上点 a (u ) 处的直纹方向确定为向量l (u ) ，且 l (u ) 连续可微．此时，(2.5) r u ⨯r v = [a '(u ) + v l '(u )]⨯l (u ) = a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) ．由此可确定正则条件．例1 直纹面可按 (2.1) 式准线与直纹方向的关系归为不同的子类． ① 柱面：各直纹平行．正则性条件即为准线不与直纹相切，单位法向沿着直纹是常向量，切平面沿着直纹重合．② 锥面：各直纹相交于锥顶点．准线可以“收缩”为锥顶．不妨设已经规范为a (u ) ≡ a 0 ，则正则性条件化为(2.7) r u ⨯r v = v l '(u )⨯l (u ) ≠ 0 ．故锥顶是奇点；并且，当直纹单位方向向量在单位球面上为正则曲线时，也只有锥顶是奇点．其切平面沿着直纹也重合．③ 切线面：直母线族是某条准线的切线族，即直母线族有包络线可作为准线．不妨设已经规范为a '(u ) = l (u ) ≠ 0 ，且此时不妨设准线以 u 为弧长参数，则正则性条件化为(2.8) r u ⨯r v = v T '(u )⨯T (u ) ≠ 0 ．图3-7① ② ③图3-8此时的准线称为切线面的脊线，其上点点为奇点．当脊线无逗留点时，切线面上除脊线外的各点都是正则点．其切平面沿着直纹也重合．④ 主法线面：直母线族是某条准线的主法线族．⑤ 从法线面：直母线族是某条准线的从法线族．例2 正螺旋面或正螺面；其准线可取为旋转轴．正螺面相应单位法向垂直于z 轴；旋转轴上各点处的切平面公交于旋转轴．例3 Möbius 带实体无所谓“正”的定向．直纹面按照准线和直母线族的自然参数化，具有明显的几何直观．准线的转换以及直纹方向向量长度的转换，在自然参数化下，就等价于适当的参数变换；这是一种具有几何意义的参数变换．设直纹面 S 的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出．作直母线方向向量的“伸缩”变换和准线变换分别为(2.9) l *(u ) = λ(u ) l (u ) , λ(u ) ≠ 0 ，(2.10) a *(u ) = a (u ) + μ(u ) l (u ) ，其中变换系数函数 λ(u ) 和 μ(u ) 都是连续可微的．令(2.12) {u * = uv * = [v - μ(u ) ] λ(u ) ， 则得到容许参数变换，与原有方程的对应关系为(2.14) r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) = r *(u *, v *) = a *(u *) + v * l *(u *) ． 由此可以进一步考察准线和直母线是否允许有特殊关系．引理1 已知直纹面的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出，则存在新的参数化，使其准线与直母线处处正交，并且直纹方向向量为单位向量．二．可展曲面及其局部形状分类柱面、锥面、切线面的切平面分别沿着直纹重合；而从正螺面的图形观察到，沿着所给定的直纹移动时，切平面将发生扭转．图3-9 图3-11定义1若直纹面的切平面沿着每一条直纹都分别重合，则称该直纹面为可展曲面，或称该直纹面可展．例4柱面、锥面、切线面都可展．单叶双曲面和双曲抛物面都不可展——这从图形上可以观察到；也可以在任何直纹上展开计算，而由定义得到验证．定理1(直纹面可展的解析条件)设直纹面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 正则．S可展的充要条件为a' , l , l'共面，即(2.15) (a' , l , l' ) ≡ 0 ．对指定直纹族的直纹面而言，该解析条件不依赖于准线以及直纹方向向量长度的选取．要考虑可展曲面的其它特征；除了本节将继续讨论的以外，可展曲面的“内在特征”将在后续章节中出现．注记直纹面的直纹族并不一定是唯一的，比如单叶双曲面、双曲抛物面都有两族直纹，而平面的直纹族更加随意指定．以后可以证明，两族坐标曲线都是直线的正则曲面若可展，则只能是平面（或其局部）．在“较好”的准线a(u) 和直纹方向向量l(u) 之下，解析条件可以进一步化简．特别当直纹方向向量规范为单位向量场时，即|l(u)|2≡ 1 时，有l'(u)∙l(u) ≡ 0 ；进而分两种情形：①当l'(u)⨯l(u) =0时，自然总有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔l'(u) =0；②当l'(u)⨯l(u) ≠0时，l'(u) ≠0，便有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔∃λ(u), μ(u) 使a'=λl'+μl；从此出发，利用准线变换，对可展曲面的局部形状可构造性地进行分类．参数变换的目标是确定如例1所给出的规范参数方程．在下面定理的证明中，可注意体会几何直观对证法的启发，以及如何明确地加以表述．定理2（可展曲面局部形状分类）可展曲面必是柱面、锥面和切线面之一或由它们沿直母线所适当拼接而成．证明由引理1和定理1，设可展曲面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 满足|l(u)|2≡ 1 ；则由简化的解析条件，可完全分类为以下三种情形：①l'≡0，则l(u) = const. ≠0；此时S为柱面．②l'≠0，∃λ, μ使a'=λl'+μl；此时要证S为锥面或切线面．（注意：锥面存在新准线C*: a*(u) 使a* = const. ，而切线面存在新准线C*:a*(u) 使关于弧长的导数d a*d s C*=l，它们的共同特征是a*'(u)∥l．）作待定的新准线C*: a*(u) =a(u) +b(u) l(u) 使a*'(u)⨯l(u) ≡0，其中待定函数b(u)连续可微，则a*'=a'+b'l+b l'= (λ+b) l'+ (μ+b') l；故取b=-λ即可满足要求．此时，a*'= (μ-λ') l．由此，当a*'≡0即λ'≡μ时，a* = const. ，则S为锥面；当a*'≠0即λ'≠μ时，l=a*'μ-λ'=d a*d s C*，则S为切线面．③其他；由以上两种情形的讨论过程可知，l'以及 (μ-λ') 的例外零点对应于曲面上相应的直母线．综合各种情形，得证．三．单参数曲面族的包络观察例5管状面．定义2单参数曲面族Sλ的包络面S*，简称包络．例6可展曲面是其本身切平面族的包络，切平面族的单参数就取为某条正则准线的参数．在求解包络时的先验假定，反验．定理3给定连续可微单参数λ正则曲面族Sλ: r(u, v; λ) ．如果判别式(2.21) (r u , r v , rλ ) = 0能够决定连续可微的两个函数u(λ, t) 和v(λ, t)，那么，该曲面族的包络若存在则只能确定为判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ)；而若判别式无解函数u(λ, t) 和v(λ, t) ，则该单参数曲面族没有包络．注记：①判别式所确定的函数同时明确了对应点的位置．②判别式如果是平凡的，则判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 有可能蜕化为非正则的；此时需要反验是否符合包络条件．③如果判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 是正则的，则其为包络面；此时在某些具体条件下，两个函数u(λ, t) 和v(λ, t) 允许存在反函数，此即为包络面上的特殊参数变换．④对包络面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) ，当选定参数λ=λ0时，其上曲线r(u(λ0, t), v(λ0, t); λ0) 是与族中曲面S的公切点构成的曲线，称之为包络面λ0的特征线．例7已知具有包络S* 的连续可微单参数λ曲面族Sλ: r(u, v; λ) = (x(u, v; λ),y(u, v;λ) ,z(u, v;λ))是由隐式方程F(x, y,z; λ) =0 给出的，其中梯度向量∇F=(F x ,F y, F z) ≠0．试证S* 的隐式方程为(2.22) {F(x, y, z; λ) = 0 ，Fλ(x, y, z; λ) = 0 ．单参数曲面族由隐式方程给出时，其包络的判别曲面由特征线族方程(2.22) 式给出．有时，隐式方程对于表示曲面整体非常有效，比如球面、双叶双曲面等等；此时，由 (2.22) 式讨论包络是较为方便的．例8求单参数λ球面族x2+y2+ (z-λ)2= 1 的包络．定理4给定连续可微单参数t平面族T t: n(t)∙r-p(t) = 0 ，|n|≡ 1 ，n'(t) ≠0．如果 {T t} 的包络面S存在，则S可展．§3曲面的第一基本形式在指定的曲面上，测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量，是曲面几何学基本的问题之一．勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则，作为该空间的几何子体，曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定；子体和原有 Euclid 空间的几何属性将在这种方式之下自然地联系在一起，构成空间几何属性的整体．本节将讨论曲面在这种方式之下的基本结果；而关于其他方式之下的讨论，将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行．本节总记正则曲面S的参数方程为r=r(u, v) , (u, v)∈U⊂R2．一．曲面上的弧长元素首先考虑曲面S上的曲线段的长度和弧长元素．设 C : r = r (u (t ), v (t )) , t ∈[a , b ]是 S 的正则曲线上的一个弧段．通常也用平面区域 U 上的参数方程 {u = u (t )v = v (t ), t ∈[a , b ] 表示曲线 C ；但要注意区分该表示式的双重含义：既表示平面区域 U上的一条参数曲线 C -1 ，同时也表示在曲面 S 上的对应曲线 C ．为了区别不同的所在场合，当表示曲线 C时往往强调“在曲面 S 上”．记曲面上的量(3.1) E = E (u , v ) = r u ∙r u = |r u |2 , F = F (u , v ) = r u ∙r v , G = G (u , v ) = r v ∙r v = |r v |2 ,则对曲线 C 有d s 2 = d r ∙d r = [E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2 ]| u =u (t ), v =v (t ) = [E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]d t 2 ， d s = | d r d t| d t = E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ， 则有s (b ) - s (a ) = ⎰b ad s d t d t = ⎰b a | d r d t | d t = ⎰b a E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2| u =u (t ), v =v (t ) d t ． 可见，使用平面区域 U 上的参数方程以及曲面的相应量，就可以得到曲面上的曲线的弧长元素和弧段长度；至于曲面及其上的曲线的位置向量如何，在上述算式中并不直接影响结果．曲面上的量对其上曲线的影响程度，将在进行进一步抽象之后，得到更明确的了解．对此应注意体会．二．第一基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(3.2) Ⅰ = d s 2 = E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2为曲面 S 的第一基本形式，或称线素，其中系数由 (3.1) 式给出．图3-13注记： 第一基本形式系数也称为第一基本量．第一基本形式是由 E 3 的欧氏度量在曲面上所诱导出来的一种Riemann 度量．曲面第一基本形式d s 2 = d r ∙d r 的几何意义可用逼近的观点解释为：切向微元 d r 是位置差向量 [r (u +d u , v +d v ) - r (u , v )] 的线性主部，而弧长元素 d s = |d r | 是相应两点之间的距离微元的主部．第一基本形式在容许参数变换下不变，且在刚体运动下不变．第一基本形式的计算较为简单；但这是关于曲面的最基本和最重要的计算．下例展示了基本运算途径；同时，所得到的结论也是基本的．例1 已知平面 ∏: r (u , v ) = r 0 + u a + v b ，其中三个常向量 r 0, a , b 满足规范条件 |a | = |b | = 1 , a ∙b = 0 ．观察其第一基本形式的三种系数行为．① 平面 ∏ 的第一基本形式为d s 2 = d r ∙d r = (a d u + b d v )∙(a d u + b d v ) = d u 2 + d v 2 ．② 若在平面 ∏ 上采用极坐标系 (ρ, θ) ，即 {u = ρ cos θ v = ρ sin θ，则 r ρ = a cos θ + b sin θ ，r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ ) ；E (ρ, θ) = r ρ∙r ρ = (a cos θ + b sin θ)∙(a cos θ + b sin θ) = 1 ，F (ρ, θ) = r ρ∙r θ = (a cos θ + b sin θ)∙(- a ρsin θ + b ρcos θ) = 0 ，G (ρ, θ) = r θ∙r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ)∙(- a ρsin θ + b ρcos θ) = ρ2 ；此时，平面 ∏ 的第一基本形式（在极点无意义）为d s 2 = E (ρ, θ) d ρ2 + 2F (ρ, θ) d ρd θ + G (ρ, θ) d θ 2 = d ρ2 + ρ2 d θ 2 ．③ 在平面 ∏ 上取任意一条无逗留点弧长 w 参数化曲线 C : ξ(w ) ，则其切线面r (w , t ) = ξ(w ) + t T (w ) 可表示一部分平面区域，其中 T 为 C 的单位切向．局部可得r w = T + t κ N ，r t = T ；E (w , t ) = r w ∙r w = (T + t κ N )∙(T + t κ N ) = 1 + t 2κ 2 ，F (w , t ) = r w ∙r t = (T + t κ N )∙ T = 1 ，G (w , t ) = r t ∙r t = T ∙ T = 1 ；此时，在平面 ∏ 上相应区域内，第一基本形式为d s 2 = E (w , t ) d w 2 + 2F (w , t ) d w d t + G (w , t ) d t 2= [1 + t 2κ 2(w )]d w 2 + 2d w d t + d t 2 ．第一基本形式系数在容许参数变换下必须满足一定的变换规律．改写(3.3) Ⅰ = d s 2 = (d u , d v ) ⎝⎛⎭⎫E F F G ⎝⎛⎭⎫d u d v ；(3.4) d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ,(3.5) d r ∙d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T ⎝⎛⎭⎫d u d v ,(3.6) ⎝⎛⎭⎫E F F G = ⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T = ⎝⎛⎭⎫r u r v ∙ (r u , r v ) ，其中各式之中的位置向量视为行向量，分块矩阵之间用“∙”表示数量积．定义2 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，称二次型 (3.2) 或 (3.3) 的系数矩阵，即 (3.6) 式左端，为曲面 S 的第一基本形式系数矩阵；其行列式(3.7) E F F G= EG - F 2 = |r u |2|r v |2 - (r u ∙r v )2 = |r u ⨯r v |2 > 0 ， 称为曲面 S 的第一基本形式系数行列式．性质 ① 正则曲面 S 的第一基本形式 (3.2) 是正定的二次型，即：d s 2 ≥ 0 ，且等号当且仅当 d u = d v = 0 时成立；② 正则曲面 S 的第一基本形式系数矩阵是正定的．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式分别为 (3.8) J = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第一基本形式为d s 2 = E *(u *, v *) d u *2 + 2F *(u *, v *) d u *d v * + G *(u *, v *) d v *2．则由 (1.6) 式和 (1.7) 式分别代入 (3.6) 式和 (3.7) 式可得(3.9) ⎝⎛⎭⎫E * F *F * G * = ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * ⎝⎛⎭⎫ r u * r v *T = J ⎝⎛⎭⎫ r u r v ⎝⎛⎭⎫ r u r v T J T = J ⎝⎛⎭⎫E F F G J T ， (3.10) E *G * - F *2 = |J |2(EG - F 2) ．这是两个具有理论意义的等式．第一个等式说明，第一基本形式系数矩阵服从所谓“张量”的变换规律，从而成为张量概念的直观背景之一．第二个等式将在下一段用来支持面积元素的概念，等价地写为(3.11) E *G * - F *2 = ||J || EG - F 2 ． 例2 以平面弧长参数曲线为准线作柱面 S ，考察其第一基本形式；并证明其第一基本形式在某正则参数 (u , v ) 下可以表示为 d s 2 = d u 2 + d v 2 ．三．交角与面积元素确定交角和面积等几何量．交角，有向交角．在自然标架下，有关曲面以及其上曲线的交角问题和面积问题，都可以利用自然基向量的数量积或向量积进行计算，从而转化为如何用第一基本形式表述或求解的问题．一般化的算法，体现在下面的较为具体的抽象计算过程中；而计算结果的意义，需要特别注意体会．1．曲面上的曲线的交角假设曲面 S 的第一基本形式以 (3.2) 式确定；设点 (u , v ) 处的两个切向微元在自然基 {r u , r v } 下分别为 d u :d v 和 δu :δv ，确定其间夹角余弦(3.12)式——曲面上的曲线的交角，由曲面的第一基本形式以及曲线在交点处的切方向完全确定；而曲线的切方向只由参数区域上的原像即可确定．参数区域上的曲线原像之间的交角取决于区域本身，而与曲面上的交角没有必然的联系．可参考图3-13观察这个事实．定理1 对正则曲面而言，两族坐标曲线处处正交的充要条件为其第一基本形式系数矩阵处处是对角阵．定义2 正交参数，正交参数网或正交网．定理1确定了曲面正交参数网的第一基本形式特征．例3 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，求两族坐标曲线的二等分角轨线 C 的微分方程．2．曲面的面积元素和区域面积曲面的面积元素可以表示为(3.13) d σ = |r u ⨯r v | d u d v= EG - F 2 d u d v ．任一有界区域 r (U 0) 的面积 A (U 0)可以表示为(3.14) A (U 0) = ⎰⎰ U 0 d σ = ⎰⎰ U 0 |r u ⨯r v | d u d v = ⎰⎰ U 0EG - F 2 d u d v ． 在参数变换下面积元素对应相同，面积也对应相同．v )图3-14定理2正则曲面的面积元素和区域面积由第一基本形式可完全确定．§4局部等距对应曲面间的正则对应．“贴广告”的体验：保持弧长以及由弧长所完全确定的几何量都不变．一．局部等距对应定义1局部等距对应；局部等距．等距对应；等距．等距与局部等距的区别．目前通常只考虑曲面间的局部等距对应，并简称为等距对应．定理1（局部等距对应充要条件）两张曲面局部等距的充要条件是按对应关系具有相同的第一基本形式．等距的曲面之间能够作为容许参数变换的对应关系，并不一定具有明显的解析表达式；同时，第一基本形式按对应关系相同，并不意味着它们的参数已经对应相同，即它们的第一基本形式系数并不总是相等，而只是在对应关系下以变换规律 (3.9) 式相联系．一般而言，寻求等距曲面之间的等距对应关系可以归结为求解由 (3.9) 式所给定的偏微分方程组，但其求解过程往往是困难重重和具有技巧的．从定理1看，通过计算第一基本形式即可验证对应关系是否为等距对应．而对于较为直观和简单的等距对应，通过分析几何直观及其所提供的启示，也可以找到相应的对应关系．例1悬链面与正螺面之间的局部等距对应悬链面与正螺面．悬链面去掉一条母线而“剪开”后，与正螺面的“一个螺纹”之间的等距对应．定理2可展曲面总存在与平面的局部等距对应．分析这个定理的结论和证明过程，可见可展曲面局部存在到平面之间的连续变形，使得变形过程中的每一张中间曲面都是可展的，并且在对应关系下直纹总变到直纹，同时每一张也都是互相等距对应的．这就是平整的“纸张”能够“不撕破”“不褶皱”地“贴合”在可展曲面上的原因．这个定理的逆定理也是成立的，其证明在后续两章给出．形象地说，可展曲面名副其实地“可展”成平面．一般而言，讨论曲面在保持等距意义下的连续形变，是较为复杂的．二．曲面的内蕴几何学概念定义2内蕴量，内蕴性质（内在性质）；内蕴几何体．内蕴几何学．内蕴几何学的核心是讨论第一基本形式的不变量以及相关的几何属性．例如，球面与平面之间不存在局部等距对应，从而具有不同的内蕴几何学；而这个事实的证明，将在第五章利用所谓的Gauss绝妙定理给出．从内蕴几何角度来看，可展曲面的代表就是平面；有理由认为它的“内在弯曲”状况是“平坦”的，尽管有许多可展曲面的“外在弯曲”状况是“弯曲”的．而球面既是“外在弯曲”的，也是“内在弯曲”的．内蕴量和内蕴性质，还可以提示和帮助确定等距对应关系．§5局部正交参数网与等温参数适当坐标系的选取是非常重要的．简化计算．另一种作用是，根据场合选取具有特定几何意义的坐标系，有时会成为揭示和解决问题的关键．本节将给出一个基础性结论，它经常用于建立所需要的局部坐标系，包括确定一些具有特定几何意义的参数曲线网的局部存在性．一．一般结论与正交网定理1设二阶连续可微正则曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈D上已给出两个处处线性无关的连续可微切向量场a(u, v) , b(u, v) ，则对任何点 (u0, v0)∈D满足r u*∥a , r v*存在其邻域D0⊂D，使在D0内存在参数变换{u* =u*(u, v)v* =v*(u, v)∥b，即切向量场a(u, v) , b(u, v) 的积分曲线族分别为u*, v* 曲线族．定理2在二阶连续可微正则曲面上的任一点邻近总可取到正交网．证明对曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈D，取a(u, v) =r u(u, v) ,b(u, v) =r v(u, v) -FEr u(u, v) ，则a, b是两个处处线性无关的连续可微切向量场，并且处处正交．由定理1，可分别取切向量场a, b的积分曲线族为局部的两族坐标曲线，则此两族坐标曲线构成正交网．□注记①曲面正交网的存在性是局部性质；至于大范围内是否存在正交网，往往受到曲面整体性质的约束．②曲面上的处处正交的单位切向量场总是存在的；但是，定理并没有保证它们可以成为自然切向量场，而只是保证它们可以处处平行于某个自然切向量场．二．等温参数定义1曲面的等温参数．在等温参数下，内蕴量的计算较为简单．同时，从(3.12) 式可见，曲面上的曲线的交角，总等于其在等温参数区域中的原像（当视为欧氏平面上的曲线时）的交角．曲面与欧氏平面在等温参数下的这种对应关系，是一类共形对应，或称为保角对应或等角对应．例1Mercator地图．等温参数的存在性是较难证明的．定理3在二阶连续可微正则曲面上的任一点邻近，总可取到等温参数网．推论二阶连续可微正则曲面局部共形对应于平面；二阶连续可微正则曲面之间总可局部共形对应．。
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
4-1 曲面建模界面认识
CAXA制造工程师应用课题知识点制作脚本
任务曲面建模界面认识
按钮。
图2-14
按钮。
按钮。
）单击“造型”，指向“曲面生成”，单击“导动面”，或者直接单击按钮。
）单击“造型”，指向“曲面生成”，单击“平面”，或者单击
按钮。
按钮。
）单击“造型”，指向“曲面生成”，单击“放样面”，或者单击
）单击主菜单“造型”，指向“曲面编辑”，单击“曲面裁剪”，或者直接单击
按钮。
单击“造型”，指向“曲面编辑”，单击“曲面拼接”或单击）单击“造型”，指向“曲面编辑”，单击“曲面延伸”或单击
）单击“造型”，指向“曲面编辑”，单击“曲面优化”或单击
）单击“造型”，指向“曲面编辑”，单击“曲面重拟合”或单击
按钮。
机械制图的几种直纹曲面
直纹曲面未来的发展趋势
随着计算机技术的发展，直纹曲面技术的应用范围将越来 越广泛。未来，直纹曲面技术将与计算机辅助设计、计算 机辅助制造等软件进行更深入的集成，实现更加高效、精 确的设计和制造。
详细描述
圆柱面是一种常见的直纹曲面，其特点是具有旋转对称性。在机械制图中，圆 柱面广泛应用于各种机械零件的绘制，如轴、轮毂、凸轮等。圆柱面的绘制关 键是确定圆柱面的半径和高度。
圆锥面
总结词
圆锥面是由一条直母线沿着两条固定的曲线（即导线和副导线）移动形成的曲面 。
详细描述
圆锥面也是一种常见的直纹曲面，其特点是具有轴对称性。在机械制图中，圆锥 面常用于表示钻头、车刀等机械零件的形状。绘制圆锥面时，需要确定圆锥面的 顶点和底面半径。
抛物面
总结词
抛物面是由一条直母线沿着一条曲线 （即导线）移动，同时母线本身还绕 着另一条直线（即副导线）旋转形成 的曲面。
详细描述
抛物面在机械制图中也有广泛应用， 如用于表示反射镜、天线等零件的形 状。抛物面的绘制需要确定导线的形 状和位置，以及母线旋转的轴线。
双曲面
总结词
双曲面是由两条交叉的固定曲线（即导线和副导线）形成的 曲面。
通过直纹曲面，可以精确地描 述建筑结构的几何特征，为结 构分析和优化提供基础数据。
在分析过程中，需要考虑建筑 结构的材料属性、受力情况和 稳定性等因素，选择合适的直 纹曲面进行分析。
航空航天领域的应用
直纹曲面在航空航天领域中应用 广泛，如飞机机翼、火箭发动机
第8讲proe 曲面特征
创建混 合曲面
3.3
在曲面间混合
该工具能够以曲面的边界为混合参照对象，然后在 边界之间创建出与参照曲面成相切关系的混合曲面。
选择两参 照曲面 创建混 合曲面
使用该工具，只有所指定 的参照曲面之间存在公共 切面的情况时，才可以创 建出曲面间的混合曲面
3.4
圆锥曲面和N侧曲面
1. 圆锥曲面 圆锥曲面可以定义两条曲线为曲面边界，然后添加一 条曲线为曲面凸起或凹陷的控制曲线，具有圆锥参数特征 的特殊曲面。 1.定义边 圆锥曲线效果
拉伸曲面
3.创建拉 伸曲面
拉伸曲面与实体的创建 相同，但其截面可以是 开放的或封闭的，且可 含有相交图元
2.2
1.绘制 旋转截 面草图
旋转曲面
2.定义 旋转轴
4.创建旋 转曲面
3.设置旋 转参数
旋转曲面与旋转实体的创建 相同，但其截面可以开放或 封闭，且该截面可含有相交 图元
2.3
扫描曲面
1.定义轨 迹曲线
控制网 格效果
输入两个方向 网格线号数
3. 操作 在【操作】选项中，可 以定义拖动控制点移动的方向 参照，并可以利用直接拖动控 制点或拖动滑块的方式调整所 指定控制点的移动距离、还能 够定义控制点对曲面受影响区 域的影响情况。此外，还可以 利用各类诊断工具显示曲面的 不同效果。
移动平面 在此选项组中，可以定 义控制点移动的参照平面类型。
1. 基准曲面 基准曲面是创建自由形状曲面的基 础参照曲面，该曲面可以是拉伸、边界 混合等任何形式的曲面对象。选择图中 现有的曲面即可指定参照基准曲面。 2. 网格 可以在所选基准面 的两个方向上，以输入 线号的方式定义所创建 自由曲面的控制网格， 数越大，网格越密，相 应的控制精度越高。
CAXA曲线和曲面概述
注意： (1)拾取的每条u向曲线与所有v向曲线都必须有交点 (2)拾取的曲线应当是光滑曲线。
曲面编辑
曲面裁剪
曲面过渡
曲面缝合
曲面拼接
曲面延伸
投影线裁剪
是将空间曲线沿给定的固定方向投影到曲面上，形成剪刀 线来裁剪曲面。
机制教研室
汤爱君
CAXA常用键含义 :
鼠标键：单击鼠标左键可以用来激活菜单，确定位置点、拾 取元素等；单击鼠标右键可以用来确认拾取、结束操作和终止 命令。
回车键和数值键：回车键和数值键在系统要求输入点时，可
以激活一个坐标输入条，在输入条中可以输入坐标值。 空格键：当系统要求输入点、输入矢量方向和选择拾取方式 时，按空格键可以弹出对应菜单，便于查找选择。
曲面延伸
•把原曲面按所给长度沿相切的方向延伸出去，扩大曲面， 以帮助用户进行下一步操作。
提示：曲面延伸功能不支持裁剪曲面的延伸。
课堂练习：鼠标的曲面造型
热键
1) F1键：请求系统帮助。
2）F2键：草图器。用于绘制草图状态与非绘制草图状态的切换。
3）F3键：显示全部。 4）F4键：重画。
5）F5键：将当前平面切换至XOY面。同时将显示平面置为XOY面，将图形投 影到XOY面内进行显示。
6）F6键：将当前平面切换至YOZ面。同时将显示平面置为YOZ面，将图形投 影到YOZ面内进行显示。 7）F7键：将当前平面切换至XOZ面。同时将显示平面置为XOZ面，将图形投 影到XOZ面内进行显示。 8）F8键：显示立体图。
例：生成空间曲线在XY平面草图0上的投影线。
ห้องสมุดไป่ตู้
civil 3d 教程 2(曲面教程)
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4. 选择多段线。按 Enter 键。
曲面三角剖分将被修改。铺装层边缘特征线将被应用并沿特征线边缘调整三角网曲面，从而 修改曲面三角剖分。
3. 单击“常用”选项卡 “创建地面数据”面板 “曲面”下拉式菜单 “创建曲面”
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。 4. 在“创建曲面”对话框的“类型”中，选择“三角网曲面”。
注意默认情况下，将创建名为 C-TOPO-（后跟您在“名称”单元中输入的名称）的新“曲面
图层”。还可以单击 为曲面指定现有图层。 5. 在“特性”表格中，指定以下参数：
名称：EG 描述：原地面曲面（从导入的等高线数据） 样式：等高线 5m 和 25m (背景)
提示若要选择样式，请单击“值”单元，然后单击 以显示“选择曲面样式”对话 框。 渲染材质：随层 6. 单击“确定”。 7. 在“工具空间”中的“浏览”选项卡上，展开“曲面”集合。
CATIA a级曲面光顺原则
A级曲面光顺原则1．所有特征都必须具有可扩展性和可编辑性。
2．所有特征都必须分解成单凸或单凹特征。
3．所有特征面的光顺保证2阶导数以上连续。
4．所有特征线（面）函数必须小于6阶。
5．所有特征间的连接要2阶导数以上连续（曲率连续）6．所有特征间的连接偏差小于。
7．一块大面上多特征拼接的，建模默认误差小于，角度误差小于度。
8．单一特征面的建模默认误差小于，角度误差小于度9．造型决定的不同特征形状可不要求曲率连续或相切连续。
10．在不能保证大特征面如上质量情况下，宁可牺牲边界线或缝线或特征连接，特征的连续保证相切连续（角度误差小于度）。
11．不明显的局部特征过渡区（如A柱下端与翼子板过渡区），允许曲率不连续，但要保证相切连续。
12．外观特征筋线倒角R2~R5 仪表板边界相交倒角R5~R1013．顶盖、发动机盖、行李箱盖，与侧围做大面相交，然后以交线为中心，依据点云特征，进行曲率或相切连续。
14．大于R10的倒角，要考虑搭桥，保证曲率连续。
15．为获得A级曲面、允许与点云误差±5mm。
16．零件边界线必须光顺。
17．一块大面如果在两头曲率变化太大（相差2倍以上）必须分开特征，然后与主曲面拼接，拼接精度偏差小于，角度偏差小于度）。
18．不可以用多个特征断面，用扫面（sweep）的方法，但可用单特征面（曲率变化不超过2倍）多个断面扫面。
19．不可用多个边界约束的小面拼接零件。
A级面介绍：我们对A级曲面是这样理解的1.轮廓曲面--通常都是A级曲面，这样的曲面通常都要求曲率连续，沿着曲面和相邻的曲面有几乎相同的曲率半径（相差或更小，位置偏差或角度相差度。
）2、A级曲面用高光等高线检测时显亮的曲线--这些曲线应该有一个共同的曲率特征，等高线连续且过度均匀、逐渐的发散或收缩，而不是一下子汇集消失到一点3、A级曲面上的控制点也应该按一定的规律分布，一行控制点与另一行相邻的控制点的角度变化应该有一定的规律可循，这是画高质量的曲线所必需的4、A级曲面模型的曲面的边界线又该可以被编辑、移动以生成另外一个曲线，同时这个新生成的曲线可以重新加入曲面来控制区面。
solidworks基础-曲面篇
———曲面建模 gaoch内容提要：● SolidWorks 曲线● SolidWorks 曲面特征● SolidWorks 曲面分析● SolidWorks 常用面的建摸方法● SolidWorks 综合运用SolidWorks 曲线：分割线：将实体（草图、实体、曲面、面、基准面、或曲面样条曲线）投影到曲面或平面。
并将所选的面分割为多个分离的面，从而允许您选取每一个面。
命令：插入——曲线——分割线几个选项的介绍：投影：将草图投影到曲面上，并将所选的面分割。
轮廓：在一个圆柱形零件上生成一条分割线。
并将所选的面分割。
（曲面外形的分模常用的方法）交叉：以交叉实体、曲面、面、基准面、或曲面样条曲线分割面。
（简单的说是所选面与其他曲面或者平面的交线来分割所选面）其他选项含义：分割所有：分割穿越曲面上的所有可能区域。
自然：分割遵循曲面的形状。
线性：分割遵循线性方向。
投影曲线：从草图投影到模型面或曲面上，或从相交的基准面上绘制的线条。
几个选项的介绍：草图到面：在基准面中绘制的草图曲线投影到试题的某一个面上，从而生成一条3D 曲线。
草图到草图：在相交的两个基准面上分别绘制草图，两个草图各自沿垂直方向投影在空间中相交生成一条3D 曲线。
（比如做拉伸弹簧的常有这一步骤来做扫描路径）组合曲线：通过将曲线、草图几何和模型边线组合为一条单一曲线来生成组合曲线。
使用该曲线作为生成放样或扫描的引导曲线。
注意：生成组合曲线的个段线（曲线、草图几何、模型边线）必须互相连接通过XYZ 点的曲线：通过X 、Y 和 Z 座标列中的单元格里点座标生成的样条曲线。
（操作不做详细介绍）通过参考点的样条曲线：利用定义的点或已存在的端点作为曲线型值点而生成的样条曲线。
螺旋线\涡状线：通过草图上的一个圆来绘制。
样条曲线：主要讲解套和样条曲线和样条曲线的控制。
套和样条曲线：将多个草图实体转化成单一样条曲线。
（扫描的路径和引导线，放样的引导线都需要单一的曲线），下面是两个直线段和一个圆弧段套和成单一的样条曲线，当然套和后的样条曲线并非和之前的两个直线段和一个圆弧段一模一样，有个偏差，由公差控制，用户可以自行调整。
数学物理第六章-特征线法
x at c1, x at c2
解二 考虑弦振动方程的Cauchy问题
utt u(
x,
a2uxx 0,
0) (x),
x ut (x, 0)
,t 0
(x),
x
(1) (2)
特征线族
dx dt
2
a2
0
(3)
(3)称为特征方程。
即
dx a 0, dx a 0
dt
dt
:x (
x(s),t dx , dt , ds ds
t(s),u u(x(s),t
du ds
)
|P0
。显然，向量
(s)) n与
在点 P0 的切向量为 在点 P0 相互垂直。
记 (a(x, t, u), b(x, t, u), c(x, t, u)) |P0 , 则方程(9)式 恰好表示法向量 n 与 在点 P0 处相互垂直。因此，在曲面 u u(x,t) 上，以向量 为切向量且与曲线 相交，交点为
(x t 1)et 1
所以
u(x,t) 1 (x t 1) et 1 (x t 1)e2t
2
2
下面考虑一阶拟线性方程，即一阶导数的系数与未知函数 u 有关。
一阶拟线性方程柯西问题的一般形式为
a( u(
x, x,
t, u)ux
0)
b(x,t,u)ut c( (x), x
( , 0,( )) 的曲线方程为
dx
ds
a( x, t, u),
x(0)
dt
ds
b( x, t, u),
t(0) 0
(11)
du ds
c(
x,
t,
u),
CAXA-me编程教程
实验二数控铣床加工实验一、实验目的1．了解数控铣床组成及其工作原理。
2．了解零件数控加工的手工编程和自动编程方法。
3．熟悉数控铣床CAD/CAM 软件的使用方法。
4．掌握用数控铣床加工零件的工艺过程。
二、实验内容及安排1．实验前仔细阅读本实验指示书的内容。
2．教师利用微机演示数控铣CAM 软件的使用方法。
3．学生使用数控铣CAM 软件对指定零件进行三维设计和编程。
4．教师讲解数控铣床的组成及其工作原理，演示数控铣床操作过程。
5．学生进行程序传输和机床操作，完成零件加工。
三、实验设备1．数控铣床5台。
2．由16台计算机组成的局域网。
3．与机床通讯用计算机5台。
四、CAD/CAM软件——CAXA制造工程师简介CAXA制造工程师（以下简称ME）是一套具有Windows风格的全中文软件，通过曲面与实体结合可进行三维造型，利用软件与数控加工相关的菜单功能，可以自动生成适用于数控系统的加工程序，从而实现CAD/CAM一体化。
该软件的基本功能为绘制曲线、绘制曲面、实体造型和自动生成零件表面的加工轨迹和加工程序。
下面分别加以讲解。
1.绘制曲线在ME中的曲线绘制分为草图曲线绘制和空间曲线绘制。
草图曲线的绘制主要为生成实体作准备，它是一个平面的封闭图形。
空间曲线（包括平面曲线）主要为生成曲面作准备，它既可以封闭，也可以开放。
（1）绘制草图曲线①确定基准平面绘制草图曲线必须依赖于一个基准平面，因此开始绘制新草图前就必须先选择一个平面作为基准面。
②选择基准平面用鼠标点取特征树中平面（包括三个坐标平面和已构造的平面）的任何一个，或直接用鼠标点取已生成的实体上的某个平面。
③点取草图器按钮“”，在特征树中添加了一个草图树枝，表示已经处于草图状态，可以绘制一个新草图。
④执行平面曲线绘制命令、删除命令 、“曲线裁剪”命令 、点选取工具⑤执行“检查环是否闭合”命令点取右边工具条最下方的“检查环是否闭合”图标表明草图是闭合的可以进行后续操作。
曲面特征一
第7页/共30页
10-8
确定材料 去除方向
步骤7：建立圆角特征： 用【创建】 /【曲面】/ 【新建】/【圆角】选项， 圆角半径为1
步骤8：以圆角曲面特征切去实体模型：依次 选取【创建】 /【实体】/【去除材料】/【使 用面组】/【实体】选项，然后选取圆角曲面 特征，确定材料移除方向，切除左边实体
注意：当零件为实体模型时，【实体】/【倒圆 角】构建出“实体”的圆角特征，而【曲面】/ 【圆角】则构建出“曲面”的圆角特征。
曲线5
曲线4 曲线3
曲线7 曲线6
曲线2
曲线1
由边界建立的曲面
步骤2：在【第一方向】选项下，选 取曲线1至曲线5作为第1个方向的曲 线；在【第二方向】选项下，选取 曲线6和曲线7作为第2个方向的曲线
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10-18
平整曲面
平整曲面
平整曲面
步骤3：将曲面的前、后、底分别建立3个平整曲面，以形成一个封 闭的曲面
步骤5 ：将曲面模型转换为实体模
型：当曲面模型围成一个封闭的区 域时，则可利用【创建】 /【实体】 /【加材料】/【使用面组】/【实体】 选项，然后选取曲面模型，系统将 封闭区域的内部填入材料，以构建 实体模型。从剖截面可以看出，该 零件已成为实体模型了
步骤6：建立圆角特征：用【创建】 /【实体】/【倒圆角】选项，圆角半 径为1
§10.1 曲面特征的基本概念
曲面的线条有下列两种颜色：
l 黄色：代表曲面的边界线，亦称为单侧边。黄色边的一侧 为此特征的曲面，另一侧即不属于此特征的曲面。
l 紫红色：代表曲面的棱线，亦称为双侧边。紫红色边的两 侧都为此特征的曲面。
棱线 （紫红色）
曲面特征的
创建常需依赖二 基准曲线 维或三维曲线作 （暗红色） 为曲面的边界曲
数学物理方程--- 6 特征线法
第 六 章 特 征 线 法
定义1
考虑下面一阶线性微分方程
aut bu x cu f
数 学 物 理 方 程
4
第 方程 dx 六 a b 0 5 章 dt 称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。 特 征 注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数 线 法 c，即为特征线的初始值x (0) 。当参数 c x(0) 在 x 轴滑动时，
(3)式的解曲线就织成了(1)式--(2)式的解曲面。 为了避免和常数c混淆，下面用变量 代替参数c。请记住：
b t 其中 a 、 、c 和 f 均为自变量 x 、 的函数。
x(0) , 变化相当于 x (0) 在 x 轴上滑动。
西安交通大学 数学与统计学院
例2 求解线性方法柯西问题 ut ( x cos t )u x 0, t 0, x (6) 1 (7) u ( x, 0) 1 x 2 , x 数 第 学 dx x cos t 0, 而过点 ( , 0) 六 物 解 方程(6)式的特征方程为 章 dt 理 方 的特征线就是下面问题的解 特 程 dx 征 x cos t 0, t 0 线 dt 法 x(0) 解之可得 x esin t。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为 du dt ut ( x cos t )u x 0, t 0 u (0) u ( , 0) 1 1 2 西安交通大学 数学与统计学院所以(11)源自第 六 章 特 征 线 法
1 1 t u ( x, t ) ( x t 1) e ( x t 1)e 2t 2 2
偏微分方程与特征线
偏微分方程与特征线1函数空间的矢量场给定一个矢量场i x i v ∂=)(x v ，就在空间定义了曲线簇。
比如，经过0x 点的积分曲线就可以描述为下列常微分方程的初值问题)(x i i v x = ，n i ,...,1= 0)0(x x =这些积分曲线就构成了曲线簇。
如果形式地写出这个曲线来就是xvt x t v t v vt t xt x t x x t x )exp(...)!3!21(...!3!2)(332232=++++=++++= 此处x 是0时刻位置，v 是作用于x 的微分算符。
这些曲线，将空间点分成了类，也就是说每条曲线上的点属于一类。
曲线集合的维数是n-1维。
矢量场的可积性那么给定两个矢量场，就会产生两簇曲线，这两簇曲线能否组成面簇呢？我们先 看看从一点出发的曲线是否在一个曲面上的条件：从x 点出发的依此沿两簇直线运动的点若能回到来，就可以认为可以组成面。
即x x vd uc vb ua =)exp()exp()exp()(exp如果a,b,c,d 都是1级以上的小量，这个表达式有二级以上的精度，就可以找到这样的a,b,c,d,使得方程精确满足。
按照各级展开，有 一级0a 1111=+=+d b c二级v d b u c a vu uv b a )()()(222211+++=-…由此，得到条件v u vu uv v u βα+=-=],[这就是两个矢量能够构成2维子空间（曲面）的条件，著名的Frobenius 定理。
n 个矢量积分形成n 维积分只空间的条件是，任意两个矢量的对易可以写成这n 个矢量组合。
可以按照下图进行直观理解给定m 个矢量场，他们线性组合能够形成新的矢量场。
组成的矢量场空间一般称为分布。
},{是任意函数i ii i a v a ∑=∆这个分布中任意两个矢量场对易仍然在这个分布之内，这样满足Frobenius 定理的分布称为闭分布，∆⊆∆∆],[他们积分可以给出m 维积分子流形。
第三章曲面造型
●
注意 ①两曲面在边界线处相交或部分相交及相切时，可能得不到正 确结果，建议尽量避免。 ②若曲面交线与被裁剪曲面边界无交点，且不在其内部封闭， 则系统将交线延长到被裁剪曲面边界后实行裁剪。一般应尽量 避免这种情况。
● 注意
拾取的三条或四条曲线必须首尾相连成封闭环，才能作出 三边面或四边面；并且拾取的曲线应当是光滑曲线。
（a）三边面
（b）四边面
21
《CAXA制造工程师2011与CAXA数控车》主编：姬彦巧 jyqzhao@ 2012/04
一、曲面生成
8 放样面
以一组互不相交、方向相同、形状相似的特征线(或截面线) 为骨架进行形状控制，过这些曲线蒙面生成的曲面称之为放 样曲面。有截面曲线和曲面边界两种类型。 （1）截面曲线
● 注意
①每一组曲线都必须按其方位顺序拾取，而且曲线的方向必须保 持一致。曲线的方向与放样面功能中一样，由拾取点的位置来确 定曲线的起点。
②拾取的每条U向曲线与所有V向曲线都必须有交点。 ③拾取的曲线应当是光滑曲线。
《CAXA制造工程师2011与CAXA数控车》主编：姬彦巧 jyqzhao@ 2012/04
投影线裁剪过程
《CAXA制造工程师2011与CAXA数控车》主编：姬彦巧 jyqzhao@ 2012/04
27
二、曲面编辑
（2）线裁剪
指曲面上的曲线沿曲面法矢方向投影到曲面上，形成剪刀线 来裁剪曲面。
①裁剪时保留拾取点所在的那部分曲面。
②若裁剪曲线不在曲面上，则系统将曲线按距离最近的方式投影到曲面 上获得投影曲线，然后利用投影曲线对曲面进行裁剪，此投影曲线不存在 时，裁剪失败。一般应尽量避免此种情形。
第二章 曲面论 2.4 直纹面与可展曲面
r r r r = a (u ) + vb (u )
其中直纹面上一点 P 到导线 r 上的点 a (u ) 的距离为v。
r a(u)
o
(c)
（2）坐标曲线 r r r v-曲线， r = a (u0 ) + vb (u0 ) 为直母线； r r r u-曲线， r = a (u ) + v0b (u ) 为与导线平行的曲线。
4、命题3：一个曲面是可展的充分必要条件是高斯曲率为零。
证明：如果曲面是可展的，则沿一条直母线的单位法向量保持 r r 不变，即为常向量，故 dn = 0 。但零向量与任意向量共线，所 r r 以 dn // dr ，由主方向判别定理，沿直母线的方向为主方向，并 且直母线方向上的主曲率为0，于是有 K=k1 k2=0。
r r r （1）当 a′(u ) = 0, 则a为常向量 ，这时腰曲线退化成一点，所
有直母线上的腰点为同一点，曲面为锥面。腰点即为锥面的顶点。 r r r 方程为 r = r0 + vb (u)
r r r r r （2） a ≠ 0 ，由于 ( a ′, b , b ′) = 0 ，则三向量共面，且 r r r r r r r r r b = 1, b′ ⊥ b , 但a ′ ⊥ b ′， 所以a ′ // b ⇒ r = a + va′为切线曲面。 r r r （3） b′ = 0, b 为常向量，所有直母线平行，为柱面。
r r r ruu = a ′′(u ) + vb ′′(u ) ,
r r r 2 LN − M −M (a′, b , b′) K= = =− 2 2 EG − F EG − F ( EG − F 2 ) 2 r r r 因此对于情形 a) 有(a′, b , b ′) ≠ 0 ，K<0。
Civil3D教程第三章放坡讲义ppt课件
（2）单击“ 设定放坡组”，设定放坡 组名称为“基坑开挖”，勾选“自动 创建曲面”和“体积标准曲面”，如 图所示，再两次点击确定即可。
（3）单击“ 设定目标曲面”，出现“ 选择曲面”对话框，选择“原始地形 ”曲面，如图所示，再单击确定。
用曲面创建放坡
© 2008 Autodesk
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
本课内容：
1、创建要素线 2、放坡的四种方式：曲面、高程、相对高程、距离 3、土方量计算
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为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
2.1、创建要素线
（放坡指创建一组要素线以将已放坡的区域定义为曲面特征线，然后调整码 点的高程来控制曲面的造型。） 用Civil 3D打开“最后用地 形图—曲面完成”文件。 将原始地形曲面调整为等 高线显示：选择曲面，在 出现的上下文选项卡 单击“曲面特性—编辑曲面 样式”，在“显示”栏，关闭 “三角形”，打开“主等 高线、次等高线”可见， 单击确定。
单击“ —创建拆离的曲面”，如图所示，曲 面命名为“基坑开挖设计”。（如果是其他 方法创建的放坡不需要创建拆离曲面）
用曲面创建放坡
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为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
选择原始地形曲面，在出现的上下 文选项卡中单击“编辑曲面—粘贴曲面 ”，如右图所示，选择基坑开挖设计曲 面，单击确定，如下图所示。
曲面的曲率线、渐近曲线和测地线
对曲面上一点 的两个方向，如果他们既共轭又正交，则称在 点主方向.
设两个方向是 由于正交性， ，即
,由于共轭性： ，即
,
以上两个条件改写为
＝0.
还可以成以下形式
，
这是 ： 的二次方程，其判别式为
,所以当且仅当 时， =0上述判别式它可以写成
因此除上述的情况外，判别式 >0.
也就是说方程总有两个不相等的实根因而曲面上每一点处除了上述情况总有两个主方向.它们也是这一点的杜邦指标线的主方向，并且如何曲面上某一点处有
定理3若一共球面 和一个球面（或平面）沿一条曲线 相切，则 是 的一条曲率线， 沿 的法曲率是异于零的常数（或为0）.
而定理3的逆定理为
定理4若一个平面 沿一条曲率线 主曲率是异于0或常数（或等于0）则 沿 和一个球面（或平面）相切.
证明若 沿一条曲率线 的方向，主曲率 为常数，则将罗德里克方程（1）（ ）沿 的积分得 ，其中 为常矢，分别取两边和自己的数积即得 ，这表明 在一个球面上，而且根据前一式， 和 这个球面沿有相同的法矢 .
4 测地线
4.1测地曲率定义
给定一个曲面 ，考虑曲面 是 的自然参数，设 是曲线 上一点， 是 在 上单位切向量， 是 的夹角，那么曲线 在 点的曲率向量 在 的投影为 在 的测地曲率，若用 表示，则
另一方面若 沿一条曲率线 的方向主曲率 ，则将罗德里克方程，沿 ， 即 固定，因而 （常数）.这表明 在一个平面上，而平面法矢就是 .证毕.
3 渐近曲线
3.1渐近曲线定义
若曲面 上一条曲线 总是沿着一个渐进方向，即法曲率 的方向，则 成为 上的一条渐近曲线.平面上的任意一点的方向渐进方向，平面上的每一条曲线都是渐近曲线.
正则曲面的定义-概述说明以及解释
正则曲面的定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述正则曲面是几何学中的基本概念，它在数学和物理学领域中都具有重要的应用价值。
正则曲面可以简单地理解为在局部范围内与平面相似的曲面，具有光滑连续的性质。
通过对曲面上的曲线、切线、法向量等性质进行研究，可以更好地理解曲面的特征和性质。
本文将从定义、特征和应用三个方面介绍正则曲面，希望读者能通过本文对正则曲面有一个全面的了解，进而在相关领域中更深入地探究其应用和意义。
1.2 文章结构本文将分为三个部分来讲解正则曲面的定义。
在引言部分，我们将对正则曲面这一概念进行概述，并介绍本文的结构和目的。
接着在正文部分，我们将详细解释正则曲面的概念，探讨其特征以及介绍其在实际应用中的意义。
最后在结论部分，我们将总结正则曲面的重要性，展望其未来的发展，并得出结论。
通过这三个部分的内容，读者将能够全面了解正则曲面的定义及其重要性。
1.3 目的：本文旨在详细介绍正则曲面的定义及其重要性，使读者能够深入了解正则曲面在数学和工程领域中的应用。
通过对正则曲面的概念、特征和应用进行分析和讨论，希望能够帮助读者加深对正则曲面的理解，并促进正则曲面研究在科学技术领域的发展和应用。
同时，本文也旨在引起读者对正则曲面领域的兴趣，激励更多人投身于正则曲面研究，推动该领域的进一步发展与创新。
2.正文2.1 正则曲面的概念在几何学中，正则曲面是指在每一点处都具有良好定义的曲率的曲面。
换句话说，正则曲面是一种光滑且连续的曲面，在其中每个点都存在一个唯一的切平面，并且曲面在该点处的法线存在且唯一。
这种特性使得正则曲面具有一定程度的可微性和连续性，使得我们能够用数学方法来研究和描述它们的性质。
正则曲面的概念是微分几何学中一个重要的概念，它为我们研究曲面的性质和特征提供了一种有效的数学工具。
通过对正则曲面的曲率、法向量和切平面等性质进行研究，我们可以更深入地了解曲面的几何特征和形态。
在数学和物理学中，正则曲面广泛应用于曲面积分、曲面积分、流形和微分几何等领域。
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如何批量删除Civil曲面的点？CTRL+Select在曲面编辑的时候，是可以删除曲面的点的。
但是只能一次选中一个点。
当有多个点需要删除的时候，这种操作方式就变得非常繁琐了。
那么如何批量删除曲面的点呢？如图，希望批量删除矩形区域的点。
首先，第一步要将曲面的样式调整为只显示点，而将其它的所有显示如三角形、等高线等都关闭。
按住Ctrl键，这时你就会发现可以在屏幕上拉框选择多个Civil曲面点了。
选择完成以后，再激活曲面编辑的删除点命令即可。
下图就是删除点以后的情形：当然，如果你后悔不应该删除这些点，想恢复原状怎么办？除了undo以外，还可以在曲面的特性里面，取消掉你对于曲面的编辑工作。
当然可以按住Shift键进行一次多选操作。
Civil在曲面定义中会保留你对于曲面操作的历史。
两个强大的编辑工具 – Boundary Trim & Boundary Break这两个命令是在这个工作空间下的，所以首先要做的就是切换工作空间。
就是这两个命令：boundary break 和 boundary trim示例：原始图形如下：这里面有很多AutoCAD点，线还有一个闭合的PL线。
如果希望删除闭合PL线中的所有对象，可以使用Boundary Trim命令，执行效果如下：当然可以选择区域内删除，或者选择区域外删除。
详细可以看这个命令的对话框。
对于boundary break命令，执行效果如下：因此，灵活使用Boundary Trim命令，就可以批量删除Civil3D曲面某个区域中不想要的点。
比如在场地设计中，在最后创建模型的时候，有时需要把道路、放坡范围内的原地形点删除。
就可以使用这个命令。
但是注意，目前还无法直接针对曲面对象进行操作，需要：•将曲面的样式调整为点显示。
•将曲面的点全部提取出来成为AutoCAD的点。
•生成道路的边界或者放坡的边界。
可能要对于边界进行加工，比如转化为2D闭合PL线。
•使用Boundary Trim命令，选定边界，删除区域内的点。
•利用剩下的点重新来创建地形曲面。
•再叠加道路、场地放坡数据，就可以得到想要的三维模型了。
当然，通常可以使用曲面粘帖的编辑操作直接得到想要的效果，以上操作只有在特殊情况下才需要使用。
在崎岖不平的地形上创建某个形状的平台1.有的时候，在进行场地设计时，传统的二维设计手段甚至不进行放坡。
设计的意图有些类似于垂直的开挖。
如何达到这种设计效果呢？是否一定要创建两个相邻很近的特征线，外面的做为“保护层或绝缘层”，里面的做为平台的设计表达？而外侧的特征线类型为“非破坏”，内侧的特征线为“标准”。
那么其它类型的特征线比如“墙”，“近似型”又有什么用呢？下面将会讨论这个问题。
首先创建一个标高为890m的闭合PL线代表的设计平台。
使用Offset命令，将这个闭合PL线偏移0.1 。
推荐的操作是先将第一个闭合PL线转化为放坡要素线，然后用放坡要素线的偏移命令来得到0.1偏置的PL线。
一定将外侧的PL线变成放坡要素线，这样才可以从曲面获得高程。
实际上，放坡要素线的编辑命令要比AutoCAD的PL线多，所以在土木设计中应尽量使用放坡要素线。
注意，在从曲面获取高程的时候，一定要选择正确的曲面，这是有时候容易犯的低级错误。
下图为分别选择内圈和外圈PL线的显示情况，可以看出，由于外圈的FeatureLine从曲面获取高程，而增加了很多点：需要将外圈内曲面的所有点全部删除，这样闭合PL线的设计区域内才可以达到“平整”的目的。
这时需要将曲面样式调整为只显示点，然后进行删除点操作。
选中两个PL线，将其做为特征线添加到地形曲面中。
如果将这两个特征线均做为“standard”特征线添加到曲面中，或者外面的做为“non-destructive ”而内侧的做为“Standard”，效果是不同的么？第一种方式（均做为“standard”特征线添加到曲面中）：第二种方式（外面的做为“non-destructive”而内侧的做为“Standard”）。
对比可以发现，第二种方式模型要更加准确，而第一种方式比较粗糙。
比较主要来自于临近闭合区域的外侧边缘区域，第二种方式要更“干净”，而第一种方式没有经过“过渡”，直接就和特征线连接了，造成了一个不存在的“坡度”。
比较两种效果如下：第二种方式第一种方式曲面的几种BreakLine严格来讲，曲面的三角网是不能“穿越”特征线的，也就是特征线对于曲面构成了约束。
特征线的类型：•标准型：按照特征线的严格定义，三角形不能穿越特征线而构网；示例：创建一个高程均为890的矩形闭合FeatureLine。
添加前：添加后：添加后的立体效果：可以看出，添加了“Standard”类型的特征线以后，相当于：（1）增加了矩形FeatureLine代表的四个顶点，而这四个顶点和原有的地形点重新构网。
（2）三角形不能穿越BreakLine。
•近似型这个是老外的解释。
Proximity Breaklines:Proximity breaklines are identical to standard breaklines in terms of their use, butthey differ in how they are defined. Unlike standard breaklines, proximity breaklinesonly hold Northings and Eastings (no elevations).When the surface is built, theproximity breakline will find the nearest data point containing elevation informationand use that for the Z value. Proximity breaklines can be defined by selecting pointsor from an existing polyline.The main benefit of using proximity breaklines is that you do not have to draw themas accurately. Rather than snapping to the exact points along the breakline, you canclick "close enough." This is very useful when you already have a drawing with 2Dpolylines representing surface features (such as streams). Simply define thosefeatures as proximity breaklines.如下图为一个高程值皆为0的2D PL线（3D PL线也可以，似乎不支持FeatureLine，可能是软件的bug）。
做为“Proximity”类型的BreakLines添加到曲面中. 当我们再次检查这个BreakLine的高程属性时，发现它们已经“自动”获得高程了，已经不是皆为0了。
这个功能对于传统的地形图处理还是有些作用的，比如传统地形图要绘制河流线，但是河流线却没有高程，高程为0，只是表达其平面位置。
那么就可以利用这个功能来获得其近似高程了。
所以这个功能并不是利用现有河流线高程，然后构建曲面。
不是用来构建曲面的，是相反的应用。
•“墙”“墙”这种类型是构成直立的曲面。
这种BreakLine和Standard构三角网非常相似。
不同的是，这种类型的特征线需要指定侧别，高程（需要区分现有的PL线是墙顶还是墙底，这样指定墙高的时候如果用增量的方式就是一个为负值，一个为正值）。
因为目前的曲面是无法处理“垂直”的，所以要有一个很小的偏移。
侧别就是起这个作用的，如果测量线是墙顶，那么通常offset就是指墙脚的方向一侧（墙脚向外偏出一个微小距离），所以指定侧别不同带来的差异很小。
平面状态显示：这是一个矩形的FeatureLine，并从曲面获取高程。
添加到曲面做为“Wall”类型的特征线，指定内外侧关系不大。
指定墙高为绝对高程890。
三角网变化如下：三维状态显示（指定外侧偏置）。
可以发现，区域内侧的地形点还都在的，所以区域内侧的曲面仍然崎岖不平。
三维状态显示（指定内侧偏置），可见偏置的侧别关系不大。
•“非破坏性”添加特征线前：添加以后：这时会增加虚拟高程点，位置在（1）未添加特征线前，三角形与特征线的交叉点（2）特征线的顶点处（3）前两个原则形成的点，构建三角网后，再次和特征线相交的点，也就是迭代点。
比如这个点：由这些高程点再和原曲面的高程点进行构网。
三角形的边仍然不能穿越特征线，当然也没有必要穿越，因为已经加密虚拟高程点了。
这时甚至连特征线上原有的高程都不会引入，所有点的高程仍然是有三角网内插得到，包括特征线的顶点处。
因此，这种特征线只是给出了内插点的位置，高程完全是由原有三角网决定。
当然等高线也会保持原样。
真正的非破坏性！看起来这个功能完全无用，甚至连特征线上的高程都不会用。
仍然是原有地形的高程。
这个特征线基本上只是二维的作用，只是为原有曲面基于原有的高程内插了一些点。
这种特征线有一个最大的好处是，他几乎不破坏原有等高线的走向。
原有的三角边的方向仍然保持不变，只是在特征线上所有和三角形相交的地方，无论是初次相交还是迭代相交，都会增加相应的点。
然后再根据这些新增的点和附近的点来构建三角形。
所以做为“保护层”是最好的选择。
•从文件可以从flt文件中导入特征线。
粘帖曲面粘帖曲面是另外一个处理曲面之间关系的很好的方法。
虽然不需要删除曲面外的点，但是仍然要注意曲面边界外侧临近位置，曲面受干扰的情况。
这时就需要灵活使用曲面边界了。
可以将曲面边界提取出来，成为3D PL线。
注意3D PL是不能offset的。
需要转化成2DPL线或者FeatureLine。
（而且，如果Paste曲面，就不需要删除区域内的点了。
Paste操作是在地形曲面上选择编辑中的Paste命令的。
所以把被贴的曲面比喻成膏药，是在人体上选择操作命令，就不容易混淆了。
）然后再偏置0.1形成外圈的FeatureLine，接下来从曲面获取高程。
示例，如下图。
内圈黄色为一个水平高程为890的曲面。
我们可以看到，设计曲面下的原始地形点都在，不需要单独删除。
外圈红色为提取了内圈曲面边界后，转化为FeatureLine，再Stepped Offset 0.1出外圈红色FeatureLine，再让这个FeatureLine从曲面获取高程。