函数应用题复习PPT教学课件
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函数复习ppt课件
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目 录
• 函数的基本概念 • 函数的分类 • 函数的运算 • 函数的图像 • 函数的实际应用
01
函数的基本概念
函数的定义
总结词
描述函数的基本定义
详细描述
函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。在一个函 数中，每一个输入值唯一对应一个输出值。函数的定义通常由输入和输出值的 集合以及它们之间的对应关系来描述。
函数的性质
总结词
描述函数的性质
详细描述
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性、周期性和凹凸性等。有界性是指函数在一定 范围内变化；单调性是指函数在某一区间内单调递增或单调递减；奇偶性是指函数是否 关于原点对称或关于y轴对称；周期性是指函数是否具有周期性变化；凹凸性则是指函
数的图象是否是凹或凸的。
02
函数加法的性质
与普通数的加法类似，函数加法也满足交换律、结合律等 基本性质。
函数的加法
将两个函数的图像看作是平面上的两个点集，函数加法就 是将这两个点集中的每一个点对应坐标相加，得到新的点 集，即新的函数图像。
举例
$f(x) = x^2$ 和 $g(x) = 2x$ 的和函数为 $h(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 2x$。
举例
与普通数的乘法类似，函数乘法也满足交换律、结合 律等基本性质。
函数的除法
总结词
理解函数除法的基本概念和性质
函数的除法
将一个函数的图像上的每一个点对应坐标除以另一个函数的相应坐标 ，得到新的点集，即新的函数图像。
函数除法的性质
与普通数的除法类似，函数除法也满足类似的性质，如商的可加性和 可交换性。
物理中的函数应用
目 录
• 函数的基本概念 • 函数的分类 • 函数的运算 • 函数的图像 • 函数的实际应用
01
函数的基本概念
函数的定义
总结词
描述函数的基本定义
详细描述
函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。在一个函 数中，每一个输入值唯一对应一个输出值。函数的定义通常由输入和输出值的 集合以及它们之间的对应关系来描述。
函数的性质
总结词
描述函数的性质
详细描述
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性、周期性和凹凸性等。有界性是指函数在一定 范围内变化；单调性是指函数在某一区间内单调递增或单调递减；奇偶性是指函数是否 关于原点对称或关于y轴对称；周期性是指函数是否具有周期性变化；凹凸性则是指函
数的图象是否是凹或凸的。
02
函数加法的性质
与普通数的加法类似，函数加法也满足交换律、结合律等 基本性质。
函数的加法
将两个函数的图像看作是平面上的两个点集，函数加法就 是将这两个点集中的每一个点对应坐标相加，得到新的点 集，即新的函数图像。
举例
$f(x) = x^2$ 和 $g(x) = 2x$ 的和函数为 $h(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 2x$。
举例
与普通数的乘法类似，函数乘法也满足交换律、结合 律等基本性质。
函数的除法
总结词
理解函数除法的基本概念和性质
函数的除法
将一个函数的图像上的每一个点对应坐标除以另一个函数的相应坐标 ，得到新的点集，即新的函数图像。
函数除法的性质
与普通数的除法类似，函数除法也满足类似的性质，如商的可加性和 可交换性。
物理中的函数应用
函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
大数据与函数应用
随着大数据技术的不断发展，函 数应用将更多地涉及到大规模数 据的处理和分析，需要更加高效
和稳定的技术支持。
大数据技术将促进函数应用的个 性化发展，使得函数能够更好地 满足不同用户的需求，提升用户
体验。
大数据技术将提升函数应用的预 测能力和决策支持能力，使得函 数能够更好地服务于商业智能和
05
未来函数应用的发展趋势
深度学习与函数应用
深度学习技术将进一步拓展函数应用的领域，特别是在图像识别、语音识别、自然 语言处理等领域，将会有更多的函数应用出现。
深度学习技术将提升函数应用的精度和效率，使得函数能够更好地满足复杂场景的 需求。
深度学习技术将促进函数应用的自动化和智能化，使得函数能够更好地适应不断变 化的环境和需求。
成本与收益
经济增长
在经济增长研究中，函数可以描述国 民生产总值、人均收入等经济指标随 时间的变化规律，用于预测经济发展 趋势和制定经济政策。
在经济分析中，函数用于表示成本、 收益与产量或销售量之间的关系，用 于制定经济决策和评估经济效益。
03
函数的应用实例
三角函数在物理中的应用
总结词 正弦函数 余弦函数 正切函数 应用实例
运动学
在物理学中，函数可以描述物体运动的速度、加速度、位移等物理量随时间的变化规律。
波动
函数可以描述波动现象，如正弦波、余弦波、波动方程等。
热力学
在热力学中，函数可以描述温度、压力、体积等物理量之间的关系，用于研究热力学的性质和变 化规律。
工程领域
控制系统
在工程控制系统中，函数用于描 述系统的输入和输出之间的关系 ，通过调节系统参数实现控制目
解决周期性问题
描述简谐振动、交流电等周 期性现象。
初中复习函数应用题36页PPT
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发用题
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
人教版 数学第三章 函数的应用 复习(共28张PPT)教育课件
x ln10 ln10
近仅有一个交点，因此方程解的个数为 8。
答案：8
谢谢
–
凡 事都 是 多棱 镜 ，不 同 的角 度 会看 到 不同 的 结果 。 若能 把 一些 事 看淡 了 ，就 会 有个 好 心境 ， 若把 很 多事 看 开 了， 就 会有 个 好心 情 。让 聚 散离 合 犹如 月 缺月 圆 那样 寻 常，
四、函数模型的构建问题 【典例4】 一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出 厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超 过100时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元， 但最低出厂单价不低于51元。 （1）一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰好为51元？
解：（1）设一次订购量为 a 个时，零件的实际出厂价恰好为 51 元，则 a=100+ 60 51 =550 0.02
x
D,
其中
x, x D
集合 D={x|x= n 1 ,n∈N*}，则方程 f(x)-lg x=0 的解的个数是
。
n
解析：由于 f(x)∈[0,1)，则只需考虑 1≤x＜10 的情况。
在此范围内,当 x∈Q 且 x∉Z 时，设 x= q ，p,q∈N*，p≥2 且 p，q 互质，
p
若 lg x∈Q,则由 lg x∈(0,1)，
6.函数y=x2比y=2x增长的速度更快些。( × ) 7.当x很大时，函数y= 1 ·2x的增长速度比y=x200增长速度快。(
1000
√)
题型探究 真题体验
题型探究·素养提升
一、函数零点的判断 【典例1】 （1）函数f(x)=ln(x+1)- 2的零点所在的大致区间是( )
x
(A)(0，1) (B)(1，2) (C)(2，3) (D)(3，4)
近仅有一个交点，因此方程解的个数为 8。
答案：8
谢谢
–
凡 事都 是 多棱 镜 ，不 同 的角 度 会看 到 不同 的 结果 。 若能 把 一些 事 看淡 了 ，就 会 有个 好 心境 ， 若把 很 多事 看 开 了， 就 会有 个 好心 情 。让 聚 散离 合 犹如 月 缺月 圆 那样 寻 常，
四、函数模型的构建问题 【典例4】 一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出 厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超 过100时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元， 但最低出厂单价不低于51元。 （1）一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰好为51元？
解：（1）设一次订购量为 a 个时，零件的实际出厂价恰好为 51 元，则 a=100+ 60 51 =550 0.02
x
D,
其中
x, x D
集合 D={x|x= n 1 ,n∈N*}，则方程 f(x)-lg x=0 的解的个数是
。
n
解析：由于 f(x)∈[0,1)，则只需考虑 1≤x＜10 的情况。
在此范围内,当 x∈Q 且 x∉Z 时，设 x= q ，p,q∈N*，p≥2 且 p，q 互质，
p
若 lg x∈Q,则由 lg x∈(0,1)，
6.函数y=x2比y=2x增长的速度更快些。( × ) 7.当x很大时，函数y= 1 ·2x的增长速度比y=x200增长速度快。(
1000
√)
题型探究 真题体验
题型探究·素养提升
一、函数零点的判断 【典例1】 （1）函数f(x)=ln(x+1)- 2的零点所在的大致区间是( )
x
(A)(0，1) (B)(1，2) (C)(2，3) (D)(3，4)
《函数的应用》课件
函数的参数传递
按值传递
参数的值被复制一份给函数，不影响原始值。
按引用传递
参数的地址被传递给函数，可以修改原始值。
函数的递归调用
1
递归函数
调用自身的函数，可以解决一些复杂的问题。
2
基线条件
确定递归函数何时停止调用自身。
3
递归与迭代
递归更易于理解，但可能效率较低；迭代通常更高效，但可能较难理解。
函数的返回类型
函数的重要性
函数可以提高代码的复用性 和可维护性，使程序结构更 清晰。
函数的调用和返回
函数的调用
通过函数名和参数调用函数，可以在程序中任何地 方调用。
函数的返回值
函数可以返回一个值，也可以不返回值。
局部变量和全局变量
1 局部变量
只在函数内部可见，函数执行完后消失。
2 全局变量
在整个程序中可见，多个函数都可以访问。
《函数的应用》PPT课件
本课件将介绍函数的基本概念和定义，函数的输入和输出，函数的调用和返 回，以及函数在不同领域的应用，如数学、物理、工程和计算机科学等。
函数的基本概念和定义
什么是函数？
函数是一段可以重复使用的 代码块，接受输入并返回输 出。
函数的定义
函数由函数名、参数和函数 体组成，可以根据需要设置 返回值。
返回值
函数可以返回各种类型的值，如整数、浮点数、字符串等。
返回对象
函数可以返回自定义的对象，提供更复杂的功能。
返回指针
函数可以返回指向数据或对象ห้องสมุดไป่ตู้指针。
内联函数与宏定义
内联函数
用关键词inline定义的函数，将在编译时展开。
宏定义
用#define指令定义的宏，将在预处理阶段进行简单 替换。
函数的应用课件(共20张PPT)
解 设提高x个2元，则将有10x辆电瓶车空出，且租金 总收人为
y=(20+2x)(300-10x) =-20x2+600x-200x+6000 =-20(x2-20x+100-100）十6000 =-20(x-10)2+8000.(x∈N且x≤30)
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2=a(0-6)2+5，
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
解 如果x∈[0,180]，则 f(x)=5x；如果x∈(180,260]，
按照题意有
f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.
因此
f
x
7
x
5x , x 0 360 , x
2. 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水 价制度、其中年用水量不超过180m3的部分，综合用水 单价为5元/m3；超过180m3但不超过 260m3的部分，综合用水单价为7元/m3． 如果北京市一居民年用水量为xm3，其要 缴纳的水费为f(x)元。假设0≤x≤260， 试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象．
由此得到，当x=10时，ymax=8000，即每辆电瓶车 的租金为
20+10×2=40 元时，毎天租金的总收人最高，为8000元.
ห้องสมุดไป่ตู้
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
y=(20+2x)(300-10x) =-20x2+600x-200x+6000 =-20(x2-20x+100-100）十6000 =-20(x-10)2+8000.(x∈N且x≤30)
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2=a(0-6)2+5，
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
解 如果x∈[0,180]，则 f(x)=5x；如果x∈(180,260]，
按照题意有
f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.
因此
f
x
7
x
5x , x 0 360 , x
2. 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水 价制度、其中年用水量不超过180m3的部分，综合用水 单价为5元/m3；超过180m3但不超过 260m3的部分，综合用水单价为7元/m3． 如果北京市一居民年用水量为xm3，其要 缴纳的水费为f(x)元。假设0≤x≤260， 试写出f(x)的解析式，并作出f(x)的图象．
由此得到，当x=10时，ymax=8000，即每辆电瓶车 的租金为
20+10×2=40 元时，毎天租金的总收人最高，为8000元.
ห้องสมุดไป่ตู้
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
函数应用题复习重点课件
解决关于利润的问题。
利用一次函数表示资源 与效率的关系，解决资
源分配问题。
03
反比例函数应用题
反比例函数的概念与性 质
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解反比例函数的基本概念和性质是解决反比例函数应用 题的基础。
反比例函数是一种特殊的函数，其特点是当一个变量增大 时，另一个变量会减小，且它们的乘积为常数。反比例函 数的图像通常在第一象限和第三象限，且随着k值的正负变 化，图像会出现在不同的象限。反比例函数的性质包括： 当k>0时，图像在第一象限和第三象限；当k<0时，图像 在第二象限和第四象限。此外，反比例函数的导数和积分 也有其特殊性。
函数应用题的类型与解题步骤
类型
常见的函数应用题类型包括最优化问题、增长率问题、储蓄 贷款问题等。
解题步骤
解函数应用题的一般步骤包括审题、建模、求解和验证四个 步骤。
函数应用题在数学中的重要性
01
02
03
实际应用
函数应用题是数学与实际 生活联系的重要桥梁，能 够帮助学生理解数学在实 际问题中的应用。
地解决这类问题。同时，这些实际应用也可以为解题提供一些启示和思路。
04
二次函数应用题
二次函数的概念与性 质
二次函数的一般形式
$y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
二次函数的开口方向
由系数 $a$ 决定，$a > 0$ 向 上开口，$a < 0$ 向下开口。
二次函数的对称轴
验证解是否符合题目的实际情 况。
将一次函数应用于实际问题中， 如路程、速度、时间问题等。
一次函数应用题的实际应用
利用一次函数表示资源 与效率的关系，解决资
源分配问题。
03
反比例函数应用题
反比例函数的概念与性 质
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解反比例函数的基本概念和性质是解决反比例函数应用 题的基础。
反比例函数是一种特殊的函数，其特点是当一个变量增大 时，另一个变量会减小，且它们的乘积为常数。反比例函 数的图像通常在第一象限和第三象限，且随着k值的正负变 化，图像会出现在不同的象限。反比例函数的性质包括： 当k>0时，图像在第一象限和第三象限；当k<0时，图像 在第二象限和第四象限。此外，反比例函数的导数和积分 也有其特殊性。
函数应用题的类型与解题步骤
类型
常见的函数应用题类型包括最优化问题、增长率问题、储蓄 贷款问题等。
解题步骤
解函数应用题的一般步骤包括审题、建模、求解和验证四个 步骤。
函数应用题在数学中的重要性
01
02
03
实际应用
函数应用题是数学与实际 生活联系的重要桥梁，能 够帮助学生理解数学在实 际问题中的应用。
地解决这类问题。同时，这些实际应用也可以为解题提供一些启示和思路。
04
二次函数应用题
二次函数的概念与性 质
二次函数的一般形式
$y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
二次函数的开口方向
由系数 $a$ 决定，$a > 0$ 向 上开口，$a < 0$ 向下开口。
二次函数的对称轴
验证解是否符合题目的实际情 况。
将一次函数应用于实际问题中， 如路程、速度、时间问题等。
一次函数应用题的实际应用
九年级数学函数及方程的应用总结课件(共15张PPT)
函数及方程的应用
1.行程问题
2.工程问题
3．经济问题 4.数字问题
5.设中间参数的问题
• 行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。 关系式为：
①路程=速度×时间；②速度=？ ；③时间= ？
•可寻找的相等关系有：路程关系、时间关系、速度关系
•在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。如相遇 问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问 题却通常以时间作相等关系，在航行问题中很多时 候还用速度作相等关系。
◇几何问题 ◇溶液（混合物）问题
某部队开展支农活动，甲队27人，乙队19人，现 ◇设而不求类问题 2倍，问应调 另调26人去支援，使甲队是乙队的 往甲队、乙队各多少人？
◇调配（分配） “总量不变” ◇和倍差倍问题:
◇增长率问题:
列方程解应用题的步骤： 1.审题：理解题意，弄清已知量、未知量及它们之间 的关系 2.设元：选择适当的未知数，可直接设 元，也可间 接设元（设元的语句必须完整，并包括元素名称及单 位） 3.列方程：用含未知数的式子表示问题中的相等关系 4.解方程:解所列方程,准确求出未知数的值 5.写答案:检验所列方程的解,符合题意后,写出答案,并 注明单位名称
航行问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在 不同的条件下会发生变化： ①顺水（风）速度= 静水（无风）速度 + 水流速度（风速） 静水（无风）速度－水流速度（风速） ②逆水（风）速度=
由此可得到航行问题中一个重要等量关系： 静水（无风）速度＝ 顺水（风）速度－水流速度（风速） ＝ 逆水（风）速度+水流速度（风速）。
例11. 一个六位数的最高位上的数字是1，如果把这个数字移 到个位数的右边，那么所得的数等于原数的3倍，求原数。
函数应用题专题复习课件
05
函数应用题易错点与注意事项
概念理解不清
总结词
概念理解是解题的基础，如果对函数的概念 理解不清晰，会导致解题思路出现偏差。
详细描述
在函数应用题中，学生需要清晰理解函数的 定义、性质和特点，才能正确分析问题并建 立数学模型。如果对函数的概念理解不准确 ，会导致对问题的分析出现偏差，进而影响
解题的正确性。
函数应用题在数学中的地位与作用
总结词
函数应用题在数学中具有重要地位和作用，能够培养学生解决实际问题的能力 。
详细描述
函数应用题是数学中的重要题型之一，它能够帮助学生理解数学与实际生活的 联系，提高解决实际问题的能力。此外，函数应用题还能够培养学生的数学思 维和数学建模能力，为未来的学习和工作打下基础。
三角函数应用题
总结词
周期性、角度是关键。
详细描述
三角函数在解决实际问题时具有广泛应用，如物理学中的简谐振动、交流电等。解决三角函数应用题 需要理解函数的周期性，掌握角度的计算和三角函数的性质。同时，还需要运用数形结合的方法，通 过图像来理解和求解问题。
分式函数应用题
总结词
注意分母不能为0，图像多在x轴上方。
建模法适用于解决一些较为复杂、抽象的函数应用题，如经济问题、物理问题等。
04
函数应用题实例分析
实际生活中的函数应用题
总结词
贴近生活，实用性强
详细描述
实际生活中的函数应用题通常涉及到生活中的实际问题，如路程、速度、时间的关系， 商品价格和销售量的关系等。解决这类问题需要运用函数知识，建立数学模型，并运用
数学方法进行求解。
数学竞赛中的函数应用题
总结词
难度较高，思维性强
详细描述
中考数学总复习课件： 二轮专题复习 函数的应用 (共40张PPT)
月份n/月 成本y/(万元/件)
1 11
2 12
需求量x/(件/月)
120
100
b 【思路引导】设 y＝a＋x，将表中相关数据代入可求得 a，b， 600 根据 12＝18－(6＋ x )，可作出判断．
b 解：根据题意，设 y 与 x 满足的解析式为 y＝a＋x，
11＝a＋ b ， 120 a＝6， 600 由表中数据可得 解得 ∴y＝6＋ x ， b b＝600， 12＝a＋100，
600 600 由题意，若 12＝18－(6＋ x )，则 x ＝0， 600 ∵x＞0，∴ x ＞0.∴一件产品的利润不可能为 12 万元．
(2)求 k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损； 【思路引导】将 n＝1，x＝120 代入 x＝2n2－2kn＋9(k＋3)可求得 k 的值， 600 先由 18＝6＋ x 求得 x＝50，根据 50＝2n2－26n＋144 可判断．
(1)求该二次函数的解析式； (2)请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L(单位：
元/千克)最大？最大平均利润是多少？(注：平均利润＝销售价－平均成本)
【思路引导】(1)将x＝4，y＝2和x＝6，y＝1分别代入y＝ax2＋bx＋10，求 得a，b即可．(2)根据“平均利润＝销售价－平均成本 ”列出函数解析式 ， 配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．
(3)在这一年12个月中，若第m个月和第(m＋1)个月的利润相差最大，求m.
【思路引导】第m个月的利润W＝x(18－y)＝24(m2－13m＋47)，第(m＋1) 个月的利润为W′＝24[(m＋1)2－13(m＋1)＋47]＝24(m2－11m＋35)，分情况作
差结合m的范围，由一次函数性质可得．
高中函数的应用ppt课件ppt课件ppt
在生物学中，二次函数可以用于描述 种群增长、生物繁殖和生态平衡等现 象。
物理学
在物理学中，二次函数可以用于描述 物体的运动轨迹、振动和波动等现象 。
二次函数与其他数学知识的结合
与导数结合
通过求导数，可以研究二次函数的单调性、极值 和拐点等性质。
与三角函数结合
通过与三角函数的结合，可以研究一些周期性和 对称性问题。
的交叉也将越来越深入。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，
函数都有广泛的应用。
02
数学建模的普及
随着数学建模的普及，函数作为数学建模的重要工具之一，其应用也将
越来越广泛。通过数学建模，学生能够更好地理解现实世界中的问题，
并运用数学方法来解决这些问题。
03
新函数类型的出现
随着数学的发展，新的函数类型也将不断出现。例如，分形函数、混沌
分式函数在交通工程中的应用
在交通工程中，分式函数可以用来描述车辆行驶的速度和时 间之间的关系，以及道路通行能力与车辆数量之间的关系。 通过分式函数的分析，可以优化交通流量的分配和管理。
分式函数与其他数学知识的结合
分式函数与导数的结合
分式函数的导数可以用来研究函数的单调性、极值和拐点等问题。通过导数的计 算和分析，可以更好地理解分式函数的性质和变化规律。
度、长度、面积和体积等。
三角函数在解析几何中的应用
02
通过三角函数，可以将几何问题转化为代数问题，从而利用代
数方法求解。
三角函数在复数中的应用
03
复数中的三角函数可以用于解决与周期性、波动性和旋转相关
的问题。
三角函数在实际生活中的应用
航海和航空中的应用
通过三角函数，可以计算航行路线、飞行轨迹和高度等。
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“这里才是适合我的孩子居住的地方！”
断织督学
做事必须要有恒心。孟子具有天生的灵性，但也有 一般幼童的贪玩。一天，孟子竟逃学到外面玩了半天。
儿子回家时，孟母不声不响拿起剪刀将织成的锦绢
拦腰剪成两段，就在孟子惊愕不解时，孟母说道： “你的废学，就像我剪断织绢！一个君子学以成名，
你今天不读书，今后永远就只做一些萦萦苟苟的小 事。”孟母用“断织”来警喻“辍学”，指出做事半 途而废，后果是十分严重的。这一幕在孟子小小的心 灵中，留下了鲜明印象，从此孜孜汲汲，日夜勤学不
即2005年底该乡能=达82到01.小25+康28水.9平。
五、几何模型
把数学应用题翻译成数学中的几何问题，通过几何知识解决。
例5.炮弹的运行轨道若不计空气阻力是抛物线, 现测得我炮位A与目标B的水平距离 为6000m时,而当射程是6000m时,炮弹运行轨道的最大高度是1200m,在A, B间距离A 点500m处有一高度为350m的障碍物, 试计算炮弹能否越过障碍物 ?
分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。
该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润
年份 97
98
99
2000
… （第n年）
（n=1） （n=2） （n=3） （n=4）
甲企业 乙企业 总利润
320
720 320 720
3201.5
720 2 3
3201.52
720
2
2
3
3201.53
例2、批零文具店规定，凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算 ,批发价每购60支比零售60支少1元,现有班长小王来购买铅笔,若给全 班每人买1支铅笔,则必须按零售价结算,需用m元(m为自然数),但若多 买10支,则可按批发价结算恰好也用m元,问该班共有多少名学生?
解 : 设全班共有x人,则零售价为m 元,批发价为 m 元,
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
让我们走近这两位先哲，让他们思想 的光环也闪耀在我们这一代人的心中！
综合性学习 我所了解的孔子和孟子
圣人孔子
• 孔子，名丘，字仲尼， 春秋时期鲁国人。他 的祖先是宋国贵族， 大约在孔子前几世没 落了，失掉了贵族的 地位，《史记》称 “孔子贫且贱”，孔 子自己也说：“吾少 也贱，故能多鄙事。” （《论语·子罕》）
故炮弹能越过障碍物。
小结：
数学应用题并不难，求解过程通常分三步：
1、阅读理解：即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学 本质,弄清题中出现的量及其数学含义。 2、根据各个量的关系,进行数学化设计,即建立目标函数,将实际问题转化为 数学问题（。常用列表法，画图法等来帮助理解。） 3、进行标准化设计,即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决。
故有：设利润为 y元，零售价上涨x元
y=（50+x-40）（50-x） （其中 0〈x〈50）） =-x2 +40x+500
x 202 900
900当且仅当x 20时等号成立
即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润. 最高利润为900元.
二、方程模型
许多数学应用题都要求我们求出一个（或几个）量来，或求出 一个（或几个）量以后就可导致问题的最终解决，解方程（组） 就是最有效的工具。
例 4、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业， 1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每 年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的2 。 根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达3到 8100万元可以达到小康水平. （1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是 哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？ （2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？
∴当t=200，即 x 10 2 ymin 200 10 2 当t=100或t=400即x=10或20时，ynax 300 10 3
故若DE是输水管道的位置，则需使 x 10 2 若DE是参观线路，则需使x=10或20
思考：DE的几何意义是什么？
四、数列模型
如果数学应用题中涉及的量，其变化带有明显的离散性， 那么所考查的很有可能就是数列模型。
楚国某县尹问孔子弟子,请他谈谈对孔子
的看法,弟子木讷小心,一言不发,县尹只得 怏怏而回.孔子得知后,很不高兴,怨道:“你为 什么不说:‘我的老师是个发愤忘食,乐而忘忧
的学者啊?’”
孔子的弟子子路,为人刚勇,一日在 孔家弹瑟,瑟声中带有杀气,犯了孔
子的大忌--仁.孔子自然不喜欢,又
不便发作,就不满道:"子路弹瑟的本 领已经登上厅堂,但尚未能进入内
（1） 设AD=x(x≥10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式；
（2） 如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短， DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的 位置又应该在哪里？说明现由。
分析要求y与x的函数关系式，就是找出
DE与AD的等量关系。 （1）三角形ADE中角A为600
y
x2
4 104 x2
200
400 200 10
2,当且仅当x2
4 104 x2
即x 10 2时,
若DE做为参观线路，须求y的最大值。
令 x2 t [100,400], y t 4 104 200
设
t
f
(t )
t
4 10 4 t
, 任取100
t1
t2
400 ,
f
(t1)
f
(t2 )
例1、某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出 50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一 个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润.
分析：利润=（零售价—进货单价）销售量
零售价 50 51 52 53 …. 50+x 销售量 50 49 48 47 …. 50-x
解:建立如图坐标系 则C（3000，1200） 1200 y C
x 3000 2 2 py 1200 为弹道运行的抛物线方 程
又A0,0在抛物线上,所以p 3750
从而弹道方程为
x 30002 7500y 1200
当x 500时, y 367 350
A 500 3000
B
6000 x
孔子十五岁立志学习，先后 做过吹鼓手、仓库和牧场管 理员、小司空(掌管工程)及 司寇(掌管刑法)，曾拜老子 为师；五十多岁后周游列国， 宣传自己的政治主张。晚年 收徒讲学，并著书立说，编 修整理了《诗》、《书》、 《礼》、《乐》、《周易》、 《春秋》等书，直至七十三 岁逝世。
孔府
亚圣孟子
战国时期伟大的思想家， 名轲，邹（今山东邹县） 人。他幼年丧父，家庭贫 困，在母亲的教导下勤奋 学习。青年时以士的身份 游说诸侯，推行自己的政 治主张，后来退居讲学。 孟子继承和发展了孔子的 思想，提出一套完整的思 想体系，对后世产生了极 大的影响，被尊奉为“亚 圣”。
（通常用解方程（组）、解不等式（组）、利用函数的单调性等 ）
作业：〈教与学〉P34. 7,8
欢迎指导!
孔子和孟子的生平
孔子和孟子是春秋战国时期著名的思 想家、教育家，在两千多年的封建社会 里，被尊为“圣人”和“亚圣”。他们 的思想观念，对中国社会产生过深远的 影响，甚至远及日本、朝鲜、欧洲等地， 在世界文化史上占有相当重要的地位。
720 2 3 3
3201.5n1
720 2n 1 Nhomakorabea3
略解：（1）设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。
y=3201.5n1+
720
2
n 1
3
2
320
3
n 1
720
2
n 1
960
2
3
当且仅当n=2时，即98年总利润最少为y=960万元。
（2）故20还05需年筹时，集n2=090此0时-9y6=0=31200401万.58元 才72能0解 32决温8 饱问题。
息。
孔子和孟子 作为圣人体现 出的思想光辉
寓学于乐
让我们用游戏的方式体会他们的不平凡
看故事 猜成语 明事理 学做人
孔子在齐国,有机会欣赏到 他认为最美妙的韶乐. 谓其 “尽善矣,又尽美也!”（极 动听优美）而后大受感动, 一连好多天老是想着它,吃 肉也没有味道了.
尽善尽美:
形容做事情力求完美, 毫无缺陷
• 孔子为人，有时很豪放，他说他自己是“发愤忘食，乐以忘 忧，不知老之将至”的人；可是有时又很拘谨，循规蹈矩不 敢超越古代的礼仪一步，他走进朝廷的门，那种谨慎的样子，
好像自己没有容身之地一般。
• 孔子不懂农业生产， 也鄙视劳动。
• 孔子也有被难倒的 时候，并非“万事 通”。
从上面这些事实看来，孔子并不是一个道貌岸然 的超人，更不是先天的圣人，而是一个有感情、有 性格、有抱负、又有世俗心理的现实的人。
x
x 10
由题设得
60 m m 1 (40 x 50)
x x 10
解得, m x(x 10) 又x, m N,所以x 50, m 5
600
断织督学
做事必须要有恒心。孟子具有天生的灵性，但也有 一般幼童的贪玩。一天，孟子竟逃学到外面玩了半天。
儿子回家时，孟母不声不响拿起剪刀将织成的锦绢
拦腰剪成两段，就在孟子惊愕不解时，孟母说道： “你的废学，就像我剪断织绢！一个君子学以成名，
你今天不读书，今后永远就只做一些萦萦苟苟的小 事。”孟母用“断织”来警喻“辍学”，指出做事半 途而废，后果是十分严重的。这一幕在孟子小小的心 灵中，留下了鲜明印象，从此孜孜汲汲，日夜勤学不
即2005年底该乡能=达82到01.小25+康28水.9平。
五、几何模型
把数学应用题翻译成数学中的几何问题，通过几何知识解决。
例5.炮弹的运行轨道若不计空气阻力是抛物线, 现测得我炮位A与目标B的水平距离 为6000m时,而当射程是6000m时,炮弹运行轨道的最大高度是1200m,在A, B间距离A 点500m处有一高度为350m的障碍物, 试计算炮弹能否越过障碍物 ?
分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。
该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润
年份 97
98
99
2000
… （第n年）
（n=1） （n=2） （n=3） （n=4）
甲企业 乙企业 总利润
320
720 320 720
3201.5
720 2 3
3201.52
720
2
2
3
3201.53
例2、批零文具店规定，凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算 ,批发价每购60支比零售60支少1元,现有班长小王来购买铅笔,若给全 班每人买1支铅笔,则必须按零售价结算,需用m元(m为自然数),但若多 买10支,则可按批发价结算恰好也用m元,问该班共有多少名学生?
解 : 设全班共有x人,则零售价为m 元,批发价为 m 元,
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
让我们走近这两位先哲，让他们思想 的光环也闪耀在我们这一代人的心中！
综合性学习 我所了解的孔子和孟子
圣人孔子
• 孔子，名丘，字仲尼， 春秋时期鲁国人。他 的祖先是宋国贵族， 大约在孔子前几世没 落了，失掉了贵族的 地位，《史记》称 “孔子贫且贱”，孔 子自己也说：“吾少 也贱，故能多鄙事。” （《论语·子罕》）
故炮弹能越过障碍物。
小结：
数学应用题并不难，求解过程通常分三步：
1、阅读理解：即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学 本质,弄清题中出现的量及其数学含义。 2、根据各个量的关系,进行数学化设计,即建立目标函数,将实际问题转化为 数学问题（。常用列表法，画图法等来帮助理解。） 3、进行标准化设计,即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决。
故有：设利润为 y元，零售价上涨x元
y=（50+x-40）（50-x） （其中 0〈x〈50）） =-x2 +40x+500
x 202 900
900当且仅当x 20时等号成立
即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润. 最高利润为900元.
二、方程模型
许多数学应用题都要求我们求出一个（或几个）量来，或求出 一个（或几个）量以后就可导致问题的最终解决，解方程（组） 就是最有效的工具。
例 4、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业， 1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每 年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的2 。 根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达3到 8100万元可以达到小康水平. （1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是 哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？ （2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？
∴当t=200，即 x 10 2 ymin 200 10 2 当t=100或t=400即x=10或20时，ynax 300 10 3
故若DE是输水管道的位置，则需使 x 10 2 若DE是参观线路，则需使x=10或20
思考：DE的几何意义是什么？
四、数列模型
如果数学应用题中涉及的量，其变化带有明显的离散性， 那么所考查的很有可能就是数列模型。
楚国某县尹问孔子弟子,请他谈谈对孔子
的看法,弟子木讷小心,一言不发,县尹只得 怏怏而回.孔子得知后,很不高兴,怨道:“你为 什么不说:‘我的老师是个发愤忘食,乐而忘忧
的学者啊?’”
孔子的弟子子路,为人刚勇,一日在 孔家弹瑟,瑟声中带有杀气,犯了孔
子的大忌--仁.孔子自然不喜欢,又
不便发作,就不满道:"子路弹瑟的本 领已经登上厅堂,但尚未能进入内
（1） 设AD=x(x≥10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式；
（2） 如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短， DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的 位置又应该在哪里？说明现由。
分析要求y与x的函数关系式，就是找出
DE与AD的等量关系。 （1）三角形ADE中角A为600
y
x2
4 104 x2
200
400 200 10
2,当且仅当x2
4 104 x2
即x 10 2时,
若DE做为参观线路，须求y的最大值。
令 x2 t [100,400], y t 4 104 200
设
t
f
(t )
t
4 10 4 t
, 任取100
t1
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(t1)
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(t2 )
例1、某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出 50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一 个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润.
分析：利润=（零售价—进货单价）销售量
零售价 50 51 52 53 …. 50+x 销售量 50 49 48 47 …. 50-x
解:建立如图坐标系 则C（3000，1200） 1200 y C
x 3000 2 2 py 1200 为弹道运行的抛物线方 程
又A0,0在抛物线上,所以p 3750
从而弹道方程为
x 30002 7500y 1200
当x 500时, y 367 350
A 500 3000
B
6000 x
孔子十五岁立志学习，先后 做过吹鼓手、仓库和牧场管 理员、小司空(掌管工程)及 司寇(掌管刑法)，曾拜老子 为师；五十多岁后周游列国， 宣传自己的政治主张。晚年 收徒讲学，并著书立说，编 修整理了《诗》、《书》、 《礼》、《乐》、《周易》、 《春秋》等书，直至七十三 岁逝世。
孔府
亚圣孟子
战国时期伟大的思想家， 名轲，邹（今山东邹县） 人。他幼年丧父，家庭贫 困，在母亲的教导下勤奋 学习。青年时以士的身份 游说诸侯，推行自己的政 治主张，后来退居讲学。 孟子继承和发展了孔子的 思想，提出一套完整的思 想体系，对后世产生了极 大的影响，被尊奉为“亚 圣”。
（通常用解方程（组）、解不等式（组）、利用函数的单调性等 ）
作业：〈教与学〉P34. 7,8
欢迎指导!
孔子和孟子的生平
孔子和孟子是春秋战国时期著名的思 想家、教育家，在两千多年的封建社会 里，被尊为“圣人”和“亚圣”。他们 的思想观念，对中国社会产生过深远的 影响，甚至远及日本、朝鲜、欧洲等地， 在世界文化史上占有相当重要的地位。
720 2 3 3
3201.5n1
720 2n 1 Nhomakorabea3
略解：（1）设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。
y=3201.5n1+
720
2
n 1
3
2
320
3
n 1
720
2
n 1
960
2
3
当且仅当n=2时，即98年总利润最少为y=960万元。
（2）故20还05需年筹时，集n2=090此0时-9y6=0=31200401万.58元 才72能0解 32决温8 饱问题。
息。
孔子和孟子 作为圣人体现 出的思想光辉
寓学于乐
让我们用游戏的方式体会他们的不平凡
看故事 猜成语 明事理 学做人
孔子在齐国,有机会欣赏到 他认为最美妙的韶乐. 谓其 “尽善矣,又尽美也!”（极 动听优美）而后大受感动, 一连好多天老是想着它,吃 肉也没有味道了.
尽善尽美:
形容做事情力求完美, 毫无缺陷
• 孔子为人，有时很豪放，他说他自己是“发愤忘食，乐以忘 忧，不知老之将至”的人；可是有时又很拘谨，循规蹈矩不 敢超越古代的礼仪一步，他走进朝廷的门，那种谨慎的样子，
好像自己没有容身之地一般。
• 孔子不懂农业生产， 也鄙视劳动。
• 孔子也有被难倒的 时候，并非“万事 通”。
从上面这些事实看来，孔子并不是一个道貌岸然 的超人，更不是先天的圣人，而是一个有感情、有 性格、有抱负、又有世俗心理的现实的人。
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由题设得
60 m m 1 (40 x 50)
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解得, m x(x 10) 又x, m N,所以x 50, m 5
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