中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)含答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y.

（1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ；

（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.

【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=

+y x 02<≤x 1422

=x . 【解析】 分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出DM ME BD AE =，进而得出AE =122

x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD

==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．

详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°．

∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ．

∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ，

∴AC =AM ．

（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ．

∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ．

∵DE ∥AB ，∴

DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =122x （）． ∵DE ∥AB ，∴2OA OC DM OE OD OD

==， ∴22

DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜

（3）（i）当OA=OC时．∵

111

222

DM BM OC x

===．在Rt△ODM

中，

222

1

2

4

OD OM DM x

=-=-．

∵

2

1

2

12

2

4

x

DM x

y

OD x

x

=∴=

+

-

，．解得142

2

x

-

=，或

142

2

x

--

=（舍）．

（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞

∠AOC，∴此种情况不存在．

（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．

即：当△OAC为等腰三角形时，x的值为

142

2

-

．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键．

2．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .

（1）求证：直线PD是⊙A的切线；

（2）若PC=25，sin∠P=

2

3

，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．

【答案】（1）见解析；（2）20-4π.

【解析】

分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.

（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.

详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，

又PD=BC，∴AD=PD，

∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，

∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，

∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，

∴PD是⊙A的切线.

（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=

2

3

CD

PD

，PC=25，

令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(25)2，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，

∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，

∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为1

2

×4×2=4，

扇形ABE的面积为1

2

π×42=4π，

∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.

点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.

3．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．

（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若sin∠ABE=3

，CD=2，求⊙O的半径．

【答案】（1）直线BE与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O

3

【解析】

分析：（1）连接OE ，根据矩形的性质，可证∠BEO =90°，即可得出直线BE 与⊙O 相切； （2）连接EF ，先根据已知条件得出BD 的值，再在△BEO 中，利用勾股定理推知BE 的长，设出⊙O 的半径为r ，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值． 详解：（1）直线BE 与⊙O 相切．理由如下：

连接OE ，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ．

∵OD =OE ，∴∠OED =∠ODE ．

又∵∠ABE =∠DBC ，∴∠ABE =∠OED ，

∵矩形ABDC ，∠A =90°，∴∠ABE +∠AEB =90°，

∴∠OED +∠AEB =90°，∴∠BEO =90°，∴直线BE 与⊙O 相切；

（2）连接EF ，方法1：

∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2．

∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=

∴23DC BD sin CBD

∠== 在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =．

∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴

2222DC AE AE AE BC AB ，，==∴=， 由勾股定理求得6BE =

在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2． 设⊙O 的半径为r ，则222623r r +=（）（）

，∴r 3， 方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°．

∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2．

∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=

． 设3DC x BD x ==，，则2BC x =．

∵CD =2，∴22BC =．

∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴

2222

DC AE AE AE BC AB ，，==∴=， ∴E 为AD 中点．