高中数学必修4两角和与差的三角函数

两角和与差的三角函数

【知识要点回顾】

1. 两角和与差的正弦、余弦、正切

cos(βα+)= ; sin(βα+)= ; tan(βα+) cos(βα-)= ; sin(βα-)= ; tan(βα-)

2. 二倍角的正弦、余弦、正切 sin2α= ；

cos2α= = = ; tan2α= . 3. 公式的推导与联系.

【例题讲解】

例1 ：求下列三角函数的值：

（1） 若θ为锐角，53sin =θ，求)6cos(π

θ+的值；

（2） 若α为锐角，5

3

)6sin(=-πα，求 cosα的值。

例2：利用已知角和特殊角表示下列角：

（1）已知角α+β、α-β，则2α= ，2β= ；

（2）已知角βπ

πα+-4

3,4，则α+β= ； （3）△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，已知2

C

A -=α，则A= ，

C= 。

例3：（1）已知的范围，求βαβαπβπ

α-+<<<<,2

0；

（2）已知)4

sin(,232,53)4cos(παπαππ

α+<≤=+求

例4：已知α、β为锐角，的值。求ββααcos ,3

1

)tan(,54cos -=-=

例5：

的值。求且设)sin(,13

5

)43sin(,53)4cos(),4,0(),43,4(βαβππαπβππα+=+=-∈∈

例6：的值。求已知)4

2cos(,232,53)4cos(παπαππ

α+<≤=+

例7：利用向量的方法证明两角和的余弦公式：

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

【考点针对训练】

一.选择题

1．已知tan （βα+）==+=-

)4

tan(,41)4tan(,5

2

π

απ

β则( ) A ．1813 B ．22

13 C ．183 D ．223

2．若

5tan 1tan 1=+-A A ，则)4

(cot A +π

的值为

.A 5- .B 55-

.C 5 .D 5

5

3.已知2cot =α，5

2

)tan(-

=-βα，则)2tan(αβ-的值为：( ) A.61 B.61- C.121 D.121- 4．︒⋅︒⋅︒75sin 30sin 15sin 值为

.A

43 .B 81 .C 8

3

.D 41

5. 12

cos 12

sin

2

2

π

π

-的值为（ ）

A. 21-

B. 21

C. 23-

D. 2

3

6．

︒

︒-︒︒

︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为（ ）

.A 32+ .

B 232+ .

C 32- .

D 2

3

2- 7. 若f(cosx)=cos2x ，则f(sin15°)的值等于 （ ） A ．12

B ．－1

2

C. 32

D ．－ 3

2

8.已知1352

sin

=

α

，13

122cos -=α，则角α所在的象限是：( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9．已知3

sin(

)45x π

-=，则sin 2x ＝ （ ） A ．1925 B ．1625 C ．725 D ．1425

10．8cos 228sin 12++-等于（ ） A.2sin 4—4cos4 B.-2sin4-4cos4 C.-2sin4 D.4cos4-2sin4 11.已知锐角θ满足：x

x 21

2

sin

-=

θ

则tanθ等于（ ） A. x B.

1

1-+x x C.

x

x 1

2- D. 12-x

12．若πα<<0，2

1

cos sin =

+αα，则α2cos 的值为（ ） .

A 47 .

B 41- .

C 47± .

D 4

7

-

二.填空题

13.=+--+-)29sin()31sin()29cos()31cos(x x x x 14．已知15

sin 17

α=，(,)2παπ∈则cos()3πα-=

15．若3

sin(

)25

π

α+=

，则cos 2α＝

16．计算：︒

︒

+︒25cos 20sin 20cos 的值是___________.

17.若α，β均为锐角，且sinα－sinβ=－12 ,cosα－cosβ=1

2 则tan(α－β)的值为：

___________。

三．解答题

18．已知sin a =)tan(),sin(),2

3,(,1312cos ),,2

(,5

3βαβαπ

πββππ

α--∈-

=∈求