二重积分的换元法

f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D
的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
x
练习
计算
e
D
x2 y2
dxdy
y a
其中积分区域 D为x 2 y 2 a 2 . 由直角坐标化 x r cos 解 极坐标公式 y r sin
圆的极坐标方程为 r a
D o
a x
0 r a 故 D: 0 2
e
D
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分 .



D

则 r r 于是面积微元 d r drd
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
D
r r2 ( )

o




d
r1 ( )
r2 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r ( )
D
0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
例1
计算
2 2 ( 1 x y )dxdy D
y
D


0 d 0 (1 r
0
2
2
1
D
2
)rdr
1 2 1 4 1 [ r r ]0 d 2 4
0 d 0 (r r
0
2
2
1
其中积分区域D为( x a ) 2 y 2 a 2 .
解
故
( x a ) 2 y 2 a 2 r 2a cos y 0 r 2a cos D: o 2 2
3
)dr
1 d 2 4
1
其中积分区域 D为x 2 y 2 1. 由直角坐标化 x r cos 解 o 极坐标公式 y r sin 圆的极坐标方程为 r 1 0 r 1 故 D: 0 2 2 2 2 ( 1 x y ) dxdy (1 r )rdrd
x2 y2
dxdy 0 d0 e
2
a
r 2
rdr
a 2 2 1 2 1 2 a r r 2 d 0 d 0 e d ( r ) 0 e 0 2 2 2
(1 e a ).
例2
计算

D
x 2 y 2 d
第三讲 二重积分的换元法
• 内容提要
1.二重积分的换元积分公式； 2.极坐标系下二重积分的计算。
பைடு நூலகம்
• 教学要求
1.掌握二重积分的换元积分公式； 2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。
复习：二重积分在直角坐标系下的计算 1. 在直角坐标系下二重积分
y
f ( x , y ) d f ( x , y ) dxdy D
故
o

r r r
f ( x , y )d f ( r cos , r sin ) r dr d D D
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u, v ), y y( u, v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x ( u, v ), y( u, v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； ( x, y) ( 2) 在 D 上雅可比式 J ( u, v ) 0; ( u, v ) ( 3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
D
y dy y
D
d
2.二重积分在直角坐标系下的计算：
o
x x dx
x

D
f ( x , y )dxdy X 型
Y 型
a dx ( x )
b
1
2 ( x )
f ( x , y )dy
c
d
dy 1 ( y ) f ( x , y )dx

2( y)
预备知识：
1. 如图:
扇环的面积
的近似公式：

近似地看成以l 和 r 为邻边的矩形
即 l r r r
l

r
r
2. 曲线的极坐标方程: r r ( )
r r ( )

o


x
1.二重积分的换元法 (1) 在直角坐标系下计算二重积分时，
下非常烦琐，
在某些情况
D




r ( ) d 0
o


f ( r cos , r sin ) r dr
r r ( )
D
（3）极点 O 在区域 D 的内部
0 r r ( ) D: 0 2 f (r cos , r sin ) r dr d
D


o

0 d 0
如积分区域为a x y b
2 2 2
2
y
必须化为四个小区域来计算， 相当麻烦。
o
x
因此，有必要学习在其他坐标系下如极坐标系下计算二重 积分.这就需要进行变量代换，有如下定理.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u, v ), y y( u, v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x ( u, v ), y( u, v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； ( x, y) ( 2) 在 D 上雅可比式 J ( u, v ) 0; ( u, v ) ( 3) 变换 T : D D 是一对一的，则有