二重积分的换元法

合集下载

二重积分的换元法

所围成的闭区域.
y
解区域 D 的图形如右图令 u = y − x, v = y + x 解得变换式
v u x 2 y v u 2
x+ y=2
D
O x
5
则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
D1
(u, v )
v u v , 0 v 2 ,
2
D1
c O a b u
0
( u , v ) D1
故
A
d x d y
D

d
v (1 u )
2
dudv
1 1 u
b
D1

b a
du (1 u )
2

vdv (
2
)(
a
1 2
d
v
2 c
)
c

( b a )( d
2
c )
8
2 (1 a )(1 b )

D
f ( x , y )d x d y

D1
f [ ( u , v ), ( u , v )]
(x, y) (u, v )
dudv
3
注1
雅可比 (J a c o b i ) 行列式为 x , y 对 u , v 的偏导数所记为
x v y v
构成的函数行列式.
在直角坐标系下二重积分的计算的公式有
y
b a

D
f ( x , y )d

dx
2( x) 1 ( x )
y 2(x)

重积分的换元法

(u,v) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换元形式的选择 ,可根据积分区域 D或被积函数 f(x,y)选择 ,使换元后的积分区域 D 不分块 ,换元后的被积函数 f(x,y)易于积出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点坐，标直与角极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从平极面 r坐 o到标直角
坐标平x面 oy的一种变即换对，于ro平面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变换是一对一的．
.
定理设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ，且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计算二重积分 x2y2dxdy,其中 D是由双曲线 D
xy1和 xy2,直线 yx和 y4x所围成的第一象
解限内根的据区积域分 . 区域 D的特点，令 uxy,vy, x

二重积分的换元法

二重积分的换元法
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。

第三节二重积分的换元法

( x2 y2 )dxdy
D
3 d
6
4sin r 2 rdr 15(
2sin
4
3 ). 8
例 6 计算二重积分 sin( x 2 y2 ) dxdy ,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 sin( x2 y2 ) dxdy
3.将二次积分01dx0 x x2 f ( x, y)dy化为
极坐标下的二次积分.
答案：
1.
dx 2
1 x
1
0
f (x,
y)dy;
2. 4.
3.0 2
d cos 0
f
(r
cos,
r
sin)rdr
高等数学
作业习题3: 1--5, 7, 8, 6*.
习题解答:
高等数学
P99：6. 交换积分次序:
x2dy
D1
D
4 x2dxdy 8 x2dxdy
D D2
D1
802dx 0
4 x2
D2
x2dy
802 x2
4 x2dx
x
2
sin
t
80
2
4
sin2t
2 co s
t
2
co s 2dt
160 2 (1 cos4t)dt 8.
其中D1 : x2 y2 4, y 0; D2 : x2 y2 4, x 0, y 0;
在极坐标系下 x2 y2 a2 r a, ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 )
高等数学
D1
r a 2cos 2 ,
由r
a r
2

二重积分的换元(变换) 计算二重积分时,由于某些几分区域的边

1
1 1
1/ 20
（x，y） 1 1
R
f
(x
y )dxdy
R`
f
(u) 1dudv 2
1
1
1
dv du
1 * (1 1) 1
f (u)du
2 1
1
2
1
1
f (u)du
1
两点说明：
1、若变换T：X=X（u，v），Y=Y（u，v）。在R` 的个别点上有J=0。则结论依然成立。
2、事实上，若 P`（u0，v0） R`。使J(u0,v0)=0。
X-Y=1，X-Y=-1所组成。作变换得：u=x+y，
v=x-y。则此函数组将xy面上的正方形R：
|x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`：
-1<=u<=1，-1<=v<=1。且 y
x y 1
y x 1
R`
o
x
y x 1
x y 1
y
1
-1
o 1x
-1
J
（（xx，，yy））
1 （x，y）
ｋ＝ｘ（ｋ，ｋ），ｋ＝ｙ（ｋ，ｋ）
于是积分和
n
f（
，）
kk
k
k 1
n
f（x（，），y（，））J（，）
k
k
k
k
k
k
k
k 1
再根据隐函数组确定的反函数组存在定理知函数组 x=x(u,v), y=y(u,v)在R上存在有连续偏导数。反函数组u=u(x,y)， v=v(x,y) 由连续知必一致连续。
y=y（u,v）在 R’上存在连续偏导数。（u,v ） R,

二重积分的换元(变换) 计算二重积分时,由于某些几分区域的边界曲线

R R`
2 2
u
V4
dudv
2
=n
（n − m ）（ − −m 1 1 （ − ） = 3 3 3 3 2 3 3
2
α
β
β α） 6α β
3 3
1
例2 ：证明
∫∫ f ( x + y)dxdy = ∫ f (u)du
R −1
其中R：其中：|x|+|Y|<=1 证明：如图所示，是由直线X+Y=1。X+Y=证明：如图所示，R是由直线X+Y=1。X+Y=-1， X+Y=1 X-Y=1，X-Y=-1所组成。作变换得：u=x+y， Y=1， Y=- 所组成。作变换得：u=x+y， v=xv=x-y。则此函数组将xy面上的正方形R：则此函数组将xy面上的正方形R xy面上的正方形 |x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`： |x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`： uv面上的正方形R` -1<=u<=1，-1<=v<=1。且 1<=u<=1， 1<=v<=1。 y
y=βx
y
y=αx
v
β
y2=nx R y2=mx
o x
α
0
R`
m
n
u
解：根据二重积分的性质知：Ｓ＝根据二重积分的性质知：Ｓ＝ 2 作变换：ｕ＝ y 作变换：ｕ＝ v=y/x
x
∫∫ dxdxy
R
则此函数组将ｘｙ做表面上Ｒ变换成ｕｖ平面上的则此函数组将ｘｙ做表面上Ｒ变换成ｕｖ平面上的ｘｙ做表面上ｕｖ α 矩形域Ｒ β 矩形域Ｒ‘：ｍ＜＝ｕ＜＝ｎ；＜＝ｖ＜＝

二重积分换元法证明及推广新思路

二重积分换元法证明：首先，我们考虑一个定义在[a, b]上的函数f(x)，并且它在[a, b]上可导。

我们假设要求的是函数f(x)的积分，即：∫a b f (x) dx 假设我们将[a, b]分成n等分，每一等分的宽度为h=b-a/n，我们可以将[a, b]区间内的积分表示成如下形式：∫a b f (x) dx = h ∑i=1 n f(x_i) 其中，x_i 为[a, b]区间内的每一等分的中点。

接下来，我们考虑一个新的变量y，它的定义域为[0, 1]，值域为[a, b]，其函数关系式为： y=a+h(x-1) 根据此关系式，我们可以将[a, b]区间内的积分表示成如下形式：∫a b f (x) dx = h ∫0 1 f (y) dy 于是，我们可以得到：∫a b f (x) dx = ∫0 1 h f (a+h(x-1)) dx 这就是所谓的“二重积分换元法”。

推广新思路：在二重积分换元法中，我们可以把原来的定积分变成一个双重积分，从而使得数学计算变得更加简单。

因此，我们可以推广这种思路，将复杂的数学问题转化为更为简单的形式，从而使得计算变得更加容易。

此外，我们也可以考虑用此思路更深入地研究函数的性质，从而更好地理解函数的特性。

14-7.二重积分的换元法PPT

D
D2
u
J =2 J：部-Vvevdu = -£‘(2e - eT)vdv = e — e_1
例2计算JJ
1 -亳2-^22dxdy,其中D为 a b
D
22
椭圆Xr + % = 1所围成的闭区域.
ab
解作广义极坐标变
x = ar cos 0,
y = br sin
其中 a > 0, b > 0, r > 0, 0 < 0 0<, 2冗.
1,二重积分换元公式
__________ ______平_:面__上__同__一_■个_点.—，直角坐标与极坐标之
x = pcos^, 间的关系为 y = psin^.
上式可看成是从直角坐标平面po(P到直角
坐标平面 xoy 的一种变换，即对于皆湃
面上的一点M3,饥，通过上式变换，变成
xoy 平面上的一点M(x, y)，且这种变换是一对一的.
\x + y = =2
则 x = ,y= . 22
没
o
x
D — D,艮卩 x = 0 T u = —
v;
v
v=2
y = 0 T u = v;
u = —v
u=v
x + y = 2 T v = 2.
o
u
11
J = a (X, y) 2 2 1 d (u, v) 1 1 2,
22
y-x
u
故 JJ ey+Xdxdy = JJ ev -dudv
(3) 变换T : D'T D是一对一的，则有 JJ f ( x,
y )dxdy = JJ f [ x ( u, v ), y ( u, v )]| J ( u, v )

重积分的换元法

D
o
u
D：x y 1 u 1
x0 uv 0
y0 v0
D
x
y
e( x y)2 d
y
D
f
(u,v) |
J
| dudv
1
u
du
v
eu2 dv
0 0u
1 u eu2du
02
1 (e 1). 4
练习题
一、作适当的变换,计算下列二重积分:
1、 x 2 y 2dxdy, 其中D 是由两条双曲线xy 1 和
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u,
v)
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
y
，其中
D： x
y
1，
x 0和 y 0所围成.
思考题解答
y
令u
v
x
y
y
x
y
u
v
v ,
x y1
D
o
x
雅可比行列式J ( x, y) 1, (u, v )
v
uv
变换后区域为
例1 计算I (x y z) cos(x y z)2 dv, 其中
={(x, y, z) | 0 x y 1, 0 x z 1, 0 x y z 1}.
解: 为了使积分区域变得简单，我们作坐标变换：
x y u, x z v, x y z ,
于是 x 1 (u v ), y 1 (2u v ),
一、二重积分的换元法
平面上同一个点，直角坐标与极坐标之
间的关系为
x y

二重积分的换元法

机动
目录
上页
下页
返回
结束
*三、二重积分换元法
定理: 设 f ( x, y ) 在闭域 D上连续, 变换:
v
D
x x(u, v) (u, v) D D T : o y y ( u , v ) 满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上一阶导数连续; y (2) 在 D上雅可比行列式 ( x, y ) J (u , v) 0; (u , v)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
y y 1 ( x) c x o a bx
D2 D3
D
x 2 ( y)
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X-型域或Y-型域 , 则
D1
2
D D D
1

D3
机动
o
目录上页下页返回
x
结束
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解法1. 将D看作X–型区域, 则D : 1 x 2 y 2 x 2 x 2 yx 2 1 I d x x yd y 2 x y d x y 1 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 8 o 1 x 2x yx2 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 2 9 3 2 1 1 I d y x yd x 2 x y d y 2 y 2 y d y 1 y 1 1 y 8

8_3重积分的换元法

αβD)(θϕ=r (2θϕ=r注: 利用例3可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式+∞ − x2 e dx 0 当D 为 R2 时,∫=π2+∞ − x2 e −∞①事实上,∫∫D e− x2 − y2d xd y = ∫d x∫+∞ − y 2 e −∞dy利用例3的结果, 得= 4⎛ ⎜∫ ⎝2+∞ − x 2 e 0d x⎞ ⎟ ⎠24⎛ ⎜∫ ⎝ 故①式成立 .+∞ − x2 e 0−a 2 ⎞ d x ⎟ = lim π (1 − e ) = π ⎠ a → +∞112 2 x + y = 2 ax 例4. 求球体 x + y + z ≤ 4 a 被圆柱面 (a > 0) 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 2 2 2 2解: 设 D : 0 ≤ r ≤ 2 a cosθ , 0 ≤ θ ≤ 由对称性可知π2zV = 4 ∫∫ = 4∫π0D 24 a 2 − r 2 r d r dθ dθo2y∫02 acosθ4a − r r dr22ax32 3 π 2 32 3 π 2 3 = a ∫ (1 − sin θ ) d θ = a ( − ) 0 3 2 3 312x2 y2 z 2 例5. 试计算椭球体 2 + 2 + 2 ≤ 1 的体积V. a b c 2 2 x y 解: 取 D : 2 + 2 ≤ 1, 由对称性 a b令 x = a r cosθ , y = b r sin θ , 则D 的原象为 D′ : r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π ∂( x, y ) a cosθ − a r sin θ J= = = abr b sin θ b r cos θ ∂( r ,θ )V = 2 ∫∫ z d x d y = 2 c ∫∫DD1−x2 a2−y2 2 d xd by∴ V = 2 c ∫∫D1 − r 2 a b r d r dθ2π 0= 2 abc ∫dθ∫104 1 − r r d r = π abc 3213内容小结(1) 二重积分的换元法x = x(u , v) 下 ⎧ 在变换 ⎨ ⎩ y = y (u , v) ∂ ( x, y ) (u , v) ∈ D′, 且 J = ≠0 ( x, y ) ∈ D ∂ (u , v) 则 ∫∫ f ( x, y ) d σ = ∫∫ f [ x(u , v), y (u , v)] J d u d vD D′14极坐标系情形: 若积分区域为 D = { (r ,θ ) α ≤ θ ≤ β , ϕ1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ) } 则∫∫D f ( x, y) d σ = ∫∫D f (r cosθ , r sin θ ) rd r dθ= ∫ dθ ∫α β ϕ 2 (θ ) ϕ 1 (θ )f (r cosθ , r sin θ ) rd rβD r = ϕ 2 (θ ) oαr = ϕ1 (θ )15二、三重积分换元法定理: 设f (x, y, z)在有界闭区域Ω上连续变换: ⎧ x = x(u , v, w) ⎪ T : ⎨ y = y (u , v, w) (u , v, w) ∈ Ω′ → Ω ⎪ z = z (u , v, w) ⎩ 满足 (1) x, y , z在 Ω′上有一阶连续偏导数;(2) 在 Ω′上雅可比行列式 ∂ ( x, y , z ) ≠ 0; 注 J (u , v, w) = ∂ (u , v, w) (3) 变换 T : Ω′ → Ω 是一一对应的 ,则∫∫∫ = ∫∫∫Ωf ( x, y, z )d x d y d zf ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) J (u , v, w) d u d v d w 16 Ω′常用的变换 1. 柱面坐标变换设 M ( x, y, z ) ∈ R 3 , 将x, y用相应的极坐标 ρ ,θ 代替，则称（ρ ,θ , z ) 为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:x = ρ cosθ y = ρ sin θ z=z坐标面分别为⎛ 0 ≤ ρ < +∞ ⎞ ⎜ 0 ≤ θ ≤ 2π ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ∞ < z < +∞ ⎠圆柱面半平面平面zzM ( x, y , z )ρ = 常数 θ = 常数z = 常数ox ρy θ ( x, y,0)17如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 d v = ρ d ρ dθ d z 因此zρ dθ∫∫∫Ω f ( x, y, z )d xd yd z = ∫∫∫ F ( ρ ,θ , z )ρ d ρ d θ d z Ωxzρodρ dzy其中 F ( ρ ,θ , z ) = f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) 适用范围:θρdθdρ1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 积分次序通常为 z → ρ → θ .18柱面 x 2 + y 2 = 2 x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围成半圆柱体.例6. 计算三重积分 ∫∫∫ z x 2 + y 2 d xd yd z 其中Ω为由Ω0 ≤ ρ ≤ 2 cosθ 解: 在柱面坐标系下 Ω : 0 ≤ θ ≤ π 2 0≤ z≤a原式 = ∫∫∫ z ρ 2 d ρ dθ d zΩz ao= ∫ zd z ∫0aπ02 dθ∫02 cosθρ2 d ρ2 ρ = 2 cos θ xy=2 π 4a3∫02 cos 3θ8 2 dθ = a 9dv = ρ d ρ d θ d z19d xd yd z , 其中Ω由抛物面例7. 计算三重积分 ∫∫∫ 2 2 Ω1 + x + y z x 2 + y 2 = 4 z 与平面 z = h (h > 0) 所围成 .hxoy20ox h d d θρρ),,(ϕθr Myo4πRr =o x y2 4πo xy24πvd )作业P163 1(2)(4), 2(2)(4), 3(4),6(1)(3)(6), 7(3), 12, 13, 1531。

用二重积分换元法证明卷积公式

用二重积分换元法证明卷积公式卷积公式在信号处理和数学中有广泛应用。

在本文中，将使用二重积分换元法证明卷积公式。

卷积公式表达了两个实函数的卷积的定义。

假设有两个实函数f(x)和g(x)，它们的卷积定义为：(f * g)(x) = ∫[0, x] f(t) * g(x-t) dt其中*表示函数的乘积运算。

为了证明卷积公式，我们首先引入一个新的变量u，然后进行变量替换。

令 u = x - t，根据变量替换的法则，当t=0时，u=x，当t=x时，u=0。

并且dt=-du。

对于新的变量u，上述积分变为：(f * g)(x) = -∫[x, 0] f(x-u) * g(u) du接下来，我们需要改变积分的上下限。

由于积分是在逆向变化的，因此上限和下限交换位置时需要加上一个负号。

将积分上下限改为0到x，并对被积函数中的u取负，得到：(f * g)(x) = ∫[0, x] f(x-u) * g(u) du现在让我们回顾一下f(x)和g(x)的定义。

在卷积公式中，我们可以将它们替换成任意的实函数，这也是卷积公式的一般形式。

所以我们有：(f * g)(x) = ∫[0, x] f(x-u) * g(u) du这正好是卷积公式的定义。

卷积公式的证明通过二重积分的换元法完成。

我们通过引入新的变量u，并进行变量替换，将原始积分转化为一个新的积分，并将上下限进行调整，最终得到了卷积公式的定义。

卷积公式在信号处理中有着广泛的应用，可以用于滤波、图像处理、线性系统等方面。

通过卷积操作，我们可以将两个信号进行混合和变换，从而获得一些有用的信息。

总结起来，卷积公式通过二重积分的换元法进行证明。

通过引入新的变量，并进行变量替换和上下限的调整，我们最终得到了卷积公式的定义。

这个公式在信号处理和数学中有着广泛的应用，并且可以帮助我们理解信号的混合和变换过程。

二重积分的换元积分法与极坐标法

二重积分的换元积分法与极坐标法在微积分中，二重积分是求解平面区域上的函数面积或质量等问题的重要工具。

在进行二重积分的计算时，有时候使用常规方法会十分繁琐，这时候就可以考虑使用换元积分法或者极坐标法来简化计算过程。

本文将介绍二重积分的换元积分法和极坐标法，并通过实例进行详细说明。

一、换元积分法1. 换元积分法的基本思想换元积分法是利用变量代换的方式，将原积分转化为新变量下的积分形式。

在二重积分中，换元积分法实质上是一种坐标变换。

通过适当选择变量代换，可以简化积分的计算。

2. 换元积分法的步骤（1）确定新的变量代换。

（2）计算雅可比行列式，得到被积函数的变量替换形式。

（3）将被积函数用新的变量表示，并计算偏导数。

（4）根据换元公式，将被积函数与雅可比行列式相乘，并进行积分求解。

（5）将结果转换回原变量。

3. 实例分析例如，求解二重积分∬D x^2y dxdy，其中D为区域(x,y)∈[a,b]×[c,d]上的有界闭区域。

（1）选择变量代换 u = x^2，v = xy。

（2）计算雅可比行列式J = ∣∣∣ ∂(x,y) ∂(u,v) ∣∣∣ = ∣∣∣ ∂x/∂u ∂x/∂v ∂y/∂u ∂y/∂v∣∣∣= ∣∣∣ 2x y x ∣∣∣ = 2x^2y - xy^2（3）将被积函数 x^2y 用新变量表示为 xy。

（4）根据换元公式，进行积分求解。

原积分变为∬D xy(2x^2y -xy^2) dudv。

（5）将结果转换回原变量。

所得二重积分的结果即为所求。

二、极坐标法1. 极坐标法的基本思想极坐标法是将平面上的点用极坐标表示，将二重积分转化为在极坐标下的累次积分。

通过极坐标的特点，可以简化被积函数并简化积分区域。

2. 极坐标法的步骤（1）确定将二维平面上的点转化为极坐标系下的点的变换关系。

（2）计算雅可比行列式，得到被积函数的变量替换形式。

（3）将被积函数用新的变量表示，并计算偏导数。

（4）根据换元公式，将被积函数与雅可比行列式相乘，并进行积分求解。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D
的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
x
练习
计算
e
D
x2 y2
dxdy
y a
其中积分区域 D为x 2 y 2 a 2 . 由直角坐标化 x r cos 解极坐标公式 y r sin
圆的极坐标方程为 r a
D o
a x
0 r a 故 D: 0 2
e
D
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和以O为圆心的圆弧进行划分 .

D

则 r r 于是面积微元 d r drd
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
D
r r2 ( )

o

d
r1 ( )
r2 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r ( )
D
0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
例1
计算
2 2 ( 1 x y )dxdy D
y
D

0 d 0 (1 r
0
2
2
1
D
2
)rdr
1 2 1 4 1 [ r r ]0 d 2 4
0 d 0 (r r
0
2
2
1
其中积分区域D为( x a ) 2 y 2 a 2 .
解
故
( x a ) 2 y 2 a 2 r 2a cos y 0 r 2a cos D: o 2 2
3
)dr
1 d 2 4
1
其中积分区域 D为x 2 y 2 1. 由直角坐标化 x r cos 解 o 极坐标公式 y r sin 圆的极坐标方程为 r 1 0 r 1 故 D: 0 2 2 2 2 ( 1 x y ) dxdy (1 r )rdrd
x2 y2
dxdy 0 d0 e
2
a
r 2
rdr
a 2 2 1 2 1 2 a r r 2 d 0 d 0 e d ( r ) 0 e 0 2 2 2
(1 e a ).
例2
计算

D
x 2 y 2 d
第三讲二重积分的换元法
• 内容提要
1.二重积分的换元积分公式； 2.极坐标系下二重积分的计算。
பைடு நூலகம்
• 教学要求
1.掌握二重积分的换元积分公式； 2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。
复习：二重积分在直角坐标系下的计算 1. 在直角坐标系下二重积分
y
f ( x , y ) d f ( x , y ) dxdy D
故
o

r r r
f ( x , y )d f ( r cos , r sin ) r dr d D D
定理设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上连续，变换 T : x x ( u, v ), y y( u, v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D，且满足 (1) x ( u, v ), y( u, v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数； ( x, y) ( 2) 在 D 上雅可比式 J ( u, v ) 0; ( u, v ) ( 3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
D
y dy y
D
d
2.二重积分在直角坐标系下的计算：
o
x x dx
x

D
f ( x , y )dxdy X 型
Y 型
a dx ( x )
b
1
2 ( x )
f ( x , y )dy
c
d
dy 1 ( y ) f ( x , y )dx

2( y)
预备知识：
1. 如图:
扇环的面积
的近似公式：

近似地看成以l 和 r 为邻边的矩形
即 l r r r
l

r
r
2. 曲线的极坐标方程: r r ( )
r r ( )

o

x
1.二重积分的换元法 (1) 在直角坐标系下计算二重积分时，
下非常烦琐，
在某些情况
D

r ( ) d 0
o

f ( r cos , r sin ) r dr
r r ( )
D
（3）极点 O 在区域 D 的内部
0 r r ( ) D: 0 2 f (r cos , r sin ) r dr d
D

o

0 d 0
如积分区域为a x y b
2 2 2
2
y
必须化为四个小区域来计算，相当麻烦。
o
x
因此，有必要学习在其他坐标系下如极坐标系下计算二重积分.这就需要进行变量代换，有如下定理.
定理设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上连续，变换 T : x x ( u, v ), y y( u, v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D，且满足 (1) x ( u, v ), y( u, v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数； ( x, y) ( 2) 在 D 上雅可比式 J ( u, v ) 0; ( u, v ) ( 3) 变换 T : D D 是一对一的，则有