函数极限的性质
函数极限的性质和收敛准则
函数极限的性质和收敛准则函数极限是在数学分析中一个重要的概念，它包含了许多重要的性质和收敛准则。
在本文中，我们将讨论函数极限的性质和收敛准则，并详细介绍每个性质和准则的定义和证明。
一、函数极限的性质1. 唯一性性质：如果一个函数存在极限，那么它的极限是唯一的。
也就是说，如果f(x)存在极限L，则该极限是唯一的。
这个性质可以通过反证法来证明。
假设存在两个不同的数L1和L2都是f(x)的极限，即limx→a f(x) = L1和limx→a f(x) = L2、由于L1≠L2，根据极限的定义可以找到一个ε>0，使得对于任意的δ>0，当0<，x-a，<δ时，必有，f(x)-L1，<ε和，f(x)-L2，<ε，这导致矛盾。
2. 有界性质：如果一个函数存在极限，那么它在极限点的一些邻域内是有界的。
也就是说，如果limx→a f(x)存在，则存在一个正数M，使得在a的一些邻域内，有，f(x)，≤M。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
3.保号性质：如果一个函数存在极限，并且极限为L，则存在ε>0，使得当0<，x-a，<δ时，有f(x)>0或f(x)<0。
也就是说，在足够接近极限点时，函数的取值保持正号或负号。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
4. 夹逼性质：如果函数f(x)满足对于任意的x∈(a-d,a+d)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x)也存在，且limx→a f(x) = L。
二、函数极限的收敛准则1. Cauchy收敛准则：如果一个函数f(x)满足对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<，x-a，<δ，以及0<，y-a，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。
那么函数f(x)在x→a时收敛。
1.2 函数极限的性质
等价代换得
= lim e x x0
x1 x2
洛必达法则 = lim e x 1
x0 2 x
等价代换得 = lim x 1
x0 2 x 2
例2、lim x cot x
x0
lim x cos x
x0 sin x
0 型
lim x cos x
x0 sin x
1
4、保不等式性 设 lim f x A, lim g x B
x x0
x x0
且存在 0,当0 x x0 时，有f x g( x), 则A B.
5、迫敛性 设 lim f x lim g x A,
x x0
x x0
且0
x x0
时，有f x h( x) g( x),
f
xgg
x
lim
x x0
f
x
lim
x x0
gx
AgB
3、商的极限等于极限的商（条件：分母的极限不为零）
lim f ( x)
lim f ( x) x x0
A
x x0 g( x)
lim g( x)
x x0
B
反例
型
例1、lim x0
1 x
1 e x 1
通分得
= lim e x 1 x x0 x e x 1
则 lim h x
x x0
A.
函数极限的运算法则
设 lim f x A, lim 和差
lim
x x0
f
x
g x
lim
x x0
f
x
lim
x x0
gx
A
B
注：和差极限的存在性不能保证每一项极限都存在
函数极限的主要性质
函数极限的主要性质
其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
函数f中对应输入值x的输出值的
标准符号为f(x)。
性质一：对称性
数轴对称：所谓数轴对称也就是说函数图像关于坐标轴x和y轴对称。
原点对称：同样，这样的对称是指图像关于原点对称，原点两侧，距离原点相同的函
数上点的坐标的坐标值互为相反数。
关于一点等距：这种类型和原点等距十分相似，相同的就是此时对称点不再仅限于原点，而是坐标轴上的任一一点。
性质二：周期性
所谓周期性也就是说，函数在一部分区域内的图像就是重复发生的，假设一个函数
f(x)就是周期函数，那么存有一个实数t，当定义域内的.x都加之或者乘以t的整数倍时，x所对应的y维持不变，那么可以说道t就是该函数的周期，如果t的绝对值达至最轻，
则称作最轻周期。
函数极限的性质
对固定的n，当x在（a,b）变动时，| f (n1) (x) | M (常数)
Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
nM 1!( x x0 )n1
及
lim
x x0
Rn( x) ( x x0 )n
0
即 Rn( x) o[(x x0 )n ]. 皮亚诺余项
例4(P70) 证明 arcsin x arccos x (1 x 1).
2 证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x (1,1)
f ( x)
1 ( 1 x2
1
1
x
2
)
0
f (x) C,
x (1,1)
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 即 C .
则(a,b)内至少存在一点,使得f ( ) 0”
证 f (x) C[a,b], f (x)在[a,b]取得最值M,m
(1)若M=m，则对x [a,b]有f(x)=M,
从而 (a,b),有f ( ) 0；
(2)若M>m，不妨设M f(a)（从而M f(b)）
则必有一点 (a,b),使f ( ) M，
闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,那末在(a, b)
内至少有一点 ，使 f (b) f (a) f ' ()(b a)
即：f (b) f (a) f ( ).
ba
y
C
y f (x)
M
B
在 AB 上至少有一点 C,
在该点切线平行于弦AB. A
N
D
弦AB：y
f (a)
f'
函数极限探究
函数极限探究在数学领域，函数极限是微积分学中一个基础且关键的概念。
它不仅是理解连续性、导数和积分等概念的基石，而且在实际问题中的应用也非常广泛。
本文旨在深入探究函数极限的定义、性质及其应用。
函数极限的定义函数极限描述的是函数值在某一点附近的趋势。
具体来说，当自变量趋近于某一特定值时，如果函数值可以任意接近某一个确定的数值，那么我们就说该函数在该点的极限存在。
用数学语言表达为：[ \lim_{{x \to a}} f(x) = L ]意味着对于任意给定的小量 (\epsilon > 0)，总存在一个 (\delta > 0)，使得当 (0 < |x - a| < \delta) 时，有 (|f(x) - L| < \epsilon)。
函数极限的性质1. 唯一性：如果一个函数在某一点的极限存在，那么这个极限值是唯一的。
2. 局部性质：函数在某一点的极限只与该点附近的函数值有关，与远离该点的函数值无关。
3. 四则运算法则：如果两个函数在某一点的极限都存在，那么它们的和、差、积、商（除数不为零）的极限也存在，并且可以通过直接对这两个函数的极限进行相应的四则运算得到。
4. 夹逼定理：如果有三个函数在某一点的极限都存在，并且满足某个中间函数的函数值始终被另外两个函数的函数值所夹，那么这三个函数在该点的极限相等。
函数极限的应用1. 连续性分析：函数在某一点连续的充分必要条件是该函数在该点的极限存在且等于该点的函数值。
2. 微分学：函数在某一点的导数定义为该点处切线斜率的极限。
没有极限的概念，就无法定义导数。
3. 积分学：定积分可以被理解为一系列无穷小面积之和的极限。
4. 物理问题：在物理学中，许多现象如速度、加速度等都可以用极限来精确描述。
结语函数极限是连接初等数学与高等数学的桥梁。
通过深入研究函数极限，我们不仅能够更好地理解数学概念，还能够将这些理论应用于解决实际问题。
因此，掌握函数极限的知识对于任何希望深入数学领域的学习者来说都是至关重要的。
极限的概念及性质
极限的概念及性质极限是数学中的重要概念之一，它具有深刻的内涵和广泛的应用。
本文将介绍极限的定义、性质以及在数学和物理等领域的应用。
一、极限的定义在数学中，极限是指一个函数或序列在自变量逼近某个确定值时，其函数值或序列项无限接近于一个确定的值。
正式地说，对于函数而言，当自变量趋于某个指定的值时，函数的值趋于某个确定的值；对于序列而言，当项数趋于无穷大时，序列的项趋于某个确定的值。
二、极限的性质1. 唯一性：极限是唯一的，即一个函数或序列只能有一个极限值。
2. 有界性：如果一个函数或序列存在极限，那么它一定是有界的，即其函数值或序列项在一定范围内。
3. 保号性：如果一个函数在某个点的左、右两边的极限存在且不相等，那么这个点就是函数的间断点。
4. 夹逼准则：如果一个函数在某点的左、右两边的极限存在，并且存在另一个函数作为中间函数，这个中间函数在这个点的函数值介于两个边界函数在该点的函数值之间，那么这个点的函数极限也存在且相等。
三、极限的应用极限在数学和物理等领域都有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 微积分微积分是极限的重要应用领域之一。
通过极限的概念，可以定义导数和积分，进而研究函数的变化率、曲线的斜率以及曲线下的面积等重要问题。
微积分的发展对于数学和物理学的发展起到了重要的推动作用。
2. 物理学在物理学中，极限的概念被广泛应用于研究物体的运动、变化以及物理定律的推导等问题。
例如，研究物体的速度、加速度等与时间的关系时，需要使用到极限的概念，从而得出重要的物理方程。
3. 统计学在统计学中，极限定理是统计推断的重要基础。
中心极限定理是指当独立随机变量的和趋于无穷大时，这些随机变量的均值的分布趋近于正态分布。
这一理论在统计推断中起到了重要的作用，使得通过样本数据对总体进行推断成为可能。
4. 工程学在工程学领域，极限的概念被应用于结构力学、电路分析、信号处理等问题中。
例如，通过极限分析结构的荷载承载能力，进行结构设计和优化；在电路分析中，通过极限分析电路的稳定性和性能；在信号处理中，通过极限分析信号的频谱特性等。
微积分(7)函数极限的性质
函数极限的性质。 至于其它五种形式的极限的性质，只要相应地做出一些修改即 可得到。
§2.2.1
函数极限的唯一性
与收敛数列的极限的唯一性相比较，我们可得函数极限的如下性质： 性质 1（函数极限的唯一性） ：如果 lim f ( x) 存在，那么它的( x) 当 x x0 时有两个不同的极限 A 和 B ，即
x x0
对 0 ， 1 0 ，当 0 x x0 1 时，有
f ( x) A
x x0
2
， （*）
类似地，由 lim g ( x) B ，根据函数极限的定义，可得： 对上述的 0 ， 2 0 ，当 0 x x0 2 时，有
思考：函数局部有界与函数有界有什么区别与联系？
下面，我们来研究函数极限与函数局部有界的关系： 性质 2（函数极限的局部有界性） ：如果 lim f ( x) 存在，那么函数 f ( x) 一定
x x0
局部有界。 用数学语言表示即为：如果 lim f (x ) 存在，那么 M 0 和 0 ，使得对
注： 1.函数有界可用数学语言表示如下： 函数 f ( x) 在 I 上有界 M 0 ，对 x I ，有 f ( x) M 。 类似地，函数无界也可用数学语言表示如下： 函数 f ( x) 在 I 上无界 M 0 ， x0 I ，使得 f ( x0 ) M 。 2. 显然，函数的上界、 下界、界均不唯一。即：若实数 B 是函数 f ( x) 在 I 上 的一个上界， 则大于 B 的任何实数都是函数 f ( x) 在 I 上的上界； 若实数 A 是函数
定义：设 f ( x) 是定义在数集 D 上的一个函数，数集 I D 。 （1）如果存在一个实数 B ，使得对 x I ，都有
函数的极限性质及计算方法
函数的极限性质及计算方法函数的极限性质是微积分学中的重要内容，它描述了函数在特定条件下趋向于某个确定值的特点。
通过研究极限性质，我们可以深入理解函数的行为，并进一步应用于微积分的相关计算中。
本文将介绍函数的极限性质及其计算方法。
1. 极限的定义函数f(x)在点x=a处的极限表示为lim┬(x→a)〖f(x)。
如果对于任意给定的ε>0〗，存在对应的δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
其中L为常数，表示函数f(x)在x=a处的极限值。
2. 极限的性质函数极限具有以下性质：- 唯一性：函数的极限值唯一，即lim┬(x→a)〖f(x)〗唯一存在。
- 局部性：如果lim┬(x→a)〖f(x)〗存在，那么f(x)在点x=a的某个足够小的邻域内都接近于lim┬(x→a)〖f(x)〗。
- 保号性：如果lim┬(x→a)〖f(x)〗=L且L>0，则存在点x=a的某个足够小的邻域，使得f(x)>0。
- 四则运算性质：设lim┬(x→a)〖f(x)〗=A，lim┬(x→a)〖g(x)〗=B，那么lim┬(x→a)〖(f(x)±g(x))〗=A±B，lim┬(x→a)〖(f(x)·g(x))〗=A·B，lim┬(x→a)〖(f(x)/g(x))〗=A/B（若B≠0）。
3. 常见函数的极限计算方法- 多项式函数的极限：对于多项式函数f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，当x→a时，lim┬(x→a)〖f(x)〗=f(a)。
- 有理函数的极限：对于有理函数f(x)=p(x)/q(x)，其中p(x)和q(x)都是多项式函数，当x→a时，如果q(a)≠0，则lim┬(x→a)〖f(x)〗=p(a)/q(a)。
- 指数函数与对数函数的极限：当x→∞时，lim┬(x→∞)〖a^x=∞〗，lim┬(x→∞)〖logₐx=∞〗。
第2节函数极限的基本性质
0xnx0, 0 |xmx0|
|f(x n ) f(x m )| {f(xn)是 }Cau 列 .chy
ln i m f(xn)lx存.在 同理 ln i 存 m f(yn) 在 ly.
将 x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 , ,x n ,y n , 组 { z n }成 .
xn
4n
1
1
,
ln i mxn 0,
且xn0;
2
而lim sin1lim sin 0,
x n
n n
而 lim si1 nlim si4n n1 lim1 1,
n xn n
2
n
得证
定理4.4 ( 柯西收敛定理) 函f(数 x)定义 U 0(x0在 ),
2 0 , 当 0 | x x 0 | 2 时 , A h ( x ) A ;
取 m 1 ,2 ) i 当 0 , n |x x ( 0 | 时
A g ( x ) f ( x ) h ( x ) A ;
性质4.2.（局部有界性）
x l x i0f m (x )存 ,则 f 在 (x )在 x 0 的U 邻 o (x 0 )内 域 .有
证明： 取 1 ,0 当 0 ,|x x 0 | 时
|f(x ) A | 1.
| f ( x ) | | f ( x ) A A | | f ( x ) A | | A | 1|A |M .
所f(以 x )在 x 0 的U 邻 o(x 0)内 域.有界
性质4.3. (保序性)
函数极限的性质
第十三讲、函数极限的性质定理13.1.（唯一性）若极限lim x→x f (x) 存在，则极限值唯一.证明：我们使用反证法加以证明。
假设lim ( ) lim ( )x→x f x =A及x→x f x =B ，0 0A <B 。
取ε= (B −A) / 2 ，则存在δ1>0，使得当0 <| x −x0|<δ1时3A B A BA ε f x A ε−=−<<+=+（13.1）( )2 2，使得当0 <| x −x0|<δ2时20存在δ>A B 3B AB ε f x B ε+=−<<+=−（13.2）( )2 2现取正数δ=δδ，则当0 <| x −x0 |<δ时，由（13.1）与（13.2）可得min{ , }1 2A B<<2+f (x) f (x)矛盾！证毕。
定理13.2 .（函数极限的局部有界性）若极限l im x→x f (x) 存在，则存在δ>0，使得f (x) 在邻域( 0; )U o x δ内有界.定理13.3. 若l im ( )x→x f x =A，x→x f x =A，0 lim ( )x→x g x =B 且A <B ，则存在δ>0使当x→x g x =B 且A <B ，则存在δ>0使当x∈U x δ时, 有 f (x) <g(x) .o( ; )在上面的定理13.3 中，取g(x) ≡ 0 ，则有x→x f x =A且A > 0 , ( A < 0 )推论13.1 .( 局部保号性). 若lim ( )x∈U o x δ时, 有 f (x) > 0 （f (x) < 0）.则存在δ>0使当( 0; )x∈U o x δ时, 有 f (x) ≤g(x) 且推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当( 0; )lim ( )x→x f x =A，x→x f x =A，0 lim ( )x→x g x = B ，则A ≤ B 。
函数极限的性质及运算法则
=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解 因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限
函数极限性质
函数极限性质一、局部有界性1，若)(lim 0x f x x →存在，则存在0>δ，)(x f 在);(00δx U （即在),(),(0000δδ+⋃-x x x x ）内有界。
2，若)(lim 0x f x x +→存在，则存在0>δ，)(x f 在);(00δx U +（即在),(00δ+x x ）内有界。
3，若)(lim 0x f x x -→存在，则存在0>δ，)(x f 在);(00δx U -（即在)),(00x x δ-）内有界。
4，若)(lim x f x +∞→存在，则存在0>M , )(x f 在),(+∞M 有界。
5，若)(lim x f x -∞→存在，则存在0>M , )(x f 在),,(M --∞有界。
6, 若)(lim x f x ∞→存在，则存在0>M , )(x f 在),(),(+∞⋃-∞M M 有界。
二、局部保号性1，若)0(0)(l im 0<>=→或A x f x x ，则对任意正数)(A r A r ><或，存在0>δ，在);(00δx U 内有)()(r r x f <>或。
2, 若)0(0)(lim 0<>=+→或A x f x x ，则对任意正数)(A r A r ><或，存在0>δ，在);(00δx U +(即在),(00δ+x x )内有)()(r r x f <>或。
3, 若)0(0)(lim 0<>=-→或A x f x x ，则对任意正数)(A r A r ><或，存在0>δ，在);(00δx U -(即在)),(00x x δ-)内有)()(r r x f <>或。
4，若)0(0)(lim <>=∞→或A x f x ，则对任意正数)(A r A r ><或，存在0>M ，在),(),(+∞⋃--∞M M 内有)()(r r x f <>或。
函数极限总结
函数极限总结函数极限是数学中重要的概念，它在微积分和数学分析等领域有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将对函数极限进行总结，并介绍一些相关概念和性质。
1. 极限的定义函数极限描述了一个函数在某一点上的值趋近于某个特定值的情况。
正式来说，给定一个函数 f(x)，当自变量 x 的取值趋近于某个值 a 时，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当x 距离 a 的距离小于δ 时，函数值 f(x) 和极限值 L 的差的绝对值小于ε，那么我们说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限为 L。
记作：lim (x→a) f(x) = L2. 极限的性质函数极限具有一些重要的性质。
首先，极限是唯一的。
也就是说，如果一个函数在某一点存在极限，那么这个极限是唯一确定的。
其次，函数极限存在的条件是函数在该点的左右极限存在且相等。
换句话说，函数在某一点上存在极限的充分必要条件是函数在该点的左右极限存在且相等。
3. 常见类型的极限在实际问题中，我们经常遇到一些常见类型的函数极限。
这些极限的计算方法需要使用一些特定的技巧。
以下是几个常见类型的极限：a) 无穷大极限：当函数在自变量趋近于某个值 a 时，函数值趋近于无穷大，记作lim (x→a) f(x) = ∞。
b) 无穷小极限：当函数在自变量趋近于某个值 a 时，函数值趋近于零，记作lim (x→a) f(x) = 0。
c) 正无穷极限和负无穷极限：当函数在自变量趋近于某个值 a 时，函数值趋近于正无穷或负无穷。
正无穷记作lim (x→a) f(x) =+∞，负无穷记作lim (x→a) f(x) = -∞。
d) 数列极限：函数极限的概念可以推广到数列。
给定一个数列{an}，当 n 趋近于无穷大时，如果序列中的每一项都趋近于某个值 L，那么我们说该数列的极限为 L，记作lim (n→∞) an = L。
4. 极限定理函数极限有一些重要的定理，可以帮助我们计算复杂问题的极限。
函数极限的性质
x2
小结: 1. 设 f ( x) = a0 x n + a1 x n-1 + + an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
=
a0
(
lim
x x0
x)n
+
a1
(
lim
x x0
x)n-1
+ + an
= a0 x0n + a1 x0n-1 + + an = f ( x0 ).
2. 设
f (x) =
证明 设A> 0,"r(0,1),取e = A-r,则$d > 0,使得"xU(x0;d)
有 f (x) > A - e = r.
对于r < 0的情形类似可证. •推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0), 而且
f(x)A(xx0), 那么A0(或A0)
4 保不等式 定理3.5(函数极限的保不等式性)
1
0
1
$d 2
> 0,当0 <
x- x0
< d2时有 f (x) - B
<e,
(2)
取d = min(d ,d ),则当0 < x - x < d时(1),(2)同时成立，故有
12
0
A- B = ( f (x) - A) - ( f (x) - B) f (x) - A + f (x) - B < 2e.
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限
已证明过以下几个极限：
lim C = C,
xx0
1 lim = 0, x x
函数有极限
函数有极限函数的极限是微积分中的重要概念之一，它在数学和物理等领域具有广泛的应用。
本文将介绍函数极限的概念、性质和计算方法，并探讨极限在实际问题中的应用。
一、函数极限的概念在数学中，函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋势。
具体来说，对于函数f(x)，当自变量x无限接近某个实数a时，如果函数值f(x)无限接近一个实数L，那么函数f(x)的极限就是L，记作lim(x→a) f(x) = L。
这里的a可以是有限数、无穷大或无穷小。
二、函数极限的性质函数极限具有以下性质：1. 唯一性：如果函数f(x)的极限存在，那么它是唯一的。
2. 局部性：函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值有关，与整个定义域上的函数值无关。
3. 保序性：如果函数f(x)的极限存在且为L，那么在邻域内f(x)的函数值要么大于L，要么小于L。
4. 代数运算性质：函数的极限有加法、减法、乘法、除法等运算性质，可以通过这些性质来计算复杂函数的极限。
三、函数极限的计算方法计算函数极限的方法有以下几种：1. 代入法：对于简单的函数，可以直接将自变量代入函数中计算极限。
2. 分段函数的极限：对于分段函数，需要分别计算其每个分段函数的极限，然后根据极限的性质得到最终结果。
3. 极限的基本性质：利用函数极限的性质，可以将复杂函数的极限转化为简单函数的极限来计算。
4. 夹逼准则：对于难以直接计算的函数，可以利用夹逼准则来确定其极限。
四、函数极限在实际问题中的应用函数极限在实际问题中有着广泛的应用，如求解速度、加速度、概率等。
以下是几个具体的应用案例：1. 随着时间的推移，一个物体的速度可能会发生变化。
通过计算速度函数在某一时刻的极限，可以求得该时刻物体的实际速度。
2. 研究一个过程的稳定性时，可以通过计算函数的极限来确定其是否趋于稳定。
3. 在概率统计中，可以通过极限的概念来计算事件发生的概率。
函数极限是微积分中的重要概念，具有广泛的应用。
函数极限的性质
⑤定理的条件： limf(x),limg(x) 存在
商的情形还须加上分母的极限不为0
⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限
等于极限的和、差、积、商 ⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立
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二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限
已证明过以下几个极限：
x l x 0 C i= m C ,x l x 0 x i= x m 0 ,x l x 0 s ix m = i s n x 0 i ,x l n x 0 c ix m = o c x 0 ; s o
lim 1=0,
lim arc=t g.x
x x
x
2
（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）
这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时,
有五组基本极限作为公式用,. 参阅 [4]P37—38. 我们将陆
续证明这些公式.
.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原是：通过 有关性质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的 值, 即计算得所求极限.
第十二页，课件共有26页
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些 “简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。
先约去不为因 零x子 - 的 1后 无 再 穷 求 .小 极
lx i1m x2x + 22 - x1 -3=lx i1(m (x x+ +1 3))x x ((- -1 1))
= limx +1 = 1 . x1 x + 3 2
(消去零因子法)
第十九页，课件共有26页
例10 求lx i m 27xx33+ +34xx22+ -1 5. 解 x时,分子 ,分母的极限都是.( 无 型穷) 大
函数极限的性质
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发 计算较复杂的函数极限。 1 。 x
例1
求 lim x
x 0
解
1 由 第 一 章 § 3 习 题 13， 当 x 0 时 有 1 x x 1 ， x
3
1
x
x 2
2
x 1
。
故所求极限等于
3 1 lim 3 x 1 x 1 x 1
x
1 2
1
2
1
1 。 1
例 4 证
证 明 lim a
x 0
1
a
1
任 给 0 （ 不 妨 设 1） ， 为 使
/
（ 4）
（ 5） f x g x 与 （ 4 ） , （ 5 ）
2
， 则 当 0
x x0 时 ， 不 等 式
式 同 时 成 立 ，于 是 有 A f x g x B ，从 而 A B 2 。由 的 任 意 性 得 A B ， 即 （ 3） 式 成 立 。
a
即 1 a
x
x
1
（ 9） x（当 a 1时）的严格增性，只要
1 ， 利 用 对 数 函 数 lo g lo g
a
a
1
x l o g a 1
于 是 ， 令 m in lo g a 1 , lo g
a
1 ， 则 当
x 0 ;
有
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第十三讲、函数极限的性质
定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一.
证明：我们使用反证法加以证明。
假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=，
A B <。
取()/2B A ε=
−，则存在δ>10，使得当010||x x δ<−<时 3()22
A B A B A f x A εε−+=−<<+= （13.1） 存在δ>20，使得当020||x x δ<−<时
3()22
A B B A B f x B εε+−=−<<+= （13.2） 现取正数12min{,}δδδ=，则当00||x x δ<−<时，由（13.1）与（13.2）可得
()()2
A B f x f x +<< 矛盾！证毕。
定理13.2 .（函数极限的局部有界性）
若极限0
lim ()x x f x →存在，则存在δ>0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界.
定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0
lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <.
在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有
推论13.1 .( 局部保号性). 若0
lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）.
推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。
定理13.4.（迫敛性）若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()()f x h x g x ≤≤且
且00lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==则0
lim ()x x h x A →=。
注记13.1. （I ）和数列极限性质类似，在推论13.2中，把条件
“()()f x g x ≤”换成更强的条件“()()f x g x <”时，我们得到的结论仍然是A B ≤，并不能得到更强的A B <。
（II ）以上定理及推论都可以推广到左右极限0x x →−，0x x →+ 及自变量趋于,,∞+∞−∞的情形，请读者根据极限的定义自行给出。
例如对于上面的定理13.4，我们有：
定理：若存在实数M 使当(,)x M ∈−∞时, 有 ()()()f x h x g x ≤≤且
且lim ()lim ()
x x f x g x A →−∞→−∞==则lim ()x h x A →−∞=。
定理13.5.（归结原则）设)(x f 在);(0λx U o 中有定义。
则0
lim ()x x f x A →=的充分必要条件是：对于任何在);(0λx U o 中收敛于0x 的数列{}n x 都有
lim ()n n f x A →+∞=.
证明：（必要性）假设0
lim ()x x f x A →=。
则对任意0ε>，存在正数λδ<<0，使得
|()|f x A ε−< 对所有);(0δx U x o ∈成立 （13.3）
现对任意取自于);(0λx U o 中收敛于0x 的数列{}n x ，取正整数N 使得当n N >时，δ<−||0x x n 。
则由（13.3）我们有：当n N >时
|()|n f x A ε−<
于是得到lim ()n n f x A →+∞=。
(充分性)我们用反证法证明。
假设0
lim ()x x f x A →=不真。
则存在00ε>，使得对任意正数
λδ<<0，均存在0(;)o x U x δδ∈满足
0|()|f x A δε−≥ 现在对每个满足λ<n 1的正整数n ，分别取
1=n δ，这样对应得到
0(;1/)o n x U x n ∈满足0|()|n f x A ε−≥ （13.4）
于是，由（13.4）我们在);(0λx U o 中得到数列{}n x ，它收敛于0x 的，但lim ()n n f x A →+∞=不真，矛盾！证毕。
注记13.2. （I ）上面定理13.5的结论可以推广到左右极限0x x →−，0x x →+ 及自变量趋于,,∞+∞−∞的情形，请读者根据定理13.5的证明方法自行给出相应的证明。
例如我们有：
定理A ：lim ()x f x A →∞=的充分必要条件是：对于任何满足n x →∞的数列{}n x 都有lim ()n n f x A →+∞=。
定理B ：0
lim ()x x f x A →+=的充分必要条件是：对于任何在0(;)o U x δ+中收敛于0x 的数列{}n x 都有lim ()n n f x A →+∞=.
（II ）上述定理给出了函数极限与数列极限之间的内在关系，在函数极限（连续型）与数列极限（离散型）之间架起了一座桥梁。
例如，很容易得到下面的定理
定理13.6. 设函数()f x 在(,)a b 上单调增加（减少）有上界（下界），则lim ()x b f x →−极限存在。
例子13.1. 证明01lim sin x x
→不存在. 证明：这个例子我们在例子12.5中已经证明，下面我们使用定理13.5（归结原则）来重新加以证明。
我们在0的去心邻域内取两列趋于0的数列
11,22/2n n x y n n πππ==+ 然而11lim sin 0,lim sin 1n n n n
x y →∞→∞==。
于是，由定理13.5（归结原则）可知
01lim sin x x →不存在。
证毕。