函数极限的性质

第十三讲、函数极限的性质

定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一.

证明：我们使用反证法加以证明。假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=，

A B <。 取()/2B A ε=

−，则存在δ>10，使得当010||x x δ<−<时 3()22

A B A B A f x A εε−+=−<<+= （13.1） 存在δ>20，使得当020||x x δ<−<时

3()22

A B B A B f x B εε+−=−<<+= （13.2） 现取正数12min{,}δδδ=，则当00||x x δ<−<时，由（13.1）与（13.2）可得

()()2

A B f x f x +<< 矛盾！证毕。

定理13.2 .（函数极限的局部有界性）

若极限0

lim ()x x f x →存在，则存在δ>0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界.

定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0

lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <.

在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有

推论13.1 .( 局部保号性). 若0

lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）.

推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。

定理13.4.（迫敛性）若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()()f x h x g x ≤≤且

且00lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==则0

lim ()x x h x A →=。

注记13.1. （I ）和数列极限性质类似，在推论13.2中，把条件

“()()f x g x ≤”换成更强的条件“()()f x g x <”时，我们得到的结论仍然是A B ≤，并不能得到更强的A B <。

（II ）以上定理及推论都可以推广到左右极限0x x →−，0x x →+ 及自变量趋于,,∞+∞−∞的情形，请读者根据极限的定义自行给出。例如对于上面的定理13.4，我们有：

定理：若存在实数M 使当(,)x M ∈−∞时, 有 ()()()f x h x g x ≤≤且

且lim ()lim ()

x x f x g x A →−∞→−∞==则lim ()x h x A →−∞=。

定理13.5.（归结原则）设)(x f 在);(0λx U o 中有定义。则0

lim ()x x f x A →=的充分必要条件是：对于任何在);(0λx U o 中收敛于0x 的数列{}n x 都有

lim ()n n f x A →+∞=.

证明：（必要性）假设0

lim ()x x f x A →=。则对任意0ε>，存在正数λδ<<0，使得

|()|f x A ε−< 对所有);(0δx U x o ∈成立 （13.3）

现对任意取自于);(0λx U o 中收敛于0x 的数列{}n x ，取正整数N 使得当n N >时，δ<−||0x x n 。则由（13.3）我们有：当n N >时

|()|n f x A ε−<

于是得到lim ()n n f x A →+∞=。

(充分性)我们用反证法证明。假设0

lim ()x x f x A →=不真。则存在00ε>，使得对任意正数

λδ<<0，均存在0(;)o x U x δδ∈满足

0|()|f x A δε−≥ 现在对每个满足λ

1=n δ，这样对应得到

0(;1/)o n x U x n ∈满足0|()|n f x A ε−≥ （13.4）

于是，由（13.4）我们在);(0λx U o 中得到数列{}n x ，它收敛于0x 的，但lim ()n n f x A →+∞=不真，矛盾！证毕。

注记13.2. （I ）上面定理13.5的结论可以推广到左右极限0x x →−，0x x →+ 及自变量趋于,,∞+∞−∞的情形，请读者根据定理13.5的证明方法自行给出相应的证明。例如我们有：

定理A ：lim ()x f x A →∞=的充分必要条件是：对于任何满足n x →∞的数列{}n x 都有lim ()n n f x A →+∞=。

定理B ：0

lim ()x x f x A →+=的充分必要条件是：对于任何在0(;)o U x δ+中收敛于0x 的数列{}n x 都有lim ()n n f x A →+∞=.

（II ）上述定理给出了函数极限与数列极限之间的内在关系，在函数极限（连续型）与数列极限（离散型）之间架起了一座桥梁。例如，很容易得到下面的定理

定理13.6. 设函数()f x 在(,)a b 上单调增加（减少）有上界（下界），则lim ()x b f x →−极限存在。

例子13.1. 证明01lim sin x x

→不存在. 证明：这个例子我们在例子12.5中已经证明，下面我们使用定理13.5（归结原则）来重新加以证明。我们在0的去心邻域内取两列趋于0的数列

11,22/2n n x y n n πππ==+ 然而11lim sin 0,lim sin 1n n n n

x y →∞→∞==。于是，由定理13.5（归结原则）可知

01lim sin x x →不存在。证毕。