期望与方差例题选讲有详解
期望与方差例题选讲(含详解),DOC
概率统计（理）典型例题选讲(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝nm ;等可能事件概率的计算步骤：① 计算一次试验的基本事件总数n ;② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ;③ 依公式()m P A n=求值;=6)=.=9)=.??.???则期望Eξ=6×+9×+12×=7.8,????方差Dξ=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.2.（2010江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3(Ⅰ)(Ⅱ)解：(，(Ⅱ)（小时）．3．（2009ξ的(Ⅰ)(Ⅱ)诉2ξ∴A表示“两个月内有一个月被投诉2次,另(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件1A表示“两个月内每月均被投诉12次”外一个月被投诉0次”;事件2则由事件的独立性得故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.174．（浙江省温州市2010届高三八校联考（理））甲乙两队参加某知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分?假设甲队中每人答对的概率均为32,乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示乙队的总得分.(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望;(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求)|(A B P ?【答案】:(1)1111(2)(P η∴P 5．.已知只有,且(Ⅰ)(Ⅱ)用分数表示6．一辆车模25,需要10秒钟,一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟,求: (Ⅰ)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率;(Ⅱ)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通 过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口). 【答案】(Ⅰ)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A,则()222432216()()55625P A C =⨯=(Ⅱ)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B,其中4辆车模均直行通过路口为事件1B ,3辆直行1辆左转为事件2B ,则事件1B 、2B 互斥.7．（2009高考(湖北理)）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。
高考数学基础题训练：随机变量的期望与方差含详解
高考数学基础题训练：随机变量的期望与方差一、单选题 1．已知()1,4N η，若()()21P a P a ηη>=<-，则=a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．天气预报，在假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为 A ．0.2B ．0.3C ．0.38D ．0.563．随机变量X 的分布列如下表，其中2b a c =+，且1c ab =，则(2)P X ==（ ）A ．47B ．45C ．14D ．2214．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（ ） A ．1320B ．25C ．14D ．155．某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X 服从正态分布()82,16N ，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为（ ）〖参考数据〗：()0.683P X μσμσ-<≤+=，()220.954P X μσμσ-<≤+=，()330.997P X μσμσ-<≤+=A ．2300B ．3170C ．3415D ．4606．小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是12，答对第3题的概率是13，则小明答完这3道题的得分期望为（ ） A ．2512B ．6512C ．203D ．2537．A 同学和B 同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A 同学每局获胜的概率均为23，且每局比赛相互独立，则在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜的概率是（ ）A ．34B ．89C ．79D ．568．从区间()0,3和()1,5内分别选取一个实数x ，y ，得到一个实数对(),x y ，称为完成一次试验．若独立重复做3次试验，则x y <的次数T 的数学期望为（ ） A ．12B ．13C ．53D ．52二、多选题9．设离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量23Y X =-+，且() 3.2E X =，则正确的是（ ）.A ．0.2m =B ．0.2n =C ．() 3.4E Y =-D ．()()33P X P X ≤=>10．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高ξ（单位：cm ）近似服从正态分布()2100,10N .已知()2~,X N μσ时，有(||)0.6827P X μσ-≤≈，(||2)0.9545P X μσ-≤≈，(||3)0.9973P X μσ-≤≈.下列说法正确的是（ ） A ．该地水稻的平均株高约为100cmB ．该地水稻株高的方差约为100C ．该地株高超过110cm 的水稻约占68.27％D ．该地株高低于130cm 的水稻约占99.87％11．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X 表示小球落入格子的号码，则（ ）A ．1(1)(0)64P X P X ==== B ．5(2)(5)32P X P X ==== C ．5(3)(4)16P X P X ==== D ．3()2D X =12．一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（ ）A ．从中任取3球，恰有一个红球的概率是17B ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为20343C ．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取1到红球的概率为13D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为218343第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题13．已知随机变量2~(0,)X N σ，且(),0P X a m a >=>，则()P a X a -<<=___________.14．已知某种疾病的患病率为0.5%，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为______.15．一项过关游戏规则规定:在第n 关要抛掷一颗质地均匀的骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n ，则算过关.甲同学参加了该游戏，他连过前二关的概率是_____．四、双空题16．在是否接种疫苗的调查中调查了7人，7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗，从这7人中随机抽取3人进行身体检查，用X 表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X 的数学期望为______；设A 为事件“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗的人”，则事件A 发生的概率为______. 17．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是110．设事件A 为“该地区刮风”，事件B 为“该地区下雨”，则()P B A =______，()P A B =______．18．随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,15kP X k k k N *===∈，则正整数k的最大值为__________，1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的值为__________．19．立德中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值（满分100分）X 近似服从正态分布，正态曲线如图①所示.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，决定在分数段[),m n 内抽取学生，并确定m ＝67，且()0.8186P m X n <<=.在某班随机抽样得到20名学生的分值分布茎叶图如图①所示.若该班抽取学生分数在分数段[),m n 内的人数为k ，则k 等于______；这k 名学生的人均分为______.（附：()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=）五、解答题20．在某校开展的知识竞赛活动中，共有A B C ､､三道题，答对A B C ､､分别得2分､2分､4分，答错不得分.已知甲同学答对问题A B C ､､的概率分别为422,,535，乙同学答对问题A B C ､､的概率均为35，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.21．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.（I）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（II）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望.22．某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得10-分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得20-分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率是12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望；（3）求这位参赛者闯关成功的概率．参考答案：1．C 【解析】 【分析】首先可通过题意求出正态分布曲线的对称轴，然后根据()()21P a P a ηη>=<-得出2112a a +-=，最后通过计算即可得出结果. 【详解】 因为()1,4N η，所以对称轴方程为1x η==，因为()()21P a P a ηη>=<-， 所以2112a a +-=，解得1a =， 故选：C. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态分布曲线的对称性，考查计算能力，是简单题. 2．C 【解析】两地中恰有一个地方降雨分为两种情况：甲地降雨乙地不降雨，乙地降雨甲地不降雨，分别求解然后求和可得结果. 【详解】因为甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，所以这两地中恰有一个地方降雨的概率为0.2(10.3)(10.2)0.30.38⨯-+-⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查事件的独立性，把事件分解为独立事件的积、互斥事件的和，是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养. 3．A 【解析】由概率的性质可得1a b c ++=，结合已知条件求出a 的值，即可求解.【详解】由概率的性质可得1a b c ++=， 由2,1,21b a c c ab a b c =+⎧⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩得4,71,32,21a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则4(2)7P X ==，故选：A 4．B 【解析】先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算出． 【详解】设事件A ：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B ：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为45，身体关节构造不合格的概率为34，所以()433545P B =⨯=，故()()321155P A P B =-=-=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题． 5．A 【解析】根据正态分布定义，求得比赛成绩不小于90分的学生人数所占比例，即可得结果. 【详解】依题意知，82,4μδ==所以()74900.954P x <≤= 则()()19010.9540.0232P x ≥=-⨯=，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为 1000000.0232300⨯=故选：A6．C 【解析】 【分析】设小明的得分为ξ，则ξ的可能取值为0、5、10、15，求出所对应的概率，即可得到得分ξ的分布列，从而求出数学期望；【详解】解：设小明的得分为ξ，则ξ的可能取值为0、5、10、15， 所以()111101112236P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111551112232312P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2121111111011232233P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2111152312P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；所以小明得分ξ的分布列为：所以小明答完这3道题的得分期望为1511200510156123123⨯+⨯+⨯+⨯=，故选：C. 7．B 【解析】 【分析】先分析A 最终能获胜有两种情况，分别计算概率，再相加即得结果. 【详解】在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜有两种情况： （1）第二局甲再次取胜，概率为23；（2）第二局甲败，第三局甲胜，概率为122339⨯=，故A 最终能获胜的概率为228399+=.故选：B. 【点睛】 方法点睛:计算条件概率通常有两种方法; (1)利用条件概率公式()()()P AB P A B P B =；(2)在事件B 已经发生的前提下，相当于缩小了总事件的空间容量，再计算()()()n AB P A B n B =，或利用独立关系直接计算事件B 发生后的概率情况. 8．D 【解析】 【分析】先根据几何概型求出一次试验中x y <发生的概率，再由二项分布的期望公式即可求数学期望． 【详解】从区间()0,3和()1,5内分别选取一个实数x ，y ，则03,15x y <<⎧⎨<<⎩表示的可行域为矩形ABCD 区域（不含边界），如图所示，0315x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩表示的可行域为图中的阴影部分（不含边界）．因为BEF 的面积为12222⨯⨯=，矩形ABCD 的面积为12，所以由几何概型可知，每次试验x y <发生的概率251126P =-=， 由题意知，53,6TB ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以x y <的次数T 的数学期望为55362⨯=． 故选：D ． 9．AC 【解析】 【分析】先由() 3.2E X =可得40.6m n +=，再由概率和为1得0.3m n +=，从而可求出,m n 的值，再利用期望公式求()E Y 即可，从而可得答案. 【详解】()120.130.3450.3 3.2E X m n =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以40.6m n +=，又因为0.10.30.31m n ++++=，所以0.3m n +=，从而得0.2m =，0.1n =，故A 选项正确，B 选项错误；()()23 3.4E Y E X =-+=-，故C 选项正确；()()()()3=3=2=++=0.3+0.1+0.2=01.6P X P X P X P X ≤=， ()()()=+3=4=0.4=5P X P X P X >，故D 选项不正确. 故选：AC. 10．ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意可知，100μ=，2100σ=，故A ，B 正确； 由题意得110μσ+=，3130μσ+=所以()()()()1110.317315.87%22P X P X μσμσμσ>+=--<<+≈⨯=⎡⎤⎣⎦，故C 错误； 所以()()()()13113310.0013599.87%2P X P X μσμσμσ<+=---<<+≈-=⎡⎤⎣⎦，故D 正确； 故选：ABD. 11．BC 【解析】 【分析】结合独立重复试验概率计算公式，计算出概率并求得方差，从而确定正确选项. 【详解】已知X 表示小球落入格子的号码，则X 的所有取值范围为1，2，3，4，5，6， 则()5111()232P X ===，由对称性可知()()16132P X P X ====，而()()14511525()2232P X P X C ====⋅⋅=，()()232511534()()2216P X P X C ====⋅⋅=，所以()()()()15571625343232162E X =+⨯++⨯++⨯=， ()22222271717575757551625342322322322322162164D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上得选项BC 正确． 故选：BC 12．AD 【解析】 【分析】利用超几何分布的概率公式可判断A 选项；利用独立重复试验的概率公式可判断B 选项；利用条件概率公式可判断C 选项；利用对立事件的概率公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，从中任取3球，恰有一个红球的概率是125237C C 1C 7=，A 对；对于B 选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为27，则3次取球中恰好有两个白球的概率为2232560C 77343⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭，B错；对于C 选项，从中不放回的取球2次，每次任取1球， 记事件:A 第一次取到红球，记事件:B 第二次取到红球，则()()()2527C C 2537P AB P B A P A ===，C 错；对于D 选项，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率3521817343⎛⎫-=⎪⎝⎭，D 对. 故选：AD. 13．12m - 【解析】 【分析】根据正态分布区间的对称性直接计算即可. 【详解】由2~(0,)X N σ，且(),0P X a m a >=> 则()P X a m <-=，所以()12P a X a m -<<=- 故答案为：12m - 14．0.495% 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算． 【详解】设事件A 表示“血检呈阳性”，事件B 表示“患该种疾病”.依题意知()0.005P B =，()0.99P A B =，由条件概率公式()()()P AB P A B P B =，得()()()0.0050.990.004950.495%P AB P B P A B ==⨯==.故答案为：0.495%． 15．59【解析】 【分析】由题可求过第一、二关的概率，再利用独立事件的概率公式即求. 【详解】由于骰子是均匀正方体，所以，抛掷后各点数出现的可能性是相等的.设事件An ，为“第n 次过关失败”，则对立事件n B 为“第n 次过关成功”，第n 次游戏中，基本事件总数为6n .第1关：事件1A 所含基本事件数为2（即出现点数1和2两种情况）. 所以，过此关的概率为 11221163B A P P =-=-=. 第2关：事件2A 所含基本事件数为方程x y a +=当a 分别取2、3、4时的正整数解组数之和，即6个.所以，过此关的概率为 222651166B A P P =-=-=. 故连过两关的概率为1259B B P P ⨯=.故答案为：59.16．12767【解析】 【分析】分别求出，0,1,2,3X =的概率，进一步求出所以()E X 和()P A . 【详解】由题意可知，随机变量X 的取值范围为{0，1，2，3}，()33371035C P X C ===，()12433712135C C P X C ===， ()21433718235C C P X C ===，()34374335C P X C ===，所以()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 由已知条件可得()()()121861235357P A P X P X ==+==+=. 故答案为：127；67. 17．3438【解析】 【分析】根据条件概率公式即求. 【详解】()215P A =，()415P B =，()110P AB =，()()()34P BA P B A P A ∴==，()()()38P AB P A B P B ==． 故答案为：34；38.18． 5 15【解析】 【分析】由概率和为1，可求出k 的值，由()()1,2,3,,15kP X k k k N *===∈可得15(1)(2)22P X P X P X ⎛⎫<<==+= ⎪⎝⎭【详解】 解：由题意得121151515k++⋅⋅⋅+=，得12315k +++⋅⋅⋅+=，解得5k =， 因为()()1,2,3,,15kP X k k k N *===∈，所以15121(1)(2)2215155P X P X P X ⎛⎫<<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：5，1519． 10 74分 【解析】 【分析】由已知，测评分值X 服从正态分布2(,)N μσ，根据图像，分别求解出μ，σ，根据给的参考数据，结合给定的范围，即可确定n 的值，然后根据区间[),m n 的范围，在图①输出满足条件的数据，即可确定k 的值，并根据k 的取值再去计算平均数即可. 【详解】有图像可知，X 服从正态分布2(,)N μσ，其中72μ=，5σ=，所以随机变量X ~(7225)N ，，()67770.6827P X <<=，()62820.9545P X <<=，由0.95450.6827(67)0.81860.95452P X n -<<==-，可得82n =.由图①可知，该班在[)67,82内抽取了10人； 所以，人均分为687073757271767876817410+++++++++=分.故答案为：10，74分. 20．(1)5975(2)乙 【解析】 【分析】（1）先求其对立事件的概率即可.（2）分别求甲乙两同学得分的概率分布及均值，比较甲乙两同学得分的均值的大小即可. (1)设甲同学三道题都答对的事件为A ,则()4221653575P A =⨯⨯=， 所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为()1659117575P P A =-=-=. (2)设甲同学本次竞赛中得分为X ，则X 的可能取值为0,2,4,6,8分，则()1133053575P X ==⨯⨯=, ()41312318253553575P X ==⨯⨯+⨯⨯=,()42311226453553575P X ==⨯⨯+⨯⨯=,()41212212653553575P X ==⨯⨯+⨯⨯=,()42216853575P X ==⨯⨯=,所以X 的概率分布列为：所以()318261216340680246875757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 设乙同学本次竞赛中得分为Y ，由Y 的可能取值为0,2,4,6,8分 ()32805125P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭, ()2123224255125P Y C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭, ()2232323045555125P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()2122336655125P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()332785125P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭, 所以Y 的概率分布列为：所以()82430362724024681251251251251255E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 所以6824155<，所以乙的得分能力更强. 21．（1）395；（2）分布列见详解；()25E X =.【解析】 【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.（2）由题意可得0,1,2x =，再利用二项分布的概率计算公式列出分布列，从而求出数学期望. 【详解】（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为A ，则()242206319095C P A C ===. （2）抽到一名优秀学生的概率为41205p ==， X 的取值为0,1,2，()20024********P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()111241815525P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()022241125525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故X 的分布列为：()168120122525255E X =⨯+⨯+⨯=22．（1）49；（2）分布列见解析，195()9E ξ=；（3）49.【解析】（1）设事件i A 这位参赛者回答对第i 个问题()1,2,3i =，则这位参赛者仅回答正确两个问题的情况有123A A A ，123A A A ，123A A A ，然后利用互斥事件的概率和公式求解即可； （2）由题意可得30,20,0,10,20,30,50,60ξ=--，然后依次求出各个的概率，列出分布列即可，从而可求出数学期望；（3）由（2）可得这位参赛者闯关成功的概率为(30)(50)(60)P P P P ξξξ==+=+= 【详解】（1）设事件i A 这位参赛者回答对第i 个问题()1,2,3i =， ①()()()123123123P P A A A P A A A P A A A =++ 22121112143323323329=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= （2）30,20,0,10,20,30,50,60ξ=-- ()1231(30)18P P A A A ξ=-==，()1231(20)9P P A A A ξ=-==，()1231(0)9P P A A A ξ===，()1232(10)9P P A A A ξ===，()1231(20)18P P A A A ξ===，()1231(30)9P P A A A ξ===， ()1231(50)9P P A A A ξ===，()1232(60)9P P A A A ξ===， ①ξ的分布列为：11121112195()30200102030506018999189999E ξ=-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由（2）得这位参赛者闯关成功的概率为4(30)(50)(60)9P P P P ξξξ==+=+==． 【点睛】关键点点睛：此题考查互斥事件和独立事件的概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，正确利用互斥事件和独立事件的概率公式，属于中档题。
高二数学高三新课：离散型随机变量的期望和方差人教版知识精讲.doc
高二数学高三新课：离散型随机变量的期望和方差人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：高三新课：离散型随机变量的期望和方差二. 本周教学重、难点： 1. 期望：（1）计算公式： ++++=n n p x p x p x E 2211ξ （2）性质：① b aE b a E +=+ξξ)( ② 若B ~ξ（p n ,），则np E =ξ③ 若ξ服从几何分布且),()(p k g k p ==ξ，则pE 1=ξ 2. 方差：（1）计算公式： +⋅-++⋅-+⋅-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ （2）性质：① ξξD a b a D 2)(=+② 若),(~p n B ξ，则)1(p q npq D -==ξ ③ 若ξ服从几何分布且),()(p k g k p ==ξ，则2pq D =ξ ④ 22)(ξξξE E D -=【典型例题】[例1] 某射手射击所得环数ξ的分布列ξ4 5 6 7 8 9 10P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 试估计该射手n 次射击的平均环数。
解：根据这名射手射击所得环数的分布列，在n 次射击中预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ次得4环，n n P 04.0)5(=⨯=ξ次得5环，n n P 22.0)10(=⨯=ξ次得10环，n 次射击总环数约等于n n n 22.01004.0502.04⨯++⨯+⨯)22.01004.0502.04(⨯++⨯+⨯= n ，从而平均环数等于32.822.01004.0502.04=⨯++⨯+⨯ ， 即32.8=ξE[例2] 某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习。
若某射手在某组练习中射击一次的命中概率为0.8，求在这组练习中耗用子弹数ξ的分布列，并求出ξ的期望值和方差值。
2023年高考数学----《期望与方差的实际应用》规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----《期望与方差的实际应用》规律方法与典型例题讲解【规律方法】数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度．现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差来对事件发生大小的可能性和稳定性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案．（1）若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量12,ξξ的期望，当12E E ξξ=时，不应认为它们一定一样好，还需要用12,D D ξξ来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏离程度．（2）若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近． （3）方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断． 【典型例题】例1．（2022春·河南·高三期末）根据疫情防控的需要，某地设立进口冷链食品集中监管专仓，集中开展核酸检测和预防性消毒工作，为了进一步确定某批进口冷链食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其进行化验，若结果为阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒．对于()N n n *∈份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n 次；二是混合检验，将k 份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份全为阴性，检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份究竟哪些为阳性，需要对它们再次取样逐份检验，则k 份检验的次数共为1k +1)p <<，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．（1）若取得8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）若对取得的8份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验，若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．若“方案二”比“方案一”更“优”，求p 的取值范围（精确到0．01）．【解析】（11)p <<，则阳性概率为11)p <<；则8份样本，采用逐个检测，发现恰有2个样本检测结果为阳性的概率(3116222248()C12821f p p p p ⎛⎫==−+ ⎪⎝⎭即73242()282f p p p p ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，所以311111114222424473()282144731443122f p p p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=−+=−+=−− ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为01p <<，所以11241410p p ⎛⎫− ⎪⎝⎭<当14430p −<，即4304p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，()0f p '>，所以()f p 在4304⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上单调递增； 当14430p −>，即4314p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，()0f p '<，所以()f p 在4314⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上单调递减； 所以()f p 在434p ⎛⎫= ⎪⎝⎭时取得最大值，即()f p 的最大值点403814256p ⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）若采用方案一，则需要检验的次数为8次， 即检验次数的期望值1()8E X =；若采用方案二：平均分成两组，每组4份样本采用混合检验， 则每组检测结果为阴性的概率为4p =，则为阳性的概率为1p −；所以检验次数2X 的所有可能取值为2610、、； 当两组检测结果全为阴性时，检验次数为2次，则()222p X p ==；当两组检测结果一组为阴性，另一组为阳性时，检测次数为6次，则()1226C (1)p X p p ==−； 当两组检测结果全为阳性时，检验次数为10次，则()2210(1)p X p ==−；此时，方案二的检验次数的期望值21222()26C (1)10(1)108E X p p p p p =+⨯−+−=−；若“方案二”比“方案一”更“优”，则21()()E X E X <， 即1088p −<，得0.251p << 即p 的取值范围为()0.25,1例2．（2022春·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的．切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设X 为离散型随机变量，则()()()2D X P XE X λλ−厔，其中λ为任意大于0的实数．切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X 的分布未知的情况下，对事件X λλ−…的概率作出估计． （1）证明离散型切比雪夫不等式；（2）应用以上结论，回答下面问题：已知正整数5n …．在一次抽奖游戏中，有n 个不透明的箱子依次编号为1,2,,n ，编号为()1i i n 剟的箱子中装有编号为0,1,,i 的1i +个大小､质地均相同的小球．主持人邀请n 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i 的箱子中抽取的小球号码为i X ，并记1nii X X i==∑．对任意的n ，是否总能保证()0.10.01P X n 剠（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论．附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量12,,,,n X X X X 满足1n i i X X ==∑，则有()1()ni i E X E X ==∑．【答案】（1）证明见解析（2）不能保证()0.10.01P X n 剠，证明见解析 【分析】通过方差的计算公式，结合()X E X λ−≥变形即可证明．结合所给公式，再()2()(())D X E X E X =−变形式子来解出()D X ，再利用第（1）证明的离散型切比雪夫不等式即可得到矛盾． （1）设X 的所有可能取值为12,,,,n x x x X 取i x 的概率为()1i P i n 剟．则()()()i ni x E X P X E X P λλ−≥−≥=∑，()X E X λ−≥ ()221i x E X λ−∴≥()()()()()()2222211i nni i i i i x E X x E X D X P X E X P P x E X λλλλλ=−≥−∴−≥≤⋅≤⋅−=∑∑（2）（2）由参考公式，()()11()2n n i i i i E X E X nE X E i i ==⎡⎤===⎢⎥⎣⎦∑∑． ()2211()(())2n i i X D X E X E X E i =⎡⎤⎛⎫=−=−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑22111111122222nn j i i i i i j n i X X X X E E E E i i j i =<=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑剟1ni i X D i =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，用到10(1)2i X E i n i ⎛⎫−= ⎪⎝⎭剟而2012114ij i j i X D i i =⎛⎫− ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪+⎝⎭∑…，故()4n D X …． 当160n =时，()240.10.40.0120.16nn P X n P X n n ⎛⎫<−< ⎪⎝⎭剠?， 因此，不能保证()0.10.01P X n 剠． 例3．（2022·全国·高三专题练习）一台机器设备由A 和B 两个要件组成，在设备运转过程中，A B ､发生故障的概率分别记作()()P A P B ､，假设A 和B 相互独立．设X 表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若()()0.1,0.2P A P B ==．（1）求出()()()0,1,2P X P X P X ===； （2）依据随机变量X 的分布，求()E X 和()D X ；（3）若1X 表示A 需要维修的数目，2X 表示B 需要维修的数目，写出1X X ､和2X 的关系式，并依据期望的线性性质和方差的性质，求()E X 和()D X ． 【解析】（1）因为()()0.1,0.2P A P B ==，所以()()()010.110.20.72P X ==−⨯−=， ()()()110.10.20.110.20.26P X ==−⨯+⨯−=， ()20.10.20.02P X ==⨯=．（2）由（1）得X 的分布列为：所以()00.7210.2620.020.3E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()22200.30.7210.30.2620.30.020.25D X =−⨯+−⨯+−⨯=． （3）由题意可得12X X X =+，且12,X X 均服从两点分布， 所以12()0.1,()0.2E X E X ==，12()0.1(10.1)0.09,()0.2(10.2)0.16D X D X =⨯−==⨯−=，所以1212()()()()0.3E X E X X E X E X =+=+=，因为12,X X 相互独立，所以1212()()()()0.25D X D X X D X D X =+=+=．。
1.2离散型随机变量的期望与方差典型例题
1.2 离散型随机变量的期望与方差 典型例题例1、一批产品共100件，其中有10件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数分布列与期望值，并说明5件中有3件以上（包括3件）为次品的概率．（精确到0．001）分析：根据题意确定随机变量及其取值，对于次品在3件以上的概率是3，4，5三种情况的和．解：抽取的次品数是一个随机变量，设为ξ ，显然ξ 可以取从0到5的6个整数． 抽样中，如果恰巧有k 个（5,4,3,2,1,0=k ）次品，则其概率为510059010)(C C C k P kk-⋅==ξ按照这个公式计算，并要求精确到0．001，则有.0)5( ,0)4( ,07.0)3( ,070.0)2( ,340.0)1( ,583.0)0(============ξ ξ ξ ξ ξ ξ P P P P P P故ξ 的分布列为.501.00504007.03070.02340.01583.00=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ E由分布列可知，.007.0)3( ,00007.0)3( =≥∴++=≥ξ ξ P P这就是说，所抽取的5件品中3件以上为次品的可能性很小，只有7％．例2、 某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10件，ξ为所含次品的个数，求ξE ． 分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05，ξ可能取值是：0，1，2，…，10．10次抽取看成10次独立重复试验，所以抽到次品数ξ服从二项分布，由公式np E =ξ可得解．解：由题，()05.0,10~B ξ，所以5.005.010=⨯=ξE ．说明：随机变量ξ的概率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决定ξ取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点．此题kkkC k P --⋅==1010)05.01()05.0()(ξ，应觉察到这是()05.0,10~B ξ．例3、设ξ 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 值，并求ξ ξ D E 、．分析：根据分布列的两个性质，先确定q 的值，当分布列确定时，ξ ξ D E 、只须按定义代公式即可． 解： 离散型随机变量的分布满足 （1）,,3,2,1,0 =≥i P i（2）.1321=+++ P P P 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+.1,1210,1212122q q q q 解得 .211-=q故ξ 的分布列为⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-⨯+⨯-=∴2231)12(021)1(ξ E .2122321 -=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--+-⨯-+⨯---=223)]21(1[)12()21(21)]21(1[ 222ξ D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⨯-=2232)12(21)22( 32.12223123622223 -=-+-+-+-=小结：解题时不能忽视条件i i p k P ==)(ξ时，10≤≤i p ，⋅⋅⋅=,2,1i 否则取了1>q 的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算．例4、有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数ξ的数学期望和方差．分析：求)(k P =ξ时，由题知前1-k 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1=ξ，发现规律后，推广到一般．解：ξ的可能取值为1，2，3，…，n ．;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(nn n n n n n n n P nn n n n n P nP =-⋅--⋅-=-⋅--⋅-===-⋅-=-⋅-====ξξξnk n k n k n n n n n n n k n k n n n nk P 111212312111)211()211()111()11()(=+-⋅+-+---⋅--⋅-=+-⋅+----⋅--⋅-== ξ；所以ξ的分布列为：211131211+=⋅++⋅+⋅+⋅=n nn nnnE ξ；nn n nn k nn nn nn D 1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222⋅+-++⋅+-++⋅+-+⋅+-+⋅+-= ξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+++++++-++++=n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1 1214)1(2)1()12)(1(611222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-++=n n n n n n n n n 说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．例5、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平．分析：一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即数学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小．（当然，亦可计算其标准差，同样说明道理．）解：甲保护区的违规次数1ξ的数学期望和方差为：;3.12.032.023.013.001=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE;21.12.0)3.13(2.0)3.12(3.0)3.11(3.0)3.10(22221=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξD乙保护区的违规次数2ξ的数学期望和方差为：;3.14.025.011.002=⨯+⨯+⨯=ξE41.04.0)3.12(5.0)3.11(1.0)3.10(2222=⨯-+⨯-+⨯-=ξD ；因为2121,ξξξξD D E E >=，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．（标准差64.0,1.12211≈===ξσξξσξD D 这两个值在科学计算器上容易获得，显然，σξσξ>1）说明：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等），这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周期变化，即计算其方差（或是标准差）．方差大说明随机变量取值分散性大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．例6、某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ 的分布列，并求出ξ 的期望ξ E 与方差ξ D （保留两位小数）．分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解．解： 该组练习耗用的子弹数ξ 为随机变量，ξ 可以取值为1，2，3，4，5．ξ ＝1，表示一发即中，故概率为;8.0)1(==ξ Pξ ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故;16.08.02.08.0)8.01()2(=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故;032.08.02.08.0)8.01()3(22=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故0064.08.02.08.0)8.01()4(33=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝5，表示第五发命中，故.0016.02.01)8.01()5(44==⋅-==ξ P因此，ξ 的分布列为0016.050064.04032.0316.028.01⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ E ,25.1008.00256.0096.032.08.0 =++++=0016.0)25.15(0064.0)25.14(032.0)25.13(16.0)25.12(8.0)25.11(22222⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξ D.31.00225.00484.0098.009.005.0 =++++=说明：解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值，然后再根据概率的知识求解对应的概率．例7、某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4％．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？分析：可能来多少人，是一个随机变量ξ．而ξ显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．解：设来领奖的人数)3000,,2,1,0(, ==k k ξ，所以kk k C k P --⋅==300003000)04.01()04.0()(ξ，可见()04.0,30000~B ξ，所以，12004.03000=⨯=ξE （人）100>（人）．答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品． 说明：“能”与“不能”是实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题．数字期望反映了随机变量取值的平均水平．用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值．因此，要想到用期望来解决这一问题．教你如何用WORD 文档 (2012-06-27 192246)转载▼ 标签： 杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知某一随机变量X的分布列如下：且，则a＝__________；b＝__________。
【答案】，【解析】由得，又由得。
【考点】随机变量的期望2.马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布律如下表x123请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ε)＝________.【答案】2【解析】令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1，又E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球即取出的3个球中有2个是旧球1个新球，所以，故选C.【考点】离散型随机变量及其分布列.4.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目X的数学期望值为________．【答案】2.376【解析】X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为5.已知离散型随机变量X的分布列如表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.【答案】【解析】由题意知解得6.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，V(X)＝，则x1＋x2的值为________．【答案】3【解析】由题意知，X的所有可能取值为x1，x2，则有解得或 (舍去)，∴x1＋x2＝3.7.A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为12A和B所获得的利润，求方差V(Y1)、V(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．【答案】(1)4 12 (2) x＝75时，f(x)＝3为最小值【解析】解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，V(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，V(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f(x)＝V＋V＝2V(Y1)＋2V(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋3×1002)，当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值.8.已知某离散型随机变量服从的分布列如图，则随机变量的方差等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由分布列可知【考点】分布列期望方差点评：分布列中各随机变量概率和为1，求期望方差只需将数据代入相应的公式即可，需要学生熟记公式9.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以表示取出次品的个数,则的期望值=．【答案】【解析】由题意，相当于从有2个次品的12个同类型的零件中取3个，取出次品的个数可能为0、1、2．套公式即可． , ，则根据期望公式可知其值的期望值=，故答案为。
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知某一随机变量X的分布列如下：且，则a＝__________；b＝__________。
【答案】，【解析】由得，又由得。
【考点】随机变量的期望2.设某地区型血的人数占总人口数的比为，现从中随机抽取3人.（1）求3人中恰有2人为型血的概率；（2）记型血的人数为，求的概率分布与数学期望.【答案】（1）;（2）,【解析】由已知从该地区随机抽取3人,相当于将试验独立地做了3次,并且每一次抽得型血的人发生的概率相等均为,且各次试验之间相互独立;从而可知型血的人数为服从参数为3和的二项分布,即,从而有（1）令k=2,则得结果；（2）由k=0,1,2,3得到的概率分布；再由公式可求得的数学期望.试题解析：（1）由题意，随机抽取一人，是型血的概率为， 2分3人中有2人为型血的概率为. 6分（2）的可能取值为0，1，2，3， 8分，，，， 12分故的概率分布为:. 14分【考点】1．二项分布；２．数学期望．3.哈六中体育节进行定点投篮游戏，已知参加游戏的甲、乙两人，他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．（12分）（1）求甲同学至少有4次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为.【解析】（1）由题可知概率符合n次独立重复实验发生m次的概率，其中甲同学至少有4次投中，包括投中四次与投中五次，满足二项分布，可得，求即可；(2) 求乙同学投篮次数的可能取值为，分别求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望.试题解析：（1）设甲同学在5次投篮中，有次投中，“至少有4次投中”的概率为，则==． 4分（2）由题意．，，，，．的分布表为12345的数学期望． 12分【考点】二项分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望.4.某市公租房房屋位于A、B、C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)若有2人申请A片区房屋的概率；(2)申请的房屋在片区的个数的X分布列与期望．【答案】（1）（2）X的分布列为：X123【解析】解:(1)所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C·22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为＝.(2)X的所有可能值为1,2,3.又p(X＝1)＝＝，p(X＝2)＝＝，p(X＝3)＝＝，综上知，X的分布列为：X123从而有E(X)＝1×＋2×＋3×＝.5.生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]（1）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（2）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（1）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为；（2）（i）；（ii）的分布列为：.【解析】（1）用指标大于或等于82所对应的的元件的个数除以总的元件个数即是正品的概率；（2）（i）先设生产的5件元件中正品件数为，次品件，由题意列出不等式，求解并确定的取值是4或5，然后再由次独立重复试验某事件恰好发生次的概率公式即可得到“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”的概率；（ii）根据题意分别求出一件A正品和一件B正品，一件A次品和一件B正品，一件A正品和一件B次品，一件A次品和一件B次品的概率，列出分布列，由公式求出数学期望即可.试题解析：（1）由题可知元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为．（2）（i）设生产的5件元件中正品件数为，则有次品件，由题意知得到，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件，则（ii）随机变量的所有取值为150,90,30，则，，所以的分布列为：.【考点】1.次独立重复试验某事件恰好发生次的概率；2.随机变量的分布列；3.数学期望.6.近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸．呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列，数学期望以及方差．下面的临界值表供参考：（参考公式，其中）【答案】（1）列联表补充如下患心肺疾病不患心肺疾病合计（3）分布列如下：.【解析】（1）先由全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为得到患心肺疾病的总人数：人，而女有10人，所以男有20人，进而可补充完列联表的内容；（2）先由公式计算出，然后结合提供的临界值表可作出结论的判断；（3）先确定所有可能的取值情况，然后根据超几何分布的概率计算方法得到各种取值的概率；最后由公式求出数学期望，由求出方差即可.试题解析：（1）因为在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，所以患心肺疾病的人共有人，而女有10人，所以男有20人，从而可得列联表如下患心肺疾病不患心肺疾病合计（2）因为，所以那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．（3）的所有可能取值：0，1，2，3分布列如下：则.【考点】1.独立性检验；2.超几何分布列；3.期望与方差.7.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，V(X)＝，则x1＋x2的值为________．【答案】3【解析】由题意知，X的所有可能取值为x1，x2，则有解得或 (舍去)，∴x1＋x2＝3.8.为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：两个路口进行试验．(Ⅰ)求这两种金额之和不低于20元的概率；(Ⅱ)若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）0.6（2）分布列为【解析】解：(Ⅰ)设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有=10种，满足金额之和不低于20元的有6种，故所求概率为P(A)=．. 4分(Ⅱ)根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35，分布列为EX==20． 10分【考点】古典概型以及分布列点评：主要是考查古典概型以及分布列的求解，属于中档题。
高考数学拔高题训练：离散型随机变量的期望与方差含详解
高考数学拔高题训练：离散型随机变量的期望与方差学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．对任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（）A ．6B ．9C ．12D ．212．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12521等.两位数的回文数有11，22，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（）A ．40B ．30C ．20D ．103．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11164．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为（）A ．85B ．86C ．91D ．905．已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则E ξ=A ．145B ．135C ．73D ．836．某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某个部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：时）均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的台数的均值为（）A ．600B ．420C ．375D ．2707．安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有A ．30种B ．40种C ．42种D ．48种8．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（）A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种二、填空题9．已知随机变量()~,B n p ξ，且6E ξ=，3D ξ=，则n =______.10．在MON ∠的边OM 上有5个异于O 点的点，边ON 上有4个异于O 点的点，以这10个点（含O 点）中的3个点为顶点，可以得到___________个三角形.11．某校周五的课程表设计中，要求安排8节课（上午4节、下午4节），分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的编排方法共有______．12．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，每一次取后不放回．若已知第1只是好的，则第2只也是好的的概率是______．三、解答题13．212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式一共有16项.（1）求展开式中二项式系数之和；（2）求展开式中的常数项.14．10张奖券中有3张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽1张，甲先抽，乙后抽.求：（1）甲中奖的概率.（2）乙中奖的概率.（3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.15．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．16．某超市每年10月份都销售某种桃子，在10月份的每天计划进货量都相同，进货成本为每千克16元，销售价为每千克24元；当天超出需求量的部分，以每千克10元全部卖出．根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温（单位：℃）有一定关系：最高气温低于25，需求量为1000千克；最高气温位于[25，30）内，需求量为2000千克；最高气温不低于30，需求量为3000千克．为了制订2020年10月份的订购计划，超市工作人员统计了近三年10月份的气温数据，得到下面的频率分布直方图．以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．（1）求2020年10月份桃子一天的需求量X的分布列；（2）设2020年10月份桃子一天的销售利润为Y元，当一天的进货量为多少千克时，E （Y）取到最大值？17．7本不同的书分给5人，每人至少1本，共有多少种不同的分法？18．随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．（1）若连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率；（2）若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列．参考答案：1．A 【解析】【分析】由33[(2)2]x x =-+，根据二项式定理可得特定项系数.【详解】因为33[(2)2]x x =-+，所以123C 26a =⨯=，故选：A.2．A 【解析】【分析】根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果.【详解】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8.如果末（首）位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以有41040⨯=个，故选：A 【点睛】本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.3．A 【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．4．B 【解析】【分析】根据题意，分三类，第1类，男生甲入选，女生乙不入选，第2类，男生甲不入选，女生乙入选，第3类，男生甲入选，女生乙入选，分别求得其方法数，然后利用分类计数原理求解.【详解】由题意，可分三类：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为122133434331C C C C C ++=；第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为122134343434C C C C C ++=；第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为2112343421C C C C ++=．所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86．故选：B 5．A 【解析】【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122i i E p p p ξξξξ=+++ +可求得数学期望.【详解】ξ的可能取值为2,3,4.2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故()33925525P ξ==⨯=.3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故()3223123555525P ξ==⨯+=.4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故()22445525P ξ==⨯=.所以9124142342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=.故选A.【点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布(),B n p ，也可以直接利用公式E np ξ=求期望.6．C 【解析】【分析】计算得出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的台数服从二项分布31000,8B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】由题意可知，该部件每个元件正常工作超过10000小时的概率均为12，则该部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的台数服从二项分布31000,8B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求均值为310003758⨯=.故选：C.7．C 【解析】利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A 照顾老人甲的情况和B 照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A 照顾老人甲的同时B 照顾老人乙的情况，从而得到结果.【详解】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：2264C C 90=种安排方法其中A 照顾老人甲的情况有：1254C C 30=种B 照顾老人乙的情况有：1254C C 30=种A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：1143C C 12=种∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种本题正确选项：C 【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.8．C 【解析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种，故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法；（2）之后就相当于三个元素的一个全排；（3）利用分步乘法计数原理求得结果.9．12【解析】根据二项分布的期望和方差公式可得出关于n 、p 的方程组，即可求得n 的值.【详解】()~,B n p ξ ，由二项分布的期望和方差公式得()613E np D np p ξξ==⎧⎨=-=⎩，解得1212n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.故答案为：12.【点睛】本题考查利用二项分布的期望和方差公式求参数，解答的关键就是得出关于n 和p 的方程组，考查运算求解能力，属于基础题.10．90【解析】【分析】从10个点中任取3个点有310C 种情况，然后减去三点共线的情况即可得答案【详解】先不考虑共线点的问题，从10个点中任取3个点有310C 种情况.其中从边OM 上的6个点（含O 点）中任取3个点为顶点，不能得到三角形，有36C 种情况；从边ON 上的5个点（含O 点）中任取3个点为顶点，也不能得到三角形，有35C 种情况.所以共可以得到3331065C C C 12020--=--1090=个三角形.故答案为：9011．2400种【解析】【分析】分三步，第一步：根据题意从第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，第二步：将数学和英语捆绑排列，第三步：将剩下的5节课全排列，最后利用分步乘法计数原理求解.【详解】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，有122A =（种）编排方法；第二步：因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列，所以有225A 10=（种）编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有55A 120=（种）编排方法．根据分步乘法计数原理知共有2101202400⨯⨯=（种）编排方法．故答案为：2400种12．59【解析】【分析】令A ={第1只是好的}，B ={第2只是好的}，在A 发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只是好的，由()1519C C P B A =可求得答案.【详解】解：令A ={第1只是好的}，B ={第2只是好的}，因为事件A 已发生，所以我们只研究事件B 即可，在A 发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只是好的，所以()1519C 5C 9P B A ==．故答案为：59.13．（1）152；（2）96096.【解析】【分析】（1）先由21(2n x x+的展开式一共有16项得15n =，即可求得展开式中二项式系数之和；（2）根据展开式的通项153031152r rr r T C x --+=⋅⋅，令3030r -=，即可求出常数项.【详解】（1）由21(2)n x x+的展开式一共有16项得15n =，∴2151(2)x x +得展开式中二项式系数之和为：152；（2）由2151(2x x+得展开式的通项为：()152********15122rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令3030r -=，得10r =，∴展开式中的常数项为10151015230033296096C -⋅=⨯=.【点睛】本题考查二项式定理及其应用，其中()na b +的展开式通项1C r n rr r n T a b -+=的熟练运用是关键，是基础题.14．（1）310；（2）310；（3）13【解析】【分析】（1）设“甲中奖”为事件A ，根据古典概型的概率公式计算可得；（2）设“乙中奖”为事件B ，则()()()()P B P AB AB P AB P AB =+=+，再求出()P AB ，()P AB ，即可得解；（3）根据条件事件的概率公式计算可得；【详解】解：（1）设“甲中奖”为事件A ，则()310P A =（2）设“乙中奖”为事件B ，则()()()()P B P AB AB P AB P AB=+=+又()32110915P AB =⨯=，()73710930P AB =⨯=所以()()()179315303010P B P AB P AB =+=+==（3）因为()710P A =，()730P AB =所以()()()7130|7310P AB P B A P A ===【点睛】本题考查古典概型的概率公式，条件概率的概率公式的应用，属于基础题.15．(1)3人，2人，2人；(2)①答案见解析；②67．【解析】【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（2）①随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=34337C C C k k -⋅（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为X0123P 13512351835435②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．16．（1）答案见解析；（2）2000千克．【解析】【分析】（1）由题意知X的可能取值为1000，2000，3000，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）设一天的进货量为n千克，则1000≤n≤3000，当100≤n＜2000时，求出E（Y）＝5.2n+2800＜13200；当2000≤n≤3000时，求出EY＝14000﹣0.4n≤13200，由此能求出当一天的进货量为2000千克时，E（Y）取到最大值．【详解】（1）由题意知X的可能取值为1000，2000，3000，P（X＝1000）＝（0.0089+0.0311）×5＝0.2，P（X＝2000）＝0.0800×5＝0.4，P（X＝3000）＝（0.0467+0.0333）×5＝0.4，∴X的分布列为：X100020003000P0.20.40.4（2）设一天的进货量为n千克，则1000≤n≤3000，①当1000≤n＜2000时，若最高气温不低于25，则Y＝8n，若最高气温低于25，则Y＝1000×8﹣（n﹣1000）×6＝14000﹣6n，此时E（Y）＝0.8×8n+0.2×（14000﹣6n）＝5.2n+2800＜13200．②当2000≤n≤3000时，若最高气温不低于30，则Y＝8n，若最高气温位于[25，30）内，则Y＝2000×8﹣（n﹣2000）×6＝28000﹣6n，若最高气温低于25，则Y＝1000×8﹣（n﹣1000）×6＝14000﹣6n，此时，EY ＝0.4×8n +0.4×（28000﹣6n ）+0.2×（14000﹣6n ）＝14000﹣0.4n ≤13200，当且仅当n ＝2000时，取等号，综上，当一天的进货量为2000千克时，E （Y ）取到最大值．17．16800(种)【解析】【分析】先将7本不同的书分成5组，每组有1、1、1、1、3本或1、1、1、2、2两种情况，再把这五组分配给5人，运用分步乘法原理可得结果.【详解】解:第一步，先把7本不同的书分成5组，每组有1、1、1、1、3本或1、1、1、2、2两种情况，有31111221117432175321423423140C C C C C C C C C C A A A +=⋅(种)方法.第二步，再把这五组分配给5人有55120A =(种)方法.故共有14012016800⨯=(种)不同的分法.18．（1）35；（2）分布列见解析.【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式即求；（2）由题知X 的取值范围为{}0,1,2，分别求概率，即得.【详解】（1）从袋子里连续抽取3次，每次取1个球，设事件A 为“取出1个黄色足球、2个白色足球”，则()122335C C 3C 5P A ==．（连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率问题可转化为从5个足球中选出3个足球，其中有1个黄色足球、2个白色足球的概率问题）（2）X 的取值范围为{}0,1,2，则()33351010===A P X A ，()11232335315C A A P X A ===，()221323353210===C A A P X A ．所以总得分X的分布列为：X012P 11035310。
高二 正态分布(期望、方差)讲义
期望、方差、正态分布 期望、方差知识回顾：1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 特别提醒：1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平2. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 2.期望的一个性质: ()E a b ξ+=aE b ξ+ 3.若ξ～B （p n ,），则ξE =np4.方差:ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…．5.标准差: ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．6.方差的性质： ξξD a b a D 2)(=+； 若ξ～B （p n ,），则=ξD )1(p np - 特别提醒：1. 随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；2. 随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 正态分布知识回顾：1.若总体密度曲线就是或近似地是函数R ,21)(222)(∈=--x ex f x σμσπ的图象，则其分布叫正态分布，常记作),(2σμN ．)(x f 的图象称为正态曲线．三条正态曲线：①5.0,1==σμ；②1,0==σμ；③2,1==σμ，其图象如下图所示：观察以上三条正态曲线，得以下性质：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．②曲线关于直线μ=x 对称，且在μ=x 时位于最高点．③当μ<x 时，曲线上升；当μ>x 时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．注意: 当1,0==σμ时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是R ,21)(22∈=-x e x f x π．相应的曲线称为标准正态曲线．2. 正态总体的概率密度函数：,,21)(222)(R x ex f x ∈=--σμσπ式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差； 当0μ=时得到标准正态分布密度函数：()()221,,26xf x e x π-=∈-∞+∞.3.正态曲线的性质：① 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ② 曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称； ③ 曲线在x ＝μ处达到峰值πσ21；④ 曲线与x 轴之间的面积为1；4. σμ,是参数σμ,是参数的意义:① 当σ一定时，曲线随μ质的变化沿x 轴平移；② 当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中； σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题
高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题考点预测和题型解析在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
属于基础题或中档题的层面。
高考中一定要尽量拿满分。
● 考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。
● 复习建议1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用. 离散型随机变量的分布列的作用是：（1）可以了解随机变量的所有可能取值； （2）可以了解随机变量的所有取值的概率；（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。
2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。
4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。
● 知识点回顾1．离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值） 简称为期望。
① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。
② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。
③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值。
④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态。
（2）期望的性质：① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则pE 1=ξ （几何分布） 2．离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量ξ可能取的值为,,,,,21 n x x x 且这些值的概率分别为 ,,,,,321n p p p p则称 +-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；为ξ 的方差。
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知随机变量X的分布列为则E(6X＋8)＝()A．13.2 B．21.2 C．20.2 D．22.2【答案】B【解析】由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.2.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立．(1)求小王过第一关但未过第二关的概率；(2)用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．【答案】（1）（2）X的分布列为X0100030006000∴X的数学期望E(X)＝2160，【解析】(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1＝()2×(＋×)＝．则P1(2)X的所有可能取值为0,1000,3000,6000，则P(X＝0)＝＋×＝，P(X＝1000)＝()2×(＋×)＝，P(X＝3000)＝()2×()2×[()2＋×()2×2]＝，P(X＝6000)＝()2×()2×[()2＋ ()2×]＝，∴X的分布列为∴X的数学期望E(X)＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160．3.甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数X的数学期望是()A．B．C．1D．【答案】A【解析】依题意，X的取值为0,1,2，且P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，P(X＝2)＝×＝．故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝，故选A．4.某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为、、，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望E(ξ)的值为________．0123【答案】【解析】∵a＝××＋××＋××＝，b＝××＋××＋××＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．5.某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有8人．（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；3（2）详见解析【解析】（1）频率分布直方图中每个小矩形的面积表示概率，概率和为1，则可求得。
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高三数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的数学期望为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴ξ的分布列为ξ012∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.选B.2.某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为 .【答案】【解析】设＝1,2,3,4,5的概率分别为，则由题意有，，对于，当越大时，其值越大，又，因此，所以，解得．【考点】随机变量的均值（数学期望），排序不等式．3.（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=_________．【答案】【解析】由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，∵P（X=0）=，∴，∴p=，P（X=1）=+=P（X=2）==，P（X=3）=1﹣=，∴E（X）==，故答案为：4.已知离散型随机变量ξ1的概率分布为离散型随机变量ξ2的概率分布为求这两个随机变量数学期望、方差与标准差．【答案】4；4；0.2.【解析】E(ξ1)＝1×＋2×＋…＋7×＝4；V(ξ1)＝(1－4)2×＋(2－4)2×＋…＋(7－4)2×＝4，σ1＝＝2.E(ξ2)＝3.7×＋3.8×＋…＋4.3×＝4；V(ξ2)＝0.04，σ2＝)＝0.2.5.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E(X)＝________．【答案】【解析】用分布列解决这个问题，根据题意易知X＝0，1，2，3.列表如下：X0123所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.6.为防止山体滑坡，某地决定建设既美化又防护的绿化带，种植松树、柳树等植物．某人一次种植了n株柳树，各株柳树成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活柳树的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差σ(ξ)为.(1)求n、p的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的柳树未成活，则需要补种，求需要补种柳树的概率．【答案】（1）n＝6，p＝，（2）【解析】(1)由E(ξ)＝np＝3，(σ(ξ))2＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝，ξ的分布列为(2)记“需要补种柳树”为事件A,则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝.7.甲向靶子A射击两次，乙向靶子射击一次.甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分.（1）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；（2）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望.【答案】（1）0.18；（2）详见解析.【解析】本题主要考查二项分布、独立事件、随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由题意分析，“甲乙二人共命中”共有2种情况：一种是甲射击2次中一次、乙没中，一种情况是甲射击2次都没中、乙中一次；第二问，由题意分析：甲乙射击是否命中有以下几种情况：1.甲2次都没中、乙没中，2.甲2次都没中、乙中一次，3.甲2次中一次、乙没中，4.甲2次中1次、乙中1次，5.甲2次都中、乙没中，6.甲2次都中、乙中一次，共6种情况，所以得分情况分别为0分、5分、10分、15分、20分，共5种情况，分别与上述情况相对应，求出每一种情况的概率，列出分布列，再利用计算数学期望.试题解析：（1）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A，则P(A)＝0.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18． 4分（2）X的可能取值为0，5，10，15，20．P(X＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P(X＝5)＝0.8×0.2×0.5＝0.16，P(X＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P(X＝15)＝0.8×0.2×0.5＝0.16，P(X＝20)＝0.82×0.5＝0.32．X的分布列为X05101520X的期望为E(X)＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13． 12分【考点】二项分布、独立事件、随机变量的分布列和数学期望.8.现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，（0<t<2），且三个人是否应聘成功是相互独立的.（1）若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；（2）记应聘成功的人数为，若当且仅当为=2时概率最大，求E（）的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）乙、丙有且只有一个人应聘成功分为乙成功且丙不成功和乙不成功且丙成功两种情况，根据相互独立事件有一个发生的概率公式列出关于t的方程，解之即可.（2）写出随机变量的所有可能取值，然后计算出相应的概率，列出分布列，求出E（）的表达式，由于=2时概率最大，可得，，，而0<t<2，解得，即得E（）的取值范围..试题解析：（1）由题意得，解得. 3分（2）的所有可能取值为0，1，2，3；；；.故的分布列为：7分. 8分由题意得：，，，又因为所以解得的取值范围是. 11分. 12分【考点】1.相互独立事件的概率；2.随机变量的分布列和数学期望.9.甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量为两人中能达标的人数，则的数学期望为．【答案】1.6【解析】甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8.所以相当与他们是独立性重复的实验，所以=，即=.【考点】1.独立性重复试验.2.数学期望的公式.10.生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：81240328（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为（Ⅱ）（i）（ii）所以的分布列为：1509030-30【解析】（Ⅰ）用频率估计概率值;（Ⅱ）设出随机变量,确定随机变量的所有可能取值,求出各个取值的概率,列出概率分布表,从而得出答案.试题解析：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为。
期望与方差-- 经典例题 -拓展习题-方法总结
离散型随机变量的分布列、期望与方差1、高考考点链接“离散型随机变量的分步列，均值和方差”在“排列与组合”知识的延伸，在本讲的学习中，同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性．要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件，会用分布列来计算这类事件的概率，计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．在高考中，这部分知识通常有一道解答题，占12─14分左右，主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力，凸显数学的应用价值．2、高考考点梳理知识结构：1.离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，… ξ每一个值x i （i =1，2，┄）的概率P （ξ=x i ）=p i ，则称表为离散型随机变量ξ的概率分布（分布列）． 2.随机变量的期望与方差：n n i i p x p x p x p x EX +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=2211为随机变量X 的均值或数学期望．+-=121)(p EX x DX +⋅⋅⋅+-222)(p EX x ⋅⋅⋅+-i i p EX x 2)(+n n p EX x 2)(-为随机变量X 的方差．3、经典例题选讲与方法归纳例1 某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将失去全部资金的50%．下边是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功：192次；投资失败：8次.则该公司一年后估计可获收益的期望是 （万元）． 解析：获得收益ξ的概率分布为：Eξ=53×20019225-×=20080.476（万元）.归纳小结：收益ξ的取值及相应概率的确定是解决问题的基础．本题考查求数学期望的方法，按照确定随机变量的取值——求出相应的概率——再求数学期望的步骤来求．例2（2009年安徽卷）某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区．B 肯定是受A 感染的．对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12．同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13．在这种假定之下，B 、C 、D 中直接．．受A 感染的人数X 就是一个随机变量．写出X 的分布列（不要求写出计算过程），并求X 的均值（即数学期望）．分析一：X 的所有可能取值为1，2，3．313221)1(=⨯==X P ;2121313221)2(=⨯+⨯==X P ;613121)3(=⨯==X P .分析二：共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1：在情形①和②之下，A 直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A 直接感染了两个人；在情形⑥之下，A 直接感染了三个人．解：随机变量X 的分布列是：X 的均值为111111233266E X =⨯+⨯+⨯=．归纳小结：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．体现数学的应用价值．例3 某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ． （1）求该运动员两次都命中7环的概率； （2）求ξ的分布列.解：（1）求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=⨯=P ； （2）ξ的可能取值为7、8、9、10．04.0)7(==ξP ；21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP ；39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP ；36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP ．ξ分布列为：ξ的数学希望为70.0480.2190.39100.369.07E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．归纳小结：在求最高环数为8环时，有一种可能是7环、8环，学生容易认为其概率值为0.2×0.3，没有考虑到两次射击依次为7环、8环和8环、7环，其概率值应为2×0.2×0.3． 本题考查学生对于离散型随机变量的概率及期望的求法的掌握，另一方面也考查学生分类讨论的数学思想和运算求解的能力．例4（2009山东卷理）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（1）求q 2的值；（3）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解:（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )=0.25，()0.75P A =，P (B )= q 2，2()1P B q =-．根据分布列知：ξ=0时22()()()()0.75(1)P A B B P A P B P B q ==-=0.03，所以210.2q -=，q 2=0.8．（2）当ξ=2时，P 1=)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +==0.75q 2(21q -)×2=1.5q 2(21q -)=0.24． 当ξ=3时，P 2 =22()()()()0.25(1)P A B B P A P B P B q ==-=0.01， 当ξ=4时，P 3=22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ===0.48， 当ξ=5时，P 4=()()()P A BB AB P A BB P AB +=+222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+=0.24．所以随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB B BB BB ++()()()P BBB P B BB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72．由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大．归纳小结：本题主要考查了互斥事件的概率，相互独立事件的概率和数学期望，以及运用概率知识解决问题的能力．例 5 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，．椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解：（Ⅰ）由概率分布的性质知，0.10.3210.2a a a +++=∴=则ξ的分布列为：00.110.320.430.2 1.7E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）设事件A 表示“2个月内共被投诉2次”，事件1A 表示“2个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”，事件2A 表示“2个月内每个月均被投诉1次”，则由事件的独立性可得：112()(2)(0)20.40.10.08P A C P P ξξ====⨯⨯=；222()[(1)](0.3)0.09P A P ξ====；12()()()0.080.090.17P A P A P A =+=+=．故该企业在这两个月共被投诉2次的概率为0.17．归纳小结：本题考查概率分布的性质，互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，对学生的逻辑推理能力和运算能力有要求．例6（2008年广东卷）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．（1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1％，一等品率提高为70％．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解：（1）ξ的所有可能取值有6，2，1，－2；126(6)0.63200P ξ===，50(2)0.25200P ξ===20(1)0.1200P ξ===，4(2)0.02200P ξ=-==．故ξ的分布列为：（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯=； （3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为：()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =⨯+⨯---+-⨯=-≤≤．依题意，E (x )≥4.73，即4.76－x ≥4.73，解得x≤0.03．所以三等品率最多为3％．例7（2008年湖北卷）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1，2，3，4）．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=a ξ－b ，Eη=1，Dη=11，试求a ，b 的值． 解：（Ⅰ）ξ的分布列为：∴1113101234 1.522010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.7522010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．（Ⅱ）由D a D η=ξ2，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以 当a =2时，由1＝2×1.5+b ，得b=－2； 当a =－2时，由1＝－2×1.5+b ，得b =4．∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求．归纳小结：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力．4、方法归纳总结本讲知识趣味性和应用性较强，而且在高考中还占据举足轻重的地位，因此，同学们应引起足够的重视，立志学好它，在复习过程中，不用做很多“偏题、难题”抓住课本中要求的知识点，重视基础知识和基本技能，不断提高自己的逻辑推理能力和运算能力，一定能取得好成绩！1随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是随机变量，η=a ξ+b ，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一5 离散型随机变量的分布列:①,2,1(0=≥i p i …)； ②P 1+P 2+…=17 连续型随机变量概率分布：由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)； 总体分布密度函数的两条基本性质：①f(x) ≥0(x ∈R)；②由曲线y=f(x)与x 轴围成面积为18二项分布:ξ～B (n ，p )，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．9几何分布： g(k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．题型讲解例1 某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意连续取出2件，其中次品数ξ 的概率分布是解：大批产品中抽取产品，认为次品数ξ 服从二项分布B(2, 005)空格中应填 09025, 0095, 00025点评：离散型随机变量的概率分布，二项分布是高考重点例2 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列； （2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列分析：随机变量ξ可以取0，1，2，η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析解：（1）P （ξ=0）=31038C C =157，P （ξ=1）=3102812C C C =157，P （ξ=2）=3102218C C C =151，所以ξ的分布列为（2）P (η=k )=C k8·083－k ·02k （k =0，1，2，3），所以η的分布列为二是求出取每一个值时的概率 ②放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即η～B （3，08）例3 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列分析：因为在编号为1，2，3，4，5的球中，同时取3只，所以小号码可能是1或2或3，即ξ可以取1，2，3解：随机变量ξ的可能取值为1，2，3当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P （ξ=1）=3524C C =106=53；当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P （ξ=2）=3523CC =103；当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P （ξ=3）=3522CC 1因此，ξ的分布列如下表所示： 互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验有k 次发生的概率等本题中基本事件总数，即n =C 35，取每一个球的概率都属古典概率（等可能性事件的概率）例4 袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用ξ表示分数，求ξ的概率分布解：ξ可能取的值为0,1,2,3,4，从袋中随机地取2个球，包含的基本事件总数为29C()6102924===∴C C P ξ ，()311291314=⋅==C C C P ξ，()3611229121423=⋅+==C C C C P ξ，()613291213=⋅==C C C P ξ，()36142922===C C P ξ∴随机变量ξ的分布列为例5 已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及E ξ分析：每次取1件产品，∴至少需2次，即ξ最小为2，有2件次品，当前2次取得的都是次品时，ξ=4，所以ξ可以取2，3，4解：P （ξ=2）=108×97=4528； P （ξ=3）=108×92×87+102×98×87=4514；P （ξ=4）=1－4528－45141∴ξ的分布列如下：E ξ=2×P （ξ=2）+3×P （ξ=3）+4×P （ξ=4）22点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力例6 盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的（用过的球即为旧的），从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列分析：从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2个旧的1个新的，1个旧的2个新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即ξ可以取3，4，5，6解：ξ的所有可能取值为3，4，5，6P （ξ=3）=31233C C =2201；P （ξ=4）=3122319C C C =22027；P （ξ=5）=3121329C C C =5527；P （ξ=6）=31239C C 21所以ξ的分布列为取某个值时对应的事件个数例6 某人参加射击，击中目标的概率是31①设ξ为他射击6次击中目标的次数，求随机变量ξ的分布列； ②设η为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求η的分布列；③若他连续射击6次，设ξ为他第一次击中目标的次数，求ξ的分布列； ④若他只有6颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他 射击次数ξ的分布列解：①随机变量ξ服从二项分布⎪⎭⎫⎝⎛31,6B ，而ξ的取值为0,1,2,3,4,5,6，则()()6,5,4,3,2,1,0323166=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P kkk ξ故ξ的分布列为：②设k =η表示他前1-k 次未击中目标，而在第k 次射击时击中目标，则η的取值为全体正整数1,2,3,… 则()() ,3,2,131321=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k P k ηη∴的分布列为③设k =ξ表示前k 次未击中目标，而第1+k 次击中目标，ξ的取值为0,1,2,3,4,5，当6=ξ时，表示射击6次均未击中目标 则()()5,4,3,2,1,03132=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==k k P kξ而()6326⎪⎭⎫⎝⎛==ξPξ∴的分布列为④设k =ξ，表示前1-k 次未击中，而第k 次击中，5,4,3,2,1=k2 P k 3k 11 3k 1, 2 , 3 , 4 , 5 ；而 6 表示前 5 次未击中，第 6 次可以击中，也可以未击中2 P 6 35 的分布列为：11 322 934 2748 81516 243632 729P 小结：1 离散型随机变量的概率分布的两个本质特征：pi≥0（i=1，2，„，n）与 pi=1 是确定分新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/n新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/i 1布列中参数值的依据 2 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ 的取值情况，然后利用排列、组 合与概率知识求出ξ 取各个值的概率 即必须解决好两个问题，一是求出ξ 的所有取值，二是求 出ξ 取每一个值时的概率 应按下述三个步骤进行： ①明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； ②利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率； ③按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证 3 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 4 处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量 5 求一些离散型随机变量的分布列，在某种程度上就是正确地求出相应的事件个数，即相应 的排列组合数，所以学好排列组合是学好分布列的基础与前提 学生练习 1 抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ ，那么ξ =4 表示的随机试验结果是 A 两颗都是 2 点 B 一颗是 3 点，一颗是 1 点 C 两颗都是 4 点 D 一颗是 3 点，一颗是 1 点或两颗都是 2 点 解析：对 A、B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值 4，而 D 是 ξ =4 代表的所有试 验结果 掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键 答案：D 2 下列表中能成为随机变量ξ 的分布列的是（ ） A B新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆源头学子 小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆源头学子 小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/ξ P－1 03新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/0 04新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/1 04新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/ξ P1 04新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/2 07新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/3 －0 1新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc//wxc//wxc//wxc//wxc/Cξ P新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@D－1 03新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@0 04新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/1 03新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc//wxc/11ξ P1 03新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/2 04新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/3 04新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc//wxc/解析：A、D 不满足分布列的基本性质②，B 不满足分布列的基本性质① 答案：C 3 已知随机变量ξ 的分布列为 P（ξ =k）=新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@1 2k新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/，k=1，2，„，则 P（2<ξ ≤4）等于 D1 23A3新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@B1新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@C1新疆 源头学子小屋/wxc/1新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@特级教师 王新敞wxckt@164165解析：P（2<ξ ≤4）=P（ξ =3）+P（ξ =4）=+1 24=3新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@16答案：A 4 袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1，2，3，4，5 五个号码，现在在有放回抽取的条件 下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ ，则ξ 所有可能取值的个数是 A5 B9 C 10 D 25 解析：号码之和可能为 2，3，4，5，6，7，8，9，10，共 9 种 答案：B 5 一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到 红球出现 10 次时停止，设停止时共取了ξ 次球，则 P（ξ =12）等于新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc//wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc//wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/A C 10 （ ）10· （ 12新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/35 8新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/）289 B C 11 （ ）9（新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/35 8新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/）2·5 83 889 C C 11 （新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/5 8新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/）9· ）2 （839 D C 11 （ ）9· （新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/3新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/）238解析： P （ξ =12） 表示第 12 次为红球， 11 次中有 9 次为红球， 前 从而 P （ξ =12） 11 · ） =C 9 （89（5 8）2×3新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@8答案：B 6 某批数量较大的商品的次品率为 10%，从中任意地连续取出 5 件，其中次品数ξ 的分布列 为________ 解析：本题中商品数量较大，故从中任意抽取 5 件（不放回）可以看作是独立重复试验 n=5， 因而次品数ξ 服从二项分布，即ξ ～B（5，0 1） ξ 的分布列如下：新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/ξ P新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/0 09新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/152新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/3新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/4新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/5新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/0 5×0 9新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/4新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/0 1×0 9新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/3新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/0 01×0 9新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/2新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/4 5×0 1新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/4新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/0 15新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/7 设随机变量ξ ～B（2，p） ～B（4，p） ，η ，若 P（ξ ≥1）=新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/5 9，则 P（η ≥1）=______新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@解析：P（ξ ≥1）=1－P（ξ <1）=1－C 0 p0· （1－p）2= 2 ∴p= ，P（η ≥1）=1－P（η =0）=1－C 0 （ ）0（ 43 3 1 12 35 9，16 81）4=1－=65新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@81答案：新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/65 818 现有一大批种子，其中优质良种占 30%，从中任取 5 粒，记ξ 为 5 粒中的优质良种粒数， 则ξ 的分布列是________新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/k 解析：ξ ～B（5，0 3） 的分布列是 P（ξ =k）=C 5 0 3k0 75 k，k=0，1，„，5 ，ξ新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@－新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc//wxc//wxc//wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc//wxc//wxc//wxc/特级教师 王新敞wxckt@12k 答案：P（ξ =k）=C 5 0 3k0 75 k，k=0，1，„，5新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@－新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/9 袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量ξ ，则 P（ξ ≤6）=________ 解析：取出的 4 只球中红球个数可能为 4，3，2，1 个，黑球相应个数为 0，1，2，3 个 其新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/分值为ξ =4，6，8，10 分 P（ξ ≤6）=P（ξ =4）+P（ξ =6）=新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/C 4C 3 C4 740新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/+C 4C 3 C4 731=13新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@35答案：新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/13 3510 （2004 年天津，理 18）从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛 设随机变量ξ 表 示所选 3 人中女生的人数 （1）求ξ 的分布列； （2）求ξ 的数学期望； （3）求“所选 3 人中女生人数ξ ≤1”的概率 解： （1）ξ 的可能取值为 0，1，2新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc//wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/P（ξ =k）=C2 C4 C63k3 k，k=0，1，2新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@∴ξ 的分布列为ξ 01 513 521 5P（2）由（1） ，可知 Eξ =0×1 5+1×3 5+2×1 5=1新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@（3） “所选 3 人中女生人数ξ ≤1”的概率为 P（ξ ≤1）=P（ξ =0）+P（ξ =1）=新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/4新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@新疆 源头学子小屋/wxc/特级教师 王新敞wxckt@511 A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是 A1、A2、A3，B 队队员 是 B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/对阵队员 A1 对 B1 A2 对 B2 A3 对 B3A 队队员胜的概率2 3 2 5A 队队员负的概率1 33 52 5新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/3 5新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分 设 A 队、B 队最后所得总分分别为 ξ 、η （1）求ξ 、η 的概率分布； （2）求 Eξ 、Eη 分析： 本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念， 考查运用概率知识解决实际问题 的能力新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@ /wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞wxckt@/wxc/13。
第9课时随机变量的期望与方差习题和答案详解
(第一次作业)1．随机变量X 的分布列为则E(5X ＋4)等于( ) A ．15 B ．11 C ．2.2 D ．2.3答案 A解析 ∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X ＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15. 2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取到次品的个数，则E(X)等于( ) A.35 B.815 C.1415 D ．1 答案 A解析 离散型随机变量X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，∴E(X)＝nM N ＝2×310＝35.3．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为( ) A ．1 B ．n C.n ＋12D.n －12答案 C解析 已知每一位学生打开柜门的概率为1n ，∴打开柜门需要试开的次数的平均数(即数学期望)为1×1n ＋2×1n ＋…＋n ×1n ＝n ＋12，故选C.4．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X ，得分为Y ，则E(X)，D(Y)分别为( ) A ．0.6，60 B ．3，12 C ．3，120 D ．3，1.2 答案 C解析 X ～B(5，0.6)，Y ＝10X ，∴E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2.D(Y)＝100D(X)＝120.5．(2019·银川一模)已知随机变量X 的分布列如表所示，其中α∈(0，π2)，则E(X)＝( )A.2 C ．0 D ．1答案 D解析 由随机变量的分布列的性质，得sinα4＋sinα4＋cosα＝1，即sinα＋2cosα＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧sinα＝2－2cosα，sin 2α＋cos 2α＝1，得5cos 2α－8cosα＋3＝0，解得cosα＝35或cosα＝1(舍去)，则sinα＝45，则E(X)＝－sinα4＋2cosα＝－14×45＋2×35＝1.故选D.6．(2018·浙江)设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0，1)内增大时，A ．D (ξ)减小 B ．D(ξ)增大C ．D (ξ)先减小后增大 D ．D(ξ)先增大后减小答案 D解析 由题可得E(ξ)＝12＋p ，所以D(ξ)＝－p 2＋p ＋14＝－(p －12)2＋12，所以当p 在(0，1)内增大时，D (ξ)先增大后减小．故选D.7．(2019·衡水中学调研卷)已知一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当成功次数的标准差的值最大时，p 及标准差的最大值分别为( ) A.12，5 B.45，25 C.45，5 D.12，25 答案 A解析 记ξ为成功次数，由独立重复试验的方差公式可以得到D(ξ)＝np(1－p)≤n(p ＋1－p 2)2＝n 4，当且仅当p ＝1－p ＝12时等号成立，所以D(ξ)max ＝100×12×12＝25，D （ξ）max ＝25＝5.8．(2019·山东潍坊模拟)已知甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X 表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y 表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经考察一段时间，X ，Y 的分布列分别是：X 0 1 2 3 P0.70.10.10.1Y 0 1 2 P0.50.30.2据此判定( )A ．甲比乙质量好B ．乙比甲质量好C ．甲与乙质量相同D ．无法判定 答案 A解析 E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙质量好．9.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )A.126125B.65 C.168125 D.75答案 B解析 由题意知X ＝0，1，2，3，P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，∴E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65. 10．(2019·合肥一模)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X 为取出3个球的总分值，则E(X)＝( ) A.185 B.215 C ．4 D.245答案 B解析 由题意知，X 的所有可能取值为3，4，5，且P(X ＝3)＝C 33C 53＝110，P(X ＝4)＝C 32·C 21C 53＝35，P(X ＝5)＝C 31·C 22C 53＝310，所以E(X)＝3×110＋4×35＋5×310＝215. 11．(2019·山东潍坊期末)某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( ) A ．3 B.83 C ．2 D.53答案 B解析 在一轮投篮中，甲通过的概率为P ＝89，未通过的概率为19.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X 的可能取值为0，1，2，3，则P(X ＝0)＝(19)3＝1729，P(X ＝1)＝C 31×89×(19)2＝24729，P(X ＝2)＝C 32×(89)2×19＝192729，P(X ＝3)＝(89)3＝512729. ∴随机变量X 分布列为数学期望E(X)＝0×1729＋1×24729＋2×192729＋3×512729＝83. 12．(2017·课标全国Ⅱ，理)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________． 答案 1.96解析 依题意，X ～B(100，0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.13．(2015·重庆，理)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望． 答案 (1)14 (2)35解析 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C 21C 31C 51C 103＝14. (2)X 的所有可能值为0，1，2，且P(X ＝0)＝C 83C 103＝715，P(X ＝1)＝C 21C 82C 103＝715，P(X ＝2)＝C 22C 81C 103＝115.综上可知，X 的分布列为X 0 1 2 P715715115故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．14．(2019·《高考调研》原创题)为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，衡水市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图)．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X ，求X 的数学期望和方差．答案 (1)0.35 (2)5.64，2.989 2解析 (1)设8月份一天中发生雷电天气的概率为p ，由已知，得p ＝14.5731＝0.47.因为每一天发生雷电天气的概率均相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率P ＝C 32×0.472×(1－0.47)＝0.351 231≈0.35. (2)由题意，知X ～B(12，0.47)．所以X 的数学期望E(X)＝12×0.47＝5.64， X 的方差D(X)＝12×0.47×(1－0.47)＝2.989 2.15．(2019·福建龙海二中摸底)某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；汽车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1－p 若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．(1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率；(2)在(1)的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数X 的分布列和数学期望．答案 (1)13 (2)56解析 (1)依题意，“三辆汽车中恰有一辆汽车被堵”包含只有甲被堵，只有乙被堵和只有丙被堵三种情形．∴C 21×14×34×(1－p)＋(34)2×p ＝716，即3p ＝1，∴p ＝13.(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3.P(X ＝0)＝34×34×23＝38，P(X ＝1)＝716，P(X ＝2)＝14×14×23＋C 21×14×34×13＝16，P(X ＝3)＝14×14×13＝148，∴X 的分布列为∴E(X)＝0×38＋1×716＋2×16＋3×148＝56.16．(2019·湖北潜江二模)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表： 投资股市：购买基金：(1)当p ＝14时，求q 的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，q ＝16，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？结合结果并说明理由．答案 (1)512 (2)35<p ≤23(3)丙选择“投资股市”，理由略解析 (1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ＋13＋q ＝1.又因为p ＝14，所以q ＝512.(2)记事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”． 则C ＝AB ∪AB ∪AB ，且A ，B 独立． 由题表可知，P(A)＝12，P(B)＝p.所以P(C)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝12·(1－p)＋12p ＋12p ＝12＋12p.因为P(C)＝12＋12p>45，所以p>35.又因为p ＋13＋q ＝1，q ≥0，所以p ≤23，所以35<p ≤23.(3)假设丙选择“投资股市”方案进行投资，且记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)， 所以随机变量X 的分布列为则E(X)＝4×12＋0×18＋(－2)×38＝54.假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)， 所以随机变量Y 的分布列为则E(Y)＝2×12＋0×13＋(－1)×16＝56.因为E(X)>E(Y)，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．(第二次作业)1．(2019·广东七校联考)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．答案(1)预期收益为14.4万元．(2)当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以．解析(1)设下周一无雨的概率为p，由题意得，p2＝0.36，解得p＝0.6，基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16.∴基地收益X的分布列为E(X)＝20×0.36＋15×∴基地的预期收益为14.4万元．(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a(万元)，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以．2．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下表所示：且X 1的数学期望E(X 1)＝6(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望； (3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； ②“性价比”大的产品更具可购买性．答案 (1)a ＝0.3，b ＝0.2 (2)4.8 (3)乙厂的产品更具可购买性，理由略．解析 (1)∵E(X 1)＝6，∴5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2，又0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5，由⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知，用这个样本的分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：∴E(X 2)＝3×0.3＋X 2的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为66＝1，∵乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为4.84＝1.2，又1.2>1，∴乙厂的产品更具可购买性．3．(2019·武昌调研)某机构随机询问了72名不同性别的大学生，调查其在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：(1)有关系？(2)从被询问的28名不看营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到女生的人数ξ的分布列及数学期望． 附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.答案 (1)能 (2)分布列为期望值为47解析 (1)由计算可得K 2的观测值k ＝72×（16×8－28×20）244×28×36×36≈8.416.因为8.416>7.879，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与看营说明有关系． (2)ξ的所有可能取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝C 202C 282＝95189，P (ξ＝1)＝C 81C 201C 282＝80189，P (ξ＝2)＝C 82C 282＝227.ξ的分布列为ξ的数学期望E(ξ)＝0×95189＋1×80189＋2×227＝47.4．某中学共开设了A ，B ，C ，D 四门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生．(1)求这3名学生选修课所有选法的总数；(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；(3)求A 选修课被这3名学生选择的人数X 的分布列和数学期望． 答案 (1)64 (2)916 (3)E(X)＝34解析 (1)每个学生有四个不同选择，根据分步计数原理，选法总数N ＝4×4×4＝64. (2)设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E ，则P(E)＝C 42C 32A 2243＝916，所以恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为916.(3)方法一：X 的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X ＝0)＝3343＝2764，P(X ＝1)＝C 31×3243＝2764，P(X ＝2)＝C 32×343＝964，P(X ＝3)＝C 3343＝164，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P27642764964164所以X 的数学期望E(X)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.方法二：因为A 选修课被每位学生选中的概率均为14，没被选中的概率均为34.所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B(3，14)，P(X ＝0)＝(34)3＝2764，P(X ＝1)＝C 31×14×(34)2＝2764，P(X ＝2)＝C 32×(14)2×34＝964，P(X ＝3)＝(14)3＝164，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P27642764964164所以X 的数学期望E(X)＝3×14＝34.5．某手机游戏研发公司为进行产品改进，对游戏用户每天在线的时间进行调查，随机抽取50名用户对其每天在线的时间进行了调查统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，其中每天的在线时间4 h 以上(包括4 h)的用户被称为“资深玩家”，根据频率分布直方图回答下列问题：(1)从所调查的“资深玩家”中任取3人再进行每天连续在线时间的调查，求抽取的3人中至少有2人的在线时间在[5，6]内的概率；(2)为响应社会要求，公司拟对“资深玩家”进行防沉迷限时，使其每天的在线时间小于4 h ，而公司每天对一个玩家限时0.5 h 就会损失1元，在频率分布直方图中以各组区间的中点值代表该组的数据，以游戏用户在线时间的频率作为在线时间的概率，现从所有“资深玩家”中任取3人进行一天的限时试验，记该公司因限时试验损失的钱数为X ，求X 的分布列和数学期望．答案 (1)13(2)分布列为期望值E(X)＝275解析 (1)由题易知a ＝1－0.10－0.20－0.30－0.20－0.08＝0.12，所以50名用户中，在线时间是[4，5)内的人数为0.12×50＝6，在线时间在[5，6]内的人数为0.08×50＝4，所以在所调查的50人中有10人是“资深玩家”．从“资深玩家”中任取3人共有C 103＝120种情况，其中抽取的3人中至少有2人的在线时间在[5，6]内的共有C 42C 61＋C 43＝40种情况，记在所调查的“资深玩家”中任取3人，至少有2人的在线时间在[5，6]内为事件A ，则P(A)＝40120＝13. (2)“资深玩家”中每天的在线时间在[4，5)内的概率P 1＝0.120.08＋0.12＝35，公司限时一天损失4.5－40.5×1＝1(元)； “资深玩家”中每天的在线时间在[5，6]内的概率P 2＝0.080.08＋0.12＝25，公司限时一天损失5.5－40.5×1＝3(元)． 所以从“资深玩家”中任取3人进行一天的限时试验，X 的所有可能取值为3，5，7，9，则P(X ＝3)＝C 33(35)3＝27125，P(X ＝5)＝C 32(35)2×25＝54125，P(X ＝7)＝C 31×35×(25)2＝36125，P(X ＝9)＝C 30(25)3＝8125.X 的分布列是所以X 的数学期望E(X)＝3×27125＋5×54125＋7×36125＋9×8125＝275.。
经典例题：期望与方差
解：法一：(1)P＝1－CC16022＝1－4155＝32.即该顾客中奖的概率为23. (2)ξ 的所有可能值为：0,10,20,50,60(元)． 且 P(ξ＝0)＝CC16022＝13， P(ξ＝10)＝CC311C0261＝52， P(ξ＝20)＝CC13022＝115， P(ξ＝50)＝CC111C0261＝125， P(ξ＝60)＝CC111C0231＝115. 故 ξ 的分布列为：
思路点拨：乘客在每一层下电梯的概率相等，都为13，服从二项分布．
解：由于 ξ～B(5，13)，即有 P(ξ＝k)＝C5k·(13)k·(32)5－k，k＝0,1,2,3,4,5.从而 ξ 的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
5
32
80
80
40
10
1
P 243
243
243
243
243
243
【例 2】 设随机变量 ξ 的分布列 P(ξ＝k5)＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数 a 的值； (2)求 P(ξ≥53)； (3)求 P(110＜ξ＜170)．
η
100
200
P
36＝12
36×36＝14
于是，可获得奖金的期望值为：
100×12＋200×41＋300×14＝175(元)．
300 36×36×66＝14
练一练
基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ达标
1．设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ＝i)＝mi (i＝1,2,3,4)，则 P(21＜ξ＜27)等于( A )
3
3
2
7
(A)5 (B)10 (C)5 (D)10
当 ξ＝3 时，p2＝P(A B B )＝P(A)P( B )P( B ) ＝0.25(1－q2)2＝0.01， 当 ξ＝4 时，p3＝P( A BB)＝P( A )P(B)P(B) ＝0.75q22＝0.48， 当 ξ＝5 时，p4＝P(A B B＋AB)＝P(A B B)＋P(AB)
专题72 离散型随机变量的期望与方差(理)(解析版)
专题72 离散型随机变量的期望与方差（理）专题知识梳理1. 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的概率分布为(1)均值称E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差称V (X )=为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，V (X )越小，稳定性越高，波动性越小，其算术平方根为随机变量X 的标准差.2. 均值与方差的性质 (1)E (aX+b )=aE (X )+b.(2)V (aX+b )=a 2V (X ). (a ，b 为常数)3. 两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )= p ，V (X )=p (1−p ).(2)若X 服从二项分布，即X~B (n ，p )，则E (X )=np ，V (X )=np (1−p ). (3)若X 服从超几何分布，即X ～H (n ，M ，N )时，E (X )＝__nMN __．考点探究考向1 离散型随机变量的均值与方差【例】（2016·苏锡常镇二调）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球， 每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止． （1）求恰好摸4次停止的概率；21[-E()]ni i i x X p =∑（2）记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望．【解析】（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=．所以恰好摸4次停止的概率为9256.（2）由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3.044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， X 的分布列为所以E (X )＝8127271315012325625625625632⋅+⋅+⋅+⋅=. 题组训练1.某学校组建了由2名男选手和n 名女选手组成的“汉字听写大会”集训队，每次参赛均从集训队中任意选派2名选手参加省队选拔赛.(1) 若n ＝2，记某次选派中被选中的男生人数为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布和数学期望； (2) 若n ≥2，该校要参加三次“汉字听写大会”，每次从集训队中选2名选手参赛，求n 为何值时，三次比赛 恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值. 【解析】(1) 当n ＝2时，X 可能的取值为0，1，2.P (X ＝0)＝＝，P (X ＝1)＝＝，P (X ＝2)＝＝，则随机变量X 的概率分布如下表：所以E (X )＝0×+1×+2×＝1.∴022224C C C ⋅16112224C C C⋅23022224C C C ⋅16162316(2) 一次参加比赛全是男生或全是女生的概率为P ＝＝. 三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率为f (P )＝P (1−P )2＝3P 3−6P 2+3P ， 则f '(P )＝9P 2−12P +3＝3(P −1)(3P −1)，易知当P ＝时，f (P )取得最大值，所以＝，解得n ＝2.2.某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元．活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止．(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．【解析】(1)设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M .则P (M )＝13×34＝14，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14.(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金x 可取0，m ，m ＋n ，则P (x ＝0)＝34，P (x ＝m )＝14×23＝16，P (x ＝m ＋n )＝14×13＝112，E (x )＝0×34＋m ×16＋(m ＋n )×112＝m 4＋n12.②先在乙箱中摸球，参与者获奖金h 可取0，n ，m ＋n ，则P (h ＝0)＝23，P (h ＝n )＝13×34＝14，P (h ＝m ＋n )＝13×14＝112，E (h )＝0×23＋n ×14＋(m ＋n )×112＝m 12＋n3. E (x )－E (h )＝2m －3n 12.故当m n ＞32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当m n ＝32时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当m n ＜32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．考向2 均值与方差的性质的应用【例】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n=1，2，3，4).现从袋中任取一个球，X 表示所取球的标号. (1)求X 的概率分布、均值和方差；(2)若Y=aX+b ，E (Y )=1，V (Y )=11，试求a ，b 的值.22222C C C ++nn 22-232+++n n n n 13C 1322-232+++n n n n 13【解析】(1)由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P (X=0)==，P (X=1)==，P (X=2)==，P (X=3)==，P (X=4)==.故X 的概率分布为所以E (X )=0×+1×+2×+3×+4×=1.5. V (X )=(0−1.5)2×+(1−1.5)2×+(2−1.5)2×+(3−1.5)2×+(4−1.5)2×=2.75.(2)由V (Y )=a 2V (X )，得a 2×2.75=11，即a=±2.又E (Y )=aE (X )+b ，所以当a=2时，由1=2×1.5+b ，得b=−2. 当a=−2时，由1=−2×1.5+b ，得b=4. 故或 题组训练1.设随机变量X 的概率分布为P (X=k )=，k=1，2，3，4，5. 求E (X+2)2，V (2X−1). 【解析】因为E (X )=1×+2×+3×+4×+5×==3，E (X 2)=1×+22×+32×+42×+52×=11，V (X )=(1−3)2×+(2−3)2×+(3−3)2×+(4−3)2×+(5−3)2×=×(4+1+0+1+4)=2，故E (X+2)2=E (X 2+4X+4)=E (X 2)+4E (X )+4=11+12+4=27， V (2X−1)=4V (X )=8.考向3 离散型随机变量期望与方差的应用【例】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1－4100.999.110120C C 1211120C C 12012120C C 11013120C C 32014120C C 15121201103201512120110320152-2a b =⎧⎨=⎩，-24.a b =⎧⎨=⎩，1515151515151551515151515151********5(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P(A)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104，又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001.(2)该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10000ξ＋50000.盈利η＝10000a－(10000ξ＋50000)，盈利的期望为E(η)＝10000a－10000E(ξ)－50000，由ξ～B(104，10－3)知，E(ξ)＝10000×10－3，E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104＝104a－104×104×10－3－5×104.E(η)≥0⇔104a－104×10－5×104≥0⇔a－10－5≥0⇔a≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．题组训练1.因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi(i＝1，2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．(1)写出ξ1、ξ2的分布列；(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？【解析】(1)ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.ξ1、ξ2的分布列分别为：(2)令A 、B P (A )＝0.15＋0.15＝0.3， P (B )＝0.24＋0.08＝0.32.可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大． (3)令η表示方案i 的预计利润，则所以E (η1)＝14.75，E (η2)＝14.1，可见，方案一的预计利润更大．2.一个摸球游戏，规则如下:在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球.参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次.参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球:当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次、2次、3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍、1倍、k 倍的奖励(k ∈N *)，且游戏费仍退还给参加者.记参加者玩1次游戏的收益为X 元.(1) 求概率P (X=0)的值；(2) 为使收益X 的数学期望不小于0元，求k 的最小值.【解析】(1) 事件“X=0”表示“有放回地摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P (X=0)=3×16×(56)2=2572.(2) 由题意得，X 的可能值为k ，−1，1，0，且P (X=k )=(16)3=1216，P (X=−1)=(56)3=125216，P (X=1)=3×(16)2×56=572，P (X=0)=3×16×(56)2=2572，结合(1)知，参加游戏者的收益X 的数学期望为 E (X )=k×1+(−1)×125+1×5+0×25=k -110(元)， 为使收益X 的数学期望不小于0元，所以k ≥110，即k min =110. 故k 的最小值为110.3.某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A 、B 两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A 奖品，抛掷点数不小于3的获得B 奖品．(1)求这5名幸运之星中获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数的概率；(2)设X 、Y 分别为获得A 、B 两种奖品的人数，并记ξ＝||X －Y ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【解析】这5名幸运之星中，每人获得A 奖品的概率为26＝13，B 奖品的概率为46＝23.(1)要获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数，则A 奖品的人数可能为3，4，5，则所求概率为P ＝C 35(13)3(23)2＋C 45(13)4(23)＋C 55(13)5＝51243. (2)ξ的可能取值为1，3，5，且P(ξ＝1)＝C 35(13)3(23)2＋C 25(13)2(23)3＝4081，P(ξ＝3)＝C 45(13)4(23)＋C 15(13)(23)4＝1027，P(ξ＝5)＝C 05(23)5＋C 55(13)5＝1181，所以ξ的分布列是：故随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝1×4081＋3×1027＋5×1181＝18581.。
概率论 第五章数学期望和方差
=
1 5λ
.
(b)Z = max(X1, X2, . . . , X5) 表示 5 台计算机都被感染病毒的时间, P (Z > z) = 1 − P (Z ≤ z) = 1 − P (X1 ≤ z, . . . , X5 ≤ z) = 1 − P (X1 ≤ z)5 = 1 − (1 − exp(−zλ))5, 故 5 台计算机都被病毒感染前的时间期望为
exp?t2exp?t20即得y?e120bey112020vary11202400537解设过生日的分摊的费用为x不过生日的分摊的费用为y则2x5y?要使得分摊公平故在这六次生日中每人分摊的费用是相等的即5?6xy4?6由以上两式可解得x?42y4?21
第五章 数学期望和方差
5.1 解 因为这个家庭是随机抽取的, 故这个小区的每个家庭的年平均收入也为 a 元.
EX
=
9
E(
i=1
Xi)
=
9 i=1
E(Xi)
=
9
×
(1
−
838 938
).
5.17 解 (a) 设 Xi 表示第 i 台计算机被感染病毒前的时间, i = 1, 2, 3, 4, 5
则 P (Xi > y) =
∞ y
λ
exp(−xλ)dx
=
exp(−yλ),
Y = min(X1, X2, X3, X4, X5) 表示首台计算机被感染病毒前的时间,
5.2 解 所以 E(X)
设X = [3 ×
表示盈利金额, 则 P (X = 3 × 106 × 0.8 − 1) =
106
×
0.8
−
1]
×
1 107
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.设X为随机变量，X～B ，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由二项分布X～B 的数学期望E(X)=,知，得，即X～B ，那么P(X＝2)=.【考点】服从二项分布的离散型随机变量的均值与方差.2.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________．【答案】【解析】法一同时取出的2个球中含红球数X的概率分布为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.E(X)＝0×＋1×＋2×＝.法二同时取出的2个球中含红球数X服从参数N＝5，M＝3，n＝2的超几何分布，所以E(X)＝＝.3.马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布律如下表请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ε)＝________.【答案】2【解析】令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1，又E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.4.若X是离散型随机变量，，且，又已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查期望与方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得结论．【考点】离散型随机变量的期望方差.5.在个同样型号的产品中，有个是正品，个是次品，从中任取个，求（1）其中所含次品数的期望、方差；（2）事件“含有次品”的概率。
【答案】(1)E(x)=，D（x）=；（2）P(A)=.【解析】（1）依题意可知随机变量ξ的一切可取值为0，1，2，求出相应的概率，可求所含次品数ξ的期望、方差；（2）事件“含有次品”，则随机变量ξ取1，2，从而可求概率．试题解析：（1）依题意可知随机变量的一切可取值为，则，（2）设集合A为抽取的3件产品中含有次品则.【考点】离散型随机变量的期望与方差．6.某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列及数学期望E.【答案】(1) ;(2) E=【解析】（1）不需要补考就获得证书的事件表示科目第一次考试合格且科目第一次考试合格，这两次考试合格是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．（2）参加考试的次数为，由已知得，注意到各事件之间的独立性与互斥性，根据相互独立事件同时发生的概率写出概率，得到的分布列并求出期望．试题解析：解:设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2..............1分(1)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立，则.该考生不需要补考就获得证书的概率为..............4分(2)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得.............6分8分10分234故答：该考生参加考试次数的数学期望为 12分【考点】1、互相独立事件的概率乘法公式；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.7.2012年3月2日，江苏卫视推出全新益智答题类节目《一站到底》，甲、乙两人报名参加《一站到底》面试的初试选拔，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次抢答都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题初试才能通过．（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人初试通过的概率．【答案】（Ⅰ）分布列如下：0123甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=．（Ⅱ）甲、乙两人至少有一人通过的概率为。
期望与方差例题选讲(含详细讲解)
概率统计（理）典型例题选讲(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝n m ;等可能事件概率的计算步骤：① 计算一次试验的基本事件总数n ;② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n=求值;④ 答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.典型例题分析1.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求Eξ与Dξ.解：这3张卡片上的数字和ξ这一随机变量的可能取值为6，9，12，且“ξ=6”表示取出的3张卡上都标有2，则P（ξ=6)=.“ξ=9”表示取出的3张卡片上两张为2，一张为5，则P(ξ=9)= . “ξ=12”表示取出的3张卡片上两张为5，一张为2，则P(ξ=12)=.则期望Eξ=6×+9×+12×=7.8,方差Dξ=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.2.（2010江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止。
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概率统计（理）典型例题选讲(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝nm ;等可能事件概率的计算步骤：① 计算一次试验的基本事件总数n ;② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n=求值;④ 答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.典型例题分析1.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求Eξ与Dξ.解：这3张卡片上的数字和ξ这一随机变量的可能取值为6，9，12，且“ξ=6”表示取出的3张卡上都标有2，则P（ξ=6)=.“ξ=9”表示取出的3张卡片上两张为2，一张为5，则P(ξ=9)= . “ξ=12”表示取出的3张卡片上两张为5，一张为2，则P(ξ=12)=.则期望Eξ=6×+9×+12×=7.8,方差Dξ=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.2.（2010江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止。
令ξ表示走出迷宫所需的时间，(Ⅰ)求ξ的分布列；(Ⅱ)求ξ的数学期望。
解：(Ⅰ)ξ的所有可能取值为：1，3，4，6，，(Ⅱ)（小时）．3 ．（2009高考(陕西理)）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,椐统计,随机变量ξ的概率分布如下:(Ⅰ)求a 的值和ξ的数学期望;(Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率｡【答案】(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解答a=0.2ξ∴的概率分布为(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”事件1A 表示“两个月内有一个月被投诉2次,另外一个月被投诉0次”;事件2A 表示“两个月内每月均被投诉12次” 则由事件的独立性得故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.174．（浙江省温州市2010届高三八校联考（理））甲乙两队参加某知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分｡假设甲队中每人答对的概率均为32,乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示乙队的总得分.(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望;(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求)|(A B P ｡【答案】:(1)181213131)0(=⋅⋅==ξP ;数学期望18331843188218511810=⋅+⋅+⋅+⋅=ξE(2)用η表示甲队的总得分271)321()0(303=-==C P η; 92276)321(32)1(213==-⋅==C P η;∴301712068)()()|(===A P BA P AB P 5．（浙江省台州中学09-10学年高二上学期第二次统练（理））在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是23. (Ⅰ)求油罐被引爆的概率;(Ⅱ)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ.求ξ的分布列及数学期望E(ξ).(用分数表示) 【答案】:6 ．（北京市崇文区2009届高三一模文）某学校进行交通安全教育,设计了如下游戏,如图,一辆车模要直行．．通过十字路口,此时前方交通灯为红灯,且该车模前面已有．．4．辆车模．．．依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶).已知每辆车模直行的概率是35,左转行驶的概率是25,该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟.假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟,一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟,求:(Ⅰ)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率; (Ⅱ)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通 过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口). 【答案】(Ⅰ)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A,则 ()222432216()()55625P A C =⨯=(Ⅱ)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B,其中4辆车模均 直行通过路口为事件1B ,3辆直行1辆左转为事件2B ,则事件1B 、2B 互斥.7．（2009高考(湖北理)）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。
现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x ；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y ，记随机变量η＝x ＋y ，求η的分布列和数学期望。
【答案】：依题意，可分别取5η=、6、⋅⋅⋅⋅11取，则有1234321567891011816161616161616E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 8．(2012课标卷2)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．解：(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n ＜16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧10n －80，n ＜16，80，n ≥16.(n ∈N )．(4分)(2)①X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7， X 的数学期望为E (X )＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.(6分)X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.(8分)②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)＜D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E(X)＜E(Y)，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．(14分) 答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)＜E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．9.(2015·衡水调研卷)某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有A，B两个定点投篮位置，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分．其规则是：按先A后B再A的顺序投篮．教师甲在A和B点投中的概率分别是12和13，且在A，B两点投中与否相互独立．(1)若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X的分布列和数学期望；(2)若教师乙与甲在A，B点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．答案(1)E(X)＝3 (2)19 48解析设“教师甲在A点投中”的事件为A，“教师甲在B点投中”的事件为B.(1)根据题意知X的可能取值为0,2,3,4,5,7.P(X＝0)＝P(A B A)＝(1－12)2×(1－13)＝16，P(X＝2)＝P(A B A＋A B A)＝C12×12×(1－13)×(1－12)＝13，P(X＝3)＝P(A B A)＝(1－12)×13×(1－12)＝112，P(X＝4)＝P(A B A)＝12×(1－13)×12＝16，P(X＝5)＝P(AB A＋A BA)＝C12×12×(1－12)×13＝16，P(X＝7)＝P(ABA)＝12×13×12＝112.E(X)＝0×16＋2×13＋3×112＋4×16＋5×16＋7×112＝3.(2)教师甲胜乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五种情形，这五种情形之间彼此互斥，因此所求事件的概率为P＝13×16＋112×(16＋13)＋16×(16＋13＋112)＋16×(16＋13＋112＋16)＋112×(1－112)＝57144＝1948.10.(2013课标卷2)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。