[管理学]排队论
排队论
排队长度：等待服务的顾 客数量
平均等待时间：顾客在系统 中等待服务的平均时间
平均排队长度：系统中平均 排队的顾客数量
服务台数量：系统中的服 务台数量
利用率：服务台被利用的 程度
排队系统的稳定性：系统是 否处于稳定状态，即平均等 待时间和平均排队长度是否
收敛
排队系统的分析方法
01
排队论的基本概 念：顾客到达、 服务时间、等待
服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服 务台的时间 服务台容量：服务台可以同 时服务的顾客数量 排队系统状态：当前系统中 顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到 达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务 台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO） 或后进先出（LIFO）
谢谢
排队论
演讲人
排队论的基本概念 排队论的基本原理Biblioteka 目录CONTENTS
排队论的应用实例
排队论的基本概念
排队系统的定义
1
排队系统：由顾 客和服务台组成 的系统，顾客需 要等待服务台的
服务。
2
服务台：提供某 种服务的设施， 如收银台、售票
窗口等。
3
顾客：需要接受 服务台的服务的 人，如顾客、乘
客等。
4
时间均服从指数分布
M/G/1模型：单服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/c模型：单服务台、多 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/∞模型：单服务台、 无限队列、顾客到达服从泊 松分布、服务时间服从指数
分布
G/M/1模型：多服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
[管理学]排队论方法
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♂
Probability
16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM
26
28
30
32
34
36
38
40
郑州轻工业学院数学系
M/M/c/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/∞ (系统容量有限的服务系统)
郑州轻工业学院数学系
(Kleinrock) "We study the phenomena of standing, waiting, and serving, and we call this study Queueing Theory." "Any system in which arrivals place demands upon a finite capacity resource may be termed a queueing system."
郑州轻工业学院数学系
2.排队系统的三个基本要素 二、排队规则 损失制－ 顾客到达系统时，如果系统中所有 服务窗均被占用，则到达的顾客随即离去 等待制－ 顾客到达系统时，如果所有服务窗 均被占用，则系统能够提供足够的排队空间让 顾客排队等待 混合制－ 是损失制与等待制混合组成的排队 系统，此系统仅允许有限个顾客等候排队，其 余顾客被拒绝
(1 ) n , 1, n 0,1,2,.., N N 1 1 Pn 1 , 1, n 0,1,2,...,N N 1
( N 1) N 1 L , 1 N 1 1 1
Lq L (1 P0 ) L W (1 P0 ) Wq W 1
排队论知识点(一)
排队论知识点(一)排队论知识点详解什么是排队论排队论是应用概率论、随机过程和数学统计方法来研究队列系统的数学理论。
队列系统是指一些处理实体以确定的方式到达某个系统，被系统以某种方式处理，然后离开系统的系统模型。
排队论研究的目标是为了通过合理的设计和优化队列系统（如银行服务台、电话交换机等）的结构和参数，提高系统的效率和性能。
排队论的主要概念1. 到达过程到达过程是指实体到达队列系统的时间间隔的随机过程。
根据到达的规律性和随机性不同，到达过程可以分为不可预测的泊松到达过程和可预测的非泊松到达过程。
2. 服务过程服务过程是指队列中的实体被处理的时间间隔的随机过程。
根据服务的规律性和随机性不同，服务过程可以分为不可预测的指数服务过程和可预测的非指数服务过程。
3. 队列长度队列长度是指队列中正在等待服务的实体的个数，也可以看作是在系统中等待服务的实体的数学期望。
4. 平均等待时间平均等待时间是指实体在队列系统中等待服务的平均时间。
5. 利用率利用率是指队列系统中服务设备的利用情况，通常用平均到达率与平均服务率的比值来表示。
排队论的基本模型1. M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统。
M/M/1模型的到达过程和服务过程都是泊松过程，服务设备能力为1。
2. M/M/C模型M/M/C模型是M/M/1模型的扩展，代表了含有C个服务台和一个队列的排队系统。
到达过程和服务过程仍然是泊松过程，但是服务设备能力为C。
3. M/G/1模型M/G/1模型是M/M/1模型的变体，代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，但是服务过程是一般分布。
到达过程仍然是泊松过程。
4. G/G/1模型G/G/1模型代表了一个单一服务台和一个队列的排队系统，到达过程和服务过程都是一般分布。
排队论的应用1. 交通拥堵排队论可以用来研究交通拥堵的原因和解决方案，进一步优化交通网络资源的利用和流量的分配。
管理科学13-排队论(等候理论)
λ Po= 1−µ
Probability that n customers are in the system:
λ ⋅Po= λ 1−λ Pn= µ µ µ
n
= (24)2/[30(30 -24)] = 3.2 customers on the avg in the waiting line
11
Single-Server Waiting Line System Characteristics for Fast Shop Market (2 of 2)
W = 1 = L =1/[30 -24] µ−λ λ = 0.167 hour (10 min) avg time in the system per customer
Chapter 13 - Queuing Analysis 8
Single-Server Waiting Line System Basic Single-Server Queuing Formulas (1 of 2)
Probability that no customers are in the queuing system:
Chapter 13 - Queuing Analysis 3
Elements of Waiting Line Analysis
Waiting lines form because people or things arrive at a service faster than they can be served. Most operations have sufficient server capacity to handle customers in the long run. Customers however, do not arrive at a constant rate nor are they served in an equal amount of time. Waiting lines are continually increasing and decreasing in length.and approach an average rate of customer arrivals and an average service time, in the long run. Decisions concerning the management of waiting lines are based on these averages for customer arrivals and service times. They are used in formulas to compute operating characteristics of the system which in turn form the basis of decision making.
排队论详解及案例
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2 几个常用的概率分布
9.2.1 经验分布 9.2.2 泊松分布 9.2.3 负指数分布 9.2.4 爱尔朗分布
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.1 经验分布
主要指标
平均间隔时间 = 总时间 到达顾客总数
Operations Research
9.1.3 排队论研究的基本问题
（3）系统优化问题的研究 研究排队系统的目的就是通过对该系统概率规律的研究， 实现系统的优化。系统的优化包括最优设计和最优运营问 题。前者属于静态问题，它是在输入和服务参数给定的情 况下，确定系统的设计参数，以使服务设施达到最大效益 或者服务机构实现最为经济。后者属于动态问题，它是指 对于一个给定的系统，在系统运行的参数可以随着时间或 状态变化的情况下，考虑如何运营使某个目标函数达到最 优。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
一般的排队过程可以这样描述：顾客由顾客源出发，到达 服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接 受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服 务后就离开。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
尽管排队系统是多种多样的，但所有的排队系统都是由输入过程、排 队规则、服务机构及服务规则三个基本部分组成的。 （1）输入过程 描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。 一般从以下几个方面对输入过程进行描述：顾客源中顾客的数量是 有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客的到 达是否相互独立（以前到达的顾客对以后达到的顾客没有影响，则称 顾客的达到是相互独立的，否则就是有关联的）；顾客相继到达的间 隔时间分布是确定型的还是随机型的（如果是随机分布，需要知道单 位时间内的顾客到达数或者顾客相继到达时间间隔的概率分布）；输 入的过程是平稳的还是非平稳的（若相继到达的间隔时间分布参数 （如期望值、方差等）都是与时间无关的，则称输入过程是平稳的， 否则称为非平稳）。 本章主要讨论顾客的到达是相互独立的、输入过程是平稳的情形。
第一讲 排队论
此外还有：
L
nP
n 0
n
Lq
(n s) P
ns
n
nP
n 0
sm
只要知道Pn(n=0,1,2…)，则L或Lq就可由上式求得，从 而再由Little公式就能求得四项主要工作指标。
常见的服务排队模型
输入过程
定长输入：这是指顾客有规则地等距到达，每隔时 间到达一个顾客。此时相继顾客到达间隔的分布 函数F(t)为
基本概念与基本理论
基本概念与理论
排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”, 而把提供服务的人或机构称为“服务台”或 “服务员”。不同的顾客与服务组成了各式各 样的服务系统。 顾客为了得到某种服务而到达系统、若不 能立即获得服务而又允许排队等待，则加入等 待队伍，待获得服务后离开系统。
例如
到达的顾客
服务机构
工作强度
用于服务顾客的时间
服务设施总的服务时间
1
用于服务顾客的时间
服务设施总的服务时间
与忙期对应的是系统的闲期，即系统连续保持空闲 的时间长度.
常用记号
N(t)：时刻t系统中的顾客数(又称为系统的状 态)，即队长； N q(t)：时刻t系统中排队的顾客数，即排队 长； w(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的逗留 时间； w q(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的等 待时间。
排队论
闵超
内容概要
背景 基本概念与理论 常见的服务排队模型（如M/M/1系统） 排队系统的最优化模型
背景
背景
排队论起源于 1909 年丹麦电话工程师 A. K．爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问 题进行了研究。 1917年，爱尔朗发表了他的著名的文章—―自 动电话交换中的概率理论的几个问题的解 决” 。 已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、 服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类 的排队系统的问题。
[管理学]排队论
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p xi pxi
i
i=1,2,3……
p x 1
矛盾。
如何做到既保证一定的服务质量指标，
又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾
客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。
这就是随机服务系统理论——排队论所
要研究解决的问题。
11
§2 排队系统的基本概念
一、排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输 入过程；2.排队规则；3.服务机构。
Ë ¿ ¹ Í Ô ´
19
3. 服务机构
1 ）服务机构可以是单服务员和多服务员服务，
这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同
队列，不同形式的排队服务机构。如前图8-1到85： 2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
20
二、排队系统的描述符号与模型分类 上述特征中最主要的、影响最大的是：
3
前 言
排队的不一定是人，也可以是物： 例如，通讯卫星与地面若干待传递的 信息； 生产线上原料、半成品等待加工； 因故障停止运转的机器等待修理；码 头的船只等待装卸货物； 要降落的飞机因跑道不空而在空中盘 旋等等。
4
前 言
上述各种问题虽互不相同，但却都有 要求得到某种服务的人或物和提供服务 的人或机构。
18
2. 排队规则
③ 逗留时间 ( 等待时间与服务时间之和 ) 有限。 例如用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射 炮射击有效区域的时间为 t 时，若在这个时 间内未被击落，也就不可能再被击落了。 不难注意到，损失制和等待制可看成是 混合制的特殊情形，如记c为系统中服务台 的个数，则当K=c 时，混合制即成为损失制； 当K=∞时，混合制即成为等待制。
排队论——精选推荐
排队论第⼀节引⾔⼀、排队系统的特征及排队论排队论（queueing theory）是研究排队系统（⼜称为随机服务系统）的数学理论和⽅法，是运筹学的⼀个重要分⽀。
在⽇常⽣活中，⼈们会遇到各种各样的排队问题。
如进餐馆就餐，到图书馆借书，在车站等车，去医院看病，去售票处购票，上⼯具房领物品等等。
在这些问题中，餐馆的服务员与顾客、公共汽车与乘客、图书馆的出纳员与借阅者、医⽣与病⼈、售票员与买票⼈、管理员与⼯⼈等，均分别构成⼀个排队系统或服务系统（见表10-1）。
排队问题的表现形式往往是拥挤现象，随着⽣产与服务的⽇益社会化，由排队引起的拥挤现象会愈来愈普遍。
表排队除了是有形的队列外，还可以是⽆形的队列。
如⼏个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽车站⽆⾜够车辆，则部分顾客只得在各⾃的要车处等待，他们分散在不同地⽅，却形成了⼀个⽆形队列在等待派车。
排队的可以是⼈，也可以是物。
如⽣产线上的原材料或半成品在等待加⼯；因故障⽽停⽌运转的机器在等待修理；码头上的船只等待装货或卸货；要降落的飞机因跑道被占⽤⽽在空中盘旋等等。
当然，提供服务的也可以是⼈，也可以是跑道、⾃动售货机、公共汽车等。
为了⼀致起见，下⾯将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
因此，顾客与服务机构（服务员）的含义完全是⼴义的，可根据具体问题⽽不同。
实际的排队系统可以千差万别，但都可以⼀般地描述如下：顾客为了得到某种服务⽽到达系统，若不能⽴即获得服务⽽⼜允许排队等待，则加⼊等待队伍，待获得服务后离开系统，见图10-1⾄图10-4。
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的系统，⽹络排队系统等。
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可由图10-5加以描述。
图10-1 单服务台排队系统图10-2 s 个服务台，⼀个队列的排队系统图10-3 s 个服务台，s 个队列的排队系统图10-4 多个服务台得串联排队系统顾客到达顾客到达图10-5 随机服务系统通常称由10-5表⽰的系统为⼀个随机聚散服务系统，任⼀排队系统都是⼀个随机聚散服务系统。
上海交通大学管理科学-运筹学课件第六章排队论
第6章 排队论在日常生活和工作中，人们常常会为了得到某种服务而排队等候。
比如顾客到商店购买东西，病人到医院看病，汽车进加油站加油，轮船进港停靠码头等，都会因为拥挤而发生排队等候的现象。
这时，商店的售货员和顾客，医院的医生和病人，加油站的加油泵和待加油的汽车，码头的泊位和停泊的轮船等，形成了各自的排队服务系统，简称排队系统。
在一个排队系统中，通常包括一个或多个“服务设施”，服务设施可以指人，如售货员，医院大夫等。
也可以是物，如加油泵、码头泊位等。
同时还包括许多进入排队系统要求得到服务的“顾客”。
这里的顾客是指请求服务的人或物。
如到医院看病的病人，或等待加油的汽车等。
作为顾客总希望一到系统马上就能得到服务，但客观情况并非如此。
由于顾客的到达和服务机构对每个顾客的服务时间具有随机性，因此出现排队现象几乎是不可避免的。
当然，为了方便顾客减少排队时间，排队系统可以多开设服务设施。
但那将增加系统的投资和运营成本，还可能发生空闲浪费。
排队论（Queueing Theory ）是为解决上述问题而发展起来的一门学科。
排队论起源于上世纪初，当时的美国贝尔（Bell ）电话公司发明了自动电话后，满足了日益增长的电话通讯的需要。
但另一方面，也带来了新的问题，即如何合理配置电话线路的数量，以尽可能减少用户的呼叫次数。
如今，通讯系统仍然是排队论应用的主要领域。
同时在运输、港口泊位设计、机器维修、库存控制等领域也获得了广泛的应用。
6. 1 排队系统的基本概念6. 1. 1排队系统的一般表示一个排队系统可以抽象描述为：为了获得服务的顾客到达服务设施前排队，等候接受服务。
服务完毕后就自行离开。
其中把要求得到服务的对象称为顾客，而把服务者统称为服务设施或服务台。
在排队论中，把顾客的到达和离开称为排队系统的输入和输出。
而潜在的顾客总体又称为顾客源或输入源。
因此任何一个排队系统是一种输入－输出系统，其基本结构如图6-1所示。
排队系统图6-16. 1. 2排队系统的特征由排队系统的基本结构可知，任何一个排队系统的特征可以从以下三个方面加以描述。
排队论的基本原理
排队论的基本原理排队论是一门研究等待线性和服务系统的学科，它的基本原理是通过数学模型和概率统计来分析和优化排队系统，以提高效率和降低成本。
排队论在工程、管理、运筹学等领域有着广泛的应用，对于优化资源利用、提高服务质量和满足客户需求具有重要意义。
在排队论中，排队系统通常由输入过程、排队规则、服务机构和性能指标组成。
输入过程描述了顾客到达的规律，排队规则决定了顾客的排队方式，服务机构指明了服务的方式和效率，性能指标则用来评价系统的性能。
通过对这些因素的分析和建模，可以得出一些重要的结论和决策，从而优化排队系统。
排队论的基本原理可以总结为以下几点：1. 输入过程的特征对排队系统有重要影响。
输入过程通常由到达间隔时间分布和顾客到达的规律组成。
通过对输入过程的分析，可以确定系统的负荷情况，从而决定服务设施的规模和性能。
2. 排队规则对系统的性能有显著影响。
不同的排队规则会导致不同的等待时间和系统效率。
常见的排队规则包括先来先服务、最短任务优先、优先级队列等，选择合适的排队规则可以有效提高系统的服务质量。
3. 服务机构的性能决定了系统的效率和成本。
服务机构包括服务台的数量、服务人员的能力和服务时间的分布等因素，通过合理设计和管理服务机构，可以提高系统的服务水平和降低成本。
4. 性能指标是评价排队系统性能的重要指标。
常见的性能指标包括顾客的平均等待时间、系统的平均服务时间、系统的利用率、系统的平均排队长度等，通过对这些指标的分析和优化，可以改善系统的运行效果。
综上所述，排队论的基本原理是通过对排队系统的输入过程、排队规则、服务机构和性能指标的分析和优化，来提高系统的效率和服务质量。
在实际应用中，排队论可以帮助企业和组织优化资源配置、提高服务水平，满足客户需求，从而实现经济效益和社会效益的双赢。
排队论的研究和应用将在未来得到更广泛的发展和应用。
排队论
四.排队系统的分类及其表示方法
1. 排队系统的分类 2. 排队模型的表示方法
在排队论中通常都采用如下符号体系表示排队系统的类型。
a/b/c/d/e/f
输入 服务时 服务 服务 最大允 顾客 分布 间分布 台数 规则 许队长 源
以上符号体系只适用于 “单 队— 单服务台” 和 “单 队— 多服务 台(并列)” 的系统，无法表示串列服务台和混列服务台的系统。
则称它们之和τ = v1 + v2 + ···+ vk服从 k 阶爱尔朗分布。其密度函数为:
一个顾客的平均服务时间为: 当有 k 个串列服务台，各服务台的服务时间相互独立且服从相同的负指
数分布时，则系统为一个顾客的服务时间就服从 k 阶爱尔朗分布。当 k = 1 时，爱尔朗分布就是负指数分布。
三. 排队系统的主要特征
顾客 —— 排队系统中等待服务的对象。 如等候维修的故障设备、等候降落的飞机、等候装卸的货船、 等待运输的货物、等待加工的原料和产品等。 服务台 —— 排队系统中为顾客提供服务的设施。 如设备维修人员、机场跑道、装卸泊位、运输车辆、生产加工 设备等。
§l 排队论的基本概念及研究的问题
一.排队论中有两个基本概念:
平均顾客数之比。也即服务台的利用率。
(4). 顾客损失率—— 由于服务设备不足而造成顾客流失的比率。
五. 排队系统的指标计算
2.常用记号 n — 系统中的顾客数，也称系统状态； Pn( t ) — 在 ( 0, t ] 内到达 n 个顾客的概率；
或在时间 t 恰好有 n 个顾客的概率(过渡状态)； Pn — 系统中恰好有 n 个顾客的概率(稳定状态)； λ — 顾客的到达率(单位时间内的平均到达数)；
1. 输入过程 2. 服务时间 τ 的分布
排队论
X/Y/Z/A/B/C
前三项意义不变，而 A——系统容量限制N； B——顾客源数m； C——服务规则：FCFS（先到先服务）；LCFC （后到先服务）。
约定： 如省略后三项，表示 M / M / 2 / ∞ / ∞ / FCFS
排队系统
湖北工业大学 理学院 ZNL
1、队长Ls： 指在系统中的顾客数。 2、排队长Lq： 指系统中排队等候服务的顾客数。
3、M/M/1参数计算
u M／M／1 模型
（1）系统中平均顾客数（Ls）
LS nPn (1 ) 2 2(1 ) 3 3(1 ) n0 (1 )( 2 2 3 3 )
记
S 2 2 3 3 S 2 2 3 3 4
(1
)S
2
3
1
Ls
1
-λP0+μP1=0
(3)
λPn-1+μPn+1-(λ+μ)Pn=0
(4)
由式(3)得
P1
P0
通过求解可得
Pn
（ ）n
P0
,
u M／M／1 模型 n 0，1，2，
Pn
n1
P0 ( 1 2
)
P0
1
1
1
1
P0 1 Pn n (1 ), n 1
参数意义：
λ —— 单位时间内到达的平均顾客数 μ —— 单位时间内服务的平均顾客数 ρ —— 服务强度
例 (1)顾客到达某商店的间隔时间服从参数为10的指数分 布等同于(2)该商店在单位时间内到达的顾客数服从参数为 10的泊松分布
注：(1)指两个顾客到达商店的平均间隔时间是0.1个单位 时间.
(2)指一个单位时间内平均到达10个顾客
排队论 (2)
排队论概述排队论是研究排队系统的数学理论，排队系统是指在一定的输入流程下，有限数量的客户通过服务设备排队等待服务的过程。
排队论可以用来分析和优化各种服务系统，如银行、医院、机场等等。
在实际生活中，我们常常会遇到排队等待的情况，如购物时的排队结账、乘坐公交车时的候车等。
排队论可以帮助我们理解和预测这些排队系统的性能，从而提供改进和优化的方案。
重要概念排队系统的元素排队系统由以下几个重要元素组成：1.顾客/客户: 排队系统中需要接受服务的个体，如顾客、乘客等。
2.独立到达过程: 顾客到达的时间间隔服从某种概率分布。
3.队列: 用来存放等待服务的顾客的序列。
4.服务设备: 用来提供服务的设备或人员，如收银员、服务员等。
5.服务过程: 顾客从进入服务设备开始到完成服务的整个过程，包括服务时间、等待时间等。
常用性能度量排队系统的性能可以通过以下度量指标进行评估：1.排队长度: 队列中等待服务的顾客数量。
2.平均等待时间: 顾客在队列中等待服务的平均时间。
3.平均逗留时间: 顾客在系统中的平均逗留时间，包括等待和服务的时间。
4.系统利用率: 服务设备的利用率，即服务设备的工作时间占总时间的比例。
常见排队模型排队系统可以根据不同的特征进行不同的建模，常见的排队模型包括以下几种：1.M/M/1模型: 单个服务设备的排队系统，服务时间和顾客到达时间都符合指数分布。
2.M/M/c模型: 多个并行服务设备的排队系统，服务时间和顾客到达时间都符合指数分布。
3.M/G/1模型: 单个服务设备的排队系统，服务时间符合一般分布，顾客到达时间符合指数分布。
4.M/D/1模型: 单个服务设备的排队系统，服务时间符合确定分布，顾客到达时间符合指数分布。
排队论的应用排队论可以应用于各种排队系统的优化和改进，以下是一些常见的应用场景：银行排队系统优化银行是我们常见的排队系统之一，银行的服务质量和效率直接关系到客户的满意度。
排队论可以帮助银行分析和优化服务系统，提高服务效率和客户满意度。
排队论简要知识
如不特别说明则均理解为系统等待空间容量无 限；顾客源无限，先到先服务，单个服务的等 待制系统。
二，排队系统的主要数量指标
描述一个排队系统运行状况的主要数 量指标有：
1．队长和排队长(队列长) 队长是指系统中的顾客数(排队等待的 顾客数与正在接受服务的顾客数之和)； 排队长是指系统中正在排队等待服务的 顾客数。队长和排队长一般都是随机变 量。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M／N／1模型
模型的条件是： 1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到
达完全是随机的，单个到来，到达过程 服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则――单队，且队长没有限制， 先到先服务； 3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
2．服务规则
(3)混合制 这是等待制与损失制相结合的一
种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许 队列无限长下去。具体说来，大致有三种： 1)队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过 规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服 务，即系统的等待空间是有限的。 2)等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间 不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时， 顾客将自动离去，并不再回来。 3)逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。
各种形式的排队系统
随机服务系统
排队论所要研究解决的问题
面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务 设施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出 就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太 少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客 会带来不良影响。如何做到既保证一定的服务质 量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解 决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾， 就是随机服务系统理论——排队论所要研究解决 的问题。
排队论(讲稿)PPT课件
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
19
清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
清华大学出版社
1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
排队论讲解
排队论是一种研究排队系统的数学理论，它主要用于研究系统在不同的服务策略下的性能指标，如平均等待时间、平均服务时间、系统吞吐量等。
排队系统是指由顾客和服务台组成的系统，顾客按照先来先服务的原则依次到达服务台，并在服务台得到服务。
排队论的基本模型包括M/M/s、M/M/c、M/G/s、M/G/c等模型，其中M表示顾客到达的随机变量是泊松分布，G表示服务时间的随机变量是几何分布，c表示服务台的容量限制，s表示系统的服务速度。
M/M/s模型是指服务台的服务速度s是固定的，即服务台的服务速度不受顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的平均等待时间和平均服务时间。
M/M/c模型是指服务台的容量限制c是固定的，即服务台的服务速度受到顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的排队长度和服务率。
排队论的应用非常广泛，包括电话系统、银行系统、航空系统、医疗系统等。
在实际应用中，排队论可以帮助企业优化服务流程，提高服务质量，减少顾客等待时间，提高顾客满意度，从而提高企业的竞争力和经济效益。
排队论的应用还在不断地拓展和深化，例如近年来出现的排队论模型包括多服务台排队模型、排队网络模型、排队论与动态优化模型等。
这些模型可以更好地模拟实际系统中的复杂排队情况，提高系统的服务质量和效率。
排队论方法讲解
排队论方法讲解
排队论是一种运用概率统计方法来分析和解决队列问题的学科。
队列问题是指在等待某个服务或进入某个系统时，人们形成的一种有序排列状态。
排队论主要关注等待时间、排队长度、服务效率等问题。
以下是排队论的一些常见方法：
1. 假设法：假设不同的排队系统具有不同的概率分布，分析不同系统中的各种运行参数，如平均等待时间、服务时间等。
2. 累积等待时间法：计算各客户平均等待时间的总和，再除以系统中客户的总数，用以评价该排队系统是否合理。
3. 平衡方程法：通过统计每个元素在系统中的进入量、离开量、排队量等，建立系统的平衡方程式来求解系统的各项参数。
4. 级数求和法：将排队论中的一些重要参数（如平均等待时间、利用率等）表示成一个级数之和的形式，从而求出这些参数的近似值。
5. Monte Carlo模拟方法：采用随机数模拟的方法，模拟排队系统的服务过程，从而得出系统的性能指标。
以上是排队论的一些常见方法，具体应用时需要考虑具体情况和问题，选择合适的方法进行分析。
排队论
后到先服务LCFS，
有优先权服务PS， 随机服务RF。
（c）混合制排队
队长有限 等待时间有限 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限
排队系统的三大要素描述 三、服务机制 主要包括服务设施的数量、连接形式、服务方式及服务时间 分布等. 服务设施的数量：一个或多个，分别称为单服务台与多服 务台排队系统； 连接形式：串联、并联、混联和网络等； 服务方式：单个或成批服务； 服务时间的分布：其中服务时间分布是最重要因素， 记服务台服务时间为V, 其分布函数为B(t), 密度函数为b(t), 常见的分布有： (1) 定长分布（D）
特别的,当t 1, 有E ( N (1)) , 可看成单位时间内到达顾客的平均数.
Poisson过程有如下性质：
(1) 在[t, t+△t] 时间内没有顾客到达的概率为
P0 (t ) e t (1 t ) o(t ) 1 t
(1) 在[t, t+△t] 时间内恰好有一个顾客到达的概率为 P (t ) 1 P0 (t ) (t ) t 1
无限状态生灭过程 定义：设｛N(t)，t ≥0 ｝是一个随机过程（其中N(t)表示时刻 t 系统中的顾客数）。若N(t)的概率分布具有如下性质： 1. 假设N(t) = n ，则从时刻 t 起到下一个顾客到达时刻止的 时间服从参数为 n 的负指数分布，n = 0，1，2，…。 2. 假设N(t) = n ，则从时刻 t 起到下一个顾客离去时刻止的 时间服从参数为 n 的负指数分布，n = 1，2，…。 3. 同一时刻只有一个顾客到达或离去。 则称｛N(t)，t ≥0 ｝是一个生灭过程。
Erlang输入(Ek) 顾客相继到达时间间隔{Xn}相互独立，具有相同的Erlang分布密度 函数
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图6
随机服务系统
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前 言
面对拥挤现象，人们总是希望尽量设法 减少排队，通常的做法是增加服务设施。 但是增加的数量越多，人力、物力的支 出就越大，甚至会出现空闲浪费。 如果服务设施太少，顾客排队等待的时 间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。
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前 言
顾客排队时间的长短与服务设施规模的 大小，就构成了设计随机服务系统中的一对
(3) 混合制．这是等待制与损失制相结合的一 种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队 列无限长下去。具体说来，大致有三种： ① 队长有限。当排队等待服务顾客人数超过 规定数量时，后来顾客就自动离去，另求服务。 如水库的库容、旅馆的床位等都是有限的。
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2. 排队规则
② 等待时间有限。即顾客在系统中的 等待时间不超过某一给定的长度 T，当等待 时间超过T时，顾客自动离去，不再回来。 如易损坏的电子元器件的库存问题， 超过一定存储时间被自动认为失效。 又如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后 不愿再等而自动离去另找饭店用餐。
排队论里把要求服务的对象统称为 “顾客”, 提供服务的人或机构称为“服务台” 或“服务员”。
5பைடு நூலகம்
前 言
不同的顾客与服务组成了各式各样的 服务系统。顾客为了得到某种服务而到 达系统、若不能立即获得服务而又允许 排队等待，则加入等待队伍，待获得服 务后离开系统，见图8-1至图8-5。
图1 单服务台排队系统
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2. 排队规则
③随机服务（RAND） 。即当服务台空 闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客 去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就 是一例。 ④优先权服务（PR）。如老人、儿童先 进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需 要处理计算机立即中断其他数据的处理等， 均属于此种服务规则。
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2. 排队规则
矛盾。
如何做到既保证一定的服务质量指标，
又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾
客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾。
这就是随机服务系统理论——排队论所
要研究解决的问题。
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§2 排队系统的基本概念
一、排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输 入过程；2.排队规则；3.服务机构。
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1
10 排队论
• • • • • • • 10-1 前言 10-2 基 本 概 念 10-3 到达间隔的分布和服务时间的分布 10-4 单服务台指数分布的排队系统的分析 10-5 多服务台负指数分布排队系统的分析 10-6 一般服务时间M/G/1模型 10-7 经济分析——系统最优化
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前 言
排队是我们在日常生活和生产中经 常遇到的现象。 例如，上、下班搭乘公共汽车； 顾客到商店购买物品； 顾客到银行取钱； 旅客到售票处购买车票； 学生去食堂就餐等就常常出现排队和等 待现象。
3
前 言
排队的不一定是人，也可以是物： 例如，通讯卫星与地面若干待传递的 信息； 生产线上原料、半成品等待加工； 因故障停止运转的机器等待修理；码 头的船只等待装卸货物； 要降落的飞机因跑道不空而在空中盘 旋等等。
4
前 言
上述各种问题虽互不相同，但却都有 要求得到某种服务的人或物和提供服务 的人或机构。
2. 排队规则
这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。 可以分为损失制、等待制、混合制3大类。 (1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时， 所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就 自动离开系统永不再来。 典型例子是，如电话拔号后出现忙音，顾客 不愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重新 拔号，这种服务规则即为损失制。
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2. 排队规则
(2) 等待制。指当顾客来到系统时，所有服务台 都不空，顾客加入排队行列等待服务。 例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。 等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有 如下四种规则：
①先到先服务（FCFS ）。按顾客到达的先后顺 序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。
②后到先服务（ LCFS ）。仓库中迭放的钢材， 后迭放上去的都先被领走，就属于这种情况。
第10章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。 1909 年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师 A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
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1. 输入过程
输入即为顾客的到达，可有下列情况：
1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。 2）顾客是成批到达或是单个到达。 3）顾客到达间隔时间可能是随机的或确定的。 4）顾客到达可能是相互独立或关联的。所谓独 立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。 5）输入过程可以是平稳的（stationary）或说 是对时间齐次的（Homogeneous in time），也可以 是非平稳的。输入过程平稳的指顾客相继到达的间 隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关；非 平稳的则是与时间相关，非平稳的处理比较困难。 13
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前 言
图2
单队列——S个服务台并联的排队系统
图3
S个队列——S个服务台的并联排队系统
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前 言
图4
单队——多个服务台的串联排队系统
图5
多队——多服务台混联网络系统
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前 言
通常称由图6表示的系统为一随机聚散服务系统。 任一排队系统都是一个随机聚散服务系统。
一般的排队系统，都可由下 面图加以描述。 “聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
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2. 排队规则
③ 逗留时间 ( 等待时间与服务时间之和 ) 有限。 例如用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射 炮射击有效区域的时间为 t 时，若在这个时 间内未被击落，也就不可能再被击落了。 不难注意到，损失制和等待制可看成是 混合制的特殊情形，如记c为系统中服务台 的个数，则当K=c 时，混合制即成为损失制； 当K=∞时，混合制即成为等待制。