北师大八年级数学下册知识点
北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)
](https://img.taocdn.com/s3/m/42020f104693daef5ff73d89.png)
北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。
北师大版八年级下册数学各章知识要点总结
北师大版八年级下册数学各章知识要点总结北师大版八年级下册数学各章学问要点总结北师大版八年级数学下册各章学问要点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2、不等式的解不唯一，把全部满意不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的公共局部。
6、等式根本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.根本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的根本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。
）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向转变.不等式的根本性质、若a>b,则ac>bc；、若a>b,c>0则ac>bc，若cc,则a>c四、一元一次不等式与一次函数五、一元一次不等式组※1.定义：由含有一个一样未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共局部叫做不等式组的解集.假如这些不等式的解集无公共局部，就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共局部，通常是利用数轴来确定.※3.解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些解集的公共局部，（3）写出这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种状况（a、b为实数，且a找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取一样的字母，字母的指数取较低的；（3）取一样的多项式，多项式的指数取较低的.（4）全部这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则依据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a+2ab+b或a-2ab+b的式子称为完全平方式.六、分解因式的方法：1、提公因式法。
八年级数学下册目录(北师大版)
八年级数学下册目录（北师大版）第一章三角形的证明
1. 等腰三角形
2. 直角三角形
3. 线段的垂直平分线
4. 角平分线
回顾与思考
复习题
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组
1. 不等关系
2. 不等式的基本性质
3. 不等式的解集
4.一元一次不等式
5.一元一次不等式与一次函数
6.一元一次不等式组
回顾与思考
复习题
第三章图形的平移与旋转
1. 图形的平移
2. 图形的旋转
3. 中心对称
4. 简单的图案设计
回顾与思考
复习题
第四章因式分解
1. 因式分解
2. 提公因式法
3. 公式法
回顾与思考
复习题
第五章分式与分式方程
1. 认识分式
2. 分式的乘除法
3. 分式的加减法
4. 分式方程
回顾与思考
复习题
第六章平行四边形
1. 平行四边形的性质
2. 平行四边形的判定
3. 三角形的中位线
4. 多边形的内角和与外角和
回顾与思考
复习题。
北师大版八年级数学下册6.4《三角形的中位线》知识点精讲
、定理1.三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。
2.连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。
（微课精讲）三角形中的三条重要线段：中线、角平分线、高线概念中线在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）。
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
如图，AD是边BC上的中线，BE是边AC上的中线，CF是边AB上的中线三条中线交于点O，点O称为△A BC的重心角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，三角形三条角平分线交于点O点O称为△ABC的内心高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB三角形三条高线交于点O点O称为△ABC的垂心以上是我们在初一时所学的三角形三条重要线段，今天，我们将学习三角形中第四条重要的线段——中位线（知识点精讲)中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
如图，E、F分别是三角形AB、AC边上的中点，所以，EF是三角形BC 边所对的中位线，则EF∥BC且EF=1/2BC三角形的中位线衍生出很多重要的图形，其中最重要的就是中点四边形（微课堂精讲）中点四边形任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形称为——中点四边形中点四边形一定是平行四边形证明：连接AC因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF平行且等于AC的一半同理，GH平行且等于AC的一半因此，EF∥HG，EF=HG所以，四边形EFGH是平行四边形思考：四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？矩形？正方形？三角形中位线的解题策略三角形的中位线定理，既有线段的位置关系，又有线段的数量关系，它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。
八年级下册数学北师大版知识点总结
八年级下册数学北师大版知识点总结一、三角形的证明。
1. 等腰三角形。
- 性质：- 等腰三角形的两腰相等，两底角相等（等边对等角）。
- 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
- 判定：- 有两边相等的三角形是等腰三角形。
- 有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
2. 等边三角形。
- 性质：- 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，且每个角都等于60°。
- 判定：- 三条边都相等的三角形是等边三角形。
- 三个角都相等的三角形是等边三角形。
- 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
3. 直角三角形。
- 性质：- 直角三角形的两个锐角互余。
- 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
- 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边，c为斜边）。
- 判定：- 有一个角是直角的三角形是直角三角形。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
4. 线段的垂直平分线。
- 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
- 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
- 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5. 角平分线。
- 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
- 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
- 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
二、不等式（组）1. 不等式的基本性质。
- 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
- 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
- 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
2. 一元一次不等式。
- 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式。
北师大版八下数学1.3《线段的垂直平分线》知识点精讲
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
方法之二：1、连接这两个交点。
原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。
)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。
)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。
北师大最新版八年级下册数学知识点
北师大版八年级下册数学考试大纲第一章三角形的证明一、全等三角形的判定及性质※1 性质：全等三角形对应角相等、对应边相等※2 判定：①判定一般三角形全等：（SSS、SAS、ASA、AAS）.②判定直角三角形全等独有的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL 二. 等腰三角形※1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.※2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．※3. 推论：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）．※4. 等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60 °；等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴.判定定理：(1) 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；(2) 三个角都相等的三角形是等边三角形.三. 直角三角形※1. 勾股定理及其逆定理http://w ww.xk b1. com如果三角形的三边长a、b、c 满足关系 a 2 b 2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）（满足的三个正整数，称为勾股数：，常见的勾股数有：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41※2. 含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. ※3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”．②直角三角形的全等判定方法，HL 还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有 5 种判定方法．四. 线段的垂直平分线※1. 线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.※2. 三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.五. 角平分线※1. 角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.※2. 三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这个点叫内心六．多边形的内角和与外角和：任意n 边形的内角和为(n2) 1800（n ≥3）；任意n 边形的外角和为360 0第二章一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等式的基本性质※1. 掌握不等式的基本性质, 并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上( 或减去) 同一个整式, 不等号的方向不变。
北师大版八年级数学下册知识点总结
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,cb c a < 2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地: 如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b; 即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0 (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题) 4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为abx >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为a bx <;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题) 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。
北师大数学八年级下册第二章-含参数一元一次不等式(组)经典讲义
第03讲_含参数一元一次不等式（组）知识图谱含参数一元一次不等式（组）知识精讲含字母的一元一次不等式（组）未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组） 未知数的系数含有字母若0a >，axb >的解为b x a >； 若0a <，ax b >的解为bx a<；若0a =，则当0b ≥时，ax b >无解， 当0b <时，ax b >的解为任何实数已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<-- 原不等式化为：()()13214a x a x +--<--()325a x -<-（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-参数取值范围首先把不等式的解集用含有字母的代数式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解，在求解过程中可以利用数轴进行分析.五．易错点1.注意参数取值范围导致的变号问题．2.分清参数和未知数，不要混淆.3.解连续不等式时要注意拆分为不等式组.三点剖析一．考点：含参的一元一次方程（组）．二．重难点：参数与解集之间的关系，整数解问题，不等式与方程综合． 三．易错点：注意参数取值范围导致的变号问题．解含参一元一次不等式（组）例题1、 解关于x 的不等式：ax ﹣x ﹣2＞0． 【答案】 当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -【解析】 ax ﹣x ﹣2＞0． （a ﹣1）x ＞2，当a ﹣1=0，则ax ﹣x ﹣2＞0为空集，当a ﹣1＞0，则x ＞21a -，当a ﹣1＜0，则x ＜21a -．例题2、 已知a 、b 为常数，解关于x 的不等式22ax x b ->+ 【答案】 2a >时，()212b x a +>- 2a <时，()212b x a +<-2a =时，①如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数 【解析】 原不等式可化为()()221a x b ->+，（1）当20a ->，即2a >时，不等式的解为()212b x a +>-； （2）当20a -<，即2a <时，不等式的解为()212b x a +<-；（3）当20a -=，即2a =时，有 ①：如果10b +≥，不等式无解；②如果10b +<，则不等式的解为任何实数．例题3、 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为23x >，则0bx a -<的解集是（ ） A.32x >B.32x <C.32x >-D.32x <-【答案】 C 【解析】 该题考查的是解不等式．0ax b +>的解集为23x >，化简得2=3b a - 且a>00bx a -<的解集为a x b >，32x >-．所以该题的答案是C ．例题4、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()()13214a x a x +--<-- ()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数.（1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a>-例题5、 已知关于x 的不等式22m mx -＞12x ﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．【答案】 （1）x ＜2（2）当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2；当x ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2【解析】 （1）当m=1时，不等式为22x -＞2x﹣1，去分母得：2﹣x ＞x ﹣2， 解得：x ＜2；（2）不等式去分母得：2m ﹣mx ＞x ﹣2， 移项合并得：（m+1）x ＜2（m+1）， 当m≠﹣1时，不等式有解，当m ＞﹣1时，不等式解集为x ＜2； 当m ＜﹣1时，不等式的解集为x ＞2．随练1、 解关于x 的不等式22241x x a a a-≥+．【答案】当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立； 当2a <-时，有2x a ≥-【解析】 因为0a ≠，所以20a >，将原不等式去分母，整理得()224a x a +≤-．当2a >-且0a ≠时，有2x a ≤-；当2a =-时，x 为任意数不等式都成立；当2a <-时，有2x a ≥-．随练2、 已知23a ≠，解关于x 的不等式()()14321a x a x ++<--．【答案】 当23a >时，不等式的解为523x a <-；当23a <时，不等式的解为523x a >-【解析】 原不等式化为：()325a x -<-，因为23a ≠，所以320a -≠，即32a -为正数或负数. （1）当320a ->时，即23a >时，不等式的解为523x a <-；（2）当320a -<，即23a <时，不等式的解为523x a >-随练3、 解下列关于x 的不等式组：()23262111x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩；【答案】 13a >时，32x a >+；13a ≤时，3x >【解析】 原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩．当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+．当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >随练4、 已知a ，b 为实数，若不等式ax ＋b ＜0的解集为12x >，则不等式b （x －1）－a ＜0的解集为（ ）A.x ＞－1B.x ＜－1C.a b x b +>D.a b x b+< 【答案】 B【解析】 暂无解析随练5、已知关于x 的不等式()2340a b x a b -+->的解集是1x >.则关于x 的不等式()4230a b x a b -+->的解集是____________.【答案】 13x <-【解析】 ()2340a b x a b -+->， 移项得：()232a b x a b ->-，由已知解集为1x >，得到20a b ->，变形得：322a bx a b ->-，可得：3212a ba b-=-，整理得：a b =， ()4230a a x a a ∴-+->，即0a >，∴不等式()4230a b x a b -+->可化为()4230a a x a a -+->. 两边同时除以a 得：31x ->，解得：13x <-.随练6、 已知实数a 是不等于3的常数，解不等式组2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（）＜ ，并依据a 的取值情况写出其解集． 【答案】 当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3，当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a【解析】 2x 3311x 2a x 022-+-⎧⎪⎨-+⎪⎩≥（①②）＜， 解①得：x ≤3，解①得：x ＜a ，∵实数a 是不等于3的常数，∴当a ＞3时，不等式组的解集为x ≤3， 当a ＜3时，不等式组的解集为x ＜a ．随练7、 关于x 的不等式组2131x a x +>⎧⎨->⎩．（1）若不等式组的解集是1＜x ＜2，求a 的值；（2）若不等式组无解，求a 的取值范围． 【答案】 （1）a=3；（2）a≤2【解析】 （1）解不等式2x+1＞3得：x ＞1， 解不等式a ﹣x ＞1得：x ＜a ﹣1， ∵不等式组的解集是1＜x ＜2，∴a ﹣1=2， 解得：a=3；（2）∵不等式组无解， ∴a ﹣1≤1， 解得：a≤2．参数与解集之间的关系例题1、 若关于x 的一元一次不等式组011x a x x ->⎧⎨->-⎩无解，则a 的取值范围是 ．【答案】 a≥2．【解析】 由x ﹣a ＞0得，x ＞a ；由1﹣x ＞x ﹣1得，x ＜1， ∵此不等式组的解集是空集， ∴a≥1．例题2、 已知关于x 的不等式组301(2)342x a x x -≥⎧⎪⎨->+⎪⎩有解，求实数a 的取值范围，并写出该不等式组的解集．【答案】 a ＜﹣6，3a≤x ＜﹣2．【解析】 解不等式3x ﹣a≥0，得：x≥3a，解不等式12（x ﹣2）＞3x+4，得：x ＜﹣2，由题意得：3a＜﹣2，解得：a ＜﹣6，∴不等式组的解集为3a≤x ＜﹣2．例题3、 如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A.a ＜﹣1 B.a ＜0 C.a ＞﹣1 D.a ＞0或a ＜﹣1 【答案】 A【解析】 （a+1）x ＞a+1， 当a+1＞0时，x ＞1， 当a+1＜0时，x ＜1， ∵解集为x ＜1， ∴a+1＜0， a ＜﹣1． 故选：A ．例题4、 当1≤x≤4时，mx ﹣4＜0，则m 的取值范围是（ ） A.m ＞1 B.m ＜1 C.m ＞4 D.m ＜4 【答案】 B【解析】 设y=mx ﹣4，由题意得，当x=1时，y ＜0，即m ﹣4＜0， 解得m ＜4，当x=4时，y ＜0，即4m ﹣4＜0， 解得，m ＜1，则m 的取值范围是m ＜1，例题5、 若不等式（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -，则a 的取值范围是 ．【答案】 a ＜3．【解析】 ∵（a ﹣3）x ＞1的解集为x ＜13a -， ∴不等式两边同时除以（a ﹣3）时不等号的方向改变， ∴a ﹣3＜0， ∴a ＜3．故答案为：a ＜3．例题6、 如果关于x 的不等式()122a x a +>+的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ） A.0a < B.1a <-C.1a >D.1a >-【答案】 B【解析】 将原不等式与其解集进行比较，在不等式的变形过程中利用了不等式的性质三，因此有10a +<，故1a <-例题7、 若不等式组()322110b x x a -<--⎧⎨->⎩的解集为﹣2＜x ＜4，求出a 、b 的值．【答案】 a=﹣10，b=3．【解析】 解不等式10﹣x ＜﹣（a ﹣2），得：x ＞a+8，解不等式3b ﹣2x ＞1，得：x ＜312b -，∵解集为﹣2＜x ＜4， ∴314282a b ⎧⎪⎨-=+=-⎪⎩，解得：a=﹣10，b=3．随练1、 已知关于x 的不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2，则m 的取值范围是________． 【答案】 m ＜2【解析】 不等式（m －2）x ＞2m －4的解集为x ＜2， ∴m －2＜0，m ＜2．随练2、 关于x 的不等式组()3141x x x m ⎧->-⎪⎨<⎪⎩的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是 ．【答案】 m≥3【解析】 ()3141x x x m ->-⋅⋅⋅⎧⎪⎨<⋅⋅⋅⎪⎩①②，解①得x ＜3，∵不等式组的解集是x ＜3， ∴m≥3．故答案是：m≥3．随练3、 若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为（ ）A.23m >-B.23m ≤C.23m >D.23m ≤-【答案】 C【解析】 202x m x m -<⎧⎨+>⎩①②，解不等式①得，x ＜2m ， 解不等式②得，x ＞2－m ， ∵不等式组有解， ∴2m ＞2－m ，∴23m >．随练4、 若不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则实数a 的取值范围是（ ）A.a≥－2B.a ＜－2C.a≤－2D.a ＞－2【答案】 D【解析】 0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥，解不等式x ＋a≥0得，x≥－a ，由不等式4－2x ＞x －2得，x ＜2，∵不等式组：不等式组0422x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，∴a ＞－2，随练5、 已知不等式31（x ﹣m ）＞2﹣m ． （1）若上面不等式的解集为x ＞3，求m 的值．（2）若满足x ＞3的每一个数都能使上面的不等式成立，求m 的取值范围． 【答案】 （1）23（2）m≥23 【解析】 （1）解不等式可得x ＞6﹣2m ，∵不等式的解集为x ＞3， ∴6﹣2m=3，解得m=23；（2）∵原不等式可化为x ＞6﹣2m ，满足x ＞3的每一个数都能使不等式成立， ∴6﹣2m≤3，解得m≥23．整数解问题例题1、 关于x 的不等式－1＜x≤a 有3个正整数解，则a 的取值范围是________． 【答案】 3≤a ＜4【解析】 ∵不等式－1＜x≤a 有3个正整数解， ∴这3个整数解为1、2、3， 则3≤a ＜4．例题2、 关于x 的不等式0x b ->恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A.32?b -<<- B.32?b -<≤- C.32b -≤≤- D.32b -≤<- 【答案】 D【解析】 本题主要考查一元一次不等式及其解法。
数学北师大版八年级下册第六章 多边形的内角和
N边形 度数
4
°
活动四
多边形内角和公式的应用
(n－2) · 180°
多边形内角和公式的应用
例１、已知一个多边形，它的内角和等于720 ° 求这个多边形的边数。
解： 设多边形的边数为n，由题意得： (n-2)•180°= 720º 。
解得:
n=6
这个多边形的边数为6。
多边形内角和公式的应用
求正n边形每个内角度数
义务教育课程标准实验教科书--北师大版 《数学》八年级下册
6.4多边形的内角和
学习目标
1.会灵活应用多边形内角和公式.
2.会求正n边形的一个内角度数. 3.会根据对角线的条数求多边形的边数.
活动一
认识多边形
认识多边形
在平面内，由若干条不在同 一条直线上的线段首尾顺次相连 组成的封闭图形叫做多边形.
内角
顶点 A
边
B
对角线
(连接不相邻两个顶点的线段)
认识多边形
正三角形
正ห้องสมุดไป่ตู้形
正五边形
正六边形
在平面内，每个内角都相等，每条 边也都相等的多边形叫做正多边形。
活动二
探索四边形内角和
A D B C
探索四边形内角和 A
利用三角形内角和知识探索 “四边形内角和是360 °” . 你能想到几种办法？
B
D C
课后作业
试卷二
D
B
3× 180
B
4× 180
C B °360°
3× 180
C °180°
活动三
探索n边形内角和
探索n边形内角和
多边形 的边数
3 0 0 1
4 1 2 2
(完整版)北师大版八年级下册数学复习知识点及例题相结合
一. 不等关系第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1. 一般地,用符号“<”(或“ ≥”), “>”(或“ ≤”)连接的式子叫做不等式.2.区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数⇔ 非正数⇔ 大于等于0( ≥ 0) ⇔小于等于0( ≤ 0) ⇔0 和正数0 和负数⇔不小于0⇔不大于0二. 不等式的基本性质1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, a >b .c c(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, a <bc c2.比较大小:(a、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b ⇔ a-b>0 a=b ⇔ a-b=0 a<b ⇔ a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要作差即可)例下列各式一定成立的是( )A．7a﹥4a B. a﹥-a C. a+1﹥a－1 D. a≤a2例若a﹥b,且a、b 同号，以下不等式中一定成立的有①a2﹥b2 ②a3＜b3 ③1/a＜1/b ④a/b﹥1A. 0B. 1C. 2D. 3三. 不等式的解集:1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心点,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3.解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0 时,解为x >b;②当a=0 时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0 时,且b≥0,则a无解;③当a<0 时, 解为x <b ;a5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.例不等式mx﹥n(m≠0)的解集是( )A．x﹥n/m B.当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜-n/mC．x＜n/m D．当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜n/m例如果不等式(a+1) x﹥(a+1)的解集为x＜1，则a 必须满足的的条件是：A. a＜0B. a≤-1C. a﹥-1D. a＜-1例已知关于x 的不等式(2a－b)x+a－5b ﹥0 的解集为x＜10/7,则ax+b﹥0 的解集为例若不等式组x﹥a 无解，则不等式组x﹥2－a 的解集是例水果店进了某中水果1t，进价是7 元/kg。
北师大版八年级下册数学期末知识点复习
北师大版八年级下册数学期末知识点复习八年级下册数学考试知识点复第一章证明（二）一、全等三角形的判定及性质全等三角形的性质是对应相等，即对应的角相等，对应的边相等。
判定全等三角形有五种方法：SSS（分别相等的三边）、SAS（分别相等的两边和它们夹角的正弦值相等）、ASA（分别相等的两角和夹角中间的边）、AAS（分别相等的两角和它们夹角的正弦值相等）、HL（分别相等的斜边和一个直角边的长度）。
等腰三角形的性质是两个底角相等，即等边对等角。
判定等腰三角形有一个角等于另一个角，即等角对等边。
等腰三角形还有一个推论是互相重合，即两个等腰三角形的两个底边相等，两个等腰角也相等。
等边三角形的性质是三个角都相等，每个角都等于60度，是轴对称图形，有一条对称轴。
判定等边三角形有两个方法：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形。
直角三角形的勾股定理是直角边的平方和等于斜边的平方，逆定理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
含30度的直角三角形的边的性质是如果一个锐角等于30度，那么它所对的斜边等于另一条直角边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
线段的垂直平分线的性质是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
判定线段垂直平分线的方法是到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的中垂线上。
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等。
角平分线的性质是角平分线上的点到角的两边距离相等。
判定角平分线的方法是到一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三条边的距离相等，叫做内心。
二、一元一次不等式和一元一次不等式组不等关系是数学中的一种关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于四种形式。
一元一次不等式是形如ax+b>c的不等式，其中a、b、c都是实数，且a不等于0.解一元一次不等式可以用图像法或代数法，将不等式变形为x>或x<的形式。
北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]
![北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]](https://img.taocdn.com/s3/m/554c8b2bb6360b4c2e3f5727a5e9856a561226bc.png)
北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]北师大版八年级下册数学重难点突破：等腰三角形（基础）研究目标：1.了解等腰三角形和等边三角形的定义和概念，掌握等腰三角形的轴对称性；2.掌握等腰三角形和等边三角形的性质，并能利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图；3.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法及其证明过程，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力；4.理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题。
要点梳理：要点一、等腰三角形的定义等腰三角形是指有两条边相等的三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A 是顶角，∠B、∠C是底角。
要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”。
推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°。
2.等腰三角形的对称性1) 等腰三角形是轴对称图形；2) ∠B＝∠C；3) BD＝CD，AD为底边上的中线；4) ∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴。
3.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
也称为正三角形。
等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴。
要点诠释：1) 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180A/2.2) 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等腰三角形的重要线段性质之一是“等腰三角形三线合一”，即等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合。
北师大数学八年级下册第一章-等腰三角形与直角三角形经典讲义
第01讲_等腰三角形与直角三角形知识图谱等腰三角形知识精讲一、等腰三角形二、思路点拨等腰三角形边或者周长的计算注意三边关系的隐含条件等腰、角平分线、平行（1）△ABC是等腰三角形，（2）AD∥BC（3）∠1=∠2以上三个结论知二推一（需简单证明）三角形中角的2倍关系三点剖析重难点12B CDA12AB CEDααβββ2αααβ2βα2ββ等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形性质1．两个底角相等，两条腰相等．2．三线合一：（1）顶角角平分线、（2）底边上的中线、（3）底边上的高（可直接使用）判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等三线合一逆定理：一个三角形（1）对角角平分线、（2）该边上的中线、（3）该边上的高有两条互相重合，则是等腰三角形（需简单证明）1．等腰三角形的三线合一及其逆定理2．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 3．等腰三角形与全等三角形综合问题 考点1．等腰三角形的性质和判定2．等腰三角形的三线合一及其逆定理3．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 4．等腰三角形与全等三角形综合问题易错点1．等腰三角形边或者周长的计算问题容易忽略“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这个隐含的限制条件2．等腰三角形的三线合一及可以直接使用，但是三线合一的逆定理需要证明之后才能用3．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一要非常熟练，在使用的时候是需要简单证明的，不可直接得出结论等边对等角例题1、 如图，ABC 中，,,18,12==∠=︒∠=︒AB AC AD DE BAD EDC ，则∠DAE 的度数为( )A.58︒B.52︒C.62︒D.60︒ 【答案】 C【解析】 暂无解析随练1、 如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）A.36°B.60°C.72°D.108° 【答案】 C【解析】 ∵∠A=36°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=36°， ∴∠1=∠A+∠ABD=72°随练2、 一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长是________． 【答案】 22【解析】 暂无解析等角对等边例题1、 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ． 求证：AD=BC ．【答案】 见解析【解析】 ∵AB=AC ，∠A=36°， ∴∠ABC=C=72°，∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D ， ∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°， ∴∠A=∠ABD ，∠BDC=∠C ， ∴AD=BD=BC ．例题2、 如图，在ABC ∆中，5BC cm =，BP 、CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，且PD AB ∥，PE AC ∥，则PED ∆的周长是_______cm【答案】 5【解析】 ∵BP 、CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线， ABP PBD ∴∠=∠，ACP PCE ∠=∠．PD AB ∥，PE AC ∥，ABP BPD ∴∠=∠，ACP CPE ∠=∠， PBD BPD ∴∠=∠，PCE CPE ∠=∠，BD PD ∴=，CE PE =， ∴PDE ∆的周长5PD DE PE BD DE EC BC cm =++=++==．随练1、 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE //AB 交AC 于点E ，若7DE =，5CE =，则AC =（ ）A.11B.12C.13D.14【答案】 B【解析】 该题考查的是等腰三角形的判定． ∵DE //AB ，∴BAD ADE ∠=∠，又∵BAD DAE ∠=∠ ∴DAE ADE ∠=∠ ∴7AE DE ==∴7512AC AE EC =+=+= ∴该题的答案是B ．三线合一例题1、 如图，△ABC 中，AB AC =，100BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，且BD BE =，则ADE ∠的度数为（ ）A.10︒B.20︒C.40︒D.70︒【答案】 B【解析】 该题考查的是三角形的性质． ∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∵100BAC ∠=︒， ∴40B C ∠=∠=︒，∵AD 是BC 边上的中线， ∴AD BC ⊥， ∴90ADB ∠=︒， ∵BD BE =，∴70BDE BED ∠=∠=︒， ∴20ADE ∠=︒， 故该题答案为B ．例题2、 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于D ，∠BAC 的平分线AF 交CD 于E ，交BC 于F ，CM ⊥AF 于M ，求证：EM FM =．【答案】 见解析【解析】 ∵90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ， ∴90ADC ∠=︒，∴90AED DAE ∠+∠=︒，90CFE CAE ∠+∠=︒， 又∵∠BAC 的平分线AF 交CD 于E ， ∴DAE CAE ∠=∠， ∴AED CFE ∠=∠， 又∵AED CEF ∠=∠， ∴CEF CFE ∠=∠， 又∵CM ⊥AF ， ∴EM FM =．随练1、 如图，在△ABC 中，54B ∠=︒，72ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，ME AD ⊥于G ，交AB 、AC 及BC 的延长线于E 、M 、F ，则BFE ∠=______________．ABC D E【答案】 9︒【解析】 该题考查的是等腰三角形三线合一． ∵54B ∠=︒，72ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠∴1805472272BAD CAD ︒-︒-︒∠=∠==︒又∵AD ⊥EF 即90AGM ∠=︒∴902763CMF AMG ∠=∠=︒-︒=︒ 又∵△CFM 的外角72ACB ∠=︒∴72639CFM ACB CMF ∠=∠-∠=︒-︒=︒角平分线，平行线，等腰三角形知二推一例题1、 如图，D 为ABC △内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ）A.2B.1C.52D.32【答案】 B【解析】 该题考查的是等腰三角形三线合一逆定理． 延长BD 与AC 交于点E ，∵A ABD ∠=∠， ∴BE AE =， ∵BD CD ⊥， ∴BE CD ⊥， ∵CD 平分ACB ∠， ∴BCD ECD ∠=∠， ∴EBC BEC ∠=∠，MAB CD（第6题）∴△BEC为等腰三角形，∴BC CE=，∵BE CD⊥，∴2BD BE=，∵5BC=，AC=，3∴3CE=，∴532=-=-=，AE AC EC∴2BE=，∴1BD=．所以答案选A例题2、(2013初二上期末怀柔区)如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若△AEF的周长为12，则AB+AC等于____．【答案】12【解析】该题考查的是平行线的性质．∵BO平分CBA∠，CO平分ACB∠，∴OBC OBA∠=∠，∠=∠，OCB OCA∵EF∥BC，∴OBA BOE∠=∠，OCA COF∠=∠，∴BE OE=，=，CF OF∴△AEF的周长AE OE OF AF AE BE CF AF AB AC=+++=+++=+，∵△AEF的周长为12，∴12+=．AB AC例题3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形．【解析】（1）如图所示：（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=12∠EAC+12∠BAC=12×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．随练1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？【答案】（1）见解析（2）70°（3）△DEF不可能是等腰直角三角形，见解析【解析】（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C，在△BDE与△CEF中BD CEB C BE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．（2）解：由（1）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF∵∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B ∴∠DEF=∠B∵AB=AC ，∠A=40°∴∠DEF=∠B=18040702︒︒︒-=（3）解：△DEF 不可能是等腰直角三角形． ∵AB=AC ，∴∠B=∠C ≠90° ∴∠DEF=∠B ≠90°，∴△DEF 不可能是等腰直角三角形等腰三角形与全等三角形综合例题1、 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°．点D 在线段BC 上运动（点D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于E ．（1）当∠BAD ＝20°时，∠EDC ＝________°；（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ？试说明理由；（3）△ADE 能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD 的度数；若不能，请说明理由．【答案】 （1）20（2）当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE ，证明见解析 （3）∠BAD ＝30°或∠BAD ＝60°【解析】 （1）∵∠BAD ＝20°，∠B ＝40°， ∴∠ADC ＝60°， ∵∠ADE ＝40°，∴∠EDC ＝60°－40°＝20°（2）当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE ； 理由：∵∠ADE ＝40°，∠B ＝40°，又∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ． ∴∠BAD ＝∠EDC ． 在△ABD 和△DCE 中， B C AB DCBAD EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩． ∴△ABD ≌△DCE （ASA ）； （3）当∠BAD ＝30°时，∵∠B ＝∠C ＝40°，∴∠BAC ＝100°， ∵∠ADE ＝40°，∠BAD ＝30°， ∴∠DAE ＝70°，∴∠AED ＝180°－40°－70°＝70°，∴DA ＝DE ，这时△ADE 为等腰三角形；当∠BAD ＝60°时，∵∠B ＝∠C ＝40°，∴∠BAC ＝100°， ∵∠ADE ＝40°，∠BAD ＝60°，∠DAE ＝40°， ∴EA ＝ED ，这时△ADE 为等腰三角形．例题2、 如图1，在ABC △中，2ACB B ∠=∠，BAC ∠的平分线AO 交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l AO ⊥于H ，分别交直线AB 、AC 、BC 于点N 、E 、M ．（1）当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =；（2）当M 是BC 中点时，写出CE 和CD 之间的等量关系，并加以证明； （3）请直接写出BN 、CE 、CD 之间的等量关系．【答案】 （1）见解析（2）2CD CE =（3）当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+；当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-；当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-【解析】 该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质． （1）证明：连接ND ． ∵AO 平分∠BAC ， ∴12∠=∠， ∵直线l ⊥AO 于H ， ∴4590∠=∠=︒， ∴67∠=∠， ∴AN AC =， ∴NH CH =，∴AH 是线段NC 的中垂线， ∴DN DC =， ∴89∠=∠． ∴AND ACB ∠=∠，∵3AND B ∠=∠+∠，2ACB B ∠=∠， ∴3B ∠=∠， ∴BN DN =． ∴BN DC =；（2）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为2CD CE = 证明：过点C 作CN '⊥AO 交AB 于N '．由（1）可得BN CD '=，AN AC '=，AN AC '=． ∴43∠=∠，NN CE '=． 过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ． ∴42∠=∠，1B ∠=∠． ∴23∠=∠．ABC M ElNHD O lNH A ABBC CD O O D 图1图2图3∴CG CE =． ∵M 是BC 中点， ∴BM CM =在△BNM 和△CGM 中， 1B BM CMNMB GMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BNM ≌△CGM ．（ASA ） ∴BN CE =．∴2CD BN NN BN CE ''==+=．（3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系： 当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+； 当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-； 当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-．随练1、 如图，已知线段AC ∥y 轴，点B 在第一象限，且AO 平分∠BAC ，AB 交y 轴于G ，连OB 、OC ． （1）判断△AOG 的形状，并予以证明；（2）若点B 、C 关于y 轴对称，求证：AO ⊥BO ．【答案】 （1）等腰三角形；证明见解析 （2）见解析【解析】 （1）△AOG 是等腰三角形； ∵AC ∥y 轴，∴∠CAO=∠AOG ， ∵AO 平分∠BAC ， ∴∠CAO=∠GAO ， ∴∠GAO=∠AOG ， ∴AG=GO ，∴△AOG 是等腰三角形；（2）连接BC 交y 轴于K ，过A 作AN ⊥y 轴于N ，∵AC ∥y 轴，点B 、C 关于y 轴对称， ∴AN=CK=BK ，在△ANG 和△BKG 中，AGN BGK ANG BKG AN BK ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANG ≌△BKG ，（AAS ） ∴AG=BG ， ∵AG=OG ，（1）中已证， ∴AG=OG=BG ，∴∠BOG=∠OBG ，∠OAG=∠AOG ，∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG=180°， ∴∠AOG+∠BOG=90°， ∴AO ⊥BO ．等边三角形知识精讲等边三角形 （1）三条边都相等的三角形 （2）是一种特殊的等腰三角形性质三个内角都等于60︒判定判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形判定2：有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半证明：延长BC 至'B 使'CB CB =∴AC 垂直平分'BB ，∴'AB AB =，60B ∠=︒，∴'ABB △是等边三角形，∴'2AB BB BC ==，∴12BC AB =二．思路点拨90°60°60°30°A BCDB'CBA三点剖析一．考点：1．等边三角形的性质与判定；2．直角三角形性质定理；3．等边三角形与全等三角形综合．二．重难点：1．等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．做题时常作为隐藏条件考察．2．等边三角形的判定用定义判断的不多，一般都是利用有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形来判定，所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60°．3．等边三角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30°角的直角三角形中边的关系．4．在解决建立在等边三角形基础上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角．三．易错点：在利用直角三角形性质定理的过程中，需要注意两点：一是必须在直角三角形中才能运用，锐角三角形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是30︒所对的直角边等于斜边的一半．等边三角形的性质例题1、(2013初二上期末怀柔区)如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为____．【答案】3 2【解析】该题考查的是∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为ABC∠的平分线，∴60ABC∠=︒，30DBE∠=︒，又DE DB=，∴30E DBE∠=∠=︒，∴30CDE ACB E∠=∠-∠=︒，即CDE E∠=∠，∴CD CE=；∵等边△ABC的周长为9，∴3AC=，∴1322 CD CE AC===，即32 CE=．例题2、如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为___________．【答案】60°．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°．∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，∴∠BDE=∠AFD=90°．∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°，∴∠EDF=180°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=360°﹣60°﹣150°﹣90°=60°．例题3、在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A.AE∥BCB.∥ADE=∥BDCC.∥BDE是等边三角形D.∥ADE的周长是9【答案】B【解析】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．首先由旋转的性质可知∥AED=∥ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由∥ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∥EBD=60°，BE=BD即可判断出∥BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故∥AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．∥∥ABC是等边三角形，∥∥ABC=∥C=60°，∥将∥BCD绕点B逆时针旋转60°，得到∥BAE，∥∥EAB=∥C=∥ABC=60°，∥AE∥BC，故选项A正确；∥∥ABC是等边三角形，∥AC=AB=BC=5，∥∥BAE∥BCD逆时针旋旋转60°得出，∥AE=CD，BD=BE，∥EBD=60°，∥AE+AD=AD+CD=AC=5，∥∥EBD=60°，BE=BD，∥∥BDE是等边三角形，故选项C正确；∥DE=BD=4，∥∥AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；而选项B没有条件证明∥ADE=∥BDC，∥结论错误的是B，故选：B．随练1、如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A.150°B.160°C.130°D.60°【答案】A【解析】∵AB∥ED，∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°，∵AD=AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°，∵AB=AC=AD，∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠ADC，在四边形ABCD中，∠BCD=12（360°﹣∠BAD）=12（360°﹣60°）=150°．随练2、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A.25°B.30°C.35°D.40°【答案】B【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；随练3、 如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=___________．【答案】 2．【解析】 ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC=∠E=30°，BD ⊥AC ， ∴∠BDC=90°， ∴BC=2DC ，∵∠ACB=∠E+∠CDE ， ∴∠CDE=∠E=30°， ∴CD=CE=1， ∴BC=2CD=2．等边的判定例题1、 △ABC 中，①若AB ＝BC ＝CA ，则△ABC 是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 D【解析】 ①三边相等的三角形是等边三角形，正确；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确； ③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确； ④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确； 则正确的有4个．例题2、 如图所示，AD 是ABC △的中线，60ADC ∠=°，8BC =，把ADC △沿直线AD 折叠后，点C 落在C '位置，则BC '的长为________.【答案】 4【解析】 本题考察的是等边三角形．由题意，60ADC ADC '∠=∠=︒，DC DC DB '==． 180606060BDC '∠=︒-︒-︒=︒，有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形，118422BC BD BC '===⋅=．故本题的答案是4．例题3、 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆，CBN ∆都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ．（1）求证：AN BM =；（2）求证：CEF ∆为等边三角形．【答案】 见解析【解析】 （1）ACM ∆，CBN ∆是等边三角形， AC MC ∴=，BC NC =，60ACM NCB ∠=∠=︒，ACM MCN NCB MCN ∴∠+∠=∠+∠，即ACN MCB ∠=∠．在ACN ∆和MCB ∆中，AC MC =，ACN MCB ∠=∠，NC BC =， ACN MCB ∴∆≅∆，AN BM ∴=．（2）ACN MCB ∆≅∆，CAN CMB ∴∠=∠，又18060MCF ACM NCB ∠=︒-∠-∠=︒，MCF ACE ∴∠=∠，在CAE ∆和CMF ∆中，CAE CMF ∠=∠，CA CM =，ACE MCF ∠=∠， CAE CMF ∴∆≅∆，CE CF ∴=，CEF ∴∆为等腰三角形， 又60ECF ∠=︒，CEF ∴∆为等边三角形．随练1、 已知：如图，△AOB 的顶点O 在直线l 上，且AO AB =．（1）画出△AOB 关于直线l 成轴对称的图形△COD ，且使点A 的对称点为点C ； （2）在（1）的条件下，AC 与BD 的位置关系是_________； （3）在（1）、（2）的条件下，联结AD ，如果2ABD ADB ∠=∠，求∠AOC 的度数．【答案】 （1）如图1（2）平行（3）60AOC ∠=︒ 【解析】 该题考查的是轴对称与全等三角形． （1）如图1； （2）平行．AC DB∵AC与BD是对应点的连线，l为对称轴，∴AC l⊥，⊥，BD l∴AC∥BD．（3）如图2，∵由（1）可知，△AOB与△COD关于直线l对称，∴△AOB≌△COD．∴AO AB CO CD===，∵2∠=∠=∠，ABD CDB ADB而ADB DAC∠=∠，∴CDA CAD∠=∠，∴CD CA=，∴CA CO OA==，∴△COA为等边三角形，∴60∠=︒．AOC直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一边例题1、如图，已知ABC⊥，则下列关系式正确的为（）∠=︒，AB AD∆中，AB AC=，30CA.BD CDBD CD= D.4=BD CDBD CD= B.2= C.3【答案】B【解析】该题考查的是特殊的直角三角形．C CAD∠=∠=︒，30∴DAC∆为等腰三角形，∴CD AD=，在Rt BAD∆中，30∠=︒，B∴22==BD AD CD故选B．例题2、如图，30∥交OA于C.若10PC=，则OC=__________，⊥于D，PC OBAOB∠=︒，OP平分AOB∠，PD OBPD=__________.【答案】10；5【解析】该题考查的是角平分线的性质定理和含30°直角三角形的性质．∵OP平分AOB∠，∴AOP BOP ∠=∠， ∵PC OB ∥，∴CPO BOP ∠=∠， ∴CPO AOP ∠=∠， ∴PC OC =， ∵10PC =，∴10OC PC ==，过P 作PE OA ⊥于点E ，∵PD OB ⊥，OP 平分AOB ∠， ∴PD PE =，∵PC OB ∥，30AOB ∠=︒ ∴30ECP AOB ∠=∠=︒在Rt ECP ∆中，152PE PC ==∴5PE PD ==随练1、 如图，ABC △中，90A ∠=︒，30C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，12AC =，则BCD △中BC 边上的高是____【答案】 6【解析】 该题考察的是三角形的高． 过A 做BC 的高AE ， 在Rt △AEC 中，30C ∠=︒，由在直角三角形中30︒所对直角边等于斜角边的一半得：11=12622AE AC =⨯=．等边三角形与全等三角形综合例题1、 如图△ABC 为等边三角形，直线a ∥AB ，D 为直线BC 上任一动点，将一60°角的顶点置于点D 处，它的一边始终经过点A ，另一边与直线a 交于点E ．（1）若D 恰好在BC 的中点上（如图1）求证：△ADE 是等边三角形；ODB P CA E BA DCBA DCE（2）若D 为直线BC 上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】 见解析【解析】 （1）证明：∵a ∥AB ，且△ABC 为等边三角形， ∴60ACE BAC ABD ∠=∠=∠=︒，AB AC =， ∵BD CD =，∴AD ⊥BC∵60ADE ∠=︒，∴30EDC ∠=︒，∴18090DOC EDC ACB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴30DEC DOC ACE ∠=∠-∠=︒，∴EDC DEC ∠=∠，∴EC CD DB ==，∴△ABD ≌△ACE ．∴AD AE =，且60ADE ∠=︒， ∴△ADE 是等边三角形；（2）在AC 上取点F ，使CF CD =，连结DF ， ∵60ACB ∠=︒，∴△DCF 是等边三角形， ∵60ADF FDE EDC FDE ∠+∠=∠+∠=︒， ∴ADF EDC ∠=∠，∵DAF ADE DEC ACE ∠+∠=∠+∠，∴DAF DEC ∠=∠， ∴△ADF ≌△EDC （AAS ），∴AD ED =， 又∵60ADE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形．例题2、 在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC=10cm ，等腰直角三角形DEF 的顶点D 为AB 的中点．（1）如图（1）所示，DE ⊥AC 于M ，BC ⊥DF 于N ，则DM 与DN 在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？（2）在（1）的基础上，将三角形DEF 绕着点D 旋转一定的角度，且AC 与DE 相交于M ，BC 与DF 相交于N ，如图（2），则DM 与DN 在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？【答案】 （1）DM=DN ；25cm 2（2）DM=DN ；25cm 2【解析】 （1）连接DC ，∵AC=BC ，D 为AB 的中点，∠ACB=90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°， ∴∠A=∠DCN ，AD=DC ， ∵DM ⊥AC ，DN ⊥BC ， ∴∠DMA=∠DNC ，∴△ADM ≌△CDN （AAS ）， ∴DM=DN ，则S 重叠=S △DNC +S △DMC =S △DMA +S △DMC =S △ADC =12S △ABC =12×12×10×10=25（cm 2）； （2）连接CD ，则CD ⊥AB ，∠A=∠DCB=45°，AD=CD ，∵∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDF=90°， ∴∠ADM=∠CDN ，∴△AMD ≌△CND （ASA ）， ∴DM=DN ， 同（1）可得S 重叠=12S △ABC =12×12×10×10=25（cm 2）．随练1、 如图，已知∥ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∥ABE∥∥CAD ；（2）求∥BFD 的度数．【答案】 （1）见解析（2）60° 【解析】（1）证明：∥∥ABC 为等边三角形， ∥∥BAE=∥C=60°，AB=CA ， 在∥ABE 和∥CAD 中， AB CA BAE C AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABE∥∥CAD （SAS ）．（2）∥∥BFD=∥ABE+∥BAD ， 又∥∥ABE∥∥CAD ， ∥∥ABE=∥CAD ．∥∥BFD=∥CAD+∥BAD=∥BAC=60°．随练2、 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是三角形外一点，且60ABD ∠=︒，BD DC AB +=．求证：60ACD ∠=︒．【答案】 见解析 【解析】 延长BD 至E ，使CD DE =，连接AE ，AD ，BD CD AB +=，BE BD DE =+，BE AB ∴=，60ABD ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，AE AB AC ∴==，60E ∠=︒，在ACD ∆和AED ∆中，AC AE CD DE AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACD AED SSS ∴∆≅∆，60ACD E ∴∠=∠=︒．随练3、 已知：90A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，CE ⊥BD ，垂足为E ．求证：2BD CE =．【答案】 见解析【解析】 本题考查全等三角形的判定与性质． 证明：延长CE 、BA 交于点F ． ∵CE ⊥BD 于E ，90BAC ∠=︒， ∴ABD ACF ∠=∠．又∵AB AC =，90BAD CAF ∠=∠=︒， ∴△ABD ≌△ACF （AAS ）， ∴BD CF =．∵BD 平分ABC ∠， ∴CBE FBE ∠=∠． 有BE BE =， ∴CE EF =，∴12CE BD =，∴2BD CE =．勾股定理的证明知识精讲一．勾股定理定理如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么222a b c+=．举例如图，在Rt ABC△中，A B C∠∠∠、、的对边分别用字母a、b、c来表示，则有：222a b c+=其中，当34a b==，时，则有斜边222223425c a b=+=+=变形22c a b=+，22a c b=-，22b c a=-．二．勾股定理的证明证明方法一：（赵爽弦图）22 2222222214()214()222ABCDS c ab b a c ab b ac ab b a abc b a==⨯+-∴=⨯+-=++-=+正方形证明方法二：（等面积法）()2222222214222ABCDS a b ab ca b ab ab ca b c=+=⨯+∴++=+∴+=正方形cbaCBA cabAFDCBEHG证明方法三：（总统证法）()()222222211222222ABCD a b a b S ab c a ab b ab c a b c ++==⨯+∴++=+∴+=梯形三．易错点：1. 运用勾股定理求直角三角形边长时，注意分清直角边和斜边，采用正确的计算公式。
北师大版初二数学下册知识点归纳
北师大版初二数学下册知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如演讲稿、总结报告、合同协议、方案大全、工作计划、学习计划、条据书信、致辞讲话、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as speech drafts, summary reports, contract agreements, project plans, work plans, study plans, letter letters, speeches, teaching materials, essays, other sample essays, etc. Want to know the format and writing of different sample essays, so stay tuned!北师大版初二数学下册知识点归纳学会整合知识点。
北师大版八年级下册数学第五章知识总汇
北师大版八年级下册数学第五章知识总汇第五章线性方程组1.线性方程组及其解集概念：线性方程组由多个线性方程组成，解集是使方程组中所有方程成立的变量值的集合。
2.线性方程组的形式：线性方程组可以用矩阵等式来表示，常见的形式包括标准形、增广矩阵形式等。
3.线性方程组的解集分类：线性方程组的解集可以分为无解、有唯一解和有无穷多解三种情况，取决于方程组的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系。
4.线性方程组的解法：可通过消元法、代入法、等价变形法等多种方法求解线性方程组。
5.消元法的步骤：通过逐步的行变换，将线性方程组转化为化简的阶梯形或行阶梯形。
6.代入法的步骤：将方程组中的一个变量表示成其他变量的函数，再将其代入其他方程中，逐步求解出所有变量的值。
7.等价变形法的步骤：通过等价变形将方程组逐步转化为简单的形式，最终求解出变量的值。
8.齐次线性方程组及其解集：齐次线性方程组的特点是右边的常数项全为零，其解集必定包含零解，若存在非零解则称为非齐次线性方程组。
9.向量及其表示：向量是有大小和方向的量，可以用有序数对、有序数组等表示，也可以通过箭头在图形上表示。
10.线性方程组与矩阵的关系：矩阵可以看作是线性方程组系数和常数项的一种组织形式，通过矩阵可以简洁地表示线性方程组。
11.线性方程组的应用：线性方程组在工程、物理、经济等多个领域有广泛的应用，如用于解决平衡、投资、优化等问题。
12.解线性方程组的实际应用：解线性方程组可以帮助我们研究和解决实际问题，如确定平面的交点、分析经济模型等。
13.线性方程组解的存在唯一性定理：若线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；若系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解；若系数矩阵的秩等于未知数个数，则方程组有无穷多解。
14.线性方程组解法的选择：根据线性方程组的形式和题目要求，可以选择不同的解法进行求解，灵活运用方法是解题的关键。
15.线性方程组求解的三种基本性质：线性方程组的解集具有封闭性、可加性和倍乘性三种基本性质，在求解过程中需要注意这些性质的运用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北师大版初中数学定理知识点汇总[八年级(下册) 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,cb c a < 2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地: 如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集:※1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.※2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.¤3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; ②方向:大向右,小向左 四. 一元一次不等式:※1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.※2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向. ※3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母; ②去括号; ③移项; ④合并同类项; ⑤系数化为1(不等号的改变问题)※4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为a b x>; ②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数; 当a=0时,且b ≥0,则无解; ③当a<0时, 解为ab x<; ¤5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即: ①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式与一次函数 六. 一元一次不等式组※1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.※2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. ※3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.第二章 分解因式一. 分解因式※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如:)(c b a ac ab +=+※2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:)(c b a m mc mb ma -+=-+※3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 运用公式法※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. ※2. 主要公式:(1)平方差公式:))((22b a b a b a -+=- (2)完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-¤3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如))((222244y x y x y x-+=-就没有分解到底. ※4. 运用公式法:(1)平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方; ③二项是异号. (2)完全平方公式: ①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. ※5. 因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 四. 分组分解法:※1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++※2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式. ※3. 注意: 分组时要注意符号的变化. 五. 十字相乘法: ※1.对于二次三项式c bx ax++2,将a 和c 分别分解成两个因数的乘积,21a a a ⋅= , 21c c c ⋅=, 且满足1221c a c a b +=,往往写成c 2a 2c 1a 1的形式,将二次三项式进行分解.如:))((22112c x a c x a c bx ax ++=++※2. 二次三项式q px x++2的分解:ab q ba p =+= ))((2b x a x q px x ++=++※3. 规律内涵: (1)理解:把q px x++2分解因式时,如果常数项q 是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p 的符号相同. (2)如果常数项q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p. ※4. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.第三章 分式一. 分式※1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A 除以整式B,可以表示成BA的形式.如果除式B 中含有字母,那么称BA为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零. ※2. 整式和分式统称为有理式,即有: ⎩⎨⎧分式整式有理式※3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.)0(,≠÷÷=⨯⨯=M MB M A B A M B M A B A※4. 一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分. 二. 分式的乘除法※1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.即:BD AC D C B A =⋅, CB DA C DB A DC B A ⋅⋅=⋅=÷ ※2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方.即: )(为正整数n B A B A nn n=⎪⎭⎫⎝⎛逆向运用nn n B A B A ⎪⎭⎫⎝⎛=,当n 为整数时,仍然有nn nB A B A =⎪⎭⎫⎝⎛成立.※3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式. 三. 分式的加减法※1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分. ※2. 分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是:CBA CBC A ±=± (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:BDBCAD BD BC BD AD D C B A ±=±=± ※3. 概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解. 四. 分式方程※1. 解分式方程的一般步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程; ②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.※2. 列分式方程解应用题的一般步骤: ①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;④解方程,并验根;⑤写出答案.第四章 相似图形一. 线段的比※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别ba 11是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即dc b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.※3. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍; ②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与ab互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a =二. 黄金分割※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.1:618.0215:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 四. 相似多边形¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 五. 相似三角形※1. 在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5. 相似三角形周长的比等于相似比.※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 六.探索三角形相似的条件应线段成比例.如图2, l 1 // l 2 // l 3,则EFBCDE AB =. ※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 八. 相似的多边形的性质※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方. 九. 图形的放大与缩小※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. ◎3. 位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心. ②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.第五章 数据的收集与处理一. 每周干家务活的时间※1. 所要考察的对象的全体叫做总体;把组成总体的每一个考察对象叫做个体;从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本. ※2. 为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查;为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查. 二. 数据的收集※1. .但不如普查得到的调查结果精确,它得到的只是估计值. 而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.第六章 证明(一) 二. 定义与命题※1. 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.※2. 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.※3. 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.※4. 有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.¤5. 根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明. 三. 为什么它们平行※1. 平行判定公理: 同位角相等,两直线平行.(并由此得到平行的判定定理)※2. 平行判定定理: 同旁内互补,两直线平行. ※3. 平行判定定理: 同错角相等,两直线平行. 四. 如果两条直线平行※1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行,同位角相等; ※2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,内错角相等; ※3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,同旁内角互补. 五. 三角形和定理的证明※1. 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180° ¤2. 一个三角形中至多只有一个直角 ¤3. 一个三角形中至多只有一个钝角 ¤4. 一个三角形中至少有两个锐角 六. 关注三角形的外角 ※1. 三角形内角和定理的两个推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. （注：※表示重点部分；¤表示了解部分；◎表示仅供参阅部分；）_ 图1_ B _ C _ A _ 图2_ F _ E _D _ C _ B _ A _ l _3 _ l _2 _ l _1。