[亚里士多德,芝诺,悖论]浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论
芝诺悖论的意义
芝诺悖论的意义芝诺 (Zeno of Elea)（大约公元前490年——公元前425年) 主要研究数学与哲学。
芝诺生活在古代希腊的埃利亚城邦。
他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德的学生和朋友。
芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉。
数学史家F·卡约里（Cajori）说，“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史。
”遗憾的是，芝诺的著作没有能流传下来，我们是通过批评他的亚里士多德及其注释者辛普里西奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的。
直到19世纪中叶，人们对于亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是深信不疑的，普遍认为芝诺悖论只不过是一些有趣的谬见。
英国数学家B·罗素（Russell）感慨地说道：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。
死后得不到应有的评价的最显眼的牺牲品莫过于埃利亚的芝诺了。
他虽然发明了4个无限微妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是一个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。
柏拉图在他的《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德在公元前5世纪的中期去雅典的一次访问。
其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁，满头白发，但仪表堂堂。
那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观。
” 并在书中记述了芝诺的观点。
据说芝诺在为巴门尼德的“存在论”辩护。
但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。
”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。
他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。
芝诺有一本著作《论自然》。
在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。
” 公元5世纪的评论家普罗克洛斯(Proclus)在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出了四十个各不相同的悖论。
亚里士多德《物理学》芝诺悖论出处
亚里士多德《物理学》芝诺悖论出处亚里士多德的《物理学》是一部关于自然哲学的重要著作，其中包含了许多深刻的思考和观点。
在这本书中，亚里士多德提出了许多对当时自然现象的解释，其中就包括了芝诺悖论。
芝诺悖论，也被称为亚博悖论，是古希腊数学家芝诺提出的一系列悖论之一。
它由一系列看似合理的论证组成，但却导致了令人困惑的结论。
这些悖论挑战了欧几里得几何学的基本原理，并对后世的哲学家和数学家产生了深远的影响。
其中最著名的一例是芝诺的阿喀琉斯和乌龟悖论。
在这个悖论中，芝诺设想阿喀琉斯和一只乌龟进行一场赛跑。
为了公平起见，阿喀琉斯让乌龟先行一段距离。
然而，当阿喀琉斯追上乌龟原来所在的位置时，乌龟已经前进了一段距离。
然后，当阿喀琉斯再次追上乌龟的新位置时，乌龟又前进了一段距离。
如此循环下去，阿喀琉斯永远也追不上乌龟。
这个悖论之所以令人困惑，是因为根据常理，我们会认为一个更快的人肯定能追上一个更慢的人。
然而，在芝诺的论证中，无论阿喀琉斯多么快，他都无法追上乌龟。
这似乎违背了我们对速度和运动的直觉。
亚里士多德在《物理学》中试图解决这个悖论，提出了一种有限划分的概念。
他认为，时间和空间可以被无限地划分成无数个小部分，而每个小部分都可以看作是一个瞬间或一个点。
在这个理论中，阿喀琉斯在每个小部分内都能追上乌龟，但却无法追上整个无限划分。
亚里士多德的解释在当时得到了一定的认可，但随着数学和哲学的发展，人们对芝诺悖论的理解也发生了变化。
后来的数学家和哲学家们提出了各种不同的解释和解决方法，包括微积分和无穷级数等概念的引入。
尽管芝诺悖论在当时引起了广泛的讨论和思考，但直到今天，它仍然是一个富有启发性的问题。
它挑战了我们对时间、空间和运动的理解，迫使我们重新思考这些基本概念。
总结起来，亚里士多德的《物理学》中提到的芝诺悖论是一个令人困惑的问题，它挑战了我们的常识和直觉。
这个悖论通过设想阿喀琉斯和乌龟的赛跑，引发了对时间、空间和运动的深入思考。
浅析芝诺悖论的结构及其辩证要义
浅析芝诺悖论的结构及其辩证要义作者：张淑慧来源：《青年与社会》2014年第19期【摘要】传统教科书以及现在许多学者都把芝诺关于运动的悖论看作是四个悖论。
但是基于对悖论的认识，文章认为芝诺悖论是一个悖论而非四个悖论。
并且只有把芝诺悖论看作是一个悖论，人们才能发现其中所包含的辩证要义，即人类认识过程中思维的间断性和相应认识对象的连续性之间的冲突。
【关键词】芝诺悖论；对角线；间断性；连续性芝诺关于运动悖论是由爱利亚学派的重要人物芝诺提出，而他提出的动机是为了对他的对立学派的本原属性之一——“动”进行否证。
为了否定“动”的存在，他提出了四个论证。
一、芝诺对运动不存在的论证对芝诺悖论的论述最早可追溯到亚里士多德《物理学》这本书，在该书中第一个论证是“二分法”：“位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处”。
而要走完这一半又要走过一半的一半，如此递推，以致无穷。
所以运动不存在。
第二个论证是“阿克琉斯追不上乌龟”：即使阿克琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，他也追不上乌龟。
因为“在赛跑的时候，跑的最快的永远追不上跑的最慢的，因为追者首先必须达到被追者的出发点。
因此跑的慢的人必然永远领先。
”第三个论证是“飞矢不动”，即“如果任何事物，当它是在和自己大小相同的空间里时（没有超越它），它是静止着；如果位移的事物总是在‘现在’里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的。
”第四个论证是“运动场”：假设有三列物体[A]、[B]和[C]。
当[B]和[C]以相等速度相向运动时，[A]保持静止（如图1）。
此种条件下，当它们在都走过一段同样的距离的时间中，B越过C物体的数目比它越过A物体的数目多一倍（如图2）。
所以，B越过C所用时间比它越过A所用时间长一倍。
但B和C走到A的位置用的时间是相等的，所以，一半时间等于一倍时间。
甲 A A A A A A A A乙B B B B → B B B B丙← C C C C C C C C图 1 图 2传统教科书和不少学者都把芝诺这四个关于运动的论证看作是芝诺否证运动的四个悖论。
浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论
浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论内容简介:一、导言哲学有两种功效: 诊断和治疗。
主要集中在对问题本身的诊断。
维特根斯坦在《逻辑哲学论》中把哲学比喻为梯子，我们不应仅仅执迷于梯子上有什么，而应更加关注会有多少种梯子，因为不同的梯子可能会通向不同的方向。
通常论文格式论文范文毕业论文一、导言哲学有两种功效: 诊断和治疗。
主要集中在对问题本身的诊断。
维特根斯坦在《逻辑哲学论》中把哲学比喻为梯子，我们不应仅仅执迷于梯子上有什么，而应更加关注会有多少种梯子，因为不同的梯子可能会通向不同的方向。
通常的解读下，哲学史是对柏拉图问题的回答，进一步讲，也可以认为是对巴门尼德问题的回答，但这只是问题的一个方面。
如果把解决巴门尼德问题看作对真的追求，那么对芝诺问题的消解就可以看作对假的消除。
既然哲学史可以解读为对真的追求，那么同样也可以解读为对假的消除，即哲学史既可以理解成是努力追求巴门尼德的真，亦可以理解成是在努力消解芝诺问题。
二、实体与属性: 芝诺悖论的多层结构1. 按照胡吉特理论对芝诺悖论的结构分层数量悖论。
密度悖论: 如果有多，他们必须与自身一样多，既不更多也不更少。
但是如果他们和自身一样多，他们则是被限制的。
如果他们是多，多这样的事物是不被限制的。
因为在多的事物之间总是有其它的事物，并且在这些事物之间还有另一些事物，因此多这样的事物是不被限制的。
有限量悖论: 如果把其他存在的事物增加于它，这不会使其变大。
因为如果它没有体量并且被增加，它在体量上也不可能增加。
因此立即可以得出这样的结论，即被增加的是无。
但是如果它被减少时其他事物并没有变小，它被增加时其他事物没有增加，那么显然被增加或减少的事物是无。
但是如果它存在，每一个事物必须有一些体量和厚度，它的一部分必定与其他部分是不同的部分。
同样的推理适用于在前面的部分。
对于这部分，其自身有体量，所以其中也有在前的部分。
之诺悖论
一、历史追溯芝诺的运动论辨全部得自亚里士多德在《物理学》中的转述，有四个：1、二分法。
物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。
2、阿喀琉斯（一译阿基里斯）。
快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
3、飞矢不动。
任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。
4、运动场。
两列物体Ｂ、Ｃ相对于一列静止物体Ａ相向运动，Ｂ越过Ａ的数目是越过Ｃ的一半，所以一半时间等于一倍时间。
四个论辨可分成两组，前两个假定时空是连续的，后两个假定时空是分立的，每组的第一个论证绝对运动不可能，第二个论证相对运动不可能。
关于多的论辨得自辛普里丘在《〈物理学〉注释》的转述，大意是：如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到零，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于零，则总和是零，若分割结果不是零，则无限总和是无限大。
以上转述从哲学史角度看都过于粗疏，不过对于讨论其哲学含义则差不多够了。
１９、２０世纪之交的绝对唯心主义者象布拉德雷（Ｂｒａｄｌｅｙ，Ｆ．Ｈ）全盘接受芝诺的论证和结论。
他视运动、时间空间为幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受。
在《现象与实在》中他写道：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。
”除布拉德雷之外，哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。
不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺论辨的深刻之处。
常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。
已知最早的批评来自亚里士多德。
关于二分法，他说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；关于阿喀琉斯，他说，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了；关于飞矢不动，他说，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了；关于运动场，他说，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。
浅析芝诺悖论
浅析芝诺悖论作者：梁舒娅来源：《卷宗》2016年第07期摘要：本文从哲学史的角度出发，力图回顾自亚里士多德开始，历代学人对于芝诺悖论的讨论，并尝试从亚里士多的逻辑学维度分析芝诺悖论，以寻求解决芝诺悖论的可能性。
关键词：芝诺悖论；亚里士多德；黑格尔；罗素；逻辑漏洞芝诺悖论之所以能为后人所知，离不开亚里士多德在《物理学》中对此悖论的记载与讨论。
居于埃利亚的芝诺为了捍卫老师巴门尼德关于“存在”不动、“存在”是一的学说，提出了著名的运动悖论和多悖论，以此来表明运动和多是不可能的。
根据现有材料，对芝诺悖论最早的批评来自亚里士多德。
其一，对于二分辩，亚里士多德从无限性入手来加以反驳。
他认为，关于一个事物的无限性包含两种意义：一是无限可分，二是无限宽广。
无限可分的长度或时间并不意味着无限宽广。
有限长度无限可分，有限时间同样无限可分，因此在有限时间内是可以通过有限长度。
其二，对于追龟辩，亚里士多德认为，如果乌龟在领先的情况下没有被阿喀琉斯追上，那么这个命题是正确的；但如果让二者跑一段有限的距离，那么乌龟就会被追上。
其三，对于飞矢不动，他认为：结论的产生是由于芝诺假定了时间是由瞬间组成的这一前提，如果没有这个假定，就不会得出这样的结论。
由此并不能看出亚里士多德是如何驳倒飞矢不动的。
最后，对于运动场，亚里士多德认为错误的原因在于：芝诺认为一个物体以相同的速度通过一个移动物体和一个同样大小的静止物体，所需时间是相等的，而这是不可能的。
亚里士多德对芝诺的批判受到了来自黑格尔的质疑。
首先，黑格尔认为芝诺并没有否定运动，而是在考察运动的真理性，亚里士多德对芝诺的理解是有误的。
他在《哲学史讲演录》中解释道：“亚里士多德引证这点说，芝诺否定了运动，……但这话不可以了解为运动完全不存在，像我们说‘有象，没有犀牛’那样。
至于说有运动，说运动的现象是存在的，芝诺完全不反对运动。
问题乃在于考察运动的真理性。
”由此可知，黑格尔试图告诫人们注意在研究芝诺悖论时，应当像芝诺当初思维运动那样去思维运动，需要从是在的运动中抽象出概念，再用概念来表达运动。
思辨哲学视角下的芝诺悖论的理论内涵
思辨哲学视角下的芝诺悖论的理论内涵
黄诗博
【期刊名称】《黑河学刊》
【年(卷),期】2017(000)003
【摘要】芝诺用辩证法的方式提出了四个悖论,用反证的方式论证时间和空间中的运动是不真实的.但他在提出悖论的过程中,错误地使用了量的概念,产生了思维与现实的矛盾,以至于并没有成功证明时空中运动的真实性.笔者从思辨哲学的视角,用质和量的概念重新对芝诺悖论进行分析,试图理清芝诺悖论的脉络,揭示芝诺悖论的理论错误,并重新对运动进行论证,指出时空中运动的矛盾之所在,完成芝诺悖论本身的理论目的.
【总页数】3页(P24-26)
【作者】黄诗博
【作者单位】黑龙江大学,黑龙江哈尔滨 150001
【正文语种】中文
【中图分类】B502.2
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芝诺悖论
芝诺悖论解答芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。
），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。
这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。
这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。
留传下来的芝诺悖论共有8个，最为著名的主要有4个，分别为二分法悖论、阿基里斯(Achilles)悖论、飞矢不动悖论和游行队伍悖论。
二分法悖论的内容是：事物想要运动完全程，就必须运动完全程的一半，而全程的一半还有一半，一半的一半还是有一半，这样一来一半的概念是可以无限地划分的，因而，事物在运动的过程中是永远无法经过“一半”的。
因此，运动是永远无法终结和进行的，因而运动不存在。
这里的问题所在是把时间看作了一个有限的概念而把空间看做了一个无限的范畴。
因而认为无法在有限中完成无限。
然而事实上，根据马克思理论，事物的有限无限的概念完全是相对的，不能片面地承认一方面的存在而否定另外一方。
比如说，一条线段（距离）包括无限的点，人永远无法走完这无数的点，正如他永远无法数清这些点一样。
为什么人们不认为数不清这无数的点是个悖论，却认为走完这无数的点就成了悖论了呢？原因就在于数数和运动是不同性质的东西，数数是空间中的行为，运动是本身的时间中的行为，不能混淆时间和空间。
第二个悖论是最为复杂的阿基里斯(Achilles)悖论。
芝诺认为追赶者，即阿基里斯需要一定的时间才能达到被追赶者（乌龟）于该时间开始的出发之处。
芝诺曾提出四个运动的不可分性的哲学悖论有什么
B、C两个列队开始移动,如下图所示相对于观众席A,B和C分别向右和左各移动了一个距离单位.
□□□□
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▲▲▲▲
而此时,对B而言C移动了两个距离单位.也就是,队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位,也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位,这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾.因此队列是移动不了的.
二分法悖论：
这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去.因此,这个物体永远也到达不了D.这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔.
芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的.”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺骗”.这就是说感官是不可靠的,没有逻辑可靠.
有人用物理语言描述这个问题说,在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量.一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S,速度分别为V1和V2.当时间T=S/(V1-V2)时,阿基里斯就赶上了乌龟.
但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这个时间为T'.对于任何T',可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面.关键是这个T'无法度量T=S/(V1-V2)以后的时间.
芝诺悖论的极限分析
芝诺悖论的极限分析学生XX：王慧文指导教师：岳进摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法〞，其结论的荒唐性不言而喻，可是对他的论证我们似乎很难找出毛病，好似是可以承受的。
其结论之所以不可以承受，源于在他的论证中隐藏着一些谬论。
在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷〞混为一谈。
在哲学方面违反了辩证法的客观性原那么、全面性原那么和对立统一性原那么；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒唐性进展反驳，对数学的开展起了很大的作用。
同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,提醒阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。
关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与连续引言：数学悖论是数学开展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种锋利的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的开展。
芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。
芝诺“二分法〞悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。
在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。
这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
运动只是假象，不动不变才是真实。
假设成认有运动，就得成认速度最快的赶不上速度最慢的〞，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上〞慢的。
因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此锋利地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和开展，不能不说是巨大的奉献。
本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进展剖析。
1、悖论对数学产生的作用1.1从悖论说起什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。
简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，那么可以推出它为假；如果你认为它假，那么可以推出它为真[1]。
亚里士多德对芝诺悖论
亚里士多德对芝诺悖论亚里士多德对芝诺悖论的解析亚里士多德是古希腊哲学家中最重要的人物之一，被誉为逻辑学的奠基者。
他对逻辑思维和自然哲学的研究影响深远。
在他的众多著作中，他对芝诺悖论提出了一种独特而深入的解析。
本文将探讨亚里士多德对芝诺悖论的理解和解答。
芝诺悖论，又称阿基里斯和乌龟悖论，最早由古希腊哲学家芝诺提出。
这个悖论的核心是：阿基里斯和乌龟比赛，阿基里斯在出发时比乌龟快，但每次阿基里斯追到乌龟前，乌龟又前进了一点。
根据这种推理，乌龟赛跑时似乎永远不会被阿基里斯赶上，但是实际上又是可以赶上的。
这种看似无解的悖论困扰了许多哲学家，并推动了亚里士多德对逻辑的深入研究。
亚里士多德认为，芝诺悖论的解决在于悖论的命题本身存在逻辑上的混淆。
他指出，悖论的产生是因为芝诺将时间和空间分离开来考虑，而实际上，时间和空间是密不可分的。
亚里士多德提出了一种解析方法，通过对运动和时间的思考来解决芝诺悖论。
他认为，我们可以将时间分成无限个无穷小的瞬间，每个瞬间乌龟都前进一点。
虽然每个瞬间乌龟都离阿基里斯更远，但由于时间无限小，我们可以认为瞬间之间的距离也是无限小的。
这样一来，当阿基里斯追上其中一个瞬间时，他也就追上了乌龟。
亚里士多德的观点是，时间和空间的连续性使得芝诺悖论不成立。
虽然乌龟每次都在前进，但由于时间的连续性，阿基里斯最终能够追上乌龟。
亚里士多德的解析方法对芝诺悖论提供了一种合理而令人信服的解释。
他强调了时间和空间之间的内在联系，揭示了芝诺悖论的漏洞所在。
然而，亚里士多德的解析并没有完全解决芝诺悖论。
后来的哲学家们不断对亚里士多德的解析进行质疑，并提出了各种不同的解释。
例如，柏拉图认为悖论的解答在于无穷的概念，而亚里士多德的解析只是从时间和空间的角度解释。
尽管亚里士多德的解析受到了质疑，但他对芝诺悖论的研究仍然具有重要意义。
他的思考展示了逻辑思维的力量，并为后来的哲学家们开辟了解决悖论的思路。
总结起来，亚里士多德对芝诺悖论的解析紧密结合了时间和空间的概念，提出了一种合理而深入的解答。
试从高等数学角度探讨芝诺悖论
试从高等数学角度探讨芝诺悖论摘要：古希腊哲学家爱利亚的芝诺曾为了给巴门尼德的存在论辩护，提出了四个著名的悖论。
两千多年来，这四个悖论引起了无数学者的争论。
其中大部分是从哲学角度对其作出解释或反驳，笔者试图从近代数学（微分、积分、极限）的角度，来探讨芝诺的飞矢不动悖论。
关键词：芝诺悖论、微积分、飞矢不动、极限1.芝诺悖论的提出巴门尼德的本体论转向使同时代尚处于直观阶段的希腊人难以容忍：“存在”怎么可能是唯一的、不动的呢？因此其哲学理论一直不被当时的哲人接受。
他的弟子爱利亚的芝诺并没有提出什么独特的哲学理论，但是在全力为老师的存在论的辩护中，为逻辑学留下得意的一笔，同时也是哲学论证发展的里程碑。
芝诺的悖论(paradox)其实都运用了我们所说的反证法，他首先假设“多”和“运动”的存在，然后根据逻辑推出不合理的结论，从而反对“多”和“运动”，也就是维护了巴门尼德的“存在”的“唯一”和“不动”。
无论是亚里士多德的记述还是芝诺的残篇，其表述都带着20多个世纪以前希腊人的含混，我们可以用浅白的语言归纳一下他反对存在运动的几个悖论：最著名的是“阿基里斯追不上龟”。
阿基里斯前面不远有一只乌龟，他和乌龟同时向前跑，每当乌龟向前爬动一段距离，阿基里斯才追到乌龟刚才的出发点，所以，阿基里斯永远都只能追到乌龟的前一刻的出发点，永远追不上乌龟。
其次是“飞矢不动”。
飞矢（箭）在空中飞行是由无数个时间无限小的瞬间组成的，而在这无限小的时间里，飞矢的移动距离只能为0，最终这些为0的移动叠加的结果也是0。
所以飞矢不动。
在反对运动上，芝诺还有“二分法”和“运动场”的论证，前者和阿基里斯追不上龟相似，后者具有明显的诡辩（或者用简单的近代物理中的相对运动原理，即可消解之，本文不表）。
2.传统对芝诺悖论的解释和批驳传统思想家对芝诺悖论的解释，多从哲学角度出发。
第一，从独断论的角度出发。
例如阿里士多德认为芝诺是错的，因为“时间并不是由不可分的瞬间组成的”。
论芝诺悖论
芝诺悖论摘要巴门尼德的学生芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的创始人，他曾提出四个悖论：二分法、阿基里和乌龟赛跑、飞矢不动、一倍的时间等于一半的时间。
《西方哲学通史》中作者对芝诺的四个悖论是这样描述的：“第一个悖论指出运动的路程是无限可分的，第二个悖论则侧重说明运动的时间是无限可分的，第三个悖论说明运动路程和时间的无限可分性造成的速度是静止的，第四个悖论纯属数学游戏。
”但是通过不同时代人们的论证，证明芝诺的四个悖论是荒谬的，虽然人们论证了芝诺悖论的不合理性，但是这并不能抹杀芝诺的四个悖论在哲学上、数学上、思维方法上的伟大意义。
关键字：芝诺悖论；时间；运动；有限性；无限性AbstractsParmenides’ student, Zeno was called the founder of dialectics in philosophy by Aristotle, he put forward four tense paradoxes: dichotomy, Aki racing with tortoise, the moving arrow is unmoved, and a time is equal to half of the time. It is described that:”the first paradox is the distance of movement is divided limitlessly; the second is puts particular emphasis on the time of movement is divided infinitely; the fourth is just a numbers game” in The History of Western Philosophy by Zhao Dunhua. However, it is proved ridiculous by scholars of separated epochs, although Zeno’s Paradoxes are unreasonable, there is great significance to Zeno’s Paradoxes on philosophy, math, and the way of thinking.Key words: Zeno’s Paradoxes; time; movement; limitations; unlimitedness1.概述1.1芝诺简介芝诺（Zenon）生活在古代希腊的埃利亚城邦，他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德(Parmenides)的学生和朋友，关于他的生平，缺少可靠的文字记载。
论芝诺悖论.
芝诺悖论摘要巴门尼德的学生芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的创始人，他曾提出四个悖论：二分法、阿基里和乌龟赛跑、飞矢不动、一倍的时间等于一半的时间。
《西方哲学通史》中作者对芝诺的四个悖论是这样描述的：“第一个悖论指出运动的路程是无限可分的，第二个悖论则侧重说明运动的时间是无限可分的，第三个悖论说明运动路程和时间的无限可分性造成的速度是静止的，第四个悖论纯属数学游戏。
”但是通过不同时代人们的论证，证明芝诺的四个悖论是荒谬的，虽然人们论证了芝诺悖论的不合理性，但是这并不能抹杀芝诺的四个悖论在哲学上、数学上、思维方法上的伟大意义。
关键字：芝诺悖论；时间；运动；有限性；无限性AbstractsParmenides’ student, Zeno was called the founder of dialectics in philosophy by Aristotle, he put forward four tense paradoxes: dichotomy, Aki racing with tortoise, the moving arrow is unmoved, and a time is equal to half of the time. It is described that:”the first paradox is the distance of movement is divided limitlessly; the second is puts particular emphasis on the time of movement is divided infinitely; the fourth is just a numbers game” in The History of Western Philosophy by Zhao Dunhua. However, it is proved ridiculous by scholars of separated epochs, although Zeno’s Paradoxes are unreasonable, there is great significance to Zeno’s Paradoxes on philosophy, math, and the way of thinking.Key words: Zeno’s Paradoxes; time; movement; limitations; unlimitedness1.概述1.1芝诺简介芝诺（Zenon）生活在古代希腊的埃利亚城邦，他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德(Parmenides)的学生和朋友，关于他的生平，缺少可靠的文字记载。
亚里士多德对芝诺悖论
亚里士多德对芝诺悖论
芝诺悖论（Zeno's paradox）是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。
），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。
这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的机械论的分歧点。
芝诺：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。
假设此人速度不变，走一段的时间每次除以2，时间为实际需要时间的1/2+1/4+1/8+......，则时间限制在实际需要时间以内，即此人与目的地距离可以为任意小，却到不了。
实际上是这个悖论本身限定了时间，当然到达不了。
《庄子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”（惠施提出的命题）
芝诺与惠施悖论的区别为芝诺悖论一定时间内行走的距离不变（即速
度不变），而庄子时间不变，这段时间里的工作却越来越少（速度越来越慢），可以看出芝诺限制了时间，而惠施的理论可以使时间为无穷大。
古希腊数学家芝诺提出的运动不可分性的哲学悖论
古希腊数学家芝诺提出的运动不可分性的哲学悖论古希腊数学家芝诺提出的运动不可分性的哲学悖论古希腊的数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德[1]关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论中最著名的两个是：“阿喀琉斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释。
其实四大悖论的关键就是人们没有了解自然界的一个重要概念即“率”的概念。
讨论任何“变化”的问题的时候，忽略了变化发生的时候，另一个条件也在同时变化。
例如讨论距离的变化的时候，如果你只考虑长度的变化，而忽略了在长度变化时另一个条件“时间”必定也在变化。
这就是速率。
在速度变化时，有了加速度的概念。
加速度变化时，照样可以用加速度变化的多少和时间变化的多少来表示。
哲学是认识世界的方法和理论。
虽然我们一旦发现了率的概念，立刻就可以破解所谓“单一条件变化悖论”，但是悖论的意义就在于激发人们寻找世界真像的好奇心。
在这四大经典悖论中，我们发现世界的变化并不是单一条件独立变化的，而是多条件同时变化的，这是事实。
我们可以用距离除以时间来定义速度，但是速度本身是现实的独立的存在，而不依靠距离和时间。
利用距离和时间来表示，仅仅是人们用自己能够感知的概念来表示难以感知和表示的事物罢了。
比如我们天天坐汽车，但是我们难以直接感知汽车加速度的变化。
但是简单的公式就可以表明这个变化了。
[1] 爱利亚的巴门尼德（Παρμεν?δη?），公元前5世纪的古希腊哲学家，最重要的“前苏格拉底”哲学家之一。
生于爱利亚（?λ?α，位于现在意大利南部沿岸），主要著作是用韵文写成的《论自然》，如今只剩下残篇，他认为真实变动不居，世间的一切变化都是幻象，因此人不可凭感官来认识真实。
芝诺悖论今昔谈
芝诺悖论今昔谈爱利亚的芝诺为了捍卫他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说，提出了著名的运动悖论和多悖论，以表明运动和多是不可能的。
他的结论在常人看来当然很荒谬，但他居然给出了乍看起来颇令人信服的论证，故人们常常称这些论证构成了悖论或佯谬。
不过，若细细推敲，其结论未必荒谬，其论证未必令人信服，故中性的称这些论证为芝诺论辨（Argument）最为合适。
一、历史追溯芝诺的运动论辨全部得自亚里士多德在《物理学》中的转述，有四个：1、二分法。
物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。
2、阿喀琉斯（一译阿基里斯）。
快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
3、飞矢不动。
任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。
4、运动场。
两列物体Ｂ、Ｃ相对于一列静止物体Ａ相向运动，Ｂ越过Ａ的数目是越过Ｃ的一半，所以一半时间等于一倍时间。
四个论辨可分成两组，前两个假定时空是连续的，后两个假定时空是分立的，每组的第一个论证绝对运动不可能，第二个论证相对运动不可能。
关于多的论辨得自辛普里丘在《〈物理学〉注释》的转述，大意是：如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到零，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于零，则总和是零，若分割结果不是零，则无限总和是无限大。
以上转述从哲学史角度看都过于粗疏，不过对于讨论其哲学含义则差不多够了。
１９、２０世纪之交的绝对唯心主义者象布拉德雷（Ｂｒａｄｌｅｙ，Ｆ．Ｈ）全盘接受芝诺的论证和结论。
他视运动、时间空间为幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受。
在《现象与实在》中他写道：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。
解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞
・自然哲学・ 文章编号:1000-8934(2005)11-0001-04解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞刘 二 中(中国科学院研究生院 人文学院,北京 100049) 摘要:本文回顾了亚里士多德等人对芝诺悖论的一些看法,指出寻找该悖论推理过程逻辑漏洞的必要性,并试图给出对追龟辩和飞矢辩不同于亚里士多德、罗素等人的分析。
关键词:芝诺悖论;诡辩;逻辑学;亚里士多德;罗素中图分类号:N031 文献标识码:A收稿日期:2005-08-03作者简介:刘二中(1949-),河北顺平人,数理硕士,中国科学院研究生院人文学院教授,主要研究方向:科技史、科学方法论。
芝诺(Zeno ,约公元前495-425年)提出的关于运动的四个著名悖论,在哲学史、数学史和逻辑学方面都具有重大影响。
其结论荒谬,推理又似乎合理,引起不少学者的关注。
而芝诺悖论是否能被破解,似乎仍有疑义〔1〕。
甚至有学者断言,芝诺悖论在逻辑上是正确的,尽管与事实不符。
另一方面,人们曾经试图从哲学的角度或是逻辑的角度对该悖论进行反驳或破解。
这种反驳或破解是否令人满意甚至是否可能,仍有争论。
下面本文将就此展开讨论。
1 芝诺的诡辩与亚里士多德的逻辑芝诺的悖论包括“二分辩”、“追龟辩”、“飞矢辩”、“运动场辩”。
需要指出的是,这些悖论实际上是一个否认运动的总的悖论的组成部分。
芝诺为了维护他的老师巴门尼德关于运动是不可能的论点,证明如果承认运动就会导致这四个悖论〔2〕〔3〕。
据希腊史学家普罗克修斯说,实际上芝诺从“多”和“运动”出发,曾一共导出过四十个悖论,留存下来的有八个,其中四个与运动有关。
按照克莱因(K line ,Morris )的看法,当时人们对于空间、时间和运动有两种对立的看法:一种认为空间和时间无限可分,这样的话运动将是连续而又平顺的;另一种认为空间和时间是由不可分的小段组成的,那样的话运动将是一连串的小跳动。
芝诺的二分辩和追龟辩针对的是前者,飞矢辩和运动场辩针对的是后者〔2〕〔3〕。
浅析芝诺悖论
浅析芝诺悖论上课时,同学们围绕芝诺悖论展开了激烈讨论，各抒其想。
我也因此对这个问题产生了浓厚的兴趣，利用课余时间查阅了一些资料，通过阅读和思考，对这个问题产生了自己的一些想法。
芝诺是古希腊时期爱利亚学派的主要成员，这个学派的基本思想是否认现实世界中的任何运动变化，认为它们只是真实存在的表面现象。
芝诺为了证明他们的观点，第一个设想和论证了物体运动中存在的令人不安的困难。
在亚里士多德的《物理学》一书中记载了芝诺一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
我们清楚地知道物体可以从空间中的一个位置运动到另一个位置，但是我们却不知道物体是怎样完成这种运动的，前者只是运动的结果，而后者才是运动本身。
因此，对芝诺悖论的分析和解决也将帮助我们了解运动是怎样完成的，并大大加深我们对运动本身的理解。
一般认为，芝诺悖论由四个论证组成，第一个论证是运动的东西不能达到它的目的地，也称为两分法悖论。
对于孤立物体的连续运动情况，他提出了一种“二分法”证明。
芝诺认为，任何一个物体要想从A点运动到B点，必须首先到达AB的中点C，而要到达C点，他又必须首先到达AC的中点D，同样，要到达D点，他又必须首先到达AD的中点，等等。
由于时间和空间是连续的，这一二分过程总可以无限地进行下去，于是该物体实际上都无法离开A点，因此孤立物体的连续运动是不可能的。
第二个悖论是希腊神话中的长跑英雄阿基里追不上跑的最慢的乌龟。
芝诺认为，阿基里斯若想追上乌龟，他必须首先到达乌龟开始跑的位置，但当他到达乌龟开始跑的位置时，乌龟在这段时间里已经跑到前面去了，当阿基里斯再想去追乌龟时，他面临同样的问题，即他仍必须首先要跑到乌龟此刻的位置，而等他跑到了乌龟又向前移动了。
虽然阿基里斯比乌龟跑得快，但他也只能按上述过程逐渐逼近乌龟，这样的过程可以无限次地出现，在每一阶段乌龟总在他前头。
由于阿基里斯无法完成这无限个阶段，于是他永远也追不上乌龟。
亚里士多德说，“这个论证和第一个论证，即二分法的论证是一回事，分别只在于：在分划那个量时这里不是用的二分法。
证明飞矢不动的错误例子
证明飞矢不动的错误例子
亚里士多德的《物理学》里，记录了芝诺（Zeno）的一系列运动不可分性的哲学悖论，飞矢不动是最有名的悖论之一：
芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？”
“那还用说，当然是动的。
”
“确实，在每个人的眼里它都是动的。
可是，这支箭在一个瞬间有它的位置吗？”
“有的，老师。
”
“在这一瞬间，它占据的空间和它的体积一样吗？”
“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。
”
“那么，在这一瞬间，这支箭是动的，还是不动的？”
“不动的，老师。
”
“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”
“也是不动的。
”
“所以，射出去的箭是不动的。
”
所谓悖论，也是一种二难困境，看到射出的箭是动的，论证却是不动的。
牛顿是用微积分证明飞矢在动。
如果运用逻辑学，能不能证明飞矢不动是错的呢？
这就是今天要学习的内容，第六次对话“二难式”。
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浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论
一、导言
哲学有两种功效: 诊断和治疗。
本文主要集中在对问题本身的诊断。
维特根斯坦在《逻辑哲学论》中把哲学比喻为梯子，我们不应仅仅执迷于梯子上有什么，而应更加关注会有多少种梯子，因为不同的梯子可能会通向不同的方向。
通常的解读下，哲学史是对柏拉图问题的回答，进一步讲，也可以认为是对巴门尼德问题的回答，但这只是问题的一个方面。
如果把解决巴门尼德问题看作对真的追求，那么对芝诺问题的消解就可以看作对假的消除。
既然哲学史可以解读为对真的追求，那么同样也可以解读为对假的消除，即哲学史既可以理解成是努力追求巴门尼德的真，亦可以理解成是在努力消解芝诺问题。
二、实体与属性: 芝诺悖论的多层结构
1. 按照胡吉特 ( Nick Huggett) 理论对芝诺悖论的结构分层
( 1) 数量悖论。
①密度悖论: 如果有多，他们必须与自身一样多，既不更多也不更少。
但是如果他们和自身一样多，他们则是被限制的。
如果他们是多，多这样的事物是不被限制的。
因为在多的事物之间总是有其它的事物，并且在这些事物之间还有另一些事物，因此多这样的事物是不被限制的。
②有限量悖论: 如果把其他存在的事物增加于它，这不会使其变大。
因为如果它没有体量并且被增加，它在体量上也不可能增加。
因此立即可以得出这样的结论，即被增加的是无。
但是如果它被减少时其他事物并没有变小，它被增加时其他事物没有增加，那么显然被增加或减少的事物是无。
但是如果它存在，每一个事物必须有一些体量和厚度，它的一部分必定与其他部分是不同的部分。
同样的推理适用于在前面的部分。
对于这部分，其自身有体量，所以其中也有在前的部分。
现在基于同样的推理，不停重复。
因为没有一个部分是最终的部分，也没有一个部分是与另一部分无关的。
因此，如果有很多事物，他们必定是既小又大; 如此之小以至于没有体量，但是如此之大以至于是无限的。
完全分割悖论:一旦一个事物被自然方法不停地分割，无论是用两分法或其他任何方法，如果这个事物确实被分了，那么最终什么都不可能留下虽然事实上可能没有一个物体能被这样分。
( 2) 运动悖论。
①二分法悖论: 你不能在有限的时间内越过无穷的点，当你穿过一定距离的全部之前，你必须穿过这个距离的一半，这样做下去就会陷入无止境。
所以在任何一定的空间中都有无穷个点，你不能在有限的时间中一个一个接触无穷个点。
②阿基里斯与龟悖论:阿基里斯永远追不上乌龟，他首先必须到达乌龟出发的地点，这时候乌龟会向前走了一段路，于是阿基里斯又必须赶上这段路，而乌龟又向前走了一段路。
他总是愈追愈近，但是始终追不上它。
③飞矢不动悖论: 飞着的箭是静止的，因为如果每一件东西在占据一个与它自身相等的空间时是静止的，而飞着的东西在任何一定的霎间总是占据一个与它自身相等的空间，那么它就不能动了。
④运动场悖论: 运动场上有两排物体，每排由大小相等、数目相同的物体组成，各以相同速度按相反方向通过跑道，其中一排从终点开始排到中间，另一排从中间排到起点。
他 [芝诺] 认为，这里包含了一个结论，一半时间等于一倍时间。
( 3) 其他悖论。
①空间悖论: 如果每一个存在的事物都占有一个空间，位置自身也占有一个空间，依此类推至无穷。
②谷粒悖论:芝诺论证说米粒的任何一个部分都能发出声响，因为没有什么妨碍米粒的一个部分在不论什么时间中不能像一个整体的麦蒂蒙洛 (古希腊亚
狄克地区的度量单位)下落时那样运动大气。
关于实体的问题，奥康纳( Daniel JohnOConnor) 把亚里士多德的实体分为五种:实体一具体的个体: 在一个词最真实的、基础的、并且最确定的意义上，实体是那种既不作为一个主语的谓语也不在主语中展现的东西; 例如，单独的个人或马。
实体二抽象的种属: 被称为实体的是这样的事物，他们在包括基本实体的种中; 也在包括种的属中。
实体三自存的: 实体可以自身存在; 而性质和关系只能作为实体的性质或实体之间的关系而存在。
实体四同一性的: 在保持数量上是一并且是同一个的同时，它可以拥有相反的性质。
实体五逻辑主体: 它并不是断言了主语，而是断言了一切其他事物。
当然，亚里士多德的五种实体有其内部的问题，但是实体与属性的总体思想是明显的。
接下来我们将具体讨论不同的芝诺悖论在亚里士多德的理论框架中会有怎样的实体论意义。
2. 芝诺悖论的实体论意义芝诺
通常认为解决这个悖论的路径是解决其前提任何确定的数目都是有限的。
康托尔的超限数证明了无限的数目也可以是确定的，比如一个无限可以确定比另一个无限大。
也就是从康托尔的角度看，虽然事物之间又有事物导致无限的事物，但无限的事物可以是一个确定的存在。
但是超限数所解决的只是数量问题，处理的只是几何点，而不是物理事物。
三、芝诺悖论归属问题的影响
上面我们讨论了在亚里士多德的实体与属性的理论框架下如何展现出芝诺悖论丰富的哲学内涵，但这并不是说它们只是芝诺和亚里士多德才关心的问题。
恰恰相反，本文认为，如果悖论与实体和属性的问题是哲学中的核心问题之一，那么亚里士多德之后的哲学家们一定会对这些问题做出某种程度的回应。
另外，纵使如怀特海所言，西方哲学史是在为柏拉图哲学做脚注，进而言之，是在为巴门尼德的真做脚注，那么芝诺作为巴门尼德的为数不多的得意门生，其提出的悖论问题，特别是为解决悖论首先要解决的悖论归属问题，不可能不引起历代哲学家们的回应。
四、反思与深思
本文的主要目的在于，在亚里士多德的实体与属性的框架下分析芝诺悖论所包含的丰富的哲学内容，并以此来说明这个研究思路的重要性。
但是，这并不意味着仅仅从实体与属性两个研究层面就可以彻底解决悖论问题。
恰恰相反，从上文的讨论中并没有给出任何一个具体完善的解决方案就可以看出，悖论问题有多么复杂。
例如，本文在讨论中默认使用了如下前提:①语言可以完全描述现实;②现实可以完全地映射语言; ③语言可以被完全形式化;④逻辑和数学之间可以相互描述或还原等。
否认这些前提将会给眼前的研究工作带来严重困难; 不仅如此，否认这些前提还意味着，悖论同样可能产生于现实、语言、逻辑与数学之间的相互翻译或描述过程之中。
所以，这些前提在哲学史中被无数次不经讨论地使用，这就为悖论的归属问题提出了新的源头。
另一个更深刻的问题是，在存在者的背后，是否有一个更普遍的作为共同根基的存在? 即，西方哲学的恒久话题: Being。