高三一轮函数的奇偶性与单调性

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[拓展提升]
解法1是利用若f(x)为奇函数，则f(－x)＝
－f(x)对任意x恒成立，抓住对“任意x恒成立”是解题关 键．解法2的方法很常用，需熟练掌握．
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(1)若函数 f(x)＝loga(x＋ x2＋2a2) 是奇函数，则 a＝__________. (2)设 y＝f(x)是奇函数且 x>0 时，y＝x2－2x＋3，则 f(x) ＝__________.
∴f(4＋x)＝f(2＋(2＋x))＝－f(2＋x)
＝－[－f(x)]＝f(x)， 故f(x)是以4为周期的周期函数．
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(3)解：∵f(x)＝x,0<x≤1， ∴当－1≤x<0时，0<－x≤1，∴f(－x)＝－x， 又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x，f(x)＝x， 又f(0)＝0，当－1≤x≤1时f(x)＝x， 当1<x≤3时，f(x)＝－x＋2，
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解析：(1)解法 1：∵函数 f(x)的定义域为 R，且为 奇函数， ∴f(0)＝0，即 loga 2a2＝0， 2 2 ∴ 2a ＝1，又 a>0，∴a＝ . 2
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解法 2：函数 f(x)为奇函数，有 loga(－x＋ x2＋2a2)＝－ 1 2 2 2 2 loga(x＋ x ＋2a )，∴－x＋ x ＋2a ＝ ，得 2a2＝ x＋ x2＋2a2 2 1.又 a>0，∴a＝ . 2 (2)若x<0，则－x>0，∴f(x)＝－f(－x)
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[例2]
已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意x∈R，
f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)恒成立．
(1)求证：f(x)是周期函数； (2)已知f(3)＝2，求f(2004)． [分析] 把f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)转化为f(x＋1)＝f(x)－ f(x－1)，进行代换变形即可．
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2．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列各式中成立的是 ( A．f(x)－f(－x)≥0 (x∈R) )
B．f(x)－f(－x)≤0 (x∈R)
C．f(x)f(－x)≥0 (x∈R) D．f(x)f(－x)≤0 (x∈R)
解析：f(－x)＝－f(x)，∴f(x)f(－x)＝－f 2(x)≤0，故选
D. 答案：D
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3．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)； 当x<0时，f(x)等于( A．－x(1－x) C．－x(1＋x) D．x(1＋x) 解析：当x<0时，则－x>0，∵f(x)为奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－[－x(1－x)]＝x(1－x)． ) B．x(1－x)
∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期．
(2)[解] f(2004)＝f(334×6)＝f(0)＝－f(3)＝－2.
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对于这种抽象函数周期问题，在推导过
程中应紧紧抓住题目中的已知关系式，若能结合图形，可 利用图形先试探，然后证明．
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已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于 直线x＝1对称． (1)求f(0)的值； (2)证明：函数f(x)是周期函数； (3)若f(x)＝x(0<x≤1)，求x∈R时，函数f(x)的解析式，
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[例 1] 判断下列函数的奇偶性： 1 2 (1)f(x)＝|x|(x ＋1)；(2)f(x)＝ x＋ ； x (3)f(x)＝ x－2＋ 2－x；(4)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； 1＋x (5)f(x)＝(x－1) . 1－x
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[分析]
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解法 2：∵f(x)是奇函数且 f(x)在 x＝0 处有意义， a a ∴f(0)＝0，∴log4 ＝0，即 ＝1，∴a＝4 4 4 ∴f(x)＝log4(x＋ x2＋1)可以验证 f(－x)＝－f(x)为 奇函数． 3 故所求 a＝4.故 log4(a＋4)＝log48＝ . 2
2 判断函数 f(x)＝x ＋x 的奇偶性．
(x<0)－x2＋x (x>0)
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解：当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)； 当 x>0 时，－x<0， f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x ＝－(－x2＋x)＝－f(x)． 综上可知，对任意的 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有 f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
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5．函数的周期性 设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对 任何x∈D，都有 f(x＋T)＝f(x) ，则函数f(x)为周期函数， T为y＝f(x)的一个周期，如果函数y＝f(x)是周期函数则称函 数y＝f(x)具有周期性． 注意：若T为函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也
故应选B.
答案：B
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4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数， T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上 的根的个数记为n，则n可能为 A．0 C．3 B．1 D．5 ( )
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解析：f(x)为奇函数且周期为 T，∴f(0)＝0， ∴f(T)＝f(－T)＝0. T T T T 又∵f－2＝f－2＋T＝f2＝－f2， T T ∴f2＝0，f－2＝0， ∴f(x)在[－T，T]上至少有 5 个根．
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(2)此函数的定义域为 x>0，由于定义域关于原点不 对称，故 f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不 对称，故 f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)此函数的定义域为{1，－1}，且 f(x)＝0，可知 图象既关于原点对称、又关于 y 轴对称，故此函数既是 奇函数又是偶函数． 1＋x ≥0 ⇒－1≤x<1 是关 (5)定义域：1－x≠0 1－x 于原点的非对称区间，∴此函数为非奇非偶函数．
一定是非奇非偶函数．
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2．奇、偶函数的判断方法 奇偶性的定义是判断函数奇偶性的依据． 对于一 时难以找到函数 f(－x)与 f(x)关系时，常用以下等价形式 变形： f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0； f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0. f(－x) 当 f(x)≠0 时，也可用 ＝± 来判断． 1 f(x)
答案：D
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1 1 5．已知 f(x)＝x( x ＋ )(x≠0)． 2 －1 2
(1)判断 f(x)的奇偶性；
(2)证明：f(x)>0.
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(1)解：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对 称，下面只要化简 f(－x)，因为 1 1 2x 1 f(－x)＝－x( －x ＋ )＝－x( x＋ ) 2 2 －1 1－2 2 －2·x＋(2x－1) 2 －2x－1 ＝－x· ＝－x· x 2(2x－1) 2(2 －1) 2x＋1 (2x－1)＋2 1 1 ＝x· x ＝x· x ＝x· x ＋ ) ( 2(2 －1) 2(2 －1) 2 －1 2 ＝f(x)． 故 f(x)是偶函数．
并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象．
(1)解：∵函数f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，
令x＝0，则f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，∴f(0)＝0.
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(2)证明：函数f(x)是奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)① 又f(x)关于直线x＝1对称， ∴f(x)＝f(2－x)② 由①②得，－f(－x)＝f(2－x)， 换－x为x，则f(2＋x)＝－f(x)，
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图象为：
图1
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[例 3] 定义在 R 上的函数 f(x)＝log4(x＋ 为奇函数，则 log4(a＋4)＝________.
[分析] 利用奇函数的定义求出a.
a x ＋ )(a>0) 4
2
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[解析] 解法 1：由条件知 f(－x)＝－f(x)， 即 f(x)＋f(－x)＝0， a a 2 2 ∴log4(x＋ x ＋ )＋log4(－x＋ x ＋ )＝0， 4 4 a 2 化简得 log4[(x ＋ )－x2]＝0， 4 3 ∴a＝4，故 log4(a＋4)＝log48＝ . 2
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1．奇、偶函数的定义 对于函数f(x)定义域内任意一个x，若有f(－x)＝ －f(x) ，则f(x)为奇函数；若有 f(－x)＝f(x) ， 则 f(x) 为 偶函数． 注意：要判断函数的奇偶性，首先应看函数的定义域
是否关于原点对称，若定义域不关于原点对称，则此函数
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3．奇、偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴 对称；反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画 图过程，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
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4．几个有用的规律 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差) 仍是偶(或奇)函数，两个偶(或奇)函数的积是偶函数，一个 偶函数与一个奇函数的积是奇函数． 注意：判断函数的奇偶性，有时需先将函数式化简整 理，但必须保持定义域不改变．
先判断函数的定义域是否关于原点对称，再
判断f(－x)与f(x)之间的关系． [解] (1)此函数的定义域为R. ∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数． (2)此函数的定义域为x>0，由于定义域关于原点不对
称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
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(2)证明：当 x>0 时，2x>1,2x－1>0， 1 1 ∴f(x)＝x( x ＋2)>0. 2 －1 当 x<0 时，－x>0，∴f(－x)>0. 又 f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)>0. 综上，均有 f(x)>0.
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是函数的周期．
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1．下列各函数中是奇函数的是 A．f(x)＝－x＋2，(x∈R)
(
)
B．f(x)＝－3x5，(x∈(0，＋∞))
C．f(x)＝x3－x，(x∈R) D．f(x)＝lgx3，(x∈(0，＋∞))
解析：由函数奇偶性的定义知：f(x)＝x3 －x是奇函数，
故选C. 答案：C
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第四节
函数的奇偶性与周期性
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考 纲 要 求 考 试 热 点
1.了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一 些简单函数的奇偶性的方法，并能利用函 数的奇偶性解决一些问题． 2．了解周期函数的意义，并能利用函数 的周期性解决一些问题． 1.以选择题或填空题的形式考查奇偶性在 求函数值或函数解析式中的应用． 2．与函数的单调性相结合综合考查函数 的有关性质.
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[拓展提升] (1)用定义判断函数的奇偶性的步骤是： 定 义域(关于原点对称)→验证 f(－x)＝± f(x)→下结论； (2)可以利用图象法或定义的等价命题 f(－x)± f(x)＝0 或 f(－x) ＝± 1(f(x)≠0)来判断． f(x)
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(1)[证明] ∵f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1) ∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， 则f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f(x＋1)－f(x) ＝f(x)－f(x－1)－f(x)＝－f(x－1)． ∴f(x＋3)＝f[(x＋1)＋2]＝－f[(x＋1)－1]＝－f(x)． ∴f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)．