《数学分析》课本上的习题2
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P.27 习题
2．按N -ε定义证明： （1）11
lim
=+∞→n n
n
证明因为
n n n n 11111<+=-+，所以0>∀ε，取ε
1=N ，N n >∀，必有ε<<-+n
n n 111. 故11lim =+∞→n n
n
（2）2
3123lim
22=-+∞→n n n n 证明因为n
n n n n n n n n n n n n 32525)1(232)12(23223123222222<=<-++<-+=--+
)1(>n ，于是0>∀ε，取}3
,1max{ε=N ，N n >∀，有ε<<--+n
n n n 3
231232
2. 所以2
3
123lim 22=-+∞→n n n n （3）0!
lim
=∞→n
n n n
证明因为
n n n n n n n n n n n n n n n
n 11211)1(!0!≤⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-==-ΛΛΛ，于是0>∀ε，取
ε
1
=
N ，N n >∀，必有
ε<≤-n n n n
10!. 所以0!lim =∞→n n n n
（4）0sin
lim =∞
→n
n π
证明因为n
n
n
π
π
π
≤
=-sin
0sin
，于是0>∀ε，取ε
π
=
N ，N n >∀，必有επ
π
<≤
-n
n
0sin
. 所以0sin
lim =∞
→n
n π
（5）)1(0lim
>=∞→a a n
n
n
证明因为1>a ，设)0(1>+=h h
a ，于是
2
22
)1(2)1(1)1(h n n h h n n nh h a n n n -≥++-+
+=+=Λ，从而 22
)1(22
)1(0h n h n n n a n a n n n -=-≤=-，所以0>∀ε，取12
2
+=h N ε，N n >∀，有
ε<-≤-2
)1(20h n a n n . 故0lim =∞→n n a n
3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）n
n 1lim
∞
→；（2）n
n 3lim
∞
→；（3）3
1
lim
n n ∞→
（4）n n 31lim
∞→；（5）n n 2
1lim ∞→；（6）n
n 10lim ∞→；（7）n n 21lim ∞→
解 （1）01lim
1lim
2
1==∞
→∞
→n
n
n n （用例2的结果，2
1=
a ），无穷小数列. （2）13lim
=∞
→n
n ，（用例5的结果，3=a ）
（3）01
lim
3
=∞→n n ，
（用例2的结果，3=a ），无穷小数列. （4）031lim 31lim =⎪⎭
⎫
⎝⎛=∞→∞→n
n n n ，（用例4的结果，31=q ），无穷小数列.
（5）021lim 2
1
lim
=⎪⎭⎫
⎝⎛=∞→∞
→n
n n n ，（用例4的结果，21=q ），无穷小数列. （6）110lim =∞
→n n ，（用例5的结果，10=a ）.
（7）12
1
lim 2
1lim
==∞
→∞→n
n n
n ,（用例5的结果，21=a ）.
4．证明：若a a n n =∞
→lim ，则对任一正整数 k ，有a a k n k =+∞
→lim
证明因为a a n n =∞
→lim ，所以εε<->∀>∃>∀||,,0,0a a N n N n ，于是，当N
k >时，必有N k n >+，从而有ε<-+||a a k n ，因此a a k n k =+∞
→lim .
5．试用定义1证明：
（1）数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限；（2）数列}{)1(n
n
-发散. 证明（用定义1证明）数列}{n a 不以a 为极限（即a a n n ≠∞
→lim ）的定义是：00>∃ε，
0>∀N ，N n >∃0，0||0
ε≥-a a n
（1）取2
1
0=
ε，0>∀N ，取N N n >+=20，有 0021)1(212112111ε==++≥++=-+=-N N N N N n ，故数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限. 另证（用定义1’证明）取210=
ε，则数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n 1中满足2>n 的项（有无穷多个）显然都落在1的邻域)23,21();1(0=εU 之外，故数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n 1不以1为极限.
（2）数列}{)1(n
n
-=},6,5
1,4,31
,2,1{Λ，对任何R a ∈，取10=ε，则数列
}{)1(n
n
-中所有满足“n
为偶数，且1+>a n ”的项（有无穷多个），都落在a 的邻域
)1,1();(0+-=a a a U ε之外，故数列}{)1(n
n
-不以任何数a 为极限，即数列}
{)1(n
n
-发散.
6．证明定理2.1，并应用它证明数列⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-+n n )1(1的极限是1.
定理2.1 数列}{n a 收敛于a 充要条件是：
}{a a n -为无穷小数列. （即a a n n =∞
→lim 的充要条件是0)(lim =-∞
→a a n n ）
证明（必要性）设a a n n =∞
→lim ，由数列极限的定义，,0,0>∃>∀N εN n >∀，有