常用的等价无穷小及泰勒公式
三角函数极限等价无穷小公式
三角函数极限等价无穷小公式一、三角函数三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们的定义涉及到单位圆上的点和角度的概念。
常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
1. 正弦函数sin(x)：在单位圆上，以原点为圆心，长度为1的线段与x轴与x轴正向所夹的角度为x时，这个线段的y坐标即为sin(x)。
2. 余弦函数cos(x)：在单位圆上，以原点为圆心，长度为1的线段与x轴与x轴正向所夹的角度为x时，这个线段的x坐标即为cos(x)。
3. 正切函数tan(x)：在单位圆上，以原点为圆心，长度为1的线段与x轴与x轴正向所夹的角度为x时，这个线段的y坐标与x坐标的比值即为tan(x)。
三角函数具有很多重要的性质和关系，例如：1. 周期性：sin(x)和cos(x)的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)。
而tan(x)的周期则是π，即tan(x+π)=tan(x)。
2. 互余关系：sin(x)和cos(x)之间互为相反数，即sin(x)=-cos(x)，cos(x)=-sin(x)。
3. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，cos(-x)=cos(x)。
而tan(x)则是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
二、极限极限是描述函数趋于一些值的重要概念，它在数学中具有广泛的应用。
极限的定义是：当自变量x的取值逐渐靠近一些值a时，函数f(x)的取值逐渐接近一些值L，这个值L就是f(x)当x趋于a时的极限。
常见的极限计算方法包括：1. 基本极限：例如lim(x→0) sin(x)/x=1，lim(x→0)(1+1/x)^x=e等。
2. 夹逼原理：如果函数f(x)在a的一些邻域内夹在两个趋于L的函数之间，那么f(x)的极限也是L。
例如lim(x→0) x^2sin(1/x)=0。
3.等价无穷小：如果lim(x→a) f(x)=0，那么lim(x→a) g(x)=0，我们可以称函数g(x)是函数f(x)的等价无穷小。
高数常用等价无穷小
常用等价无穷小
常用等价无穷小替换规定：可用于乘、除。
加、减在一定情况下仍然可用，下文将给出加、减等价代换的公式
● 当x →0时 乘除
1. Sinx=x 推广 ：sin 狗=狗
2. arcsinx=x arcsin 狗=狗
3. tanx=x tan 狗=狗
4. arctanx=x arctan 狗=狗
5. ln （1+x ）=x ln(1+狗)=狗
6. e x −1=x e 狗−1=狗
7. （1+x ）a -1=ax （1+x ）a
-1=a 狗
8. 1-cosx=12x 2 1-cos 狗=12狗2 注：“狗”代表任意数，例如：x+3、x n 等等
● 当x →0时 加减
1. X+sinx=2x x+arcsinx=2x
2. x-sinx=16x 3 x-arcsinx =-16
x 3 3. 1-cos =12x 2
注：1、之所以能如此代换，是因为在泰勒展开式中，有以下的展开式。
2、在极限的计算中，要抓大头（即极限趋向于0速度越快的一项，可以忽略不计），所以计算+法时，省略去x 后的高阶无穷小；--法计算时，由于x 项被减去，所以得到x 3。
这也正是书本上描述，加减法要慎重使用的原因
当x 0时
sinx=x - 1
x3+0(x3)0(x3)表示佩亚诺余项
6
Arcsinx= x+1
x3+0(x3)
6
Tanx= x+1
x3+0(x3)
3
Arctanx= x-1
x3+0(x3)
3
x2+0(x2)
Cosx= 1-1
2。
泰勒(Taylor)公式
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) 1! 2! f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 3 ( x x0 ) ( x x0 ) n 3! n!
称为函数
f ( x) 按 ( x x ) 的幂展开的 N 阶泰勒公式。
f ( n 1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 其中： (n 1)!
这里
是 ( x, x0 ) 之间的某个值。
二、 泰勒公式： 如果函数
f ( x) 在含有 x 0
的某个开区间（a,b）内具有知道
（n+1）阶的导数，则当 x ( a, b) 时，近似多项式：
0
Rn ( x) 称作拉格朗日型余项。
三、 误差 当 x x0
Rn ( x) 0 x x0 ( x x )n 0
lim
误差 Rn ( x) 是比 ( x x0 ) 的高阶无穷小，即：
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Rn ( x) o[( x x0 )n ]
一、 泰勒中值定理： 如果函数
f ( x) 在含有 x 0
直到 的某个开区间（a,b）内具有知道
（n+1）阶的导数，则当 x ( a, b) 时， 个
f ( x) 可以表示成一
x x0 的一个 n 次多项式与一个余项的和的形式：
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 3 ( x x0 ) ( x x0 ) n R （ n x） 3! n! f ( x0 )
专升本高等数学常用公式
1.偶函数关于y 轴对称。
f(-x)=f(x).奇函数关于原点对称。
f(-x)=-f(x)2.等价无穷小：sinx~x tanx~x arctanx~x arcsinx~x 1-cosx~~22x ln(1+x)~x1-x e ~x1-xa ~xlnaax x a→-+1)1(3.若)()(0~lim 0x f x f x x =称f(x)在点x 处连续。
4.若)0()0(00+≠-x f x f 时，x 为)(x f 的跳跃间断点。
)()(0lim 0x f A x f x x ≠=→或f(x)在点0x 处无定义，则点x 为可去间断点。
5.零点定理：f(a)f(b)＜0，则f(ζ)=06.000)()()(limx x x f x f x f x x --='→ h x f h x f x f x x )()()(000lim-+='→7.求导公式：x x 2sec )(tan ='x x 2csc )(cot -='x x x cot csc )(csc -='x x x tan sec )(sec ='xxaa a •='ln )(xx ee =')(a x x a ln 1)(log =' 211)(arcsin x x -='211)(arccos x x --='211)(arctan x x +='211)cot (x x arc +-=' x x f x x f x f x ∆'-∆+'=''→)()(lim )(08.N 阶导数公式: 1!)1()(+-=⇒=n nna ax n x x ynn n x n y x y )1()!1()1()1ln(1+--=⇒+=-9.罗尔定理：闭连、开导、两头平 即f(a)=f(b). 10.拉格朗日中值定理：))(()()(a b f a f b f -'=-ξ11.柯西中值定理：)()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=--12.泰勒公式：10100300200000)()!1()()(!)()(!3)()(!2)())(()()(++-+=⇒+-++-'''+-''+-'+=n n n n nn x x n f x R x R x x n x f x x x f x x x f x x x f x f x f ξ13.旋转体体积：以x 轴旋转：dx x f V b a2)]([⎰=π 。
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第 1 章 函数与极限一. 函数的概念1. 两个无穷小的比较设lim f (x ) = 0, lim g (x ) = 0 且lim f (x ) = l g (x )（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[ g (x ) ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2. 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arccos x ~ x ，1− cos x ~ x ^2 / 2 ， e x −1 ~ x ， ln(1+ x ) ~ x ， (1+ x ) -1~ x二．求极限的方法1. 两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若lim g (x ) = A , lim h (x ) = A ，则lim f (x ) = A2. 两个重要公式公式 1 lim sin x = 1x →0 x公式 2 lim(1+ x )1/ x = e x →03. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换4. 用泰勒公式当 x → 0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次2 3 n 3 5 2 4 e x = 1+ x + x + 2! x +... + 3! x + o (x n ) n ! sin x = x - x +3!x +... + (-1)n 5!x 2n +1 (2n +1)! + o (x 2n +1 ) cos x = 1- x + 2! x +... + (-1) 4!n x 2n 2n ! + o (x 2n )ln(1+ x ) = x - x 2 + x 3 3... + (-1) n +1 x n n + o (x n ) (1+ x ) = 1+x +(-1) x 2 +... + (-1)...(- (n -1)) x n + o (x n ) arctan x = x - x 3 + x 5 5 2! -... + (-1) n +1x 2n +1 2n +1 n ! + o (x 2n +1 ) 5. 洛必达法则定理 1 设函数 f (x ) 、 F (x ) 满足下列条件：（1） lim f (x ) = 0 ， lim F (x ) = 0 ；x → x 0 x → x 0（2） f (x ) 与 F (x ) 在 x 0 的某一去心邻域内可导，且 F '(x ) ≠ 0 ； （3） lim f '(x ) 存在（或为无穷大），则lim f (x ) = lim f '(x ) x → x 0 F '(x ) x → x 0 F (x ) x → x 0 F '(x ) 这个定理说明：当limf '(x ) 存在时， lim f (x ) 也存在且等于lim f '(x ) ； x → x 0 F '(x ) x → x 0 F (x ) x → x 0 F '(x ) 当lim f '(x ) 为无穷大时， lim f (x ) 也是无穷大．x → x 0 F '(x ) x → x 0 F (x )这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（ L 'H ospital ）法则.∞ 型未定式∞定理 2 设函数 f (x ) 、 F (x ) 满足下列条件：（1） lim f (x ) = ∞ ， lim F (x ) = ∞ ；x → x 0 x → x 0 （2） f (x ) 与 F (x ) 在 x 0 的某一去心邻域内可导，且 F '(x ) ≠ 0 ； （3） lim f '(x ) 存在（或为无穷大），则 lim f (x ) = lim f '(x )x → x 0 F '(x )x → x 0 F (x ) x → x 0 F '(x ) 注：上述关于 x → x 0 ∞ 型同样适用．∞时未定式∞型的洛必达法则，对于 x → ∞ 时未定式 ∞ 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1） 洛必达法则只能适用于“ 0 ”和“ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须 0 ∞2 30 先化简变形成“ 0 ”或“ ∞”型才能运用该法则； 0 ∞（2） 只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3） 洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6. 利用导数定义求极限基本公式lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = ∆xf ' (x ) (如果存在） 7. 利用定积分定义求极限1 n k 1基本格式lim n ∑ f ( n ) = ⎰ f (x )dx （如果存在） n →∞ k =1 03. 函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1） 第一类间断点设 x 0 是函数 y = f (x )的间断点。
常用的等价无穷小替换公式
常用的等价无穷小替换公式等价无穷小替换公式是微积分中常用的工具，用于将一个无穷小量替换成另一个与之等价的无穷小量，以便更方便地进行计算和求解。
下面是一些常见的等价无穷小替换公式。
1.当x趋于0时，有以下等价无穷小替换公式：- sin(x) ≈ x- tan(x) ≈ x- arcsin(x) ≈ x- arctan(x) ≈ x- ln(1+x) ≈ x-e^x-1≈x- (1+x)^n -1 ≈ nx （n为常数）2.当x趋于无穷大时，有以下等价无穷小替换公式：-e^x≈∞（指数函数增长非常快）- ln(x+1) ≈ x- sin(x)/x ≈ 1- tan(x)/x ≈ 1- arcsin(x)/x ≈ 1- arctan(x)/x ≈ 13.一些其他常见等价无穷小替换公式：- x^a - 1 ≈ ax^(a-1)（a为常数）-x^a≈∞（当x趋于无穷大且a为正数）-x^a≈0（当x趋于0且a为负数）- 1 - cos(x) ≈ x^2/2- ln(x) ≈ x^a （当 x 趋于无穷大且 a 为正数）这些等价无穷小替换公式的应用可以简化复杂的数学计算和求解问题。
需要注意的是，这些公式只是在特定的条件下成立，并不适用于所有情况，因此在使用时需要根据具体问题进行判断和决策。
除了上述列举的常见等价无穷小替换公式，还有一些与泰勒级数展开相关的公式也可以用于等价无穷小替换：-当x趋于a时，有以下泰勒级数的等价无穷小替换公式：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...-当x趋于无穷大时，有以下泰勒级数和欧拉-麦克劳林公式的等价无穷小替换公式：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...这些泰勒级数展开的等价无穷小替换公式可以用于近似计算函数的值和导数的值。
高等数学求极限的方法
高等数学求极限的方法对于求解极限的方法可以归结为以下几类: (1)常用等价无穷小记住以下常用等价无穷小1+tan1sinxx,，例1 求极限limx,0xx(1cos),(1+tan1sin)(1+tan1sin)xxxx,，，，【解】原式=limx,0xxxx(1cos)(1+tan1sin),，，tanxsinx, ,limx,0xxxx(1cos)(1+tan1sin),，，tan(1cos)xx, ,limx,0x(1cos)(1+tan1sin),，，xxxx1 ,,limx,02x(1010)，，，例求下列极限21cos，x2x4()1,xe,12wIIw(I)lim()lim, ,3,,xx00xln(12)，1cos(1cos),,xx(2)等价无穷小的性质定理:有限个无穷小的代数和仍为无穷小.定理:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论:常数与无穷小的乘积是无穷小.推论:有限个无穷小的乘积也是无穷小.1【解】为有界量，原式xx,, ？,lim1cos0,limsin0xx,,00x【注】本题也可以利用常用的等价无穷小公式.(3)常用的极限sinsinxxxx,, , 极限不存在limlim1lim0limxxxx,,,,,,00xxxxsinsin 11ln(1)，xxx，,，, ,lim(1)lim(1)lim1xexxx,,,,00xxnnlim1lim1nC, , nn,,,,11xx例4 ，求w=lim(2),,xx(4)极限存在的两个准则夹逼准则(1)如果数列及满足下列条件xyz{},{}{}:nnn,,, ,,,那么数列的极限存在，且yxznyzaxxa(1)(1,2,3,...);(2)limlim,{}lim. nnnnnnn,,,,,,nnn 单调有界准则(2)单调有界数列必有极限.(5)极限的定义(6)洛必达法则【解】(7)变量替换11xAx方法，而 ,，,we2lim(2),,xx01tt，,1(21),xt1/t0xA,，,,,,,,,,，,，lim(21)limlim(12ln2)1ln2,,,,,xtt00xt ，1ln2故wee,,2(8)泰勒公式。
常用十个泰勒展开公式
常用十个泰勒展开公式常用泰勒展开公式如下:1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+…….(-∞<x<∞)4、cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|这是写在纸上的八个常见的泰勒公式，泰勒公式是等号而不是等价，这就使所有函数转化为幂函数，在利用高阶无穷小被低阶吸收的原理，可以秒杀大部分极限题.常见的泰勒公式泰勒公式:就是用多项式函数去逼近光滑函数.简单来讲，1.泰勒公式能把任意一元方程展开为多项式，方便了计算2.能逼近地计算某些方程的值泰勒级数的重要性体现在以下三个方面:首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易.第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行.第三，泰勒f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2++f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n(泰勒公式，最后一项中n表示n阶导数)泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数。
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还对于此处，这里o(x^5)和o(x^6)都是可以的∵sinx继续往后展开的次数为x^7∴可以写o(x^5)，也可以写o(x^6)但是写o(x^6)对这个无穷小的阶更准确通常的展开是分别按x，x，x，..展开的∴如果展开到x^n，那么后面一般就写o(x^n)就可以了。
等价无穷小在考研数学中的应用
等价无穷小在考研数学中的应用极限问题是整个微积分学的基础，是高等数学基础概念与核心内容之一。
在考研数学中，极限问题的分值大约是4～10分，而高数在考研数学的分值大约是84分，因此极限问题是不容忽视的一部分。
通常，大家是利用一阶等价无穷小解极限问题，然而，等价无穷小并不只有一阶无穷小，如何获取更多的等价无穷小并应用到实例中是大家更想知道的。
本文在第二部分给出了由泰勒公式得到的常见的高阶无穷小及实例，并对此问题作了进一步说明，希望对大家有所帮助。
一、常见的等价无穷小当x→0时，有灵活地使用这些等价无穷小，我们可以快速地求解极限问题。
例1 (2016)已知函数f(x)满足则解：因为所以利用以上等价无穷小，可以处理一些相对简单的极限问题，就而言，直接做就会出错。
一些书说加减不能用等价无穷小，只有乘除可以使用等价无穷小，这句话是正确的。
若可以找到分子部分整体的等价无穷小，则这个问题就会转变为乘除问题，就可以直接计算。
下面本文将在第二部分给出高阶等价无穷小，可以运用它使一些加减式的问题转化为乘除式的。
二、泰勒公式及高阶等价无穷小(一) 泰勒公式在各种试题中常用到以下泰勒公式。
(二) 高阶等价无穷小通过移项可以把泰勒公式转化为任意阶的等价无穷小。
如下：当x→0时，有下面我们将运用这些高阶等价无穷小解历年真题。
例2设函数f(x)=x+a ln(1+x)+bx sin x，g(x)=c=kx3。
若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。
解：(法一)因为则由得所以有(法二)由已知可得：由可得所以代入a，b，得通过上面的例题及解法我们可以看出，高阶等价无穷小运算量较小，且计算方便；而其他的方法较为复杂，计算量较大。
三、总结等价无穷小在求解极限问题时有着广泛的应用，但要选择恰当的方法进行求解。
本文着重介绍了由泰勒公式获取的高阶等价无穷小并运用它解决了一些相对复杂的极限问题。
那么，如何获取并使用高阶等价无穷小是值得我们去研究，思索的问题。
三角函数极限等价无穷小公式
三角函数极限等价无穷小公式三角函数是数学中的一类特殊函数，它们的输入是角度，输出是对应的三角比值。
三角函数主要包含正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用，尤其在描述周期性现象和波动现象方面具有重要的作用。
正弦函数（sin）是最基本也是最常用的三角函数之一、它以单位圆上的点的纵坐标作为函数值，表示了一个角度的正弦值。
余弦函数（cos）以单位圆上的点的横坐标作为函数值，表示了一个角度的余弦值。
正切函数（tan）则表示了正弦函数与余弦函数的商，即正切值。
除了这些基本三角函数，还有诸如余割函数、正割函数、余切函数等其他与基本三角函数互为倒数关系的函数存在。
三角函数的最重要的性质之一是它们的周期性。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，也就是说它们在每一个2π的长度上都会重复自身。
正切函数的周期是π，而其余割、正割和余切函数的周期分别是π/2、这种周期性使得三角函数在描述周期性现象和波动现象方面具有独特的优势。
极限是数学分析中一个重要的概念，用来描述数列或者函数在其中一点上的趋势或者接近程度。
在考察一点的邻域内，如果数列或者函数的取值可以无限接近其中一固定值，就称该固定值为该数列或者函数在这一点的极限。
极限的概念在微积分中占据了重要的地位，它是定义导数和积分的基础。
对于数列，如果n趋近于无穷大时，数列的极限称为数列的无穷极限。
对于函数，如果自变量x趋近于其中一点时，函数的极限称为函数的极限。
极限可以存在也可以不存在，可以是有限的也可以是无穷的。
如果存在，极限可以通过一些常用的极限法则来计算，例如加减法则、乘法法则、除法法则等。
在实际应用中，极限的计算经常用到泰勒展开等方法。
等价无穷小公式是极限计算中经常用到的重要工具，它主要用于求解一些关于无穷大的极限。
等价无穷小公式的思想是，当一个极限问题涉及到无穷大时，可以用一个与之等价的无穷小来进行近似计算。
常见的等价无穷小公式有以下几种：1. 当x趋近于0时，sin(x)与x等价，即sin(x)/x趋近于12. 当x趋近于0时，tan(x)与x等价，即tan(x)/x趋近于13. 当x趋近于无穷大时，exp(x)与x^n等价，其中n为常数，即exp(x)/x^n趋近于无穷大。
常用等价无穷小精简版
常用等价无穷小一、无穷小在极限理论中，无穷小是一种特殊的数列，其绝对值在趋向某一极限时逐渐趋于零。
无穷小可以用于描述函数在某一点附近的行为，常用于极限的计算和证明。
对于数列 {a_n} 来说，如果当 n 趋于无穷大时，a_n 的绝对值趋于零，即 lim(a_n) = 0，则称 a_n 为无穷小。
符号上通常用小写字母 a, b, c, 表示无穷小。
二、常用等价无穷小在极限的计算中，经常会使用一些等价无穷小的性质和公式来简化计算过程。
以下是一些常用的等价无穷小：1. 当 x 趋于零时，有以下等价无穷小：x ≈ sin(x)x ≈ tan(x)x ≈ arcsin(x)x ≈ arctan(x)x ≈ e^x 1x ≈ ln(1 + x)x ≈ ln(1 x)2. 当 x 趋于无穷大时，有以下等价无穷小：x ≈ sin(x)x ≈ cos(x)x ≈ tan(x)x ≈ 1 cos(x)x ≈ 1 e^(-x)x ≈ e^(-x) 1这些等价无穷小具有类似的性质，在计算极限时可以相互替换，从而简化计算过程。
三、等价无穷小的证明对于等价无穷小的证明，通常需要使用泰勒展开式和极限的定义来进行推导。
以 x ≈ sin(x) 为例进行说明：根据泰勒展开式，我们有 sin(x) = x (x^3)/3! + (x^5)/5! (x^7)/7! +当 x 趋于零时，高阶项的绝对值会趋于零，只保留低阶项可以得到 x ≈ sin(x)。
同样地，对于其他的等价无穷小公式也可以通过泰勒展开式的推导来证明。
四、注意事项在使用等价无穷小进行计算时，需要注意以下几点：1. 在取等式时，需要注意等号两边的极限存在且相等。
2. 确保等价无穷小的适用范围，不可随意使用等价无穷小公式。
3. 需要注意一些特殊点，如函数的间断点、奇点等会影响等价无穷小的适用性。
4. 在推导等价无穷小时，要保证推导过程的合法性和准确性。
，等价无穷小是极限计算中常用的工具之一。
常用的等价无穷小及泰勒公式
常用的等价无穷小及泰勒公式等价无穷小定义为当自变量趋于其中一点时，与给定无穷小具有相同数量级的无穷小。
1.当x趋于0时，常用的等价无穷小有：-x、x^2、x^3、x^4、..：它们具有相同数量级的无穷小。
- sin(x)：当x趋于0时，sin(x)也趋于0，并具有相同数量级的无穷小。
2.当x趋于无穷大时，常用的等价无穷小有：-x、x^2、x^3、x^4、..：它们具有相同数量级的无穷小。
-e^x：当x趋于无穷大时，e^x也趋于无穷大，并具有相同数量级的无穷小。
泰勒公式是用无穷级数来逼近函数的方法，其公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)为函数，a为给定点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别为f(x)在a点的一阶、二阶、三阶导数。
泰勒公式的应用：1.近似计算：通过泰勒公式可以将复杂的函数转化为无穷级数，从而进行近似计算。
例如，对于e^x函数，可以利用泰勒公式展开为e^a+e^a(x-a)+e^a(x-a)^2/2!+...进行近似计算。
2.极值判断：通过泰勒公式展开函数，可以利用一阶导数和二阶导数的符号来判断函数的极值。
3.曲线绘制：通过泰勒公式可以对函数进行局部展开，从而绘制出函数的曲线。
需要注意的是，泰勒公式只有在给定点附近的局部区域内才有效，因此在使用泰勒公式进行近似计算时，要选择合适的给定点和展开阶数，以使得近似结果更加准确。
总之，等价无穷小是在自变量趋于一些特定点时与给定无穷小具有相同数量级的无穷小，而泰勒公式是用无穷级数来逼近函数的方法，可以用来进行函数的近似计算、极值判断和曲线绘制。
数学中常用极限方法总结
【1】忽略高阶无穷小方法。
很多极限看起来很复杂，而且也不好使用洛必达法则，但是如果忽略掉次要部分，则会很容易计算。
比如，忽略掉比x低的无穷小项后为√x / √2x = 1/√2再比如斐波那契数列，忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要项后，可以求得lim a(n+1)/a(n) = (1+√5)/2再比如lim(x->∞) (sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))当x->∞的时候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高阶无穷小所以lim(x->∞) (sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))= lim(x->∞) sinh(x)/2Cosh(x)= lim(x->∞) (e^x-e^(-x)) / 2(e^x+e^(-x))= lim(x->∞) e^x / 2e^x=1【2】取对数与洛必达法则洛必达法则是求极限的时候用的最多的方法，但是很多题目都会饶下弯子，需要先对代数式进行一些变形，否则计算起来会越来越烦，常见的的代换包括取对数，等价无穷小代换，省略高阶无穷小部分，在用完这些方法后，再使用洛必达法则，可以有效的解决这类问题。
比如这个直接用等价无穷小代换后会因为损失了高阶无穷小导致结果不正确，取对数后就会化成容易计算的形式了lim(x->∞) x^2*ln(1+1/x) - x再做代换t = 1/x=lin(t->0) (ln(1+t)-t) / t^2再用洛必达法则= lim(t->0) (1/(1+t) - 1) / 2t = -1/2所以原式极限为e^(-1/2)再比如tanx ^(1/lnx)在x->0+的时候的极限这个极限是0^∞的形式直接取对数得ln(tanx) / lnx ，现在是∞/∞的形式用洛必达法则得= x / ( sinx cosx) = x/sinx * 1/cosx = 1所以tanx^(1/lnx)在x->0+的时候的极限为e【3】常用等价无穷小经常用到的等价无穷小有(1) tanx ~ sinx ~ acrsinx ~ arctanx ~ sinh(x) ~ acsinh(x) ~ x (x->0)(2) 1-cosx ~ x^2/2 (x->0)(3) e^x - 1 ~ x (x->0)(4) ln(1+x) ~ x (x->0)(5) (1+x)^a - 1 ~ ax (x->0)(6) e - (1+x)^(1/x) ~ ex / 2 (x->0)【4】极限存在准则有些极限问题直接计算很困难，但是合理地使用放缩，再利用极限存在准则，可以很容易的得到，这个方法在判别级数收敛，反常积分计算的时候更是经常用到。
x趋于无穷的等价无穷小公式大全
无穷小，即趋于零的量，是微积分中非常重要的概念。
在数学分析中，我们常常遇到一些函数，当自变量趋于某个特定的值时，函数值会趋于无穷小。
而在研究这些函数的性质和极限时，无穷小的分类和等价无穷小的公式成为了不可或缺的工具。
在本篇文章中，我们将系统地介绍x趋于无穷的等价无穷小公式，并探讨其中的深度和广度。
1. 无穷小的定义让我们回顾一下无穷小的定义。
设f(x)是定义在某个区间上的函数，在x趋于无穷时，如果有极限lim(f(x))=0，那么称f(x)是x趋于无穷时的无穷小。
在实际运用中，我们常常需要研究x趋于无穷时函数表现的特点，而无穷小的概念能够帮助我们更好地理解函数的极限性质。
2. 等价无穷小的概念在研究无穷小的时候，我们经常需要比较不同函数的无穷小量级。
这时，等价无穷小的概念应运而生。
若函数f(x)与g(x)满足lim(f(x)/g(x))=1，且lim(f(x))=0，那么称f(x)与g(x)是等价无穷小。
等价无穷小的概念为我们在研究函数极限的过程中提供了更灵活的工具，使得我们能够更准确地刻画函数的渐近性质。
3. x趋于无穷的等价无穷小公式大全接下来，让我们系统地介绍x趋于无穷的等价无穷小公式。
在实际运用中，掌握这些公式能够帮助我们更快速、更准确地计算函数的极限。
下面是一些常用的x趋于无穷的等价无穷小公式：（1）当x→∞时，有sin x ≈ x，cos x ≈ 1（2）当x→∞时，有tan x ≈ x（3）当x→0时，有ln(1+x) ≈ x（4）当x→∞时，有e^x ≈ x^n (n为任意实数)（5）当x→0时，有1-cos x ≈ 1/2 x^2（6）当x→0时，有x-sin x ≈ 1/6 x^3以上是一些常用的x趋于无穷的等价无穷小公式，它们在研究函数极限和渐近性质时有着重要的应用价值。
4. 个人观点和理解对于无穷小和等价无穷小的概念，我个人认为它们在数学分析中具有非常重要的地位。
在研究函数的极限和性质时，我们常常需要借助这些概念来刻画函数的渐近行为，以便更深入地理解函数的特点。
等价无穷小转换公式
等价无穷小转换公式首先，我们来介绍等价无穷小的定义。
在微积分中，无穷小是指趋于零的量。
如果两个无穷小在一些条件下表现出相同的趋势，即它们的极限为零，那么我们就可以说它们是等价的。
等价无穷小转换公式是指将一个无穷小替换为与之等价的另一个无穷小的公式。
一、常见的等价无穷小转换公式：1.当x趋于零时，有以下等价无穷小转换公式：(a) sin x ~ x这个公式的证明可以使用泰勒展开式，并且利用级数求和的特点。
(b) tan x ~ x这个公式的证明可以利用极限定义和泰勒展开。
(c) ln(1+x) ~ x这个公式的证明可以使用级数展开和对数的性质。
(d)e^x-1~x这个公式的证明可以使用泰勒展开式和极限定义。
(e) (1+ x)^a - 1 ~ ax这个公式的证明可以使用泰勒展开式和极限定义。
(f) a^x - 1 ~ x ln a这个公式的证明可以使用极限定义和泰勒展开。
2.当x趋于无穷时，有以下等价无穷小转换公式：(a) sin x ~ x这个公式的证明可以利用级数展开和三角函数的性质。
(b) tan x ~ x这个公式的证明可以利用极限定义和泰勒展开。
(c)e^x-1~x这个公式的证明可以使用级数展开和指数函数的性质。
(d) ln(1+x) ~ x这个公式的证明可以使用极限定义和泰勒展开。
(e) (1+ x)^a - 1 ~ ax这个公式的证明可以使用泰勒展开式和极限定义。
(f)x^a/e^x~0这个公式的证明可以使用极限定义和指数函数的性质。
(g)x^n/a^x~0这个公式的证明可以使用极限定义和指数函数的性质。
二、这些等价无穷小转换公式的证明通常采用的方法是泰勒展开和极限定义。
对于泰勒展开，可以使用泰勒级数的公式，将函数展开成无穷级数的形式，并利用级数求和的特性来证明等价无穷小的关系。
对于极限定义，可以使用极限的定义来证明等价无穷小的关系。
对于x趋于零的情况，使用极限的定义，对于x趋于无穷的情况，使用无穷大的定义。
常用等价无穷小推导
常用等价无穷小推导
常用等价无穷小是在极限计算中经常使用的一种技巧，它可以简化计算过程并得到更简洁的结果。
下面是一些常见的等价无穷小推导：
1. 当x 趋向于零时：
- sin(x) ≈x
- tan(x) ≈x
- arcsin(x) ≈x
- arctan(x) ≈x
- ln(1+x) ≈x
- e^x - 1 ≈x
2. 当x 趋向于正无穷时：
- e^x ≈+∞
- ln(x) ≈+∞
- a^x （其中a > 1）≈+∞
- x^k （其中k > 0）≈+∞
- sqrt(x) ≈+∞
3. 当x 趋向于负无穷时：
- e^x ≈0
- ln(x) ≈-∞
- a^x （其中0 < a < 1）≈0
- x^k （其中k > 0，且k 为奇数）≈-∞
- sqrt(x) ≈0
需要注意的是，这些等价无穷小是在特定的极限条件下成立的。
在具体的计算中，需要根据实际情况来判断是否可以使用这些等价无穷小进行近似计算。
同时，这些等价无穷小的推导也可以通过泰勒级数展开式来证明。