重庆市育才中学2021届高三上学期入学考试数学试题
重庆市育才中学高三数学上学期入学考试试题 理
育才中学高2017级高三上入学考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}2log 1,1P x x Q x x =<-=<，则P Q =I （ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()0,1 D. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭2．“(,)2πθπ∈”是“sin cos 0θθ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知△ABC 中，125tan -=A ，则cos A =( ) A.1213 B. 1213- C.513- D. 5134. 设2log 3=a ，21log 5=b ，3log 2=c ，则( )A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>5．已知tan a =4,cot β=13,则tan(a +β)=( ) A. 711 B. 711- C. 713 D. 713-6. 函数13,0,()31,0.xx x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则该函数为（ ）A. 单调递减函数，奇函数B. 单调递增函数，偶函数C. 单调递增函数，奇函数D. 单调递减函数，偶函数 7. 下列说法中正确的是（ ）A. “(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B. 若2000:,10p x x x ∃∈-->R ，则2:,10p x x x ⌝∀∈--<RC. 若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D. 命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠”8．由曲线1xy =，直线,3y x x ==所围成的封闭图形的面积为( ) A .116B.92C. 1ln 32+D. 4ln3-9. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有(2)(2)4(2)f x f x f +=-+，且(1)3f =，则(2015)f =( )A. 6B. 3C. 0D. 3-10.已知函数()1--=x x x f ，()x x x g 2+=，()x x x h ln +=的零点分别为321,,x x x ，则（ ） A. 312x x x <<B. 213x x x <<C. 132x x x <<D. 321x x x <<11．已知点P 为曲线3:C y x x =-上一点，曲线C 在点P 处的切线1l 交曲线C 于点Q （异于点P ），若直线1l 的斜率为1k ，曲线C 在点Q 处的切线2l 的斜率为2k ，则124k k -的值为（ ） A ． 5-B ．4-C ．3-D ． 212.已知函数错误!未找到引用源。
2020届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x lim x∆→+∆-=∆,则()0'f x =（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．0【答案】C【解析】根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx ∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆ 即()()()000021'22x f x x f x f x lim x∆→+∆-==∆ 故选：C 【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.2．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =R I ð A ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R 的一个必要不充分条件是( ) A ．11a -≤≤B ．01a <<C ．11a -<<D ．1a <-或1a >【解析】先求得命题的充要条件,再根据其必要不充分条件关于a 的范围应为充要条件关于a 的范围的子集,进而选择即可 【详解】由题,若关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R ,则()2240a ∆=--<,即11a -<<,则关于x 的不等式2210x ax -+>的解集为R 的充要条件为11a -<<, 所以它的必要不充分条件关于a 的范围应为集合{}|11a a -<<的子集, 故选:B 【点睛】本题考查判断必要不充分条件,考查一元二次不等式恒成立问题4．函数()2cos x xf x x+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先判断函数为奇函数，再求出()1f 即可判断()()()()22cos cos x x x xf x f x xx-+-+-==-=--，则函数()f x 为奇函数，故排除A D ，， 当1x =时，()11cos10f =+>，故排除B ， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题.5．函数y x =的最大值是( ) A ．-1 B ．1C ．-2D ．2【答案】D【解析】利用换元法,()0t t =≥,则22x t =-,代回可得2219224y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,由二次函数的性质解得最值即可【详解】()0t t =≥,则22x t =-,所以2219224y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭, 则当0t =时,max 2y =, 故选:D 【点睛】本题考查换元法求函数最值,使用换元法时要注意新元的取值范围 6．某程序框图如图所示,若输出的结果是62,则判断框中可以是( )A ．4?i >B ．5?i >C ．3?i >D ．6?i >【答案】B【解析】根据程序框图,逐步执行,直到62S =,结束循环,即可得出判断条件 【详解】由图,0,1S i ==；1022,112S i =+==+=； 2226S =+=,213i =+=； 36214S =+=,314i =+=； 414230S =+=,415i =+=；530262S =+=,516i =+=,此时输出,所以对于判断条件,5i =不满足,6i =满足, 故选:B 【点睛】本题考查利用输出结果补全程序框图,属于基础题 7．函数()2ln 43y x x =-+的单调递减区间为（ ）A ．(2,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,1)-∞【答案】D【解析】设t= x 2-4x+3，则y=lnt ，先确定函数的定义域，根据对数函数的性质判断y=lnt 的单调性，再判断二次函数的单调性，进而解决问题. 【详解】设t=x 2-4x+3，则y=ln （x 2﹣4x+3）=lnt ，则t=x 2-4x+3＞0，求得x ＜1，或x ＞3，故函数的定义域为{x|x ＜1或x ＞3}， 易知y=lnt ，在t>0单调递增；易知 t=x 2-4x+3在x<1时，单调递减，在x>3时，单调递增，根据复合函数的单调性规律，可知y=ln （x 2﹣4x+3）在（-∞，1 ）上为减函数，故选D 【点睛】复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解． 8．若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．-3或2【答案】B【解析】由题意可知'(1)0f =，这样可求出a ，然后针对a 的每一个值，进行讨论，看1x =是不是函数的极值点. 【详解】()()()()3'2222()2(131)133f x f x x a x a a x a x a a x =++-=++-+-⇒+-，由题意可知'(1)0f =，()'2(1)1(1)303a a a f a =++-⇒+-=⇒=或2a =-当3a =时，()2'22389(9)(()2(1))1f x x a x a a x x x x +-=++-=+-=+-， 当1,9x x ><-时，'()0f x >，函数单调递增；当91x -<<时，'()0f x <，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()'2222()2(1)321(1)0a a x x x f x a x x =++-+-=-+=-≥，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故本题选B. 【点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.9．已知函数()2ln f x x ax x =--在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在单调递减区间,则a 的取值范围是( ) A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B【解析】先求导可得()221ax x f x x--+'=,则可转化问题为2210ax x --+<在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,进而求解即可 【详解】由题,()212121ax x f x ax x x--+'=--=, 因为0x >,则若函数()2ln f x x ax x =--在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在单调递减区间,即2210ax x --+<在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,即存在x ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,使得2112a x x ->+成立, 设[]()12,3t t x =∈,则()221124u t t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭,当2t =时,()()min 22u t u ==, 所以22a >,即1a >, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数处理函数的单调性问题,考查已知函数单调性求参数,考查转化思想10．设函数()(()2ln 22f x x x =-<<,则使得()()210f x f x +->成立的x 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．15,44⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】先由解析式可判定()f x 是奇函数,且单调递增,再利用奇函数的性质将问题转化为()()21f x f x >-,进而利用函数的单调性求解即可 【详解】由题,()()((()222ln 2ln 2ln 10f x f x x x x x-+=-+=+-=,所以()f x 是奇函数, 当02x ≤<时,y =,所以()f x 单调递增,所以根据奇函数的性质可得()f x 在()2,2-上单调递增, 因为()()210f x f x +->,所以()()()211f x f x f x >--=-,所以21222212x x x x >-⎧⎪-<<⎨⎪-<-<⎩,解得113x <<,故选:C 【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性,考查利用奇偶性和单调性解抽象函数不等式 11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ,2F ,P 是它们的一个公共点,且122F PF π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则221211e e +=( ) A ．2 B．C ．4D ．3【答案】A【解析】由椭圆与双曲线的定义可得1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a ,则112=+PF a a ,212=-PF a a ,且122F F c =,再由122F PF π∠=,根据勾股定理2221212PF PF F F +=,代入整理即可【详解】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,则根据椭圆及双曲线的定义:1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a , 则112=+PF a a ,212=-PF a a , 设122F F c =,因为122F PF π∠=,所以2221212PF PF F F +=,即()()()22212122a a a a c ++-=,化简可得222122a a c +=,因为1a e c=,所以2212112e e +=, 故选:A 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义的应用,考查椭圆与双曲线的离心率12．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x >时，'()0g x >恒成立；且()f x 满足：①对x R ∀∈，都有(3)(3)f x f x +=-；②当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](2)g f x g a a ≤-+对3323,2322x ⎡⎤∀∈---⎢⎥⎣⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．RB ．[0,1]C ．133133,22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦D ．(,0][1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】∵函数()g x 满足：当0x >时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0)+∞，上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，∴2[()](2)g f x g a a ≤-+，33232322x ⎡∈---⎢⎣，恒成立2|()||2|f x a a ⇔-+≤恒成立，只要使得定义域内2max min |()||2|f x a a -+≤，由(3)(3)f x f x +=，得(3)()f x f x +=，即函数()f x 的周期23T =∵[33]x ∈-，时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，该函数过点(30)(00)(30)，，，，，如图，且函数在1x =-处取得极大值(1)2f -=，在1x =处取得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2，∵3322x ⎡∈---⎢⎣，，函数的周期是∴当3322x ⎡∈---⎢⎣，时，函数()f x 的最大值为2，由22|2|a a -+≤，即222a a -+≤，则20a a -≥，解得1a ≥或0a ≤.故选D ．【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得[x ∈时，3()3f x x x =-的值域为[22]-，，还考查了函数恒成立．二、填空题13．曲线f (x )＝x ln x 在点M (1，f (1))处的切线方程为________. 【答案】x-y-1=0【解析】由题意可得：()1'ln ln 1f x x x x x=+⨯=+， 则()'1ln111f =+=，且()10f =， 据此可得切线方程为：()011y x -=⨯-， 即：x-y-1=0.14．)121x dx -=⎰______.【答案】223π+【解析】由题,)1112211x dx x dx ---=+⎰⎰⎰,利用几何法求得1-⎰利用微积分定理求得121x dx -⎰,进而求解即可【详解】)1112211x dx x dx ---=+⎰⎰⎰,设y 则()2210x y y +=≥,所以1-⎰,以1为半径的圆的面积的一半,即()121122ππ-=⨯⨯=⎰；又()113233111112113333x dx x --==⨯-⨯-=⎰,所以)121223x dx π-=+⎰,故答案为:223π+【点睛】本题考查微积分定理的应用,考查几何法求定积分15．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______. 【答案】5【解析】由()()22f x f x -=-+可得()f x 关于()2,0中心对称,由奇函数可得()()22f x f x -=+,即周期为4,分别画出()y f x =与3log y x =的图像,由图像得到交点个数即为零点个数 【详解】由题,因为()f x 满足()()22f x f x -=-+, 所以()f x 关于()2,0中心对称, 又因为()f x 是奇函数,所以()()()222f x f x f x -=--=-+, 所以()()22f x f x -=+,即()f x 的周期为4, 画出()y f x =与3log y x =的图像,如图所示,则交点有5个,故函数()3log y f x x =-的零点有5个, 故答案为:5 【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的应用,考查零点的个数问题,考查数形结合思想16．已知()()ln 0f x a x x a =+>对于区间11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的任意两个相异实数1x ,2x ,恒有()()121211f x f x x x -<-成立,则实数a 的取值范围是______. 【答案】15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】利用导函数易得()f x 在()0,∞+上单调递增,设12x x <,则()()12f x f x <,由此可得()()211211f x f x x x ->-,则()()121211f x f x x x +<+,所以设()()1g x f x x =+,则()g x 在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,即()0g x '≥在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,进而求解即可 【详解】因为0a >,所以()10a a xf x x x+'=+=>在()0,∞+上恒成立,即()f x 在()0,∞+上单调递增,设12x x <,则()()12f x f x <, 因为()()121211f x f x x x -<-, 所以()()211211f x f x x x ->-,则()()121211f x f x x x +<+, 设()()1g x f x x =+,则()g x 在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 所以()()222110x ax g x f x x x+-''=-=≥在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,则max 1a x x ⎡⎤≥-+⎢⎥⎣⎦, 因为y x =-在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,1y x =在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以1y x x =-+在11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 所以当14x =时,1x x -+取得最大值为154,故a 的范围是15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故答案为: 15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查定义法判断函数单调性,考查转化思想三、解答题17．在ABC ∆中,a ､b ､c 分别是角A ､B ､C 的对边,已知sin sin 3c A a C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求角C 的大小;(2)若2c =,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3π；（2【解析】（1）利用正弦定理化边为角可得sin sin sin sin 3C A A C π⎛⎫=+⎪⎝⎭,即sin sin 3C C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,进而求解即可；（2）由（1）,利用余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-⋅,整理后可得224ab a b =+-,利用均值定理求得ab 的最大值,进而求得面积的最大值 【详解】（1）Q sin sin 3c A a C π⎛⎫=+⎪⎝⎭, sin sin sin sin 3C A A C π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,Q 在ABC V 中sin 0A >,sin sin 3C C π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,3C C ππ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭,3C π∴=（2）由（1）,则2222cos c a b ab C =+-⋅,即224a b ab =+-,22424ab a b ab ∴=+-≥-,4ab ∴≤,当且仅当2a b ==时,等号成立,则ab 的最大值为4,此时ABC V 面积的最大值为:11sin 4222S ab C =⋅=⨯⨯= 【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角,考查三角形面积的最值,考查余弦定理的应用,考查均值定理求最值18．2019年5月,重庆市育才中学开展了“最美教室”文化布置评比活动,工作人员随机抽取了16间教室进行量化评估,其中评分不低于9分的教室评为优秀,以下表格记录了它们的评分情况:(1)现从16间教室随机抽取3个,求至多有1个优秀的概率;(2)以这16间教室评分数据估计全校教室的布置情况,若从全校所有教室中任选3个,记X 表示抽到优秀的教室个数,求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）121140；（2）见解析 【解析】（1）由表格可知有4个教室优秀,从16间教室随机抽取3个,至多有1个优秀的情况分别是没有优秀的和只有一个优秀的,由此求解即可； （2）由样本估计总体可知优秀的概率为14,则1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭,进而根据二项分布求解即可 【详解】（1）设i A 表示所抽取的3间教室中有i 个教室优秀,设抽取3间教室中至多有1个优秀为事件A ,则()()()3211212401331616121140C C C P A P A P A C C =+=+= （2）由表格数据可知,从16间教室中任选1个优秀的概率为41164=, 由题可知X 的可能取值为0,1,2,3,则()33270464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭,()2131********P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()22313924464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()3113464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭, 所以X 的分布列为X0 1 2 3P2764 2764 964 164所以()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查用样本估计总体,考查二项分布的分布列与期望,考查数据处理能力 19．已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值. 【答案】（1）1；（2）77. 【解析】（1）若AB ⊥CD ，得AB ⊥面ACD ，由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,解得a 2=1，成立;（2）四面体A ﹣BCD 体积最大时面ABD ⊥面BCD ，以A 为原点，在平面ACD 中过O 作BD 的垂线为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣CD ﹣B 的余弦值． 【详解】(1)若AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥面ACD ⇒AB ⊥AC . 由于AB=1, AD=BC=2 ,AC=a , 由于AB ⊥AC .,所以AB 2＋a 2＝BC,所以12＋a 2＝(2)2⇒a ＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 可以垂直,此时a 的值为1 (2)要使四面体A －BCD 体积最大，因为△BCD 面积为定值22， 所以只需三棱锥A －BCD 的高最大即可，此时面ABD ⊥面BCD . 过A 作AO ⊥BD 于O ，则AO ⊥面BCD ， 以O 为原点建立空间直角坐标系o xyz (如图)，则易知,显然，面BCD 的法向量为 ,设面ACD 的法向量为n r＝(x ，y ，z ), 因为所以，令y ＝2，得n r＝(1，2，2)，故二面角A －CD －B 的余弦值即为|cos n u u r r OA ，.【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.20．已知圆C :()22116x y -+=和定点()1,0F -,M 是圆C 上任意一点,线段MF 的垂直平分线交MC 于点N ,设动点N 的轨迹为E . (1)求E 的方程;(2)过点()1,0作直线l 与曲线E 相交于P ,Q 两点(P ,Q 不在x 轴上),试问:在x 轴上是否存在定点T ,总有OTP OTQ ∠=∠?若存在,求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在,定点()4,0T 【解析】（1）由题可得圆心C 为()1,0,由MN FN =可推出N 的轨迹是以C 、F 为焦点的椭圆,进而求出椭圆方程即可；（2）设存在点(),0T t 满足题意,当k 不存在时显然成立,当k 存在时,设直线l 为()1y k x =-,联立直线方程和椭圆方程,可得()()22224384120k x k x k +-+-=,利用韦达定理得到12,x x 的关系,由OTP OTQ ∠=∠可知0TP TQ k k +=,利用斜率公式整理求解即可 【详解】（1）由题,圆心C 为()1,0,半径4r =, 由垂直平分线的性质可知MN FN =,所以4FN CN MN CN MC r +=+===,所以由椭圆定义可知轨迹E 是以C 、F 为焦点的椭圆, 所以24a =,即2a =,因为1c =,所以2223b a c =-=,所以轨迹方程为:22143x y +=（2）存在,设存在点(),0T t 满足题意,当k 不存在时,由椭圆的对称性,x 轴上的点均符合题意； 当k 存在时,设直线l 为()1y k x =-,联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()()22224384120k x k x k +-+-=, 设()11,P x y ,()22,Q x y ,则2122843k x x k +=+,212241243k x x k -=+, 因为OTP OTQ ∠=∠,则0TP TQ k k +=,所以12120y yx t x t+=--,即()1221120x y x y t y y +-+=, 所以()()12122120kx x t k x x tk -+++=,则()2222412821204343k k k t k tk k k -⋅-+⋅+=++, 所以()24043t k k -=+,即()40t k -=,所以当4t =时,无论k 为何值,都满足题意, 所以存在定点()4,0T ,总有OTP OTQ ∠=∠ 【点睛】本题考查定义法求轨迹方程,考查椭圆的方程,考查椭圆中的定点问题,考查运算能力 21．已知函数()()22ln f x x a x a x =+++.(1)讨论函数()f x 的单调区间;(2)若存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =,证明:12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）先求导可得()()()()2122x a x a f x x a x x++'=+++=,令()0f x '=解得11x =-,22a x =-,由()f x 的定义域为()0,∞+,分别讨论02a -≤与02a->时的情况即可；（2）由（1）可判定当存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =时,0a <, 设()()()g x f x f a x =---,利用导函数可判断当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()()f x f a x >--,设设12x x <,则10,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,2,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭,将1x 代入可得()()11f x f a x >--,由()()12f x f x =可得()()21f x f a x >--,根据()f x 的单调性可得21x a x >--,则120x x a ++>,利用其即可证明1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭【详解】（1）由题,函数()f x 的定义域为()0,∞+,()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x+++++'=+++==, 令()0f x '=,即()()210x a x ++=,解得11x =-,22a x =-, 当02a-≤,即0a ≥时,在()0,∞+上()0f x '>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当02a ->,即0a <时,在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '>,所以()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 （2）证明:由（1）,当0a ≥时,()f x 在()0,∞+上单调递增,则不存在两个不相等的正数1x ,2x ,满足()()12f x f x =,所以0a <,设()()()()42ln ln g x f x f a x x a a x a x a =---=++---,则()()()()2222444x a a a x ax ax a ax g x x x a x x a x x a ++++-'=+-==+++, 令()0g x '=,解得2ax =-, 所以当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0g x '<,所以()g x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,所以()g x 在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()min 02a g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()0g x >, 即当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()()f x f a x >--, 由（1）得()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 不妨设12x x <,则10,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,2,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭, 所以()()11f x f a x >--,又因为()()12f x f x =,所以()()21f x f a x >--, 因为1,2a a x ⎛⎫--∈-+∞ ⎪⎝⎭,所以21x a x >--,即120x x a ++>, 因为()()1212121222x x x x a x x f x x +++++⎛⎫'=⎪+⎝⎭,1>0x ,20x >, 所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导数处理函数中的双变量问题,考查分类讨论思想和推理论证能力22．在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 12sin 1x y αα=-⎧⎨=+⎩(α为参数),在以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,P 为曲线C 上的一动点,求AB . 【答案】（1）22cos 2sin 20ρρθρθ+--=；（2）【解析】（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程,再转化为极坐标方程即可； （2）将4πθ=代入曲线C 的极坐标方程中,利用韦达定理求解即可【详解】（1）由题,曲线C 的普通方程为()()22114x y ++-=,即222220x y x y ++--=,因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,所以曲线C 的极坐标方程为:22cos 2sin 20ρρθρθ+--=（2）由题,将4πθ=代入22cos 2sin 20ρρθρθ+--=中,所以220ρ+--=,即220ρ-=, 所以120ρρ+=,122ρρ=-, 所以12AB ρρ=-===【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查曲线内的弦长问题23．已知函数()1f x x x a =++-. (1)当1a =时,求不等式()3f x <的解集; (2)若()2f x ≥的解集为R ,求a 的取值范围. 【答案】（1）33,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）3a ≤-或1a ≥ 【解析】（1）将函数整理为分段函数形式,分类讨论求解即可；（2）由()11f x x x a a ++-≥=+,转化问题为12a +≥,进而求解即可 【详解】（1）当1a =时,()11f x x x =++-,则()112,1112,11112,1x x x x f x x x x x x x x --+-=-<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪++-=≥⎩,所以当1x <-时,23x -<,解得32x >-,则312x -<<-； 当11x -≤<时,23<； 当1x ≥时,23x <,解得32x <,则312x ≤<,综上,解集为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭ （2）因为()()()111x x x a x x a a f =≥+--+=-++,第 21 页 共 21 页 则由()2f x ≥的解集为R 可得12a +≥,解得3a ≤-或1a ≥【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,考查绝对值三角不等式的应用,考查分类讨论思想。
重庆市育才中学2021届上学期高三年级8月高考适应性考试(二)数学试卷
重庆市育才中学2022届上学期高三年级8月高考适应性考试（二）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1已知集合{}1,25,5A x =，{}21,B x =，若A B A ⋃=，则实数x 的值为（ ）B 5-或5-或5±2已知复数1i1iz -=+，则z z +在复平面内对应的点在（ ） A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3函数()1ln 5f x x x=--的零点为0x ，则不等式02x x ->的最小整数解为（ ）B.44函数()3cossin 42x xf x x =+在[]2,2ππ-上的图象大致为（ ） A BC D5为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了“星等”这个概念星等的数值越小，星星就越亮，星等的数值越大它的光就越暗到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为k E （1,2k =）已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A.1.27B1.26已知a ，b 为正实数，直线2y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则12a b+的最小值是（ ）B 42D 227已知e 是自然对数的底数，关于x 的方程2x e x -=有两个不同的解1x ，2x （12x x <），则（ ）A 11x <，23x >B 11x >，23x <C 212x x e ⋅>D 121142x x <+<8已知偶函数()f x ，当0x ≥时，())2ln1f x x x =+，若()2log 3a f =-，()32log 2b f =，54c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A a b c >>B a c b >>C c a b >>D c b a >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市育才中学校2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题
圆 圆心 ， ，且
定点 在圆 的内部，故直线 与圆 相交．
（2） ，圆 的 等腰 中，圆心 到直线 的距离为 .
， 直线 的方程为
18.已知 ， ， ， ， 轴为 边中线．
（1）求 边所在直线方程；
（2）求 内角角平分线所在直线方程．
（1） ；（2） ．
所以平面 与平面 间的距离为 .故选项C正确；
因为 ，所以 ，
又 ，则 ，
所以点P到 的距离 .故选项D正确．故选：BCD.
12.已知底面半径为 的圆锥顶点为 ，底面圆心为 ， ．点 为 （不含端点）上的动点，若光线从点 出发，依次经过圆锥的侧面与底面反射后重新回到点 ，则光线经过路径长度的可能取值为（）
7.已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
D
先求出点 到圆心 的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案
设点 ，则 ，得 ，
圆 的圆心 ，半径为 ，
则
，
令 ，对称轴为 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 的最小值为 ，
所以 的最小值为 ，故选：D
8.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与 相关的代数问题，可以转化为点 与点 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数 ， 的最小值为（）
（1） ；（2）证明见解析．
（1）设 ，进而根据 建立方程，然后化简即可得到答案；
（2）设出直线AB的方程，代入圆的方程并化简，由根与系数的关系将 化简即可得到答案.
（1）设 ，则 ，故有 ，
，两边平方： ，两边平方化简得： ．
2021届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学试题(解析版)
2021届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}04,A x x x Z =<<∈，集合{}2,B y y m m A ==∈，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2,3C ．{}1,4,9D ．∅【答案】A【解析】先求得集合A ，由此求得集合B ，进而求得A B .【详解】依题意{}1,2,3A =，所以{}1,4,9B =，所以{}1A B ⋂=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．已知1223p x q x +><<：，：，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意:12p x +>⇔1x >或3x <-，利用充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-， 由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”； 由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”； 故p 是q 的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题. 3．设121iz i i+=--，则||z =（）A ．0B ．1C D ．3【答案】B【解析】先将z 分母实数化，然后直接求其模． 【详解】11122=2=211121i i i iz i i i i i i i z +++=---=---+=（）（）（）（） 【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．4．某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校，下列各图中，符合这一过程的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】第一段匀速慢，第二段停止，第三段加速，得出与学校的距离的变化情况，即可得出结论. 【详解】由于开始匀速行驶，所以离学校的距离匀速减少， 中间一段停留，与学校距离没变，然后加速赶到学校， 与学校的距离在同样的时间段内减少的越来越快， 故选：C . 【点睛】本题考查函数的图象以及函数的实际应用，属于基础题. 5．若(21)65f x x +=+，则()f x 的解析式是 A ．()f x =32x + B ．()f x =31x + C ．()f x =31x - D ．()f x =34+x【答案】A【解析】令21x t +=换元，整理可得()()31532f t t t =-+=+，所以()32f x x =+ 【详解】 令()()()121,,31532,322t x t x f t t t f x x -+=∴=∴=-+=+∴=+，故选A 【点睛】已知复合函数的表达式，求外层函数的表达式用换元法． 6．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的区间是（ ） A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,1)e -C ．(1,2)e -D ．(2,)e【答案】C【解析】根据对数函数的性质可得而(1)0f e -<且(2)0f >，利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()()2ln 1f x x x=+-在()0,∞+上单调递增且连续， 而22(1)ln(11)1011f e e e e -=-+-=-<--， 2(2)ln(21)ln 3102f =+-=->， 即()(1)20f e f -<， 所以，函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的区间是()1,2e -，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于中档题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 7．设4log 9a =，122-=b ，13827c -⎛⎫= ⎪⎝⎭则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【解析】利用指数、对数函数的单调性，以及适当的中间量，即可得出答案. 【详解】因为44233log 9log 8log 222a =>==,1383272c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12022231b -<==<，所以a c b >>， 故选：C 【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于基础题. 8．函数32ln ||()x x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项． 【详解】解：函数的定义域为{0}xx ≠∣， 因为3322()ln ||ln ||()()()x x x x f x f x x x-----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x xf x x x x-==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B 故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．9．已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，则值域也为[1,2]-的函数是（ ）A ．2()1y f x =+B ．(21)y f x =+C ．()y f x =-D ．|()|y f x =【答案】B【解析】已知()f x 的定义域和值域，然后可根据各选项所给函数的特点分别分析函数的值域；这里的选项所给的均是常见的平移、伸缩、对称、翻折变换，可从这几个方面入手. 【详解】()f x 的定义域为R ，值域为[1,2]-，即1()2f x -≤≤；∴A．2()1[1,5]=+∈-y f x ，即2()1y f x =+的值域为[1,5]-，∴该选项错误； B ．(21)[1,2]=+∈-y f x ，即(21)y f x =+的值域为[1,2]-，∴该选项正确； C ．()[2,1]=-∈-y f x ，即()y f x =-的值域为[2,1]-，∴该选项错误； D ．()[0,2]y f x =∈，即|()|y f x =的值域为[0,2]，∴该选项错误．故选B ． 【点睛】函数图象常见的四种变换：平移、伸缩、对称、翻折. 平移：()()y f x y f x A =⇒=+；伸缩：()()y f x y Af x =⇒=或者()y f Ax =；对称：()()y f x y f x =⇒=-（关于x 轴对称）或者()y f x =-（关于y 轴对称）；翻折：()|()|y f x y f x =⇒=（将x 轴下方图象翻折到上方）或者(||)y f x =（将y 轴右边图象翻折到左边）.二、多选题10．设非空集合P ，Q 满足P Q Q ⋂=，且P Q ≠，则下列选项中错误的是（ ）． A ．x Q ∀∈，有x P ∈ B ．x P ∃∈，使得x Q ∉ C ．∃∈x Q ，使得x P ∉ D ．x Q ∀∉，有x P ∉【答案】CD【解析】由两集合交集的结果推出Q 是P 的真子集，再根据真子集的概念进行判断. 【详解】因为P Q Q ⋂=，且P Q ≠，所以Q 是P 的真子集， 所以x Q ∀∈，有x P ∈，x P ∃∈，使得x Q ∉，CD 错误.故选：CD 【点睛】本题考查集合交集的概念、真子集的概念，属于基础题.11．已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()()422f x f x f +-=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的1x ，()20,2x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（ ）．A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的周期4T=C ．()20220f =D ．()f x 在()4,2--单调递减【答案】ABC【解析】由()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(11)(11)f x f x +-=--，即()()f x f x -=，故()f x 是偶函数，可判断A 的正误；由()()()422f x f x f +-=，令2x =-，可得(2)0f =，则(4)()f x f x +=，得到()f x 的周期，可判断B 的正误；又()f x 在(0,2)递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD 是否正确. 【详解】由()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(11)(11)f x f x +-=--， 即()()f x f x -=，故()f x 是偶函数，A 正确；由()()()422f x f x f +-=，令2x =-，可得(2)0f =，则(4)()f x f x +=， 则()f x 的周期4T=，B 正确；()2022(45052)(2)0f f f =⨯+==，故C 正确；又()f x 在(0,2)递增，则(2,0)-递减，由周期4T =，则()f x 在()4,2--单调递增，故D 错误. 故答案为：ABC 【点睛】本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD【解析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．三、填空题13．151lg 2lg 222-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=______． 【答案】1-【解析】【详解】试题分析：15155lg 2lg 2()lg lg 42lg(4)2lg1021212222-+-=+-=⨯-=-=-=-． 【考点】对数的运算．14．若()y f x =的定义域为(]0,2，则函数()()21f xg x x =-的定义域是______. 【答案】()0,1【解析】根据抽象函数的定义域的求法，求得()g x 的定义域. 【详解】由于()y f x =的定义域为(]0,2， 故对()g x 有0220110x x x <≤⎧⇒<<⎨-≠⎩，所以()g x 的定义域为()0,1.故答案为：()0,1 【点睛】本小题主要考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.15．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为______.【答案】7【解析】判断出()f x 的奇偶性和周期性，画出()f x 和cos y x π=在[]1,3-上的图象，根据对称性求得所求. 【详解】依题意()f x 是定义在R 上的偶函数，由于()()11f x f x =+-， 所以()f x 是周期为2的周期函数.由于函数cos y x π=的最小正周期为22ππ=，所以cos y x π=的最小正周期为1，且()()cos cos x x ππ-=，所以函数cos y x π=为偶函数.画出()f x 和cos y x π=在[]1,3-上的图象如下图所示（画()f x 两个周期的图象，不影响后续分析），由图可知，在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，两个函数图象的交点共7个，其中6个两两分别关于直线1x =对称，有一个是()1,1，所以关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为3217⨯+=.故答案为：7【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，属于中档题.16．已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______． 【答案】e 【解析】由题意可得()()00f x g x =，()()00''f x g x =，联立后把b 用含有a 的代数式表示，再由导数求最值得答案．【详解】 设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <． ∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．四、解答题17．在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠所对的边，已知()3cos cos -=b c A a C ；（1）求cos A 的值：（2）已知2AB =，ABC，求BC 的长. 【答案】（1）13；（2）3. 【解析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和差的正弦公式整理即可得结果；（2）由（1）知1cos 3A =，所以sin A =，由面积公式可得AC 的值，再利用余弦定理即可求得BC 的长. 【详解】（1）由正弦定理得：()3sin sin cos sin cos B C A A C -=, 即3sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+ ， 所以()3sin cos sin sin B A A C B =+=， 因为sin 0B ≠，所以3cos 1A =，得1cos 3A =，（2）由（1）知1cos 3A =，所以sin A ，1sin 2ABCSAB AC A =⨯⨯⋅=，即122AC ⨯⨯=，解得：143AC =， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅2214141176161122233399⨯⎛⎫=+-⨯⨯⨯==⎪⎝⎭，所以3BC = 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，涉及两角和的正弦公式，属于中档题.18．为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，某学校抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在寒假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间[]2,4的有8人．（I ）求直方图中a 的值及甲班学生平均每天学习时间在区间(]10,12的人数； （II ）从甲、乙两个班平均每天学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为k ，求k 的分布列和数学期望． 【答案】（I ）3；（II ）127. 【解析】试题分析：（I ）由直方图能求出a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间1012]（，的人数；（II ）由已知得ξ的所有可能取值为0123，，，，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望.试题解析：（I ） 由直方图知，()0.150.1250.10.087521a ++++⨯=，解得0.0375a =，因为甲班学习时间在区间[]2,4的有8人，所以甲班的学生人数为8400.2=，所以甲、乙两班人数均为40人． 所以甲班学习时间在区间(]10,12的人数为400.03753⨯=（人）． （II ）乙班学习时间在区间(]10,12的人数为400.0524⨯⨯=（人）． 由⑴知甲班学习时间在区间(]10,12的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，k 的所有可能取值为0，1，2，3．()0434471035C C P k C ===，()13344712135C C P k C ===， ()22344718235C C P k C ===，()3134474335C C P k C ===． 所以随机变量k 的分布列为：k0 1 2 3112184120123353535357Ek =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：()21=+n n nb a a ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）12n a n =；（2）21n n T n =+. 【解析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得n T . 【详解】（1）依题意0n a >，212n n n S a a =+， 当1n =时，211112a a a =+，解得112a =；当2n ≥时，212n n n S a a =+，211112n n n S a a ---=+，两式相减并化简得()11102n n n n a a a a --⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，其中10n n a a ->+，所以1102n n a a ---=， 即()1122n n a a n --=≥. 所以数列{}n a 的通项是首项为112a =，公差为12的等差数列，所以12n a n =. （2）由（1）得()12n n n b +=，所以()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以11111212231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎡⎤=-=⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查已知n S求n a，考查裂项求和法，属于中档题.20．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：()222210x ya ba b+=>>的离心率为22，直线l：2y=上的点和椭圆Ω上点的最小距离为1.（1）求椭圆Ω的方程：（2）已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F.记直线AC与AB的斜率分别为1k，2k.①求证：12k k⋅为定值；②求AEF的面积的最小值.【答案】（1）2212xy+=；（22.【解析】（1）根据已知条件得到,cba，结合222a b c=+求得,,a b c的值，从而求得椭圆Ω的方程.（2）①设出,B C两点的坐标，计算1212k k⋅=-，由此证得结论成立.②求得直线,AC AB的方程，由此求得,E F两点的坐标，由此求得EF的最小值，进而求得AEF的面积的最小值.【详解】（1）依题意可知2222221caba b c⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b c===，所以椭圆Ω的方程为2212xy+=.（2）①设()()0000,,,B x yC x y--，且02x<≤.则222200001,122x xy y+=-=-.00120011,AC AB y y k k k k x x +-====，所以20200012220000111122x y y y k k x x x x -+--⋅=⋅===-为定值. ②直线AC 的方程为0011y y x x +-=⋅，令2y =解得001F xx y =+， 直线AB 的方程为0011y y x x --=⋅，令2y =解得001E x x y =-， 所以()()()()000000020000011211111x y x y x x xEF y y y y y --+=-==+-+-- 020002442x x x x ===-， 由于002x <≤，所以00124,222x x ≥≥， 也即EF 的最小值为22. 所以AEF 的面积的最小值为()1222122⨯⨯-=. 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.21．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，过A 、B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F .已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF ，如图2.（1）若AF BD ⊥，证明：BDE 为直角三角形； （2）若//DE CF ，3CD =ADC 与平面ABFE 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)5【解析】（1）由AF BE ⊥，AF BD ⊥可得AF ⊥平面BFE ，得出AF DE ⊥，结合DE AE ⊥即可得出DE ⊥平面ABFE ，故而DE BE ⊥；（2）求出CFE ∠的大小，以E 为原点建立空间坐标系，求出平面ACD 和平面ABFE 的法向量，计算两法向量的夹角即可得出二面角的大小． 【详解】（1）证明：连接BE ，由已知可知四边形ABFE 是正方形，AF BE ∴⊥， 又AF BD ⊥，BE DE E ⋂=，AF ∴⊥平面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，AF DE ∴⊥，又DE AE ⊥，AE AF F ⋂=，DE ∴⊥平面ABFE ，又BE ⊂平面ABFE ，DE BE ∴⊥，即BDE ∆为直角三角形．（2）取CF 的中点M ，连结DM ，则四边形DEFM 是平行四边形，2DM EF ∴==，112CM CF ==，又CD =1431cos 2122CMD +-∴∠==⨯⨯，即60CMD CFE ∠=∠=︒，过E 作EG EF ⊥，则EG ⊥平面ABFE ，以E 为原点，以EA ，EF ，EG 为坐标轴建立空间直角坐标系， 则(2A ，0，0)，(0C ，1，(0D ，12-，∴(2AC =-，1，(2AD =-，12-，设平面ACD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则·0·0n AC n AD ⎧=⎨=⎩，即201202x y x y z ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，令z =(1n =，1-， 又GE ⊥平面ABFE ，∴(0m =，0，1)是平面ABFE 的一个法向量，·3cos ,5m n m n m n ∴===， 由图形可知平面ADC 与平面ABFE 所成角为锐二面角，∴平面ADC 与平面ABFE 所成角的余弦值为155．【点睛】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．22．已知()sin f x x =，()ln g x x =，()21=--h x x ax .（1）若[]0,1x ∈，证明：()()1≥+f x g x ； （2）对任意(]0,1x ∈都有()()()0+->f x eh x g x ，求整数a 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）构造函数()()()sin ln 101F x x x x =-+≤≤，利用二阶导数的方法证得()()00F x F ≥=，由此证得结论成立.（2）先求得1x =时，a 的取值范围，再结合（1）的结论，求得a 的最大值. 【详解】（1）设()()()sin ln 101F x x x x =-+≤≤，()'1cos 1F x x x =-+，注意到()'00F =. 设()()()()21',sin 1x F x x x x μμ==-+'，()x μ'在[]0,1上递减，()11sin104μ=-<'，()010μ'=>，所以存在唯一零点()00,1x ∈，使得()00x μ'=. 则()'F x 在()00,x 上递增，在()0,1x 上递减.()'111cos1cos 0223F π=-+>-+=，()'00F =，所以()'0F x >在()0,1上恒成立，所以()F x 在[]0,1上递增.所以()()00F x F ≥=，即()0F x ≥， 所以当[]0,1x ∈时()()1≥+f x g x .（2）因为对任意(]0,1x ∈，不等式()()()0+->f x eh x g x 恒成立，即sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立. 令1x =，则sin1sin10,e a e a ->>，由（1）知sin1ln 2>，所以ln 2sin1123e e e =<<<， 由于a 为整数，所以2a ≤.因此sin 2sin 21ln 21ln x x e x ax x e x x x +---≥+---. 下证明()sin 221ln 0xH x ex x x =+--->在区间(]0,1恒成立即可.由（1）知()sin ln 1x x >+在区间(]0,1恒成立，即sin 1x e x >+， 故()22121ln ln H x x x x x x x x >++---=--，设()(]2ln ,0,1G x x x x x =--∈，则()()()2'211121210x x x x G x x x x x+---=--==≤， 所以()G x 在(]0,1上递减， 所以()()10G x G ≥=， 所以()0H x >在(]0,1上恒成立. 综上所述，整数a 的最大值为2. 【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于较难题.。
重庆育才中学高一2020-2021学年上1月月考数学卷及答案
数学试题
2021.1
木试卷分为第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
注意习J项： L答卷时济考生务必把自己的姓名， 准考证号烦写在答题卡上． 2. 作答时，诮务必将答案写在答昢卡上 ， 写在本试卷及华稿纸上无效． 3. 考试结束后， 将答昢卡交回．
=�1
9
:.
a=�1
3
5] 2 ＝（ X
... f(x) 1 在R上递减， 2 年＋ 2 :. /(2) 汀 (b + 2)
:.（勹 2 (2) ·:x�O, :.x -2x�-1
止2x
3
�3
:. g(x) 的值域为 (0,3]
19解： （I) T= 兀 (fJ＝王 6
＋日 (II) 由（ I) 得，八x)= sin(2x
附加题：
(1) 假设 f(i) 为 f(1),/(2),.. ·,J(n-1) 中第 一个大于 0 的值，则 J(i)- f(i-1)>0, 因为函数 f(x) 具有性
质P, 所以，对于任意 nEN. ，均有 f(n+ l)- f(n)�f(n)- f(n-1), 所以 f(n)- f(n-1)�f(n-1)- f(n-2)�L�f(i)-J(i-1)>0, 所以 f(n)=[J(n)-f(n-1)］+ … +[J(i +l)－几）］＋ f(i)>O, 与 f(n)=O 矛盾，
C. c<a<b
5.已知函数f(X+ 1) =2X-3,若f(m) =4，则 ）
7
{\.
2
9 B. 2
重庆市育才中学2020-2021学年高三下学期数学周考试题2021.05.11 含答案
重庆市育才中学高2021届高三周考试题（20210511）数 学一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的.1.已知集合{}{}2=230,02A x Z x x B x x ∈+-≤=≤≤，则A B ⋂的真子集个数为（ ）.1A .2B .3C .4D2.若复数12(iz i i -=为虚数单位），则z =（ ）.5A .2B .3C .1D3.若36,,39x x y x y R y x y >+>⎧⎧∈⎨⎨>⋅>⎩⎩是成立的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也必要不充分条件4.下列函数中，最小值为2的函数是（ ）A.21222+++=x x y B.x x y 12+=C.()()220,22<<-=x x x y D.1222++=x x y5.圆台的两个底面面积之比为9:4，母线与底面的夹角是60，轴截面的面积为3180，则圆台的侧面积为（ ）.A.π31200B.π180C.π31368D.π3606.已知(,)P x y 为圆2(1)(3)1x y -+-=2上的一个动点，点P 到直线0x y +=的距离为PM，则PM OP的最小值为（ ）1.2A 2B 3C 6+2D7.已知函数()sin()0)f x xωω=>（在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()1f x =在区间[]0π，上有且仅有一个解，则ω的取值范围是（ ）3.0)4A （， 3.4B ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3，2 1.2C ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3，2 13.,24D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形面积为（ ）433.A 1.B 23.C 43.D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市育才中学2020-2021学年高三上学期周考数学测试题
重庆市育才中学2021届高三上期（11.29）周考数学测试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量(2,1),(1,),==-⊥a b x a b , 则x 的值为 A.12-B.-1C. 2D.-2 2．已知函数e ,0,()1,0⎧≤=⎨->⎩x x f x x x ,则f (f (1))=A.0B. 1C. eD. 1-e3．已知集合{|||}==A x x x ,集合2{|430}=++>B x x x , 命题p : x ∈A , 命题q : x ∈B , 则p 是q 的 A.充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4．复数z 满足| z -1|=1,则| z |的最大值为 A.1B. 2C. 3D. 25．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛．现将四位同学安排在1, 2,3, 4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有( )种． A. 12B. 14C. 16D. 186．如图1,在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形. PA ⊥底面ABCD , PA =AB =2, AD =4. E 为P C 的中点，则异面直线P D 与BE 所成角的余弦值为 A.35B.3010 C.1010D.310107．科克曲线 ( Koch curve) (如图 2) 是一种典型的分形曲线．它是科克(Koch ，H. von)于1904年构造出来的．其形成如下：把一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形. 取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷．外界的边比原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花．它是一个无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但总面积不会超过起初三角形的外接圆．按照上面的变化规则，第四个图形的面积与第三个图形的面积之差为A.23243 B.43243C.163243 D.398．已知函数221()cos ,()2=--=-f x x x g x x k , 若f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，则k 的值为A. -1B. 0.C. 1D . 2二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分) 9．函数g (x ) = ln(2x +1) -ln( 2x -l ) , 关于g ( x ) 下列说法正确的是 A ．定义域为( 0 ,+∞) B ．值域为(0, +∞) C ．g (x )为减函数 D ．g (x )为奇函数10．已知函数f ( x ) = 2(| sin x | +sin x )• cos x , 关于f ( x )下列说法正确的是A ．f (x )为奇函数B ．2π为f (x )的周期C ．f ( x )的值域为[ -2,2]D ．f (x )的单调增区间为[2k π, 2k π+π4](k ∈Z )11．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上一动点（包括端点），则以下结论正确的有A. 三棱锥P –A 1BD 的体积为定值13B. 过点P 平行于平面A 1BD 的平面被正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为32C. 直线PA 1与平面A 1BD 所成角的正弦值的范围为36[,]D. 当点P 与B 1重合时，三棱锥P - A 1BD 的外接球的体积为32π 12．设a >0, b >0, a +b = 1, 则A ．a 2 +b 2的最小值为12B ．4a +1b的范围为[ 9 , +∞)C ．ab的最小值为2 2 D ．若c > l , 则2311(2)1+-⋅+-a c ab c 的最小值为8三、填空题（本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应位置上） 13．二项式5()+x x x展开式中的常数项为＿＿＿＿．14．某产品的广告投入x (万元)与销售额y (万元)具有较强的线性相关性,该产品的广告投入x (万元)与相应的销售额y (万元)的几组对应数据如下表所示:x 1 2 3 4 y356ac15．已知双曲线()222:10y C x b b-=>左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线分别交双曲线C 的两条渐近线于点M ，N 两点.若点M 是线段2F N 的中点，且12NF NF ⊥，则b =16．在在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b ,c , ∠B = 60° ,且b 2s in A c os C +bc sin B cos A =4s in B ,则b =, a +2c 的最大值为 ．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．( 本小题满分10分）2020年10月，第27届全国中学生物理学奥林匹克竞赛，在重庆育才中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[ 50, 60) , [ 60,70) , [ 70,80) , [ 80 ,90) , [ 90,100 ]的分组作出频率分布直方图如图 4 所示. （1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计这 50 名学生成绩的中位数；（2）若按照分层随机抽样从成绩在[ 80, 90) , (90, 100] 的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[ 90 , 100] 的人数，求ξ的分布列和数学期望．18．( 本小题满分 12 分） 在①sin sin sin +=--A b cB C b a ,②3sin =c a A,③23=⋅S CA CB 这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , S 为△ABC 的面积，若. （1）求角C 的大小；（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点,线段BD 的长度为2 , 求△ABC 的面积S 的最大值.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）19．( 本小题满分12 分）已知数列{a n }满足a 2 =2, a 5 =5,且122,2,2++n n n a a a 构成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；的（2）S n 为数列{2}n a 的前n 项和，记12++=⋅n n n n S b S S , 求证：b 1+b 2+…＋b n <12 .20．( 本小题满分 12 分） 已知函数f ( x ) = ax 2-2ln x .（1）当 a = 1时，求y =f ( x )在点(1, f (l))处的切线方程； （2）若对∀x ∈[l, 3], 都有f (x )≤14恒成立，求a 的取值范围.21．( 本小题满分 12 分）如图 5, 四边形ABCD 是一个边长为2的菱形，且∠B =π3，现沿着AC 将△ABC 折到△EAC 的位置，使得平面EAC ⊥平面ACD , M , N 是线段EC , ED 上的两个动点（不含端点），且=EM ENEC ED,平面AMN 与平面ACD 相交于l .（1）求证：l //MN ;（2）P 为l 上的一个动点，求平面PEC 与平面ACD 所成锐二面角的最小值．22． ( 本小题满分 12 分）已知椭圆22221(0)：+=>>x y C a b a b的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 作斜率为33的直线与C 相交于A , B ,且AB ⊥OB ，O 坐标原点． （1）求椭圆的离心率e ;（2）若b =l ，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P , Q 两点，( i ) 求k OP •k OQ 的值；( ii) 点M 满足2=OM OP ，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NMNQ的值．重庆市育才中学2021届高三上期（11.29）周末考试测试题答案一、选择题CBAD BBBC二、多选题ABC BC BCD ABD三、填空题37．由观察可知：第一个图形有3条边，第二个图形有12条边（不算里面绿色的这条边，每一条边变为4条边），第三个图形有48条边，第四个图形有192条边，后一个图形与前一个图形相比，每一条边会增加一个边长为前面边长的13的小三角形，故第二个图形比第一个图形多3个小三角形（第一个图形3条边），第三个图形比第二个图形多12个小三角形，第4个图形比第三个图形多48个小三角形，故面积之差为214827⎛⎫=⎪⎝⎭，故选B．8．即f（x）＝g（x）有唯一解，即23cos2k x x=+有唯一解，令()23cos2h x x x=+，h′（x）＝3x-sinx，h″（x）＝3-cosx＞0，所以h′（x）在R上单调递增．又h′（0）＝0，当x∈（-∞，0）时，h′（x）＜0，当x∈（0，＋∞）时，h′（x）＞0，故h（x）在（-∞，0）上减，在（0，＋∞）上单增，h（x）min＝h（0）＝1．当x→-∞时，h（x）→＋∞，当x→＋∞时，h（x）→＋∞，故k＝h（x）有唯一解，k ＝1，故选C．11．A选项111111326P A BD A PBDV V--===，A不正确；B选项此平面为平面B1D1C，故三角形B1D1C2B选项正确；由等体积法知：点P到平面A1BD，当点P在线段B1D1上运动时，|PA1|max＝1（P为端点时），1min||2PA=，设直线PA1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ∈⎣⎦，C正确；∠B1BD＝∠B1A1D＝90°，所以三棱锥P-A1BD的外接球的球心为B1D锥P-A1BD，D正确，故选BCD．12．A选项：由()222122a ba b++=≥，当且仅当12a b==时取等，知A正确；B选项：()41414559b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=+++=⎪⎝⎭≥，当且仅当223a b==，13b=时取得最小值9，B选项正确；C11a b++==121219412222+=+=，C选项不正确；D选项：()2223314224a a ba a bab ab b a+++-=-=+≥．当且仅当b＝2a，13a=，23b=时取等，()231112414811a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+-++⎪--⎝⎭≥≥，当且仅当32c =时取等，选项D 正确，故选ABD ． 17．解：（1）（0.012＋0.024＋0.04＋a ＋0.008）×10＝1，∴a ＝0.016，∵[50，60），[60，70）的概率之和为（0.012＋0.024）×10＝0.36．∴中位数为0.14701073.50.4+⨯=（分）．（2）[80，90）共0.016×10×50＝8（人），[90，100]共0.008×10×50＝4（人）． ∴[80，90）抽取了4人，[90，100]抽取了2人． ξ的取值为0，1，2．()3436C 10C 5P ξ===，()214236C C 31C 5P ξ===，()124236C C 12C 5P ξ===，∴()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=．18．解：（1）选①：sin sin sin A b c B C b a +=--，∵由正弦定理得a b cb c b a+=--， ∴a （b-a ）＝（b ＋c ）（b-c ），即a 2＋b 2-c 2＝ab ，∴1cos 2C =，∵C ∈（0，π），∴π3C =．选②：由正弦定理得sin sin C A =cos 1C C =+， π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵C ∈（0，π），∴ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ππ66C -=，∴π3C =．选③：2S CB =⋅，sin cos ab C C ，∴tan C C ∈（0，π），∴π3C =． （2）在△BCD 中，由余弦定理知a 2＋（2b ）2-2×a×2b×cos60°＝22， ∴a 2＋4b 2-2ab ＝4≥2·a·2b -2ab ＝2ab ，∴ab≤2，当且仅当a ＝2b ， 即a ＝2，b ＝1时取等号，此时ab 的最大值为2，面积1sin 2S ab C ==． 19．（1）解：2n a ，12n a +，22n a +构成等比数列，∴()122222n n n a a a ++=⋅，∴2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是一个等差数列，由a 2＝2，a 5＝5，3d ＝a 5-a 2，∴d ＝1，a 1＝1，a n ＝a 1＋（n-1）d ＝n ．（2）证明：22n a n =，∴{}2na 是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，∴()12122212n n n S +-==--，∴()()1121221122222222n n n n n n b +++++==----⋅-， ∴1223341221111111112222222222222222n n n n b b b ++++++=-+-++-=-<-------． 20．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝x 2-2lnx ，f （1）＝1，()2'2f x x x=-，k ＝f′（1）＝0，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝1．（2）法一：由题意()max 14f x ≤，()()2212'2ax f x ax x x-=-=．①当a≤0时，f′（x ）＜0，f （x ）在[1，3]上单调递减，∴()()max 114f x f a ==≤恒成立，∴a≤0；②当a＞0时，f′（x ）＞0，x >，∴f （x ）在⎛⎝上单减，在⎫+∞⎪⎭上单增， 1，a≥1时，f （x ）在[1，3]上单增，()()max134f x f =≤，12ln 349a +≤，舍去；3，109a <≤时，f （x ）在[1，3]上单减，()()max 114f x f =≤，14a ≤，∴109a <≤；（ⅲ）当13<<，119a <<时，f （x ）在⎡⎢⎣上单减，⎤⎥⎦上单增， ()()11,413,4f f ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤14a ≤，∴1194a <≤， 综上，14a ≤．法二：()212ln 4f x ax x =-≤恒成立，212ln 4xa x +≤，令()212ln 4x g x x+=，()334ln 2'x g x x -=，g′（x ）＞0，381e x <<， ∴g （x ）在[1，38e ]上单增，[38e ，3]上单减，()114g =，()12ln 314394g +=>， ∴()min 14a g x =≤． 21．（1）证明：∵EM ENEC ED=，∴MN ∥CD ， ∵MN ⊄平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，∴MN ∥平面ACD ，∵平面AMN 与平面ACD 相交于l ，MN ⊂平面AMN ，∴l ∥MN ．（2）解：AB ∥CD ，由（1）可得MN ∥CD ，∴AB ∥CD ，∴A ，B ，M ，N 四点共面， 平面AMN∩平面ACD ＝AB ＝l ，∴P 在AB 上，如图，取AC 的中点为O ，π3B ∠=，则BO ⊥AC ，EO ⊥AC ，平面EMC ⊥平面ACD ， 平面EAC∩平面ACD ＝AC ， ∴EO ⊥平面ACD ．法一：以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，-1，0），B0，0），C （0，1，0），D（0，0），E （0，0设AP AB λ=，),1,0Pλ-，则(0,1,EC =，()3,2,0CP λλ=-，平面EPD 的法向量(),,n ab c =，则()0,320,EC n b CP n a b λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令c ＝λ，则a ＝2-λ，b =， ()2,n λλ=-，平面ACD 的法向量为()0,0,1m =，∴cos ,n m <>=，∵平面PEC 与平面ACD 所成角为锐二面角，令λ＞0，∴1cos ,2n m <>===， 当且仅当λ＝2时取等，此时平面PEC 与平面ACD 所成锐二面角有最小值π3． 法二：EO ⊥平面ACD，且EO =O 作OF ⊥PC 于F ，连接EF ， 则EF ⊥PC ，∴∠EFO 为所求锐二面角的平面角，记为θ，∴tan EO OF θ==，当OF 最大时，θ最小， ∵OF ⊥FC ，∴F 在以OC 为直径的圆上，当F 与C 重合时，|OF|max ＝1，∴tan OE OF θ==， ∴θ的最小值为π3．22．解：（1）已知|OA|＝a ，||2a OB =，π6BAF ∠=，则4a B ⎛- ⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225a b=，a =，∴2c b =，∴c e a =． （2）（i ）由（1）可得b ＝1，a C ：2215x y +=，设直线l：2x =+，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 3，y 3）． ∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立直线l 与椭圆C的方程：222,55,x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2810y +-=，Δ＞0恒成立，12y y +=，1218y y =-，∴))12121212522348x x y y y y =++=+++=， ∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅱ）设NM NQ λ=，()01NM NQ λλ=<<，1133,22x y NM x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2323,NQ x x y y =--，()()13231323,2,2x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩∴()()123123221,221,x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩()()()()31231212,2112,21x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴221155x y +=，222255x y +=，223355x y +=，()()()()2212122222554141x x y y λλλλ--+=--，∴()()()2222221122121254545201x y x y x x y y λλλ+++-+=-，由（ⅰ）可知x 1x 2＋5y 1y 2＝0，∴1＋4λ2＝4（1-λ）2，∴38λ=， ∴38NM NQ =．。
重庆市育才中学、万州高级中学及西南大学附中2024届高三上学期12月三校联考数学试题含答案解析
西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学高2024届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试数学试题（满分：150分：考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足2i i 0z z -⋅+=，则复数z 的虚部为（）A.15-B.1i5- C.25 D.2i 52.设集合{}1,0,1A =-，{}12,xB y y x A ==-∈，则A B ⋂中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.43.已知π2αβ+=，则2214sin sin αβ+的最小值为（）A .6B.8C.9D.104.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱1AA a =，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过AC ，BC ，11A C ，11B C 的中点，那么当底面ABC 水平放置时，水面高为（）A.4a B.2a C.34a D.a5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（）种A.90B.125C.180D.2436.[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.32=，[]1.92-=-，已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2145n n n a a a +++=，若[]21log n n b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2023S =（）A.20232022⨯ B.20232024⨯ C.20232026⨯ D.20232028⨯7.过双曲线22221x y a b-=上任一点()00,P x y 作两渐近线的平行线PE ，PF 且与两渐近线交于E ，F 两点，且1EF OP k k =，则双曲线的离心率为（）A.3B.3C.2D.28.已知1tan 0.01sin 0.01a =+，100b =，1051232c ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，则（）A.a b c>> B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()sin f x x k ωϕ=++ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图象中相邻两条对称轴的距离是π2，现将()f x 的图象向右平移个π8单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，且最大值为2，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期是2πB.()f x 的图象关于直线π8x =对称C.()f x 的图象关于点5π,18⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 在3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减10.对自然人群进行普查，发现患某病的概率()0.005P C =.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被确诊为患病”，则有()()0.95P A C P A C ==.根据以上信息，下列判断正确的是（）A.()0.95P C = B.()0.005P AC <C.()0.05P A C = D.()0.1P C A =11.统计学中的标准分z 是以平均分X 为参照点，以标准差x σ为单位，表示一个数据x 在整组数据中相对位置的数值，其计算公式是i i xx Xz σ-=（1,2,,i n =⋅⋅⋅）.若一组原始数据如下：序号()i 12345对应值()i x 105668则下列说法正确的是（）A.该数组的平均值7X = B.3x 对应的标准分30.1z >C.该组原始数据的标准分z 的方差为1D.存在i j ≠，使得i j x x >，i j z z <同时成立12.定义域为R 的函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且()()f x g x '=，()()0f x g x ''+=，则下列说法错误的为（）A.当0x 是()f x 的零点时，0x 是()g x 的极大值点B.当0x 是()f x 的零点时，0x 是()g x 的极小值点C.()f x ，()g x 可能有相同的零点D.()f x ，()g x 可能有相同的极值点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,3,4m a a n a a =-+-=-+，若()//m n m + ，则实数a ＝___.14.已知π,02α⎛⎤∈-⎥⎝⎦，sin tan 2cos ααα=，则tan α=______.15.过直线2y =上任意一点P 作圆O ：221x y +=的两条切线，则切点分别是,A B ，则OAB 面积的最大值为______.16.已知四面体ABCD满足BC CD BD ===，它的体积为，其外接球球O 的表面积为100π，则点A 在球O 表面的轨迹长度为__________；线段AB 长度的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，2122a a ==，且22,4,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前10项和10S .18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos 2c a A B b A =-（A B ≤）.（1）求A ；（2）若AD 是角A 的内角平分线，且2AD =，求ABC 周长的最小值.19.已知三棱锥-P ABC 中，2AB AC ==，BA AC ⊥，π3PAC PAB ∠==∠，4PA =.（1）求点P 到平面ABC 的距离；（2）求平面PAB 与平面PBC 夹角的正弦值.20.在直角坐标系xOy 中，动点P 到y 轴的距离比点P 到点()1,0F 的距离少1.（1）求动点P 的轨迹方程W ；（2）当0x ≥时，过点()4,0M 的直线与W 交于,A B 两点，连接AF ，BF 延长与W 分别交于C 、D 两点，求FCD 与FAB 面积之和FCD FAB S S +△△的最小值.21.“大地”渔业公司从A 、B 两不同设备生产厂商处共购买了80台同类型的设备.（1）若这80台设备的购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：从A 处购买（台）从B 处购买（台）运行良好（台）4614出现故障（台）146试根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；（2）若每台设备发生故障的概率都是0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人的方案，甲方案是由4个人维修，每个人各自独立负责20台；乙方案是由3个人共同维护这80台.请判断在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的建议.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.010.005x α2.7063.8416.6357.87922.设函数()sin cos f x x x x =-，()21cos 2x g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）①当[]0,πx ∈时，证明：()0f x ≥；②当[]π,πx ∈-时，求()g x 的值域；（2）若数列{}n a 满足11a =，1cos n n n a a a +=，0n a >，证明：()1231233cos cos cos cos 2n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<（*N n ∈）.西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学高2024届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试数学试题（满分：150分：考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足2i i 0z z -⋅+=，则复数z 的虚部为（）A.15-B.1i5- C.25 D.2i 5【答案】A 【解析】【分析】设复数z 的代数形式，代入运算，由复数相等的条件求解方程组即可.【详解】设i(,)z a b a b =+∈R ，代入2i i 0z z -⋅+=得，i 2(i)i i 2(21)i 0a b a b a b b a +-++=++-+=，则有20210a b b a +=⎧⎨-+=⎩，解得2515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即复数z 的虚部为15-.故选：A.2.设集合{}1,0,1A =-，{}12,xB y y x A ==-∈，则A B ⋂中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由定义域为A ，先求函数12x y =-值域B 即可，再由交集运算可得.【详解】设函数()12x f x =-，则1(1),(0)0,(1)12f f f -===-，所以集合11,0,2B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，由集合{}1,0,1A =-，则{}1,0A B ⋂=-，A B ⋂中元素的个数为2，故选：B.3.已知π2αβ+=，则2214sin sin αβ+的最小值为（）A.6B.8C.9D.10【答案】C 【解析】【分析】由于π2αβ+=，得出2sin α和2sin β的对应关系，再设定2sin α和2sin β为,x y ，得到基本不等式形式：“1x y +=和14x y+模型”，求解即可.【详解】由于π2αβ+=，得πsin sin()cos 2βαα=-=，所以设2sin ,(0,1)x x α=∈，2sin ,(0,1)y y β=∈，且1x y +=，则221414144()()5sin sin y xx y x y x y x yαβ+=+=++=++，其中4559y x x y ++≥+=（等号成立时4y x x y =，即12,33x y ==时成立）.故选：C.4.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱1AA a =，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过AC ，BC ，11A C ，11B C 的中点，那么当底面ABC 水平放置时，水面高为（）A.4a B.2a C.34a D.a【答案】C 【解析】【分析】利用水的体积不变，转化求解即可.【详解】如图，设11B C ，11A C ，11A B 的中点分别为E ，F ，G ，则111112EF A G GB A B ===，111114C EF A B C S S = ，所以水部分四棱柱与原三棱柱的底面面积之比为3:4，由于两种状态下水的体积相等，所以当底面ABC 水平放置时，水面高为侧棱长的34，即34a .故选：C5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（）种A.90B.125C.180D.243【答案】A 【解析】【分析】根据已知对五位同学分3组，然后全排列即可求解.【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生，要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则把五位同学分3组，且三组人数为2、2、1，然后分配给3位专家，所以不同的安排方法共有2213531322C 0C C A A ⋅=种.故选：A ．6.[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.32=，[]1.92-=-，已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2145n n n a a a +++=，若[]21log n n b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2023S =（）A.20232022⨯B.20232024⨯ C.20232026⨯ D.20232028⨯【答案】B 【解析】【分析】先根据递推公式变形并构造数列得出1n a +，再适当放缩得出n b ，再结合等差数列的求和公式计算即可.【详解】由2145n n n a a a +++=可知21144n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}14n n a a +-是常数列，又11a =，25a =，所以2141a a -=，则数列{}14n n a a +-各项均为1，即111141433n n n n a a a a ++⎛⎫-=⇒+=+ ⎪⎝⎭，11433a +=，则数列13⎧⎫+⎨⎩⎭n a 是以43为首项，4为公比的等比数列，即()()112211411441213333n n n n n a a -++++=⨯⇒=-=-，由()22222214232212123n n nn n +⨯-⨯=>⇒->，()222121222122162422132212213n n n n n n n +++++⨯-⨯=>-⇒⨯>-⇒>-，故()22112122log 2,21nn n n a a n n +++<<⇒∈+，根据题意可知：[]21log 2n n b a n +==，所以()()120232023202322202320232024202322b b S ++⨯⨯===⨯.故选：B7.过双曲线22221x y a b-=上任一点()00,P x y 作两渐近线的平行线PE ，PF 且与两渐近线交于E ，F 两点，且1EF OP k k =，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】求出,E F 的坐标，然后利用斜率之积建立方程，利用离心率公式求解离心率即可.【详解】过点P 与双曲线渐近线b y x a =平行的直线PE 为00()by y x x a-=-，于是有：()00b y x a b y y x x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得000022bx ay x bbx ay y a -⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，即0000,22bx ay bx ay E b a --⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点P 与双曲线渐近线b y x a =-平行的直线PF 为00()by y x x a-=--，于是有：()00b y x a b y y x x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩，解得000022bx ay x bbx ay y a +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即0000,22bx ay bx ay F b a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以000020200002222EFbx ay bx ay b x a a k bx ay bx ay a y b b+-⎛⎫-- ⎪⎝⎭==+--，因为1EF OP k k =，所以220022001b x y b a y x a ⨯==，所以双曲线的离心率为c e a ===故选：D8.已知1tan 0.01sin 0.01a =+，100b =，1051232c ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，则（）A.a b c >>B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】由常用不等式与作差法比较大小,【详解】设()sin f x x x =-，π02x <<，则()1cos 0f x x '=-≥，则()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故()(0)f x f >，即sin 0x x ->，则sin 0x x >>，且tan 0x >.11sin x x>，且tan 0x >所以11100,tan 0.010sin 0.010.01>=>，则1tan 0.01100sin 0.01a b =+>=；因为22515353357,2222⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则10822225151513575112223525225⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪+== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则123555775552322c ++=-=，所以7755512355510022b c +--=-=，由(2212315129,515125==，则123555>b c >.所以a b c >>.故选：A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()sin f x x k ωϕ=++ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图象中相邻两条对称轴的距离是π2，现将()f x 的图象向右平移个π8单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，且最大值为2，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期是2πB.()f x 的图象关于直线π8x =对称C.()f x 的图象关于点5π,18⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 在3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】CD 【解析】【分析】根据对称性求得周期判断A ，整体代换法求解对称轴、对称中心判断BC ，代入正弦函数单调减区间求解判断D.【详解】因为函数()()sin f x x k ωϕ=++ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图象中相邻两条对称轴的距离是π2，所以函数()f x 的最小正周期为π2π2π2T ω=⨯==，所以2ω=，故A 错误；()()sin 2f x x k ϕ=++，将()f x 的图象向右平移个π8单位长度，得到函数()g x 的图象，则()πsin 24g x x k ϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，又()g x 是偶函数，且最大值为2，所以πππ,Z 4212k k k ϕ⎧-=+∈⎪⎨⎪+=⎩，即3ππ,Z 41k k k ϕ⎧=+∈⎪⎨⎪=⎩，又ππ22ϕ-<<，所以π41k ϕ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以()πsin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由ππ2π+,42x k k -=∈Z ，得3ππ,82k x k =+∈Z ，即()f x 图象的对称轴方程为3ππ,82k x k =+∈Z ，当π8x =时，12k =-∉Z ，故B 错误；由π2π,4x k k -=∈Z ，得ππ,82k x k =+∈Z ，即()f x 图象的对称点为ππ,182k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，当1k =时，()f x 的图象关于点5π,18⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；当ππ3π2π22π,242k x k k +≤-≤+∈Z ，解得：3π7πππ,88k x k k +≤≤+∈Z ，所以当0k =时，()f x 在区间3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：CD10.对自然人群进行普查，发现患某病的概率()0.005P C =.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被确诊为患病”，则有()()0.95P A C P A C ==.根据以上信息，下列判断正确的是（）A.()0.95P C = B.()0.005P AC <C.()0.05P A C = D.()0.1P C A =【答案】BC 【解析】【分析】根据对立事件概率公式判断AC ，根据条件概率和全概率公式判断BD.【详解】因为(|)0.95P A C =，所以(|)1(|)0.05P A C P A C =-=，因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，故选项A 错误，C 正确；因为()()()()()0.950.0050.004750.005P AC P C A P A P A C P C ===⨯=<，故选项B 正确；由全概率公式可得()()()()(P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅，则由条件概率公式知()()()()(|)()()()P AC P AC P C A P A P A C P C P A C P C ==+0.950.005190.950.0050.050.995218⨯==⨯+⨯，故选项D 错误.故选：BC11.统计学中的标准分z 是以平均分X 为参照点，以标准差x σ为单位，表示一个数据x 在整组数据中相对位置的数值，其计算公式是i i xx Xz σ-=（1,2,,i n =⋅⋅⋅）.若一组原始数据如下：序号12345()i 对应值()i x 105668则下列说法正确的是（）A.该数组的平均值7X = B.3x 对应的标准分30.1z >C.该组原始数据的标准分z 的方差为1 D.存在i j ≠，使得i j x x >，i j z z <同时成立【答案】AC 【解析】【分析】根据平均数计算公式判断A ，先求标准差x σ，然后利用标准分计算3z 判断B ，计算12345,,,,z z z z z ，代入方差计算公式求解判断C ，利用i z 与i x 关系判断D.【详解】该数组的平均值10566875X ++++==，故选项A 正确；因为标准差5xσ==，所以3354Xx Xzσ-===-，故选项B 错误；114455Xx Xz σ-===，222455X x X z σ-===-，434455z z ===-，5554455Xx Xz σ-===，所以标准分z 的平均值为3555554244405z ---+==，所以该组原始数据的标准分z 的方差为22222355555000004244415⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+--+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，故选项C 正确；由题意()574i i z x ==-，若i jx x >，且i j ≠，则i j z z >，故选项D 错误.故选：AC12.定义域为R 的函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且()()f x g x '=，()()0f x g x ''+=，则下列说法错误的为（）A.当0x 是()f x 的零点时，0x 是()g x 的极大值点B.当0x 是()f x 的零点时，0x 是()g x 的极小值点C.()f x ，()g x 可能有相同的零点D.()f x ，()g x 可能有相同的极值点【答案】ABD 【解析】【分析】结合导数，根据零点和极值点定义逐个判断抽象函数满足的条件即可.【详解】()()g x f x '=，设()()h x f x ='，则()()g x h x =，则()()g x h x '='，所以()()f x h x ''=-，AB 选项,若()0f x =,则0x 不是()g x 的极大值点,也不是极小值点，故AB 错误；C 选项,考虑32(),()3f x x f x x '==，则2()()3g x f x x '==，显然两者有共同零点0，故C 正确；D 选项,若()()g x f x '=在0x 处取得极值,①若1x 处取得极大值,()10f x '>,则在1x 左右两侧无限小的区间内()0f x >,即()11,,0x x x δδδ∈-+→时,必有()0f x '>,所以()f x 在()11,x x δδ-+上单增,不符合题意,同理()10f x '≤,有()11,0x x x δδδ∈-+→时,必有()0f x '≤,所以不符合题意.②若1x 处取得极小值,同理可得也不符合题意,所以D 选项错误.故选：ABD .【点睛】方法点睛：利用导数判断抽象函数零点和极值点的问题，属于中档题.常用方法有：（1）结合导数得出原函数表达式；（2）假设成立，判断命题真假；（3）转化思想应用.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,3,4m a a n a a =-+-=-+，若()//m n m + ，则实数a ＝___.【答案】54【解析】【详解】(2,6)m n +=，由()//m n m +，得()()61220a a -+--=，解得54a =.14.已知π,02α⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，sin tan 2cos ααα=，则tan α=______.【答案】0【解析】【分析】利用同角三角函数的商数关系及正切的二倍角公式计算即可.【详解】易知2sin 2tan tan 2tan cos 1tan αααααα===-，因为π,02α⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，若0α=，显然tan 0α=，上式恒成立，若π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan 0α<，所以2222tan 2tan 1tan 11tan 1tan ααααα=⇒=⇒=---，无解，综上可知tan 0α=.故答案为：015.过直线2y =上任意一点P 作圆O ：221x y +=的两条切线，则切点分别是,A B ，则OAB 面积的最大值为______.【答案】34【解析】【分析】由,OA PA OB PB ⊥⊥得出点,A B 在以OP 为直径的圆C 上是关键，通过两圆方程相减得到直线AB 的方程，从而求出OAB 面积的表达式，运用函数思想求解即得.【详解】如图，设点,2P t （），因,OA PA OB PB ⊥⊥,故点,A B 在以OP 为直径的圆C 上，因圆心(,1)2t C，半径为2，故圆C 的方程为：2224:()(1)24t t C x y +-+-=，又圆O ：221x y +=，将两式左右分别相减，整理得直线AB 的方程为：:210AB l tx y +-=，于是，点(0,0)O 到直线:210AB l tx y +-=的距离为：d =，||AB ==，故OAB的面积为：2113=||224AOB S AB d t ⋅=⨯+ ，不妨设m =则m ≥，且223t m =-，故2111AOB m S m m m==++△，因1y m m =+在)+∞上单调递增，故433y ≥，此时34AOB S ≤△，即0=t 时，点(0,2)P 时，OAB面积的最大值为4.故答案为：4.16.已知四面体ABCD满足BC CD BD ===，它的体积为，其外接球球O 的表面积为100π，则点A 在球O 表面的轨迹长度为__________；线段AB 长度的最小值为______.【答案】①.9π②.【解析】【分析】利用外接球的表面积求出外接球半径R ，再根据勾股定理求出球心O 到平面BCD 的距离，再由锥体体积求出点A 到平面BCD 的距离h ，直观想象可得点A 在球O 表面的轨迹，计算可得轨迹长度；由点A 在圆上运动，到定点B 的距离最值转化为圆台母线最短求解即可.【详解】设外接球半径为R ，因为外接球的表面积为100π，则24π100πR =，解得5R =，设BCD △的中心为1O ，则12423BO ==，如图过点B 作球的轴截面，则13OO ==，设点A 到平面BCD 的距离为h ，(2134A BCDV h -==⨯⨯，解得7h =.则由题意知，点A 在以5为半径的球面上，且距离平面BCD 为7的平面内，则点A 在球O 表面的轨迹为圆，设圆心为2O ，且234OO h =-=则2222222549AO OA OO =-=-=，即圆2O 的半径为3，所以点A 在球O 表面的轨迹长度为9π；由题意可看作点A 在圆台12O O 底面圆周2O 上运动，则当AB 为圆台母线时，AB 最小，即当12,,,A B O O 四点共面时，AB 取最小值，如图，min AB ==故答案为：9π；【点睛】方法点睛：对于立体几何空间轨迹的问题，研究的主要还是解析几何中的几种曲线：直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线.常规解决方法有以下几种：1.几何法：根据对动点运动过程中点、线、面性质或位置关系的分析，进行判定；2.定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线定义判定，或用代数法进行计算；3.交轨法：根据研究动点满足的不同条件分别确定动点所在空间几何体（线、面），再由公共（相交）部分确定轨迹；4.基底（建系）法：通过选择基底（或建系）将几何问题数量化，得到动点满足的方程（组），进而分析方程表示的轨迹；5.特殊值法：特别地，对于轨迹问题的选择题，根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，2122a a ==，且22,4,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前10项和10S .【答案】（1）1,2,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数；（2）707【解析】【分析】（1）分奇偶项讨论结合等差数列、等比数列的通项公式计算即可；（2）直接利用等差数列和等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】由题意可知当()21Nn k k *=-∈时，有221212n n k k a a a a ++--=-=，此时数列{}n a 的奇数项成等差数列，由题意可知11a =，公差为2，则()2112121k a k k -=+-=-，所以n a n =，（n 为奇数），当()2Nn k k *=∈时，有22224n n k k aa a a ++÷=÷=，即此时数列{}n a 的偶数项成等比数列，由题意可知22a =，公比为4，则1212242k k k a --=⨯=，所以12n n a -=，（n 为偶数），综上1,2,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数.【小问2详解】由上可知()()1012101392410S a a a a a a a a a =+++=+++++++()()()()539214195139222707214-+⨯=+++++++=+=- 18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos 2c a A B b A =-（A B ≤）.（1）求A ；（2）若AD 是角A 的内角平分线，且2AD =，求ABC 周长的最小值.【答案】（1）π3；（2）【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理以及三角恒等变换公式即可求解;（2）由AD 是角A 的内角平分线，可得到ABC ABD ACD S S S =+ ，化简得到32bc b c =+，表示出周长，利用基本不等式计算即可.【小问1详解】因为2cos cos cos 2c a A B b A =-，由正弦定理可得：()2sin 22sin cos cos 2sin cos 2R C R A A B R B A =-,所以sin 2sin cos cos sin cos 2C A A B B A=-因为在ABC 内，有πA B C ++=,所以()sin sin C A B =+，所以()()sin sin 2cos sin cos 2sin 2A B A B B A A B +=-=-,所以2A B A B +=-,或2πA B A B ++-=，即2A B =，或π3A =，由A B ≤，故π3A =.【小问2详解】因为AD 是角A 的内角平分线，且2AD =，所以ABC ABD ACD S S S =+ ,即1π1π1πsin 2sin 2sin 232626bc c b =⨯+⨯，整理得：2bc b c =+，所以()33bc b c =+≥⨯163bc ≥，当且仅当433b c ==时，上式取到最小值，在ABC 中由余弦定理可得：22222π2cos 3a b c bc b c bc =+-=+-，所以ABC 周长：22ABC C a b c bc bc =++=³³，当且仅当433b c ==时，等号成立，所以ABC 周长的最小值为19.已知三棱锥-P ABC 中，2AB AC ==，BA AC ⊥，π3PAC PAB ∠==∠，4PA =.（1）求点P 到平面ABC 的距离；（2）求平面PAB 与平面PBC 夹角的正弦值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理证得PE ⊥平面ABC ，再利用勾股定理求得PE ，从而得解；（2）结合（1）中结论建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问1详解】取BC 中点D ，连接AD ，PD ，在ACP △和ABP 中，AB AC =，AP AP =，PAC PAB ∠=∠，可得ACP ABP ≌△△，则CP BP =，所以PD BC ⊥，因为AD BC ⊥，且AD PD D =I ，,AD PD ⊂平面ADP ，所以BC ⊥平面ADP ，在平面PAD 中，过P 点作PE AD ⊥，交AD 延长线于点E ，连接CE ，BE ，PE ，因为BC ⊥平面PAD ，且PE ⊂平面PAD ，所以BC PE ⊥，又AD BC D = ，,AD BC ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ，即PE 为点P 到平面ABC 的距离，在PCA V 中，π3PAC ∠=，4,2PA AC ==，由余弦定理可得2222212cos 42242122PC PA AC PA AC PAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则PC =，在Rt ABC △中，12AD CD BC ===，在Rt PCD中，PD ===在Rt PAE △中，22222PE PA AE PD DE =-=-，则)221610DEDE -+=-，解得DE =，则2221028PE PD DE =--==，即PE =，所以点P 到平面ABC的距离为.【小问2详解】由（1）知,CD BD AD DE ==，所以四边形ABEC 是平行四边形，又,AB AC AB AC ⊥=，所以四边形ABEC 是正方形，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，(2,2,P ，可得(2,0,0)AB =，(2,2,AP = ，(2,2,0)CB =-，(0,2,BP =，设平面PAB 的法向量为(,,)m a b c =，则20220m AB a m AP a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令b =，则0a =，1c =-，即1)m =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则22020n CB x y n BP y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =-，则x =，y =，即)1n =-，设平面PAB 与平面PBC 的夹角θ，则π02θ<<，可得15cos cos ,5m n m n m n θ⋅====⋅，10sin 5θ===，所以平面PAB 与平面PBC 的夹角的正弦值105.20.在直角坐标系xOy 中，动点P 到y 轴的距离比点P 到点()1,0F 的距离少1.（1）求动点P 的轨迹方程W ；（2）当0x ≥时，过点()4,0M 的直线与W 交于,A B 两点，连接AF ，BF 延长与W 分别交于C 、D 两点，求FCD 与FAB 面积之和FCD FAB S S +△△的最小值.【答案】（1）20,04,0x y x x <⎧=⎨≥⎩；（2）514.【解析】【分析】（1）由点到直线及点的距离公式结合抛物线的定义计算即可；（2）设直线AB 和,A B 坐标，利用直线过定点及焦点弦性质先得出,C D 坐标，从而判定CD 过定点，通过消元转化及基本不等式求面积最值即可.【小问1详解】设点(),P x y ，则由题意可知：1x +=，化简得222x y x =-，若200x y <⇒=，即0,0x y <=，若204x y x ≥⇒=，综上可知动点P 的轨迹方程W 为：20,04,0x y x x <⎧=⎨≥⎩；【小问2详解】根据（1）知0x ≥时，2:4W y x =，由题意可设221212:4,,,,44AB y y l x ky A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22,,,44C D C D y y C y D y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不妨令A 在第一象限，则,B C 在第四象限，D 在第一象限，如图所示，联立抛物线方程22441604y xy ky x ky ⎧=⇒--=⎨=+⎩，显然12124,16y y k y y +==-，同理可设过F 点的直线为1x my =+，与抛物线联立有2440y my --=，则124,4C D y y y y =-=-，所以2211224444,,,C D y y y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若0k =时，易得124y y =-=，则11,1,,144C D ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1:4CD l x =，若0k ≠，则CD 斜率存在，则2212211214444:44CD y y l x y y y y y -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-，化简得()121214164444k y y x y y y x ky x y =-+-⇒-=--⇒=+，综上可知直线CD 横过定点1,04G ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()121122FCD FAB D C S S GF y y MF y y +=⨯⨯-+⨯⨯-1211213115116512324y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=-+-=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14y =时取得最小值514.21.“大地”渔业公司从A 、B 两不同设备生产厂商处共购买了80台同类型的设备.（1）若这80台设备的购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：从A 处购买（台）从B 处购买（台）运行良好（台）4614出现故障（台）146试根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；（2）若每台设备发生故障的概率都是0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人的方案，甲方案是由4个人维修，每个人各自独立负责20台；乙方案是由3个人共同维护这80台.请判断在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的建议.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.010.005x α2.7063.8416.6357.879【答案】（1）否（2）甲方案下设备发生故障时不能及时维修的概率大，选择乙方案【解析】【分析】（1）根据2χ计算公式运算，对比临界值即可求解；（2）根据题意，分别求得甲方案和乙方案，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得设备发生故障时不能及时维修的概率，根据大小关系，即可得到结论.【小问1详解】假设设备故障情况与购买渠道无关联，由题意，2280(4661414)0.356 3.84160206020χ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，依据小概率值0.05α=的独立性检验，可推断假设成立，即认为设备故障情况与购买渠道无关联.【小问2详解】对于甲方案：以X 记“第1人维护的20台设备中同一时刻发生故障的台数”，以()1,2,3,4i A i =表示事件“第i 人维护的20台设备发生故障时不能及时维修”，则知80台设备发生故障时不能及时维修的概率为：()()()123412P A A A A P A P X ⋃⋃⋃≥=≥，而()~20,0.01X B ，故有()()()20191202110.01C 10.010.010.0169P X ≥=---⋅-⋅≈，所以()12340.0169P A A A A ⋃⋃⋃≥；对于乙方案：以Y 记“80台设备中同一时刻发生故障的台数”，此时()~80,0.01Y B ，则80台设备发生故障时不能及时维修的概率为()()()()()80797821280804110.01C 10.010.01C 10.010.01P X ≥=---⋅-⋅-⋅-⋅()()773380C 10.010.010.0087-⋅-⋅≈，可得0.00870.0169<，故选择乙方案能让故障设备更大概率得到及时维修，使得公司的生产效率更高.22.设函数()sin cos f x x x x =-，()21cos 2x g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）①当[]0,πx ∈时，证明：()0f x ≥；②当[]π,πx ∈-时，求()g x 的值域；（2）若数列{}n a 满足11a =，1cos n n n a a a +=，0n a >，证明：()1231233cos cos cos cos 2n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<（*N n ∈）.【答案】（1）①证明过程见解析，②2π1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）①求导，得到函数单调性，求出()()00f x f ≥=；②先得到()21cos 2x g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，考虑[]0,πx ∈时，求导，结合①可知，()g x 在[]0,πx ∈上单调递减，从而求出函数最值，求出值域；（2）先得到1123cos cos cos cos n n a a a a a +⋅⋅⋅=，故只需证明123123,N n n a a a a n a *++++⋅⋅⋅+<∈，由（1）可知122n n na a a +<-，从而裂项相消法求和得到证明.【小问1详解】①()cos cos sin sin 0f x x x x x x x '=-+=≥在[]0,πx ∈恒成立，故()sin cos f x x x x =-在[]0,πx ∈上单调递增，故()()00f x f ≥=，证毕；②[]π,πx ∀∈-，恒有()()()()221cos 1cos 22x x g x x x g x ⎡⎤-⎛⎫-=+-=+=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()21cos 2x g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，当[]0,πx ∈时，()()22cos 1sin cos sin sin 22x x g x x x x x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，由①可知，cos sin 0x x x -≤在[]0,πx ∈上恒成立，又2sin 02x x -≤，故()0g x '≤在[]0,πx ∈上恒成立，故()g x 在[]0,πx ∈上单调递减，故()()22minππππc22g x g ⎛⎫==+=-- ⎪⎝⎭，()()max 01g x g ==，结合函数在[]π,πx ∈-上为偶函数可得，函数值域为2π1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】因为11a =，1cos n n n a a a +=，所以33124112312cos cos cos cos n n nn a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=，其中0n a >，故只需证明123123,N n n a a a a n a *++++⋅⋅⋅+<∈，因为11a =，1cos n n n a a a +=，所以10cos 1n n n n a a a a +<=≤≤，由（1）可知12221cos 212n n n n n n na a a a a a a +=<⋅=++，上式两边取倒数得2121122n n n n n a aa a a ++>=+，故122n n n a a a +<-，于是12312132122222232n n n a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112222n n a a a a ++=-+=，N n *∈，所以()1231233cos cos cos cos 2n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<（*N n ∈）.【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。
重庆市育才中学2021届高三上期(11.01)周考数学
重庆市育才中学2021届高三上期（11.01）周考数学一、单项选择题：1．已知集合{}A m =，{}1,B m =，若AB A =，则m =（ D ）A ．0B ．3C ．03D ．0或32．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ A ）A ．2B ．32C ．1D ．03．已知,0a b >且(1)(1)0a b --≠，若log 1a b >，则（ D ）A. (1)(1)0a b --<B.(1)()0a a b -->C.()(1)0b a b --<D.()(1)0b a b --> 4．如图，一个无线电信号定向发射装置位于扇形的圆心O 处，其信号覆盖范围 为扇形区域AOB ，扇形圆心角为(0π)θθ<<.假设该扇形的阴影区域为弱信号区 域，若在扇形内随机地选一地点，则该地点为弱信号区域的概率是( B ) A.1sin θθ- B.sin 1θθ-C.1sin θθ- D.sin θθ5．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( A ) A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一6．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( B )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 7．4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排 法种数有（ A ） A ．2880B ．3080C ．3200D ．36008．某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少。
重庆市育才中学2020-2021学年高三上学期周考数学测试题(11.29)
重庆市育才中学2021届高三上期（11.29）周考数学测试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量(2,1),(1,),==-⊥a b x a b , 则x 的值为 A.12-B. -1C. 2D. -2 2．已知函数e ,0,()1,0⎧≤=⎨->⎩x x f x x x ,则f (f (1))=A.0B. 1C. eD. 1- e3．已知集合 {|||}==A x x x ,集合2{|430}=++>B x x x , 命题p : x ∈A , 命题 q : x ∈B , 则p 是q 的 A.充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4．复数 z 满足| z -1|=1,则| z | 的最大值为 A.1B. 2C. 3D. 25．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛．现将四位同学安排在1,2,3,4这4个跑道上， 每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有( )种． A. 12B. 14C. 16D. 186．如图1,在四棱锥 P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形. PA ⊥底面ABCD , PA =AB =2, AD =4. E 为P C 的中点，则异 面直线 P D 与 BE 所成角的余弦值为 A.35 B.3010 C.1010 D.310107．科克曲线 ( Koch curve) (如图 2) 是一种典型的分形曲线．它是科克(Koch ，H. von)于1904年构造出来的．其形成如下：把一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形. 取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷．外界的边比原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花．它是一个无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但总面积不会超过起初三角形的外接圆．按照上面的变化规则，第四个图形的面积与第三个图形的面积之差为A.23243 B. 43243 C. 163243 D.398．已知函数221()cos ,()2=--=-f x x x g x x k , 若f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，则k 的值为A. -1B. 0.C. 1D . 2二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分) 9．函数g (x ) = ln(2x +1) -ln( 2x -l ) , 关于 g ( x ) 下列说法正确的是 A ．定义域为( 0 ,+∞) B ．值域为(0, +∞) C ．g (x )为减函数 D ．g (x )为奇函数10．已知函数f ( x ) = 2(| sin x | +sin x )• cos x , 关于f ( x )下列说法正确的是A ．f (x )为奇函数B ．2π为f (x )的周期C ．f ( x )的值域为[ -2,2]D ． f (x )的单调增区间为[2k π, 2k π+π4](k ∈Z )11．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上一动点（包括端点），则以下结论正确的有A. 三棱锥P –A 1BD 的体积为定值13B. 过点P 平行于平面A 1BD 的平面被正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为32C. 直线PA 1与平面A 1BD 所成角的正弦值的范围为36[,]D. 当点P 与B 1重合时，三棱锥P - A 1BD 的外接球的体积为32π 12．设a >0, b >0, a +b = 1, 则A ．a 2 +b 2的最小值为12B ．4a +1b的范围为[ 9 , +∞)C ．ab的最小值为2 2 D ．若c > l , 则2311(2)1+-⋅+-a c ab c 的最小值为8三、填空题（本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应位置上） 13．二项式5()+x x x展开式中的常数项为＿＿＿＿．14．某产品的广告投入x (万元)与销售额y (万元)具有较强的线性相关性,该产品的广告投入x (万元)与相应的销售额 y (万元)的几组对应数据如下表所示:x 1 2 3 4 y3 5 6 a的值为 .c15．已知双曲线()222:10y C x b b-=>左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线分别交双曲线C 的两条渐近线于点M ，N 两点.若点M 是线段2F N 的中点，且12NF NF ⊥，则b =16．在在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , ∠B = 60° ,且b 2s in A c os C +bc sin B cos A =4s in B ,则b = , a +2c 的最大值为 ．（第一空2分，第二空3分 ）四、 解答题（共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．( 本小题满分10分）2020年10月，第27届全国中学生物理学奥林匹克竞赛，在重庆育才中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间 ，将数据按照[ 50, 60) , [ 60,70) , [ 70,80) , [ 80 ,90) , [ 90,100 ]的分组作出频率分布直方图如图 4 所示. （1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计这 50 名学生成绩的中位数 ；（2）若按照分层随机抽样从成绩在[ 80, 90) , (90, 100] 的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[ 90 , 100] 的人数，求ξ的分布列和数学期望．18．( 本小题 满分 12 分） 在①sin sin sin +=--A b cB C b a ,②3sin =c a A,③23=⋅S CA CB 这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , S 为△ABC 的面积，若 . （1）求角C 的大小 ；（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点,线段BD 的长度为2 , 求△ABC 的面积S 的最大值.（注： 如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）19．( 本小题满分12 分）已知数列{a n }满足a 2 =2, a 5 =5,且122,2,2++n n n a a a 构成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）S n 为数列{2}n a 的前n 项和，记12++=⋅n n n n S b S S , 求证：b 1+b 2+…＋b n <12 .的20．( 本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) = ax 2-2ln x .（1）当 a = 1时，求 y =f ( x )在点(1, f (l))处的切线方程； （2）若对∀x ∈[l, 3], 都有f (x )≤14恒成立，求a 的取值范围.21．( 本小题满分 12 分）如图 5, 四边形ABCD 是一个边长为2的菱形，且∠B =π3 ，现沿着AC 将△ABC 折到△EAC 的位置，使得平面 EAC ⊥平面ACD , M , N 是线段 EC , ED 上的两个动点（不含端点），且=EM ENEC ED,平面AMN 与平面ACD 相交于l . （1）求证：l //MN ;（2）P 为l 上的一个动点，求平面PEC 与平面ACD 所成锐二面角的最小值．22． ( 本小题满分 12 分）已知椭圆22221(0)：+=>>x y C a b a b的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 作斜率为33的直线与C 相交于A ,B ,且AB ⊥OB ，O 坐标原点． （1）求椭圆的离心率e ;（2）若b =l ，过点F 作与直线AB 平行的直线l ， l 与椭圆C 相交于P , Q 两点，( i ) 求k OP •k OQ 的值；( ii) 点M 满足2=OM OP ，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NMNQ的值．重庆市育才中学2021届高三上期（11.29）周末考试测试题答案一、选择题CBAD BBBC二、多选题ABC BC BCD ABD三、填空题37．由观察可知：第一个图形有3条边，第二个图形有12条边（不算里面绿色的这条边，每一条边变为4条边），第三个图形有48条边，第四个图形有192条边，后一个图形与前一个图形相比，每一条边会增加一个边长为前面边长的13的小三角形，故第二个图形比第一个图形多3个小三角形（第一个图形3条边），第三个图形比第二个图形多12个小三角形，第4个图形比第三个图形多48个小三角形，故面积之差为214827⎛⎫=⎪⎝⎭，故选B．8．即f（x）＝g（x）有唯一解，即23cos2k x x=+有唯一解，令()23cos2h x x x=+，h′（x）＝3x-sinx，h″（x）＝3-cosx＞0，所以h′（x）在R上单调递增．又h′（0）＝0，当x∈（-∞，0）时，h′（x）＜0，当x∈（0，＋∞）时，h′（x）＞0，故h（x）在（-∞，0）上减，在（0，＋∞）上单增，h（x）min＝h（0）＝1．当x→-∞时，h（x）→＋∞，当x→＋∞时，h（x）→＋∞，故k＝h（x）有唯一解，k＝1，故选C．11．A选项111111326P A BD A PBDV V--===，A不正确；B选项此平面为平面B1D1C，故三角形B1D1C2=B选项正确；由等体积法知：点P到平面A1BD，当点P在线段B1D1上运动时，|PA1|max＝1（P为端点时），1min||2PA=，设直线PA1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ∈⎣⎦，C正确；∠B1BD＝∠B1A1D＝90°，所以三棱锥P-A1BD的外接球的球心为B1D的中点，P-A1BD，D正确，故选BCD．12．A选项：由()222122a ba b++=≥，当且仅当12a b==时取等，知A正确；B选项：()41414559b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=+++⎪⎝⎭≥，当且仅当223a b==，13b=时取得最小值9，B选项正确；C11a b++=12，所以1219412222+=+=，C选项不正确；D选项：()2223314224a a ba a bab ab b a+++-=-=+≥．当且仅当b ＝2a ，13a =，23b =时取等，()231112414811a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+-++⎪--⎝⎭≥≥，当且仅当32c =时取等，选项D 正确，故选ABD ．17．解：（1）（0.012＋0.024＋0.04＋a ＋0.008）×10＝1，∴a ＝0.016， ∵[50，60），[60，70）的概率之和为（0.012＋0.024）×10＝0.36．∴中位数为0.14701073.50.4+⨯=（分）．（2）[80，90）共0.016×10×50＝8（人），[90，100]共0.008×10×50＝4（人）． ∴[80，90）抽取了4人，[90，100]抽取了2人． ξ的取值为0，1，2．()3436C 10C 5P ξ===，()214236C C 31C 5P ξ===，()124236C C 12C 5P ξ===，∴()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=．18．解：（1）选①：sin sin sin A b c B C b a +=--，∵由正弦定理得a bcb c b a+=--， ∴a （b-a ）＝（b ＋c ）（b-c ），即a 2＋b 2-c 2＝ab ，∴1cos 2C =，∵C ∈（0，π），∴π3C =．选②：由正弦定理得sin sin C A =cos 1C C =+， π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵C ∈（0，π），∴ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ππ66C -=，∴π3C =．选③：2S CB =⋅，sin cos ab C C =， ∴tan C =C ∈（0，π），∴π3C =． （2）在△BCD 中，由余弦定理知a 2＋（2b ）2-2×a×2b×cos60°＝22，∴a 2＋4b 2-2ab ＝4≥2·a·2b -2ab ＝2ab ，∴ab≤2，当且仅当a ＝2b ， 即a ＝2，b ＝1时取等号，此时ab 的最大值为2，面积1sin 2S ab C ==． 19．（1）解：2n a ，12n a +，22n a +构成等比数列，∴()122222n n n a a a ++=⋅，∴2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是一个等差数列，由a 2＝2，a 5＝5，3d ＝a 5-a 2，∴d ＝1，a 1＝1，a n ＝a 1＋（n-1）d ＝n ．（2）证明：22n a n =，∴{}2n a 是一个以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴()12122212n n n S +-==--，∴()()1121221122222222n n n n n n b +++++==----⋅-， ∴1223341221111111112222222222222222n n n n b b b ++++++=-+-++-=-<-------． 20．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝x 2-2lnx ，f （1）＝1，()2'2f x x x=-，k ＝f′（1）＝0，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝1．（2）法一：由题意()max 14f x ≤，()()2212'2ax f x ax x x-=-=．①当a≤0时，f′（x ）＜0，f （x ）在[1，3]上单调递减，∴()()max 114f x f a ==≤恒成立，∴a≤0；②当a ＞0时，f′（x ）＞0，x >，∴f （x ）在⎛ ⎝上单减，在⎫+∞⎪⎭上单增，1，a≥1时，f （x ）在[1，3]上单增，()()max134f x f =≤，12ln 349a +≤，舍去；3，109a <≤时，f （x ）在[1，3]上单减，()()max 114f x f =≤，14a ≤，∴109a <≤；（ⅲ）当13<<，119a <<时，f （x ）在⎡⎢⎣上单减，⎤⎥⎦上单增， ()()11,413,4f f ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤14a ≤，∴1194a <≤， 综上，14a ≤．法二：()212ln 4f x ax x =-≤恒成立，212ln 4xa x +≤，令()212ln 4x g x x +=，()334ln 2'x g x x -=，g′（x ）＞0，381e x <<，∴g （x ）在[1，38e ]上单增，[38e ，3]上单减，()114g =，()12ln 314394g +=>，∴()min 14a g x =≤． 21．（1）证明：∵EM ENEC ED=，∴MN ∥CD ， ∵MN ⊄平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，∴MN ∥平面ACD ，∵平面AMN 与平面ACD 相交于l ，MN ⊂平面AMN ，∴l ∥MN ．（2）解：AB ∥CD ，由（1）可得MN ∥CD ，∴AB ∥CD ，∴A ，B ，M ，N 四点共面， 平面AMN∩平面ACD ＝AB ＝l ，∴P 在AB 上，如图，取AC 的中点为O ，π3B ∠=，则BO ⊥AC ，EO ⊥AC ，平面EMC ⊥平面ACD ， 平面EAC∩平面ACD ＝AC ， ∴EO ⊥平面ACD ．法一：以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，-1，0），B0，0），C （0，1，0），D（0，0），E （0，0设AP AB λ=，),1,0Pλ-，则(0,1,EC =，()3,2,0CP λλ=-，平面EPD 的法向量(),,n ab c =，则()0,320,EC n b CP n a b λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令c ＝λ，则a ＝2-λ，b =，()2,n λλ=-，平面ACD 的法向量为()0,0,1m =，∴cos ,n m<=，∵平面PEC 与平面ACD 所成角为锐二面角，令λ＞0， ∴1cos ,2n m <>==，当且仅当λ＝2时取等，此时平面PEC 与平面ACD 所成锐二面角有最小值π3． 法二：EO ⊥平面ACD，且EO =O 作OF ⊥PC 于F ，连接EF ， 则EF ⊥PC ，∴∠EFO 为所求锐二面角的平面角，记为θ，∴tan EO OF θ=OF 最大时，θ最小， ∵OF ⊥FC ，∴F 在以OC 为直径的圆上，当F 与C 重合时，|OF|max ＝1，∴tan OE OF θ=∴θ的最小值为π3．22．解：（1）已知|OA|＝a ，||2a OB =，π6BAF ∠=，则4a B ⎛- ⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225a b=，a =，∴2c b =，∴c e a =． （2）（i ）由（1）可得b ＝1，a ，∴C ：2215x y +=，设直线l：2x =+，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 3，y 3）． ∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立直线l 与椭圆C的方程：222,55,x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2810y +-=，Δ＞0恒成立，12y y +=，1218y y =-，∴))12121212522348x x y y y y =++=+++=， ∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅱ）设NM NQ λ=，()01NM NQ λλ=<<，1133,22x y NM x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2323,NQ x x y y =--，()()13231323,2,2x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩∴()()123123221,221,x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩()()()()31231212,2112,21x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴221155x y +=，222255x y +=，223355x y +=，11 ()()()()2212122222554141x x y y λλλλ--+=--，∴()()()2222221122121254545201x y x y x x y y λλλ+++-+=-，由（ⅰ）可知x 1x 2＋5y 1y 2＝0，∴1＋4λ2＝4（1-λ）2，∴38λ=， ∴38NM NQ =．。
【数学】重庆育才中学校2021-2022学年高一入学考试数学试题含答案
A ． 2 3 = 12
B． 2+ 3= 5
C． 2× 3 = 6
D. 6¸ 3= 2
5. 点 P（－2，3）关于 y 轴对称点的坐标（ ▲ ）
A．（－2，3）
B．（2，3）
C. （2，－3）
D. （－2，－3）
6. 如图， CD 、 CE 是分别是⊙ O 的弦和直径，直径 AB 过 CD 的中点 M ，
HA 平分∠GHF，则 AP 的长度为
▲．
12题图
16题图
17题图
18． 火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆 摊）三种方式经营，6 月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为 3 : 5 : 2 ．随着促进消费政 策的出台，该火锅店老板预计 7 月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 3 ，则
（ ）（结果精确到 1 米）．（参考数据： sin 37 3 ， tan 37 3 ， sin 48 7 ， tan 48 11 ）
5
4
10
10
A． 54
B． 58
C． 76
D． 85
11 ． 若 数
a
使关于
x
的不等式组
3x
12
7
x
4 7
有且仅有三个整数解，且使关于 y 的分式方程
3．考试结束后，将试题卷和答题卡统一交回．
参考公式：抛物线 y ax2 bx c(a 0) 的顶点坐标为 ( b ，4ac b2 )，对称轴为 x b ．
2a 4a
2a
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
重庆市育才中学2021届高三上学期(12.06)周考数学测试题
重庆市育才中学2021届高三上期（12.06）周考数学测试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等比数列{}n a ，42a =，810a =，则16a =（ ） A ．50 B ．100C ．150D ．2502．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的为（ ）A ．42y x x =+ B ．2x y = C ．22x xy -=- D ．12log 1y x =-3．已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |=（ ）A 、2B 、42C 、6D 、210 4．已知函数()()ϕω+=x A x f sin ⎪⎭⎫⎝⎛<<->>22,0,0πϕπωA 的部分 图象如右图所示，如果123+=4x x π，则函数12()+()f x f x 的值为（ ） A ．22- B ．0 C ．2 D ．225．已知函数ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[1,+)∞B ．(-,1)∞C ．(1,+)∞D ．(-,-1]∞6．在平面直角坐标系中,双曲线的离心率为2,其焦点到渐近线的距离为，过点()1,2P 的直线与双曲线交于,A B 两点. 若P 是AB 的中点,则直线的斜率为（ ）A ．2B ． 4C ． 6D ．87．已知实数,,a b c 满足1lg 10ba c==，则下列关系中不可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>8．如图，平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，1,2AB BC ==，,AC CD AC CD =⊥,当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值是（ ）xOy ()0,01:2222>>=-b a b y a x E 3 m E mA ．2B ．3C ．32D ．4二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学的方式主要有：A ：结伴步行，B ：自行乘车，C ：家人接送，D ：其它方式，现将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A 、扇形统计图中D 的占比最小 B 、条形统计图中A 和C 一样高 C 、无法计算扇形统计图中A 的占比D 、估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送 10、袋中装有5个大小相同的球，其中2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，直到取到有两种不同颜色的球即终止，用X 表示终止取球时所需的取球次数，下列结论正确的是（ ） A ．()425P X ==B ．()135P X ==C ．X 的期望()E X =115D ．X 的标准差()425X σ=11．已知直线1:0()l kx y k R +=∈，2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 为圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则AB 可能取值为（ ）A ．2B ．522-C ．522+D ．23()()tte t R e +∈ 12．某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四 场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈，选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一 名，则下列说法正确的是（ ）A ．每场比赛的第一名得分a 为5B ．甲至少有一场比赛获得第二名C ．乙在四场比赛中没有获得过第二名D ．丙至少有一场比赛获得第三名三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）13．二项式561x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是______．3111主视图1214．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为______．15．设不等式组220x y x y y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为，在内随机取一个点(,)P x y ,记事件:1A x y -≤-，事件:0B x y -≤，则(|)P A B 等于______．16．育才中学准备随机从包括甲、乙、丙在内的7名教师中选派4名教师去城口县、巫溪县支教（每县2位教师），则甲、乙被选中、丙未选中，且甲和乙不去同一个县的概率为______．四、 解答题（共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 3cos sin b A a B a B =+. （1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC 的中点，若3BD =，求a c +的取值范围.18．(本小题满分12 分）已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，5SA SD ==，点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且∥平面BEF ．（1）求证：13SF SC =； （2）若锥体S ABCD -的体积为433，求二面角S BE F --的余弦值．19．( 本小题满分12 分）为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务. 已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示. 为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.M M S ABCD -ABCD 60BAD ∠=︒SA（1）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图2中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地 区年龄在71~80岁居民中随机抽取5人，求这5人中恰有2人已签约家庭医生的概率；（3）据统计，该地区被访者的签约率约为44%. 为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段（选择一个年龄段）的签约率？并结合数据对你的结论作出解释.20．(本小题满分12分）已知椭圆的离心率为6，且与抛物线223b y x =的公共弦的长度为263. （1）求该椭圆C 的方程．（2）经过椭圆右焦点F 2的直线和该椭圆交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，O 为原点，若1322OP OA OB =+，求直线的方程．21．(本小题满分12分）设函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--，a R ∈．（1）若()0f x ≥对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当(0,)2πθ∈时，试比较1ln tan 2θ与tan()4πθ-的大小，并说明理由．2222:1(0)x y C a b a b +=>>年龄（单位：岁）1图 O 21314151617181911011110.0180.0210.016频率组距0.0150.0100.0040.0050.010.0150.020.0250.00250.00050.0080.00530.337.155.761.770.075.8O18~302040608031~5051~6061~7071~8081以上年龄段%签约率（）22． (本小题满分12分）已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈=；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m =则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（1）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（2）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>； （3）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 最大值.重庆市育才中学2021届高三上期（12.06）周考数学测试题（参考答案）一、DDCB AC D B 二、ABD ABC BC AC 三、514 435四、17．解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =， 所以sin sin cos B A A B =，所以tan B =(0,)B π∈，所以3B π=.（2）如图，延长BD 到E ，满足DE BD =，连接AE CE ，，则ABCE 为平行四边形，且2,,3BE BAE AB c AE BC a π=∠====， 的设,03ABE πθθ∠=<<，在BAE △中，由正弦定理得232sin sin 3a πθ=，所以4sin a θ=，同理有4sin()3c πθ=-， 所以，a c +4sin 4sin()4sin()33ππθθθ=+-=+，注意到2333πππθ<+<， 故a c +的取值范围是(23,4].18．解：（1）连接，设，连接GF ，因为∥平面BEF ，且SAC平面BEF GF =，因此由线面平行的性质知SA //GF ，即13SF SC =。
重庆市育才中学高三数学上学期入学考试试题 文
重庆育才中学高2017级高三入学考试数学试题（文科）（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}{}{}20,1,2,3,4,5,1,3,|540U A B x Z x x ===∈-+<，则()U C A B =U （ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,4C ．{}0,4,5D ．{}5 2．若复数z 满足i)(1i)2z （++=，则z 在复平面内对应的点所在的象限为 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命题:,34xxp x R ∀∈<，命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是 （ ） A ．q p ∧ B ．q p ⌝∧ C ．q p ∧⌝ D ．q p ⌝∧⌝4．已知函数3,0,()ln(1),0,x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩，若2(2)(),f x f x ->则x 的取值范围是 ( )A.()(),12,-∞-+∞UB.()(),21,-∞-+∞UC.()1,2-D.()2,1- 5．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且945672S a a a =+++，则37a a +=（ ） A ．22 B ．24 C ．25 D ．266．在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,，2222c b a =+，则角C 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛30π， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛30π， C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛60π， D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛60π，7．设曲线11x y x +=-在点()2,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12B ．12- C ．2- D ．28．已知函数()322f x x ax x =++在[]0,2上既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为（ ） A ．()6,0-B ．(6,6-C ．[)3.5,0-D ． 3.5,6⎡--⎣ 9．设函数x x x f )41(log )(4-=，xx x g ⎪⎭⎫⎝⎛-=41log )(41的零点分别为21x x 、，则（ ）A ．121=x xB ．1021<<x xC ．2121<<x xD ．21x x 2≥10．已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式()2724f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,]8-∞- B ．1(,][1,)8-∞-+∞U C ．[1,)+∞ D ．1[,1]8- 11.函数)(x f 为定义在R 上的偶函数，且满足1)()1(=++x f x f ，当]2,1[∈x 时()3f x x =-，则(2015)f -=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2- 12.设函数()f x 是定义在(0)-∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2016)(2016)9(3)0x f x f ++--<的解集为（ ）A ．()2019,2016--B ．()2019,2016-C ．()2019,-+∞D ．(),2019-∞- 二、填空题：请把答案填在答题卡相应位置，本大题共4个小题，每小题5分，共20分。