郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义第2章连续时间系统的时域分析【圣才

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信号与系统(郑君里第二版)讲义第二章连续时间系统的时域分析

2.1 连续时间系统的数学模型
一、连续时间系统数学模型的建立原则上，具体问题的数学模型，由具体物理定律列写。在电学系统中，由电网络结构的约束特性：基尔霍夫第一定律（KCL）和基尔霍夫第二定律（KVL），以及元件的约束特性来建立描述连续时间系统（线性电路）的数学模型。电网络结构的约束特性，即各支路电流、电压的关系： KCL： ∑ ± i (t ) = 0
若其特征根均为单根则设零输入响应为zikzi若其特征方程中有一个m阶重根时则设零输入响应为zimzizizi确定个待定常数二零状态响应的定义及其求法1定义不考虑起始时刻系统储能的作用起始状态等于零由系统的外加激励信号所产生的响应称为零状态响应零状态响应满足的微分方程为
第二章
连续时间系统的时域分析
江禹生
⎧原方程的齐次方程 ⎨ (k ) ⎩起始状态r (0 − )
2、全响应 r ( t ) ＝自由响应 rh ( t ) ＋强迫响应 rp ( t ) 微分方程的齐次解就是自由响应，微分方程的特解就是强迫响应。 3、全响应 r ( t ) ＝瞬态响应＋稳态响应系统响应中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应分量，随着时间增长而趋于稳定的部分称为稳态响应分量。
rzi (t ) = H [{x(0 − )}]
零输入响应 rzi ( t ) 满足的微分方程为：
dn d n −1 d ( ) r t + a r (t ) + L + a1 rzi (t ) + a 0 rzi (t ) = 0 n −1 n zi n −1 zi dt dt dt
2、零输入响应 rzi ( t ) 的求解步骤（1）写出特征方程 α n + a n −1α n −1 + L + a1α + a 0 = 0 ，求出特征根 α 1 ， α 2 ， L ， α n （2）根据特征根的不同形式，写出所对应的齐次解形式。若其特征根均为单根，则设零输入响应为

郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章连续时间系统的时域分析【圣才

Ri(t) v1(t) e(t)
Ri(t)
1 C
t
i(
)d
v1 (t )
e(t)
vo (t) v1(t)
消元可得微分方程：
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1
台
C
d
dt
vo (t)
1 R
vo (t)
R
e(t)
2-2 图 2-2-2 所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为 m1，荷载舱质量为 m2，两者中间用刚度系数为 k 的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分别为 f1 和 f2。求火箭推进力 e（t）与荷载舱运动速度 v2（t）之间的微分方程表示。
M
di1 (t ) dt
Ri2 (t)
0
化简方程组可得微分方程：
(L2
M
2
)
d4 dt 4
vo
(t)
2RL
d3 dt 3
vo
(t)
2L C
R2
d2 dt 2
vo
(t)
2R C
d dt
vo
(t)
1 C2
vo
(t)
MR
d2 dt 2
e(t)
（3）由图 2-2-1（c）所示列写电路方程，得：
C
dv1 (t ) dt
b．自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决定，二者都与系统的自身参数有关；当系统 0－状态为零，则零输入响应为零，但自由响应可以不为零。
c．零输入响应在 0－时刻到 0＋时刻不跳变，此时刻若发生跳变，可能为零状态响应分量。

郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(名校考研真题连续时间系统的时域分析)【圣才出品】

0
0
1 [(1 cos t)u(t) (1 cos t)u(t 1)]
将 y0 (t) 代入，可得所求系统输出为
y1(t)
y0 (t)
y0 (t
1)
1
(1
cost)[u(t)
u(t
2)]
y1(t) 的波形如图 2-5 所示。
图 2-5
3．离散时间系统如图 2-6 所示，其中 D 为单位延时器。要求在时域求解。
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第 2 章连续时间系统的时域分析
一、选择题 1．下列表达式中正确的是（）。[中山大学 2010 研] A．δ（2t）＝δ（t） B．δ（2t）＝1/2δ（t） C．δ（2t）＝2δ（t） D．δ（2t）＝δ（2/t）【答案】B 【解析】根据单位冲激函数的时间尺度变换性质，有 (at) 1 (t) 。
，即 a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励
的零输入响应和零状态响应分别为 rzi（t）和 rzs（t），则
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为 h（t），则由线性时不变系统的叠加性可知
由式（1）、式（2），并设
，可得：
则
，解得：A1＝－2，A2＝1，A3＝1，故：
代入式（1），可得：
a
2．序列和 A．1 B．[k] C．k u [k] D．（k＋1）u[k] 【答案】D
等于（）。[北京交通大学研]
【解析】由于
。
3．已知一个 LTI 系统起始无储能，当输入
，系统输出为
，当输入
时，系统的零状态响应 r（t）是（）。
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A． B． C． D．【答案】A 【解析】根据卷积的基本性质，有
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台y(t) x(t) h(t)
e3tu(t) u(t 1)
t e3tdt (t 1) 0
1 [1 e3t ]u(t) (t 1) 3
e－（t－r）x（τ－2）dτ，则
该系统的单位冲激响应 h（t）＝（）。
【答案】 e( t2 )
【解析】零输入 x( 2 ) ( 2 )；则输出为
h( t ) e( t ) ( 2 )d e( t2 ) ( 2 )d e( t2 )
3．已知 f1（t）＝u（t）－u（t－3）和 f2（t）＝u（t），则 f（t）＝f1（t） ×○ f2（t）＝（）。
t
d d
f1
f2
d
t
2
4
2
6
f2
d
t
f2
2
f2
4
2
f2
6d
所以得 y 6 6
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8．下列叙述中正确的是（）。
（1）若 y（t）＝f（t）*h（t），则 y（2t）＝2f（2t）*h（2t）。
（2）若 f1（t）和 f2（t）均为奇函数，则 f1（t）*f2（t）为偶函数。
dr( t )
当激励为 dt 时，响应为 dt ，r2（t）＝
[r1(t)]= δ（t）－3e－3tu（t）。
5．
。则 f（t）*h（t）＝______。
【答案】 1 et1U t 1 et2U t 2
【解析】因为 f t t t0 f t0 ，且

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解：对汽车底盘进行受力分析。
图 2-4
图 2-5
设汽车底盘运动速度为 v(t) ，方向向上； Fk 为弹簧对汽车底盘的拉力，方向向下； Ff 为减震器阻尼力，方向向下。
汽车底盘的加速度：
a(t)
dv(t) dt
d dt
[ dy(t)] dt
d
2 y(t) dt 2
①
因弹簧的位移量为 x(t) y(t) ，所以拉力： Fk (t) k[ y(t) x(t)]
②
减震器对汽车底盘的作用力： Ff
(t)
f
d [ y(t) x(t)] dt
③
由牛顿第二定律知： Fk (t) Ff (t) ma(t)
将式①②③代入上式，可得微分方程
2-6 给定系统微分方程
若激励信号和起始状态为：试求它的完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应，自由响应、强迫响应各分量。
解：方程的特征方程为
特征根为
（1）设零输入响应
①
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由已知条件可得
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rzi (0 ) rzi (0 ) r(0 ) 1
台
（2）
d dt
r
t
2r
t
3
d dt
et
,r
0
0,et
ut
。
试判断在起始点是否发生跳变，据此对（1）（2）分别写出其 r0 值。
解：当微分方程右端包含 (t) 及其各阶导数时，系统从 0 状态到 0 状态发生跳变。
（1）将 e(t) u(t) 代入原方程得：

信号与系统第三版郑君里课后习题答案

信号与系统第三版郑君里课后习题答案第一章习题参考解1，判刑下列信号的类型解：()sin [()];y t A x t = 连续、模拟、周期、功率型信号。

()()tt y t x ed τττ--∞=⎰连续、模拟、非周期、功率型信号。

()(2y n x n =）离散、模拟、非周期、功率型信号。

()()y n n x n = 离散、模拟、非周期、功率型信号。

1－6，示意画出下列各信号的波形，并判断其类型。

(1) 0()s in ()x t A t ωθ=+ 连续、模拟、周期、功率型(2) ()t x t A e -= 连续、模拟、非周期、只是一个函数，不是物理量。

(3) ()c o s 0tx t ett -=≥ 连续、模拟、非周期、能量型 (4) ()2112,x t t t =+-≤≤ 连续、模拟、非周期、能量型(5) 4()(),0.5k x k k =≥ 离散、模拟、非周期、能量型(6) 0().j kx k eΩ= 离散、模拟、周期、功率型()s i n [()];()()()(2);()()tt y t A x t y t x ed y n x n y n n x n τττ--∞====⎰1－6题，1－4图。

t=-pi:1/200:pi;y1=1.5*sin(2*t+pi/6);subplot(4,1,1),plot(t,y1),title('1.5sin(2*t+pi/6)'),gridy2=2*exp(-t);subplot(4,1,2),plot(t,y2),title('2exp(-t)'),gridt1=0:1/200:2*pi;y3=10*exp(-t1).*cos(2*pi*t1);subplot(4,1,3),plot(t1,y3),title('10exp(-t1)cos(2*pi*t1)'),grid t2=-1:1/200:2;y4=2*t2+1;subplot(4,1,4),plot(t2,y4),title('2x+1'),grid习题1－6 5－6题n=0:pi/10:2*pi;y=(0.8).^n;subplot(4,1,1),stem(n,y,'fill'),title('(0.8)^n'),gridn1=0:pi/24:2*pi;y1=cos(2*pi*n1);y2=sin(2*pi*n1);subplot(4,1,2),stem3(y1,y2,n1,'fill'),title('exp[2*pi*n1'),gridsubplot(4,1,4),stem(n1,sin(2*pi*n1),'fill'),title('sin2pin1'),gridsubplot(4,1,3),stem(n1,cos(2*pi*n1),'fill'),title('cos2pin1)'),grid1－8，判断下列系统的类型。

郑君里信号与系统第二章

Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1 于是特解为 yp(t) = e – t
■ 第 14 页
全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t 其中待定常数C1,C2由初始条件确定。
k
yh(t) Cit kieit
n
C jejt
i 1
jk 1
λi是k阶重根,λj是单根。Ci、Cj(常数)由系统初始状态决定。
（3）所有λj为一对共轭复根 j，则微分方程的齐次解为：
yh (t ) et [C cos t D sin t]
▲
■
第 7页
uC
uS
uC (0 )，uC(0 )
L
uS(t)
R
uC(t)
C
二阶常系数线性微分方程。
抽去具有的物理含义，微分方程写成
a2
d
2
d
y(t) t2

a1
d
y(t) dt

a0
y(t)

f (t)
▲
■
第 2页
2. 离散系统的解析描述
例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为β元/
月，求第k个月初存折上的款数。
■ 第 20 页
aδ"(t)+bδ'(t)+cδ(t)+r1(t) + 3aδ'(t)+3bδ(t)+3r2(t) + 2aδ(t)+2r3(t)= 2δ"(t) + δ'(t)

《信号与系统》郑君里教学课件讲义

（４）１９世纪末，人们研究用电磁波传送无线电信号。赫兹（Ｈ.Hertz）波波夫、马可尼等作出贡献。1901年马可尼成功地实现了横渡大西洋的无线电通信。
（5）光纤通信从此，传输电信号的通信方式得到广泛应用和迅速发展。如今：（１）卫星通信技术为基础“全球定位系统（Global Positioning System, 缩写为GPS）用无线电信号的传输，测定地球表面和周围空间任意目标的位置，其精度可达数十米之内。（２）个人通信技术：无论任何人在任何时候和任何地方都能够和世界上其他人进行通信。（３）“全球通信网”是信息网络技术的发展必然趋势。目前的综合业务数字网（Integrated Services Digital Network,缩写为ISDN),Internet或称因特网，以及其他各种信息网络技术为全球通信网奠定了基础。
信号与系统
郑君里
教学课件
1、教材：信号与系统郑君里杨为理应启珩编 2、信号与系统 Signals & Systems ALAN V.OPPENHEIM ALANS. WILLSKY 清华大学出版社（英文影印版）（中译本）刘树棠西安交通大学出版社 3、信号与系统例题分析及习题乐正友杨为理应启珩编 4、信号与系统习题集西北工业大学
5. 系统的分类
系统可分为物理系统与非物理系统，人工系统以及自然系统。物理系统：包括通信系统、电力系统、机械系统等；非物理系统：政治结构、经济组织、生产管理等；人工系统：计算机网、交通运输网、水利灌溉网以及交响乐队等；自然系统：小至原子核，大如太阳系，可以是无生命的，也可是有生命的（如动物的神经网络）。
4.信号、电路（网络）与系统的关系
离开了信号，电路与系统将失去意义。

郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(1-2章)【圣才出品】

第1章绪论
1.1复习笔记
本章作为《信号与系统》的开篇章节，是整个信号与系统学习的基础。

本章介绍了有关信号与系统的基本概念和术语，给出几种典型的信号和系统的表现形式，讲述了各信号与系统的特点以及信号之间的运算和转换。

通过本章学习，读者应掌握：如何判断信号类型、不同信号之间的运算、信号的分解以及系统类型的判断。

一、信号概述
1．信号的概念及分类（见表1-1-1）
表1-1-1信号的概念及分类
2．典型的连续信号（见表1-1-2）
表1-1-2典型的信号及表示形式
3．信号的运算（见表1-1-3）
表1-1-3信号的运算
4．阶跃函数和冲激函数
阶跃信号和冲激信号是信号与系统中最基础的两种信号，许多复杂信号皆可由二者或二者的线性组合表示。

具体见表1-1-4及表1-1-5。

（1）单位阶跃信号u（t）
表1-1-4单位阶跃信号u（t）
（2）单位冲激信号δ（t）
表1-1-5单位冲激信号δ（t）表示形式及性质
5．信号的分解
一个一般信号根据不同类型可分解为以下几种分量，具体见表1-1-6。

表1-1-6信号的分解
二、系统
1．系统概念及分类（见表1-1-7）
表1-1-7系统的概念及分类
系统模型如下：
输入信号经过不同系统可得到不同输出信号，具体见表1-1-8。

表1-1-8不同系统特性
1.2课后习题详解
1-1分别判断图1-2-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）。

信号与系统郑君里-第三版上(总)

§ 1.2 常用信号介绍
本课程主要涉及的是一维连续时间和离散时间确定性信号。一、连续时间信号：
1、单位阶跃信号：u(t )
1 t 0 函数式：u (t ) 0 t 0
平移：
u(t )
波形图：
1
0
t
1 t t0 u (t t0 ) 0 t t0
u(t t0 )
(n n0 )
1
0
n0
n
x ( n)
• 抽样性：
设有序列x(n) ，则有
2 1
0
1 2 3
4
5
n
x(n)(n) x(0)(n)
1
0
3
n
x(n)(n n0 ) x(n0 )(n n0 )
x(0)
x(3)
0
3
n
x(n)(n) x(0) (n) x(0)
平移： R(t t0 ) (t t0 )u(t t0 )
R(t t0 )
0
t0
1 t0
t
•与单位阶跃信号的关系：是单位阶跃信号的积分：
R(t )

u(t )
1
u()d
t
0
t
R(t )
1
所以
u (t )
dR (t ) R(t ) dt
0
1
t
• 三角脉冲的表示：
0
⑵ 偶函数：
(t ) (t )
(t t0 ) [(t t0 )] (t0 t )
•单位冲激信号的导数（微分）：单位冲激信号的各阶导数（微分）表示为：
d (t ) (t ) dt d(t ) (t ) dt

信号与系统(郑君里)第二版讲义第二章

第二章连续时间系统的时域分析第一讲微分方程的建立与求解一、微分方程的建立与求解对电路系统建立微分方程，其各支路的电流、电压将为两种约束所支配： 1.来自连接方式的约束：KVL 和KIL ，与元件的性质无关。

2.来自元件伏安关系的约束：与元件的连接方式无关。

例2-1 如图2-1所示电路，激励信号为，求输出信号。

电路起始电压为零。

图2－1解以输出电压为响应变量，列回路电压方程：所以齐次解为：。

因激励信号为，若，则，将其代入微分方程：所以，从而求得完全解：由于电路起始电压为零并且输入不是冲激信号，所以电容两端电压不会发生跳变，，从而若，则特解为，将其代入微分方程，并利用起始条件求出系数，从而得到：二、起始条件的跳变——从到1.系统的状态(起始与初始状态)(1)系统的状态：系统在某一时刻的状态是一组必须知道的最少量的数据，利用这组数据和系统的模型以及该时刻接入的激励信号，就能够完全确定系统任何时刻的响应。

由于激励信号的接入，系统响应及其各阶导数可能在t=0时刻发生跳变，所以以表示激励接入之前的瞬时，而以表示激励接入以后的瞬时。

(2)起始状态：，它决定了零输入响应，在激励接入之前的瞬时t=系统的状态，它总结了计算未来响应所需要的过去的全部信息。

(3)初始状态：跳变量,它决定了零状态响应，在激励接入之后的瞬时系统的状态。

(4)初始条件：它决定了完全响应。

这三个量的关系是：。

2.初始条件的确定（换路定律）电容电压和电感电流在换路（电路接通、断开、接线突变、电路参数突变、电源突变）瞬间前后不能发生突变，即是连续的。

时不变：时变：例电路如图2-2所示，t=0以前开关位于"1"已进入稳态，t=0时刻，开关自"1"转至"2"。

(1)试从物理概念判断、和、。

(2)写出t>0时间内描述系统的微分方程式,求的完全响应。

图2－2解(1)换路前电路处于稳态电感相当于短路，电感电流，电容相当于开路= 0，= = 0。

郑君里信号与系统习题解答第二章

第二章连续时间系统的时域分析经典法：双零法卷积积分法：求零状态响应求解系统响应→定初始条件满足换路定则起始点有跳变：求跳变量零输入响应：用经典法求解零状态响应：卷积积分法求解()()()()⎩⎨⎧==-+-+0000L L c c i i u u例题•例题1：连续时间系统求解（经典法，双零法） •例题2：求冲激响应（n >m ） •例题3：求冲激响应（n ＜m ） •例题4：求系统的零状态响应 •例题5：卷积 •例题6：系统互联例2-1分析在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是：：起始状态，它决定零输入响应；()()()()()()()()()强迫响应。

状态响应，自由响应，并指出零输入响应，零，求系统的全响应，已知系统的微分方程为描述某t u t e r r t e t t e t r t t r t t r =='=+=++--,00,206d d 22d d 3d d LTI 22()-0)(k r ⎩⎨⎧状态变量描述法输出描述法—输入建立系统的数学模型：跳变量，它决定零状态响应；：初始条件，它决定完全响应；这三个量之间的关系是分别利用求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。

解：方法一：利用先来求完全响应，再求零输入响应，零状态响应等于完全响应减去零输入响应。

方法二：用方法一求零输入响应后，利用跳变量来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。

本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。

方法一1. 完全响应该完全响应是方程（1）方程（1）的特征方程为特征根为方程（1）的齐次解为因为方程（1）在t >0时，可写为（2）显然，方程（1）的特解可设为常数D ，把D 代入方程（2）求得所以方程（1）的解为下面由冲激函数匹配法定初始条件由冲激函数匹配法定初始条件据方程（1）可设代入方程（1），得匹配方程两端的，及其各阶导数项，得所以，所以系统的完全响应为()+0)(k zsr ()+0)(k r ()()()+-+=-000)()()(k zs k k r r r ()()++00)()(k k zs r r ，()()代入原方程有将t u t e =()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()++'0,0r r ()()++''0,0zs zs r r ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足00,20='=--r r 0232=++αα2121-=-=αα，()t t e A e A t r 221--+=()()()()t u t r t t r tt r 62d d 3d d 22=++3=D ()3221++=--tt e A e A t r ()()()t u b t a t t r ∆+=δ22d d ()()t u a t t r ∆=d d ()无跳变t r ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ2=a ()t δ()()22000=+=+'='-+a r r ()()200==-+r r ()()代入把20,20=='++r r ()3221++=--t t e A e A t r 1,021-==A A 得()0 32≥+-=-t e t r t ()t r zi 再求零输入响应2.求零输入响应（3）（3）式的特征根为方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为所以，系统的零输入响应为下面求零状态响应零状态响应=完全响应—零输入响应，即因为特解为3，所以强迫响应是3，自由响应是方法二（5）以上分析可用下面的数学过程描述代入（5）式根据在t =0时刻，微分方程两端的及其各阶导数应该平衡相等，得于是t >0时，方程为齐次解为，特解为3，于是有所以，系统的零状态响应为方法一求出系统的零输入响应为()是方程响应因为激励为零，零输入t r zi ()()()02d 3d d 22=++t r dt t r t t r ()()()()()()的解．，且满足 0000 2000='='='===--+--+r r r r r r zi zi zi zi 2121-=-=αα，()t t zi e B e B t r 221--+=()()式解得，代入，由)4(0020='=++zi zi r r 2,421-==B B ()0 242≥-=--t e e t r t t zi ()0 342≥++-=--t e e t r t t zs t t e e 24--+-()是方程零状态响应t r zs ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足000='=--zs zs r r ()项由于上式等号右边有t δ()应含有冲激函数，，故t r zs "()将发生跳变，即从而t r zs '()()-+'≠'00zs zs r r ()处是连续的．在而0=t t r zs ()()()()()t u a t r t t u b t a t r tzs zs∆=+∆+=+d d ,d d 22δ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ()t δ2=a ()()()()002000===+'='-+-+zs zs zs zs r r a r r ()()()()t u t r t t r t t r 62d d 3d d 22=++ 221t t e D e D --+()3221++=--t t zi e D e D t r ()()得由初始条件0,200=='++zs zs r r 1,421=-=D D ()0) ( 342≥++-=--t e e t r t t zs ()0 242≥-=--t e e t r t t zi完全响应=零状态响应+零输入响应，即例2-2冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。

郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义(1-6章)【圣才出品】

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f t f (t nT ) n 0 , 1, 2 ,
b．非周期信号：在时间上不具有周而复始的特性。 ③连续信号与离散信号 a．连续信号：时间轴为连续时间变量； b．离散信号：时间轴为离散时间变量。 ④模拟信号、抽样信号、数字信号 a．模拟信号：时间幅度均连续的信号； b．抽样信号：时间离散，幅度连续的信号； c．数字信号：时间幅度均离散的信号。 3．信号的几种典型示例（1）指数信号： f (t) Keat , a R ；（2）正弦信号： f (t) K sin(t ) ；（3）复指数信号： f (t) Kest Ke( j)t ；（4）抽样信号： Sa(t) sin t ；

（2）积分
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òt f t( )dt -¥
3．两信号相加或相乘
信号的相加、相乘与代数运算无异。
四、阶跃信号和冲激信号奇异信号是指函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的信号，包括斜变、阶跃、冲激和冲激偶四种信号。 1．单位斜变信号
（2）反褶
f (t) f (t) ，把 f (t) 的波形以 t 0 为轴反褶过来。
（3）尺度变换
f (t) f (at) ( a 为正实系数)，若 a 1 ，则 f (t) 的波形沿时间轴被压缩；反之，则
被扩展。
2．微分和积分
（1）微分
f ¢(t) = d f (t) dt
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t （5）钟形信号(高斯函数)： f (t) Ee(t/ )2 。
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考研专业课郑君里版《信号与系统》第二章补充习题——附带答案详解

第二章连续时间系统的时域分析1．已知连续时间信号1()e ()t f t u t -=和2()e ()t f t u t =-，求卷积积分12()()()f t f t f t =*，并画出()f t 的波形图。

解：1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰反褶1()f τ得1()f τ-，右移t 得11[()]()f t f t ττ--=-，作出2()f τ图形及不同t 取值的1()f t τ-图形，由此可得：当0t ≤时，21()e e ee e 2ttt tt f t d d τττττ---∞-∞===⎰⎰当0t ≥时，0021()e e e e e 2t t t f t d d τττττ----∞-∞===⎰⎰综上，||111()e ()e ()e 222t t t f t u t u t --=-+=()f t 是个双边指数函数。

讨论：当1()f t 、2()f t 为普通函数（不含有()t δ、()t δ'等）时，卷积结果()f t 是一个连续函数，且()f t 非零取值区间的左边界为1()f t 、2()f t 左边界之和，右边界为1()f t 、2()f t 右边界之和，也就是说，()f t 的时宽为1()f t 、2()f t 时宽之和。

τttt2．计算题图2（a ）所示函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分)()()(21t f t f t f *=，并画出)(t f 的图形。

解法一：图解法1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰其中1()f t τ-的波形见题图2(b)，由此可得：当10t +≤，即1t ≤-时，()0f t = 当011t ≤+≤，即10t -≤≤时，120()2(1)t f t d t ττ+==+⎰当11t +≥但10t -≤，即01t ≤≤时，1()21f t d ττ==⎰当011t ≤-≤，即12t ≤≤时，121()21(1)t f t d t ττ-==--⎰当11t -≥，即2t ≥时，()0f t =综上，220,1,2(1),10()1,011(1),12t t t t f t t t t ≤-≥⎧⎪+-≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪--≤≤⎩ ()f t 波形见题图2(c)。

郑君里信号与系统考研总复习

E
1 Pn
Ts
s
s
E Fs ()
Ts

0
时域抽样等效于频域周期拓展
s
s

总结
是f(t)傅里叶
周期信号的傅立叶变换
级数的系数
n
F ( ) 2 Fn ( n0 )
n
周期信号的频谱是离散的
抽样信号的傅立叶变换
是抽样脉冲序列p(t) 傅里叶级数的系数
n
Fs ( ) PnF ( ns ) n
抽样（离散）信号的频谱是周期的
(二）奈奎斯特（Nyqist）抽样率 fs 和抽样间隔Ts
从前面的频谱图可以看出，从抽样信号重建原信号的必要条件：抽样频率大于等于原信号最高频率的2倍
s 2m or fs 2 fm
fs 2 fm
1.阶跃函数
Lu( t )
2.指数函数

0
1
estd
t

1 est 1 s 0 s
L eα t eα testd t
eα st

1
0
αs αs
3.单位冲激信号
0
σ α
L
t

0
t

estd
特解：rp (t )的函数形式与激励函数形式有关
)
解
方程双零法零零状输态入::利可用利卷用积经积典分法法求求解

变换域法: Z变换，在Z域求解微分方程

经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问
题有待进一步解决—— h(t)；

郑君里信号与系统第二章习题解析

第二章连续时间系统的时域分析
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1
知识要点
一、求解系统的响应，就等于求解微分方程。
微分方程的解
= 齐次解+特解
= 自由响应（齐次解，和特征根有关，系数则由起始条件决定） +强迫响应（是特解，和系统的激励端有关） = 零输入响应
（形如齐次解，是齐次解的一部分，由系统储能引起的响应）
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9
习题解答
2-12 有一系统激励为 e1 t ut 时的完全响应为 r1 t 2et ut ，对激
励为 e2 t t 时的完全响应为 r2 t t 。
（1）求该系统的零输入响应 rzi t ；（2）系统的起始状态保持不变，求其对于激励为 e3 t et ut 的完全响应 r3 t 。
e (t ) 呈线性性。
（3）零输入线性当外加激励为零时，系统的零输入响应 rzi (t ) 对于各起始状态呈线性关系。
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6
习题解答
2-5 试判断给定系统在起始点是否发生跳变。
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7
习题解答
2-11 设系统的微分方程表示为
15
习题解答
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习题解答
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习题解答
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习题解答
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郑君里《信号与系统》(第3版)配套模拟试题及详解(二)【圣才出品】

C．带通
D．带阻
【答案】A
t
t
【解析】由积分器的定义可知 f ( t )dt ，当 f（t）＝ ( t )时， f ( t )dt ＝
t
( t )dt ＝u（t），
(t) 1, u(t) 1 (w) ，由阶跃信号的频谱图形可知，积分器为低通滤波器。 jw
4．序列
的单边 z 变换 F（z）＝（）。
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郑君里《信号与系统》（第 3 版）配套模拟试题及详解（二）
一、单项选择题（本大题共 6 小题，每题 4 分共 24 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。
1．求信号 A．4
的周期（）。
1．已知信号 f（2－t）的波形如图 3 所示，试画出 f（t），f（2t＋1）和 f（2t＋1）的波形。
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图3
答：f（2－t）＝f[－（t－2）]向左时移 2 个单位 f（－t）倒置 f（t）；f（t）尺度变换 f（2t）时移 f[2（t＋ 1 ）]＝f（2t＋1），结果如图 4 所示。
B．2
C．0.2π
D．0.5π
【答案】A
【解析】余弦函数周期 T
2 w
2
4。
2
2．信号
的象函数为（）。
【答案】C
【解析】因拉氏变换有
，根据时域微分性质，故
，又根据频域微分性质有：
3．积分器属于何种类型的滤波器？（） A．低通
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B．高通
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信号与系统郑君里版第二章

（2）求yx(t)的基本步骤 ①求系统的特征根，写出yx(t)的通解表达式。
②由于激励为零，所以零输入的初始值：
y
(i x
)
(0)
y
(i x
)
(0)
确2， …，Cn代入通解表达式，即得yx(t)。
3、零状态响应（1）即求解对应非齐次微分方程的解（2）求yf(t)的基本步骤
虚根、复数根)λ1，λ2， …，λn时，则yx(t)的通解表达式为
y x (t) C1e1t C2e2t ... Cnent
② 特征方程的根为n重根当特征方程的根(特征根)为n个重根(不论实根、
虚根、复数根) λ1=λ2=…=λn时，yx(t)的通解表达式为:
y x (t) C1e1t C2te2t ... Cnt n1ent
当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0－状态到 0＋状态
有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。
如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0－状态到0＋状态发生了跳变。 0＋状态的确定
已知 0－状态求 0＋状态的值，可用冲激函数匹配法。求 0＋状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。
零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
相互关系
零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成。
y(t) e2t 3 yx (t) y f (t) (2e2t 4et ) (e2t 4et 3)，t 0
强迫响应
自由响应
a0 y(t) a1 y' (t) ... an y(n) (t) b0 b1 (t) b2 ' (t) ... bm (m1) (t)