几何综合(讲义及答案)
一次函数与几何综合(一)(讲义及答案).
一次函数与几何综合（一）（讲义）➢ 课前预习1. 若一次函数经过点 A (2，-1)和点 B (4，3)，则该一次函数的表达式为．2. 若直线 l 平行于直线 y =-2x -1，且过点(1，4)，则直线 l 的表达式为 ．3.如图，一次函数的图象经过点 A ，且与正比例函数 y =-x 的图象交于点 B ，则该一次函数的表达式为．第 3 题图第 4 题图4.如图，点 A 在直线 l 1：y =3x 上，且点 A 在第一象限，过点 A 作 y 轴的平行线交直线 l 2：y =x 于点 B ．（1） 设点 A 的横坐标为 t ，则点 A 的坐标为，点 B的坐标为 ，线段 AB 的长为；（用含 t的式子表示）（2） 若 AB =4，则点 A 的坐标是．➢ 知识点睛1. 一次函数与几何综合的处理思路：从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题．2. 函数与几何综合问题中常见转化方式：（1） 借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段长，结合几何特征利用线段长列方程；（2） 研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程．表达线段长：横平线段长，横坐标相减，右减左； 竖直线段长，纵坐标相减，上减下．1➢ 精讲精练1.如图，直线 y = - 3x + 3 与 x 轴、y 轴交于 A ，B 两点，点 C4是 y 轴负半轴上一点，若 BA =BC ，则直线 AC 的表达式为．第 1 题图第 2 题图2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与 x 轴相交于点 B ，与正比例函数 y =3x 的图象交于点 C ，点 C 的横坐标为 1，则△OBC 的面积为 ．3.如图，直线l ：y = 3x + 6 与 y 轴相交于点 N ，直线l ：y = kx -31 42与直线l 1 相交于点 P ，与 y 轴相交于点 M ，若△PMN 的面积为 18，则直线l 2的表达式为．4.如图，一次函数 y = 1x + 2 的图象与 y 轴交于点 A ，与正比例3函数 y =kx 的图象交于第二象限内的点 B ，若 AB =OB ，则 k 的值为．5. 如图，点A，B 的坐标分别为(-8，0)，(0，4)，点C(a，0)为x轴上一个动点，过点C 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D，若CD=5，则a 的值为．6.如图，直线y=kx+6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点A 的坐标为(6，0)，点C 的坐标为(4，0)．若点P 是直线y=kx+6 上的一个动点，当点P 的坐标为时，△OPC 的面积为4．7.如图，直线y =-1x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，与直2线y=x 交于点M，点M 的横坐标为2，点C 为线段AM 上一点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D，交直线y=x 于点E．若ED=4CD，则点E 的坐标为．8.如图，直线l1：y=2x+1 与直线l2：y=mx+4 相交于点P(1，b)，垂直于x 轴的直线x=a 与直线l1，l2 分别交于点A，B，若线段AB 的长为2，则a 的值为．9.如图，直线AB：y=-x+20 与y 轴交于点A，与直线OB：y =1 x 3交于点B．点C 为线段OB 上一点，过点C 作y 轴的平行线交直线AB 于点D，向y 轴作垂线，垂足为点E．若DC=2CE，则点C 的坐标为．10.如图，在平面直角坐标系中，点A，C 和B，D 分别在直线y=1x+3和x 轴上，若△OAB，△BCD 都是等腰直角三角形，2∠OAB=∠BCD=90°，则点C 的坐标为．11.如图，直线l1：y 3x 与直线l2：y=-x+7 相交于点A．点P 4在x 轴正半轴上，过点P 作x 轴的垂线，与直线l1，l2 分别交于点B，C．设点P 的横坐标为t．（1）当t=1 时，求线段BC 的长；（2）用含t 的式子表达BC 的长；（3）若三个点B，C，P 中恰有一点是其他两点所连线段的中点，则称B，C，P 三点为“共谐点”．请直接写出使得B，C，P 三点成为“共谐点”的t 的值．⎨ 【参考答案】➢ 课前预习1. y = 2x - 52. y = -2x + 63. y = x + 24. （1）(t ，3t )，(t ，t )，2t（2）(2，6)➢ 精讲精练1. y = 1x - 222. 63. y = - 3x - 32 4. - 13 5. 2 或-186. (4，2)或(8，-2)7. (4，4)8. 5 或 13 3 9. (6，2) 10. (30，18) 11. （1） BC =21；4 ⎧- 7t + 7(0 < t ≤ 4) （2） BC = ⎪4 ；7 ⎪ t - 7(t > 4) ⎩ 4（3）当 t 的值为14 ，56或 28 时，B ，C ，P 三点成为“共5 11谐点”⎪。
二次函数与几何综合(讲义和习题)含答案
二次函数与几何综合（讲义）➢ 课前预习1. 如图，直线112y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，则△ABC 的面积为__________．提示：利用点坐标求面积，需要将点坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线来对图形进行割补． 具体操作：①过点C 作CD ∥y 轴，交AB 于点D ； ②借助C ，D 坐标求解CD 长；③以CD 为底，则A ，B 两点间的水平距离为高，即1()2ABC ADC DBC B A S S S CD x x =+=⋅⋅-△△△2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线334y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，-2)．若点D 在直线AB 上运动，点E 在直线AC 上运动，当以O ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形时，点D 的坐标为__________．y xCB AO提示：（1）分析定点（A ，O ），动点（D ，E ），属于两定两动的平行四边形存在性问题．（2）连接两定点得定线段，考虑：①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标． （3）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证．➢ 知识点睛1. “函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，_____________________． 2. 研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．②___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3. 二次函数之面积问题的常见模型①割补法——铅垂法求面积：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△ 1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ， 当P ，Q 在AB 同侧时， 当P ，Q 在AB 异侧时， PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．➢ 精讲精练1. 如图，抛物线y =-x 2+2x +3经过A ，B ，C 三点．点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，连接MB ，MC ．（1）若设点M 的横坐标为m ，四边形OBMC 的面积为S ，则S 与m 的函数关系式为________________．（2）四边形OBMC 的最大面积为________，此时点M 的坐标为____________．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3经过A，B，C三点，点D的坐标为(0，1)，直线AD与抛物线交于另一点E．（1）若M是直线AD上方抛物线上的一个动点，则△AME面积的最大值为__________．=6时，点G的坐标为_______________．（2）在直线AD下方的抛物线上有一动点G，当S△AEG3.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC，CD，∠ACD=90°．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，C以及另一点N为顶点的平行四边形ACNM的面积为12，设M的横坐标为m，求m的值．4.如图，已知二次函数y=x2-3x-4的图象与x轴交于点A，B，且经过点C(2，-6)，连接AC，二次函数图象的对称轴记为l．（1）点D(m，n)（-1＜m＜2）是二次函数图象上一动点，当△ACD关于l的对称点为E，求点E的坐标．（2）在（1）的条件下，能否在二次函数图象和直线l上分别找到点P，Q，使得以点D，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．5. 如图，抛物线y =ax 2-5ax+4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点D 在抛物线对称轴上，点E 在抛物线上，且以A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的坐标；（3）已知点F 是抛物线上的动点，点G 是直线y =-x 上的动点，且以O ，C ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，求点G 的横坐标．【参考答案】➢课前预习1.9 22.1126 () 55D，，2286 () 55D，➢知识点睛1.利用横平竖直的线段长，函数特征与几何特征互转2.①四点一线；k，b②坐标转线段长➢精讲精练（2）(3，0)或(-2，-5)3.（1）y=x2-2x-3；（2）m=4或m=-1．二次函数与几何综合（习题）➢例题示范例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA=OC，连接AC．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值．（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)析式．再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 【过程示范】解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1)可知A(-3，0)，B(1，0)，∵OA=OC，∴C(0，-3)，将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a，解得，a=1，∴y=x2+2x-3．(2+2x-3第二问：铅垂法求面积 【思路分析】（1）整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动，即 -3＜x P ＜0； （2）设计方案：注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S △ACP ． 【过程示范】如图，过点P 作PQ ∥y 轴，交AC 于点Q ， 易得l AC ：y =-x -3设点P 的横坐标为t ，则P (t ，t 2+2t -3)， ∵PQ ∥y 轴， ∴Q (t ，-t -3)，∴PQ =y Q -y P =-t -3-(t 2+2t -3)=-t 2-3t （-3＜t ＜0）， ∴2139()222ACP C A S PQ x x t t =⋅-=--△（-3＜t ＜0） ∵302-<， ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线32t =-，∴当32t =-时，S △ACP 最大，为278．第三问：平行四边形的存在性 【思路分析】 分析不变特征：以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形中，A ，B 为定点，E ，F 为动点，定点A ，B 连接成为定线段AB ．分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则AB既可以作边，也可以作对角线．画图求解：先根据平行四边形的判定来确定EF和AB之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB作为边时，依据平行四边形的判定，需满足EF∥AB且EF=AB，要找EF，可借助平移．点E在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点E在对称轴上，来找抛物线上的点F．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB，EF互相平分，先找到定线段AB的中点，在旋转过程中找到EF恰好被AB中点平分的位置，因为E和AB中点都在抛物线对称轴上，说明EF所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为F点坐标．结果验证：画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形．【过程示范】（3）①当AB为边时，AB∥EF且AB=EF，如图所示，设E点坐标为(-1，m)，当四边形是□ABFE时，由A(-3，0)，B(1，0)可知，F1(3，m)，代入抛物线解析式，可得，m=12，∴F1(3，12)；当四边形是□ABEF时，由A(-3，0)，B(1，0)可知，F2(-5，m)，代入抛物线解析式，可得，m=12，∴F2(-5，12)．②当AB为对角线时，AB与EF互相平分，AB的中点D(-1，0)，设E(-1，m)，则F(-1，-m)，代入抛物线解析式，可得，m=4，∴F3(-1，-4)．综上：F1(3，12)，F2(-5，12)，F3(-1，-4)．➢巩固练习1.如图，直线12y x=-与抛物线2164y x=-+交于A，B两点，C是抛物线的顶点．（1）在直线AB上方的抛物线上有一动点P，当△ABP的面积最大时，点P的坐标为__________________．（2）若点M在抛物线上，且以点M，A，B以及另一点N为顶点的平行四边形ABNM的面积为240，则M，N两点的坐标为_______________．2.已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A(α，0)，B(β，0)，且112αβ+=-．抛物线的对称轴为直线l，与y轴的交点为点C，顶点为点D，点C关于l的对称点为点E．（1）抛物线的解析式为_________．（2）连接CD，在直线CD下方的抛物线上有一动点G，当S△CDG=3，点G的坐标为______________．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为_______．3.已知抛物线y=ax2-4ax+b的对称轴为直线x=2，顶点为P，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，连接BC，PB，得到∠PBC=90°．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△BCQ与△BCP的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是抛物线上一动点，点F是x轴上一动点，是否存在以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线y=ax2-ax-b与y轴交于点D，且经过点C，连接AD，可得AB=AD．（1）求抛物线的解析式．（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴l上一动点，是否存在点P，使以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【参考答案】1.（1）23 (1)4，；（2）M1(-10，-19)，N1(-20，-14)；M2(12，-30)，N2(2，-25) 2.（1）y=-x2+4x+2；（2）G1(-1，-3)，G2(3，5)；（3）1(40)Q，2(40)Q，3(0)Q，40)Q3.（1）y=-x2+4x-3；（2）存在，Q1(1，0)，237 (22Q --，，337(22Q+-+，；（3）存在，F1(7，0)，F2(-1，0)．4. （1）211222y x x =--；（2）3x =（3）存在，1313()28P -，，2113()28P --，，3117()28P -，．。
2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析
2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是；（2）如果＝，那么＝；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD．（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系；（2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明．4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．8．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）参考答案与试题解析1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是60°；（2）如果＝，那么＝1；（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．【分析】（1）易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性质即可解决问题；（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE，设BD＝AE＝m，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠DAF＝∠ABD，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，故答案为：60°．（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．∵△ABC是等边三角形，BE＝EC，AD＝CD，∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠F AB＝∠FBA，∴F A＝FB，∴＝1．故答案为1．（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，设BD＝AE＝m，∵∠ADF＝∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴＝，∴＝①，∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝②，①÷②得到：＝，∴＝．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）首先证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠BAC＝∠DAC＝45°，推出∠F AC＝∠EAC＝135°，再证明△ACF≌△ACE（ASA）即可解决问题；（2）由△ACF∽△AEC，推出＝，可得AC2＝AE•AF，求出AC即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠F AC＝∠EAC＝135°，∵∠FCA＝∠ECA，∴△ACF≌△ACE（ASA），∴AE＝AF．（2）证明：作CG⊥AB于G．∵BC＝2，∠B＝30°，∴CG＝BC＝1，∵AG＝AC＝1，∴AC＝，∵∠F AC＝∠EAC＝135°，∴∠ACF+∠F＝45°，∵∠ACF+∠ACE＝45°，∴∠F＝∠ACE，∴△ACF∽△AEC，∴＝，∴AC2＝AE•AF，∴AE•AF＝2．【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD．（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系；（2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明．【分析】（1）根据题意画出图形，根据等腰三角形的性质即可得出结论；（2）作过点A作AF⊥BE于点F，根据AB＝AE可知BF＝BE，由∠AFB＝∠C＝90°，∠ABE＝∠CEB，得出△ABF∽△BEC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠CEB．（2）a＝b．证明：如图2，作过点A作AF⊥BE于点F，∵AB＝AE，∴BF＝BE，∵∠AFB＝∠C＝90°，∠ABE＝∠CEB，∴△ABF∽△BEC∴＝，∴＝，即a＝b．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解是解答此题的关键．4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）如图1，连接FE、FC，构建全等三角形△ABF≌△CBF（SAS），则易证∠BAF＝∠2，F A＝FC；根据垂直平分线的性质、等量代换可知FE＝F A，∠1＝∠BAF，则∠5＝∠6．然后由四边形内角和是360°、三角形内角和定理求得∠5+∠6＝∠3+∠4，则∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD；（2）FM＝FN．理由如下：由△AFG∽△BF A，易得∠AGF＝∠BAF，所以结合已知条件和图形得到∠MBG＝∠BMG．易证△AGF∽△DGA，则对应边成比例：＝＝．即＝＝．设GF＝2a（a＞0），AG＝3a，则GD＝a，FD＝a；利用平行线（BE∥AD）截线段成比例易得＝，则＝＝．设EG＝2k（k＞0），所以BG＝MG＝3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则＝＝＝，又由FQ∥ED，易证得＝＝，所以FM＝FN．【解答】（1）证明：如图1，连接FE、FC．∵点F在线段EC的垂直平分线上，∴FE＝FC，∴∠1＝∠2．∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），∴AB＝CB，∠4＝∠3，∵在△ABF与△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF＝∠2，F A＝FC，∴FE＝F A，∠1＝∠BAF，∴∠5＝∠6．∵∠1+∠BEF＝180°，∴∠BAF+∠BEF＝180°∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE＝360°，∴∠AFE+∠ABE＝180°．又∵∠AFE+∠5+∠6＝180°，∴∠5+∠6＝∠3+∠4，∴∠5＝∠4，即∠EAF＝∠ABD；（2）FM＝FN．理由如下：如图2，由（1）知，∠EAF＝∠ABD．又∵∠AFB＝∠GF A，∴△AFG∽△BF A，∴∠AGF＝∠BAF．又∵∠MBF＝∠BAF，∴∠MBF＝∠AGF．∵∠AGF＝∠MBG+∠BMG，∴∠MBG＝∠BMG，∴BG＝MG．∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝∠EAF．又∵∠FGA＝∠AGD，∴△AGF∽△DGA，∴＝＝．∵AF＝AD，∴＝＝．设GF＝2a（a＞0），AG＝3a，∴GD＝a，∴FD＝a∵∠CBD＝∠ABD，∠ABD＝∠ADB，∴∠CBD＝∠ADB，∴BE∥AD，∴＝，∴＝＝．设EG＝2k（k＞0），∴BG＝MG＝3k．如图2，过点F作FQ∥ED交AE于点Q．则＝＝＝，∴GQ＝QE，∴GQ＝EG＝k，MQ＝3k+k＝k．∵FQ∥ED，∴＝＝，∴FM＝FN．【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形内角和定理以及四边形内角和是360度等知识点．难度较大，综合性较强．5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到∠BAC的度数；（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB＝AD＝10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；（3）分两种情况：①当交点E在O、A之间时；②当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长．【解答】解：（1）连接OC．∵C为DB中点，∴OC＝BC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°；（2）连接DA．∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD＝10，∵DE＝8，DE⊥AB，∴AE＝6，∴BE＝4，∵∠F AE+∠AFE＝90°，∠CFD+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠EAF，∵∠AEF＝∠DEB＝90°，∴△AEF∽△DEB，∴＝，∴EF＝3；（3）①当交点E在O、A之间时，若∠EOF＝∠BAC，此时，∵，∴，∴OE＝AE，则OE＝；若∠EOF＝∠ABC，此时，∴，则OE＝；②当交点E在O、B之间时，OE＝．综上所述，OE＝或或．【点评】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点．（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．【分析】（1）根据已知条件得出∠BEC＝∠ACB，以及∠BCE＝∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出结论；（2）①根据作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似点；②根据∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝∠2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，即可得出各内角的度数．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD＝AB，∴CD＝BD，∴∠BCE＝∠ABC，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴E是△ABC的自相似点；（2）①如图所示，作法：①在∠ABC内，作∠CBD＝∠A，②在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点；②∵P是△ABC的内心，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵△ABC的内心P是该三角形的自相似点，∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角度数为：，，．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的内心作法和作一角等于已知角，此题综合性较强，注意从已知分析获取正确的信息是解决问题的关键．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是EF＝EG；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．【分析】（1）根据全等三角形的证明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF＝EG；（2）根据已知首先求出∠ENG＝∠FEM，再得出∠ENG＝∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性质得出答案即可．【解答】解：（1）证明：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴AD＝CD，∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，∴EN＝AD，∴EM＝CD，∴EN＝EM，∵∠GEB＝90°，∠MEN＝90°，∴∠NEF＝∠GEM，∴，∴△EGM≌△EFN，（ASA）∴EG＝EF（2）证明如图（2）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠1+∠2＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵，∴．（3）∴证明如图（3）：过点E作EM⊥CD于点M，作EN⊥AB于点N，∴∠ENA＝∠CME＝∠EMF＝90°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDA＝90°．∴EM∥AD．∠A＝∠CEM．∴△EMC∽△ANE．∴∵EM∥AD，∴∠NEM＝90．即∠2+∠3＝90°．∵EG⊥BE，∴∠3+∠2＝90°，∴∠MEF＝∠GEN．∴△EFM∽△EGN．∴．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴AN＝EN．∴，∴∵∴，故答案为：（1）EF＝EG，（3）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质的运用．8．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）【分析】此题有两种情况，（1）当△CBM≌△ABP时，全等图形是相似图形的特例，此时BP和BM为一组对应边且相等，BM＝BP＝3；（2）当△MBC∽△ABP时，有MB：AB＝BC：BP，从而求出BM的值．【解答】解：在射线BF上截取线段，连接M1C，⇒，⇒∠ABP＝∠CBM1，∴△M1BC∽△ABP．在射线BF上截取线段BM2＝BP＝3，连接M2C，⇒△CBM2≌△ABP．（全等必相似）∴在射线BF上取或BM2＝3时，M1，M2都为符合条件的M．（说明：其他解法请参照给分）【点评】此题主要是考查三角形相似的判定，属中等难度．。
八年级数学几何证明综合讲义
教师姓名学生姓名年级初二上课时间学科数学课题名称几何中的辅助线巩固复习待提升的知识点/题型Ⅰ知识梳理知识点一倍长中线法：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系。
知识点二角平分线作平行线：对于题目中出现角平分线，常见的一种辅助线是过这条角平分线上的某一点作平行线，使内错角与等角中的一个角处在同一三角形当中，产生等腰三角形。
注意：有时会通过角平分线和等腰寻找平行线，还有通过平行线和等腰反推角平分线，三者属于二推一的形式。
知识点三连线构造全等或等腰三角形：构造几何图形在辅助线中属于比较难的一种，关键在于对一些基本的几何模块比较熟悉，并且能够熟练运用它的性质。
知识点四截长补短法：对于线段中的和线段、差线段问题往往直接入手会很难转化到已经学过的知识上来，所以需要通过截长补短转化到等线段上面来。
Ⅱ知识精析一、倍长中线法（一）典例分析、学一学例1-1如图，在△ABC中，AD是BC边中线；在利用倍长中线法解题时，请用准确的语句描述下图所添加的辅助线：延长到使，联结。
E DB CA例1-2已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE（二）限时巩固，练一练在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )A.2＜AB＜12B.4＜AB＜12C.9＜AB＜19D.10＜AB＜19二、角平分线作平行线（一）典例分析、学一学例2-1△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且BD=CD ，求证：AB=AC例2-2已知：如图，△ABC （AB≠AC ）中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF=AC ．求证：AE 平分∠BAC ．（二）限时巩固、练一练如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．D B C AFGE DCBA三、连线构造全等或等腰三角形（一）典例分析，学一学例3-1如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，F是AC延长线上一点，连DF交BC于E，若DB=CF，求证：DE=EF．例3-2如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD（二）限时巩固、练一练如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD延长线于点E．求证：BD＝2CE．四、截长补短（一）典例分析、学一学例4-1（1）如图：在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B =2∠C，求证：AB + BD = DC．（2）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB+BD＝DC．求证：∠B＝2∠C例4-2如图，已知在△ABC中，∠A = 2∠B，CD平分∠ACB，试猜想BC、AD、AC三线段之间有着怎样的数量关系，并加以证明．ADB CⅢ课堂测评1.如图，点E 是BC 的中点，∠BAE=∠CDE ，延长DE 到点F 使得EF=DE ，联结BF ，则下列说法正确的是（ ） ①BF ∥CD ②△BFE ≌△CDE ③AB=BF ④△ABE 为等腰三角形 A .①②③ B .②③④ C .①③④ D .①②③④2.如图，在△ABC 中，AB=2AC ，AD 平分BC ，AD ⊥AC ，则∠BAC 的度数为（ ） A ．100° B . 105° C . 120° D . 135°3.如图，已知CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB ，给出下列结论：①AE=2AC ；②CE=2CD ；③∠ACD=∠BCE ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是（ ）A .①②④B .①③④C .①②③D .①②③④4.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，在AB 边上取点D ，在AC 的延长线上取点E ，使得BD=CE ，联结DE 交BC 于点G ，求证：DG=GE ．FEB CDA5.如图：已知EC 与AD 相交于点B ，∠AEC = ∠A +∠C ，EB = BC ．求证：AB = BD+DC ．Ⅳ 回顾总结一、常用的辅助线做法有哪些？ 二、作辅助线的题型如何识别？三、作辅助线时要注意什么？有哪些技巧？Ⅴ 课后挑战1.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 与CE 相交于点O ，BO ＝CO ．求证：∠B ＝∠C ．EOBCAD2.如图，在四边形ABDC 中，点E 是线段CD 上的一点，∠CAE=∠EAB ， （1）若∠DBE=∠EBA ，AD//BC ，求证：AB=AC+BD ；（2）若点E 为CD 中点，AB=AC+BD ，求证：∠DBE=∠EBA 。
二次函数与几何综合
二次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛“二次函数与几何综合”思考流程：①研究函数表达式,二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b；②关键点坐标转线段长，找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．二、精讲精练1. 如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a>0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．3.已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A (1，0)，C (0，-3). （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ），①如图1，当△PBC 的面积与△ABC 的面积相等时，求点P 的坐标； ②如图2，当∠PCB =∠BCA 时，求直线CP 的解析式．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x=-与抛物线214y x bx c=-++交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．5．已知，抛物线212y ax ax b=-+经过A(-1，0)，C(2，32)两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ2y，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．6．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m-4，0)和B(m，0)，与直线y=-x+p 相交于点A和点C(2m-4，m-6).（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A、C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP的面积为12，求P、Q两点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴下方抛物线上的一动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．令x=0，则y=-3a，∴C（0，3-a），∴OC=3a∵D为抛物线223y ax ax a=--的顶点，∴D（1，-4a）过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，则∠AOC =∠CMD =90°， 又∵∠ACD +∠MCD =∠AOC +∠1，∠ACD =∠AOC =90°∴∠MCD =∠1 ， ∴△AOC ∽△CMD ，∴OA OCCM DM=， ∵D （1，-4a ），∴DM =1，OM =4a ，∴CM =a ∴331a a =，∴21a =，∵a >0，∴a =1 ∴抛物线的解析式为：223y x x =-- （2）当AB 为平行四边形的边时， 则BA ∥EF ，并且EF = BA =4由于对称轴为直线x =1，∴点E 的横坐标为1 ∴点F 的横坐标为5或者-3 将x =5代入223y x x =--得y =12， ∴F （5，12）．将x =-3代入223y x x =--得y =12， ∴F （-3，12）．当AB 为平行四边形的对角线时，点F 即为点D ， ∴F （1，-4）．综上所述，点F 的坐标为（5，12），（-3，12）或（1，-4）． 3．解：（1）由题意，得0322a b c c ba⎧⎪++=⎪=-⎨⎪⎪-=⎩，解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为243y x x =-+-.（2）①令2430x x -+-=，解得1213x x ==， ∴B （3， 0）则直线BC 的解析式为3y x =- 当点P 在x 轴上方时，如图1，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于点P ， ∴设直线AP 的解析式为y x n =+， ∵直线AP 过点A （1，0），∴直线AP 的解析式为1y x =-，交y 轴于点(01)E -，. 解方程组2143y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，得12121201x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，∴点1(21)P ， 当点P 在x 轴下方时，如图1，根据点(01)E -，，可知需把直线BC 向下平移2个单位， 此时交抛物线于点23P P 、， 得直线23P P 的解析式为5y x =-，解方程组2543y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，得1212x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩∴23P P ， 综上所述，点P 的坐标为：1(21)P ，，23P P ， ②过点B 作AB 的垂线，交CP 于点F .如图2，∵(30)(03)B C -，，， ∴OB =OC ，∴∠OCB =∠OBC =45° ∴∠CBF =∠ABC =45° 又∵∠PCB =∠BCA ，BC =BC ∴△ACB ≌△FCB∴BF =BA =2，则点F （3，－2） 又∵CP 过点F ，点C ∴直线CP 的解析式为133y x =-.4．解：（1）对于3342y x =-，当y =0，x =2；当x =-8时，y =-152.∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为15(8)2--， 由抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点，得012151682b c b c =-++⎧⎪⎨-=--+⎪⎩ 解得3452b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 2135.442y x x ∴=--+（2）设直线3342y x =-与y 轴交于点M 当x =0时，y =32-. ∴OM =32.∵点A 的坐标为（2，0），∴OA =2，∴AM 5.2=∴OM ：OA ：AM =3：4：5.由题意得，∠PDE =∠OMA ，∠AOM =∠PED =90°，∴△AOM ∽△PED . ∴DE ：PE ：PD =3：4：5∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，∴PD 213533()()44242x x x =--+--=213442x x --+∴21213(4)542l x x =--+231848555x x =--+23(3)155l x ∴=-++由题意知：82x -<<315.x l ∴=-=最大时，5．解：(1) ∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (0，23)两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ，∴1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23（2）解法一：过点M 作MN ⊥AB 交AB 于点N ，连接AM 由y 1= -21x 2+x +23可知顶点M (1，2) ，A (-1，0)，B (3，0)，N (1，0) ∴AB =4，MN =BN=AN =2，AM =MB =∴△AMN 和△BMN 为等腰直角三角形. ∵∠MP A +∠QPB =∠MP A +∠PMA =135° ∴∠QPB =∠PMA 又∵∠QBP =∠P AM =45° ∴△QPB ∽△PMA∴=AP BQAM BP将AM =AP =x +1，BP =3－x，BQ=22－y 代入，223y x=－－，即2215=+22y x x －. ∵点P 为线段OB 上一动点 （不与点B 重合） ∴0≤x ＜3则y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x <3) 解法二：过点M 作MN ⊥AB 交AB 于点N .由y 1= -21x 2+x +23易得M (1，2)，N (1，0)，A (-1，0)，B (3，0)， ∴AB =4，MN =BN =2，MB =22，∠MBN =45︒. 根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM2-PN 2. ∴(()22222=1PM x ---…①，又∠MPQ =45︒=∠MBP ， ∴△MPQ ∽△MBP ， ∴2PM MQ MB =⨯=22y 2⨯22 由 、 得y 2=21x 2-x +25.∵0≤x <3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x <3) 6．解：（1）如图1，过点C 作CE ⊥AB ，交AB 于点E . ∵点C (2m -4，m -6)，∴点E (2m -4，0) ∴EC =6-m ，AE =OE +EA =m 又∵直线AC ：y =-x +p ∴∠EAC =45°，AE =EC 即6－m =m ，m =3.∴A (-1，0)，B (3，0)，C (2，-3)可得抛物线解析式为y =x 2-2x-3，直线AC 解析式为y = -（2）如图2，AC =32，AC 所在直线的解析式为：y ∠BAC =45°∵平行四边形ACQP 的面积为12. ∴平行四边形ACQP 中AC 边上的高为2312=22过点D 作DK ⊥AC 与PQ 所在直线相交于点K ，DK = 22， 符合条件的点K 在直线AC 的两侧各有一个， ∴PQ 所在直线可能在直线AC 的两侧各有一条， 又∵∠OAD =45°，∴DN =4 ∴PQ 的解析式为y =-x +3或y =-x -5∴ 2233y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩ ，解得1130x y =⎧⎨=⎩或2225x y =-⎧⎨=⎩2235y x x y x ⎧=--⎨=--⎩ 方程组无解. 即P 1(3，0)， P 2(-2，5)∵ACPQ 是平行四边形 ，A (-1，0) C (2，-3) ∴当P (3，0)时，Q (6，-3) 当P (-2，5)时，Q (1，2)∴满足条件的P ，Q 点是P 1(3，0)， Q 1(6，-3)或 P 2(-2，5)，Q 2(1，2) （3）如图3，作直线l 平行于PQ 所在的直线（即BN ）， 且使得l 与抛物线只有一个交点，这个交点即为M （此时以PQ 为底，高最大，面积最大） 设l 的表达式为y x b =-+，则223y x b y x x =-+⎧⎨=--⎩，得230x x b ---=，由△=0，得b =134-，∴213423y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，解得12154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴M （21，154-） 设l 与y 轴交点为点G ，过G 作GH ⊥BN 于点H ， 易得∠NGH =45°，则在Rt △NGH 中，GHNG 又∵N （0，3），G （0，134-），∴NG =254∴GHNG = ∵PQ =AC=∴S=11752288PQ GH =⨯=1，154），最大面积为857.∴M（2。
红棉杯冲刺讲义第三讲---几何综合
HM冲刺讲义第三讲——几何综合知识汇编：经典几何模型（1）等高模型（2）一半模型（3）燕尾（共边）模型（4）鸟头（共角）模型（5）风筝模型（蝴蝶定理）（6）比例模型（7）相似模型（沙漏与金字塔模型）例题演练：例1.在右图的基础上，证明：1=⨯⨯FBAF EA CE DC BD .练1.在右图的基础上，证明：1=⨯⨯EACE DC BD FB AF .例2.如右图，AD＝4，DB＝3，AE＝EC＝5，OM 与AB 平行，ON 与AC 平行，那么△OMN 与△ABC 的面积比为多少？练2.如图：两个正六边形的面积都是2022，中间连接一个正方形，问阴影部分面积是多少？例3.如图，等腰△ABC的面积是900，等腰△CDE的面积是644，那么阴影部分(△BCD)的面积是多少？练3-1.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，△ADE是等边三角形，点D在BC边上，BD:DC＝2:3，当△ABC的面积是50m2时，求△ADE的面积。
练3-2.在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD。
若这个四边形的面积是16，求BC+CD的值。
例4.如题图所示，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，F是DC边的中点，G 是DC上靠近C点的四等分点。
如果正方形ABCD的面积为585，那么阴影△HIJ 的面积是多少？练4.图中大正方形内有5个阴影正方形，已知AB长为2,BC长为8，则图中阴影部分的面积为多少？例5.在等边ΔABC中，CD＝2BD，AE＝2CE，DM＝MN，那AF：BF的比值是多少？练5.在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD。
在AC边上取AE=OC，BD边上取BF=OD，连接AF、BE。
已知△GEF的面积为18,△OEF的面积为99,△0CD的面积为22。
(1)求△ABG的面积。
(2)求四边形ABCD的面积。
例6.正六边形ABCDEF的面积为600，AP＝CQ＝ER，BM∶DM＝2：3，那么四边形MDRE的面积是多少？练6-1.如图所示，正六边形ABCDEF中，点P是AB边上一点，已知三角形AFP 的面积为8，三角形CDP的面积为42，那么三角形EFP的面积为多少？练6-2.如图是一个正十二边形，已知相对的两边的距离是15，求六边形ABCDEF 的周长。
3立体几何综合大题讲义
立体几何【典型例题】题型一、线面平行例1、（2012•山东）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC变式1：（2013•枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）直观图中的平面BEFC水平放置．（1）求证：AE∥平面DCF；变式2：（2013•潍坊一模）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABCD⊥平面EFDC，设AD中点为P．（I ）当E为BC中点时，求证：CP∥平面ABEF（Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．例2、（2010•湖南）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．变式：（2013•广州三模）如图，在等腰梯形PDCB中，PB∥CD，PB=3，DC=1，PD=BC=2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V PDCMA：V M-AC B=2：1，若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，判断AM是否平行于平面PCD．练习1、（2013•宁德模拟）如图所示的多面体A1ADD1BCC1中，底面ABCD为正方形，AA1∥BB1∥CC1，AA12AB=2AA1=CC1=DD1=4，且AA1⊥底面ABCD．（Ⅰ）求证：A1B∥平面CDD1C1；（Ⅱ）求多面体A1ADD1BCC1的体积V．2、（2013•聊城一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=2，E、F分别为线段PD和BC的中点（I）求证：CE∥平面PAF；（Ⅱ）求三棱锥P-AEF的体积．题型二、线面垂直 例3、（2011•辽宁）如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，OA=AB=PD 21. （Ⅰ）证明PQ ⊥平面DCQ ；（Ⅱ）求棱锥Q-ABCD 的体积与棱锥P-DCQ 的体积的比值．变式：如图，P 为△ABC 所在平面外一点，AP=AC ，BP=BC ，D 为PC 中点，直线PC 与平面ABD 垂直吗？为什么？例4、（2012•福建）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，M 为棱DD 1上的一点．（1）求三棱锥A-MCC 1的体积；（2）当A 1M+MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC ．变式2：（2011•惠州模拟）如图，己知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB 二60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且)10(<<==λλAD AF AC AE . （1）求证：不论λ为何值，总有EF ⊥平面ABC ：(2)若21=λ，求三棱锥BEF A -的体积.练习1、（2009•广州模拟）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点．（I ）求证：A 1C ∥平面AD 1E ；（II ）在对角线A 1C 上是否存在点P ，使得DP ⊥平面AD 1E ？若存在，求出CP 的长；若不存在，请说明理由．2、如图是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被一个平面截去一部分后得到的几何体ABCD-A 1EFD 1，其中EF ∥BC ，且AB=2AA 1=2A 1D 1=2A 1E ．（1）求异面直线CE 与DB 所成的角；（2）若在棱CD 上存在点G ，满足AF ⊥平面D 1EG ，试确定点G 的位置．3、（2013•浙江）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°，G 为线段PC 上的点．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若G 是PC 的中点，求DG 与PAC 所成的角的正切值；（Ⅲ）若G 满足PC ⊥面BGD ，求GCPG 的值．题型三、面面平行例5、（2013•陕西）如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=2．（Ⅰ） 证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；（Ⅱ） 求三棱柱ABD-A 1B 1D 1的体积．变式1：（2013•湛江二模）三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB=BC=AC=AA 1，CD ⊥AC 1，E 、F 分别是BB 1、CC 1中点．（1）证明：平面DEF ∥平面ABC ；（2）证明：CD ⊥平面AEC 1．变式2：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．（1）求证：直线MN∥平面EFDB；（2）求证：平面AMN∥平面EFDB．例6、（2013•海淀区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC 把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E，F分别为线段PC，CD的中点．（I）求证：平面OEF∥平面APD；（II）求直线CD⊥与平面POF（III）在棱PC上是否存在一点M，使得M到点P，O，C，F四点的距离相等？请说明理由．变式：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？练习1、如图，棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为菱形，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ．（1）证明：BD ⊥AA 1；（2）证明：平面AB 1C ∥平面DA 1C 1（3）在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．2、如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，BC ⊥BC 1，AB=BC 1，E ，F 分别为线段AC 1，A 1C 1的中点．（1）求证：EF ∥面BCC 1B 1；（2）求证：BE ⊥面AB 1C 1；（3）在线段BC 1上是否存在一点G ，使平面EFG ∥平面ABB 1A 1，证明你的结论．题型四、面面垂直例7、（2012•黑龙江）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=121AA ，D 是棱AA 1的中点．（I ） 证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．变式1：（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．例8、（2011•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值.变式1：（2013•宜宾二模）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面A1DC；（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的余弦值；（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．变式2：（2013•日照二模）如图是一直三棱柱（侧棱CD⊥底面ABC）被削去上底后的直观图与三视图的侧（左）视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，N是BC的重点，侧（左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．（Ⅰ）求该几何体的体积；（Ⅱ）求证：AN∥平面CEM；（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCD．练习1、（2010•沈阳一模）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．（Ⅰ）求出该几何体的体积；（Ⅱ）D是棱A1C1上的一点，若使直线BC1∥平面AB1D，试确定点D的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，求证：平面AB1D⊥平面AA1D．题型五、二倍角变式2：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A-BD-C 1的大小为 .变式3：如图5，在椎体P ABCD -中，ABCD 是便常委边长为1的棱形，且060DAB ∠=,PA PD ==,2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点.（1） 证明：AD DEF ⊥平面；（2）求二面角P AD B --的余弦值。
四年级奥数讲义教案库四年级寒假第03讲几何综合教师版
第三讲几何综合【例1】如图，边长为12厘米的白色正方形的中心放了一个阴影正方形，已知空白部分面积为63，那么空白部分的宽为多少厘米？分析：由白色正方形边长和空白部分面积可求出阴影部分面积，从而求出阴影部分边长，接着求出空白部分的宽。
答案：白色正方形的面积为12×12＝144平方厘米，所以阴影部分面积为144－63＝81平方厘米，所以阴影部分的边长为9厘米，所以空白部分的宽为（12－9）÷2＝1.5厘米。
【例2】三个相同的小长方形如图拼成一个大长方形，大长方形的面积是216平方厘米，那么和它周长相同的正方形面积为多少平方厘米？分析：由图可以看出小长方形的长等于宽的两倍。
答案：小长方形的面积为216÷3＝72平方厘米，由于72÷2＝36，所以小长方形的宽为6厘米，长为12厘米。
所以大长方形的周长为（6＋12＋12）×2＝60厘米，所以和它周长相同的正方形的边长为60÷4＝15厘米，要点总结本讲要求掌握平均数的相关概念。
关于权重平均数的计算问题，以两组数的平均数与它们的总平均数之间的关系为内容的相关问题，可转化成倍数问题的平均数问题。
课堂精讲?所以和它周长相同的正方形的面积为15×15＝225平方厘米。
拓展训练一块长方形地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图所示，那么第四块的面积应是多少？答案：应为28÷21×18＝24。
【例3】在△ABC 中，BD 长是6，DC 长是3，AE 长是4，EC 长是2，那么△ABD 面积是△DEC 面积的多少倍？分析：由BD ＝6和DC ＝3可得出△ABD 面积和△ACD 面积的关系，由AE ＝4和EC ＝2可得出△DEC 面积和△ACD 面积的关系，由此可求出△ABD 面积与△DEC 面积的关系。
答案：依题意△ABD 面积是△ACD 面积的6÷3＝2倍，△ACD 面积是△DEC 面积的（4＋2）÷2＝3倍。
反比例函数与几何综合讲义及答案
反比例函数与几何综合讲义及答案一、反比例函数的定义及性质1.反比例函数的定义：如果两个变量的乘积为常数，那么它们之间存在反比例关系，可以表示为y=k/x。
2.反比例函数的性质：函数图像关于坐标轴对称；随着x的增大，y 的值逐渐减小；随着x的减小，y的值逐渐增大。
二、反比例函数的图像与性质1.绘制反比例函数y=k/x的图像。
2.如果k为正数，当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当x趋近于0时，y趋近于正无穷大。
3.如果k为负数，当x趋近于无穷大时，y趋近于负无穷大；当x趋近于0时，y趋近于0。
三、反比例函数的解析表达式和图像的关系1.根据解析表达式y=k/x，结合k的正负性质，分析函数图像的大致形状。
2.当k为正数时，函数图像在第一象限逐渐接近于x轴，且没有定义域为x=0的点。
3.当k为负数时，函数图像在第三象限逐渐接近于x轴，且没有定义域为x=0的点。
四、反比例函数的应用1. 反比例函数的例题：如果旅行的时间与旅行的速度成反比例关系，当速度增大时，时间会减少。
求出速度为60 km/h时需要的时间。
答案：假设旅行的时间为t小时，则速度为60 km/h，根据反比例函数的定义可得60 = k/t，解得k = 60t。
根据题意可得t = k/60 = 1小时。
2.反比例函数出题：已知两个变量x和y成反比例关系，在一组数据中，当x=2时，y=5；当x=4时，y=10。
求出该反比例函数的解析表达式。
答案：根据反比例函数的定义可得k = xy，由已知数据可得2k = 5；4k = 10。
解方程可得k = 5/2、将k带入反比例函数中得到y = (5/2)x。
请注意，以上是一些常见的反比例函数综合讲义及试题及答案，实际上反比例函数的应用非常广泛，可以结合实际问题进行更多的应用练习。
新高考数学之立体几何综合讲义第10讲 立体几何翻折与旋转问题(解析版)
一．选择题（共 9 小题）
1．把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，对于下列结论： ① AC BD ；② ADC 是正三角形；③ AB 与 CD 成 60 角；④ AB 与平面 BCD 成 60 角． 则其中正确结论的个数是 ( )
A．1 个
B．2 个
BC DE ， BC AD ， BC 平面 ADE ，
BC AE ， DE BC ，
C．3 个
D．4 个
【解答】解：取 BD 的中点 E ，则 AE BD ， CE BD ．
BD 面 AEC ．
BD AC ，故①正确．
设正方形边长为 a ，则 AD DC a ， AE 2 a EC ． 2
AC a ．
ADC 为等边三角形，故②正确．
ABD 为 AB 与面 BCD 所成的角为 45 ，
A． 1 4
B． 2 4
【解答】解：补成正方体如图：
C． 3 4
由于 EF ，故截面为平行四边形 MNKL ，可得 KL KN 1 ；
又 KL / / BC ， KN / / AD ，且 AD BC ；
KN KL ，
S四边形MNKL
NK
KL( NK 2
KL
)2
1， 4
当且仅当 NK KL 时取等号．
DB 2 时， AD DB ， AD DC ，
AD 平面 DBC ， AD BC ， 直线 AD 与直线 BC 成的角为 ，
2 在翻折过程中直线 AD 与直线 BC 成的角范围（包含初始状态）为 [0 ， ] ．
2 故选： C ．
4．已知矩形 ABCD ， AB 1 ， BC 2 ．将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过 程中 ( )
几何证明综合之三角形讲义
图1几何证明综合之三角形讲义一、知识提要1. 等腰三角形、直角三角形除了具有三角形本身的性质外，还有其所具有的特殊性质；2. 在解决线段间关系时，我们通常采用的方法是构造全等或者相似三角形解决问题；3. 类比探究，学会从特殊到一般、类比模仿的问题解决方式．二、专项训练板块一、类比探究1. （2011大连）在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ． （1）当AB ＝AC 时（如图1）， ①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系， 并加以证明；（2）当AB ＝kAC 时（如图2），求BEFD的值（用含k 的式子表示）．2. （2011四川）如图1,在R t △ABC 中, ∠ACB =90,CD ⊥AB ,垂足为D ,点E 在AC 上,BE 交CD 于点G ,EF ⊥BE 交AB 于点F ,若AC =mBC ,CE =nEA (m ,n 为实数).试探究线段EF 与EG 的数量关系.（1）如图2,当m =1,n =1时,EF 与EG 的数量关AC图2图1图2系是：证明:（2）如图3,当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是：证明：（3）在图1中,当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是(写出关系式,不必证明)板块二、半角模型3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，（1）你能猜出∠EAF的度数吗？（2）线段BE、EF、DF之间存在什么样的数量关系？（3）连接BD，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．三、感悟提高——每天进步一点点！图3。
反比例与几何综合应用(讲义)
反比例函数与几何综合（讲义）一、知识点睛反比例函数与几何综合的解题思路：1. 抓住_______．“关键点”是信息汇聚点，通常是_________和________的______．通过___________和____________的互相转化可将_________与_________综合在一起进行研究． 2. 梳理题干中的条件，__________．3. 集中到___________或__________建等式求解． 二、精讲精练1. 如图，已知第一象限内的图象是反比例函数1y x=图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数2y x=-图象的一个分支，在x 轴上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A ，B ，过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ．若四边形ACDB 的周长为8，且AB <AC ，则点A 的坐标是_____________．第1题图 第2题图 第4题图2. 如图，正方形OAPB 的顶点B 以及等腰直角三角形AFD 的顶点A ，D 在坐标轴上，点P ，F 在函数9y x=（x >0）的图象上，则点F 的坐标为________．3. 正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1，P 2在反比例函数2y x=（x >0）的图象上，顶点A 1，B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数xy 2=（x >0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为____________．4. 如图，已知动点A 在函数4y x=（x >0）的图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y⊥轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD =AB ，延长BA 至点E ，使AE =AC ．直线DE 分别交x 轴、y 轴于点P ，Q ．当QE :DP =4:9时，图中阴影部分的面积等于_________．5. 如图，□A B C D 的顶点A ，B 的坐标分别是A (-1，0)，B (0，-2)，顶点C ，D 在双曲线ky x=（x >0）上，边AD 交y 轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k=_______．第5题图6.如图，点A(x1，y1)，B(x2，y2)均在双曲线kyx=（x>0）的图象上，且214x x-=，122y y-=．分别过点A，B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C，D，E，F．AC与BF相交于点G，若四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，则双曲线的解析式为____________________．7.如图，双曲线kyx=经过点A(2，2)与点B(4，m)，则△AOB的面积为___________．第7题图第8题图8.如图，正比例函数y=kx（k>0）与反比例函数1yx=的图象交于A，C两点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B，过点C作x轴的垂线，交x轴于点D．连接AD，BC，则四边形ABCD的面积为____________．9.两个反比例函数kyx=（k>1）和1yx=在第一象限内的图象如图所示，点P 在kyx=的图象上，PC⊥x轴于点C，交1yx=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交1yx=的图象于点B，当点P在kyx=的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是____________（填写序号）．10.如图，一次函数y ax b=+的图象与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数kyx=的图象交于C，D两点，过C，D两点分别作y轴，x轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论： ①△DEF 与△CEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ；④AC =BD ．其中正确的结论是____________（填写序号）．第10题图 第11题图11. 如图，M为双曲线y =M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y =-x +m 于D ，C 两点，若直线y =-x +m 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，则AD ·BC 的值为_____．12. 如图，直线y =-x +6与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是反比例函数4y x=（x >0）图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F ．则AF BE ⋅=________．【参考答案】 知识点睛1．关键点，函数图象，几何图形，交点，关键点坐标，横平竖直线段长，函数特征，几何特征2．依次转化3．函数特征，几何特征精讲精练1．(13，3)2．(32+32-+) 3．11) 4．1335．12 6．6y x= 7．38．2 9．①②④ 10．①②④ 11．12．8。
讲义十 几何综合之手拉手模型与三边关系
讲义十、手拉手模型与三边关系的判断证明模型概述：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：手拉手模型之等腰直角三角形一、基础模型1.如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD，以AD 为一边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE，∠ADE=∠AED=45º,∠DAE=90º,AD=AE.解答下列问题：(1)如果AB=AC，∠BAC=90º,∠ABC=∠ACB=45º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CE、BD 之间的位置关系为，数量关系为．（不用证明）②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么．．．？二、残图补全1.在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ．（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q，请判断“QB =”是否正确：______（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接PA ，PB ，且PB=PA ．①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP =30°，求∠PAB 的大小；②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC =α，∠BPC =β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．图1图2图3图甲B C A E图乙A CD E B 图丙A EB三、最值问题2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，C D为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF<AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD=MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b（b<a），直接写出EN的最大值与最小值．图1图2四、能力训练1.如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BG⊥CF于点G，连接AG．（1）求证：∠ABG=∠ACF；（2）用等式表示线段CG，AG，BG之间的等量关系，并证明．等边三角形手拉手一、基础模型2.已知：C 为线段AE 上一动点（点C 不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ求证：①AD =BE ②PQ //AE ③AP =BQ ④60∠=︒AOB ⑤PCQ △为等边三角形⑥OC 平分AOE ∠⑦OA OB OC =+⑧OE OC OD=+二、手拉手旋转类2、将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转α(0120)α<< 得到线段AD ，连接CD ．（1）连接BD ，①如图1，若α=80°，则∠BDC 的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC 的大小是否改变．若不变，求出∠BDC 的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB 为斜边作直角三角形ABE ，使得∠B =∠ACD ，连接CE ，DE ．若∠CED =90°，求α的值．三、手拉手残图补全（逆向构造手拉手）4．如图，△ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形右外一点，且∠APB =∠ABC ．（1）如图1，若∠BAC =60°，点P 恰巧在∠ABC 的平分线上，PA =2，求PB 的长；（2）如图2，若∠BAC =60°，探究PA ，PB ，PC 的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠BAC =120°，请直接写出PA ，PB ，PC 的数量关系．四、手拉手最值问题4、阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC，求AP 的最大值。
沪教版 六年级(上)学期数学 几何综合 (含解析)
沪教版六年级（上）数学辅导教学讲义1．复习小学阶段学习的重要几何方法——割补法；2．进一步拓展倍数关系、整体计算、辅助线等几何方法．在小学阶段的学习中，学习了三角形、平行四边形、长方形、正方形等多种图形的面积计算方法，先一起来回顾一下。
请画出下面这些图形的高。
根据学生情况，让学生做一些固定边上的高，巩固这部分知识。
如果学生程度较低，需要增加这部分的练习量。
问题1：线可以分成三种：________、________和________。
我们学了5种不同的角，它们分别是：________、________、________、________和________。
问题2：在图形中，三角形可以按边分类，除了普通的三角形外，还有________________和________________；如果按角分类，可以分成________________、_______________和________________。
学过的四边形有回顾上次课的预习思考内容：1．小亚画了一个平行四边形，不小心擦掉了两条边，只剩下一个角（如图）。
(1)请你把平行四边形补完整；(2)过A点画这个平行四边形的高。
2．利用一副三角尺能够拼出多个大于0°小于180°的角，其中最大角是多少度？请你在右面的方格图中画出这个角。
3．在右边的方格纸中作一个梯形。
已知：图中每个小方格的边长为1cm，线段AB是梯形的一条高，梯形的面积是12cm2。
阅读材料：在计算下图这个图形的面积时候，我们可以先算出上面的三角形面积为：12×6÷2＝36；再计算下面三角形面积为12×2÷2＝12，于是总面积为：36＋12＝48；其实也可以利用提取公因数，这样算：12×(6＋2)÷2＝48。
根据阅读材料内容，体会这种提取公因数整体计算的想法，完成例题1。
例题1：已知一个正方形的对角线长10厘米，那么这个正方形面积是多少？教法说明：本题略有难度，考虑帮助学生把线添出来再进行思考。
沪教版六年级(上)学期数学几何综合(含解析)
沪教版六年级（上）数学辅导教学讲义回顾上次课的预习思考内容：1 .小亚画了一个平行四边形，不小心擦掉了两条边，只剩下一个角(如图)。
(1)请你把平行四边形补完整；(2)过A 点画这个平行四边形的高,2 .利用一副三角尺能够拼出多个大于0。
小于180。
的角，其中最大角是多少度?请你在右面的方格图中画出这个角。
3 .在右边的方格纸中作一个梯形。
己知：图中每个小方格的边长为1cm,线段AB 是梯形的一条高，梯形的 面积是12cn 】2。
阅读材料：在计算下图这个图形的而积时候，我们可以先算出上面的三角形而积为：12x6+2 = 36；再计算下 而三角形而枳为12x2-2=12,于是总面积为：36+12=48；其实也可以利用提取公因数，这样算：12x(6+2)・2 =48o精讲提升根据阅读材料内容，体会这种提取公因数整体计算的想法，完成例题lo例题1：已知一个正方形的对角线长10厘米，那么这个正方形面积是多少？教法说明：本题略有难度，考虑帮助学生把线添出来再进行思考。
此题有学生可能知道公式，生推理一遍但需要再给学参考答案：50平方厘米试一试：有人把两组邻边分别相等的图形称作“筝形”，筝形的对角线互相垂直。
右图中的筝形别是5厘米和8厘米，那么这个筝形的而积是多少？的对角线长分参考答案：20平方厘米例题2：如图，四边形A8CQ内有一点0,。
点到四条边的垂线都是4厘米.四边形的周长是形的面积是多少平方厘米？36厘米.四边AB,C 参考答案：72平方厘米试一试：如图，一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？参考答案：22平方厘米例题3：如图，正方形A8CQ的边长是12厘米，已知。
上是EC的长度的2倍。
求（1）三角形。
以7的而积（2） CF的长。
参考答案：（1） 24平方厘米，（2）6厘米例题4：如图，平行四边形"CO的边长8c=10厘米，直角三角形8CE的直角边EC长8厘米口已知三角形BAG和三角形FDC而积的和比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。
高中数学解析几何综合讲义
b2 a2
图二：
A, B
为渐近线上关于原点 O
对称的两点，
P
为渐近线上任意一点，则 kPA
kPB
b2 a2
图三：直线与双曲线和渐近线分别交于 A, B,C, D 四点，则 AC BD
抛物线知识点：
（一）抛物线的图像与性质
定义：平面上到定点 F ( p , 0) 的距离与到直线 x p 距离相等的点的集合.
y22 y12 x22 x12
5
方向教育讲义
又
x12 a2
x22
a2
y12 b2
y22 b2
1
1
x22 x12 a2
y22 y12 b2
0
y22 y12
x
2 2
x12
b2 a2
所以 kPA
kPB
b2 a2
推论
2：图一，
A, B
为渐近线上两点，
P
为
AB
的中点，则
k AB
kOP
2
2)
2
4
p2 4
2 p(1 k 2 ) k2
点 O 到直线 AB 的距离为 d
| pk | 2
k2 1
，SAOB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 | AB | d 2
1 2
2 p(1 k 2) k2
| pk | 2
k2 1
1 2
p2
1k2 k2
（三）抛物线中的中点弦（点差法或韦达定理）
★题设：直线与抛物线交于 A, B 两点， D 是弦 AB 的中点，求证： kAB
|
a ex0
4、过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P, Q , A1, A2 为椭圆长轴上的顶点， A1P 和 A2Q 交于
二次函数与几何综合讲义(答案)
二次函数与几何综合讲义2013/11/101．若抛物线y =x 2-2x +c 与y 轴的交点坐标为（0，-3），则下列说法不正确的是（ C ） A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x =1C.当x =1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）。
2．在同一坐标系内，一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+8x +b 的图象可能是（ C ）A B C D3．函数y =x 2+bx +c 与y =x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2-4c >0；②b +c +1=0；③3b +c +6=0；④当1<x <3时，x 2+(b -1)x +c <0.其中正确的个数是（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包含端点），则下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a ＋b ＞0；③－1≤a ≤－23；④3≤n ≤4中，正确的是（ D ）． A ．①②B ．③④C ．①④D ．①③5．方程0132=-+x x 的根可视为函数3+=x y 的图象与函数xy 1=的图象的交点的横坐标，则0123=-+x x 的实数根0x 所在的范围是（C ）A ． 4100<<x B ． 31410<<x C ．21310<<x D ． 1210<<x 6．如图1，把矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2，已知y 与t 的函数关系的图形如图2（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：：①AD=BE=5cm ；②当0＜t ≤5时；y=52t 2；③直线NH 的解析式为y=－25t+27；④若△ABE 与△QBP 相似，则t=429秒。
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AP 旋转至 AP′⊥AB 时，点 B，P，P′恰好在同一直线上，此
时作 P′E⊥AC 于点 E．下列结论：①∠CBP=∠ABP；②AE=CP；
③当 CP 3 ，BP′= 5 5 时，线段 AB 的长为 10．其中正确的 PE 2
结论序号是___________．
第 6 题图
第 7 题图
7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点 E，D
精讲精练
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠CAB 交 BC 于 点 D，过点 C 作 CE⊥AD 于点 E，CE 的延长线交 AB 于点 F， 过点 E 作 EG∥BC 交 AB 于点 G．若 AE·AD=16，AB= 4 5 ， 则 EG 的长为___________．
几何综合（讲义）
课前预习
回顾以下特征及特征组合的思考角度： 1．直角相关的搭配和用法 ①直角+中点（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）； ②直角+特殊角（由特殊角构造直角三角形）； ③直角+角平分线（等腰三角形三线合一）； ④直角三角形斜边上的高（母子型相似、射影定理）；
⑤弦图结构； ⑥三等角模型．
ห้องสมุดไป่ตู้第 4 题图
第 5 题图
5. 如图，在等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC
边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE 4 ，则△ABC 的面积 3
为___________．
6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，点 P 为 AC 边上的一点，
将线段 AP 绕点 A 沿顺时针方向旋转（点 P 对应点 P′），当
第 8 题图
第 9 题图
9. 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD 平分
∠BAC 交 BC 于点 D，则 BD 的长为___________．
10. 如图，在△ABC 中，∠A=60°，AB=8，BC= 4 7 ，则 AC 的长
为_________．
第 10 题图
第 11 题图
2. 如图，在直角梯形 ABCD 中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD， E 为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC 绕点 C 顺时针旋 转 90°使 BC 与 DC 重合，得到△DCF，连接 EF，交 CD 于点 M．若 BC=5，CF=3，则 DM:MC 的值为_________．
11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，CD 平分∠ACB，若 AD=1，
AC=2，则 AB=_________．
12. 如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=8，tan C 3 ，如果将△ABC 2
沿直线 l 翻折后，点 B 落在边 AC 的中点处，直线 l 与边 BC
交于点 D，那么 BD 的长为___________．
4
13. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，E 为线段 AB 上一点，F 为 AC 延长线上一点，且 BE=CF，连接 EF， 分别交 AD，BC 于点 H，G．若 AB=3，EF= 2 5 ，则线段 EH 的长为___________．
5
【参考答案】 课前预习
2. ①相等；相等 ②相等；相等；旋转中心 ③等腰三角形
3. 相似 4. 直角三角形；转移；构造
精讲精练
1. 4 2. 4:3 3. 23° 4. 24 cm 5. 9 3 6. ①②③ 7. 2
2 8. 3 3
4 9. 15
7 10. 12 11. 8
3 12. 15
4 13. 2 5
3
6
分别是线段 AB 和 BC 延长线的点，AE:EB=2:3，连接 ED，
ED⊥AB，则 sin∠CAD=___________．
3
8. 如图，已知等边三角形 ABC 的面积是 3 ，△ABC∽△ADE， AB=2AD，∠BAD=45°，AC 与 DE 相交于点 F，则△AEF 的 面积为___________．（结果保留根号）
1
知识点睛
1. 线段间的比例关系常常与相似三角形、三角函数组合起来使 用，是边角信息相互转化的一种常用手段．
2. 通过作高构造直角三角形，再利用勾股定理、三角函数以及 相似解直角三角形是一种解三角形的常用方式．
当背景图形中出现三边（比例） 已知的三角形时，常考虑利用相 似转移此三角形中的三边比例．
3. 如图，在△ABC 中，已知∠CAB=46°，∠C=100°，AD 是 ∠CAB 的平分线，点 E 在 AC 上，AB=9，AD=6，AE=4，则 ∠CDE 的度数为___________．
2
4. 如图，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，BC=60 cm，AD=40 cm，四边形 PQRS 是正方形，则此正方形的边长为___________．