第三讲+条件异方差模型
时间序列条件异方差模型
时间序列条件异方差模型时间序列分析是一种重要的统计分析方法，用于研究时间变量之间的关系。
在金融、经济学、气象学和其他领域，时间序列分析都扮演着重要的角色。
而条件异方差模型则是一种用于捕捉时间序列数据中异方差性质的模型。
本文将介绍时间序列条件异方差模型的概念、原理、应用以及在金融领域的重要性。
一、条件异方差模型的概念条件异方差模型，全称为条件异方差自回归移动平均模型（ARCH），是由Robert F. Engle于1982年提出的一种用于描述时间序列数据中异方差性质的模型。
它认为时间序列数据中的方差是随时间变化的，并受到之前残差的影响，即当前的方差是过去残差的函数。
而在实际应用中，ARCH模型的延伸GARCH模型则是被广泛使用的一种工具，它不仅可以捕捉时间序列数据中的异方差性质，还可以考虑到长期记忆性和其他特征。
二、条件异方差模型的原理条件异方差模型的原理在于将时间序列数据的方差建模为过去残差的函数。
以GARCH(1,1)模型为例，其方差可以表示为：σ^2_t = ω + αε^2_(t-1) + βσ^2_(t-1)其中，σ^2_t为时间t的方差，ω为模型中的常数项，α和β分别表示过去残差和过去方差的权重。
这个模型说明当前的方差受到上一个时期残差的影响，而且方差是随时间变化的。
通过对时间序列数据进行拟合，可以得到最优的α、β和ω参数，从而建立条件异方差模型。
三、条件异方差模型的应用条件异方差模型在金融领域得到了广泛的应用。
由于金融市场的波动性较高，时间序列数据中经常存在着异方差性质。
而条件异方差模型可以帮助金融从业者更好地理解和预测市场的波动性，从而做出更为准确的决策。
例如，投资者可以利用条件异方差模型对金融资产的风险进行度量和管理，而交易员可以利用该模型进行波动性的预测和交易策略的制定。
四、条件异方差模型在金融领域的重要性金融时间序列数据中的异方差性质是一个重要的问题。
大量的实证研究表明，金融资产的收益率往往表现出高度的异方差性，这给投资者和决策者带来了很大的挑战。
精选-时间序列分析课件-条件异方差模型
方法2：ARCH_LM检验
• ARCH_LM检验 – 1982年，Engle提出检验残差序列是否存在ARCH 效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），即ARCH LM检验。
该检验等价于在如下的线性回归中用F统计量检验i 0(i 1, , m) :
at2
0
1at21
m
a2 tm
et ,
t m 1, ,T ,
其他et 表示误差项，m是事先指定的正整数，T是样本容量。
具体的
H0 :1 m 0
令SSR0
T
(at2
t m1
)2,其中
1 T
T
at2 ,
t 1
T
SSR1 eˆt2 ,其中eˆt2是前面线性回归最小二乘估计的残差。 t m1
于是，在原假设下，我们有
at的条件均值 ? at的条件方差 ?
作业：ARCH(p)模型
at的条件均值 ? at的条件方差 ? at的无条件均值 ? at的无条件方差 ?
定义t
at2
2 t
,
可以
证明{
t
}是均
值为
零的
不相关序列。
于是ARCH模型变成
at2 0 1at21 mat2m t , 这是at2的A R(m)形式，但是{ t }不是独立同分布的序列。 因为{ t }不同分布，因此上述模型的最小二乘估计是相合的，
现实金融市场上，许多金融时间序列并没有恒定的均值，大 多数序列在呈现出阶段性的相对平稳的同时，往往伴随着出 现剧烈的波动性。
金融数据的重要特征，包括： ➢ 尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融资产收益呈现厚尾（fat
tails）和在均值处呈现过度波峰，即出现过度峰度分布的倾 向； ➢ 波动丛聚性（clustering）：金融市场波动往往呈现簇状倾向， 即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相关 关系。波动率可能在一些时间上高，在另一些时间段上低。 ➢ 杠杆效应（leverage effects）：指价格大幅度下降后往往会 出现同样幅度价格上升的倾向，对价格大幅上升和大幅下降 的反应不同 ➢ 波动率以连续方式随时间变化，即波动率的跳跃是很少见的。 ➢ 波动率不发散到无穷，即在固定的范围内变化。
条件异方差模型
条件异方差模型
条件异方差模型(ConditionalHeteroskedasticityModels，CHM)是一种用来检验和处理数据中异方差（heteroskedasticity）问题的模型，旨在估计和检验观测数据中异方差的存在，以及其影响程度，来获得更准确的分析结果。
条件异方差模型可分为简单异方差模型和动态异方差模型。
简单异方差模型假设观测值有固定的异方差，而动态异方差模型则假设异方差可以动态变化。
异方差模型通常包括四个步骤：
（1）数据准备：首先，将数据转换为异方差模型可识别的数据格式，其中可能包括数据集的统计量，如平均值，方差，偏度，峰度等；
（2）模型拟合：使用统计模型拟合数据，用于预测观测值的异方差；
（3）异方差识别：利用拟合的模型，采用检验的方法来识别异方差的存在；
（4）异方差处理：对于经识别的异方差，采用最优化的处理办法，以获得更准确和实用的异方差分析结果。
由于条件异方差模型提供了一种有效的方法来理解和处理异方差，因此，它在许多学科中，如财务分析，统计分析，市场营销，投资管理，经济分析等领域中被广泛应用。
- 1 -。
条件异方差模型分析解析
条件异方差模型分析解析第三节自回归条件异方差(ARCH)模型金融时间序列数据通常表现出一种所谓的集群波动现象。
模型随机误差项中同时含有自相关和异方差。
一、ARCH 模型（Auto-regressive Conditional Heteroskedastic —自回归条件异方差模型）对于回归模型t kt k t t x b x b b y ε++++= 110 （3.3.1）若2t ε服从AR （q ）过程t q t q t t νεαεααε++++=--221102 （3.3.2）其中tν独立同分布，并满足0)(=t E ν , 2)(σν=tD 则称（3.3.2）式为ARCH 模型，序列t ε服从q 阶ARCH 过程，记为t ε～ARCH （q ）。
(3.3.1)和(3.3.2)称为回归—ARCH 模型。
注：不同时点t ε的方差2)(tt D σε=是不同的。
对于AR （p ）模型t p t p t t y y y εφφ+++=-- 11 （3.3.3）如果tε～ARCH （q ），则（3.3.3）与（3.3.2）结合称为AR （p ）-ARCH （q ）模型。
ARCH （q ）模型还可以表示为 *t t h = εt ν (3.3.4) 21022110j t q j q t q t t h -=--∑+=+++=εααεαεααα (3.3.5)其中，tν独立同分布，且0)(=t E ν,1)(=t D ν,00>α 0≥j α)2,1(q j = 且11<∑=q j j α（保证ARCH 平稳）。
有时，（3.3.5）式等号右边还可以包括外生变量，但要注意应保证th 值是非负的。
如：p t p t q t q t t h h h ----++++++=θθεαεαα 1122110 1011<+<∑∑==p j j q i iθα对于任意时刻t ，条件期望E （tε| ,1-t ε）=0)(*=t t E h ν （3.3.6）条件方差t t t t t h E h E ==-)(*),|(2212νεσ （3.3.7）（3.3.7）式反映了序列条件方差随时间而变化。
第四章条件异方差模型
= Evt E ( 0 1 t21 )1/ 2 0 由于 Evt , vt i 0 ，则有
E t t i 0, i 0
条件异方差模型介绍
2） t 的无条件方差是
E t2 E[vt2 ( 0 1 t21 )] Evt2 E ( 0 1 t21 ) 0 /(1 1 )
第三章 条件异方差模型
模型提出背景
单位根检验 时间序列的加法、乘法模型， X12 季节调整 ARIMA（时间序列）模型 线性时间序列 SARIMA（季节时间序列）模型 GAR（广义自回归）模型 BL（双线性）模型 非线性时间序列 TAR、STAR（门限自回归、平滑转移）模型 ARCH、GARCH（自回归条件异方差）模型 向 量 序 列 波动模型 SV（随机波动）模型 ACD、 SCD（自回归、随机条件久期）模型 VAR、 VEC（向量自回归、误差修正）模型 单方程（线性、非线性） 、分位数回归模型 回 归 分 析 时间序列回归 联立方程模型（结构、简化型、递归模型） PANEL（面板数据）模型、空间计量模型 DS（离散选择）模型、有序响应、计数模型 LDV（受限因变量）模型（删失、截断模型） 蒙特卡罗模拟技术
xt f (t , xt 1 , xt 2 , ) t t t t 2 2 2 m t m 0 1 t 1 t
23
0 0, i 0
ARCH效应检验方法 ARCH_LM检验
H 0 : 0 1 2 m 0 H1 : 0 0 or 1 0 or m 0
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条件异方差模型介绍
ARCH 模型 Engle(1982) 提出可以同时对一个序列的均值和方差建 模方法。 yt 1 的条件方差是： Var ( yt 1 yt ) Et ( yt 1 a0 a1 yt ) 2
计量学-向量自回归和自回归条件异方差模型
33
第二节 自回归条件异方差模型
许多学者在分析通货膨胀、汇率、股票 价格等金融时间序列时，都发现时间序 列模型扰动方差的稳定性比通常认为的 差，时间序列数据也存在异方差问题。
经济时间序列数据的这种方差变化也称 为波动集聚性（volatility clustering）， 对于研究和控制金融风险等非常有用。
似然比检验实际上就是把不同约束，有约束和 无约束的参数估计、最大似然估计分别代入上 述似然函数，根据是否有显著差异说明参数约 束或者所对应的检验假设是否成立。
24
阶H滞0 ：后一的组高变斯量向数量据自由回p归0 阶生而成不。是p1 p0 H1 ：这组变量数据是由 p1 p0 阶滞后的 高斯向量自回归生成。
f (Y , YT , ,Y1 Y0 , ,Y p1 T , Y1 Y0 , , Y p1 ; θ)
因为 η Φ1Yt1 Φ pYt p 在时期t为常 数，而 εt ~ iidN[0,Ω]，因此
Yt Yt1, Yt2,, Y p1 ~ N[η Φ1Yt1 ΦpYt p ,Ω]
17
1
n1 1,t 1
Y (1)
nn n,t 1
Y ( p)
n1 1,t p
Y ( p) nn n,t p
nt
8
这个展开形式上与一般联立方程组模型相似， 但其实有本质差异：
1、VAR模型不强调变量之间关系的理论根据，模 型形式、变量、滞后期数等并不以特定经济理 论为依据，模型变量也不存在内生、外生之分， 每个方程都包含所有的变量；
18
向量自回归模型的（条件）似然函数为:
L(θ)
f YT ,
,Y1 Y0 ,
(Y , ,Y p1
计量经济学：异方差性
计量经济学：异方差性异方差性在现实经济活动中，最小二乘法的基本假定并非都能满足，上一章介绍的多重共线性只是其中一个方面，本章将讨论违背基本假定的另一个方面——异方差性。
虽然它们都是违背了基本假定，但前者属于解释变量之间存在的问题，后者是随机误差项出现的问题。
本章将讨论异方差性的实质、异方差出现的原因、异方差的后果，并介绍检验和修正异方差的若干方法。
第一节异方差性的概念一、异方差性的实质第二章提出的基本假定中，要求对所有的i （i=1，2，…，n ）都有2)(σ=i u Var （5.1）也就是说i u 具有同方差性。
这里的方差2σ度量的是随机误差项围绕其均值的分散程度。
由于0)(=i u E ，所以等价地说，方差2σ度量的是被解释变量Y 的观测值围绕回归线)(i Y E =ki k i X X βββ+++ 221的分散程度，同方差性实际指的是相对于回归线被解释变量所有观测值的分散程度相同。
设模型为n i u X X Y iki k i i ,,2,1221 =++++=βββ （5.2）如果其它假定均不变，但模型中随机误差项i u 的方差为).,,3,2,1(,)(22n i u Var i i ==σ (5.3)则称i u 具有异方差性。
由于异方差性指的是被解释变量观测值的分散程度是随解释变量的变化而变化的，如图5.1所示，所以进一步可以把异方差看成是由于某个解释变量的变化而引起的，则)()(222i i i X f u Var σσ== (5.4)图5.1二、产生异方差的原因由于现实经济活动的错综复杂性，一些经济现象的变动与同方差性的假定经常是相悖的。
所以在计量经济分析中，往往会出现某些因素随其观测值的变化而对被解释变量产生不同的影响，导致随机误差项的方差相异。
通常产生异方差有以下主要原因：1、模型中省略了某些重要的解释变量异方差性表现在随机误差上，但它的产生却与解释变量的变化有紧密的关系。
第四章条件异方差模型
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因此，无条件均值、无条件方差不受误差过程（4.2）的影响。 3） t 的条件均值是
E ( t t 1 , t 2 ,) Et 1vt Et 1 ( 0 1 t21 )1/ 2 0
4） t 的条件方差是
E ( t2 t 1 , t 2 ,) 0 1 t21
ˆt2 q 1 ˆt21 0 1 ˆt2 2 ˆt21 q Et
方程(*)被称为自回归条件异方差(ARCH)模型。
条件异方差模型介绍
由 Engle (1982) 提出的一类乘积条件异方差模型：设定 白噪声扰动项 vt 为乘积扰动形式。如
t vt 0 1 t21
pValue = 0
ARCH_LM检验(Eviews) ARCH-LM效应检验结果
27
F统计量及T×R2统计量的P值都小于0.05，因此，在5% 的显著性水平下，深证综指收益率自回归模型的残差存 在ARCH效应。
残差平方相关图检验
28
残差
残差平方
ARCH模型定阶
ARCH Test: F-statistic Obs*R-squared 5.220573 44.68954 Probability Probability 0.000001 0.000002 Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 10/21/04 Time: 21:27 Sample(adjusted): 2010 2254 Included observations: 245 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C 0.000110 5.34E-05 2.060138 RESID^2(-1) 0.141549 0.065237 2.169776 RESID^2(-2) 0.055013 0.065823 0.835766 RESID^2(-3) 0.337788 0.065568 5.151697 RESID^2(-4) 0.026143 0.069180 0.377893 RESID^2(-5) -0.041104 0.069052 -0.595260 RESID^2(-6) -0.069388 0.069053 -1.004854 RESID^2(-7) 0.005617 0.069178 0.081193 RESID^2(-8) 0.102238 0.065545 1.559806 RESID^2(-9) 0.011224 0.065785 0.170619 RESID^2(-10) 0.064415 0.065157 0.988613 R-squared 0.182406 Mean dependent var Adjusted R-squared 0.147466 S.D. dependent var S.E. of regression 0.000627 Akaike info criterion Sum squared resid 9.19E-05 Schwarz criterion Log likelihood 1464.875 F-statistic Durbin-Watson stat 2.004802 Prob(F-statistic)
《异方差教学》课件
基于最小二乘法的残差，通过构造统计量检验异方差的存在 性。该方法适用于多种类型的数据，尤其适用于面板数据。
非参数检验法
Park检验
利用数据中的信息，通过比较不同阶数的自回归模型对数据的拟合效果，判断 是否存在异方差。该方法不需要预设模型形式，较为灵活。
ARCH模型
利用自回归条件异方差模型进行异方差的检验，通过比较不同滞后阶数的模型 拟合效果，判断是否存在异方差。该方法适用于波动性较大的数据。
Box-Cox变换法
总结词
Box-Cox变换法是一种通用的修正异方 差的方法，通过选择适当的λ值进行变换 ，使数据的方差变得相等。
VS
详细描述
Box-Cox变换法是一种灵活的修正异方差 的方法，适用于不同类型的异方差数据。 通过选择适当的λ值进行变换，可以使数 据的方差变得相等，从而消除异方差的影 响。Box-Cox变换法的优点在于能够自动 选择最佳的λ值进行变换，使得数据的同 方差性得到最大程度的保持。在回归模型 中，可以使用Box-Cox变换法来处理因变 量的异方差问题。
PART 03
异方差的修正
对数变换法
总结词
对数变换法是一种常用的修正异方差的方法，通过取对数将异方差转化为同方差 。
详细描述
对数变换法适用于正态分布的异方差数据，通过取自然对数或对数变换，可以使 方差变得相等，从而消除异方差的影响。在回归模型中，可以使用对数变换法来 处理因变量的异方差问题。
平方根变换法
提出相应的解决策略。
PART 06
总结与展望
异方差研究的意义
揭示数据内在规律
异方差研究有助于揭示数据分布的内在规律，为数据分析和预测 提供更准确的模型。
提高统计推断的准确性
九、异方差模型
异方差模型——城镇居民人均可支配收入与货币工资之间的关系一、模型设定 被解释变量：DI ——2003年各地区城镇居民家庭平均每人全年可支配收入。
单位为元。
解释变量：WA ——2003年各地区城镇居民平均每人货币工资收入。
单位为元。
数学形式：εββ++=10WA DI *二、样本及数据来源所选取的样本为2003年我国31个城镇的居民人均全年可支配收入和人均货币工资。
样本数据来自国家统计局公布的《中国统计年鉴》（2004）。
三、回归结果1、OLS 估计回归结果 VariableDFParameter EstimateStandard Error t Value Pr > |t| Intercept 1 2639.059 690.153 3.820.0006WA 10.40.0468.65 <.0001R-Square: 0.7209; Adj. R-Sq: 0.7112; F Value: 74.89; Pr > F: <.0001.样本回归超平面为：WA DI *4.0059.2639+=新模型回归结果显示解释变量通过了t 检验，模型整体通过了F 检验。
调整的R 方达到了71.12%，说明模型的回归结果是比较好的。
2、异方差的诊断a 、图形法——OLS 下的残差图从下面的残差图，我们可以看到随着拟合值越来越大，残差的均值变大，而且残差图表现出较为明显的右向开口的喇叭口，说明随着拟合值的变大，残差的方差变大，即存在异方差的现象。
70008000900010000110001200013000-4000-200002000Fitted values R e s i d u a l slm(a$DI ~ a$WA)Residuals vs Fitted261129b 、White 检验利用White 检验的结果如下表所示Heteroscedasticity TestEquation Test Statistic DF Pr> ChiSq Variables DI White's Test12.9420.0016Cross of all varsWhite 检验的结果同样说明了异方差的存在，检验的P 值为0.0016，在1%的水平上能够通过显著性检验。
条件异方差模型
条件异方差模型条件异方差模型是一种用于描述时间序列数据的统计模型，它考虑到了不同时间点上的方差可能是不同的。
这种模型可以用来分析股票价格、汇率等金融数据，也可以用来分析环境变量、气象数据等自然科学数据。
在条件异方差模型中，方差是一个随时间变化的函数，通常被称为条件方差。
这意味着，在给定一些先前观察到的数据之后，我们可以预测未来观测值的方差。
这种方法比传统的线性回归模型更加准确，因为它能够捕捉到随着时间推移而发生变化的不确定性。
条件异方差模型最常见的形式是ARCH（自回归条件异方差）和GARCH（广义自回归条件异方差）模型。
ARCH模型是一种基于过去观测值的平方误差来预测未来观测值误差方差的模型。
GARCH模型则扩展了ARCH模型，并允许过去多个时间点上的平方误差对当前观测值误差方差产生影响。
在实际应用中，我们通常使用最小二乘法或极大似然估计法来拟合条件异方差模型。
最小二乘法是一种通过最小化残差平方和来确定模型参数的方法，而极大似然估计法则是一种基于观测到的数据来估计未知参数的方法。
需要注意的是，条件异方差模型并不适用于所有类型的时间序列数据。
例如，在具有周期性变化或季节性变化的数据中，方差通常是稳定的，因此不需要使用条件异方差模型。
此外，在具有明显趋势或趋势突变的数据中，也可能需要使用其他类型的时间序列模型。
总之，条件异方差模型是一种强大而灵活的统计工具，可以用于分析各种类型的时间序列数据。
它能够捕捉到随着时间推移而发生变化的不确定性，并且可以通过最小二乘法或极大似然估计法来拟合模型参数。
但需要注意，它并不适用于所有类型的时间序列数据，并且在实际应用中需要谨慎选择合适的模型。
03第三章 异方差性和自相关PPT课件
10
【例1】按照差错—学习模式,当人们学 习时，动作上出现的差错随时间的增加 而逐渐减少。如在某一时期内测验打字 差错数（Y）与打字实习小时数（X）之 间的关系。随着打字实习小时数的增加 ，打字差错平均字数及它们的方差不是 不变的，而是随之减少的。这个模型中 就出现了异方差。
31.07.2020
11
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20
3.回归方程的应用效果极不理想，或者 说模型的预测失效。
一方面，由于上述后果，使得模型
不具有良好的统计性质；另一方面，在
预测值的置信区间中也包含有随机误差
项共同的方差
2 u
。所以，当模型出现
异方差性时，它的预测功能失效。
31.07.2020
数结果较好，F检验结果明显显著；
表明该模型的估计效果不错，可以认为人口数量
每增加1万人，平均说来医疗机构将增加5.3735个。
然而，这里得出的结论可能是不可靠的，平均说来每 增加1万人口可能并不需要增加这样多的医疗机构， 所得结论并不符合真实情况。
有什么充分的理由说明这一回归结果不可靠呢？更为 接近真实的结论又是什么呢？
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当模型中存在异方差时，估计量 ˆ 的方 差将大于在同方差条件下的方差。如果用 普通最小二乘法估计参数，将出现低估 ˆ 的真实方差的情况。进一步将导致回归系 数的检验值高估，可能造成本来不显著的 某些回归系数变成显著。这将给回归方程 的应用效果带来一些影响。
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【例2】在研究城镇居民收入与消费的关 系时，我们知道居民收入与消费水平有着
密切的关系。用 Xi 表示第 i 户的收入，
Yi 表示第 i 户的消费额，那么反映收入与
条件异方差模型
LM检验
总结词
LM检验（拉格朗日乘数检验）是另一种常用的检验条件异方差性的方法。
详细描述
LM检验基于残差的自回归模型，通过构造拉格朗日乘数统计量来检验残差是否存在条件异方差性。如果LM检验 的P值较小，则说明存在条件异方差性，适合使用条件异方差模型。
AIC准则
总结词
AIC准则（赤池信息准则）是一种用于模型 选择的准则，也可以用于选择适合的条件异 方差模型。
资产定价
资产定价
条件异方差模型可以用于资产定价，帮助投资者确定资 产的合理价格。
投资决策
基于资产定价结果，投资者可以做出更加明智的投资决 策，提高投资收益。
06
条件异方差模型的局限性与
未来发展
数据依赖性
模型的有效性依赖于数据的准确性和 完整性，如果数据存在误差或缺失， 可能导致模型预测结果的不准确。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶斯定理 的参数估计方法，通过将模型中的未 知参数视为随机变量，并为其指定一 个先验分布，然后利用观测数据更新 该先验分布，从而得到未知参数的后 验分布。在条件异方差模型中，贝叶 斯估计法可以用来估计模型中的未知 参数。
VS
贝叶斯估计法的优点是灵活且能够处 理不确定性，可以考虑到未知参数的 不确定性，并为其提供一个概率描述。 然而，它对数据和先验分布的要求较 高，且计算复杂度较高，需要借助数 值计算方法进行求解。
TARCH模型
总结词
TARCH模型（门限自回归条件异方差 模型）是条件异方差模型的一种，用 于描述金融时间序列数据的波动性。
详细描述
TARCH模型由Zakoian于1994年提出， 它通过引入门限项来描述波动性的非 对称性。TARCH模型能够较好地拟合 金融时间序列数据的波动性，并预测 未来的波动情况。
第三讲+条件异方差模型
件方差，方差方程也被称作条件方差方程 。
23
条件方差方程是下面三项的函数： 1．常数项（均值）： 2．用均值方程的扰动项平方的滞后来度量从前期得 到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。 3．上一期的预测方差：
t2-1 （GARCH项）。
GARCH(1,1) 模型中的 (1,1) 是指阶数为 1 的 GARCH 项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的 第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个 特例，GARCH(0,1)，即在条件方差方程中不存在滞后预 测方差t2-1的说明。
式中 û t 是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残 差所作的回归。这个检验回归有两个统计量： （1）F 统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所 作的一个省略变量检验； （2）TR2 统计量是Engle’s LM检验统计量，它是观测
值个数 T 乘以回归检验的 R2 ；
9
普通回归方程的ARCH检验都是在残差检验下拉列表中
得到了在滞后阶数p = 1时的ARCH LM检验结果：
19
从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶 ARCH效应。因此利用ARCH(1)模型重新估计模型，结果如下： 均值方程：
ˆt cpit 1.088cpit 1 0.13cpit 2 3.098m1rt 1 0.062Rt 2 u
观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的“成群” 现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大， 这说明误差项可能具有条件异方差性。
18
2的自相关（AC）和偏自相关（PAC） 因此计算残差平方û t
系数，结果如下：
从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在
经典单方程计量经济学模型(异方差性)
80%
适用范围
对数变换法适用于存在异方差性 的模型，尤其适用于解释变量和 被解释变量之间存在非线性关系 的情况。
04
异方差性与模型选择
异方差性与模型适用性
异方差性是指模型中误差项的 方差不为常数，而是随解释变 量的变化而变化。
在异方差性存在的情况下，经 典的单方程计量经济学模型可 能不再适用，因为模型假设误 差项的方差是恒定的。
为了使模型具有适用性，需要 选择能够处理异方差性的模型 ，例如广义最小二乘法、加权 最小二乘法等。
异方差性与模型预测能力
异方差性的存在会影响模型的预测能力，因为异方差性会导致模 型的残差不再独立同分布，从而影响模型的预测精度。
为了提高模型的预测能力，需要采取措施处理异方差性，例如使 用稳健的标准误、对误差项进行变换等。
在实践中，应该充分考虑异方差性的影响，采取适当 的措施进行修正，以提高模型的预测和推断能力。
02
异方差性的检验
图示检验法
残差图检验
通过绘制残差与拟合值的图形，观察残差的分布情况，判断是否 存在异方差性。如果残差随着拟合值的增加或减少而呈现有规律 的变化，则可能存在异方差性。
杠杆值图检验
将数据按照杠杆值（leverage）进行排序，并绘制杠杆值与残差的 图形。如果图形显示高杠杆值对应的点有异常的残差分布，则可能 存在异方差性。
经典单方程计量经济学模型(异 方差性)
目
CONTENCT
录
• 异方差性简介 • 异方差性的检验 • 异方差性的处理方法 • 异方差性与模型选择 • 经典单方程计量经济学模型中的异
方差性
01
异方差性简介
定义与特性
异方差性是指模型残差的方差不为常数，随着解释 变量的变化而变化。
Eviews数据统计与分析教程9章条件异方差模型ARCHGARCH
EViews统计分析基础教程
三、ARCH模型的其他扩展形式
2. TARCH模型
TARCH（Threshold ARCH）模型是门限自回归条件异 方差模型，可用来分析数据的剧烈波动性。 模型中条件方差的形式为
其中，dt-1是一个虚拟变量，满足的条件为 1 ，如果μt-1<0
dt-1= 0，如果μt-1>=0
EViews统计分析基础教程
一、自回归条件异方差模型（ARCH）
2.ARCH模型检验
（2）残差平方的相关图（Q）检验法
在EViews操作中，要实现残差平方的相关图（Q）检验，需 在 方 程 对 象 窗 口 中 选 择 “ View”|“Residual Tests”|“Correlogram – Q – statistics”选项。
GARCH（1，1）模型在金融领域应用广泛，可以对金融时 间序列的数据进行描述。
EViews统计分析基础教程
二、广义自回归条件异方差模型（GARCH）
2.GARCH模型的建立
当上述辅助回归方程进行ARCH效应检验时，如果ARCH的 滞后阶数q很大，检验结果依然显著，即残差序列依然存在 ARCH（q）效应。此时可采用GARCH（p，q）模型重新进 行估计。
在“Options”中输入ARCH和GARCH的阶数 。
在“Variance”的编辑栏中可列出方差方程中的外生变量。
EViews统计分析基础教程
一、自回归条件异方差模型（ARCH）
3.ARCH模型的建立
Options选项卡
如果选中“Backcasting”（回推） 中的复选框，MA初始扰动项 和GARCH项中的初始预测方 差将使用回推（“Backcasting”） 方法确定初始值。
金融时间序列第三章条件异方差模型
，则拒绝原假设。
3.4 ARCH模型
ARCH模型的基本思想是：资产收益了的扰动 at a 是序列不相关的，但不是独立的： t 的不独立性 可以用其延迟值的简单二次函数来描述。具体的 说，一个ARCH(m)模型是假定：
at tt , t 2 0 1at 12 mat m2
3.4.3 ARCH模型的建立
(2)从另一个角度，定义 t at 2 t 2 , 那么可以证明{ t } 是均值为零的不相关序列。于是ARCH模型变成 at 2 0 1a 2t 1 m a 2t m t , 这是at 2的AR(m)形式， 同样用at 2的PACF定阶m，但{ t }不是独立同分布的， 所以上述模型的最小二乘估计是相合的，但不是有效 地。当样本容量较小时，at 2的PACF可能不是有效的。
i 1 i 1 i 1 k p q
其中k,p和q是非负整数，xit 是解释变量。 结合上述两个式子我们有 t 2 Var (rt | Ft-1 ) Var (at | Ft-1 ).本章的条件异方差模型 就是用来描述 t 2的演变的。 t 2随时间变化的方式可以用不同的波动率模型来表示。
3.3 建模
对资产收益率序列建立一个波动率模型需要如下 四个步骤 (1)通过检验数据的序列相关性建立一个均值方程， 如有必要，对收益率序列建立一个计量经济模型 来消除任何的线性依赖。 (2)对均值方差的残差进行ARCH检验。 (3)如果ARCH效应在统计上是显著的，则指定一个 波动率模型，并对均值方程和波动率方程进行联 合估计。 (4)仔细检验所拟合的模型，有必要则对其进行改进
3.4.3 ARCH模型的建立
预测
考虑一个ARCH(m)模型，从预测原点h出发， h+12的 向前一步预测为 h 2 (1) 0 1a 2 h m a 2 h 1m 向前两步预测为 h 2 (2) 0 1a 2 h (1) 2 a 2 h m a 2 h 2m 向前l步预测为 h 2 (l ) 0 i h 2 (l i ), 其中，若l i 0,
SV模型综述
的马尔科夫链得到 (x)的抽样，基于这些抽样做出各种统计推断。大
量模拟表明，MCMC在估计参数上优于QML，但其不足之处在于需要 非常大的计算量，而且对扩展模型该方法需要改变的地方也较多。
MCML 蒙特卡罗极大似然法(MCML)也是建立在重要性抽样技术基础上的。
SV模型转变为线性空间形式后，测度方程的误差项是非高斯的，通过 重要性抽样选取一个合适的高斯状态空间模型来近似。MCML方法不 仅在计算较MCMC方法简单，而且还有其它的一些优点:(1)能够对SV 模型的似然函数产生任意精确度的近似，因此可以构造标准似然比检 验。(2)不仅可以用来估计基本SV模型，在估计SV模型的扩展形式时 ，方法的改变较小。
Page ④4 隐含波动的微笑现象 隐含波动是指期权价格中所隐含的波动。
波动性的特征
在期权定价公式中，如Black．Scholes模型，给出了期权价格与标的资产价格 、期权的执行价格、到期时间、无风险利率及波动之间的关系。如果这些变 量已知，就可以利用期权定价公式来计算期权的价格。这些变量中，只有波 动不能直接观察到，必须进行估计。由于期权价格是可以获得的，所以通过 反解期权定价公式，可以得到波动与期权价格及其他变量之间的解析函数关 系。尽管有时得不到明确的解析表达式，但仍可以通过数值算法计算出波动 ，这样得到的波动就是隐含波动。同一个标的资产可能会有几个不同执行价 格和不同到期日的期权，那么这几个期权的定价就会不同，从而计算得到不 同的波动。也就是说，对同一个标的资产得到不同的隐含波动。这种隐含波 动与执行价格、到期时间之间的关系通常被称为波动的“微笑”现象。这一 名称得名于图形中显示出来的U型曲线。
条件异方差模型
条件异方差模型介绍条件异方差模型是一种用于建模和分析时间序列数据的统计模型。
在时间序列分析中，我们通常假设序列的方差是恒定的，即服从同方差假设。
然而，在实际应用中，我们经常遇到方差不恒定的情况，这时就需要使用条件异方差模型。
什么是条件异方差条件异方差指的是时间序列数据的方差在不同条件下发生变化。
换句话说，条件异方差模型允许我们在建模过程中考虑方差的非恒定性。
这在金融领域特别常见，因为金融数据通常具有波动性较大的特点。
条件异方差模型的应用条件异方差模型在金融风险管理、投资组合优化、期权定价等领域都有广泛的应用。
通过考虑方差的非恒定性，条件异方差模型能够更准确地捕捉到金融市场的波动性，从而提高模型的预测能力和风险控制能力。
常见的条件异方差模型ARCH模型ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型是最早被提出的条件异方差模型之一。
ARCH模型假设序列的方差是过去方差的线性函数，并且具有自回归结构。
ARCH模型的一阶形式可以表示为：2σt2=α0+α1ϵt−12是时间点t-1的残差的平其中，σt2是时间点t的方差，α0和α1是模型的参数，ϵt−1方。
GARCH模型GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型是对ARCH模型的拓展，能够更好地捕捉到方差的非恒定性。
GARCH模型引入了条件方差的滞后项，并且具有自回归滑动平均结构。
GARCH模型的一阶形式可以表示为：σt2=α0+∑αipi=1ϵt−i2+∑βjqj=1σt−j2其中，α0,α1,...,αp和β1,β2,...,βq是模型的参数，p和q分别表示条件方差和滞后项的阶数。
EGARCH模型EGARCH（Exponential GARCH）模型是对GARCH模型的改进，能够更好地对称和非对称的影响进行建模。
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ARCH的检验
下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的 两种方法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。 1. ARCH LM检验 Engle在1982年提出检验残差序列中是否存在ARCH 效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test）， 即ARCH LM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设
式中 û t 是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残 差所作的回归。这个检验回归有两个统计量： （1）F 统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所 作的一个省略变量检验； （2）TR2 统计量是Engle’s LM检验统计量，它是观测
值个数 T 乘以回归检验的 R2 ；
9
普通回归方程的ARCH检验都是在残差检验下拉列表中
得到了在滞后阶数p = 1时的ARCH LM检验结果：
19
从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶 ARCH效应。因此利用ARCH(1)模型重新估计模型，结果如下： 均值方程：
ˆt cpit 1.088cpit 1 0.13cpit 2 3.098m1rt 1 0.062Rt 2 u
观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的“成群” 现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大， 这说明误差项可能具有条件异方差性。
18
2的自相关（AC）和偏自相关（PAC） 因此计算残差平方û t
系数，结果如下：
从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在
着一阶ARCH效应。再进行条件异方差的ARCH LM检验，
22
在标准化的GARCH(1,1)模型中：
yt xtγ ut
均值方程
t2 ut21 t21
方差方程
其中：xt 是 (k+1)×1维外生变量向量， 是(k+1)×1维系数 向量。 均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于t2 是以前面信息为基础的一期向前预测方差 ，所以它被称作条
21
GARCH模型
扰动项 ut 的方差常常依赖于很多时刻之前的变化量，
因此必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如 果我们能够意识到下式不过是 t2 的分布滞后模型，
u 2 2 2 2 ~ ~ ~ ~ t 1 0 1ut 2 2ut 3 put p1
定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小
与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的OLS估计 无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。
8
ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检
验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归：
2 2 2 ˆ ˆ ˆ ut 0 1ut 1 qut q t
件方差，方差方程也被称作条件方差方程 。
23
条件方差方程是下面三项的函数： 1．常数项（均值）： 2．用均值方程的扰动项平方的滞后来度量从前期得 到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。 3．上一期的预测方差：
t2-1 （GARCH项）。
GARCH(1,1) 模型中的 (1,1) 是指阶数为 1 的 GARCH 项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的 第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个 特例，GARCH(0,1)，即在条件方差方程中不存在滞后预 测方差t2-1的说明。
z = (12.53) (-1.53) (4.72) (-3.85)
方差方程：
ˆ t2 0.186 0.648u ˆt21
z = (5.03) (3.214) R2=0.99 对数似然值 = -151.13 AIC = 1.87 SC = 1.98
方差方程中的ARCH项的系数是统计显著的，并且对数似然值 有所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明ARCH(1)模型能够更 好的拟合数据。
(2.35) (951) R2= 0.997
13
可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟合 的程度也很好。但是需要检验这个方程的误差项是否存 在条件异方差性。
14
股票价格指数方程回归残差
观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成 群”现象：波动在一些较长的时间内非常小，在其他一些较长的 时间内非常大，这说明残差序列存在高阶ARCH效应。
条件异方差模型
Eviews中条件方差或变量波动性模型通常有如下几个 原因: 首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次， 预测置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方
差模型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能
适当控制的，我们就能得到更有效的估计。
1
§自回归条件异方差模型
自 回 归 条 件 异 方 差 (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件 方差模型并对其进行预测的。 ARCH 模型是 1982年由恩格尔 (Engle, R.) 提出，并由博 勒斯莱文(Bollerslev, T., 1986)发展成为GARCH (Generalized ARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用
政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明
预测误差的方差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差
(ARCH)模型。ARCH的主要思想是时刻 t 的ut 的方差(= t2 )
2 。 依赖于时刻(t 1)的扰动项平方的大小，即依赖于 û t -1
4
ARCH模型
k -变量回归模型：
2 t 2 1 t 1
2 2 t 2
u
2 p t p
这时方差方程中的(p+1)个参数0, 1, 2, , p也要和回归模 型中的参数0, 1, 2, , k一样，利用极大似然估计法进行估 计。
6
如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0 ：var( u 这时
进行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二阶段最
小二乘法和非线性最小二乘法估计的方程才有此项检验。
普通方程的ARCH检验列表
Breusch-Pagan-Godfrey Harvey Glejser ARCH White Custom Test Wizard…
10
残差平方相关图
2 的自相关系 显示直到所定义的滞后阶数的残差平方 û t
12
由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过
程 ——随机游动（ Random Walk ）模型描述，所以本例进
行估计的基本形式为：
ln( spt ) ln( spt 1 ) ut
首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结 果如下：
ˆ t ) 0.0178 0.9976 ln( spt 1 ) ln( sp
20
再对这个方程进行条件异方差的ARCH LM检验，得到 了残差序列在滞后阶数p=1时的统计结果：
此时的相伴概率为0.69，接受原假设，认为该残差序列 不存在ARCH效应，说明利用ARCH(1)模型消除了模型残差 序列的条件异方差性。残差平方相关图的检验结果为：
自相关系数和偏自相关系数近似为0。这个结果也说明了残 差序列不再存在ARCH效应。
明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会
大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的 方差取决于后续扰动项的大小。
3
从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序 列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随 时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相 对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又 是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、
2 t 2 1 t 1 2 2 t 2 2 p t p
0 u u
我们就能够用一个或两个 t2 的滞后值代替许多 ut2 的滞后值， 这 就 是 广 义 自 回 归 条 件 异 方 差 模 型 (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简记为 GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定： 一个是条件均值，另一个是条件方差。
2 ) 0 t
1 2 p 0
恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟
从而得到扰动项方差的同方差性情形。 假设：
ˆ0 ˆ1u ˆ 2u ˆ pu ˆt2 ˆt21 ˆt22 ˆt2 p u
其中，û t 表示从原始回归模型估计得到的OLS残差。
24
高阶GARCH(p, q)模型
15
2 可以计算方程残差平方û t 的自相关（AC）和偏自相关 （PAC）系数，结果说明残差序列存在ARCH效应。
因此，对上式进行条件异方差的ARCH LM检验，得到了 在滞后阶数p = 3时的ARCH LM检验结果如下。此处的P值为0， 拒绝原假设，说明其残差序列存在ARCH效应。
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中国CPI模型的ARCH检验 因变量为中国的消费价格指数（上年同月=100）减去100，记为 cpit；解释变量选择货币政策变量：狭义货币供应量M1的增长率， 记为m1rt；3年期贷款利率，记为Rt，样本期间是1994年1月～ 2007年12月。由于是月度数据，利用X-12季节调整方法对 cpit 和 m1滞后阶数的 Ljung-Box 统计
量。残差平方相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性 （ARCH）。如果残差中不存在 ARCH，在各阶滞后自相关 和偏自相关系数应为 0，且 Q 统计量应不显著。可适用于 LS ， TSLS ， 非 线 性 LS 方 程 。 在 上 图 中 选 择 Residuals Tests/ Correlogram Squared Residuals项，它是对方程进行残差平 方相关图的检验。单击该命令，会弹出一个输入计算自相关 和偏自相关系数的滞后阶数设定的对话框，默认的设定为36，