2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷
自主招生数学试题及答案
自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求a_5的值。
A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B4. 设A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，求A∩B的值。
A. {1, 2}B. {3}C. {4, 5}D. 空集答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(-1)的值。
答案：-36. 计算等比数列1, 2, 4, ...的第5项。
答案：167. 已知圆的半径为5，求圆的面积。
答案：25π8. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，求向量a与向量b的点积。
答案：-7三、解答题（共60分）9. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 3x^2 - 12x + 1110. 已知直线l1: y = 2x + 1和直线l2: y = -x + 3，求两直线的交点坐标。
答案：交点坐标为(1, 3)11. 已知圆心在原点，半径为5的圆，求圆的方程。
答案：x^2 + y^2 = 2512. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求函数的最小值。
答案：函数的最小值为2，当x = 3时取得。
福建省福州一中自主招生考试数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）1．如图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误的是（）A．a＜c B．b＜c C．4a2+b2=c2D．a2+b2=c22．下列计算：①4=±2；②2a2×3a3=6a6；③|11-2|-2sin45°+(-1)2011=0；④b+ca+c=ba．其中正确的个数有（）A．0 B．1 C．2 D．33．某救灾募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款．其中8人捐款统计如下表：捐款数（万元） 5 10 20 50人数（人） 1 2 3 2设这8人捐款数的众数为a，中位数为b，平均数为c，则下列各式正确的是（）A．a=b＜c B．a＜b＜c C．a=b＞c D．a=b=c4．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（）A．（2，0）B．（2，1）C．（1，2）D．无法确定5．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．2 B．125C．52D．226．定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）7．化简(1x2+3x+x2-x-6x2-9)÷x2+2x+1x+3的结果为8．如图，在两面墙之间有一根底端在A点的竹竿，当它靠在一侧墙上时，竹竿的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，竹竿的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，AC=2米，则DE的高度为米．（墙面垂直地面）9．若实数a，b满足a+b2=1，则a2+4b2的最小值是．10．如图，△ABC的三边长分别为3、5、6，BD 与CE都是△ABC的外角平分线，M、N是直线BC上两点，且AM⊥BD于D，AN⊥CE 于E，则DE的长等于．11．下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）6展开式中所缺的系数．（a+b）=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3则（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+a3b3+15a2b4+6ab5+b6．12．三个同学对问题“若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是y=10，求方程组4a1x+5b1y=9c14a2x+5b2y=9c2的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）13．如图，矩形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE、DE．△DCE沿DE翻折后，点C恰好落在AE上，记为点F．（Ⅰ）求证：△ADF≌△EAB；（Ⅱ）若AD=10，tan∠EDF=13，求矩形ABCD的面积．14．如图，双曲线y=kx与直线l：y=-kx+b（k＞0，b＞0）有且只有一个公共点A，AC⊥x轴于C，直线l交x轴于点B．（Ⅰ）求点A的横坐标；（Ⅱ）已知△ABC的面积等于1，若有一动点从原点开始移动，假定其每次只能向上或向右移动1个单位长度（向上和向右的可能性相同）．求3次移动后，该点在直线l上的概率．15．已知二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B两点，其顶点为M．（Ⅰ）根据图象，解不等式ax2-2ax+c＞0；（Ⅱ）若点D（-3，6）在二次函数的图象上，试问：线段OB上是否存在N点，使得∠ADB=∠BMN？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由．。
历年福建省福州市中考数学试题(含答案)
2016 年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题 （全卷共4页，三大题，27小题；满分150分；考试时间120分钟）友情提示：请把所有答案填写（涂）在答题卡上，请不要错位、越界答题！ 毕业学校 姓名 考生号一、选择题（共12 小题，每题3分．满分36分；每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是A ．0.7B ．21 C ．π D ．－8 2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是A ．B ．C ．D ．3．如图，直线a 、b 被直线C 所截，∠1和∠2的位置关系是A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．对顶角4．下列算式中，结果等于a 6 的是A ．a 4＋a 2B ．a 2＋a 2＋a 2C ．a 4·a 2D ．a 2·a 2·a 2 5．不等式组⎩⎨⎧>->+0301x x 的解集是 A ．x ＞－1 B ．x ＞3 C ．－1＜x ＜3 D ．x ＜36．下列说法中，正确的是A ．不可能事件发生的概率为0B ．随机事件发生的概率为21 C ．概率很小的事件不可能发生D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次7．A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是8．平面宜角坐标系中，已知□ABCD 的三个顶点坐标分别是A （m ，n ），B ( 2，－l )，C （－m ，－n ），则点D 的坐标是A ．（－2 ，l )B ．（－2，－l )C ．（－1，－2 )D ．（－1，2 )9．如图，以O 为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是⌒AB 上一点（不与A ，B 重合），连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是第2题A ．（sin α，sin α）B ．（ cos α，cos α）C ．（cos α，sin α）D ．（sin α，cos α）10．下表是某校合唱团成员的年龄分布 年龄/岁 13 14 15 16 频数 5 15 x 10－x对于不同的x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是A ．平均数，中位数B ．众数，中位数C ．平均数，方差D ．中位数，方差11．已知点A （－l ，m ），B ( l ，m ），C ( 2，m ＋l ）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是A B C D12．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x ＋c ＝0一定有实数根的是A ．a ＞0B ．a ＝0C ．c ＞0D ．c ＝0二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）13．分解因式：x 2－4＝ ．14．若二次根式1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．15．已知四个点的坐标分别是（－1，1），（2，2），（32，23），（－5，－51），从中随机选一个点，在反比例函数y ＝x1图象上的概率是 ． 16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r 下，则r 上 r 下．（填“＞“，”“＝”“＜”)17．若x ＋y ＝10，xy ＝1 ，则x 3y ＋xy 3＝ ．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O ）为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是 ．三、解答题（共9 小题，满分90 分）19．（7分）计算：|－1|－38＋(－2016)0 .20．（7分）化简：a －b －ba b a ++2)( 21．（8分）一个平分角的仪器如图所示，其中AB ＝AD ，BC ＝DC ，求证：∠BAC ＝∠DAC .x y O x yO x y O x y O22．（8分）列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24 元，乙种票每张18 元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？23．（10分）福州市2011～2015年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了 万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是 万人；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．24．（12分）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为⌒AD 中点，连接BM ，CM ．（1）求证：BM ＝CM ；（2）当⊙O 的半径为2 时，求⌒BM 的长．25．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝215 ，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD ． （1）通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系；（2）求∠ABD 的度数．26．（13分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM 沿直线AM 对折，得到△ANM ．（1）当AN 平分∠MAB 时，求DM 的长；（2）连接BN ，当DM ＝1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN 交线段CD 于点F 时，求DF的最大值．27．（13分）已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c ( a≠0）经过原点，顶点为A ( h，k ) （h≠0）．（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y＝tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y＝x2－x上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．。
2016年福建省福州市中考数学试卷(含答案)
2016年福建省福州市中考数学试卷一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是（）A．0.7 B．C．πD．﹣82．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B． C．D．3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角 D．对顶角4．下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2 B．a2+a2+a2C．a2•a3 D．a2•a2•a25．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜36．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．8．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D 的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）9．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）10．下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）A ．平均数、中位数B ．众数、中位数C ．平均数、方差D ．中位数、方差11．已知点A （﹣1，m ），B （1，m ），C （2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．12．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x+c=0一定有实数根的是（ ）A ．a ＞0B ．a=0C ．c ＞0D ．c=0二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x 2﹣4= ．14．若二次根式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是 ．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r 下，则r 上 r 下．（填“＜”“=”“＜”）17．若x+y=10，xy=1，则x 3y+xy 3的值是 ．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan∠ABC 的值是 ．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：|﹣1|﹣+（﹣2016）0．20．化简：a ﹣b ﹣．21．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD ，BC=DC ．求证：∠BAC=∠DAC．22．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？23．福州市2011﹣2015年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了 万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．25．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．26．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．27．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．2016年福建省福州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是（）A．0.7 B．C．πD．﹣8【考点】无理数．【专题】计算题．【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可．【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，且0.7为有限小数，为有限小数，﹣8为正数，都属于有理数，π为无限不循环小数，∴π为无理数．故选：C．【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B． C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1，故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角 D．对顶角【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【分析】根据内错角的定义求解．【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．故选B．【点评】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．4．下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2 B．a2+a2+a2C．a2•a3 D．a2•a2•a2【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】计算题；推理填空题．【分析】A：a4+a2≠a6，据此判断即可．B：根据合并同类项的方法，可得a2+a2+a2=3a2．C：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a3=a5．D：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a2•a2=a6．【解答】解：∵a4+a2≠a6，∴选项A的结果不等于a6；∵a2+a2+a2=3a2，∴选项B的结果不等于a6；∵a2•a3=a5，∴选项C的结果不等于a6；∵a2•a2•a2=a6，∴选项D的结果等于a6．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（2）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．5．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜3【考点】解一元一次不等式组．【专题】方程与不等式．【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x＞3，由①②可得，x＞3，故原不等式组的解集是x＞3．故选B．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．6．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率P（A）=1、不可能发生事件的概率P（A）=0对A、B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误．故选A．【点评】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．【考点】相反数；数轴．【专题】数形结合．【分析】数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段AB上的点与原点的距离就可以做出判断．【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点0的左右两侧，从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点0的同一侧，所以可以得出答案为B．故选：B【点评】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段AB上的点与原点的距离．8．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D 的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1）．故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D 和B关于原点对称是解决问题的关键．9．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【专题】计算题；三角形．【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选C．【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．10．下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差 D．中位数、方差【考点】统计量的选择；频数（率）分布表．【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x=10，则总人数为：5+15+10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为： =14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．11．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A． B．C． D．【考点】坐标确定位置；函数的图象．【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；∵B（1，m），C（2，m+1），∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误．故选C．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．【解答】解：∵一元二次方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，∴ac≤4，且a≠0；A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x 2﹣4=（x+2）（x ﹣2）．故答案为：（x+2）（x ﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．14．若二次根式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x≥﹣1 ．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】常规题型．【分析】根据二次根式的性质可求出x 的取值范围．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式； 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是 ．【考点】概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数y=图象上，再让在反比例函数y=图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y=图象上的概率，依此即可求解．【解答】解：∵﹣1×1=﹣1，2×2=4，×=1，（﹣5）×（﹣）=1，∴2个点的坐标在反比例函数y=图象上，∴在反比例函数y=图象上的概率是2÷4=．故答案为：．【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r 下，则r 上 = r 下．（填“＜”“=”“＜”）【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，r上=r下．故答案为=．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．17．若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是98 ．【考点】代数式求值．【分析】可将该多项式分解为xy（x2+y2），又因为x2+y2=（x+y）2﹣2xy，然后将x+y与xy的值代入即可．【解答】解：x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2﹣2xy]=1×（102﹣2×1）=98．故答案为：98．【点评】本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法：若已知x+y与xy的值，则x2+y2=（x+y）2﹣2xy，再将x+y与xy的值代入即可．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【专题】网格型．【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB=90°，根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题．【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a∴∠AEB=90°，∴tan∠ABC===．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：|﹣1|﹣+（﹣2016）0．【考点】有理数的混合运算；立方根；零指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案．【解答】解：|﹣1|﹣+（﹣2016）0=1﹣2+1=0．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．化简：a﹣b﹣．【考点】分式的加减法．【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．【解答】解：原式=a﹣b﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．【考点】全等三角形的性质．【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．22．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张，总费用为750元列方程求解即可．【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张．根据题意得：．解得：．答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．23．福州市2011﹣2015年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了7 万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2014 ；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．【考点】折线统计图．【分析】（1）将2015年人数减去2014年人数即可；（2）计算出每年与上一年相比，增加的百分率即可得知；（3）可从每年人口增加的数量加以预测．【解答】解：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了750﹣743=7（万人）；（2）由图可知2012年增加：×100%≈0.98%，2013年增加：×100%≈0.97%，2014年增加：×100%≈1.2%，2015年增加：×100%≈0.94%，故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2014年；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为757万人，理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测2016年福州市常住人口数大约为757万人．故答案为：（1）7；（2）2014．【点评】本题主要考查条形统计图，从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．【考点】圆内接四边形的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计算．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴=，∵M为中点，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的周长为4π，∴的长=×4π=π．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AB=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BD，AD2=AC•CD，∴BD2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC．∴，∠DBC=∠A．∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS 证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ 中，由勾股定理得：AQ 2=AN 2+NQ 2，∴（x+1）2=32+x 2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S △NAB =S △NAQ =×AN•NQ=××3×4=；（3）过点A 作AH⊥BF 于点H ，如图2所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N 、H 重合（即AH=AN ）时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH ，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH 和△BFC 中，，∴△ABH≌△BFC（AAS ），由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．27．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=﹣，b=﹣2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过原点，∴0=a（0﹣1）2+2，∴a=﹣2，∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=﹣，∴b=﹣2ah，∴y=ax2﹣2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=ah2﹣2ah，抛物线y=tx2也经过A（h，k），∴k=th2，∴th2=ah2﹣2ah2，∴t=﹣a，（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，∴h=，∵﹣2≤h＜1，∴﹣2≤＜1，①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．【点评】本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．。
2016年福建福州高级中等学校招生考试数学试卷
2016年福州市初中毕业会考高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）(满分:150分时间:120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共36分)一、选择题(共12小题,每题3分,满分36分;每小题只有一个正确选项)1.下列实数中的无理数是()A.0.7B.12C.πD.-82.如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体,它的俯视图是()3.如图,直线a,b被直线c所截,∠1与∠2的位置关系是()A.同位角B.内错角C.同旁内角D.对顶角4.下列算式中,结果等于a6的是()A.a4+a2B.a2+a2+a2C.a2·a3D.a2·a2·a25.不等式组x+1>0,x-3>0的解集是()A.x>-1B.x>3C.-1<x<3D.x<36.下列说法中,正确的是()A.不可能事件发生的概率为0B.随机事件发生的概率为12C.概率很小的事件不可能发生D.投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面朝上的次数一定为50次7.A,B是数轴上两点,线段AB上的点表示的数中,有互为相反数的是()8.平面直角坐标系中,已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,n),B(2,-1),C(-m,-n),则点D的坐标是()A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-1,-2)D.(-1,2)9.如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是AB上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是()A.(sin α,sin α)B.(cos α,cos α)C.(cos α,sin α)D.(sin α,cos α)10.下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是()A.平均数,中位数B.众数,中位数C.平均数,方差D.中位数,方差11.已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m+1)在同一个函数图象上,这个函数图象可以是()12.下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是()A.a>0B.a=0C.c>0D.c=0第Ⅱ卷(非选择题,共114分)二、填空题(共6小题,每题4分,满分24分)13.分解因式:x2-4=.14.若二次根式x-1在实数范围内有意义,则x的取值范围是.15.已知四个点的坐标分别是(-1,1),(2,2),23,32,-5,-15,从中随机选取一个点,在反比例函数y=1x图象上的概率是.16.如图所示的两段弧中,位于上方的弧半径为r上,下方的弧半径为r下,则r上r下.(填“>”“=”或“<”)17.若x+y=10,xy=1,则x3y+xy3的值是.18.如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角(∠O)为60°,A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是.三、解答题(共9小题,满分90分)19.(7分)计算:|-1|-30.20.(7分)化简:a-b-(a+b)2a+b.21.(8分)一个平分角的仪器如图所示,其中AB=AD,BC=DC.求证:∠BAC=∠DAC.22.(8分)列方程(组)解应用题:某班去看演出,甲种票每张24元,乙种票每张18元.如果35名学生购票恰好用去750元,甲乙两种票各买了多少张?23.(10分)福州市2011—2015年常住人口数统计如图所示.根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)福州市常住人口数,2015年比2014年增加了万人;(2)与上一年相比,福州市常住人口数增加最多的年份是;(3)预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人?请用所学的统计知识说明理由.24.(12分)如图,正方形ABCD内接于☉O,M为AD中点,连接BM,CM.(1)求证:BM=CM;(2)当☉O的半径为2时,求BM的长.25.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=5-12,在AC边上截取AD=BC,连接BD.(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;(2)求∠ABD的度数.26.(13分)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长;(2)连接BN,当DM=1时,求△ABN的面积;(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.27.(13分)已知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为A(h,k)(h≠0).(1)当h=1,k=2时,求抛物线的解析式;(2)若抛物线y=tx2(t≠0)也经过A点,求a与t之间的关系式;(3)当点A在抛物线y=x2-x上,且-2≤h<1时,求a的取值范围.答案全解全析：一、选择题1.C0.7为有限小数,12为分数,-8为整数,都属于有理数,π为无限不循环小数,属于无理数.故选C.2.C根据俯视图的定义可知选C.3.B∠1与∠2是内错角.故选B.4.D A.a4+a2≠a6;B.a2+a2+a2=3a2;C.根据同底数幂的乘法法则,可得a2·a3=a5;D.根据同底数幂的乘法法则,可得a2·a2·a2=a6.故选D.5.B x+1>0,①x-3>0,②解不等式①,得x>-1,解不等式②,得x>3,∴x>3,故原不等式组的解集是x>3.故选B.6.A A.不可能事件发生的概率为0,所以A选项正确;B.随机事件发生的概率在0与1之间,所以B选项错误;C.概率很小的事件不是不可能发生,而是发生的概率较小,所以C选项错误;D.投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面朝上的次数可能为50次,所以D选项错误.故选A.7.B表示互为相反数的点,必须要满足在数轴原点的左、右两侧,且到原点的距离相等.故选B.8.A∵A(m,n),C(-m,-n),∴点A和点C关于原点对称,∵四边形ABCD是平行四边形,∴点D和点B关于原点对称,∵B(2,-1),∴点D的坐标是(-2,1).故选A.9.C过P作PQ⊥OB,交OB于点Q,在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sin α=PQOP ,cos α=OQOP,即PQ=sin α,OQ=cos α,∴点P的坐标为(cos α,sin α).故选C.评析熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键.10.B由题表可知,年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10,则总人数为5+15+10=30,故该组数据的众数为14岁,中位数为14+142=14岁,即对于不同的x,关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数,故选B.11.C∵点A(-1,m),B(1,m),∴点A与B关于y轴对称,故A,B错误;∵B(1,m),C(2,m+1),m+1>m,∴C正确,D错误.故选C.12.D若一元二次方程ax2-4x+c=0有实数根,则Δ=(-4)2-4ac=16-4ac≥0,且a≠0.∴ac≤4,且a≠0.A.若a>0,则当a=1,c=5时,ac=5>4,故此选项错误;B.a=0不符合一元二次方程的定义,故此选项错误;C.若c>0,则当a=1,c=5时,ac=5>4,故此选项错误;D.若c=0,则ac=0≤4,故此选项正确.故选D.评析本题主要考查一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系:(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)Δ<0⇔方程没有实数根.二、填空题13.答案(x+2)(x-2)解析x2-4=(x+2)(x-2).14.答案x≥1解析若二次根式x-1在实数范围内有意义,则x-1≥0,解得x≥1.15.答案12解析∵-1×1=-1,2×2=4,23×32=1,(-5)×-15=1,∴点23,32,-5,-15在反比例函数y=1x的图象上,∴随机选取一点,在反比例函数y=1x 图象上的概率是24=12.16.答案< 解析如图.易得r上<r下.17.答案98解析x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy],将x+y=10,xy=1代入,得原式=1×(102-2×1)=98.18.答案32解析如图,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得∠AEF=30°,∠BEF=60°,AE=3a,EB=2a,∴∠AEB=90°,∴tan∠ABC=AEBE =3a2a=32.三、解答题19.解析原式=1-2+1=0.20.解析原式=a-b-(a+b)=a-b-a-b=-2b.21.证明在△ABC与△ADC中,AB=AD, BC=DC, AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SSS).∴∠BAC=∠DAC.22.解析设甲种票买了x张,则乙种票买了(35-x)张.由题意,得24x+18(35-x)=750.解得x=20.∴35-x=15.答:甲种票买了20张,乙种票买了15张.23.解析(1)7.(2)2014.(3)预测2016年福州市常住人口数大约为757万人.理由如下:从统计图可以看出,福州市常住人口每年增加的数量的众数为7万人,因此预测2016年福州市常住人口数大约为757万人.(答案不唯一,言之有理即可得分) 24.解析(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∴AB=CD.∵M为AD中点,∴AM=DM,∴BM=CM,∴BM=CM.(2)连接OM,OB,OC.∵BM=CM,∴∠BOM=∠COM.∵正方形ABCD内接于☉O,∴∠BOC=360°4=90°.∴∠BOM=135°.由弧长公式,得BM的长l=135×2×π180=32π.25.解析(1)∵AD=BC=5-1 2 ,∴AD2=5-122=3-52.∵AC=1,∴CD=1-5-12=3-52,∴AD2=AC·CD.(2)∵AD2=AC·CD,AD=BC,∴BC2=AC·CD,即BCAC =CD BC.又∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC.∴ABBD =AC BC.又AB=AC,∴BD=BC=AD.∴∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC.设∠A=∠ABD=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x,∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36°.∴∠ABD=36°.评析本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用,证得△ABC∽△BDC是解题的关键.26.解析(1)由折叠可知△ANM≌△ADM,∴∠MAN=∠DAM.∵AN平分∠MAB,∴∠MAN=∠NAB.∴∠DAM=∠MAN=∠NAB,∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°.∴∠DAM=30°,∴DM=AD·tan∠DAM=3×33=3.(2)如图,延长MN交AB的延长线于点Q.∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠DMA=∠MAQ.由折叠可知△ANM≌△ADM,∴∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1. ∴∠MAQ=∠AMQ,∴MQ=AQ.设NQ=x,则AQ=MQ=1+x.在Rt△ANQ中,AQ2=AN2+NQ2,∴(x+1)2=32+x2.解得x=4.∴NQ=4,AQ=5.∵AB=4,AQ=5,∴S△NAB=45S△NAQ=45×12AN·NQ=245.(3)如图,过点A作AH⊥BF于点H,则△ABH∽△BFC.∴BHAH =CF BC.∵AH≤AN=3,AB=4,∴当点N,H重合(即AH=AN)时,DF最大.(AH最大,BH最小,CF最小,DF最大)此时点M,F重合,B,N,M三点共线,△ABH≌△BFC(如图).∴CF=BH=AB2-A H2=42-32=,∴DF的最大值为4-.评析本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识.本题综合性强,难度较大,熟练掌握矩形和折叠的性质,证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键.27.解析根据题意,抛物线的解析式可化为y=a(x-h)2+k(a≠0).(1)∵h=1,k=2,∴y=a(x-1)2+2,∵该抛物线经过原点,∴a+2=0,解得a=-2,∴y=-2(x-1)2+2,即y=-2x2+4x.(2)∵抛物线y=tx2(t≠0)经过点A(h,k),∴k=th2.∴y=a(x-h)2+k可化为y=a(x-h)2+th2.∵抛物线y=a(x-h)2+th2(a≠0)经过原点,∴ah2+th2=0.∵h≠0,∴a=-t.(3)∵点A(h,k)在抛物线y=x2-x上,∴k=h2-h.∴y=a(x-h)2+k可化为y=a(x-h)2+h2-h.∵抛物线y=a(x-h)2+h2-h(a≠0)经过原点, ∴ah2+h2-h=0.∵h≠0,∴a=1ℎ-1.分两类讨论:①当-2≤h<0时,由反比例函数性质可知1ℎ≤-12,∴a≤-32;②当0<h<1时,由反比例函数性质可知1ℎ>1,∴a>0.综上所述,a的取值范围是a≤-32或a>0.评析本题考查二次函数等知识,解题的关键是学会用参数解决问题,题目比较难,参数比较多,第三个问题要注意讨论,属于中考压轴题.。
福建省福州市2016年中考数学试题(word版,含解析)
2016 年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（全卷共4页，三大题，27小题；满分150分；考试时间120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）在答题卡上，请不要错位、越界答题！ 毕业学校 姓名 考生号 一、选择题（共12 小题，每题3分．满分36分；每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是A ．0.7B ．21C ．πD ．－8 【考点】无理数． 【专题】计算题．【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可． 【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，且0.7为有限小数，为有限小数，-8为正数，都属于有理数， π为无限不循环小数， ∴π为无理数． 故选：C ．【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是A ．B ．C ．D ．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1， 故选：C ．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．第2题3．如图，直线a、b被直线C所截，∠1和∠2的位置关系是A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【分析】根据内错角的定义求解．【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．故选B．【点评】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．4．下列算式中，结果等于a6的是A．a4＋a2B．a2＋a2＋a2C．a4·a2D．a2·a2·a2【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】计算题；推理填空题．【分析】A：a4+a2≠a6，据此判断即可．B：根据合并同类项的方法，可得a2+a2+a2=3a2．C：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a3=a5．D：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a2•a2=a6．【解答】解：∵a4+a2≠a6，∴选项A的结果不等于a6；∵a2+a2+a2=3a2，∴选项B的结果不等于a6；∵a2•a3=a5，∴选项C的结果不等于a6；∵a2•a2•a2=a6，∴选项D 的结果等于a 6． 故选：D ．【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（2）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．5．不等式组⎩⎨⎧>->+0301x x 的解集是A ．x ＞－1B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x ＜3【考点】解一元一次不等式组． 【专题】方程与不等式．【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集． 【解答】解解不等式①，得 x ＞-1， 解不等式②，得 x ＞3，由①②可得，x ＞3，故原不等式组的解集是x ＞3． 故选B ．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．6．下列说法中，正确的是A ．不可能事件发生的概率为0B ．随机事件发生的概率为21C ．概率很小的事件不可能发生D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率P（A）=1、不可能发生事件的概率P （A）=0对A、B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误．故选A．【点评】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为 P（A）=p；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率 P（A）=0．7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是8．平面宜角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是A．（－2 ，l )B．（－2，－l ) C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 )【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．【解答】解：∵A（m，n），C（-m，-n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，-1），∴点D的坐标是（-2，1）．故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称是解决问题的关键．AB上一点（不9．如图，以O 为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A，B 两点，P是⌒与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【专题】计算题；三角形．【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴，，即PQ=sinα，OQ=cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选C．【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．10．下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是A．平均数，中位数B．众数，中位数C．平均数，方差D．中位数，方差【考点】统计量的选择；频数（率）分布表．【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10， 则总人数为：5+15+10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为：，即对于不同的x ，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：B ．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．11．已知点A （－l ，m ），B ( l ，m ），C ( 2，m ＋l ）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是A B C D【考点】坐标确定位置；函数的图象．【分析】由点A （-1，m ），B （1，m ），C （2，m+1）在同一个函数图象上，可得A 与B 关于y 轴对称，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵点A （-1，m ），B （1，m ）， ∴A 与B 关于y 轴对称，故A ，B 错误； ∵B（1，m ），C （2，m+1），∴当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故C 正确，D 错误． 故选C ．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．12．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x ＋c ＝0一定有实数根的是A ．a ＞0B ．a ＝0C ．c ＞0D ．c ＝0xyOxyOxyOxy O【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．【解答】解：∵一元二次方程有实数根，∴△=（-4）2-4ac=16-4ac≥0，且a≠0，∴ac≤4，且a≠0；A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）13．分解因式：x2－4＝．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2-4=（x+2）（x-2）．故答案为：（x+2）（x-2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．14．若二次根式1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】常规题型．【分析】根据二次根式的性质可求出x的取值范围．【解答】解：若二次根式1 x 在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥-1． 故答案为：x ≥-1．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质： 概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15．已知四个点的坐标分别是（－1，1），（2，2），（32，23），（－5，－51），从中随机选一个点，在反比例函数y ＝x1图象上的概率是 ． 【考点】概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数图象上，再让在反比例函数图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数图象上的概率，依此即可求解．【解答】解：∵-1×1=-1， 2×2=4，，，∴2个点的坐标在反比例函数图象上，∴在反比例函数图象上的概率是2÷4=．故答案为：．【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r 下，则r 上 r 下．（填“＞“，”“＝”“＜”)【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，r上＜r下．故答案为＜．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．17．若x＋y＝10，xy＝1 ，则x3y＋xy3＝．【考点】代数式求值．【分析】可将该多项式分解为xy（x2+y2），又因为x2+y2=（x+y）2-2xy，然后将x+y与xy的值代入即可．【解答】解：x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2-2xy]=1×（102-2×1）=98．故答案为：98．【点评】本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法：若已知x+y与xy的值，则x2+y2=（x+y）2-2xy，再将x+y与xy的值代入即可．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C 都在格点上，则tan∠ABC的值是．【考点】菱形的性质；解直角三角形． 【专题】网格型．【分析】如图，连接EA 、EB ，先证明∠AEB=90°，根据，求出AE 、EB 即可解决问题．【解答】解：如图，连接EA ，EC ，设菱形的边长为a ，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，，EB=2a∴∠AEB=90°， ∴．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共9 小题，满分90 分） 19．（7分）计算：|－1|－38＋(－2016)0 .【考点】有理数的混合运算；立方根；零指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案． 【解答】解：|－1|－38＋(－2016)0 =1-2+1 =0．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．（7分）化简：a －b －ba b a ++2)(【考点】分式的加减法．【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可． 【解答】解：原式=a-b-（a+b ） =a-b-a-b =-2b ．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（8分）一个平分角的仪器如图所示，其中AB＝AD，BC＝DC，求证：∠BAC＝∠DAC .【考点】全等三角形的性质．【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．22．（8分）列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24 元，乙种票每张18 元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张，总费用为750元列方程求解即可．【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张．根据题意得：．解得：．答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．23．（10分）福州市2011～2015年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是万人；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．【考点】折线统计图．【分析】（1）将2015年人数减去2014年人数即可；（2）计算出每年与上一年相比，增加的百分率即可得知；（3）可从每年人口增加的数量加以预测．【解答】解：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了750-743=7（万人）；（2）由图可知2012年增加：，2013年增加：，2014年增加：，2015年增加：，故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2014年；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为757万人，理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测2016年福州市常住人口数大约为757万人．故答案为：（1）7；（2）2014．【点评】本题主要考查条形统计图，从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．24．（12分）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为⌒AD 中点，连接BM ，CM ．（1）求证：BM ＝CM ；（2）当⊙O 的半径为2 时，求⌒BM 的长．【考点】圆内接四边形的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计算．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=CD， ∴， ∵M 为中点，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O 的半径为2，∴⊙O 的周长为4π， ∴的长=π．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝215，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC·CD 的大小关系；（2）求∠ABD 的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AD=BC=1，，∴AD=，DC=1-=．∴AD2=，AC•CD=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．26．（13分）如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM沿直线AM 对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN ，当DM＝1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN 交线段CD于点F时，求DF的最大值．【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出 NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F 重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵A D=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：，∴DF的最大值=DC-CF=．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．27．（13分）已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c ( a≠0）经过原点，顶点为A ( h，k ) （h≠0）．（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y＝tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y＝x2－x上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x-1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则，b=-2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x-1）2+2，∵抛物线经过原点，∴0=a（0-1）2+2，∴a=-2，∴抛物线解析式为y=-2x2+4x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵，∴b=-2ah，∴y=ax2-2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=ah2-2ah2=-ah2，抛物线y=tx2也经过A（h，k），∴k=th2，∴th2=ah2-2ah2，∴t=-a，（3）∵点A在抛物线y=x2-x上，∴k=h2-h，又k=ah2-2ah2，∴，∵-2≤h＜1，∴-2≤＜1，①当1+a＞0时，即a＞-1时，，解得a＞0，②当1+a＜0时，即a＜-1时，解得，综上所述，a的取值范围a＞0或．【点评】本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．。
福州一中2016年高中招生(面向市区以外)综合素质测试数学
福州一中2016年高中招生（面向福州以外地区）综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）学 校 姓 名 准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） （1）下列等式正确的是（★★★） （A ）239-=-（B ）22532x y x y -=（C ）437()()a a a -⋅-=-（D ）22(23)(32)32x y y x y x +⋅-=-（2）下列说法错误的是（★★★）（A ）平均数受极端值的影响较大，众数和中位数都不易受极端值的影响 （B ）数据1，3，2，3，5，4的中位数是3（C ）事件“任意画一个三角形，其内角和是360︒”是不可能事件 （D ）某一彩票的中奖概率是11000，那么买1000张彩票就一定会中奖 （3）已知ABC △的三边长分别为13、13、10，则其内切圆半径为（★★★）（A ）53（B ）103（C ）203（D ）16924（4）符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[2.6]2=，[1]1-=-，[ 2.6]3-=-．若关于x 的方程[][2](0)x x kx k +=≠在01x <<内有解，则k 的取值范围是（★★★）（A ）12k <≤（B ）12k ≤<（C ）02k <<（D ）01k <≤（5）如图，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 各边的中点，四边形ABCD 和EFGH 的面积分别记为1S 和2S ．则下列关系式不一定正确的是（★★★）（A ）1()2HF AB CD ≤+（B ）122S S = （C ）212S EG HF ≤⋅ （D ）111()()22S AB CD AD BC ≥+⨯+（6）将正整数按如下规律排列：第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 …… 第一行 1第二行 2 4 第三行 3 5 7第四行 6 8 10 12第五行 9 11 13 15 17 …… ……设2016在第i 行第j 列，则i j +等于（★★★）（A ）79（B ）80（C ）81（D ）82二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共 30分．） （7）已知||x y <，给出下列四个不等式：①0x y +>；②0x y ->；③220x y ->；④330x y +>．其中正确的不等式的序号为★★★（填上你认为正确的所有不等式的序号）．（8）若方程组22251x y x y k +=⎧⎨-=+⎩的解满足条件14x y <+<，则k 的取值范围是★★★．（9）从长度分别为1、3、5、7、9的五条线段中任取三条，这三条线段可构成三角形的概率是★★★．（10）数、学、好、玩这四个文字分别表示09 之间的不同数字，且满足算式“数学×好玩＝1988”，则四位数“玩好数学”为★★★．（11）矩形ABCD 中，AB =1BC =，矩形内动点P 满足PA AD ≥，PB BC ≥，则动点P所在区域的面积为★★★．（12）若函数223(03)y x ax x =-+<<的图像恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是★★★．第（13）题图BCDAGHFEO三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （13）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别 是AB 、BC 、CD 、DA 边上的动点（不含端点），且EG 、FH 均过正方形的中心O ．（Ⅰ）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（Ⅱ）试探究：当线段CG 与CF 满足什么数量关系时， 四边形EFGH 为矩形．（14）（本小题满分14分）我们知道，若1x ，2x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根，则有212()()ax bx c a x x x x ++=--．即221212()ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，于是12()b a x x =-+，12c ax x =．由此可得一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）：12b x x a +=-，12cx x a⋅=． 参考上述推理过程，解答下列问题：若1x ，2x ，3x 是关于x 的方程2(3)x x t -=的三个实数根，且123x x x <<．（Ⅰ）求122331x x x x x x ++，222123x x x ++的值； （Ⅱ）试用只含2x 的代数式表示31x x -，并求31x x -的最大值．（15）（本小题满分14分）已知抛物线2y ax bx c =++过点(03)M ，，且关于x 的方程2219(21)(34)04x a x b a b ---+-+=有两个相等的实数根． （Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）过点(0)P t ，作y 轴的垂线交抛物线于点A 和点B （点A 在点B 的左侧）． （i ）若2BP PA =，试求t 的值；（ii ）设抛物线的顶点为E ，ABM △的外接圆'O 与抛物线交于另一点N ，若直线EN 与圆'O 相切，试求t 的值．BCDAGHFEO福州一中2016年高中招生（面向福州以外地区）综合素质测试数学试卷参考答案（满分100分，考试时间60分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共 30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共 30分．）（7） ①④（8） 30k -<<（9）310（10） 1728或8271 （11）43π- （12） a <三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （13）（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ //AB DC ，AO OC =，∴ O A E O C G ∠=∠，………………………1分 在AOE △和COG △中，OAE OCGAO OCAOE COG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ A O E △≌COG △（ASA ）．…………… 3分 ∴ O E O G =．同理可证 OF OH =． …………… 4分 ∴ 四边形EFGH 是平行四边形．………… 5分（注：根据正方形的对称性直接得出OE OG =，OF OH =，只扣1分．）（Ⅱ）设CG x =，CF y =，由（Ⅰ）知1DG x =-，1DH BF y ==-． ……………6分当四边形EFGH 为矩形时，90CGF DGH ∠+∠=︒，又∵ 90DGH DHG ∠+∠=︒， ∴ CGF DHG ∠=∠， ∵ 90GCF HDG ∠=∠=︒，∴ CGF DHG △∽△． ……………………8分 ∴CG DH CF DG =，即11x yy x-=-． ……………………9分 ∴ (1)(1)x x y y -=-，即22x y x y -=-，∴ 0x y -= 或 1x y +=． ……………………11分 以上推理可逆，故当CG CF =或1CG CF +=时，四边形EFGH 为矩形． …12分（14）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 1x ，2x ，3x 是方程2(3)x x t -=的三个实数根，∴ 2123(3)()()()x x t x x x x x x --=---． ………………………2分 即323212312233112369()()x x x t x x x x x x x x x x x x x x x -+-=-+++++-． …………3分 ∴ 1236x x x ++=， ………………………4分1223319x x x x x x ++=， ………………………5分 123x x x t =．∴ 2222123123122331()2)x x x x x x x x x x x x ++=++-++( ………………………7分361818=-=． ………………………8分（Ⅱ）∵ 122331213312231()+(6)+9x x x x x x x x x x x x x x x ++=+=-=，∴ 2312269x x x x =-+． ………………………9分 ∵ 22222231313122222()2182(69)312x x x x x x x x x x x -=+-=---+=-+， …………11分 ∴31x x -= ………………………12分∵31x x -== ∴ 22x =时，31x x -取最大值（此时，2t =，12x =32x =．） ∴ 31x x -的最大值是 ………………………14分（15）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意得3c =， ………………………1分2219(21)4(34)4a b a b =-++-+△ 224481620a b a b =++-+224(1)4(2)a b =++-MyO'C P ENBA由0=△得1a =-，2b =， …………………3分 所以，抛物线的解析式为223y x x =-++．…………4分 （Ⅱ）令223x x t -++=，得2(1)4x t -=-． 由直线与抛物线有两个不同的交点得4t <，∴ 11x =21x =∴ (1)A t ，(1)B t ． ………………………6分（i ）由2BP PA =，得121=⨯， ………………………7分∴ 12(1=⨯ 或 121)=⨯，由12(1=⨯，得359t =，由121)=⨯，得5t =-． 综上，359t =或 5t =-． ………………………9分 （ii ）∵ 点A 、B 关于抛物线的对称轴1x =对称，∴ ABM △的外接圆圆心'O 在直线1x =上，设(1)O m '，．……………………10分 由对称性知，圆'O 与抛物线的的另一交点N 与M 关于直线1x =对称．∴ (23)N ，． ………………………11分 如图，设MN 交对称轴于点C ，则(13)C ，． 由(14)E ，，知1EC CN ==，45CEN ∠=︒， 由EN 为圆O '的切线，知EN O N '⊥，△EO N '为等腰直角三角形．∴ 1O C CE '==，(12)O '，， ………………………12分O A O N NE ''===．由勾股定理得222|2|t +-=， 化简得2560t t -+=． 解得2t = 或 3t =（舍去）．∴ t 的值是2． ………………………14分。
福建省福州市2016届中考数学试卷(解析版)
2016年福建省福州市中考数学试卷一、（共 小题，每小题 分，满分 分，每小题只有一个正确选项） ．下列实数中的无理数是（）✌． ． ．⇨ ．﹣．如图是 个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）✌． ． ． ．．如图，直线♋，♌被直线♍所截， 与 的位置关系是（）✌．同位角 ．内错角 ．同旁内角 ．对顶角．下列算式中，结果等于♋ 的是（）✌．♋ ♋ ．♋ ♋ ♋ ．♋ ❿♋ ．♋ ❿♋ ❿♋ ．不等式组的解集是（）✌．⌧＞﹣ ．⌧＞ ．﹣ ＜⌧＜ ．⌧＜．下列说法中，正确的是（）✌．不可能事件发生的概率为．随机事件发生的概率为．概率很小的事件不可能发生．投掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数一定为 次．✌， 是数轴上两点，线段✌上的点表示的数中，有互为相反数的是（）✌． ． ． ．．平面直角坐标系中，已知 ✌的三个顶点坐标分别是✌（❍，⏹）， （ ，﹣ ）， （﹣❍，﹣⏹），则点 的坐标是（）✌．（﹣ ， ） ．（﹣ ，﹣ ） ．（﹣ ，﹣ ） ．（﹣ ， ）．如图，以圆 为圆心，半径为 的弧交坐标轴于✌， 两点， 是上一点（不与✌， 重合），连接 ，设 ↑，则点 的坐标是（）✌．（♦♓⏹↑，♦♓⏹↑） ．（♍☐♦↑，♍☐♦↑） ．（♍☐♦↑，♦♓⏹↑） ．（♦♓⏹↑，♍☐♦↑）．下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄 岁 频数 ⌧ ﹣⌧对于不同的⌧，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）✌．平均数、中位数 ．众数、中位数．平均数、方差 ．中位数、方差．已知点✌（﹣ ，❍）， （ ，❍）， （ ，❍）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）✌． ． ． ．．下列选项中，能使关于⌧的一元二次方程♋⌧ ﹣ ⌧♍一定有实数根的是（）✌．♋＞ ．♋ ．♍＞ ．♍二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．分解因式：⌧ ﹣ ．．若二次根式在实数范围内有意义，则⌧的取值范围是．．已知四个点的坐标分别是（﹣ ， ），（ ， ），（，），（﹣ ，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数⍓图象上的概率是．．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为❒上，下方的弧半径为❒下，则❒上❒下．（填❽＜❾❽❾❽＜❾）．若⌧⍓，⌧⍓，则⌧ ⍓⌧⍓ 的值是．．如图， 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（ ）为 ，✌， ， 都在格点上，则♦♋⏹ ✌的值是．三、解答题（共 小题，满分 分）．计算： ﹣ ﹣ （﹣ ） ．．化简：♋﹣♌﹣．．一个平分角的仪器如图所示，其中✌✌， ．求证： ✌ ✌．．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张 元，乙种票每张 元．如果 名学生购票恰好用去 元，甲乙两种票各买了多少张？．福州市 ﹣ 年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（ ）福州市常住人口数， 年比 年增加了万人；（ ）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是；（ ）预测 年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．．如图，正方形✌内接于 ， 为中点，连接 ， ．（ ）求证： ；（ ）当 的半径为 时，求的长．．如图，在 ✌中，✌✌， ，在✌边上截取✌，连接 ．（ ）通过计算，判断✌ 与✌❿的大小关系；（ ）求 ✌的度数．．如图，矩形✌中，✌，✌， 是边 上一点，将 ✌沿直线✌对折，得到 ✌☠．（ ）当✌☠平分 ✌时，求 的长；（ ）连接 ☠，当 时，求 ✌☠的面积；（ ）当射线 ☠交线段 于点☞时，求 ☞的最大值．．已知，抛物线⍓♋⌧ ♌⌧♍（♋♊）经过原点，顶点为✌（♒， ）（♒♊）．（ ）当♒， 时，求抛物线的解析式；（ ）若抛物线⍓♦⌧ （♦♊）也经过✌点，求♋与♦之间的关系式；（ ）当点✌在抛物线⍓⌧ ﹣⌧上，且﹣ ♎♒＜ 时，求♋的取值范围．年福建省福州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、（共 小题，每小题 分，满分 分，每小题只有一个正确选项）．下列实数中的无理数是（）✌． ． ．⇨ ．﹣【考点】无理数．【专题】计算题．【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是⇨，选出答案即可．【解答】解： 无理数就是无限不循环小数，且 为有限小数，为有限小数，﹣ 为正数，都属于有理数，⇨为无限不循环小数，⇨为无理数．故选： ．【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题． ．如图是 个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）✌． ． ． ．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为 ， ，故选： ．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．．如图，直线♋，♌被直线♍所截， 与 的位置关系是（）✌．同位角 ．内错角 ．同旁内角 ．对顶角【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【分析】根据内错角的定义求解．【解答】解：直线♋，♌被直线♍所截， 与 是内错角．故选 ．【点评】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．．下列算式中，结果等于♋ 的是（）✌．♋ ♋ ．♋ ♋ ♋ ．♋ ❿♋ ．♋ ❿♋ ❿♋【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】计算题；推理填空题．【分析】✌：♋ ♋ ♊♋ ，据此判断即可．：根据合并同类项的方法，可得♋ ♋ ♋ ♋ ．：根据同底数幂的乘法法则，可得♋ ❿♋ ♋ ．：根据同底数幂的乘法法则，可得♋ ❿♋ ❿♋ ♋ ．【解答】解： ♋ ♋ ♊♋ ，选项✌的结果不等于♋ ；♋ ♋ ♋ ♋ ，选项 的结果不等于♋ ；♋ ❿♋ ♋ ，选项 的结果不等于♋ ；♋ ❿♋ ❿♋ ♋ ，选项 的结果等于♋ ．故选： ．【点评】（ ）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：♊底数必须相同；♋按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（ ）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．．不等式组的解集是（）✌．⌧＞﹣ ．⌧＞ ．﹣ ＜⌧＜ ．⌧＜【考点】解一元一次不等式组．【专题】方程与不等式．【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．【解答】解：解不等式♊，得⌧＞﹣ ，解不等式♋，得⌧＞ ，由♊♋可得，⌧＞ ，故原不等式组的解集是⌧＞ ．故选 ．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．．下列说法中，正确的是（）✌．不可能事件发生的概率为．随机事件发生的概率为．概率很小的事件不可能发生．投掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数一定为 次【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率 （✌） 、不可能发生事件的概率 （✌） 对✌、 、 进行判定；根据频率与概率的区别对 进行判定．【解答】解：✌、不可能事件发生的概率为 ，所以✌选项正确；、随机事件发生的概率在 与 之间，所以 选项错误；、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以 选项错误；、投掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数可能为 次，所以 选项错误．故选✌．【点评】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件✌发生的频率❍⏹会稳定在某个常数☐附近，那么这个常数☐就叫做事件✌的概率，记为 （✌） ☐；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率 （✌） ；不可能发生事件的概率 （✌） ．．✌， 是数轴上两点，线段✌上的点表示的数中，有互为相反数的是（）✌． ． ． ．【考点】相反数；数轴．【专题】数形结合．【分析】数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段✌上的点与原点的距离就可以做出判断．【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点 的左右两侧，从四个答案观察发现，只有 选项的线段✌符合，其余答案的线段都在原点 的同一侧，所以可以得出答案为 ．故选：【点评】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段✌上的点与原点的距离．．平面直角坐标系中，已知 ✌的三个顶点坐标分别是✌（❍，⏹）， （ ，﹣ ）， （﹣❍，﹣⏹），则点 的坐标是（）✌．（﹣ ， ） ．（﹣ ，﹣ ） ．（﹣ ，﹣ ） ．（﹣ ， ）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】由点的坐标特征得出点✌和点 关于原点对称，由平行四边形的性质得出 和 关于原点对称，即可得出点 的坐标．【解答】解： ✌（❍，⏹）， （﹣❍，﹣⏹），点✌和点 关于原点对称，四边形✌是平行四边形，和 关于原点对称，（ ，﹣ ），点 的坐标是（﹣ ， ）．故选：✌．【点评】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出 和 关于原点对称是解决问题的关键．．如图，以圆 为圆心，半径为 的弧交坐标轴于✌， 两点， 是上一点（不与✌， 重合），连接 ，设 ↑，则点 的坐标是（）✌．（♦♓⏹↑，♦♓⏹↑） ．（♍☐♦↑，♍☐♦↑） ．（♍☐♦↑，♦♓⏹↑） ．（♦♓⏹↑，♍☐♦↑）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【专题】计算题；三角形．【分析】过 作 ✈，交 于点✈，在直角三角形 ✈中，利用锐角三角函数定义表示出 ✈与 ✈，即可确定出 的坐标．【解答】解：过 作 ✈，交 于点✈，在 ♦✈中， ， ✈↑，♦♓⏹↑，♍☐♦↑，即 ✈♦♓⏹↑， ✈♍☐♦↑，则 的坐标为（♍☐♦↑，♦♓⏹↑），故选 ．【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．．下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄 岁 频数 ⌧ ﹣⌧对于不同的⌧，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）✌．平均数、中位数 ．众数、中位数．平均数、方差 ．中位数、方差【考点】统计量的选择；频数（率）分布表．【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为 ，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第 、 个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为 岁与年龄为 岁的频数和为⌧﹣⌧，则总人数为： ，故该组数据的众数为 岁，中位数为： 岁，即对于不同的⌧，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选： ．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．．已知点✌（﹣ ，❍）， （ ，❍）， （ ，❍）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）✌． ． ． ．【考点】坐标确定位置；函数的图象．【分析】由点✌（﹣ ，❍）， （ ，❍）， （ ，❍）在同一个函数图象上，可得✌与 关于⍓轴对称，当⌧＞ 时，⍓随⌧的增大而增大，继而求得答案．【解答】解： 点✌（﹣ ，❍）， （ ，❍），✌与 关于⍓轴对称，故✌， 错误；（ ，❍）， （ ，❍），当⌧＞ 时，⍓随⌧的增大而增大，故 正确， 错误．故选 ．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．．下列选项中，能使关于⌧的一元二次方程♋⌧ ﹣ ⌧♍一定有实数根的是（）✌．♋＞ ．♋ ．♍＞ ．♍【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根可得♋♍♎，且♋♊，对每个选项逐一判断即可．【解答】解： 一元二次方程有实数根，（﹣ ） ﹣ ♋♍﹣ ♋♍♏，且♋♊，♋♍♎，且♋♊；✌、若♋＞ ，当♋、♍时，♋♍＞ ，此选项错误；、♋不符合一元二次方程的定义，此选项错误；、若♍＞ ，当♋、♍时，♋♍＞ ，此选项错误；、若♍，则♋♍♎，此选项正确；故选： ．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（ ） ＞ 方程有两个不相等的实数根；（ ） 方程有两个相等的实数根；（ ） ＜ 方程没有实数根．二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．分解因式：⌧ ﹣ （⌧）（⌧﹣ ）．【考点】因式分解 运用公式法．【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：⌧ ﹣ （⌧）（⌧﹣ ）．故答案为：（⌧）（⌧﹣ ）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．．若二次根式在实数范围内有意义，则⌧的取值范围是⌧♏﹣ ．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】常规题型．【分析】根据二次根式的性质可求出⌧的取值范围．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：⌧♏，解得⌧♏﹣ ．故答案为：⌧♏﹣ ．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（♋♏）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．．已知四个点的坐标分别是（﹣ ， ），（ ， ），（，），（﹣ ，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数⍓图象上的概率是．【考点】概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数⍓图象上，再让在反比例函数⍓图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数⍓图象上的概率，依此即可求解．【解答】解： ﹣ ﹣ ，，，（﹣ ） （﹣） ，个点的坐标在反比例函数⍓图象上，在反比例函数⍓图象上的概率是 ．故答案为：．【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为❒上，下方的弧半径为❒下，则❒上❒下．（填❽＜❾❽❾❽＜❾）【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，❒上 ❒下．故答案为 ．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式： ⇨ （ ）弧长公式：●（弧长为●，圆心角度数为⏹，圆的半径为 ）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．．若⌧⍓，⌧⍓，则⌧ ⍓⌧⍓ 的值是 ．【考点】代数式求值．【分析】可将该多项式分解为⌧⍓（⌧ ⍓ ），又因为⌧ ⍓ （⌧⍓） ﹣ ⌧⍓，然后将⌧⍓与⌧⍓的值代入即可．【解答】解：⌧ ⍓⌧⍓⌧⍓（⌧ ⍓ ）⌧⍓☯（⌧⍓） ﹣ ⌧⍓（ ﹣ ）．故答案为： ．【点评】本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法：若已知⌧⍓与⌧⍓的值，则⌧ ⍓ （⌧⍓） ﹣ ⌧⍓，再将⌧⍓与⌧⍓的值代入即可．．如图， 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（ ）为 ，✌， ， 都在格点上，则♦♋⏹ ✌的值是．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【专题】网格型．【分析】如图，连接☜✌、☜，先证明 ✌☜，根据♦♋⏹ ✌，求出✌☜、☜即可解决问题．【解答】解：如图，连接☜✌，☜，设菱形的边长为♋，由题意得 ✌☜☞， ☜☞，✌☜♋，☜♋✌☜，♦♋⏹ ✌ ．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共 小题，满分 分）．计算： ﹣ ﹣ （﹣ ） ．【考点】有理数的混合运算；立方根；零指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案．【解答】解： ﹣ ﹣ （﹣ ）﹣ ．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．．化简：♋﹣♌﹣．【考点】分式的加减法．【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．【解答】解：原式 ♋﹣♌﹣（♋♌）♋﹣♌﹣♋﹣♌﹣ ♌．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．．一个平分角的仪器如图所示，其中✌✌， ．求证： ✌ ✌．【考点】全等三角形的性质．【分析】在 ✌和 ✌中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（ ）证得✌☹✌，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在 ✌和 ✌中，有，✌☹✌（ ），✌ ✌．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出 ✌☹✌．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张 元，乙种票每张 元．如果 名学生购票恰好用去 元，甲乙两种票各买了多少张？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲种票买了⌧张，乙种票买了⍓张．然后根据购票总张数为 张，总费用为 元列方程求解即可．【解答】解：设甲种票买了⌧张，乙种票买了⍓张．根据题意得：．解得：．答：甲种票买了 张，乙种票买了 张．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．．福州市 ﹣ 年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（ ）福州市常住人口数， 年比 年增加了 万人；（ ）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是 ；（ ）预测 年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．【考点】折线统计图．【分析】（ ）将 年人数减去 年人数即可；（ ）计算出每年与上一年相比，增加的百分率即可得知；（ ）可从每年人口增加的数量加以预测．【解答】解：（ ）福州市常住人口数， 年比 年增加了 ﹣ （万人）；（ ）由图可知 年增加： ☟，年增加： ☟，年增加： ☟，年增加： ☟，故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是 年；（ ）预测 年福州市常住人口数大约为 万人，理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是 万人，由此可以预测 年福州市常住人口数大约为 万人．故答案为：（ ） ；（ ） ．【点评】本题主要考查条形统计图，从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．．如图，正方形✌内接于 ， 为中点，连接 ， ．（ ）求证： ；（ ）当 的半径为 时，求的长．【考点】圆内接四边形的性质；正方形的性质．【分析】（ ）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（ ）根据弧长公式计算．【解答】（ ）证明： 四边形✌是正方形，✌，，为中点，，，即 ，；（ ）解： 的半径为 ，的周长为 ⇨，的长 ⇨⇨．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．．如图，在 ✌中，✌✌， ，在✌边上截取✌，连接 ．（ ）通过计算，判断✌ 与✌❿的大小关系；（ ）求 ✌的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（ ）先求得✌、 的长，然后再计算出✌ 与✌❿的值，从而可得到✌ 与✌❿的关系；（ ）由（ ）可得到 ✌❿，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明✌，依据相似三角形的性质可知 ✌， ，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得 ✌的度数．【解答】解：（ ） ✌， ，✌， ﹣ ．✌ ，✌❿ ．✌ ✌❿．（ ） ✌，✌ ✌❿， ✌❿，即．又 ，✌．， ✌．✌．✌ ✌， ．设 ✌⌧，则 ✌⌧， ⌧， ⌧．✌ ✌ ，⌧⌧⌧．解得：⌧．✌．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得 ✌是解题的关键．．如图，矩形✌中，✌，✌， 是边 上一点，将 ✌沿直线✌对折，得到 ✌☠．（ ）当✌☠平分 ✌时，求 的长；（ ）连接 ☠，当 时，求 ✌☠的面积；（ ）当射线 ☠交线段 于点☞时，求 ☞的最大值．【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】（ ）由折叠性质得 ✌☠ ✌，证出 ✌ ✌☠ ☠✌，由三角函数得出 ✌❿♦♋⏹ ✌即可；（ ）延长 ☠交✌延长线于点✈，由矩形的性质得出 ✌ ✌✈，由折叠性质得出✌ ✌✈，✌☠✌， ☠，得出 ✌✈ ✌✈，证出 ✈✌✈，设☠✈⌧，则✌✈✈⌧，证出 ✌☠✈，在 ♦✌☠✈中，由勾股定理得出方程，解方程求出☠✈，✌✈，即可求出 ✌☠的面积；（ ）过点✌作✌☟☞于点☟，证明 ✌☟☞，得出对应边成比例 ，得出当点☠、☟重合（即✌☟✌☠）时，✌☟最大， ☟最小， ☞最小， ☞最大，此时点 、☞重合， 、☠、 三点共线，由折叠性质得：✌✌☟，由✌✌证明 ✌☟☹☞，得出 ☞☟，由勾股定理求出 ☟，得出 ☞，即可得出结果．【解答】解：（ ）由折叠性质得： ✌☠☹✌，✌☠ ✌，✌☠平分 ✌， ✌☠ ☠✌，✌ ✌☠ ☠✌，四边形✌是矩形，✌，✌，✌❿♦♋⏹ ✌♦♋⏹ ；（ ）延长 ☠交✌延长线于点✈，如图 所示：四边形✌是矩形，✌，✌ ✌✈，由折叠性质得： ✌☠☹✌，✌ ✌✈，✌☠✌， ☠，✌✈ ✌✈，✈✌✈，设☠✈⌧，则✌✈✈⌧，✌☠，✌☠✈，在 ♦✌☠✈中，由勾股定理得：✌✈ ✌☠ ☠✈ ，（⌧） ⌧ ，解得：⌧，☠✈，✌✈，✌，✌✈， ☠✌ ☠✌✈ ✌☠❿☠✈ ；（ ）过点✌作✌☟☞于点☟，如图 所示：四边形✌是矩形，✌，☟✌ ☞，✌☟ ☞，✌☟☞，，✌☟♎✌☠，✌，当点☠、☟重合（即✌☟✌☠）时，✌☟最大， ☟最小， ☞最小， ☞最大，此时点 、☞重合， 、☠、 三点共线，如图 所示：由折叠性质得：✌✌☟，✌，✌☟，在 ✌☟和 ☞中，，✌☟☹☞（✌✌），☞☟，由勾股定理得： ☟ ，☞，☞的最大值 ﹣ ☞﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．．已知，抛物线⍓♋⌧ ♌⌧♍（♋♊）经过原点，顶点为✌（♒， ）（♒♊）．（ ）当♒， 时，求抛物线的解析式；（ ）若抛物线⍓♦⌧ （♦♊）也经过✌点，求♋与♦之间的关系式；（ ）当点✌在抛物线⍓⌧ ﹣⌧上，且﹣ ♎♒＜ 时，求♋的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（ ）用顶点式解决这个问题，设抛物线为⍓♋（⌧﹣ ） ，原点代入即可．（ ）设抛物线为⍓♋⌧ ♌⌧，则♒﹣，♌﹣ ♋♒代入抛物线解析式，求出 （用♋、♒表示），又抛物线⍓♦⌧ 也经过✌（♒， ），求出 ，列出方程即可解决．（ ）根据条件列出关于♋的不等式即可解决问题．【解答】解：（ ） 顶点为✌（ ， ），设抛物线为⍓♋（⌧﹣ ） ，抛物线经过原点，♋（ ﹣ ） ，♋﹣ ，抛物线解析式为⍓﹣ ⌧ ⌧．（ ） 抛物线经过原点，设抛物线为⍓♋⌧ ♌⌧，♒﹣，♌﹣ ♋♒，⍓♋⌧ ﹣ ♋♒⌧，顶点✌（♒， ），♋♒ ﹣ ♋♒，抛物线⍓♦⌧ 也经过✌（♒， ），♦♒ ，♦♒ ♋♒ ﹣ ♋♒ ，♦﹣♋，（ ） 点✌在抛物线⍓⌧ ﹣⌧上，♒ ﹣♒，又 ♋♒ ﹣ ♋♒ ，♒，﹣ ♎♒＜ ，﹣ ♎＜ ，♊当 ♋＞ 时，即♋＞﹣ 时，，解得♋＞ ，♋当 ♋＜ 时，即♋＜﹣ 时，解得♋♎﹣，综上所述，♋的取值范围♋＞ 或♋♎﹣．【点评】本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．。
2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷 (1)
2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分 1．若代数式3)2-(x 1+x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≥-1B ．x≥-1且x≠3 C ．x ＞-1 D ．x ＞-1且x≠3 2．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a|的结果为（ ）A ．-2a+bB ．-bC ．-2a-bD ．b3．如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（ ）A. B. C. D.4．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y （升）与时间x （分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表： 年龄13 14 15 16 17 18 人数 4 5 6 6 7 2则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）A．17，B．17，16C．15，D．16，16 6．如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8．圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（）A．3B．4C．5D．67．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2-4ac＜0；③2a+b=0；④a+b＞0．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF．则tan∠BFE的值是（）A．B．1C．2D．39．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C．D．10．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A．1场B．2场C．3场D．4场17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx+b （k≠0）的图象与反比例函数y=xm 的图象交于一、三象限内的A 、B 两点，直线AB 与x 轴交于点C ，点B 的坐标为（-6，n ），线段OA=5，E 为x 轴正半轴上一点，且tan ∠AOE=34 （1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．18．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为5，且S△P M R=4S△P N Q，求NP的长20．福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合．（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN；（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）求△BMN的面积的最大值．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x-23与抛物线y=-41x 2+bx+c 交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8（1）求该抛物线的解析式（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ，设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．22．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为（2）试证明：当k 为正整数时，k （k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3）记第n 个k 变形数位N （n ，k ）（k≥3）．例如N （1，3）=1，N （2，3）=3，N （2，4）=4．①试直接写出N （n ，3）N （n ，4）的表达式；②通过进一步的研究发现N （n ，5）=23n 2-21n ，N （n ，6）=2n 2-n ，…，请你推测N （n ，k ）（k≥3）的表达式，并由此计算N （10，24）的值．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11．对正实数a，b作定义a*b=ab-a，若2*x=6，则x=12．罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000．罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是13．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，1若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是4，则y与x之间的函数关系式为15．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是cm2（结果精确到，3≈）14．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是16．|11。
福建省福州市2016届中考数学试卷(解析版)
2016年福建省福州市中考数学试卷一、（共 小题，每小题 分，满分 分，每小题只有一个正确选项） ．下列实数中的无理数是（）． ． ． ．﹣．如图是 个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）． ． ． ．．如图，直线 ， 被直线 所截， 与 的位置关系是（）．同位角 ．内错角 ．同旁内角 ．对顶角．下列算式中，结果等于 的是（）． ． ． ． ．不等式组的解集是（）． ＞﹣ ． ＞ ．﹣ ＜ ＜ ． ＜．下列说法中，正确的是（）．不可能事件发生的概率为．随机事件发生的概率为．概率很小的事件不可能发生．投掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数一定为 次． ， 是数轴上两点，线段 上的点表示的数中，有互为相反数的是（）． ． ． ．．平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是 （ ， ）， （ ，﹣ ）， （﹣ ，﹣ ），则点 的坐标是（）．（﹣ ， ） ．（﹣ ，﹣ ） ．（﹣ ，﹣ ） ．（﹣ ， ）．如图，以圆 为圆心，半径为 的弧交坐标轴于 ， 两点， 是上一点（不与 ， 重合），连接 ，设 ，则点 的坐标是（）．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）．下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄 岁频数 ﹣ 对于不同的 ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）．平均数、中位数 ．众数、中位数．平均数、方差 ．中位数、方差．已知点 （﹣ ， ）， （ ， ）， （ ， ）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）． ． ． ．．下列选项中，能使关于 的一元二次方程 ﹣ 一定有实数根的是（） ． ＞ ． ． ＞ ．二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．分解因式： ﹣ ．．若二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是．．已知四个点的坐标分别是（﹣ ， ），（ ， ），（，），（﹣ ，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数 图象上的概率是．．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为上，下方的弧半径为下，则上下．（填 ＜ ＜ ）．若 ， ，则 的值是．．如图， 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（ ）为 ， ， ， 都在格点上，则 的值是．三、解答题（共 小题，满分 分）．计算： ﹣ ﹣ （﹣ ） ．．化简： ﹣ ﹣．．一个平分角的仪器如图所示，其中 ， ．求证： ．．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张 元，乙种票每张 元．如果 名学生购票恰好用去 元，甲乙两种票各买了多少张？．福州市 ﹣ 年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（ ）福州市常住人口数， 年比 年增加了万人；（ ）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是；（ ）预测 年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．．如图，正方形 内接于 ， 为中点，连接 ， ．（ ）求证： ；（ ）当 的半径为 时，求的长．．如图，在 中， ， ，在 边上截取 ，连接 ．（ ）通过计算，判断 与 的大小关系；（ ）求 的度数．．如图，矩形 中， ， ， 是边 上一点，将 沿直线 对折，得到 ．（ ）当 平分 时，求 的长；（ ）连接 ，当 时，求 的面积；（ ）当射线 交线段 于点 时，求 的最大值．．已知，抛物线 （ ）经过原点，顶点为 （ ， ）（ ）．（ ）当 ， 时，求抛物线的解析式；（ ）若抛物线 （ ）也经过 点，求 与 之间的关系式；（ ）当点 在抛物线 ﹣ 上，且﹣ ＜ 时，求 的取值范围．年福建省福州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、（共 小题，每小题 分，满分 分，每小题只有一个正确选项）．下列实数中的无理数是（）． ． ． ．﹣【考点】无理数．【专题】计算题．【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是 ，选出答案即可．【解答】解： 无理数就是无限不循环小数，且 为有限小数，为有限小数，﹣ 为正数，都属于有理数，为无限不循环小数，为无理数．故选： ．【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．．如图是 个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）． ． ． ．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为 ， ，故选： ．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．．如图，直线 ， 被直线 所截， 与 的位置关系是（）．同位角 ．内错角 ．同旁内角 ．对顶角【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【分析】根据内错角的定义求解．【解答】解：直线 ， 被直线 所截， 与 是内错角．故选 ．【点评】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．．下列算式中，结果等于 的是（）． ． ． ．【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】计算题；推理填空题．【分析】 ： ，据此判断即可．：根据合并同类项的方法，可得 ．：根据同底数幂的乘法法则，可得 ．：根据同底数幂的乘法法则，可得 ．【解答】解： ，选项 的结果不等于 ；，选项 的结果不等于 ；，选项 的结果不等于 ；，选项 的结果等于 ．故选： ．【点评】（ ）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 底数必须相同； 按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（ ）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．．不等式组的解集是（）． ＞﹣ ． ＞ ．﹣ ＜ ＜ ． ＜【考点】解一元一次不等式组．【专题】方程与不等式．【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．【解答】解：解不等式 ，得＞﹣ ，解不等式 ，得＞ ，由 可得， ＞ ，故原不等式组的解集是 ＞ ．故选 ．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．．下列说法中，正确的是（）．不可能事件发生的概率为．随机事件发生的概率为．概率很小的事件不可能发生．投掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数一定为 次【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率 （ ） 、不可能发生事件的概率 （ ） 对 、 、 进行判定；根据频率与概率的区别对 进行判定．【解答】解： 、不可能事件发生的概率为 ，所以 选项正确；、随机事件发生的概率在 与 之间，所以 选项错误；、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以 选项错误；、投掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数可能为 次，所以 选项错误．故选 ．【点评】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件 发生的频率 会稳定在某个常数 附近，那么这个常数 就叫做事件 的概率，记为 （ ） ；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率 （ ） ；不可能发生事件的概率 （ ） ．． ， 是数轴上两点，线段 上的点表示的数中，有互为相反数的是（）． ． ． ．【考点】相反数；数轴．【专题】数形结合．【分析】数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段 上的点与原点的距离就可以做出判断．【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点 的左右两侧，从四个答案观察发现，只有 选项的线段 符合，其余答案的线段都在原点 的同一侧，所以可以得出答案为 ．故选：【点评】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段 上的点与原点的距离．．平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是 （ ， ）， （ ，﹣ ）， （﹣ ，﹣ ），则点 的坐标是（）．（﹣ ， ） ．（﹣ ，﹣ ） ．（﹣ ，﹣ ） ．（﹣ ， ）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】由点的坐标特征得出点 和点 关于原点对称，由平行四边形的性质得出 和 关于原点对称，即可得出点 的坐标．【解答】解： （ ， ）， （﹣ ，﹣ ），点 和点 关于原点对称，四边形 是平行四边形，和 关于原点对称，（ ，﹣ ），点 的坐标是（﹣ ， ）．故选： ．【点评】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出 和 关于原点对称是解决问题的关键．．如图，以圆 为圆心，半径为 的弧交坐标轴于 ， 两点， 是上一点（不与 ， 重合），连接 ，设 ，则点 的坐标是（）．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【专题】计算题；三角形．【分析】过 作 ，交 于点 ，在直角三角形 中，利用锐角三角函数定义表示出 与 ，即可确定出 的坐标．【解答】解：过 作 ，交 于点 ，在 中， ， ，， ，即 ， ，则 的坐标为（ ， ），故选 ．【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．．下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄 岁频数 ﹣ 对于不同的 ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）．平均数、中位数 ．众数、中位数．平均数、方差 ．中位数、方差【考点】统计量的选择；频数（率）分布表．【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为 ，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第 、 个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为 岁与年龄为 岁的频数和为 ﹣ ，则总人数为： ，故该组数据的众数为 岁，中位数为： 岁，即对于不同的 ，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选： ．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．．已知点 （﹣ ， ）， （ ， ）， （ ， ）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）． ． ． ．【考点】坐标确定位置；函数的图象．【分析】由点 （﹣ ， ）， （ ， ）， （ ， ）在同一个函数图象上，可得 与 关于 轴对称，当 ＞ 时， 随 的增大而增大，继而求得答案．【解答】解： 点 （﹣ ， ）， （ ， ），与 关于 轴对称，故 ， 错误；（ ， ）， （ ， ），当 ＞ 时， 随 的增大而增大，故 正确， 错误．故选 ．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．．下列选项中，能使关于 的一元二次方程 ﹣ 一定有实数根的是（） ． ＞ ． ． ＞ ．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根可得 ，且 ，对每个选项逐一判断即可．【解答】解： 一元二次方程有实数根，（﹣ ） ﹣ ﹣ ，且 ，，且 ；、若 ＞ ，当 、 时， ＞ ，此选项错误；、 不符合一元二次方程的定义，此选项错误；、若 ＞ ，当 、 时， ＞ ，此选项错误；、若 ，则 ，此选项正确；故选： ．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（ ） ＞ 方程有两个不相等的实数根；（ ） 方程有两个相等的实数根；（ ） ＜ 方程没有实数根．二、填空题（共 小题，每小题 分，满分 分）．分解因式： ﹣ （ ）（ ﹣ ）．【考点】因式分解 运用公式法．【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解： ﹣ （ ）（ ﹣ ）．故答案为：（ ）（ ﹣ ）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．．若二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ﹣ ．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】常规题型．【分析】根据二次根式的性质可求出 的取值范围．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则： ，解得 ﹣ ．故答案为： ﹣ ．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（ ）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．．已知四个点的坐标分别是（﹣ ， ），（ ， ），（，），（﹣ ，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数 图象上的概率是．【考点】概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数 图象上，再让在反比例函数 图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数 图象上的概率，依此即可求解．【解答】解： ﹣ ﹣ ，，，（﹣ ） （﹣） ，个点的坐标在反比例函数 图象上，在反比例函数 图象上的概率是 ．故答案为：．【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为上，下方的弧半径为下，则上下．（填 ＜ ＜ ）【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，上下．故答案为 ．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式： （ ）弧长公式： （弧长为 ，圆心角度数为 ，圆的半径为 ）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．．若 ， ，则 的值是 ．【考点】代数式求值．【分析】可将该多项式分解为 （ ），又因为 （ ） ﹣ ，然后将 与 的值代入即可．【解答】解：（ ）（ ） ﹣（ ﹣ ）．故答案为： ．【点评】本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法：若已知 与 的值，则 （ ） ﹣ ，再将 与 的值代入即可．．如图， 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（ ）为 ， ， ， 都在格点上，则 的值是．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【专题】网格型．【分析】如图，连接 、 ，先证明 ，根据 ，求出 、 即可解决问题．【解答】解：如图，连接 ， ，设菱形的边长为 ，由题意得 ，， ，，．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共 小题，满分 分）．计算： ﹣ ﹣ （﹣ ） ．【考点】有理数的混合运算；立方根；零指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案．【解答】解： ﹣ ﹣ （﹣ ）﹣．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．．化简： ﹣ ﹣．【考点】分式的加减法．【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．【解答】解：原式 ﹣ ﹣（ ）﹣ ﹣ ﹣﹣ ．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．．一个平分角的仪器如图所示，其中 ， ．求证： ．【考点】全等三角形的性质．【分析】在 和 中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（ ）证得 ，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在 和 中，有，（ ），．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出 ．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张 元，乙种票每张 元．如果 名学生购票恰好用去 元，甲乙两种票各买了多少张？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲种票买了 张，乙种票买了 张．然后根据购票总张数为 张，总费用为 元列方程求解即可．【解答】解：设甲种票买了 张，乙种票买了 张．根据题意得：．解得：．答：甲种票买了 张，乙种票买了 张．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．．福州市 ﹣ 年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（ ）福州市常住人口数， 年比 年增加了 万人；（ ）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是 ；（ ）预测 年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．【考点】折线统计图．【分析】（ ）将 年人数减去 年人数即可；（ ）计算出每年与上一年相比，增加的百分率即可得知；（ ）可从每年人口增加的数量加以预测．【解答】解：（ ）福州市常住人口数， 年比 年增加了 ﹣ （万人）；（ ）由图可知 年增加： ，年增加： ，年增加： ，年增加： ，故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是 年；（ ）预测 年福州市常住人口数大约为 万人，理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是 万人，由此可以预测 年福州市常住人口数大约为 万人．故答案为：（ ） ；（ ） ．【点评】本题主要考查条形统计图，从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．．如图，正方形 内接于 ， 为中点，连接 ， ．（ ）求证： ；（ ）当 的半径为 时，求的长．【考点】圆内接四边形的性质；正方形的性质．【分析】（ ）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（ ）根据弧长公式计算．【解答】（ ）证明： 四边形 是正方形，，，为中点，，，即 ，；（ ）解： 的半径为 ，的周长为 ，的长 ．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．．如图，在 中， ， ，在 边上截取 ，连接 ．（ ）通过计算，判断 与 的大小关系；（ ）求 的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（ ）先求得 、 的长，然后再计算出 与 的值，从而可得到 与 的关系；（ ）由（ ）可得到 ，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明 ，依据相似三角形的性质可知 ， ，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得 的度数．【解答】解：（ ） ， ，， ﹣ ．， ．．（ ） ， ，，即．又 ，．， ．．， ．设 ，则 ， ， ．，．解得： ．．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得 是解题的关键．．如图，矩形 中， ， ， 是边 上一点，将 沿直线 对折，得到 ．（ ）当 平分 时，求 的长；（ ）连接 ，当 时，求 的面积；（ ）当射线 交线段 于点 时，求 的最大值．【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】（ ）由折叠性质得 ，证出 ，由三角函数得出 即可；（ ）延长 交 延长线于点 ，由矩形的性质得出 ，由折叠性质得出 ， ， ，得出 ，证出 ，设 ，则 ，证出 ，在 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 ， ，即可求出 的面积；（ ）过点 作 于点 ，证明 ，得出对应边成比例 ，得出当点 、 重合（即 ）时， 最大， 最小， 最小， 最大，此时点 、 重合， 、 、 三点共线，由折叠性质得： ，由 证明 ，得出 ，由勾股定理求出 ，得出 ，即可得出结果．【解答】解：（ ）由折叠性质得： ，，平分 ， ，，四边形 是矩形，，，；（ ）延长 交 延长线于点 ，如图 所示：四边形 是矩形，，，由折叠性质得： ，， ， ，，，设 ，则 ，，，在 中，由勾股定理得： ，（ ） ，解得： ，， ，， ，；（ ）过点 作 于点 ，如图 所示：四边形 是矩形，，，，，，， ，当点 、 重合（即 ）时， 最大， 最小， 最小， 最大，此时点 、 重合， 、 、 三点共线，如图 所示：由折叠性质得： ，，，在 和 中，，（ ），，由勾股定理得： ，，的最大值 ﹣ ﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．．已知，抛物线 （ ）经过原点，顶点为 （ ， ）（ ）．（ ）当 ， 时，求抛物线的解析式；（ ）若抛物线 （ ）也经过 点，求 与 之间的关系式；（ ）当点 在抛物线 ﹣ 上，且﹣ ＜ 时，求 的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（ ）用顶点式解决这个问题，设抛物线为 （ ﹣ ） ，原点代入即可．（ ）设抛物线为 ，则 ﹣， ﹣ 代入抛物线解析式，求出 （用 、 表示），又抛物线 也经过 （ ， ），求出 ，列出方程即可解决．（ ）根据条件列出关于 的不等式即可解决问题．【解答】解：（ ） 顶点为 （ ， ），设抛物线为 （ ﹣ ） ，抛物线经过原点，（ ﹣ ） ，﹣ ，抛物线解析式为 ﹣ ．（ ） 抛物线经过原点，设抛物线为 ，﹣，﹣ ，﹣ ，顶点 （ ， ），﹣ ，抛物线 也经过 （ ， ），，﹣ ，﹣ ，（ ） 点 在抛物线 ﹣ 上，﹣ ，又 ﹣ ，，﹣ ＜ ，﹣ ＜ ，当 ＞ 时，即 ＞﹣ 时，，解得 ＞ ，当 ＜ 时，即 ＜﹣ 时，解得 ﹣，综上所述， 的取值范围 ＞ 或 ﹣．【点评】本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．。
福建省福州市2016年中考数学试题(word版,含解析)
2021 年福州市初中毕业会考、 高级中等学校招生考试数学试题（全卷共4页, 三大题, 27小题；满分150分；考试时间120分钟) 友情提示: 请把所有答案填写（涂) 在答题卡上, 请不要错位、 越界答题！ 毕业学校 姓名 考生号一、挑选题（共12 小题, 每题3分．满分36分；每小题只有一个正确选项) 1．下列实数中的 无理数是A ．0. 7B ．21C ．πD ．－8 【考点分析】无理数． 【专题】计算题．【考点剖析】无理数就是 无限不循环小数, 最典型就是 π, 选出答案即可． 【解答】解: ∵无理数就是 无限不循环小数,且0. 7为有限小数, 为有限小数, -8为正数, 都属于有理数, π为无限不循环小数, ∴π为无理数． 故选: C ．【点评】题目考查了无理数的 定义, 题目整体较简单, 是 要熟记无理数的 性质, 即可解决此类问题．2．如图是 3个一样的 小正方体组合而成的 几何体, 它的 俯视图是A ．B ．C ．D ．【考点分析】简单组合体的 三视图．【考点剖析】根据从上边看得到的 图形是 俯视图, 可得答案．【解答】解: 人站在几何体的 正面, 从上往下看, 正方形个数从左到右依次为2, 1, 故选: C ．【点评】本题考查了三视图的 知识, 主视图是 从物体的 正面看得到的 视图．第2题3．如图, 直线a、b被直线C所截, ∠1和∠2的位置关系是A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角【考点分析】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【考点剖析】根据内错角的定义求解．【解答】解: 直线a, b被直线c所截, ∠1与∠2是内错角．故选B．【点评】本题考查了同位角、内错角、同位角: 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角, 完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时, 应从角的两边入手, 具有上述关系的角必有两边在同一直线上, 此直线即为截线, 而另外不在同一直线上的两边, 它们所在的直线即为被截的线．4．下列算式中, 结果等于a6的是A．a4＋a2B．a2＋a2＋a2C．a4·a2D．a2·a2·a2【考点分析】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】计算题；推理填空题．【考点剖析】A: a4+a2≠a6, 据此判断即可．B: 根据合并同类项的方法, 可得a2+a2+a2=3a2．C: 根据同底数幂的乘法法则, 可得a2•a3=a5．D: 根据同底数幂的乘法法则, 可得a2•a2•a2=a6．【解答】解: ∵a4+a2≠a6,∴选项A的结果不等于a6；∵a2+a2+a2=3a2,∴选项B的结果不等于a6；∵a2•a3=a5,∴选项C的结果不等于a6；∵a 2•a 2•a 2=a 6,∴选项D 的 结果等于a 6． 故选: D ．【点评】（1) 此题主要考查了同底数幂的 乘法法则: 同底数幂相乘, 底数不变, 指数相加, 要熟练掌握, 解答此题的 关键是 要明确: ①底数必须一样；②按照运算性质, 只有相乘时才是 底数不变, 指数相加．（2) 此题还考查了合并同类项的 方法, 要熟练掌握．5．不等式组⎩⎨⎧>->+0301x x 的 解集是A ．x ＞－1B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x ＜3【考点分析】解一元一次不等式组． 【专题】方程与不等式．【考点剖析】根据解不等式组的 方法可以求得原不等式组的 解集． 【解答】解解不等式①, 得 x ＞-1, 解不等式②, 得 x ＞3,由①②可得, x ＞3, 故原不等式组的 解集是 x ＞3． 故选B ．【点评】本题考查解一元一次不等式组, 解题的 关键是 明确解一元一次不等式组的 方法．6．下列说法中, 正确的 是A ．不可能事件发生的 概率为0B ．随机事件发生的 概率为21C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次, 正面朝上的次数一定为50次【考点分析】概率的意义．【考点剖析】根据概率的意义和必定发生的事件的概率P（A) =1、不可能发生事件的概率P（A) =0对A、 B、 C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．【解答】解: A、不可能事件发生的概率为0, 所以A选项正确；B、随机事件发生的概率在0与1之间, 所以B选项错误；C、概率很小的事件不是不可能发生, 而是发生的机会较小, 所以C选项错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次, 正面朝上的次数可能为50次, 所以D选项错误．故选A．【点评】本题考查了概率的意义: 一般地, 在大量重复实验中, 加入事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近, 那么这个常数p就叫做事件A的概率, 记为 P（A) =p；概率是频率（多个) 的波动稳定值, 是对事件发生可能性大小的量的表现．必定发生的事件的概率P（A) =1；不可能发生事件的概率 P（A) =0．7．A, B是数轴上两点, 线段AB上的点表示的数中, 有互为相反数的是8．平面宜角坐标系中, 已知□ABCD的三个顶点坐标分别为A（m, n) , B ( 2, －l ) , C（－m, －n) , 则点D的坐标是A．（－2 , l ) B．（－2, －l ) C．（－1, －2 ) D ．（－1, 2 )【考点分析】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【考点剖析】由点的坐标特征得到点A和点C关于原点对称, 由平行四边形的性质得到D和B关于原点对称, 即可得到点D的坐标．【解答】解: ∵A（m, n) , C（-m, -n) ,∴点A和点C关于原点对称,∵四边形ABCD是平行四边形,∴D和B关于原点对称,∵B（2, -1) ,∴点D的坐标是（-2, 1) ．故选: A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质, 得到D和B关于原点对称是解决问题的关键．AB上一9．如图, 以O 为圆心, 半径为1 的弧交坐标轴于A, B 两点, P是⌒点（不与A, B重合) , 连接OP, 设∠POB＝α, 则点P的坐标是A．（sinα, sinα) B．（cosα, cosα)C．（cosα, sinα) D．（sinα, cosα)【考点分析】解直角三角形；坐标与图形性质．【专题】计算题；三角形．【考点剖析】过P作PQ⊥OB, 交OB于点Q, 在直角三角形OPQ中, 利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ, 即可确定出P的坐标．【解答】解: 过P作PQ⊥OB, 交OB于点Q,在Rt△OPQ中, OP=1, ∠POQ=α,∴, , 即PQ=sinα, OQ=cosα,则P的坐标为（cosα, sinα) ,故选C．【点评】此题考查了解直角三角形, 以及坐标与图形性质, 熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．10．下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄/岁13 14 15 16频数 5 15 x 10－x对于不同的x, 下列关于年龄的统计量不会发生改变的是A．平均数, 中位数B．众数, 中位数C ．平均数, 方差D ．中位数, 方差【考点分析】统计量的 挑选；频数（率) 分布表．【考点剖析】由频数分布表可知后两组的 频数和为10, 即可得知总人数, 结合前两组的 频数知出现次数最多的 数据及第15、 16个数据的 平均数, 可得答案．【解答】解: 由表可知, 年龄为15岁与年龄为16岁的 频数和为x+10-x=10, 则总人数为: 5+15+10=30,故该组数据的 众数为14岁, 中位数为:,即对于不同的 x, 关于年龄的 统计量不会发生改变的 是 众数和中位数, 故选: B ．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的 挑选, 由表中数据得到数据的 总数是 根本, 熟练掌握平均数、 中位数、 众数及方差的 定义和计算方法是 解题的 关键．11．已知点A （－l, m) , B ( l, m) , C ( 2, m ＋l) 在同一个函数图象上, 这个函数图象可以是A B C D【考点分析】坐标确定位置；函数的 图象．【考点剖析】由点A （-1, m) , B （1, m) , C （2, m+1) 在同一个函数图象上, 可得A 与B 关于y 轴对称, 当x ＞0时, y 随x 的 增大而增大, 继而求得答案．【解答】解: ∵点A （-1, m) , B （1, m) , ∴A 与B 关于y 轴对称, 故A, B 错误； ∵B（1, m) , C （2, m+1) ,∴当x ＞0时, y 随x 的 增大而增大, 故C 正确, D 错误． 故选C ．xyOxyOxyOxy O【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在挑选题中的应用是解此题的关键．12．下列选项中, 能使关于x 的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是A．a＞0 B．a＝0 C．c＞0 D．c＝0【考点分析】根的判别式．【考点剖析】根据方程有实数根可得ac≤4, 且a≠0, 对每个选项逐一判断即可．【解答】解: ∵一元二次方程有实数根,∴△=（-4) 2-4ac=16-4ac≥0, 且a≠0,∴ac≤4, 且a≠0；A、若a＞0, 当a=1、 c=5时, ac=5＞4, 此选项错误；B、 a=0不符合一元二次方程的定义, 此选项错误；C、若c＞0, 当a=1、 c=5时, ac=5＞4, 此选项错误；D、若c=0, 则ac=0≤4, 此选项正确；故选: D．【点评】本题主要考查根的判别式, 一元二次方程根的情况与判别式△的关系: （1) △＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2) △=0⇔方程有两个相等的实数根；（3) △＜0⇔方程没有实数根．二、填空题（共6小题, 每题4分, 满分24分)13．分解因式: x2－4＝．【考点分析】因式分解-运用公式法．【专题】因式分解．【考点剖析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解: x2-4=（x+2) （x-2) ．故答案为: （x+2) （x-2) ．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是 : 两项平方项, 符号相反．14．若二次根式1-x 在实数范围内有意义, 则x 的 取值范围是 ．【考点分析】二次根式有意义的 条件． 【专题】常规题型．【考点剖析】根据二次根式的 性质可求出x 的 取值范围．【解答】解: 若二次根式1-x 在实数范围内有意义, 则: x+1≥0, 解得x≥-1． 故答案为: x≥-1．【点评】主要考查了二次根式的 意义和性质: 概念: 式子（a≥0) 叫二次根式；性质: 二次根式中的 被开方数必须是 非负数, 否则二次根式无意义．15．已知四个点的 坐标分别为（－1, 1) , （2, 2) , （32, 23) , （－5, －51) , 从中随机选一个点, 在反比例函数y ＝x1图象上的 概率是 ． 【考点分析】概率公式；反比例函数图象上点的 坐标特征． 【考点剖析】先判断四个点的 坐标是 否在反比例函数图象上, 再让在反比例函数图象上点的 个数除以点的 总数即为在反比例函数图象上的 概率, 依此即可求解．【解答】解: ∵-1×1=-1, 2×2=4,,,∴2个点的 坐标在反比例函数图象上,∴在反比例函数图象上的 概率是 2÷4=．故答案为: ．【点评】考查了概率公式, 用到的 知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比．16．如图所示的两段弧中, 位于上方的弧半径为r上, 下方的弧半径为r下, 则r上r下．（填“＞“, ”“＝”“＜”)【考点分析】弧长的计算．【考点剖析】利用垂径定理, 分别作出两段弧所在圆的圆心, 然后比较两个圆的半径即可．【解答】解: 如图, r上＜r下．故答案为＜．【点评】本题考查了弧长公式: 圆周长公式: C=2πR （2) 弧长公式: （弧长为l, 圆心角度数为n, 圆的半径为R) ；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念, 度数相等的弧, 弧长不一定相等, 弧长相等的弧不一定是等弧, 只有在同圆或等圆中, 才有等弧的概念, 才是三者的统一．17．若x＋y＝10, xy＝1 , 则x3y＋xy3＝．【考点分析】代数式求值．【考点剖析】可将该多项式分解为xy（x2+y2) , 又因为x2+y2=（x+y) 2-2xy, 然后将x+y与xy的值代入即可．【解答】解: x3y+xy3=xy（x2+y2)=xy[（x+y) 2-2xy]=1×（102-2×1)=98．故答案为: 98．【点评】本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法: 若已知x+y 与xy的值, 则x2+y2=（x+y) 2-2xy, 再将x+y与xy的值代入即可．18．如图, 6个形状、大小完全一样的菱形组成网格, 菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O) 为60°, A, B, C 都在格点上, 则tan∠ABC的值是．【考点分析】菱形的性质；解直角三角形．【专题】网格型．【考点剖析】如图, 连接EA、 EB, 先证明∠AEB=90°, 根据, 求出AE、 EB即可解决问题．【解答】解: 如图, 连接EA, EC, 设菱形的边长为a, 由题意得∠AEF=30°, ∠BEF=60°, , EB=2a∴∠AEB=90°,∴．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质, 三角函数、特殊三角形边角关系等知识, 解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题, 属于中考常考题型．三、解答题（共9 小题, 满分90 分)19．（7分) 计算: |－1|－38＋(－2021) 0 .【考点分析】有理数的混合运算；立方根；零指数幂．【考点剖析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案．【解答】解: |－1|－38＋(－2021) 0=1-2+1=0．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算, 正确化简各数是解题关键．20．（7分) 化简: a －b －ba b a ++2)(【考点分析】分式的 加减法．【考点剖析】先约分, 再去括号, 最后合并同类项即可． 【解答】解: 原式=a-b-（a+b) =a-b-a-b =-2b ．【点评】此题考查了分式的 加减法, 熟练掌握运算法则是 解本题的 关键．21．（8分) 一个平分角的 仪器如图所示, 其中AB ＝AD, BC ＝DC,求证: ∠BAC ＝∠DAC .【考点分析】全等三角形的 性质．【考点剖析】在△ABC 和△ADC 中, 由三组对边分别相等可通过全等三角形的 判定定理（SSS) 证得△ABC≌△ADC , 再由全等三角形的 性质即可得到结论．【解答】证明: 在△ABC 和△ADC 中, 有,∴△ABC≌△ADC（SSS) , ∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的 判定及性质, 解题的 关键是 证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题, 难度不大, 解决该题型题目时, 根据全等三角形的 判定定理证出两三角形全等是 关键．22．（8分) 列方程（组) 解应用题:某班去看演出, 甲种票每张24 元, 乙种票每张18 元．加入35名学生购票恰好用去750元, 甲乙两种票各买了几 张？【考点分析】二元一次方程组的 应用．【考点剖析】设甲种票买了x张, 乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张, 总费用为750元列方程求解即可．【解答】解: 设甲种票买了x张, 乙种票买了y张．根据题意得: ．解得: ．答: 甲种票买了20张, 乙种票买了15张．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用, 根据题意列出方程组是解题的关键．23．（10分) 福州市2021～2022年中考往年真题练习: 常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息, 回答下列问题:（1) 福州市常住人口数, 2022年中考往年真题练习: 比2022年中考往年真题练习: 增加了万人；（2) 与上一年相比, 福州市常住人口数增加最多的年份是万人；（3) 预测2022年中考往年真题练习: 福州市常住人口数大约为几万人？请用所学的统计知识说明理由．【考点分析】折线统计图．【考点剖析】（1) 将2022年中考往年真题练习: 人数减去2022年中考往年真题练习: 人数即可；（2) 计算出每年与上一年相比, 增加的百分率即可得知；（3) 可从每年人口增加的数量加以预测．【解答】解: （1) 福州市常住人口数, 2022年中考往年真题练习: 比2022年中考往年真题练习: 增加了750-743=7（万人) ；（2) 由图可知2022年中考往年真题练习: 增加: ,2022年中考往年真题练习: 增加: ,2022年中考往年真题练习: 增加: ,2022年中考往年真题练习: 增加: ,故与上一年相比, 福州市常住人口数增加最多的年份是 2022年中考往年真题练习: ；（3) 预测2022年中考往年真题练习: 福州市常住人口数大约为757万人,理由: 从统计图可知, 福州市常住人口每年增加的数量的众数是 7万人, 由此可以预测2022年中考往年真题练习: 福州市常住人口数大约为757万人．故答案为: （1) 7；（2) 2021．【点评】本题主要考查条形统计图, 从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．24．（12分) 如图, 正方形ABCD内接于⊙O, M 为⌒AD中点, 连接BM, CM．（1) 求证: BM＝CM；（2) 当⊙O的半径为2 时, 求⌒BM的长．【考点分析】圆内接四边形的性质；正方形的性质．【考点剖析】（1) 根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2) 根据弧长公式计算．【解答】（1) 证明: ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∴,∵M为中点,∴=,∴+=+, 即=,∴BM=CM；（2) 解: ∵⊙O的半径为2,∴⊙O的周长为4π,∴的长=π．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系, 掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．25．如图, 在△ABC中, AB＝AC＝1, BC＝215, 在AC边上截取AD＝BC, 连接BD．（1) 通过计算, 判断AD2与AC·CD 的大小关系；（2) 求∠ABD 的度数．【考点分析】相似三角形的判定．【考点剖析】（1) 先求得AD、 CD的长, 然后再计算出AD2与AC•CD的值, 从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2) 由（1) 可得到BD2=AC•CD, 然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC, 依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A, DB=CB, 然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解: （1) ∵AD=BC=1, ,∴AD=, DC=1-=．∴AD2=, AC•CD=．∴AD2=AC•CD．（2) ∵AD=BC, AD2=AC•CD,∴BC2=AC•CD, 即．又∵∠C=∠C,∴△BCD∽△ACB．∴, ∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC．设∠A=x, 则∠ABD=x, ∠DBC=x, ∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴x+2x+2x=180°．解得: x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用, 证得△BCD∽△ABC是解题的关键．26．（13分) 如图, 矩形ABCD 中, AB＝4, AD＝3, M 是边CD 上一点, 将△ADM沿直线AM对折, 得到△ANM．（1) 当AN平分∠MAB时, 求DM的长；（2) 连接BN , 当DM＝1时, 求△ABN的面积；（3) 当射线BN 交线段CD于点F时, 求DF的最大值．【考点分析】矩形的性质；角平分线的性质．【考点剖析】（1) 由折叠性质得∠MAN=∠DAM, 证出∠DAM=∠MAN=∠NAB, 由三角函数得到DM=AD•tan∠DAM=即可；（2) 延长MN交AB延长线于点Q, 由矩形的性质得到∠DMA=∠MAQ, 由折叠性质得到∠DMA=∠AMQ, AN=AD=3, MN=MD=1, 得到∠MAQ=∠AMQ, 证出MQ=AQ, 设NQ=x, 则AQ=MQ=1+x, 证出∠ANQ=90°, 在Rt△ANQ中, 由勾股定理得到方程, 解方程求出 NQ=4, AQ=5, 即可求出△ABN的面积；（3) 过点A作AH⊥BF于点H, 证明△ABH∽△BFC, 得到对应边成比例, 得到当点N、 H重合（即AH=AN) 时, AH最大, BH最小, CF最小, DF最大, 此时点M、 F重合, B、 N、 M三点共线, 由折叠性质得: AD=AH, 由AAS证明△ABH≌△BFC, 得到CF=BH, 由勾股定理求出BH, 得到CF, 即可得到结果．【解答】解: （1) 由折叠性质得: △ANM≌△ADM,∴∠MAN=∠DAM,∵AN平分∠MAB, ∠MAN=∠NAB,∴∠DAM=∠MAN=∠NAB,∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠DAM=30°,∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=；（2) 延长MN交AB延长线于点Q, 如图1所示:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠DMA=∠MAQ,由折叠性质得: △ANM≌△ADM,∴∠DMA=∠AMQ, AN=AD=3, MN=MD=1,∴∠MAQ=∠AMQ,∴MQ=AQ,设NQ=x, 则AQ=MQ=1+x,∵∠ANM=90°,∴∠ANQ=90°,在Rt△ANQ中, 由勾股定理得: AQ2=AN2+NQ2,∴（x+1) 2=32+x2,解得: x=4,∴NQ=4, AQ=5,∵AB=4, AQ=5,∴；（3) 过点A作AH⊥BF于点H, 如图2所示:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠HBA=∠BFC,∵∠AHB=∠BCF=90°,∴△ABH∽△BFC,∴,∵AH≤AN=3, AB=4,∴当点N、 H重合（即AH=AN) 时, AH最大, BH最小, CF最小, DF最大, 此时点M、 F重合, B、 N、 M三点共线, 如图3所示:由折叠性质得: AD=AH,∵AD=BC,∴AH=BC,在△ABH和△BFC中,,∴△ABH≌△BFC（AAS) ,∴CF=BH,由勾股定理得: ,∴DF的最大值=DC-CF=．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强, 难度较大, 熟练掌握矩形和折叠的性质, 证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．27．（13分) 已知, 抛物线y＝ax2＋bx＋c ( a≠0) 经过原点, 顶点为A ( h, k ) （h≠0) ．（1) 当h＝1, k＝2时, 求抛物线的解析式；（2) 若抛物线y＝tx2（t≠0) 也经过A点, 求a与t之间的关系式；（3) 当点A在抛物线y＝x2－x上, 且－2≤h＜1时, 求a的取值范围．【考点分析】二次函数综合题．【考点剖析】（1) 用顶点式解决这个问题, 设抛物线为y=a（x-1) 2+2, 原点代入即可．（2) 设抛物线为y=ax2+bx, 则, b=-2ah代入抛物线解析式, 求出k（用a、 h 表示) , 又抛物线y=tx2也经过A（h, k) , 求出k, 列出方程即可解决．（3) 根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．【解答】解: （1) ∵顶点为A（1, 2) , 设抛物线为y=a（x-1) 2+2,∵抛物线经过原点,∴0=a（0-1) 2+2,∴a=-2,∴抛物线解析式为y=-2x2+4x．（2) ∵抛物线经过原点,∴设抛物线为y=ax2+bx,∵,∴b=-2ah,∴y=ax2-2ahx,∵顶点A（h, k) ,∴k=ah2-2ah2=-ah2,抛物线y=tx2也经过A（h, k) ,∴k=th2,∴th2=ah2-2ah2,∴t=-a,（3) ∵点A在抛物线y=x2-x上,∴k=h2-h, 又k=ah2-2ah2,∴,∵-2≤h＜1,∴-2≤＜1,①当1+a＞0时, 即a＞-1时,, 解得a＞0,②当1+a＜0时, 即a＜-1时,解得,综上所述, a的取值范围a＞0或．【点评】本题考查二次函数综合题、不等式等知识, 解题的关键是学会用参数解决问题, 题目比较难参数比较多, 第三个问题解不等式要注意讨论, 属于中考压轴题．。
福建省福州市2016年中考数学真题试题(含解析)
2016年福建省福州市中考数学试卷一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是（）A．0.7 B．C．πD．﹣82．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B． C．D．3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角 D．对顶角4．下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2 B．a2+a2+a2C．a2•a3 D．a2•a2•a25．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜36．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．8．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D 的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）9．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）10．下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差 D．中位数、方差11．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣4= ．14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上r下．（填“＜”“=”“＜”）17．若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：|﹣1|﹣+（﹣2016）0．20．化简：a﹣b﹣．21．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．22．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？23．福州市2011﹣2015年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．25．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．26．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．27．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．2016年福建省福州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是（）A．0.7 B．C．πD．﹣8【考点】无理数．【专题】计算题．【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可．【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，且0.7为有限小数，为有限小数，﹣8为正数，都属于有理数，π为无限不循环小数，∴π为无理数．故选：C．【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B． C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1，故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角 D．对顶角【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【分析】根据内错角的定义求解．【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．故选B．【点评】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．4．下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2 B．a2+a2+a2C．a2•a3 D．a2•a2•a2【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】计算题；推理填空题．【分析】A：a4+a2≠a6，据此判断即可．B：根据合并同类项的方法，可得a2+a2+a2=3a2．C：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a3=a5．D：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a2•a2=a6．【解答】解：∵a4+a2≠a6，∴选项A的结果不等于a6；∵a2+a2+a2=3a2，∴选项B的结果不等于a6；∵a2•a3=a5，∴选项C的结果不等于a6；∵a2•a2•a2=a6，∴选项D的结果等于a6．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（2）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．5．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜3【考点】解一元一次不等式组．【专题】方程与不等式．【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x＞3，由①②可得，x＞3，故原不等式组的解集是x＞3．故选B．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．6．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率P（A）=1、不可能发生事件的概率P（A）=0对A、B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误．故选A．【点评】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．【考点】相反数；数轴．【专题】数形结合．【分析】数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段AB上的点与原点的距离就可以做出判断．【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点0的左右两侧，从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点0的同一侧，所以可以得出答案为B．故选：B【点评】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段AB上的点与原点的距离．8．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D 的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1）．故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D 和B关于原点对称是解决问题的关键．9．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【专题】计算题；三角形．【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选C．【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．10．下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差 D．中位数、方差【考点】统计量的选择；频数（率）分布表．【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x=10，则总人数为：5+15+10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为： =14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．11．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．【考点】坐标确定位置；函数的图象．【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；∵B（1，m），C（2，m+1），∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误．故选C．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．【解答】解：∵一元二次方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，∴ac≤4，且a≠0；A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣1 ．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】常规题型．【分析】根据二次根式的性质可求出x的取值范围．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是 ． 【考点】概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数y=图象上，再让在反比例函数y=图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y=图象上的概率，依此即可求解．【解答】解：∵﹣1×1=﹣1，2×2=4，×=1，（﹣5）×（﹣）=1，∴2个点的坐标在反比例函数y=图象上，∴在反比例函数y=图象上的概率是2÷4=．故答案为：．【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r 下，则r 上 = r 下．（填“＜”“=”“＜”）【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，r 上=r 下．故答案为=．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．17．若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是98 ．【考点】代数式求值．【分析】可将该多项式分解为xy（x2+y2），又因为x2+y2=（x+y）2﹣2xy，然后将x+y与xy的值代入即可．【解答】解：x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2﹣2xy]=1×（102﹣2×1）=98．故答案为：98．【点评】本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法：若已知x+y与xy的值，则x2+y2=（x+y）2﹣2xy，再将x+y与xy的值代入即可．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【专题】网格型．【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB=90°，根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题．【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a ∴∠AEB=90°，∴tan∠ABC===．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：|﹣1|﹣+（﹣2016）0．【考点】有理数的混合运算；立方根；零指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案．【解答】解：|﹣1|﹣+（﹣2016）0=1﹣2+1=0．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．化简：a﹣b﹣．【考点】分式的加减法．【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．【解答】解：原式=a﹣b﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DA C．【考点】全等三角形的性质．【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．22．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张，总费用为750元列方程求解即可．【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张．根据题意得：．解得：．答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．23．福州市2011﹣2015年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了7 万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2014 ；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．【考点】折线统计图．【分析】（1）将2015年人数减去2014年人数即可；（2）计算出每年与上一年相比，增加的百分率即可得知；（3）可从每年人口增加的数量加以预测．【解答】解：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了750﹣743=7（万人）；（2）由图可知2012年增加：×100%≈0.98%，2013年增加：×100%≈0.97%，2014年增加：×100%≈1.2%，2015年增加：×100%≈0.94%，故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2014年；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为757万人，理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测2016年福州市常住人口数大约为757万人．故答案为：（1）7；（2）2014．【点评】本题主要考查条形统计图，从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．【考点】圆内接四边形的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计算．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴=，∵M为中点，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的周长为4π，∴的长=×4π=π．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•C D的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AB=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BD，AD2=AC•CD，∴BD2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△A BC．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠M AB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．27．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=﹣，b=﹣2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过原点，∴0=a（0﹣1）2+2，∴a=﹣2，∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=﹣，∴b=﹣2ah，∴y=ax2﹣2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=ah2﹣2ah，抛物线y=tx2也经过A（h，k），∴k=th2，∴th2=ah2﹣2ah2，∴t=﹣a，（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，∴h=，∵﹣2≤h＜1，∴﹣2≤＜1，①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．【点评】本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．。
2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷
2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分1．若代数式3)2-(x1+x有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥-1B．x≥-1且x≠3C．x＞-1D．x＞-1且x≠3 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a|的结果为（）A．-2a+b B．-b C．-2a-b D．b3．如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）A. B. C. D.4．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2-4ac＜0；③2a+b=0；④a+b ＞0．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF．则tan∠BFE的值是（）A．2B．1 C．2 D．39．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C．D．10．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A．1场B．2场C．3场D．4场17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次m 函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=x 的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且4tan∠AOE=3（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．18．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为5，且S△P MR=4S△P NQ，求NP的长19．如果方程x2+bx+c=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-b，x1x2=c，请根据以上结论，解决下列问题：1a2+1=0（1）已知关于x的方程x2-（a+1）x+4的两根之差的绝对值为5，求a的值；（2）已知关于x的方程x2+px+q=0（q≠0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数20．福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合．（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN；（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）求△BMN的面积的最大值．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=43x-23与抛物线y=-41x 2+bx+c 交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8（1）求该抛物线的解析式（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ，设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．22．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为（2）试证明：当k 为正整数时，k （k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3）记第n 个k 变形数位N （n ，k ）（k≥3）．例如N （1，3）=1，N （2，3）=3，N （2，4）=4．①试直接写出N （n ，3）N （n ，4）的表达式； ②通过进一步的研究发现N （n ，5）=23n 2-21n ，N （n ，6）=2n 2-n ，…，请你推测N （n ，k ）（k≥3）的表达式，并由此计算N （10，24）的值．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11．对正实数a，b作定义a*b=ab-a，若2*x=6，则x=12．罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000．罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是13．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机1取出一个白球的概率是4，则y与x之间的函数关系式为15．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是cm2（结果精确到0.1，3≈1.73）14．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是16．|。
福建省福州市2016年中考数学试题(解析版)
一、选择题（共12 小题，每题3分．满分36分；每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是A ．0.7B ．21C ．πD ．－8 2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是A ．B ．C ．D ．3．如图，直线a 、b 被直线C 所截，∠1和∠2的位置关系是A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．对顶角 4．下列算式中，结果等于a 6 的是A ．a 4＋a 2B ．a 2＋a 2＋a 2C ．a 4·a 2D ．a 2·a 2·a 25．不等式组⎩⎨⎧>->+0301x x 的解集是A ．x ＞－1B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x ＜36．下列说法中，正确的是A ．不可能事件发生的概率为0B ．随机事件发生的概率为21C ．概率很小的事件不可能发生第2题D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次7．A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是8．平面宜角坐标系中，已知□ABCD 的三个顶点坐标分别是A （m ，n ），B ( 2，－l )，C （－m ，－n ），则点D 的坐标是A ．（－2 ，l )B ．（－2，－l )C ．（－1，－2 )D ．（－1，2 )9．如图，以O 为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是⌒AB 上一点（不与A ，B 重合），连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是A ．（sin α，sin α）B ．（ cos α，cos α）C ．（cos α，sin α）D ．（sin α，cos α）10．下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是A ．平均数，中位数B ．众数，中位数C ．平均数，方差D ．中位数，方差11．已知点A （－l ，m ），B ( l ，m ），C ( 2，m ＋l ）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是A B C D12．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x ＋c ＝0一定有实数根的是A ．a ＞0B ．a ＝0C ．c ＞0D ．c ＝0二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）13．分解因式：x 2－4＝ ．14．若二次根式1 x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 15．已知四个点的坐标分别是（－1，1），（2，2），（32，23），（－5，－51），从中随机选一个点，在反比例函数y ＝x1图象上的概率是 ． 16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r 下，则r 上 r 下．（填“＞“，”“＝”“＜”)17．若x ＋y ＝10，xy ＝1 ，则x 3y ＋xy 3＝ ．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O ）为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是 ．三、解答题（共9 小题，满分90 分）19．（7分）计算：|－1|－38＋(－2016)0 .20．（7分）化简：a －b －ba b a ++2)(21．（8分）一个平分角的仪器如图所示，其中AB ＝AD ，BC ＝DC ，求证：∠BAC ＝∠DAC .22．（8分）列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24 元，乙种票每张18 元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？23．（10分）福州市2011～2015年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了 万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是 万人；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．24．（12分）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为⌒AD 中点，连接BM ，CM ．（1）求证：BM ＝CM ；（2）当⊙O 的半径为2 时，求⌒BM 的长．25．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝215 ，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD ．（1）通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系；（2）求∠ABD 的度数．26．（13分）如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN ，当DM＝1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN 交线段CD于点F时，求DF的最大值．27．（13分）已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c ( a≠0）经过原点，顶点为A ( h，k ) （h≠0）．（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y＝tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y＝x2－x上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．答案一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是（ ）A ．0.7B ．C ．πD ．﹣8【考点】无理数．【专题】计算题．【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可．【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，且0.7为有限小数，为有限小数，﹣8为正数，都属于有理数， π为无限不循环小数，∴π为无理数．故选：C ．【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1，故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【分析】根据内错角的定义求解．【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．故选B．【点评】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．4．下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2 B．a2+a2+a2C．a2•a3 D．a2•a2•a2【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】计算题；推理填空题．【分析】A：a4+a2≠a6，据此判断即可．B：根据合并同类项的方法，可得a2+a2+a2=3a2．C：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a3=a5．D：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a2•a2=a6．【解答】解：∵a4+a2≠a6，∴选项A的结果不等于a6；∵a2+a2+a2=3a2，∴选项B的结果不等于a6；∵a2•a3=a5，∴选项C的结果不等于a6；∵a2•a2•a2=a6，∴选项D的结果等于a6．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（2）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．5．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜3【考点】解一元一次不等式组．【专题】方程与不等式．【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x＞3，由①②可得，x＞3，故原不等式组的解集是x＞3．故选B．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．6．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率P（A）=1、不可能发生事件的概率P（A）=0对A、B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误．故选A．【点评】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．【考点】相反数；数轴．【专题】数形结合．【分析】数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段AB上的点与原点的距离就可以做出判断．【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点0的左右两侧，从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点0的同一侧，所以可以得出答案为B．故选：B【点评】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段AB上的点与原点的距离．8．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1）．故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称是解决问题的关键．9．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【专题】计算题；三角形．【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选C．【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．10．下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差【考点】统计量的选择；频数（率）分布表．【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x=10，则总人数为：5+15+10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为：=14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．11．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．【考点】坐标确定位置；函数的图象．【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；∵B（1，m），C（2，m+1），∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误．故选C．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．【解答】解：∵一元二次方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，∴a c≤4，且a≠0；A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】常规题型．【分析】根据二次根式的性质可求出x的取值范围．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是．【考点】概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数y=图象上，再让在反比例函数y=图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y=图象上的概率，依此即可求解．【解答】解：∵﹣1×1=﹣1，2×2=4，×=1，（﹣5）×（﹣）=1，∴2个点的坐标在反比例函数y=图象上，∴在反比例函数y=图象上的概率是2÷4=．故答案为：．【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上=r下．（填“＜”“=”“＜”）【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，r上=r下．故答案为=．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．17．若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是98．【考点】代数式求值．【分析】可将该多项式分解为xy（x2+y2），又因为x2+y2=（x+y）2﹣2xy，然后将x+y与xy的值代入即可．【解答】解：x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy=1×（102﹣2×1）=98．故答案为：98．【点评】本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法：若已知x+y与xy的值，则x2+y2=（x+y）2﹣2xy，再将x+y与xy的值代入即可．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【专题】网格型．【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB=90°，根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题．【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a ∴∠AEB=90°，∴tan∠ABC===．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：|﹣1|﹣+（﹣2016）0．【考点】有理数的混合运算；立方根；零指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案．【解答】解：|﹣1|﹣+（﹣2016）0=1﹣2+1=0．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．化简：a﹣b﹣．【考点】分式的加减法．【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．【解答】解：原式=a﹣b﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．【考点】全等三角形的性质．【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．22．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张，总费用为750元列方程求解即可．【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张．根据题意得：．解得：．答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．23．福州市2011﹣2015年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了7万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2014；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．【考点】折线统计图．【分析】（1）将2015年人数减去2014年人数即可；（2）计算出每年与上一年相比，增加的百分率即可得知；（3）可从每年人口增加的数量加以预测．【解答】解：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了750﹣743=7（万人）；（2）由图可知2012年增加：×100%≈0.98%，2013年增加：×100%≈0.97%，2014年增加：×100%≈1.2%，2015年增加：×100%≈0.94%，故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2014年；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为757万人，理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测2016年福州市常住人口数大约为757万人．故答案为：（1）7；（2）2014．【点评】本题主要考查条形统计图，从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．【考点】圆内接四边形的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计算．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴=，∵M为中点，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的周长为4π，∴的长=×4π=π．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AB=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BD，AD2=AC•CD，∴BD2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M 三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．27．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=﹣，b=﹣2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过原点，∴0=a（0﹣1）2+2，∴a=﹣2，∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=﹣，∴b=﹣2ah，∴y=ax2﹣2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=ah2﹣2ah，抛物线y=tx2也经过A（h，k），∴k=th2，∴th2=ah2﹣2ah2，∴t=﹣a，（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，∴k=h 2﹣h ，又k=ah 2﹣2ah 2，∴h=11a ，∵﹣2≤h ＜1，∴﹣2≤＜1，①当1+a ＞0时，即a ＞﹣1时，，解得a ＞0，②当1+a ＜0时，即a ＜﹣1时，解得a≤﹣，综上所述，a 的取值范围a ＞0或a≤﹣．【点评】本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．。
2016年福建省福州市中考数学试题(含解析)
2016 年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（全卷共4页，三大题，27小题；满分150分；考试时间120分钟）友情提示：请把所有答案填写（涂）在答题卡上，请不要错位、越界答题！ 毕业学校 姓名 考生号一、 选择题（共12 小题，每题3分．满分36分；每小题只有一个正确选项） 1．下列实数中的无理数是A ．0.7B ．21C ．πD ．－8【考点】无理数． 【专题】计算题． 【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可． 【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，且0.7为有限小数，为有限小数，-8为正数，都属于有理数， π为无限不循环小数， ∴π为无理数． 故选：C ．【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是A ．B ．C ．D ．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1， 故选：C ．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．如图，直线a 、b 被直线C 所截，∠1和∠2的位置关系是A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．对顶角【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角． 【分析】根据内错角的定义求解．【解答】解：直线a ，b 被直线c 所截，∠1与∠2是内错角．故选B ．【点评】本 题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类 角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．4．下列算式中，结果等于a 6的是A ．a 4＋a 2B ．a 2＋a 2＋a 2C ．a 4·a 2D ．a 2·a 2·a2【考点】同底数幂的乘法；合并同类项． 【专题】计算题；推理填空题．第2题【分析】A ：a 4+a 2≠a 6，据此判断即可．B ：根据合并同类项的方法，可得a 2+a 2+a 2=3a 2．C ：根据同底数幂的乘法法则，可得a 2•a 3=a 5．D ：根据同底数幂的乘法法则，可得a 2•a 2•a 2=a 6． 【解答】解：∵a 4+a 2≠a 6， ∴选项A 的结果不等于a 6；∵a 2+a 2+a 2=3a 2，∴选项B 的结果不等于a 6；∵a 2•a 3=a 5，∴选项C 的结果不等于a 6；∵a 2•a 2•a 2=a 6，∴选项D 的结果等于a 6． 故选：D ． 【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（2）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．5．不等式组⎩⎨⎧>->+0301x x 的解集是A ．x ＞－1B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x ＜3【考点】解一元一次不等式组． 【专题】方程与不等式．【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集． 【解答】解解不等式①，得 x ＞-1，解不等式②，得 x ＞3，由①②可得，x ＞3，故原不等式组的解集是x ＞3． 故选B ．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．6．下列说法中，正确的是A ．不可能事件发生的概率为0B ．随机事件发生的概率为21C ．概率很小的事件不可能发生D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率P （A ）=1、不可能发生事件的概率P （A ）=0对A 、B 、C 进行判定；根据频率与概率的区别对D 进行判定． 【解答】解：A 、不可能事件发生的概率为0，所以A 选项正确； B 、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B 选项错误；C 、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C 选项错误；D 、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D 选项错误． 故选A ．【点评】本 题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A 发生的频率mn 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率，记为 P （A ）=p ；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P （A ）=1；不可能发生事件的概率 P （A ）=0．7．A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是8．平面宜角坐标系中，已知□ABCD 的三个顶点坐标分别是A （m ，n ），B ( 2，－l )，C （－m ，－n ），则点D 的坐标是A ．（－2 ，l )B ．（－2，－l )C ．（－1，－2 )D ．（－1，2 )【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】由点的坐标特征得出点A 和点C 关于原点对称，由平行四边形的性质得出D 和B 关于原点对称，即可得出点D 的坐标．【解答】解：∵A（m ，n ），C （-m ，-n ）， ∴点A 和点C 关于原点对称， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴D 和B 关于原点对称， ∵B（2，-1），∴点D 的坐标是（-2，1）． 故选：A ．【点评】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D 和B 关于原点对称是解决问题的关键．9．如图，以O 为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是⌒AB 上一点（不与A ，B 重合），连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是A ．（sin α，sin α）B ．（ cos α，cos α）C ．（cos α，sin α）D ．（sin α，cos α）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质． 【专题】计算题；三角形．【分析】过P 作PQ⊥OB，交OB 于点Q ，在直角三角形OPQ 中，利用锐角三角函数定义表示出OQ 与PQ ，即可确定出P 的坐标．【解答】解：过P 作PQ⊥OB，交OB 于点Q ，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴，，即PQ=sinα，OQ=cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选C．【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．10对于不同的xA．平均数，中位数 B．众数，中位数C．平均数，方差 D．中位数，方差【考点】统计量的选择；频数（率）分布表．【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10，则总人数为：5+15+10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为：，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．11．已知点A（－l，m），B ( l，m），C ( 2，m＋l）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是C D【分析】由点A（-1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵点A（-1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；∵B（1，m），C（2，m+1），∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误．故选C．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．12．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是A．a＞0 B．a＝0 C．c＞0 D．c＝0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可． 【解答】解：∵一元二次方程有实数根，∴△=（-4）2-4ac=16-4ac≥0，且a≠0， ∴ac≤4，且a≠0；A 、若a ＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；B 、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；C 、若c ＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；D 、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确； 故选：D ．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）13．分解因式：x 2－4＝ ．【考点】因式分解-运用公式法． 【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：x 2-4=（x+2）（x-2）．故答案为：（x+2）（x-2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．14．若二次根式1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．【考点】二次根式有意义的条件． 【专题】常规题型．【分析】根据二次根式的性质可求出x 的取值范围．【解答】解：若二次根式1-x 在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥-1． 故答案为：x≥-1．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15．已知四个点的坐标分别是（－1，1），（2，2），（32，23），（－5，－51），从中随机选一个点，在反比例函数y ＝x 1图象上的概率是 ．【考点】概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数图象上，再让在反比例函数图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数图象上的概率，依此即可求解．【解答】解：∵-1×1=-1， 2×2=4，，，∴2个点的坐标在反比例函数图象上，∴在反比例函数图象上的概率是2÷4=．故答案为：．【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上 r下．（填“＞“，”“＝”“＜”)【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，r上＜r下．故答案为＜．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．17．若x＋y＝10，xy＝1 ，则x3y＋xy3＝．【考点】代数式求值．【分析】可将该多项式分解为xy（x2+y2），又因为x2+y2=（x+y）2-2xy，然后将x+y与xy 的值代入即可．【解答】解：x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2-2xy]=1×（102-2×1）=98．故答案为：98．【点评】本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法：若已知x+y与xy 的值，则x2+y2=（x+y）2-2xy，再将x+y与xy的值代入即可．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O ）为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是 ．【考点】菱形的性质；解直角三角形． 【专题】网格型．【分析】如图，连接EA 、EB ，先证明∠AEB=90°，根据，求出AE 、EB 即可解决问题．【解答】解：如图，连接EA ，EC ，设菱形的边长为a ，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，，EB=2a∴∠AEB=90°， ∴．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共9 小题，满分90 分）19．（7分）计算：|－1|－38＋(－2016)0.【考点】有理数的混合运算；立方根；零指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案． 【解答】解：|－1|－38＋(－2016)0 =1-2+1 =0．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．（7分）化简：a －b －b a b a ++2)(【考点】分式的加减法．【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可． 【解答】解：原式=a-b-（a+b ）=a-b-a-b =-2b ．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（8分）一个平分角的仪器如图所示，其中AB ＝AD ，BC ＝DC ，求证：∠BAC ＝∠DAC .【考点】全等三角形的性质．【分析】在△ABC 和△ADC 中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS ）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】证明：在△ABC 和△ADC 中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．22．（8分）列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24 元，乙种票每张18 元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张，总费用为750元列方程求解即可．【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张．根据题意得：．解得：．答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．23．（10分）福州市2011～2015年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是万人；（3）预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．【考点】折线统计图．【分析】（1）将2015年人数减去2014年人数即可；（2）计算出每年与上一年相比，增加的百分率即可得知；（3）可从每年人口增加的数量加以预测．【解答】解：（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了750-743=7（万人）；（2）由图可知2012年增加：，2013年增加：，2014年增加：，2015年增加：，故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2014年； （3）预测2016年福州市常住人口数大约为757万人， 理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测2016年福州市常住人口数大约为757万人． 故答案为：（1）7；（2）2014．【点评】本题主要考查条形统计图，从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．24．（12分）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为⌒AD 中点，连接BM ，CM ． （1）求证：BM ＝CM ；（2）当⊙O 的半径为2 时，求⌒BM 的长．【考点】圆内接四边形的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可； （2）根据弧长公式计算．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=CD， ∴， ∵M 为中点，∴=，∴+=+，即=， ∴BM=CM；（2）解：∵⊙O 的半径为2， ∴⊙O 的周长为4π， ∴的长=π．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．25．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝215 ，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD ．（1）通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； （2）求∠ABD 的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD 的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AD=BC=1，，∴AD=，DC=1-=．∴AD2=，AC•CD=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．26．（13分）如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN ，当DM＝1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN 交线段CD于点F时，求DF的最大值．【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出 NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵A D=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：，∴DF的最大值=DC-CF=．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．27．（13分）已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c ( a≠0）经过原点，顶点为A ( h，k ) （h≠0）．（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y＝tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y＝x2－x上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x-1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则，b=-2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x-1）2+2，∵抛物线经过原点，∴0=a（0-1）2+2，∴a=-2，∴抛物线解析式为y=-2x2+4x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵，∴b=-2ah，∴y=ax2-2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=ah2-2ah2=-ah2，抛物线y=tx2也经过A（h，k），∴k=th2，∴th2=ah2-2ah2，∴t=-a，（3）∵点A在抛物线y=x2-x上，∴k=h2-h，又k=ah2-2ah2，∴，∵-2≤h＜1，∴-2≤＜1，①当1+a＞0时，即a＞-1时，，解得a＞0，②当1+a＜0时，即a＜-1时，解得，综上所述，a的取值范围a＞0或．【点评】本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．。
2016届福州一中模拟卷
2016届福州一中高中毕业班理科数学模拟试卷一、选择题：（1） 若集合{}1216xA x =≤≤，{}23log (2)1B x x x =->，则A B 等于(A)(]3,4 (B) []3,4 (C) (](,0)0,4-∞ (D) (](,1)0,4-∞- （2） 计算sin 46cos16cos314sin16⋅-⋅=(A)32 (B) 22 (C) 33(D)12 （3） 已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，若(6)0.16P ξ>=，则(03)P ξ≤≤= (A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.34 (D) 0.16（4）设命题0300:(0,),3x p x x ∃∈+∞<，则p ⌝为(A) 3(0,),3x x x ∀∈+∞≥ (B) 3(0,),3x x x ∃∈+∞≥ (C) 3(0,),3x x x ∀∈+∞< (D) 3(0,),3x x x ∃∈+∞< （5）二项式531(2)x x-的展开式中x 的系数等于 (A) 40- (B) 40 (C) 20- (D) 20（6）设向量12,,OA e OB e == 若1e 与2e不共线，且6AP PB = ，则OP =(A) 121677e e - (B) 126177e e - (C) 121677e e + (D) 126177e e +（7）已知函数1()sin()()46f x x x R π=+∈，把函数()f x 的图象向右平移83π个单位得函数()g x 的图象，则下面关于函数()g x 的结论正确的是(A) 奇函数 (B) [],2ππ上是增 (C) 最小正周期是4π (D) 关于直线x π=对称（8）在一球面上有,,A B C 三点，如果43,60AB ACB =∠= ，球心O 到平面ABC 的距离为3，球O 的表面积为 (A) 36π (B) 64π (C) 100π (D) 144π（9）右边程序框图的算法思路，源于我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的秦九韶算法，执行该程序框图，若输入的,,n n a x 分别为5,1,2-，且432105,10,10,5,1a a a a a =====，则输出的v =(A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 2-（10）某三棱锥的三视图如下图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于 (A) 42 FG OG ⊥ (B) 34 (C) 41 (D) 52输入i ai v vx a =+1i i =-开 始输入,,n n a x 的值n v a = 是0?i ≥输出v 结 束否(11) 已知,O F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的中心和右焦点，点,G M 分别在E 的渐近线和右支，，//GM x 轴，且OM OF =，则E 的离心率为(A)52 (B) 62 (C) 72(D) 2 (12) 设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数是()f x '，且43()3()xx f x x f x e '+=，3(3)81e f =，则0x >时，()f x(A) 有极大值，无极小值 (B) 有极小值，无极大值(C) 既无极大值，又无极小值 (D) 既有极大值，又有极小值二、填空题：（13）已知复数z 的共轭复数112iz i+=-，则复数z 的虚部是_______. （14）若,x y 满足约束条件2,y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且3z x y =-的最小值是最大值的3-倍，则a 的值是_____.（15）若椭圆的中心在原点，一个焦点为(1,0)，直线2230x y --=与椭圆相交，所得弦的中点的横坐标为1，则这个椭圆的方程为_________.（16）若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A C B +=，则角C 的最大值是_______.三.解答题：（17）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且623518,3n n S S aa =+=，数列{}n b 满足124n S n b b b = . （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；553 4（Ⅱ）令2log n n c b =，且数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求2016T .（18）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中11//,,12,363,BC AD AB AD AD AD AA ⊥===4AB BC ==.（Ⅰ）在线段AD 上求一点N ，使得//CN 平面11ABB A ，并加以证明； （Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点N ，求锐二面角11D ND C --的余弦值.（19）某商场每天以每件100元的价格购入A 商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的A 商品前8小时没有售完，则商场对没卖出的A 商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定A 商品当天能够处理完）.该商场统计了100天A 商品在每天的前8小时的销售量，制成如下表格. 前8小时的销售量t （单位：件） 678频 数40 3525（Ⅰ）某天该商场共购入8件A 商品，在前8个小时售出6件. 若这些产品被8名不同的顾客购买，现从这8名顾客中随机选4人进行回访，求恰有三人是以每件200元的价格购买的概率；（Ⅱ）将频率视为概率，要使商场每天购进A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件A 商品，并说明理由. B 1 C 1ABCD（20）已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线E 交于,A B 两点，E 的准线与x 轴交于点C ，CAB ∆的面积为4，以点(3,0)D 为圆心的圆D 过点,A B . （Ⅰ）求抛物线E 和圆D 的方程；（Ⅱ）若斜率为(1)k k ≥的直线m 与圆D 相切，且与抛物线E 交于,M N 两点，求FM FN ⋅的取值范围.（21）已知函数2()2ln (0,)f x ax bx x a b R =+->∈，若对任意0,()(2)x f x f >≥. （Ⅰ）写出()b g a =的表达式；（Ⅱ）已知,c d 为不相等的两个整数，且c k d ≤≤时ln 0a kb +≤恒成立，求c 的最小值与d 的最大值.（23）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221x y +=，在以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为8cos 2sin ρθθ=+.（Ⅰ）将1C 上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长为原来的2倍和3倍后得到曲线2C ，求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若,P Q 分别为曲线2C 与直线l 上的两个动点，求PQ 的最小值以及此时点P 的坐标.（24）如果关于x 的不等式16x x a -+-≤的解集为空集. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若实数b 与实数a 取值范围相同，求证：255ab a b ->-.。
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2016年福建省福州一中自主招生考试数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x≥﹣1B．x≥﹣1且x≠3C．x＞﹣1D．x＞﹣1且x≠3 2．（4分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a|的结果为（）
A．﹣2a+b B．﹣b C．﹣2a﹣b D．b
3．（4分）如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）
A．B．
C．D．
4．（4分）打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）
A．B．
C．D．
5．（4分）对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：年龄131415161718
人数456672
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）
A．17，15.5B．17，16C．15，15.5D．16，16
6．（4分）如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB＝8．圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（）
A．3B．4C．5D．6
7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a+b＝0；④a+b＞0．
则其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（4分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF．则tan∠BFE的值是（）
A．B．1C．2D．3
9．（4分）如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）
A．B．
C．D．
10．（4分）甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）
A．1场B．2场C．3场D．4场
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11．（4分）对正实数a，b作定义a*b＝﹣a，若2*x＝6，则x＝．
12．（4分）罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000．罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是．
13．（4分）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间
的函数关系式为．
14．（4分）若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是．
15．（4分）将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB＝AC＝8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是cm2（结果精确到0.1，≈1.73）．
三、解答题：本大题共7小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（1）计算：+（）﹣2﹣20150﹣2cos30°+|﹣|
（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中x＝﹣6．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA＝5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE＝．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
18．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点
的直线交两切线于R、Q．
（1）求证：△NPQ∽△PMR；
（2）如果圆O的半径为，且S△PMR＝4S△PNQ，求NP的长．
19．如果方程x2+bx+c＝0的两个根是x1、x2，那么x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2﹣（a+1）x+a2+1＝0的两根之差的绝对值为，求a的值；
（2）已知关于x的方程x2+px+q＝0（q≠0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
20．福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，△DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合．
（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM＝CN；
（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）求△BMN的面积的最大值．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E，设△PDE的周长为l，点P的横坐标
为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．
22．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；
（2）试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；
（3）记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）＝1，N（2，3）＝3，N（2，4）＝4．
①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；
②通过进一步的研究发现N（n，5）＝n2﹣n，N（n，6）＝2n2﹣n，…，请你推测N
（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．。