重要的著名不等式

Ptolemy（托勒密）不等式

若ABCD为四边形，则AB×CD+AD×BC ³ AC×BD。等号成立ÛA,B,C,D四点共圆

证明：

在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD

因为△ABE∽△ACD

所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)

又有比例式AB/AC=AE/AD

而∠BAC=∠DAE

所以△ABC∽△AED相似.

BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因为BE+ED≥BD

仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）

所以命题得证

Erdos－Mordell（埃尔多斯—莫德尔）不等式

设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则

x+y+z≥2*(p+q+r)

证明：

设P为△ABC内任一点(包括边界)，点P到边AB、BC、CA的距离分别为PD1、PD2、PD3，则：

PA＋PB＋PC≥2(PD1＋PD2＋PD3)。

设f（x) = x² + y²+ z² - 2(xycosa + yzcosb + zxcosc)

= x² - 2(ycosa + zcosc)x + (y² + z² - 2yzcosb)

则△= 4(ycosa + zcosc) ² - 4(y² + z² - 2yzcosb)

= - 4 [ y² ( 1 - cosa² ) + z² ( 1 - cos²c ) - 2yzcosacosc +

2yzcos ( a + c ) ]

= - 4(y²sin²a + z²sin²g - 2yzsinasing)

= - 4(ysina - zsing)²≤0

∴f≥0，即不等式

设x、y、z R，且a+b+c=л，则永远有x²+y²+z²≥2(xycosa + yzcosb + zxcosc)成立。

可证得如下的几何不等式：设P为△ABC内任一点(包括边界)，∠APB、∠PBC、∠CPA的平分线与边AB、BC、CA分别相交于E1、E2、E3，则PA＋PB＋PC≥2(PE1＋PE2＋PE3)；∠CPA的平分线与边AB、BC、CA分别相交于E1、E2、E3，则

PA＋PB＋PC≥2(PE1＋PE2＋PE3)

Weitzenberk（外森比克）不等式：

在DABC中，a+b+c³4D。等号成立ÛDABC为正三角形。

证明：

a^2+b^2+c^2-4sqrt(3)S

=a^2+b^2+a^2+b^2-2abcosC-2sqrt(3)ansinC

=2a^2+2b^2-4absin(C+π/6)≥2a^2+2b^2-4ab

=2(a-b)^2≥0,

当且仅当a=b且c=π/3即三角形ABC为正三角形时取等。

Euler（欧拉）不等式

设DABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R≥2r,当且仅当DABC为正三角形时取等号。

证明：

由欧拉定理，d=sqrt(R(R-2r)),又d>0,

所以R-2r≥0,即R≥2r.

当且仅当d=0即内心与外心重合时取等。

此时三角形ABC为正三角形。

Fermat（费马）问题

在DABC中，使PA+PB+PC为最小的平面上的P点称为费马点。当

ÐBAC³120时，A点为费马点；当每个内角钧小于120时，则与三边张角为120的P点为费马点。

等周定理（等周不等式）

①周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中，圆的周长最小。

②周长一定的所有n边形中，正n边形的面积最大；面积一定的所有n边形中，正n 边形的周长最小。