重要的著名不等式

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八个著名的不等式

第八讲几个著名的不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。

下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式定理：设()n i R b a i i Λ2,1,=∈则()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。

[一般形式的证明] 作函数()()()()()())(222222122112222212222211≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n ΛΛΛΛ0≤∆∴ 此时044121221≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a 121221，得证。

[向量形式的证明]令(),2,1n a a a A Λρ= (),2,1n b b b B Λρ=()()()22221222212211cos nn n n b b b a a aB A B A b a b a b a B A ΛΛρρρρΛρρ++⋅+++=≤=++=⋅θ()1cos 1≤≤-θ两边同时平方得：()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++，得证。

[柯西不等式的应用]例1.1设()()22121111,1n a a a a a a n i R a n n i ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤≤∈+ΛΛ求证解：由柯西不等式可知，原不等式可化为()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++2222122221111n na a a a a a ΛΛ()22111n n =++≥43421Λ个当且仅当,1,1,12211n na k a a k a a k a ===Λ时等号成立即n a a a Λ==21，故原不等式得证。

几个重要不等式及其应用

几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。

1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a L是非负实数，则12n a a a n+++≥L2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=L ，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==L变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==L变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。

等号成立当且仅当n b b b ===Λ21 3．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ΛΛΛ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21。

（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈Λ*()n N ∈有()()()12121().n n x x x f f x f x f x n n +++≤+++⎡⎤⎣⎦L L 等号当且仅当n x x x ===Λ21时取得。

八个著名的不等式

下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式定理：设()n i R b a i i 2,1,=∈则()22211nn b a b a ba ++≤()()2222122221n n b b b a a a++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。

[一般形式的证明] 作函数()()()()()())(222222122112222212222211≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n0≤∆∴ 此时044121221≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a 121221，得证。

[向量形式的证明]令(),2,1n a a a A = (),2,1n b b b B=()()()22221222212211cos nn n n b b b a a aB A B A b a b a b a B A ++⋅+++=≤=++=⋅θ()1cos 1≤≤-θ两边同时平方得：()22211nn b a b a ba ++≤()()2222122221n n b b b a a a++⋅++，得证。

[柯西不等式的应用]例1.1设()()22121111,1n a a a a a a n i R a n n i ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤≤∈+ 求证解：由柯西不等式可知，原不等式可化为()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++2222122221111n na a a a a a ()22111n n =++≥ 个当且仅当,1,1,12211n na k a a k a a k a ===时等号成立即n a a a ==21，故原不等式得证。

53几个重要的不等式

5．3几个重要的不等式具备了不等式的基本知识和技能之后，就可以进一步欣赏一些优美而又魅力无限的重要结果。

正如音乐家能够将很少几组音符变化发展为动听美妙的旋律一样，数学家则往往能够通过不多几步逻辑推理揭示出简明优美的结果。

这里要介绍的一些有关不等式的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常象变戏法似的神秘莫测。

除了前面已经介绍的贝努利不等式之外，本节将讨论的一些重要不等式包括：柯西不等式，排序不等式，平均不等式等。

这些重要的不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是今后进一步学习高等数学的重要工具。

1．柯西（Cauchy ）不等式在上一节，我们已经粗略地了解了形如22222)())((bd ac d c b a +≥++的不等式，因其是由大数学家柯西（Canchy ）发现的，故而一般称之为柯西不等式。

柯西不等式有着丰富的几何背景。

可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解。

请同学们回忆一下我们曾经学过的余弦定理的内容？我们将利用它来解释柯西不等式。

如图，在三角形OPQ 中，θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP +=+=.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理2222⋅-+=OP OQ OP PQ2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，于是22222)())((bd ac d c b a +≥++.讨论：借助图形分析，柯西不等式中等号成立的条件是什么?柯西不等式应用相当广泛，我们先通过一些简单的例子加以体会。

例1．已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax （1）证明：由柯西不等式，.1))(()(22222=++≤+y x b a by ax 所以（1）成立。

几个重要的不等式

几个重要的不等式不等式是数学中非常重要的概念，它们在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍几个重要的不等式，包括柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、柯西反向不等式和霍尔德不等式。

一、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是数学中最基本的不等式之一。

它可以用于证明其他许多重要的定理和不等式。

该不等式表述为：对于任意两个实数序列a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1b1 + a2b2 + … + anbn)² ≤ (a1² + a2² + … + an²)(b1² + b2² + … + bn²)其中“=”号成立当且仅当ai/bi为常数或bi=0。

该不等式可以推广到内积空间中，即对于任意两个向量x和y，有|x·y| ≤ ||x|| ||y||其中“=”号成立当且仅当x与y线性相关。

二、均值不等式均值不等式是一类基本的算术平均值与几何平均值之间的关系。

它包括算术平均不等式、几何平均不等式和调和平均不等式。

1. 算术平均不等式对于任意n个非负实数a1, a2, …, an，有(a1 + a2 + … + an)/n ≥√(a1a2…an)其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。

该不等式表明，n个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。

2. 几何平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有(a1a2…an)^(1/n) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。

该不等式表明，n个正实数的几何平均值小于等于它们的算术平均值。

3. 调和平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n ≤ (n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an))其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。

高中竞赛之重要不等式精简版

高中竞赛之重要不等式1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）定理1 对任意实数组,(1,2,,)i i a b i n = 恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当时成立。

本不等式称为柯西不等式。

证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。

证明1左=2212ni i i i j j i i ja b a b a b =≠+∑∑ ∴右-左=当且仅当时，等式成立。

柯西不等式的两个推论：ⅰ．设同号（），则当且仅当时取等号。

ⅱ．若，且，则（分母作和）由柯西不等式可以证下面的不等式。

3次可以推广为4、5等n 次。

3333333333123123123111222333(a +a +a )(b +b +b )(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) ≥证明:对333333123123(a +a +a )(b +b +b )和3333123111222333(c +c +c )(a b c +a b c +a b c ) 分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.柯西不等式的推广：闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，0k >且1k ≠ ，则（）（）当且仅当1212n na a ab b b === 时等号成立。

闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。

若记，，则上式为特例：多个根式可转化为一个根式。

赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令12αβ== ，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。

2〔排序不等式，排序原理〕（给的是两列数且为对称的）设n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有∑∑∑===-+≤≤ni i i n i t i ni in i b a b a ba i 1111．即“反序和”≤“乱序和”≤“同序和”．其中{}{}n t t t n ,,2,1,,,21 =．当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立．〔切比雪夫不等式〕实数i a ，i b 满足n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21（1=i ，2，…，n ）．则∑∑∑∑=-+===≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥ni i n i n i i n i i n i i i b a n b n a n b a n 111111111．当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立．下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解。

28个著名不等式

28个著名不等式（原创实用版）目录1.引言：介绍 28 个著名不等式的背景和意义2.第一部分：几何平均数与算术平均数的关系3.第二部分：柯西 - 施瓦茨不等式4.第三部分：切比雪夫不等式5.第四部分：赫尔德不等式6.第五部分：闵可夫斯基不等式7.第六部分：排序不等式8.第七部分：三角函数不等式9.第八部分：对数函数与指数函数不等式10.结论：总结 28 个著名不等式的应用领域和价值正文在数学领域，不等式是一种重要的概念和工具，它们在解决各种问题中起着关键作用。

本文将介绍 28 个著名的不等式，这些不等式涵盖了几何、代数、微积分等多个数学领域，对于数学研究和实际应用都具有重要的意义。

首先，我们来看几何平均数与算术平均数的关系。

几何平均数是指一组数的乘积开 n 次方根，而算术平均数则是这组数的和除以 n。

在一般情况下，几何平均数总是小于等于算术平均数，这就是著名的几何 - 算术平均数不等式。

接下来，我们要介绍的是柯西 - 施瓦茨不等式。

这个不等式是关于向量的内积与向量的长度的平方之间的关系，它表明了向量的内积总是小于等于向量的长度的平方，当且仅当两个向量共线时，等号成立。

切比雪夫不等式是关于随机变量的离散型概率分布与数学期望之间的关系。

它表明，随机变量的某一时刻的取值与该随机变量的数学期望的绝对值之比，总是小于等于该随机变量的方差的平方根。

赫尔德不等式是关于 p-范数与 Lp 范数之间的关系。

它表明，对于任意的实数 p>1，p-范数总是小于等于 Lp 范数，当且仅当该函数为常数时，等号成立。

闵可夫斯基不等式是关于欧几里得空间中两点之间距离的著名不等式。

它表明，对于任意两点 A、B，其欧几里得距离总是小于等于它们之间的闵可夫斯基距离，当且仅当 A、B 共线时，等号成立。

排序不等式是关于一组数排序后与其反序排列的元素乘积的关系。

它表明，对于任意一组实数，它们的排序后与其反序排列的元素乘积总是小于等于它们的算术平均数的平方。

几个重要的不等式

几个重要的不等式以不等式为标题，写一篇文章。

一、柯西不等式柯西不等式是数学中的一条重要不等式，它可以用来描述向量内积的性质。

假设有两个n维向量a和b，柯西不等式可以表示为：|a·b| ≤ ||a|| ||b||其中，a·b表示向量a和向量b的内积，||a||和||b||表示向量a和向量b的模长。

不等式右边的乘积表示了两个向量的模长乘积，而不等式左边的内积则表示了两个向量之间的相似程度。

柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会超过它们的模长的乘积。

柯西不等式在数学和物理中有广泛的应用。

例如，在信号处理中，柯西不等式可以用来判断两个信号的相关性；在几何学中，柯西不等式可以用来证明三角形的性质；在概率论中，柯西不等式可以用来推导概率的上界。

二、三角不等式三角不等式是数学中的另一条重要不等式，它可以用来描述三角函数之间的关系。

换句话说，正弦函数的和不会超过两个正弦函数的和。

三角不等式在几何学和物理学中有广泛的应用。

例如，在几何学中，三角不等式可以用来证明三角形的性质；在物理学中，三角不等式可以用来推导物理量的上界。

三、均值不等式均值不等式是数学中的一类重要不等式，它可以用来描述数列的性质。

常见的均值不等式有算术平均值不小于几何平均值和几何平均值不小于调和平均值两种形式。

算术平均值不小于几何平均值的不等式可以表示为：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)其中，a1、a2、...、an为正实数。

这个不等式告诉我们，对于任意一组正实数，它们的算术平均值不会小于它们的几何平均值。

几何平均值不小于调和平均值的不等式可以表示为：(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ≥ n/(a1 + a2 + ... + an)这个不等式告诉我们，对于任意一组正实数，它们的几何平均值不会小于它们的调和平均值。

十大不等式放缩式

十大不等式放缩式
十大不等式放缩式包括以下几种：
1、均值不等式：这是最基础的不等式放缩式，用于处理一系列数值之间的关系。

2、琴生不等式：这是一个关于凸函数的不等式，用于在函数图像上寻找一些重要的性质。

3、柯西不等式：这是一个在数学分析中非常有用的不等式，可以用来处理一些复杂的不等式问题。

4、Cauchy-Schwarz不等式：这是线性代数中的一个重要不等式，可以用来处理向量之间的夹角问题。

5、切比雪夫不等式：这是一个关于随机变量的不等式，可以用来估计随机变量的范围。

6、哈代-温伯格不等式：这是一个关于概率分布的不等式，可以用来估计概率分布的性质。

7、博尔扎诺-瓦尔登不等式：这是一个关于可微函数的积分不等式，可以用来估计函数的积分范围。

8、詹森不等式：这是一个关于正态分布的不等式，可以用来估计正态分布的参数范围。

9、施瓦茨不等式：这是一个关于向量内积的不等式，可以用来估计向量内积的范围。

10、赫尔德不等式：这是一个关于函数范数的不等式，可以用来估计
函数范数的范围。

这些不等式在数学分析和应用数学中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和处理各种数值关系和函数性质。

28个著名不等式

28个著名不等式摘要：一、前言二、勾股定理与毕达哥拉斯定理三、算术平均数与几何平均数四、调和平均数与算术平均数五、均值不等式六、柯西- 施瓦茨不等式七、切比雪夫不等式八、马尔可夫不等式九、辛普森不等式十、闵可夫斯基不等式十一、排序不等式十二、琴生不等式十三、Jensen 不等式十四、基本不等式十五、阿姆斯特朗不等式十六、赫尔德不等式十七、闵可夫斯基- 马氏不等式十八、拉格朗日乘数法与KKT 条件十九、排序不等式在组合优化中的应用二十、新闻不等式二十一、塔克尔不等式二十二、最大最小化原理二十三、波利亚- 斯图姆定理二十四、切比雪夫- 马尔可夫不等式二十五、加权排序不等式二十六、李特尔伍德- 费米不等式二十七、闵可夫斯基- 切比雪夫不等式二十八、总结正文：一、前言本文将介绍28 个著名的数学不等式，这些不等式广泛应用于数学、物理、工程等领域，展示了数学的美丽和力量。

二、勾股定理与毕达哥拉斯定理勾股定理是最著名的数学不等式之一，描述了直角三角形的三个边的关系。

毕达哥拉斯定理则说明，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

三、算术平均数与几何平均数算术平均数是一组数的总和除以数的个数，而几何平均数是一组数的乘积的开n 次方。

两者之间有一个不等式关系：对于正数，算术平均数大于等于几何平均数。

四、调和平均数与算术平均数调和平均数是一组数的倒数的算术平均数的倒数。

与算术平均数类似，也有一个不等式关系：对于正数，算术平均数大于等于调和平均数。

五、均值不等式均值不等式是最基本的平均数不等式，它说明对于任何正数，其算术平均数大于等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号。

六、柯西- 施瓦茨不等式柯西- 施瓦茨不等式是复分析中的一个重要不等式，它联系了复数的模和内积，是许多其他不等式的基础。

七、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它描述了独立随机变量之和的分布。

八、马尔可夫不等式马尔可夫不等式是概率论中的一个重要不等式，它说明了在一定条件下，随机变量之和的概率分布的下界。

四个重要基本不等式

四个重要基本不等式在不等式的研究中，重要的基本不等式可以为我们提供有用的指导和帮助，它们在许多证明中都出现过。

下面将介绍四个基本不等式：谢尔宾斯基不等式、泰勒不等式、均值不等式和柯西-施瓦茨不等式。

一、谢尔宾斯基不等式谢尔宾斯基不等式是描述正实数的函数的重要不等式。

谢尔宾斯基不等式指出，对于任意的正实数 $a_1,a_2,\\cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\\cdots,b_n$，有：$$(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)\\cdots(a_n^2+b_n^2)\\geq(a_1b_1+a_2b_2+\\cdots+a_nb_n)^2$$这个不等式有很多证明方法，其中一种是使用归纳法。

我们可以将$n=2$ 的情况作为基础，然后假设不等式在 $n-1$ 个变量的情况下成立，证明它在 $n$ 个变量的情况下也成立。

谢尔宾斯基不等式在数学中有广泛的应用，它在统计物理中被用于描述碰撞的概率，也常常被用于证明其他不等式。

二、泰勒不等式泰勒不等式是在微积分中很常用的一个不等式。

它指出，如果一个函数$f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可导，并且其第二个导数 $f''(x)$ 在该区间上连续，那么对于区间内任意两个点 $x_1$ 和 $x_2$，有：$$f(x_1)+f(x_2)\\leq \\frac{f(a)+f(b)}{2}+(x_1+x_2-\\frac{a+b}{2})f'(\\frac{x_1+x_2}{2})+\\frac{(x_1-x_2)^2}{4}f''(c)$$ 其中 $c$ 是 $x_1$ 和 $x_2$ 之间的一个点。

该不等式的证明可以使用拉格朗日中值定理和二次函数的几何特性。

泰勒不等式有很多应用，常常被用于数学分析、微积分和偏微分方程等领域。

三、均值不等式均值不等式是描述非负实数的函数的一个重要不等式。

它指出，对于任意的非负实数 $a_1,a_2,\\cdots,a_n$，有：$$\\sqrt[n]{a_1a_2\\cdots a_n}\\leq\\frac{a_1+a_2+\\cdots+a_n}{n}$$相等情况是当且仅当所有 $a_i$ 相等时成立。

世界数学史上十个著名不等式

数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。

几个著名不等式

几个著名不等式1 著名不等式柯西不等式对于任意两组实数和有上述不等式只有当时，等号才能成立．证明因为对任意x，有将上式展开得上述二次三项式对任意x均大于等于0，故其判别式不能大于0，所以当判别式等于0时，上述方程有重根，设重根为x=k，则这时所以上述不等式只有当时等号才能成立。

如令，则得柯西不等式在高等代数中的意义是：两个向量的数积不大于两个向量长度的乘积．若则其中例１若都是正数，求证证明构造两个实数列则由柯西不等式得即*赫勒德尔不等式由柯西不等式可得但所以有同理有一般地有现在证明上述不等式对任意不等于2m的正整数也成立（假定所有数列均为正数列）．设共k个实数列设共k个再令则有但所以所以即该不等式对任意不等于2m的整数k也成立．上述不等式的证明有些麻烦，不好记，现用反归纳法给出一个简洁的证明．由证明知，不等式对无穷多个自然数k=2m成立．现在假设不等式对m=k成立．（是k个数列）≤但是左边所以即不等式对m=k-1也成立。

由反归纳法知，不等式对任意整数k均成立．例２设非负实数满足求证．证明当n=1时，结论显然正确．假设命题在n=k时正确，非负实数满足则成立．现设为k+1个非负实数，满足+要证令，则由归纳假设但是，因为，所以所以证毕如果令．这里均为正实数，则得现在证明下面不等式其中均为正有理数，且证明上面的不等式称为赫勒德尔不等式．当为正无理数且满足条件时，上述不等式当然也成立，只要根据“每一无理数都有理数的极限”，便可证明．最后，再应用“算术平均值大于几何平均值”来证明赫勒德尔不等式．对于，得即于是有所以上式是两个实数列的赫勒德尔不等式．对三个实数列情况，即令这时即赫勒德尔不等式对三个实数列也成立．同理可得赫勒德尔不等式又四个…实数列也成立。

令这里．则得当时，上式就是柯西不等式．由上述不等式可得其中，所以即上述不等式称为明可夫斯基不等式．当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和．2 凸函数下面我们给出凸函数定义及其性质．定义2.1如果函数f(x)满足以下条件：对任意x1和x2，有其中，则称f(x)为下凸函数．如果函数f(x)满足下面条件，对任意的x1和x2有其中，则称f(x)为上凸函数．凸函数的几何意义分别用图２－１和图２－２表示．下凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在相应弦的下方，而上凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在弦的上方．显然，当时，即是x1与x2中间的点．反之，当x是x1与x2中间的点时，即x1<x< x2，令有，且，有所以闭区间中所有点均为的形式．反之，也是区间中的点．定理2.1若f(x)是下凸函数，则下面不等式成立：其中证明当n=2时，上式即为下凸函数定义，所以定理成立．现假设k=n时定理成立．当k=n+1时，令这时所以所以定理对k=n+1也成立．同理，对上凸函数f(x)也有其中例３由图形知是上凸函数．所以令，则有除去对数符号，得如果令，上式的意义即为算术平均值大于几何平均值．例４设这时（以后说明为什么下凸函数，所以是下凸函数消去，得除去对数符号，得令，则得即几何平均值大于等于的调和值．例５求证圆内接n边形中，以正n边形面积为最大．证明设圆的半径为Ｒ，内接n边形的面积为Ｓ，n边形各边所对应的圆心角为．则因为都区间是上凸函数．所以上式只有在时等号才能成立，也就是说正n边形面积最大．最后我们给出一些与分析有关的不等式．例６若，求证证明因为，令，所以在上式中，如果令，则令，得另一方面，因为所以当，有令，得当时，．练习2.21.设求证．提示2.已知为实数，，求的极大值．3.利用为凸函数性质，证明算术平均值大于等于几何平均值．。

【精品】重要不等式

【精品】重要不等式
重要不等式是数学限制理论中一个主要的概念，它涉及到重要的数学与科学理论，如代数空间理论、差异方程、微分几何学、可积系统、动力系统等等。

它的使用可以帮助我们解决许多重要的问题，例如求解复杂的系统如地球和太阳系的状态等。

然而，重要不等式的使用是有技巧的，以下给出了一些关于它的经典不等式：
（1）Sobolev不等式：它可以用来描述多元函数的概念，可以推出多元函数在某种意义上需要满足的要求。

（2）Cauchy不等式：它定义了实值函数和复常数函数之间的限制。

它为我们提供了一种计算实值函数的极值的方法。

（3）Jensen不等式：它是一种凸函数的性质，涉及到几何映射以及函数空间中的性质。

它也可以用来检测某些函数的一致性。

（4）Young不等式：它是一个古老的不等式，它最先是在九世紀由Young提出的，它表明两个函数的乘积不能大于其乘积的对角线上的最大值。

它也可以用来检测函数是否是凸函数。

（5）Hölder不等式：它可以用来比较两个函数的大小，它还可以用来描述函数在其它点处的极限性质。

（6）Hausdorff不等式：它的出现可以帮助我们解决因子和模式的相关问题，特别是在狄利克雷栅格中，它可以用来衡量不同函数之间的关系。

以上就是一些重要的不等式，他们可以用来检测函数的性质，可以用来推出实值函数和复常数函数之间的关系，并可以用来计算其它类型的函数的大小关系等等。

它们可以用来帮助我们解决许多计算科学和数学中实践问题，是非常重要的。

几个重要不等式及其应用

几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。

1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a 是非负实数，则12nn a a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。

等号成立当且仅当nb b b === 213．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。

（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn +++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。

（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。

重要不等式公式四个

重要不等式公式四个1. 阿贝尔不等式：阿贝尔不等式是关于整数的不等式，由法国数学家安德烈·阿贝尔于1834年提出，它是数论中最基本且最简单的不等式。

阿贝尔不等式是一个组合体系成立的原理，它认为任意整数分解后就可以被分解为多个指数相同的素数的乘积，而这种分解是唯一的，其格式表示为：$$n = p_1^{a_1}p_2^{a_2} ··· p_k^{a_k}$$其中$P_i(i=1,2,···,k）$是若干不同的质数，而$a_i（i=1,2,···,k）$是因子的指数（也就是同一个质因子出现的次数）。

2. 斯特林公式：斯特林公式是一个有关均值和方差的不等式公式，可以用于证明随机变量边缘分布的一些限制。

该公式由Norwegian康提·斯特林在1907年提出，它的形式如下：$$E[f(X_1，X_2，···，X_n)]≤(E[X_1]，E[X_2]，···，E[X_n])$$其中，$f$是一个被称为斯特林函数的连续可微分函数，$X_1,X_2，···，X_n$分别是n个随机变量，$E[X_i]$则表示随机变量$X_i$的期望值。

3. 希尔伯特不等式：希尔伯特不等式是1909年由David 希尔伯特首次提出的，它是一个有关函数的不等式，它可以用来限制函数的最大值和最小值的范围，表达式如下：$$f(b)−f(a)≤M(b−a)^{k}$$其中，常数$M$和$k$是正实数。

它是求解函数极值问题最基础的不等式。

4. 诺耶－伯拉切不等式：诺耶－伯拉切不等式也称为梯形不等式，是因关于此不等式的研究发现，它把一个实数区间分成了左边的一段和右边的一段，形状类似梯形，因此得名。

它的表达式如下：$$\sum^n_{i=1}m_i(x_i-a_i)^2≥\sum^n_{i=1}m_i(b_i-a_i)^2$$其中，$m_i>0$是系数，$a_i,b_i$分别是第i个相关因子的取值范围，$x_i$是实际取值。

经典不等式

经典不等式不等式是数学中的一个重要概念，它用来描述两个或多个量之间的关系。

经典不等式是指一些在数学中经常出现的不等式，它们有些是基本的，有些则比较复杂。

以下是一些经典不等式的介绍：1.均值不等式（均值不等式，或者AM-GM不等式）：这个不等式表明，对于两个正数a和b，它们的算术平均数(a+b)/2总不小于它们的几何平均数(ab)^(1/2)。

这个不等式在很多场合都非常有用，比如在证明一些几何和物理的问题时。

2.柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：这个不等式是关于向量和向量的点积的一个重要结果。

它表明，对于任何两个向量x和y，它们的点积的模总是小于或等于它们的模的乘积。

这个不等式的用途广泛，特别是在物理和工程领域。

3.三角不等式（Triangle Inequality）：三角不等式是用来描述三角形的边长的关系的。

它表明，对于任何三角形ABC的边a、b和c，总是有a+b>c和a-b<c。

这个不等式在几何学和解析几何学中都有重要应用。

4.排序不等式（Sorting Inequality）：排序不等式也被称为荷兰国旗定理，它描述的是三个不同数值的排序问题。

具体来说，对于任何三个不同的实数a、b和c，总有a+b>c和a+c>b+c。

这个不等式在算法设计和优化问题中非常有用。

5.贝塞尔不等式（Bessel Inequality）：贝塞尔不等式是用来描述正交多项式的的一个重要结果。

它表明，对于任何正整数n和任何实数x，总有(x^2-1)^n>=0。

这个不等式在正交多项式和特殊函数的研究中非常重要。

6.切比雪夫不等式（Chebyshev Inequality）：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要结果，它给出了一个随机变量的取值范围的概率不小于某个值的下界。

具体来说，对于任何实数x和正数k，一个随机变量X满足|X-E[X]|=p<=k的概率不小于1-1/k^2。