数学分析试题及答案解析

2014 ---2015学年度第二学期

《数学分析2》A 试卷

学院 班级 学号（后两位） 姓名

一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为

()C dt t f x

a

+⎰（ ）.

2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f （ ）.

3. 若()⎰

+∞

a

dx x f 绝对收敛，()⎰+∞

a

dx x g 条件收敛，则()()⎰+∞-a

dx x g x f ][必

然条件收敛（ ）. 4. 若()⎰

+∞

1

dx x f 收敛，则必有级数()∑∞

=1

n n f 收敛（ ）

5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）.

6. 若数项级数∑∞

=1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于

正无穷大（ ）.

7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）.

二. 单项选择题（每小题3分，共15分）

1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()⎰a

x dx x f 在[]b a ,上（ ）

A.不连续

B. 连续

C.可微

D.不能确定

2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ）

A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积；

B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()⎰⎰≠b

a

b

a

dx x g dx x f ；

C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()⎰⎰=b

a

b a

dx x g dx x f ；

D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.

3.级数()∑

∞

=--+1

21

11n n n n

A.发散

B.绝对收敛

C.条件收敛

D. 不确定

4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞

→n n u ，则级数∑

n

u 一定收敛；

B. 若1lim

1

<=+∞→ρn

n n u u ，则级数∑n u 一定收敛；

C. 若1,1<>∃+n

n u u

N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛；

D. 若1,1>>∃+n n u u

N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散；

5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n

n

x

a 在收敛区间上各点是绝对收敛的；

B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的；

C. ∑n

n x

a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n

n

x

a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；

三.计算与求值（每小题5分，共10分） 1. ()()()n

n n n n n n

+++∞→ 211lim

.

2. ()⎰dx x x 2cos sin ln

四. 判断敛散性（每小题5分，共15分）

1.dx x

x x ⎰

∞

+++-0

2

113

2.∑∞

=1!

n

n n n

3.

()

n

n

n

n

n2

1

2

1

1

+

-

∑∞

=

五. 判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n n

nx

x f n

2. (][)∞+⋃-∞-=∑,22,2

D x

n n

六．已知一圆柱体的的半径为R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面

030 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10分）

七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分10分)

八. 证明：函数()∑=3

cos n

nx

x f 在()∞+∞-,上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分）

2014 ---2015学年度第二学期

《数学分析2》B 卷 • 答案

学院 班级 学号（后两位） 姓名

一、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.✘

2.✔

3.✘

4. ✔

5. ✔

6. ✔

7. ✔ 二.单项选择题（每小题3分，共15分） 1. B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B

三.求值与计算题（每小题5分，共10分）

1.dx e

x x x x

n

n ⎰

+∞→3

1

22

3

sin lim

解：由于⎰⎰

≤+≤3

10

310

223sin 0dx x dx e x x x n x

n

-------------------------3

分

而

031

11lim

lim 1

31

=+=+∞→∞→⎰n n n n n dx x

---------------------------------4分

故由数列极限的迫敛性得：