2.3函数的应用(Ⅰ)教案

§2.3 函数的应用(Ⅰ)

【学习要求】：1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函数概念的理解；

2.会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题；

3.了解数学知识来源于生活，又服务于生活．

【学法指导】：通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性，初步树立函数的观点.

填一填：知识要点、记下疑难点

1.一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a ≠0)，当 a>0 时，f(x)为增函数；当a<0 时，f(x)为减函数．

2.反比例函数模型f(x)＝k x ＋b (k ，b 为常数且k≠0)．

f(x)＝ ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0) ，当a>0时，减区间为 (－

[问题情境] 我们已经学过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们在实际生活中有着广泛的应用．今天我们尝试一下，怎样从实际问题入手，运用已学过的函数知识来解决一个实际问题．

探究点一 一次函数模型的应用

例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km. 火车出发10 min 开出13 km 后，以120 km/h 匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的关系，并求离开北京2 h 时火车行驶的路程．

分析1： 本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样？

答：变量有路程s 和时间t ，它们的取值范围分别为13≤s≤277,0≤t≤277－13120＝115

. 分析2:所涉及的变量的关系如何？ 答: s ＝13＋120t.

问题:根据分析1、分析2，写出例1的解答过程．

解: 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝115 (h)， 所以0≤t≤115

. 因为火车匀速行驶t h 所行驶路程为120t ， 所以，火车行驶总路程s 与匀速行驶时间t 之间的关系是

s ＝13＋120t(0≤t≤115)． 离开北京2 h 时火车行驶的路程s ＝13＋120×116

＝233 (km)． 小结: 实际问题中列出的函数关系的定义域，要考虑实际问题对自变量的限制．即注意自变量的实际意义．

跟踪训练1 一个水池每小时注入水量是全池的110

，水池还没注水部分的总量y 随时间t 变化的关系式是______． 解析: 设t 小时注满水池，则有110t ＝1，所以0≤t≤10. y 随时间t 变化的关系式为y ＝1－110

t (0≤t≤10)． 探究点二 二次函数模型的应用

例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金. 如果每间日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅游公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

分析1: 本例涉及到哪些数量关系？如何选取变量，其取值范围又如何？

答: 租金提高的钱数与客房减少数，租金与租出客房数等；

变量选为租金提高了x 个2元，0

分析2: 应当选取何种函数模型来描述变量的关系？“总收入最高”的数学含义如何理解？

答: 二次函数，“总收入最高”即求函数的最大值．

问题: 根据分析1、分析2写出例2的解答过程．

解: 设客房日租金每间提高x 个2元，则每天客房出租数为300－10x ，由x ＞0，且300－10x ＞0得：0＜x ＜30，

设客房租金总收入y 元，则有： y ＝(20＋2x)(300－10x)＝－20(x －10)2 ＋8 000(0＜x ＜30)

由二次函数性质可知，当x ＝10时，y max ＝8 000.

所以当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客户租金总收入最高，每天为8 000元.

小结: 解题方法：(1)读题，找关键点；(2)抽象成数学模型；(3)求出数学模型的解；(4)做答．

跟踪训练2 某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l ，如果要使围墙围出的场地面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？

解：设矩形的长为x (0

.由此可得，该函数在x ＝l 4时取得最大值，且S max ＝l 216. 这时矩形的宽为l －2x 2＝l 4.即这个矩形是边长等于l 4

的正方形时，所围出的面积最大．

探究点三 选择函数的拟合问题

例

(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；

(3)利用关系式估计2003年我国的国内生产总值．

解： (1)画出函数图形．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选

择线性函数建立数学模型．如右图所示，设所求的线性函数为y ＝kx ＋b.把直线通过的两点

(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，得k ＝0.6777，b ＝8.2067.因此，所求的

函数关系式为y ＝f(x)＝0.6777x ＋8.2067.

(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)＝0.677 7×1＋

8.2067＝8.8844，f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1， 与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．

(3)假设我国2002年以后国内生产总值还按上面的关系式增长，

则2003年(即x ＝4时)的国内生产总值为y ＝f(4)＝0.6777×4＋8.2067＝10.9175.

所以2003年国内生产总值约为10.917 5万亿元．

小结： 依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法为：

(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式；

(3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题．

跟踪训练3 若用模型y ＝ax 2来描述汽车紧急刹车后滑行的距离y 与刹车时的速度x 的关系．而某种型号的汽

车速度为60 km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为20 m ，在限速100 km/h 的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为60 m ，则这辆车是否超速行驶：____________.

解析： 将(60,0.02)代入y ＝ax 2，得a ＝0.023 600，所以模型为y ＝0.023 600

x 2，当y ＝0.06时， x 2＝0.06×3 6000.02＝3×602，即x ＝603≈60×1.732＝103.92>100.所以这辆车是超速行驶． 练一练：当堂检测、目标达成落实处 1.某文体商店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副20元，球每只5元，该店制订了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只球；②按球拍和球的总价的92%付款．某单位计划购买4副球拍和30只球，该单位若想更省钱，则应选优惠方法 ( )

A ．①

B ．②

C ．两种一样

D ．不能确定

解析：若按第①种优惠方法，共需要花费4×20＋26×5＝210(元)，

若按第②种优惠方法，共需要花费0.92×(4×20＋30×5)＝211.6(元)，所以选A.

2.用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为( )

A ．3 m

B ．4 m

C ．6 m

D ．12 m

解析：设矩形的长为x ，则宽为14(24－2x)， 则矩形的面积为S ＝14(24－2x)x ＝－12

(x 2－12x)＝－12

(x －6)2＋18，所以当x ＝6时，矩形的面积最大． 3.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )

A ．10元

B ．20元

C ．30元 D.403

元 解析：设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1

＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15

－20＝10. 课堂小结：1.解答数学应用题的关键有两点：(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；(2)要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解．