线性代数期末总复习

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线性代数期末考试复习资料

基本概念下方是正文1. 余子式ij M 和代数余子式ij A ，(1)i j ij ij A M +=-，(1)i j ij ij M A +=-。

2. 对称矩阵：T A A =。

3. 伴随矩阵111*1n n nn A A A A A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，组成元素ij A ，书写格式：行元素的代数余子式写在列。

4. 逆矩阵AB BA E ==，称A 可逆。

若A 可逆，则11AA A A E --==.5. 分块对角阵12A O A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭，12A A A =⋅，11112A O A O A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭。

6. 初等行（列）变换：① 对换两行或两列；② 某行或某列乘以非零常数k ；③ 某行（列）的k 倍加到另一行（列）。

7. 等价矩阵：① 初等变换得来的矩阵；② 存在可逆矩阵,P Q ，使得PAQ B =。

8. 初等矩阵：初等变换经过一次初等变换得来的矩阵，① (,)E i j ；② (())E i k ；③(,())E j i k 。

9. 矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数。

1()0,0k k r A k D D +=⇔∃≠∀=。

10. 线性表示：存在12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，等价于非齐次方程组Ax β=有解12,,,n k k k 。

11. 线性相关：存在不全为0的数12,,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++=，等价于齐次方程组0Ax =有非零解。

12. 线性无关：11220n n k k k ααα+++=成立120n k k k ⇒====，等价于齐次方程组0Ax =仅有零解。

13. 极大无关组：12,,,n ααα中r 个向量12,,,r βββ满足：① 线性无关；②12,,,n ααα中任意向量可由其表示或12,,,n ααα中任意1r +个向量线性相关，则称12,,,rβββ为12,,,n ααα的极大无关组。

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3. 计算
降阶：按行、按列展开公式，但在展开之前往往先用性质对行列式做恒等变换，化简之后再展开。数学归纳法、递推法、公式法、三角化法、定义法把每一行（列）加至“第”一行（列）；把每一行（列）均减去“第”一行（列）；逐行（列）相加（减）; 当零元素多时亦可立即展开. 爪型行列式计算
4. 应用
（ii） AX = 0 只有零解 ⇔ 秩（A）＝ n = 未知量的个数. （iii） A是方阵时，AX = 0 只有零解 ⇔ | A |≠ 0.
(2)、非齐次线性方程组 AX = b (i) AX = b 有解 ⇔ b可以由 A的列向量组线性表示； ⇔ r ([ A, b])＝r ( A) AX = b 无解 ⇔ r ([ A, b]) ≠ r ( A)
有解的充要条件是 a1 + a2 = a3 + a4 ，并在有解时求出方程组的通解。
解：对方程组的增广矩阵 [A b] 作初等行变换化为阶梯形矩阵得：
1 0 [ A b] = 0 1
1 0 → 0 0 2 1 0 2
2 1 0 3
0 0
0 0 2 0 1 2 1 −2
2 2 λ1 y12 + λ2 y2 + L + λn yn
A为实对称矩阵.
求正交矩阵 T 使得 T −1 AT＝diag{λ1 , λ2 ,L , λn } = T T AT
3、正定矩阵
(1) 定义 f ( x1 , x2 ,L xn ) = X T AX 为正定（半正定、负定、半负定）二次型 A为正定矩阵：实的、对称的且对任何X ≠ 0, 都有X T AX > 0 对称的 AX （2）性质（i）设A为正定实对称阵,则AT , A−1 , A∗均为正定矩阵; （ii） A, B均为n阶正定矩阵, 则A + B也是正定矩阵. 若

线性代数期末复习知识点资料整理总结

行列式1.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等TD D =.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =推论2如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1已知，那么（）A.-24B.-12C.-6D.12答案B解析2.余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++ 或 1122j j j j nj njD a A a A a A =+++ ()1,2,,;1,2i n j n ==定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++= 或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠ ()1,2,,;1,2i n j n == 例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____;213122322333a A a A a A ++=___0___.4.行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =-（3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212nn(1)λλλλλλ-=- （4）三角行列式1111121n 2122222n1122nnn1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素33=1，按该行展开,D=3333,不用忘记B 。

线性代数期末总复习(PPT)

反对称矩阵: AT = －A
A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运算 AB = C 其中 cij aik bkj , Am s , Bsn ,C mn
k 1 n
AT: AT 的第 i 行是 A 的第 i 列.
|A|= detA , A必须是方阵.
三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) A+B=B+A; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O = O + A = A; A + (－A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A = kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。 (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (4) AO =OA = O.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式D ≠0 ，原方程组有惟一解 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn = . D D D 其中Dj ( j = 1,2,…,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。
n
i j i j i j i j
●定义法
●递推法
计算
●加边法

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11
推论2.1 任意m(m>n)个n维向量线性相关.
（注：由于没有m阶子式，故R(A)<m）
推论2.2 m个n维向量线性无关的充要条件是由它们组成的m n矩阵的秩为m(m n).
推论2.3 n 个n维向量线性无关（相关）的充要条件是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0).
12
如果向量组1, 2 L
则方程组有向量形式 x11 x22 L xnn b 7
2.2 向量的线性关系
定义2.4 设有同维向量1,2 ,L ,n , ，如果存在
一组数 k1, k2 ,L , kn ，使得 k11 k22 L knn 成立，
则称向量可由向量组 1,2 ,L ,n 线性表示，或称向量
是向量组 1,2 ,L ,n 的线性组合。
26
向量组的等价
如果向量组A 可由向量组B线性表示，且B 可由A线性表示，则称A与B等价。
（1）自反性：任何向量组都与自身等价。
性
质
（2）对称性：如果向量组A与B 等价，则B
与A等价。
（3）传递性：如果向量组A与B等价，B与C 等价，则A与C等价。
相互等价的线性无关向量组含有相同的向量个数
设A Amn , R( A) r n, 则方程组 Ax 0的基础解系含有n - r个解向量。
基础解系： 1，2 ,L nr
通解定义2.11 x k11 k22 L knr nr
k1, k2 ,L
kn
为任意实数
r
下面来看如何求齐次线性方程组的通解(书上P61)。
30
非齐次线性方程组
a11x1a12 x 2 L a1n xn b1
1
2
3
4

线性代数期末复习要点

注：一般而言， 1o ( AB)k Ak Bk ，正确： ( AB)k (AB)(A B)( AB) ；
k个
2o ( A B)(A B) A2 B2，正确： ( A B)(A B) A2 AB BA B2 ；
3o ( A B)2 A2 2AB B2 ，正确： ( A B)2 A2 AB BA B2 。
A22
An
2
A2n
Ann
称为
A
的伴随矩阵。
2、n 阶方阵可逆的充要条件：
A
0
A 可逆，且 A1
1 A
A 。
3、逆矩阵的性质： 1o ( A1 )1 A ； 3o ( AT )1 ( A1 )T ；
4、伴随矩阵的性质：
2o ( AB)1 B1 A1 ；
4o
(kA)1
1 k
A1
（k
1、 Ax 0的基础解系：解向量组的一个极大无关组。
2、 Ax 0解的定理：只有当 R( A) r n 时，才存在基础解系，且 n r 个线性无关的解向量组成的向量组 v1、v2、、vnr 是 Ax 0的基础解系，其线性组合
v c1v1 c2v2 cnrvnr 是 Ax 0的全部解。 3、基础解系的求法：
组有且仅有唯一解，且
xj
Dj D
（ j 1,2,, n ）
注：齐次线性方程组有非零解 D 0。（逆否命题：齐次线性方程组仅有零解 D 0。）
第二章矩阵
一、矩阵的定义：矩形数表。
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法、减法：只有同型矩阵才可以进行加减运算。
2、数与矩阵的乘法：数与矩阵的乘法是数与矩阵每一个元素相乘；而数与行列式的乘积是数与行列式中某一行（列）的每一个元素相乘。

线性代数期末复习题

线性代数复习题一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×)1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即333332222211111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( ) 2. 假设一个行列式等于零，则它必有一行〔列〕元素全为零，或有两行〔列〕完全一样，或有两行〔列〕元素成比例. () 3. 假设行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. () 4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. () 5. 假设矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. () 6. 假设矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A )=R (B ). () 7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. () 8. 假设向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. () 9. 向量组s ααα,...,,21中，假设1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. () 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. () 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. () 12. 齐次线性方程组一定有解. ()13. 假设λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-λ为1-A 的特征值. () 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. () 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. () 16. 假设矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). () 二、单项选择题 1.设行列式,,2123121322211211n a a a a m a a a a ==则行列式=++232221131211a a a a a a ()2. 行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( )3.四阶行列式111111111111101-------x 中*的一次项系数为 ( )4. 设,..................... ,......... (112)11,12,11,12122122221112111nnn n n nn n n nnn n n n a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D ---==则D 2与D 1的关系是 ( )5.n 阶行列式a b b a bab a D n 0000000000=的值为 ( )6. ,1002103211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-A 则=*A ( )7. 设A 是n 阶方阵且5=A ，则=-1T )5(A ( )8. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵)(n m ≠，则以下运算结果是m 阶方阵的是 ( ) 9. A 和B 均为n 阶方阵，且2222)(B AB A B A ++=+，则必有 ( )10. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有 ( ) 11. 设A 是方阵，假设有矩阵关系式AC AB =，则必有 ( ) 12. 方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=133312321131131211232221333231232221131211,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ，以及初等变换矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001 ,10000101021P P ，则有 ( )13. 设A 、B 为n 阶对称阵且B 可逆，则以下矩阵中为对称阵的是 ( ) 14. 设A 、B 均为n 阶方阵，下面结论正确的选项是 ( )(A) 假设A 、B 均可逆，则A +B 可逆 (B) 假设A 、B 均可逆，则AB 可逆 (C) 假设A+B 均可逆，则A －B 可逆 (D) 假设A +B 可逆，则A 、B 均可逆15. 以下结论正确的选项是 ( )(A) 降秩矩阵经过假设干次初等变换可以化为满秩矩阵 (B) 满秩矩阵经过假设干次初等变换可以化为降秩矩阵 (C) 非奇异阵等价于单位阵 (D) 奇异阵等价于单位阵16. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中 ( )(A) 所有r －1阶子式都不为0 (B) 所有r －1阶子式全为0 (C) 至少有一个r 阶子式不为0(D) 所有r 阶子式都不为017. 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，且ABC = E ，以下式子(1) BCA = E ， (2) BAC = E ， (3) CAB = E ， (4) CBA = E 中，一定成立的是 ( ) (A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)18. 设A 是n 阶方阵，且O A =s (s 为正整数)，则1)(--A E 等于 ( )19. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=412101213A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A 中位于(1, 2)的元素是 ( ) (A) －6 (B) 6 (C) 2 (D) －220. A 为三阶方阵，R (A ) = 1，则 ( )21. 43⨯矩阵A 的行向量组线性无关，则矩阵A T的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 422. 设两个向量组s ααα ..., , ,21和s βββ ..., , ,21均线性无关，则 ( )(A) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββλλλ (2211)(B) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得 (C) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得(D) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21和不全为0的数s μμμ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββμμμ (2211)23. 设有4维向量组621 ..., , ,ααα，则 ( )(A) 621 ..., , ,ααα中至少有两个向量能由其余向量线性表示 (B) 621 ..., , ,ααα线性无关 (C) 621 ..., , ,ααα的秩为4 (D) 上述说法都不对24. 设321 , ,ααα线性无关，则下面向量组一定线性无关的是 ( ) 25. n 维向量组)3( ..., , ,21n s s ≤≤ααα线性无关的充要条件是 ( )(A) s ααα ..., , ,21中任意两个向量都线性无关(B) s ααα ..., , ,21中存在一个向量不能用其余向量线性表示(C) s ααα ..., , ,21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (D) s ααα ..., , ,21中不含零向量 26. 以下命题中正确的选项是 ( )(A) 任意n 个n +1维向量线性相关 (B) 任意n 个n +1维向量线性无关 (C) 任意n +1个n 维向量线性相关(D) 任意n +1个n 维向量线性无关27. 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0......0...0...221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数行列式D =0，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解28. 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212111212111的系数行列式D =0，把D 的第一列换成常数项得到的行列式01≠D ，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解29. A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是 ( )(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关(D) A 的行向量线性相关30. A 为n m ⨯矩阵，且方程组b Ax =有唯一解，则必有 ( ) 31. n 阶方阵A 不可逆，则必有 ( )n R <)( )A (A 1)( )B (-=n R A 0=A )C ((D) 方程组0=Ax 只有零解32. n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩为n +1，则此方程组 ( )(A) 有唯一解(B) 有无穷多解(C) 无解(D) 不能确定其解的数量33. 21 ,ηη是非齐次线性方程组b Ax =的任意两个解，则以下结论错误的选项是 ( )(A) 21ηη+是0=Ax 的一个解 (B) )(2121ηη+是b Ax =的一个解(C) 21ηη-是0=Ax 的一个解(D) 212ηη-是b Ax =的一个解34. 假设4321 , , ,v v v v 是线性方程组0=Ax 的根底解系，则4321v v v v +++是该方程组的 ( )(A) 解向量(B) 根底解系(C) 通解(D) A 的行向量35. 假设η是线性方程组b Ax =的解，ξ是方程0=Ax 的解，则以下选项中是方程b Ax =的解的是 ( ) (C 为任意常数)36. n m ⨯矩阵A 的秩为1-n ，21 ,αα是齐次线性方程组0=Ax 的任意两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0=Ax 的通解为 ( ) 37. n 阶方阵A 为奇异矩阵的充要条件是 ( )(A) A 的秩小于n 0 )B (≠A (C) A 的特征值都等于零(D)A 的特征值都不等于零38. A 为三阶方阵，E 为三阶单位阵，A 的三个特征值分别为3 ,2 ,1-，则以下矩阵中是可逆矩阵的是 ( )39. 21 ,λλ是n 阶方阵A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为21 ,ξξ，则 ( )(A) 1ξ和2ξ线性相关 (B) 1ξ和2ξ线性无关 (C) 1ξ和2ξ正交(D) 1ξ和2ξ的积等于零40. A 是一个)3( ≥n 阶方阵，以下表达中正确的选项是 ( )(A) 假设存在数λ和向量α使得αA αλ=，则α是A 的属于特征值λ的特征值 (B) 假设存在数λ和非零向量α使得0=-αA E )(λ，则λ是A 的特征值 (C) A 的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D) 假设321 , ,λλλ是A 的三个互不一样的特征值，321 , ,ααα分别是相应的特征向量，则 321 , ,ααα有可能线性相关41. 0λ是矩阵A 的特征方程的三重根，A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有 ( )42. 矩阵A 与B 相似，则以下说法不正确的选项是 ( )(A) R (A ) = R (B ) (B) A = BB A = )C ((D) A 与B 有一样的特征值43. n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件44. n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件是 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 的n 个列向量都是单位向量 (C) 1T -=A A(D)A 的n 个列向量是一个正交向量组45. A 是正交矩阵，则以下结论错误的选项是 ( )1 )A (2=A A )B (必为1T 1 )C (A A =-(D) A 的行(列)向量组是单位正交组46. n 阶方阵A 是实对称矩阵，则 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 相似于对角矩阵T 1 )C (A A =-(D) A 的n 个列向量是一个正交向量组47. A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，AC C B T =，则 ( )(A) A 与B 相似(B) A 与B 不等价 (C) A 与B 有一样的特征值(D) A 与B 合同三、填空题1. 44513231a a a a a k i 是五阶行列式中的一项且带正号，则i = ，k = .2. 三阶行列式987654321=D ，ij A 表示元素ij a 对应的代数余子式，则与232221cA bA aA ++ 对应的三阶行列式为.3. 022150131=---x ，则* = . 4. A ，B 均为n 阶方阵，且0 ,0≠=≠=b a B A ，则=T )2(B A ，=-121AB . 5. A 是四阶方阵，且31=A ，则=-1A ，=--1*43A A . 6. 三阶矩阵A 的三个特征值分别为123-,,，则=---*134A A . 7. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221131211a a aa a a A ，B 是方阵，且AB 有意义，则B 是阶矩阵，AB 是行列矩阵.8. 矩阵n s ij c ⨯=)( , ,C B A ，满足CB AC =，则A 与B 分别是，阶矩阵. 9. 可逆矩阵A 满足O E A A =--22，则=-1A .10. T 3T 2T 1)2 ,3 ,1( ,) ,0 ,( ,)1 ,1 ,1(===αααy x ，假设321 , ,ααα线性相关，则*，y 满足关系式.11. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性关. 12. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大.13. 设A 是43⨯矩阵，3)(=A R ，假设21 ,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，则该方程的通解为.14. A 是n m ⨯矩阵，)( )(n r R <=A ，则齐次线性方程组0=Ax 的一个根底解系中含有解的个数为.15. 方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+32121232121321x x x a a 无解，则a =.16. 假设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213211x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ需要满足.17. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，则* =.18. 向量α、β的长度依次为2和3，则向量积[, ]+-=αβαβ. 19. 向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324 ,201b a ，c 与a 正交，且c a b +=λ，则=λ，c =.20. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111x 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b aA 的特征向量，则a =，b =. 21. 三阶矩阵A 的行列式8=A ，且有两个特征值1-和4，则第三个特征值为.22. 设实二次型),,,,(54321x x x x x f 的秩为4，正惯性指数为3，则其规形),,,,(54321z z z z z f 为.23. 二次型233221321342),,(x x x x x x x x f +-=的矩阵为.24. 二次型),,(z y x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--050532021，则此二次型=),,(z y x f .25. 二次型31212322213212232),,(x x x x tx x x x x x f ++++=是正定的，则t 要满足. 四、行列式计算1. A ，B 为三阶方阵，2 ,1-==B A ，求行列式A AB 1*)2(-.2. 行列式219221612132402-----=D ，求4131211145A A A A ++-.3. 计算n 阶行列式2...010 (201) (02)=n D ，其中主对角线上的元素都是2，另外两个角落的元素是1，其它元素都是0.4. 计算n 阶行列式xaa a xa a ax D n .........=.5. 计算n 阶行列式21...00000 (2100)0 (1)2100...012 =n D .6. 计算行列式dx c b ad c x b a d c b x a d c b ax ++++.7. 计算行列式yy x xD -+-+=1111111111111111.8. 计算行列式3......3 (32)12121+++=n n n n x x x x x x x x x D .五、矩阵计算1. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=042132 ,121043021B A ，求 (1)T AB ；(2)14-A .2. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=115202 ,212241222B A ，且X B AX +=，求*.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101020102A ，B 均为三阶方阵，E 为三阶单位阵，且B A E AB +=+2，求B .4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2000120031204312 ,1000110001100011C B ，E 为四阶单位阵，且矩阵*满足关系式E B C X =-T )(，求*.5. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=310021 ,110162031B A ，且B XA =，求*.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，问：当k 取何值时，有 (1)1)(=A R ；(2)2)(=A R ；(3)3)(=A R .六、向量组的线性相关性及计算1. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1325 ,3214 ,2143 ,21114321αααα，求向量组4321 , , ,αααα的秩和一个最大线性无关向量组，并判断4321 , , ,αααα是线性相关还是线性无关.2. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 ,1301 ,3192 ,01414321αααα，求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示.3. 当a 取何值时，向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a 2121 ,2121 ,2121321ααα线性相关？4. 将向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014 ,131 ,121321ααα规正交化.七、线性方程组的解1. 给定向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=9410 ,1203 ,4231 ,30124321αααα，试判断4α是否为321 , ,ααα的线性组合；假设是，则求出线性表达式.2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x .3. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x .4. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++022232212321321x k x x k kx x x kx x x 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.5. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++=+-+2)1(2221)1(321321321kx x k kx x kx kx x x k kx 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.6. 非齐次线性方程组b Ax =为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 543215432543215432133453622 3232，问：当a 、b 取何值时，方程组b Ax =有无穷多个解？并求出该方程组的通解.7. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值.8. 设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，321 , ,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解.9. 设非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵()b A A =，A 经过初等行变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→300001311021011λA ，则 (1) 求对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个根底解系； (2) λ取何值时，方程组b Ax =有解？并求出通解.八、方阵的特征值与特征向量1. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000002 ,10100002y x B A ，假设方阵A 与B 相似，求*、y 的值.2. 设方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010000010010y A 的一个特征值为3，求y 的值. 3. 三阶方阵A 的特征值为1、2、3-，求行列式E A A 231++-的值.4. 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值与对应的特征向量.5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110A ，求可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.7. 矩阵110430102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A , 判断是否存在一个正交矩阵P , 使得1-=P AP Λ为对角矩阵. 8. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=342432220A 的特征值为1、1、8-，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵. 九、二次型1. 当t 取何值时，32312123222132142244),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型？ 2. 求一个正交变换把二次型123122331(,,)222f x x x x x x x x x =++化成标准形.十、证明题1. 向量组r ααα ..., , ,21线性无关，而r r αααβααβαβ+++=+==... ..., , ,2121211，证明：向量组r βββ ..., , ,21线性无关.2. 设A 、B 都是n 阶对称阵，证明：AB 是对称阵的充要条件是AB = BA .3. 方阵A 满足O E A A =--1032，证明：A 与E A 4-都是可逆矩阵，并求出它们的逆矩阵.4. 设A 、B 为n 阶对称阵，且B 是可逆矩阵，证明：A B AB 11--+是对称阵.5. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*-=n A A .6. 向量b 可由向量组321 , ,a a a 线性表示且表达式唯一，证明：321 , ,a a a 线性无关.7. 设321 , ,ααα是n 阶方阵A 的三个特征向量，它们的特征值互不相等，记321αααβ++=，证明：β不是A 的特征向量.8. 向量组321 , ,a a a 线性无关，3133222114 ,3 ,2a a b a a b a a b +=+=+=，证明：向量组321 , ,b b b线性无关.9. 设0η是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21 ,ξξ是对应的线性方程组0=Ax 的一个根底解系，证明：(1) 101202, ==++ηηξηηξ都是b Ax =的解；(2) 210 , ,ηηη线性无关.10. A 是n 阶方阵，E 是n 阶单位阵，E A +可逆，且1))(()(-+-=A E A E A f ，证明：(1) E A E A E 2)))(((=++f ；(2) A A =))((f f .11. 设方阵A 与B 相似，证明：T A 与T B 相似.12. 方阵A 、B 都是正定阵，证明：B A +也是正定阵.13. 设n 阶行列式n D 的元素满足n j i a a ji ij ..., ,2 ,1 , ,=-=，证明：当n 为奇数时0=n D .14. A 为正交阵，k 为实数，证明：假设A k 也是正交阵，则1±=k .15. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，证明：(1) 矩阵AB 是正交阵；(2) 矩阵1-AB 是正交阵.16. 假设A 是n 阶方阵，且T =AA E ，| A | =－1，这里E 为单位阵. 证明：| A +E | = 0.。

线性代数期末复习

二、相似矩阵 1、相似矩阵的定义与性质。、相似矩阵的定义与性质。性质 2、区分矩阵相似、矩阵等价（P.54 定义 1. 15）、矩阵合、区分矩阵相似、矩阵等价（等价）同的概念。同的概念。
三、矩阵的对角化 1、矩阵可以对角化的判定（定理 4 . 9 及其推论、、矩阵可以对角化的判定（判定定理 4 . 10 ）。 2、当矩阵 A 可以对角化时，求出可逆矩阵 P、对角矩阵、可以对角化时，、 Λ，使 P −1 A P = Λ 。进而，可以对角化时，进而，当矩阵 A 可以对角化时，r ( A ) = 矩阵 A 的非零特征值的个数。征值的个数。 3、实对称矩阵 A 的对角化：求出正交矩阵 Q、对角矩阵、实对称矩阵对角化：、 Λ ，使 Q− 1 A Q = Λ 。 4、当矩阵 A 可以对角化时，利用矩阵 A 的特征值和特征、可以对角化时，向量，向量，求出矩阵 A 以及 A k 。
9、练习1. 6 的 3、求解下列矩阵方程：、练习求解下列矩阵方程：
2 1 0 5 1 1 （3*）X 1 1 2 = 0 0 − 6 3*） 1 2 5 1 0 − 1
0 0 1 （ − 1 2 − 1 ）、 0 2 − 1
16、习题二的 8 ：、考题有时会更难；注：① 考题有时会更难； ② 题中方程组的两个解 γ1 ，γ2 可能会以另一种形式给出：设 4 × 3 矩阵 A 分块为 A = ( α1 ，α2 ，α3 ) ，其中 α i ∈ R4 ，i = 1，2，3，− α1 + α2 = β ，α1 + α3 = β ，且线性，，，方程组 A x = β 满足 r ( A ) = r (A ) = 2 ，试求出该方程组的全部解。的全部解。 17、习题二的 10 ；、 18、习题二的 12 。、

《线性代数》期末复习要点

《线性代数》期末复习要点第一章行列式1、行列式的计算（略）2、Cramer法则：系数行列式D≠0,则方程租有唯一解。

齐次方程租有非零解，则D＝0。

3、Vandermonde行列式。

（略）第二章矩阵1、矩阵的计算（略）2、对称矩阵：A∧T=A。

反称矩阵A∧T=-A。

3、矩阵可逆，则｜A｜≠0。

4、分块矩阵（略）5、初等变换与初等矩阵（略）6、m×n阶矩阵A，B等价，则当且仅当存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使PAQ＝B。

7、（1）可逆矩阵一定满秩，即r=n。

（2）若A的一个r阶子式不等于零，则r（A）≥r，若A的r+1阶子式都为零，则r（A）≤r。

8、矩阵秩的不等式：（1）r（AB）≤min｛r（A），r（B）｝。

（2）A，B分别为m×n阶和n×k 阶矩阵，r（AB）≥r（A）+r（B）-n。

特别的，当AB=0时，r（A）+r（B）≤n。

（3）A，B 均为m×n阶矩阵，则r（A+B）≤r（A）+r（B）。

第三章n维向量空间1、线性相关：（1）k1，k2，kn不全为0且能使kiα1+k2α2+……+knαn＝0成立，则α1，α2，……，αn线性相关。

（2）至少一个向量是其余向量的线性组合。

（3）含零向量的向量组是线性相关的。

（4）n维向量中的两个向量组T1＝｛α1,α2,α3,……,αr｝，T2=｛β1,β2,β3,……βs｝，若T1可由T2线性表示，且r＞s，则T1线性相关。

若T1可由T2线性表示但T1线性无关，则r≤s。

（5）n+1个n维向量一定线性相关。

2、（1）零向量自身线性相关。

非零向量自身线性无关。

（2）向量组中一部分线性相关，则整体线性相关，若向量组整体线性无关，则向量组的一部分线性无关。

3、向量组的任意极大线性无关组都与之等价，向量组的任意两个极大线性无关组都等价。

4、矩阵的秩等于其行（列）向量组的秩。

5、向量空间的基与维数，空间向量的坐标（略）6、基变换和坐标变换：｛α1,α2,α3,……,αr｝，｛β1,β2,β3,……βsr｝是向量空间V的两组基，若有r维方阵C，使［β1,β2,β3,……βs］=［α1,α2,α3,……,αr］C，则称C为从基｛α1,α2,α3,……,αr｝到基｛β1,β2,β3,……βs｝的过渡矩阵（基变换矩阵）。

线性代数期末复习知识点考点总结

线性代数期末复习知识点考点总结1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素；展开后有!n 项；可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转；所得行列式为1D ；则(1)21(1)n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o；所得行列式为2D ；则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置）；所得行列式为3D ；则3D D =；将D 主副角线翻转后；所得行列式为4D ；则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-g⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ；恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑；其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =；证明其有非零解； ④、利用秩；证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈；Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0；⇔TA A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格；推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值；可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论；其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O；则： Ⅰ、12s A A A A =L ；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CA B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ；总可经过初等变换化为标准形；其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合；称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ；若()()r A r B A B = ⇔ :； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似；或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X :；则A 可逆；且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化；当A 变为E 时；B 就变成1A B -；即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =；如果(,)(,)rA b E x :；则A 可逆；且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换；由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭Oλλλ；左乘矩阵A ；i λ乘A 的各行元素；右乘；iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列；符号(,)E i j ；且1(,)(,)E i j E i j -=；例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列；符号(())E i k ；且11(())(())E i k E i k-=；例如：1111(0)11kk k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列；符号(())E ij k ；且1(())(())E ij k E ij k -=-；如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B :；则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆；则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵；B 是n s ⨯矩阵；且0AB =；则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵；则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式；再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C a b Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑L L ；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-L L g g g L g m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =；A 中有n 阶子式不为0；1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <；A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥；A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =；其中A 为m n ⨯矩阵；则：①、m 与方程的个数相同；即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同；方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L ； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M L（向量方程；A 为m n ⨯矩阵；m 个方程；n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭LM （全部按列分块；其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）； ④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m αααL 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =L ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββL 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s αααL 线性相关；则121,,,,s s αααα+L 必线性相关；若12,,,s αααL 线性无关；则121,,,s ααα-L 必线性无关；（向量的个数加加减减；二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量；构成n 维向量组B ：若A 线性无关；则B 也线性无关；反之若B 线性相关；则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关；反之；不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示；且A 线性无关；则r s ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示；则()()r A r B ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔= 向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P L ；使12l A P P P =L ；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘；P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘；Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价；则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价；则0Ax =与0Bx =同解；且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=；则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示；B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示；T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解；考试中可以直接作为定理使用；而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯L 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯L 线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =L L （B AK =））的列向量组具有相同线性相关性K 与B （；()r K r ⇔=组线性无关B 线性无关；则A ；且s r ⨯为K 其中（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=Q ；充分性：反证法）为方阵；可当作定理使用；K 时；r s =注：当 13. ①、对矩阵m n A ⨯；存在n m Q ⨯；m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；②、对矩阵m n A ⨯；存在n m P ⨯；n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s αααL 线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k L ；使得11220s s k k k ααα+++=L 成立；（定义）⇔1212(,,,)0ss x x x ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L M 有非零解；即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<L ；系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ；则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-； 16. 若*η为Ax b =的一个解；12,,,n r ξξξ-L 为0Ax =的一个基础解系；则*12,,,,n r ηξξξ-L 线性无关；5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义）；性质：①、A 的列向量都是单位向量；且两两正交；即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩L ；②、若A 为正交矩阵；则1T A A -=也为正交阵；且1A =±； ③、若A 、B 正交阵；则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵；千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a L11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-g L L L 121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----g g L g ; 3. 对于普通方阵；不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵；不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ；P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ；A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ；其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵；则T C AC B =⇒A B :；（合同、相似的约束条件不同；相似的更严格）； 6. A 为对称阵；则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同；即存在可逆矩阵C ；使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。

线性代数-总复习

一、内容提要
❖过度矩阵设 a1,…, ar 及 b1,…, br 是向量空间 V 的两个基, 则
存在 r 阶矩阵 P, 使 (b1, ,br ) = (a1, ,ar )P
称此关系式为基变换公式. • 称矩阵 P 为从基 a1,…, ar 到基 b1,…, br 的过渡矩阵. • 过渡矩阵是可逆矩阵.
向量组 a1, ,am线性无关的充分必要条件是 R(a1, ,am ) = m
一、内容提要
❖向量组的秩设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个
数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
❖向量组的最大无关组设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, …, ar 为 A 中一个线
一、内容提要
❖行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面. 性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和, 则该行拆开, 原行列式可以表为相应的两个行列式之和. 性质4 对换两行, 行列式值反号. 性质5 若有两行元素对应成比例, 则行列式值为零. 性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去, 行列式的值不变. • 设 A, B 为 n 阶矩阵, 则有 | AB | = | A | | B | .
0 1 0
5
7 0
则 a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 的秩为3, 一个最大无关组为 a1,a2 ,a4 ,
且有 a3 = 2a1 4a2 , a5 = 3a1 5a2 7a4
一、内容提要
❖向量组的线性表示若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A 中的向
量线性表示, 就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示. • 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是

线代期末重点总结

线代期末重点总结一、向量空间1. 向量空间定义向量空间是指具有加法和标量乘法运算的集合，满足一定条件。

a) 任意向量 u、v 属于向量空间 V，有 u + v 属于 V。

b) 任意标量 k 和向量 u 属于 V，有 k * u 属于 V。

c) 向量加法满足交换律、结合律和存在零向量的性质。

d) 标量乘法满足结合律和分配律的性质。

2. 子空间集合 V 的一个子集 W 是 V 的子空间，如果 W 本身也是向量空间。

a) 非空集合 W 对于向量加法和标量乘法封闭。

b) 非空集合 W 包含零向量，即原空间中的零向量也属于子空间 W。

c) 非空集合 W 对于向量加法和标量乘法满足分配律和结合律的性质。

3. 线性相关与线性无关a) 如果存在非零向量 c1, c2, ..., cn，使得线性组合 a1c1 + a2c2 + ... + ancn = 0，其中 ai 是标量，那么称向量组 c1, c2, ..., cn 线性相关。

b) 如果向量组 c1, c2, ..., cn 不是线性相关，那么称它们线性无关。

4. 基与维数a) 如果向量组 v1, v2, ..., vn 线性无关，并且能够生成向量空间 V，那么称它们是 V 的一个基。

b) 向量空间 V 中的向量个数称为维数，记作 dim(V)。

c) 如果 V 的一个基含有 n 个向量，则维数 dim(V) = n。

5. 线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射。

a) 线性变换必须满足保持向量加法性质：T(u + v) = T(u) + T(v)。

b) 线性变换必须满足保持标量乘法性质：T(k * u) = k * T(u)。

二、矩阵表示和运算1. 矩阵表示a) 矩阵是一个二维数组，由若干个行和列组成。

b) 行向量和列向量可用矩阵表示。

c) 线性变换可用矩阵表示。

2. 矩阵乘法a) 两个矩阵 A(m × n) 和 B(n × p) 的乘积 C(m × p) 定义为 C_ij = sum(A_ik * B_kj)，其中 i = 1, ..., m；j = 1, ..., p。

《线性代数》总复习

成行最简形矩阵
1 0 1 0 4
~ A
初等行变换
0 0
0
1 0 0
1 0 0
0 1 0
3 3 0
即得
a5
a3 a1 a2 , 4a1 3a2 3a4
线性方程组
是
线性方程组 b=0? Ax=b
否
线性方程组
齐次方程组
R(A)n
基础解系
初等行变换
有无非零解
行阶梯形矩阵
非齐次方程组
推论: 行列式有两行(列)相同，则此行列式
行
性质
为零。
列
性质3 行列式的某一行(列)的所有元素乘以
式
展开式
数k，等于用数k乘以该行列式。推论: 行列式的某一行(列)所有元素的公因
计算
子可以提到行列式符号外。
应用
性质4 行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则此行列式为零。
行列式
性质5 若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和，即若
是
有无穷多组解
是
否有唯一解否
有效方程数少于未知数
个数？
线性方程组
•向量组的线性相关性与齐次方程组解的关系
向量组1, 2, …, n线
性相关？
是 R(A)n 有非零解否 R(A)=n 只有零解
Ax=(1, 2, …, n)x=0
R(A)＝n?
是只有零解否
否
有无穷多组非零解
是
有效方程数少于未知数
个数？
注意：齐次线性方程组不会出现矛盾方程。
线性方程组
例5.
求 2xx11
x2 5x2
x3 x4 0 3x3 2x4 0

线性代数期末复习

线性代数期末复习一、填空题1. 设n 阶方阵A 满足A 2-A-2E=0，且︱A ︱=2，则︱A-E ︱=＿＿＿2. 设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛543022001，其伴随矩阵A *，则（A *）-1=＿＿＿3. 矩阵A 经有限次初等行变换得到矩阵B ，则方程组AX=0与方程组BX=0的关系是＿＿＿4. 设a 1a 2a 3线性无关，若是a 2-a 1，ka 2-a 3，a 1-a 3也线性无关，则k 应满足的条件为＿＿＿5. 在秩为r 的矩阵中，是否有等于0的阶r-1子式＿＿＿6. 设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300044003，E=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111，则（A-2E ）-1=＿＿＿ 7. 设A=（a 1，a 2，…，a n ）B=（b 1，b 2，…，b n ），其中a 1不全为零，b 1不全为零，则A 的秩R （A ）=＿＿＿8. 设A 、B 都是n 阶菲零方阵，且R （A ）=r ，若AB=0，则R （B ）应满足的条件为＿＿＿二、选择题1、设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛00BA ，则C =＿＿＿ A 、B A B 、-B AC 、（-1）nm B AD 、（-1）n （n-1）/2B A 2、设A 、B 为n 阶方阵，则必有＿＿＿A 、B A B A +=+ B 、AB=BAC 、BA AB =D 、（A+B ）-1=A -1+B -13、设A 为m*n 矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是＿＿＿A、A的列向量组线性无关B、A的列向量组线性相关C、A的行向量组线性无关D、A的行向量组线性相关4、设a1a2…a n为n维向量，则下列结论正确的是＿＿＿A、k1a1+k2a2+…+k n a n=0，则a1a2…a n线性相关B、对任何一组不全为零的数k1k2…k m都有k1a1+k2a2+…+k n a n≠0，则a1a2…a n线性无关C、a1a2…a n线性相关，则对任何一组不全为零的数k1k2…k m都有k1a1+k2a2+…+k n a n=0成立D、若0a1+0a2+…+0a n=0，则a1a2…a n线性无关5、设η1与η2是非其次线性方程组Ax=β的两个不同的解，ξ1与ξ2时对应的其次线性方程组Ax=0的基础解系，k1与k2是任意实数，则Ax=β的通解为＿＿＿A、221ηη-+k1ξ1+k2（ξ1+ξ2） B、221ηη++k1ξ1+k2（ξ1-ξ2）C、221ηη-+k1ξ1+k2（η1+η2） D、221ηη++k1ξ1+k2（η1-η2）6、设A为n阶可逆阵（n≥2），A*为A的伴随矩阵，则＿＿＿A、（A*）*=A n-1AB、（A*）*=A n+1AC、（A*）*=A n-2AD、（A*）*=A n+2A7、设A、B、C是n阶方阵，E为n阶单位阵，若ABC=E，则必有＿＿A、ACB=EB、CBA=EC、BAC=ED、BCA=E8、设n阶方阵A与B等价，则＿＿＿A 、A =B B 、A ≠BC 、若A ≠0，则必有B ≠0D 、A =-B 三、计算1、计算下列行列式（1）n001030100211111⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2）1111111111111111---+---+--x x x x（3）D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯0111110111110111110111110 2、已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---433312120，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-132321，求X 使得XA=B3、解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 4、（1）设n 阶方阵满足A+B=AB ，证明：A-E 可逆，并求（A-E ）-1 （2）证明：m 个n 维向量，当m 〉n 时，它们线性相关 5、设E+AB 可逆，证明E+BA 也可逆，且（E+BA ）-1=E-B （E+BA ）-1A6、设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--82593122，求一个4*2矩阵B ，使得AB=0，且R （B ）=27、求下列向量组的一个最大无关组，并以此最大无关组将其余向量线性表示出。

2021-2022学年线性代数期末总复习(含答案)

线性代数总复习第二章1．设3阶方阵A 可逆，*A 是A 的伴随矩阵，将A 的第1行和第2行互换得B ，则( ). (A) *A 的第1行和第2行互换得*B ；(B) *A 的第1列和第2列互换得*B ； (C) *A 的第1行和第2行互换得*B -；(D) *A 的第1列和第2列互换得*B - 解:B B A A B A B A **11100001010100001010100001010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--**100001010B A -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒则(D)正确。

第三章1. 设21,αα和21,ββ都是线性无关的三维向量，证明：存在三维非零向量γ即可以由21,αα线性表示，也可以由21,ββ线性表示. 证明由于4个3维向量必线性相关，所以存在不全为零的数4321,,,k k k k ，使得024132211=+++ββααk k k k (1)又21,αα和21,ββ都是线性无关的，所以21,k k 和43,k k 都不全为零，（或要证02211≠+ααk k ，采用反证法。

设02211=+ααk k ，则02413=+ββk k 。

由 21,αα和21,ββ都线性无关，得：04321====k k k k与（1）矛盾。

）只要取0--24132211≠=+=ββααγk k k k 即可. 第四章1. λ为何值时，线性方程组⎩⎨⎧=+++=+-+221243214321x x x x x x x x 和 ⎩⎨⎧=-+=+-+λ4214321122x x x x x x x 有公共解，并求出所有公共解。

解因为公共解就是联合方程组的解，由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ1011111222112112111－－－⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ0001310011210121~－－－－11⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ00001310035010360~－－－－01所以，λ＝0时，两个方程组有公共解，R k k x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=,135601332．设3阶非零矩阵A 满足0=AB ，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=413112121B ，求齐次线性方程组0=Ax 的通解。