3．三角形面积公式
(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12
ch c ； (2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12
ca sin B . 4．应用举例
(1)测量距离问题；
(2)测量高度问题；
(3)测量角度问题.
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 (1)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC ＝ . 答案 7
解析 由题意知12×5×8×sin A ＝103，即sin A ＝32
， 又△ABC 为锐角三角形，所以A ＝60°，cos A ＝12
， 所以BC ＝52＋82－2×5×8×12
＝7. (2)已知△ABC 中，若cos B ＝35，C ＝π4，BC ＝2，则△ABC 的面积为 ． 答案 87
反思感悟 利用正弦、余弦定理寻求三角形各元素之间的关系来解决三角形及其面积问题． 跟踪训练1 (1)在△ABC 中，∠A ＝45°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( )
A.12
B.22
C.32
D ．2 3 答案 B
(2)已知锐角△ABC 的面积为3，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
答案 D
解析 S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12
×4×3×sin C ＝3， ∴sin C ＝12
，∵三角形为锐角三角形． ∴C ＝30°.
题型二 几何计算
例2 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，E 在AC 上，若BE ⊥AC ，求ED 的长．
解 在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，
所以∠BAC ＝60°.
因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝32
. 在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，
由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214
，
故ED ＝212
. 反思感悟 正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．
跟踪训练2 在△ABC 中，∠B ＝120°，AB ＝2，∠A 的平分线AD ＝3，求AC 的长． 解 如图，
在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B ＝AB sin ∠ADB
， ∴sin ∠ADB ＝22
. 由题意知0°<∠ADB <60°，
∴∠ADB ＝45°，
∴∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°.
∴∠BAC ＝30°，∠C ＝30°，BC ＝AB ＝ 2.
在△ABC 中，由正弦定理，
得AC sin B ＝BC sin ∠BAC
， ∴AC ＝ 6.
题型三 实际应用
例3 如图，已知在东西走向上有AM ，BN 两个发射塔，且AM ＝100 m ，BN ＝200 m ，一测量车在塔底M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 3 m 后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经计算，tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．
解 在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100 m ，
所以PM＝100 3 m，连接QM，
在△PQM中，∠QPM＝60°，
又PQ＝100 3 m，
所以△PQM为等边三角形，
所以QM＝100 3 m.
在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200 m. 在Rt△BNQ中，因为tan θ＝2，BN＝200 m，
所以BQ＝100 5 m，cos θ＝
5 5.
在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ，
所以BA＝100 5 m.
故两发射塔顶A，B之间的距离是100 5 m.
反思感悟实际应用问题的解决过程实质上就是抽象成几何计算模型，在此过程中注意术语如“北偏西60°”、“仰角”的准确翻译，并转换为解三角形所需边、角元素．
跟踪训练3如图，从无人机A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60 m，则河流的宽度BC等于()
A．240(3－1)m B．180(2－1)m
C．120(3－1)m D．30(3＋1)m
答案 C
解析如图，在△ADC中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，
所以CD＝AD·tan 60°＝603(m)．
在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，
