2020浙江名校新高考联盟第三次联考-数学
2024年浙江省Z20名校联盟(名校新高考研究联盟)高考数学第三次联考试卷(含解析)
2024年浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）高考数学第三次联考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A={x|2≤x<4}，B={x|x−1≥8−2x}，则A∪B=( )A. [2,4)B. [3,4)C. [2,+∞)D. [3,+∞)2.复数5ii−2的虚部是( )A. iB. 1C. −2iD. −23.已知单位向量a，b满足a⋅b=0，则cos<3a+4b，a+b>=( )A. 0B. 7210C. 210D. 14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知S3=a4−2，S2=a3−2，则公比q=( )A. 2B. −2C. 12D. −125.已知A(−2,−2)，B(1,3)，点P在圆x2+y2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最大值为( )A. 16−62B. 26+22C. 26+42D. 326.若函数f(x)=sin(ωx)+cosx的最大值为2，则常数ω的取值可以为( )A. 1B. 12C. 13D. 147.已知[x]表示不超过x的最大整数，若x=t为函数f(x)=x−1e x−1(x<0)的极值点，则f([t])=( )A. 2ee−1B. 3e2e2−1C. 4e3e3−1D. 5e4e4−18.设O为原点，F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点，点P在C上且满足|OP|=32a，cos∠F1P F2=37，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 2x±y=0B. x±2y=0C. 3x±y=0D. x±3y=0二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )A. 数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3B. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，σ越小，表示随机变量X分布越集中C. 已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差为3，则x 1−1，x 2−1，x 3−1，…，x n −1的方差为3D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为y =0.3x −m ，若其中一个散点为(m,−0.28)，则m =410.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23a ⋅sin 2A +C2=b ⋅sinA ，下列结论正确的是( )A. B =π3B. 若a =4，b =5，则△ABC 有两解C. 当a −c =33b 时，△ABC 为直角三角形D. 若△ABC 为锐角三角形，则cosA +cosC 的取值范围是(32,1]11.在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 分别为线段B 1C ，D 1C 1的中点，点P 满足DP =λD D 1+μDB,λ∈[0,1],μ∈[0,1]，则( )A. 当λ+μ=1时，三棱锥D −PEF 的体积为定值B. 当λ=μ=12，四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积是9π4C. △PEF 周长的最小值为32+ 22+12D. 若AP =62，则点P 的轨迹长为π2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三下学期第三次联考数学试题(wd无答案)
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三下学期第三次联考数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知全集，集合，则（）A．B．[2，4)C．D．(★★) 2. 椭圆的焦点是（）A．B．C．D．(★★★) 3. 若复数( 为虚数单位)满足，其中为的共轭复数，表示的虚部，则的值为（）A．B．C．1D．(★★) 4. 设，若，则的（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为(★★★) 5. 若实数，满足约束条件则的最大值为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 函数的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 7. 已知数列满足 ， ，则“ ”是“对任意 ，都有”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(★★★★) 8. 随机变量 的分布列是（）246A ．B ．C ．D ．(★★★) 9. 已知空间向量两两相互垂直，且 ，若则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 10. 已知函数（ ）命题①：对任意的是函数的零点；命题②：对任意的是函数的极值点.A．命题①和②都成立B．命题①和②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立二、填空题(★★) 11. 大约在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年，已知为原点，，若，则线段长的最小值为_____________(★★★) 12. 由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位数中，相邻两个数字的差的绝对值不超过2的情况有 _______ 种(用数字作答)(★★★) 13. 函数在区间上的最大值记为，最小值记为.若函数，_______三、双空题(★★) 14. 在二项式的展开式中，系数为有理数的项的个数是_______；二项式系数最大的项为_______.(★★★) 15. 某四棱锥的三视图如图所示，则它的体积为_______，表面积为_______(★★) 16. 如图，在平面凸四边形中，为对角线的中点.若.则_______，_______.(★★★★★) 17. 斜线与平面成15 °角，斜足为，为在内的射影，为的中点，是内过点的动直线，若上存在点，使，则则的最大值是_______，此时二面角平面角的正弦值是_______四、解答题(★★★) 18. 已知函数.（1）求函数的最小正周期及的值；（2）若方程在上有3个解，求实数的取值范围.(★★★★) 19. 如图，在中，，，为的中点，，.现将沿翻折至，得四棱锥.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正切值(★★★) 20. 设数列的前项和为，．（1）求的值及数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得.若存在，求所有满足条件的；若不存在，请说明理由. (★★★★)21. 如图，已知抛物线焦点为，过上一点作切线，交轴于点，过点作直线交于点.（1）证明：；（2）设直线，的斜率为，的面积为，若，求的最小值. (★★★★) 22. 已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）对任意均有，求的取值范围. 注：为自然对数的底数.。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三年级第三次联考数学试题卷
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届第三次联考数学试题卷第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集R,U =，集合4{Z |24},{R |0},1x A x x B x x -=∈≤≤=∈>-则()U A C B =I [].1,4A B ．[2,4) .{2,3,4}C D ．{2,3}2．椭圆2212x y +=的焦点是A ．(±1,0) ().0,1B ±C ．,0) (.0,D 3．若复数1(R,2z bi b i =+∈为虚数单位)满足ln()z z z ⋅=，其中z 为z 的共复数，()ln z 表 小z 的虚部，则1z i +的值为A ．12B ． 2C ． 1D 4．设a ，b>0，若41a b +=则22log log a b +的A ．最小值为2-B ．最小值为4-C ．最大值为2-D ．最大值为4-5.若实数x ，y 满足约束条件220,20,30,x y x y x y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩则233z x y =-+的最大值为A ．-8B ．-5C ．-2D ．15- 6．函数f(x)=sin()cos()4411()()22x x ππ++-的图像可能是7．已知数列{a n }满足*1sin ,N n n a a n +=∈,则10a ≥“”是”任意n ∈N *，都有”1n n a a +≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．随机变量X 的分布列是A ．B．()E X ≤C ．()()E X D X ≥ D ．()()E X D X ≤9．已知空间向量→OA ，→OB ，→OC 两两相互垂直，且|OA OB =u u u r u u u r =||||,OC OP =u u u r u u u r 若OP OA yOB x OC =++±u u u r u u u r u u u r u u u r 则x+y+z 的取值范围是A ．⎡⎢⎣⎦ B ．[]1,1- C ．[ D ．[]2,2-10．已知函数()()1f x g x r ==- 命题①：对任意的0,2r >是函数()()y g f x x =-的零点;命题②：对任意的0,2r >是函数()()y f x g x =-的极值点.A ．命题①和②都成立B ．命题①和②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立,命题②成立第Ⅰ卷(非选择题共110分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．大约在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年，已知O 为原点，|OP|=1，若M(1,4)，则线段PM 长的最小值为 ▲12．在二项式6x 的展开式中，系数为有理数的项的个数是 ▲ ;三项式系数．．．．．最大的项为 ▲ . 13．某四棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ▲ ，表面积为 ▲14．如图，在平面凸四边形ABCD 中,24,AB AD CD BC P ====为对角线AC 的中点.若.PQ =则PD = ▲ ,ABC ∠= ▲ .15．由1,2,3,4,5构成的无重复数字的五位数中，相邻两个数字的差的绝对值不超过2的情况有 ▲ 种(用数字作答)16．函数f(x)在区间A 上的最大值记为max ()x A f x ∈，最小值记为min ()x Af x ∈ .若函数()[][]1,212,31,max min ()x b f x x bx f x ∈∈-=-=则 ▲ 17．斜线OA 与平面α成15°角，斜足为O ，A ‘为A 在α内的射影，B 为OA 的中点，是α内过点O 的动直线.若上存在点P ，P 使1221=3AP B=0P ,PP A B AB ︒∠∠则则的最大值是 ▲ ，此时二面角'12A PP A --平面角的正弦值是 ▲三、解答题：本大题共5小题，共74分。
2020届浙江省高三新高考名校联考信息卷(三)数学试题(解析版)
由题意，作出不等式组 所以表示的平面区域如图中阴影部分，如图所示，
由图可知目标函数 在点 处取得最小值 ，
所以 ，解得 ，
作出直线 ，并平移该直线，当直线经过点 时， 取得最小值1，
当直线经过点 时， 取得最大值4，
因为方程 无解，即直线 与不等式组表示的平面区域没有交点，所以 或 ，
即实数 的取值范围是 ．
【详解】
设 的中点为 ，则 为该圆的圆心，
因为点 ，点 ，所以 的中点 ，即圆心为 ，
又该圆的直径 ，所以该圆的半径为 ，
所以该圆的标准方程为 ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程是解答的关键，着重考查分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想．
5．浙江新高考的要求是“七选三”，即考生从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理和技术这七个科目中选三个．已知某大学某专业对选考科目的要求是物理和化学这两个科目至少选一个，若考生甲想就读该专业，则他的选考方法的种数为（ ）
2．已知 在 上单调递增， ，那么 是 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】先求得命题 为真命题时，求得实数 的范围，再结合充分、必要条件的判定，即可求解．
【详解】
由命题 在 上单调递增，可得 ，
对于命题 ：由 ，解得 或 ，
因此 是 的充分不必要条件．
14．若实数 满足 ，目标函数 的最小值为 ，则实数 的值为_________，若方程 无解，则实数 的取值范围为_________．
【答案】1
【解析】作出不等式组 所以表示的平面区域如图中阴影部分，由目标函数 在点 处取得最小值得到k，方程 无解，即直线 与不等式组表示的平面区域没有交点，结合图象即可.
浙江名校Z20联盟2020届第三次联考数学试卷及参考答案
浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第三次联考 数学参考答案 第 1 页 共 5 页浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第三次联考数学参考答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A D C B B A C C二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11． 12 12．324;402x −− 13．2;4223+ 14．23;3π 15．20 16．1− 17．622;2− 三、解答题: 本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分14分） 【答案】（Ⅰ）T =π，3()34f π=−；（Ⅱ）13[,)44a ∈ 【解析】（Ⅰ）313()2sin cos()cos 2sin 23222f x x x x x π=+−=−， ……（4分） 则最小正周期T =π，……（6分） 3()34f π=−.（直接带入也可） ……（8分） （Ⅱ）3|()|sin(2)221226f x a x a a ππ++=⇒+=−或. ……（10分）35[0,]2[,]4663x x ππππ∈⇒+∈，考虑要有3个解，结合图像可知121,232,2a a ⎧≤<⎪⎪⎨⎪−>−⎪⎩ ……（12分）故13[,)44a ∈. ……（14分）浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第三次联考 数学参考答案 第 2 页 共 5 页19．（本小题满分15分）【答案】（Ⅰ）证明略（Ⅱ）7【解析】（Ⅰ）设F 为DE 的中点，D 为AC 的中点，2BE EA =，则2AD AE ==，故,AF DE A F DE '⊥⊥. 34BP PC =，34BP AB PC AC ==，所以AP 是BAC ∠的角平分线，且,,A F P 三点共线. 由DE FP DE A FP DE A P DE A F ⊥⎧''⇒⊥⇒⊥⎨'⊥⎩面. ……（6分） （Ⅱ）法一：连结AA '.由DE A FP '⊥平面得ABC A FP '⊥平面平面，交线为AP .所以A '在面ABC 上的射影点H 在AP 上.A PH '∠为直线A P '与平面BCD 所成角. ……（9分）由余弦定理得7cos 8CAB ∠=，故1DE =，152AF A F '==，由23AA '=得5sin 5A AP '∠=，所以2155A H '=. ……（11分） 由（Ⅰ）得AP 为角平分线.由余弦定理得6157AP =,21535PH ==. ……（13分） tan 7A H A PH PH''∠==，所以直线A P '与平面BCD 所成角的正切值为7. ……（15分）法二：如图，以F 为原点，,FE FP 为,x y 轴建立空间直角坐标系.……（8分） 111531515515(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(0,((224F E D A B C P −−, 设(0,,)A a b '，由15A F AF '==，23AA '= 222215,415(12,a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ ……（10分） 得315215A '. ……（12分） 平面BCD 法向量为(0,0,1)n = ……（13分）浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第三次联考 数学参考答案 第 3 页 共 5 页 215||725sin 10230||||17PA n PA n θ'⋅==='⋅⋅,则tan 7θ=，所以直线A P '与平面BCD 所成角的正切值为7. ……（15分）20．（本小题满分15分）【答案】（Ⅰ）122221,22,nn n n a n ++⎧−⎪=⎨⎪−⎩为奇数,为偶数;（Ⅱ）存在，{1,3,4}n ∈ 【解析】（Ⅰ）232,3a a ==……（2分） 当n 为奇数时，12212112(1)n n n n n a a a a a −−−=+=+⇒+=+，则1221n n a +=−.……（4分） 当n 为偶数时，2221222222n n n n a a +−==⋅−=−. ……（6分） 综上所述122221,22,nn n n a n ++⎧−⎪=⎨⎪−⎩为奇数,为偶数.……（7分） （Ⅱ）当21n k =−时，21k n a =−，则12121212122k k k A k +=−+−++−=−−.……（9分） 当2n k =时，122k n a +=−，则2312222222224k k k B k ++=−+−++−=−−.……（11分） ①1211223236332222k k k k k k k k S A B k k a a ++++⋅−−===−−−，则1k =时，133222k k +=−舍去。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三第三次联考试题 数学 答案
0，
0
3k 2k +1 −
2
1 ，则不可能为整数.
……（13 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 3 页 共 5 页
②
S2k −1 a2k −1
=
Ak + Bk −1 a2k −1
=
2k+2 − 3k − 4 2k −1
=
4−
3k ，则 k 2k −1
32
2
2
则最小正周期 T = ，
……（4 分） ……（6 分）
f () = − 3 .（直接带入也可） 34
……（8 分）
（Ⅱ） | f (x + ) + 3 |= a sin(2x + ) = −2a或2a .
12 2
6
……（10 分）
x
[0,
3 ] 4
2x
+
6
[
6
,
5 ] 3
，考虑要有
②当 t ( 4 , 3] ， a t + 5 − 1 或 a t − 5 − 1 .
5e
4t
4t
对于 m(t) = t + 5 − 1 ，易得 m(t) 在 ( 4 , 3] 单调递增，故 a [ 5 − e + 3 , +) .
4t
5e
43 e
……（12 分）
对 于 n(t) = t − 5 − 1 ， 求 导 n(t) = 1 − 1
5
5
……（11 分）
由（Ⅰ）得 AP 为角平分线.由余弦定理得 AP = 6 15 , PH == 2 15 .
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2024年(新高考)名校教研联盟高三3月联考数学试题及答案
绝密★启用前（新高考卷）数学参考答案1.【答案】B 【解析】因为56221i i i i 1z ===--+-，所以1i z =-+，故选B.2.【答案】C 【解析】因为{}{}11221A x x x x =-<+<=-<<，{}20022x x B x x x x x ⎧⎫-⎪⎪=+==<<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，所以A B {}01x x =<<，故选C.3.【答案】D【解析】由23BD DA DC =- 得33BD DA DA DC +=- ，即3BA CA = ，又()2,1AC =- ，所以AB =3AC =()6,3-，故选D.4.【答案】D【解析】因为()f x 是偶函数，所以()()()31231228log 8322x x f x f x ax a x +-++--=-=-+=0，所以38a =，故选D 。
5.【答案】D【解析】以8个顶点为球心的球各有18在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有12在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为22的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为344π38⨯⨯⎝⎭，故选D.6.【答案】C【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由2221y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得221221a x a k =+，由OA OB ⊥可得222221a x a k =+=2222a k a k +，所以()22222212211a a k OA k x a k +=+=+，22222222211a a k OB x k a k +⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭，所以()()()22222221111111a k a a k OA OB +++==++，所以22141,33a a +==，C的长轴长为2a =，故选C.7.【答案】A【解析】设()()()ln 10f x x x x =+->，则()1101f x x '=-<+，()f x 在()0,+∞上单调递减，所以()()0f x f <0=，所以()ln 1x x >+，111112ln ln 10111011+>+=6ln 5，()56ln log 61ln55=-，56lg6lg7log 6log 7lg5lg6-=-=()2lg6lg5lg71g5lg6-()2222lg5lg711lg6lg36lg35222=0lg5lg6lg5lg6+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>，所以a b c >>，故选A.8.【答案】A【解析】设圆M 与1PF ，2PF 分别切于点,A B ，则11F A F M '=，且111122F A F M F P AP F F M F ''+=-+-=1212F P F P F F -+=22a c +，所以1F M a c '=+，点(),0M a '，设()()1111,,,P x y Q x y --，则2211221x y a b-=，所以2212221y b x a a =-，12k k =211122111y y y x a x a x a -⋅=----=2221b e a =-，12F M c a F M c a '+='-=11e e +-，所以()2112219FM k k e F M '⋅=+='，2e =，故选A.9.【答案】ACD【解析】由每年增加数均为正数，可得A 正确；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121，B 错误；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为948-33=915，C 正确；当且仅当从33，48，76，84，121中任取两个数字，其平均数均不大于110，所以所求概率为2529C 131C 18-=，D 正确，故选ACD.10.【答案】AD【解析】设l 与()32f x x =-的图象切于点()3,2Q t t -，则切线斜率()26k f t t '==-32t b t a --=-，整理得32460t at b --=，对于A ，若P 与原点重合，则0a b ==，所以0,0t k ==，l 即x 轴，方程为0y =，A 正确；对于B ，若l 与直线60x y -=垂直，则266k t =-=-，1t =±，当1t =时460a b --=，64a b +=，当1t =-时460a b ---=，64a b +=-，B 错误；对于C ，当点P 在()f x 的图象上时32b a =-，3234620t at a -+=，所以2()(2)0t a t a -+=，解得t a =，或2a t =-，当0a ≠时，l 有2条，C 错误；对于D ，设()32460g t t at b =--=，()g t '=212t 120at -=，由()0g t '=得0t =或t a =，符合条件的l 有3条，()g t 有3个零点，则()()()3020g g a b a b =---<，所以()320b a b +<，3210a b +<，312a b <-，D 正确，故选AD ．11.【答案】AB【解析】由()()πf x f x -=-，可得A 正确；由11sin cos 22x x - ，1sin 1x - 得()3322f x - ，当π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=32-，3π342f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；()()cos sin 2sin f x x x x =+，令()0f x =得sin 0x =或cos 0x =，()1π2x k k =∈Z ，31π32π50,5022<>，所以()f x 在()0,50上有31个零点，C 错误；()f x 是以2π为周期的周期函数，当(]0,πx ∈时()3sin 22f x x =，()34f x =在(]0,π上有2个实根12,x x ，且349π2x x +=；当(]π,2πx ∈时()1sin 22f x x =-，()34f x =在(]π,2π上没有实根，()1f x =在(]2π,3π上有2个实根34,x x ，且345π2x x +=，34π5π2π,2π1212x x =+=+，所以29π49π1212t < ，12345πx x x x +++=，所以1234x x x x t ++++的取值范围是89π109π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦，D 错误，故选AB.12.【答案】1-【解析】()612112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()()6516121C 112⨯-+⨯⨯-=-.13.【答案】()()223318x y -+-=【解析】由△ABC 的垂心()2,2G 到直线BC距离d =，设圆E 半径为r ，由塞尔瓦定理可得r EG+(2EG =+，由圆的几何性质可得(222EG r ++=，联立解得EG =r =，因为直线BC 方程为20x y +-=，所以直线EG 方程为y x =，设(),E a a ，则E 到直线BC距离d '=，解得1a =-（舍去）或3a =，所以圆E 的标准方程为()()223318x y -+-=.14.【解析】因为2BD =，由正弦定理得sin 11sin sin tan 242AD A A BAD AD A AD BD ∠===，所以sin A =1tan 2A ，即sin 22sin cos 222cos 2A A A A =，因为sin 02A ≠，所以21cos 24A =，1cos 22A =，2π3A =，所以1cos 2A =-，3sin 2A =，由余弦定理得222BD AB AD AB AD =++⋅3AB AD ⋅ ，所以43AB AD ⋅ ，当AB AD =时取等号，11sin 2S AB AD A =⋅143232⨯⨯，设BC t =，则2CD t =，在△BCD 中由余弦定理得()22222cos 22t t C t t +-=⋅22544t t -=，所以212sin 2S t t C =⋅=253t =时，2S 取得最大值43．所以12SS ．15.【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由580a a +=，4631a a a +=+得11121102821a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，……………………………………………………………………………………………(2分)解得111,2a d =-=，………………………………………………………………………………………………(4分)所以()()111112213n a a n d n n =+-=-+-⨯=-.…………………………………………………………………(6分)(2)由(1)得213n a n =-，()()1221121329n n n n a n b a a n n ++-==--，……………………………………………………………………………………(8分)当4n 时0n b <，…………………………………………………………………………………………………(10分)当5b =110313-=>-⨯，6110133b ==-<-⨯，560b b +=，7n 时0n b >，……………………………………………………………………………………………………(12分)所以n S 最小时n 的值为4或6.……………………………………………………………………………………(13分)16.【解析】(1)取CD 中点O ，连接AO ，BO ，由已知可得AC AD BC BD ===，所以,AO CD BO CD ⊥⊥，因为AO BO O = ，所以CD ⊥平面AOB ，……………………………………………………………………(2分)因为CD ⊥平面EFG ，所以平面EFG ∥平面AOB ，………………………………………………………………………………………(4分)过E 作AB 的平行线与BC 的交点即为F ，过E 作AO 的平行线与CD 的交点即为G ，因为2AE EC =，所以2BF FC =，1136CG CO CD ==，所以当2BF FC =，16CG CD =时,平面EFG 与直线CD 垂直.…………(7分)(2)由题意可得OA OB ==，因为9AB =，所以120AOB ∠=︒，以O 为原点，直线,OB OC 分别为x 轴，y 轴，过点O 与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则())339330,3,0,,,2222D A E F ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………（8分）所以9,3,,22DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭),DF =3.22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ …………………………………………………（10分）设平面DEF 的一个法向量为n ＝(),,x y z ，则有00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n，得3502250x y z y ⎧++=⎪+=，取5x =，得n＝(5,，…………………………………………………………………………………(12分)设直线DA 与平面DEF 所成角为,θ则sin θ＝DA DA ⋅== n n ，所以直线DA 与平面DEF 所成角的正弦值为2309103.…………………………………………………………(15分)17.【解析】(1)由表中的数据和附注中的参考数据得51850i i x==∑，170x =，51365i i y ==∑，73y =， (1))()252222211150610282i i xx =-=++++=∑，………………………………………………………………………(2分)8.6，()()555111i i i i i i i i x x y y x yx y ===--=-∑∑∑=62194-170735⨯⨯=144，…………………………(3分)∴()()5i i xx y y r --∑=1440.99716.88.6≈⨯.………………………………………………………………(5分)因为y 与x 的相关系数近似为0.997，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．………………………………………………………………………………………………………………(6分)(2)由73y =及(1)得()()()51521i ii i i x x y y b x x ==--=-∑∑ =144240.5128247=≈，…………………………………………………(7分) 247317013.8147a y bx =-=-⨯- ≈，………………………………………………………………………………(9分)所以y 关于x 的回归方程为13.810.51y x =-+.…………………………………………………………………(10分)（说明：根据 730.5117013.70ay bx =-=-⨯≈- ，得出 13.700.51y x =-+也正确，）(3)X 的取值依次为2,3,4,5,6,7,9,11，………………………………………………………………………………(12分)()25212C 5P X ===，()25113C 10P X ===，()25114C 10P X ===，()25215C 5P X ===，()25116C 10P X ===，()25117C 10P X ===，()25119C 10P X ===，,()251111C 10P X ===……………………………………………………………………(14分)所以()1111111127234567911510105101010105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=..………………………………(15分)18.【解析】(1)方法1：设2,2t A t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则l 的方程为2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，与22y px =联立得22220tan tan p pt y y t αα-+-=，………………………………………………………………（1分）因为直线l 与抛物线C 只有1个公共点，所以2224240tan tan p pt t αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得tan p t α=，所以2,2tan tan p p A αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，…………………………………………………………………………………………（3分）又,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以222tan tan tan tan 21tan 2tan 2p p p ααβααα===--，…………………………………………………（5分）因为ππ0,0242αα<<<<，所以πtan tan 20,02βαβ=><<，所以2βα=.………………………………………………………………………………………………………（7分）方法2：易知点),(00y x A 在第一象限，且直线l 与C 相切于点A ，由px y 2=，得xp y 2='，………（1分）所以l 的方程为0002)(2px x x x p y +-=，……………………………………………………………………（3分）设l 与x 交于点D ，则)0,(0x D -，………………………………………………………………………………（4分）所以由抛物线的几何性质可知DF p x AF =+=20，…………………………………………………………（5分）故α=∠=∠DAF ADF ，αβ2=∠+∠=∠=DAF ADF AFx .…………………………………………………（7分）(2)1p =时，C 的方程为22y x =，把1p =，1tan t α=代入2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得l 的方程为2x t y t =+，把12x =-代入得122t y t=-，所以11,222t P t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，……………………………………………………………………………………………（10分）由(1)知，2,2t A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设200,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线AB 方程为12x my =+，与22y x =联立得2210y my --=，0,t y 是该方程的两个根，所以01y t =-，所以01,y t=-………………………………………………………（13分）所以21112211122PA PB t t t k k t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⋅=⋅=-+，…………………………………………………………………………（16分）所以PA PB ⊥.……………………………………………………………………………………………………（17分）19.【解析】(1)因为()()3230f x x x a x =-++>，所以()236f x x x '=-+，由()0f x '<得2x >，…………………………………………………………………（1分）因为()2ln 2g x x x ax x =+-，所以()ln 21g x x ax '=+-，所以问题转化为2x >时ln 210x ax +-<恒成立，即2x >时1ln 2x a x -<恒成立，…………………………（2分）设()()1ln 22x F x x x -=>，则()2ln 22x F x x -'=，()22,e x ∈时()0F x '<，()F x 单调递减，()2e ,x ∈+∞时()0F x '>，()F x 单调递增，……………………………………………………………………………………（4分）所以()()2min 21e 2e F x F ==-，所以212e a <-，即a 的取值范围是21,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.………………………………………………………………（7分）(2)因为()()ln 2g x x x ax =+-，设()ln 2m x x ax =+-，则()1m x a x'=+，（i ）若1a <-，10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0m x '>，()m x 单调递增，1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时()0m x '<，()m x 单调递减，…………………………………………………………………（9分）所以()11ln 30m x m a a ⎛⎫⎛⎫-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a <-时()()()()0,0,0m x g x h x g x <<< ，()h x 没有零点，…………………………………………………………………………………………………（10分）（ii ）若1a >，由(1)知()236f x x x '=-+，()f x 在()0,2上单调递增，且()00f a =>，所以()0f x >，…………………………………………………………………………………………………（11分）当()0,2x ∈时，()m x 单调递增，且1ln 10m a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()2ln 2220m a =+->，存在唯一()10,2x ∈使得()10m x =，()()110,0g x h x ==，……………………………………………………………………………………………（13分）当[)2,x ∈+∞时，()ln 2ln 2220m x x ax a =+->+->，()0g x >，()f x 在[)2,+∞上单调递减，且()240f a =+>，()323333464486448150f a a a a a a a a =-++<-++=-<，所以存在唯一()22,x ∈+∞使得()20f x =，()20h x =，………………………………………………………（15分）综上，1a <-时()h x 没有零点，1a >时()h x 有2个零点..…………………………………………………（17分）。
2020高三第三次联考数学试卷
xx 届高三第三次联考数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150,考试时间120分钟,答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、座位号填写在答题卷的密封线内.所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔答在答题卷上,否则答案无效.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．1、设集合{}1,2,3P =，集合{}23Q x R x =∈≤≤，那么下列结论正确的是： ( ) A ．P Q P ⋂= B. Q P Q ⊆⋂ C. P Q P ⋂⊆ D. P Q Q ⋂= 2、设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的（ ）A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 3、方程2sin 2sin 0x x a ++=一定有解，则a 的取值范围是 （ ）A ．[3,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．4、如果执行下面的程序框图，那么输出的S = （ ）． Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．26525、将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）． A ．cos y x =- B ．sin 4y x = C ．sin y x =D ．sin()6y x π=-6、等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且3457-+=n n T S n n ，则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．67、右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）A ．B ．C ．D ．8、 如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， AQ uuu r ＝23AB u u u r ＋14AC u u ur ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( ) A ．15 B ． 45 C ． 14 D ．13第8题第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．9、化简：2(1)i i+= ．10、 一物体在力F （x ）=4x+2（力的单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =5处（单位：m ），则力F （x ）所作的功___________11、已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于_______,最小值等于____________.12、从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1mn C +种取法。
浙江省名校协作体2020届高三下学期联考数学试题及答案
高三年级数学学科考生须知：1.本卷全卷共5页,满分150分,考试时间120分钟；2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效；4.考试结束后,只需上交答题卷。
5.参考公式:柱体的体积公式:V=Sh,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高;锥体的体积公式:V=13Sh,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高;台体的体积公式:121v ()3S S h =,其中S 1.S 2分别表示台体的上、下底面积；h 表示台体的高球的表面积公式:24,S R π=球的体积公式: 343V R π=,其中R 表示球的半径; 如果事件A ，B 互斥,那么()()()B B P P A A P +=+;如果事件A,B 相互独立,那么()()()P A P B B P A =⋅⋅:如果事件在一次试验中发生的概率是p,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()10,1,)(2,,n k n n k k P k C p p k n -=-=第I 卷(选择题部分,共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 是符合题目要求的1.已知集合(){|{|ln 1},A x y B x A B y x ====-=则.{|2}A x x .{|12}x x B ≤ .{|12}C x x < .{|2}D x x >2椭圆22124x y +=的离心率是.22B C D3.若实数x,y 满足约束条件,310201x x y y y -+≥+-≤⎧⎪⎨⎪≥⎩则z=x+2y 的最大值是A.2B.94C.134D.1544.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是A.35B.40C D.485.若a,b ∈R.则“关于x 的方程20x ax b -+=有两个不等实数根”是“a>|b|+1”的A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D.既不充分也不必要条件6.函数()2x x x x e y eππ--+≤=的图象大致是7.随机变量ζ的分布列如下表所示,若()1,3E ζ=-则()31D ζ-=A.4B.5C.6D.78.已知函数()||f x x x a =-的图象与()31g x ax =-的图象有三个不同的交点,则实数a 的取值范围是111.(,) ) . .(422A B C D +∞+∞（ 9.已知矩形,4,2,ABCD A AD E B ==为AB 中点,沿直线DE 将ADE ∆翻折成△PDE,直线PB 与平面BCDE 所成角最大时,线段PB 长是57544474.3 .2..3 2A B C D10.数列311*{}01,,n n n n n a a a a a n N S +>=∈-+满足，表示数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和,则下列选项中错误．．的是 A.若1203a <<1n a <则 B. 若1213a <<则{}n a 递减 C.若112a =,则1142n n S a +⎛⎫>- ⎪⎝⎭D.12a =若，则200023S > 第Ⅱ卷(非选择题部分,共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分,共36分。
精品解析：浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三下学期第三次联考数学试题
__________ 姓名：__________ 班级：__________评卷人 得分一、选择题1．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R|1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( ) A ．{2} B ．{2,3} C ．{－1,2,3} D ．{1,2,3,4}2．如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是（ ）A.l ⊂αB.l ⊥αC.l ∥αD.l ⊂α或l ∥α3．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a 、b 、i 的值分别为6、8、0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A. 0，3B. 0，4C. 2，3D. 2，44．等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，公差0d >，6a 和8a 是函数()2151ln 842f x x x x =+-的极值点，则8S =（ ） A. 38-B. 38C. 17-D. 17 5．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为 A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ⊆6．设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线C 与圆C'：x 2＋(y 32＝3交于M ，N 两点.若MN =MNF 的面积为A.8B.38C.8D.4二、填空题7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96SS =________.三、解答题8．已知函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图像相邻两个对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像与x y sin =的图像有一个横坐标为4π的交点. （1）求()f x 的解析式； （2）当7[0,]8x π∈时，求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的值. 9．已知函数ln ()xf x x a=+（a R ∈），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y ++=垂直.（1）试比较20172016与20162017的大小，并说明理由；（2）若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，证明：212•x x e >.10．已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+满足()()24f f <．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若函数()()()[]2,1,9g x fx mf x x =+∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（3）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由．11．(本小题满分12分)第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行。
2020.6浙江省Z20联盟2020届第三次联考数学
若Ｍ（，－），则线段 ＰＭ长的最小值为＿▲
１２．在二项式式（√（√ｘ－ｒ义－））＂的的展展开； 式中，系数为有理数的项的个数是＿▲＿，二项式系数最大的项
为＿▲
１３．某四棱锥的三视图如图所示，则它的体积为▲，表面积为▲
Ａ． 去
Ｂ．ｙ
Ｃ．１
Ｄ．２
４．设ａ，ｂ＞０，若ａ＋４ｂ＝１，则ｌｏｇ，ａ＋ｌｏｇ，ｂ的
Ａ．最小值为－２
Ｂ．最小值为－４
Ｃ． 最大值为－２
Ｄ． 最大值为－４
［ｘ－２ｙ＋２≤０，
５．若实数ｘ，ｙ满足约束条件牛２ｘ＋ｙ≤０， 则ｚ＝２ｘ－３ｙ＋３的最大值是
［ｘ－ｙ＋３≤０，
Ａ．－８
Ｂ．－５
Ｃ．－２
Ｄ．二
６．函数／ｆ（ｘ）＝（
浙江省名校新高考研究联盟（２２０联盟）２０２０届第三次联考数学试题卷 第３页共４页
１８．（本小题满分１４分）已知函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎｘｃｏｓ（ｘ＋分）－ｓｉｎ ｃｏｓ２ｘ．
（１）求函数ｆ（（ｘ）的最小正周期Ｔ及ｆ（））的值；
（Ⅱ）若方程ｆ（ｘ＋； ）＋２＝ａ在ｘ∈［０，；］上有３个解，求实数ａ的取值范围．
１９．（本小题满分１５分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝３，ＡＣ＝２ＢＣ＝４，Ｄ为ＡＣ的中点，正＝２西，
Ｐ＝二ＰＣ．现将△ＡＤＥ 沿ＤＥ 翻折至△ＡＤＥ，得四棱锥
Ａ＇－ＢＣＤＥ．
（Ｉ）证明：ＡＰｌＤＥ； （ＩⅡＩ）若ＡＡ＇＝２、３，求直线ＡＰ与平面ＢＣＤ所成角的正切值．
第 １９题图
２０．（本小题满分１５分）设数列｛ａ｝的前ｎ项和为Ｓ，ｑ＝１， ａａ２＝．ａ＋｛１，＂，ｎ 为ｎ为奇偶数数，．
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三年级第三次联考数学试题卷
__________ 姓名：__________ 班级：__________一、选择题1．已知复数34z i=-，则zz= ( )A.3455i+ B.3455i-C. 1i+D. 1i-2．若对于函数()()2ln1f x x x=++图象上任意一点处的切线1l，在函数()sincos22x xg x x=-的图象上总存在一条切线2l，使得12l l⊥，则实数a的取值范围为( )A. (),-∞⋃+∞ B. 11,2⎡--⎢⎣⎦C.21,⎛⎡⎤--∞+∞⎢⎥⎝⎦⎣⎦D.⎤⎥⎣⎦3．若函数()9cos20,48f x x a xππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭恰有三个不同的零点321,,xxx，则123x x x++的取值范围是（）A.511[,)48ππB.97[,)42ππC.511(,]48ππD.97(,]42ππ4．数列121231231,,,,,,...,,,,...,,...22333nn n n n的前25项和为（）A.20714B.20914C.21114D.10675．在等比数列{}n a中，若()57134a a a a+=+，则62aa=( )A.14B.12C. 2D. 4 6．若ln2ln3ln5,,235a b c===,则( )A．a b c<< B．c b a<< C．c a b<< D．b a c<<7．三角形ABC 中，2,22AB AC ==,45BAC ︒∠=，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC 的取值范围是（ ）A. 1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦评卷人 得分二、填空题8．从11,14(12),149123,14916(1234),=-=-+-+=++-+-=-+++，概括出第n 个式子为_______。
9．某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图为正方形，则该三棱锥的体积为______.评卷人 得分三、解答题10．已知函数2()ln 2()f x x x mx m R =+-∈．（1）若函数()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的最大值；（2）若存在正实数对(,)a b ，使得当()()1f a f b -=时，1a b -=能成立，求实数m 的取值范围．11．已知正项数列{a n }首项为2，其前n 项和为S n ，满足2S n －S n-1＝4 (n ∈N *，n ≥2)． （1）求2a ,3a 的值； （2）求数列{a n }的通项公式； （3）设212log n n b a =- (n ∈N *)，数列{b n ·b n ＋2}的前n 项和为T n ，求证：T n <34.12．在△ABC 中，a b c 、、分别为三个内角A 、B 、C的对边，且222sin .b A c a -+= (1)求角A ；(2)若4sin sin 3B C ，=且2a ，=求△ABC 的面积。
浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)2020届高三数学第三次联考 数学(含答案)
-2-
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11．大约在 2000 多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”意思是说，圆有一个 圆心，圆心到圆周的长长都相等，这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早 100 年，
已知 O 为原点，|OP|=1，若 M( 1 , − 3 )，则线段 PM 长的最小值为 ▲ 44
15．由 1,2,3,4,5 构成的无重复数字的五位数中，相邻两个数字的差的绝对值不超过 2 的情 况有 ▲ 种(用数字作答)
16 ． 函 数 f(x) 在 区 间 A 上 的 最 大 值 记 为 max f (x) ， 最 小 值 记 为 min f (x) . 若 函 数
x∈A
x∈A
f ( x) = x2 − bx −1,则max min f (x) = ▲ b∈[1,3] x∈[1,2]
2 小 z 的虚部，则 z 的值为
1+ i
A． 1 B． 2 C． 1
2
2
D． 2
4．设 a，b>0，若 a + 4b = 1 则 log2 a + log2 b 的
A．最小值为 −2 C．最大值为 −2
B．最小值为 −4 D．最大值为 −4
x − 2 y + 2 ≤ 0, 5.若实数 x，y 满足约束条件 2x + y ≤ 0, 则 z = 2x − 3y + 3 的最大值为
切线 l1 ，交 x 轴于点 T，过点 T 作直线 l2 交 r 于点 B(x1, y1), C ( x2 , y2 ).
(Ⅰ)求 a2 , a3 的值及数列{ an }的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数 n，使得 Sn ∈Z.若存在，求所有满足条件的 n；若不存在，请说明理由. an
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AF ⊥ DE, AF ⊥ DE .
BP = 3 PC ， BP = AB = 3 ，所以 AP 是 BAC 的角平分线，且 A, F, P 三点共线.
4
PC AC 4
由
DE DE
⊥ ⊥
FP AF
DE
⊥
面AFP
DE
⊥
AP
.
……（6 分）
（Ⅱ）法一：连结 AA .由 DE ⊥ 平面AFP 得 平面ABC ⊥ 平面AFP ，交线为 AP .
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考
一、选择题：
数学参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
A
A
D
C
B
B
A
C
C
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11． 1 2
12． 4; −40
−3
2x 2
13． 2 ; 4 + 2 2 3
3
个解，结合图像可知
1 2
−2a
2a −
1,
3 2
,
……（12 分）
故 a[1 , 3) . 44
……（14 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 1 页 共 5 页
19．（本小题满分 15 分） 【答案】（Ⅰ）证明略（Ⅱ）7 【解析】
（Ⅰ）设 F 为 DE 的中点， D 为 AC 的中点， BE = 2EA ，则 AD = AE = 2 ，故
4 3x
ex 4 3x
令 t = 3x ，则 t = 3(1 − x)
ex
ex
x
(0,1)
1
(1, +)
t
+
0
-
t
极大值
则
t
=
3x ex
(0,
3] e
则上式可化为 (a − t)2 5 − 1 4t
①当 t (0, 4] ， 5 − 1 0 ，则上式恒成立，故 a R . 5 4t
……（8 分） ……（10 分）
所以 A 在面 ABC 上的射影点 H 在 AP 上.
APH 为直线 AP 与平面 BCD 所成角.
……（9 分）
由 余 弦 定 理 得 cos CAB = 7 ， 故 DE = 1 ， AF = AF = 15 ， 由 AA = 2 3 得
8
2
sin AAP = 5 ，所以 AH = 2 15 .
=
n(1)
=
1 2
，故 a (−,
1]. 2
所以综上所述， a (−, 1] [ 5 − e + 3 , +) . 2 43e
……（14 分） ……（ 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 5 页 共 5 页
16
2
k1 k2 = ( y1 + 2
t ) ( y2 + 2
= t) t +m
= −2 , t
故 m = −( t + 1 ) . t
| BC |= m2 +1 | y1 − y2 |= 4 d = | 2t − 2m t | .
m2 +1
m2 +1
m2 − t .
S = 1 | BC | d = 4 (2t + 1)3 , | AF |= t +1 .
由 f (x) = ex − 3 = 0 得 x = ln 3 .
……（8 分） ……（10 分） ……（12 分） ……（13 分） ……（15 分）
……（2 分） ……（4 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 4 页 共 5 页
x (-,ln 3) ln 3 (ln 3, +)
+
b2
=
15 , 4
(a +
15 )2 + b2 = 12, 2
……（10 分）
得 A(0, 3 15 , 2 15 ) . 10 5
平面 BCD 法向量为 n = (0, 0,1)
……（12 分） ……（13 分）
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0，
0
3k 2k +1 −
2
1 ，则不可能为整数.
……（13 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 3 页 共 5 页
②
S2k −1 a2k −1
=
Ak + Bk −1 a2k −1
=
2k+2 − 3k − 4 2k −1
=
4−
3k ，则 k 2k −1
= 1 时，
3k 2k −
1
=
3
；当
k
=
2 时，
3k =
2k −1
2
，则
n
= 1,3
都符合条件。当
k
=
3
时，
3k 2k −1
=
9 7
，舍去.
而 k 3 时，
2k
−1
3k
0
，
0
3k 2k −1
1 ，则不可能为整数.
综上所述，存在， n {1,3, 4}.
……（15 分）
21．（本小题满分 15 分）
f (x)
-
0
+
f (x)
极小值
则 f (x) 在 (-,ln 3) 上单调递减，在 (ln 3, +) 上单调递增；
综上所述， f (x) 在 (ln 3, +) 上单调递增.
……（6 分）
（Ⅱ） f 2 (x) g(x) (aex − 3x)2 5 e2x − e3x (a − 3x)2 5 − ex
n {1,3, 4}
2 2 − 2, n为偶数
【解析】
（Ⅰ） a2 = 2, a3 = 3
……（2 分）
n+1
当 n 为奇数时， an = an−1 + 1 = 2an−2 + 1 an + 1 = 2(an−2 + 1) ，则 an = 2 2 −1 .
……（4 分）
n
n+2
当 n 为偶数时， an = 2an−1 = 2 22 − 2 = 2 2 − 2 .
……（8 分）
F(0,0,0), E(1 ,0,0), D(− 1 ,0,0), A(0, − 15 ,0), B( 3 , 15 ,0),C(−1, 15 ,0), P(0, 5 15 ,0) ,
2
2
2
44
2
14
设 A(0, a,b) ，由 AF = AF = 15 ， AA = 2 3 得 2
a2
2 15
sin = | PA n | = 5 = 7 2 ,则 tan = 7 ，所以直线 AP 与平面 BCD 所成角的正 | PA | | n | 2 30 1 10 7
切值为 7.
……（15 分）
20．（本小题满分 15 分）
【答案】（Ⅰ） an
=
n+1 2 2 n+2
−1, n为奇数,;（Ⅱ）存在，
=
x0
−
y0 k
= −x0 ，则 T (−x0 , 0) .
……（2 分） ……（4 分）
设直线
BC
:
x
=
my
−
x0
，联立方程
x = my −
y
2
=
4x
x0
得
y2
−
4my
+
4x0
=
0
故 y1 + y2 = 4m, y1 y2 = 4x0 = y02 .
……（6 分）
（Ⅱ）令 t = x0 ，则 A(t, 2 t ) ， BC : x = my − t .
综上所述
an
=
n+1
2 2
2
n
+ 2
2
−1, n为奇数, − 2, n为偶数.
……（6 分） ……（7 分）
（Ⅱ）当 n = 2k − 1 时， an = 2k −1，则 Ak = 21 −1 + 22 −1 + + 2k −1 = 2k+1 − k − 2 . ……（9 分）
当 n = 2k 时， an = 2k+1 − 2 ，则 Bk = 22 − 2 + 23 − 2 + + 2k+1 − 2 = 2k+2 − 2k − 4 . ……（11 分）
【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ） 6 3 【解析】
（Ⅰ）过点 A(x0 , y0 ) 作切线 l1 : y = k(x − x0 ) + y0
y = k(x
y
2
=
4x
−
x0 )
+
y0
ky2
−
4y
+
4 y0
−
4kx0
=
0
，
由
=
0
ky0
− k 2 x0
= 1 (ky0
− 2)2
=
0
k
=
2 y0
则 xT
14． 3; 2 3
15．20
16． −1
17． 2; 6 − 2 2
三、解答题: 本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本小题满分 14 分）