2020浙江名校新高考联盟第三次联考-数学

4 3x
ex 4 3x
令 t = 3x ，则 t = 3(1 − x)
ex
ex
x
(0,1)
1
(1, +)
t
+
0
-
t
极大值
则
t
=
3x ex
(0,
3] e
则上式可化为 (a − t)2 5 − 1 4t
①当 t (0, 4] ， 5 − 1 0 ，则上式恒成立，故 a R . 5 4t
……（8 分） ……（10 分）
5
5
……（11 分）
由（Ⅰ）得 AP 为角平分线.由余弦定理得 AP = 6 15 , PH == 2 15 .
7
35
tan APH = AH = 7 ，所以直线 AP 与平面 BCD 所成角的正切值为 7. PH
……（13 分） ……（15 分）
法二：如图，以 F 为原点， FE, FP 为 x, y 轴建立空间直角坐标系.
， 令 s = 5t4 − 4t3 = t3 (5t − 4) ， 得
4t
5t4 − 4t3
t ( 4 , 3] 上单调递增， n(t) 在 t ( 4 , 3] 上单调递增.令 n(t) = 0 t = 1 ，故
5e
5e
t ( 4 ,1)
1
(1, 3]
5
e
n(t) -
0
+
n(t )
极小值
则
n(t )min
0，
0
3k 2k +1 −
2
1 ，则不可能为整数.
……（13 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 3 页 共 5 页
②
S2k −1 a2k −1
=
Ak + Bk −1 a2k −1
=
2k+2 − 3k − 4 2k −1
=
4−
3k ，则 k 2k −1
n {1,3, 4}
2 2 − 2, n为偶数
【解析】
（Ⅰ） a2 = 2, a3 = 3
……（2 分）
n+1
当 n 为奇数时， an = an−1 + 1 = 2an−2 + 1 an + 1 = 2(an−2 + 1) ，则 an = 2 2 −1 .
……（4 分）
n
n+2
当 n 为偶数时， an = 2an−1 = 2 22 − 2 = 2 2 − 2 .
f (x)
-
0
+
f (x)
极小值
则 f (x) 在 (-,ln 3) 上单调递减，在 (ln 3, +) 上单调递增；
综上所述， f (x) 在 (ln 3, +) 上单调递增.
……（6 分）
（Ⅱ） f 2 (x) g(x) (aex − 3x)2 5 e2x − e3x (a − 3x)2 5 − ex
①
S2k a2k
=
Ak + Bk a2k
=
3 2k+1 − 3k − 6 2k+1 − 2
=3−
3k 2k+1 − 2
，则 k
= 1 时， 3k 2k +1 − 2
=
3 舍去。当 k 2
=2
时， 3k 2k +1 − 2
= 1 ，故
S4 a4
= 2，n
=
4 ，符合条件.而 k
2 时， 2k+1
− 2 3k
=
n(1)
=
1 2
，故 a (−,
1]. 2
所以综上所述， a (−, 1] [ 5 − e + 3 , +) . 2 43e
……（14 分） ……（15 分）
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Βιβλιοθήκη Baidu
=
x0
−
y0 k
= −x0 ，则 T (−x0 , 0) .
……（2 分） ……（4 分）
设直线
BC
:
x
=
my
−
x0
，联立方程
x = my −
y
2
=
4x
x0
得
y2
−
4my
+
4x0
=
0
故 y1 + y2 = 4m, y1 y2 = 4x0 = y02 .
……（6 分）
（Ⅱ）令 t = x0 ，则 A(t, 2 t ) ， BC : x = my − t .
综上所述
an
=
n+1
2 2
2
n
+ 2
2
−1, n为奇数, − 2, n为偶数.
……（6 分） ……（7 分）
（Ⅱ）当 n = 2k − 1 时， an = 2k −1，则 Ak = 21 −1 + 22 −1 + + 2k −1 = 2k+1 − k − 2 . ……（9 分）
当 n = 2k 时， an = 2k+1 − 2 ，则 Bk = 22 − 2 + 23 − 2 + + 2k+1 − 2 = 2k+2 − 2k − 4 . ……（11 分）
②当 t ( 4 , 3] ， a t + 5 − 1 或 a t − 5 − 1 .
5e
4t
4t
对于 m(t) = t + 5 − 1 ，易得 m(t) 在 ( 4 , 3] 单调递增，故 a [ 5 − e + 3 , +) .
4t
5e
43 e
……（12 分）
对 于 n(t) = t − 5 − 1 ， 求 导 n(t) = 1 − 1
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考
一、选择题：
数学参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
A
A
D
C
B
B
A
C
C
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11． 1 2
12． 4; −40
−3
2x 2
13． 2 ; 4 + 2 2 3
2
t
S =4 | AF |
(2t +1)3 t(t + 1)2
6
3 ，故 S 的最小值为 6 | AF |
3.
22．（本小题满分 15 分）
【答案】（Ⅰ） (ln 3, +) ;（Ⅱ） (−, 1] [ 5 − e + 3 , +) 2 43e
【解析】
（Ⅰ）当 a = 1 时， f (x) = ex − 3 .
由 f (x) = ex − 3 = 0 得 x = ln 3 .
……（8 分） ……（10 分） ……（12 分） ……（13 分） ……（15 分）
……（2 分） ……（4 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 4 页 共 5 页
x (-,ln 3) ln 3 (ln 3, +)
+
b2
=
15 , 4
(a +
15 )2 + b2 = 12, 2
……（10 分）
得 A(0, 3 15 , 2 15 ) . 10 5
平面 BCD 法向量为 n = (0, 0,1)
……（12 分） ……（13 分）
浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2020 届第三次联考 数学参考答案 第 2 页 共 5 页
= 1 时，
3k 2k −
1
=
3
；当
k
=
2 时，
3k =
2k −1
2
，则
n
= 1,3
都符合条件。当
k
=
3
时，
3k 2k −1
=
9 7
，舍去.
而 k 3 时，
2k
−1
3k
0
，
0
3k 2k −1
1 ，则不可能为整数.
综上所述，存在， n {1,3, 4}.
……（15 分）
21．（本小题满分 15 分）
14． 3; 2 3
15．20
16． −1
17． 2; 6 − 2 2
三、解答题: 本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本小题满分 14 分）
【答案】（Ⅰ） T = ， f () = − 3 ；（Ⅱ） a [1 , 3 )
34
44
【解析】
（Ⅰ） f (x) = 2sin x cos(x + ) − 3 cos 2x = 1 sin 2x − 3 ，
AF ⊥ DE, AF ⊥ DE .
BP = 3 PC ， BP = AB = 3 ，所以 AP 是 BAC 的角平分线，且 A, F, P 三点共线.
4
PC AC 4
由
DE DE
⊥ ⊥
FP AF
DE
⊥
面AFP
DE
⊥
AP
.
……（6 分）
（Ⅱ）法一：连结 AA .由 DE ⊥ 平面AFP 得 平面ABC ⊥ 平面AFP ，交线为 AP .
32
2
2
则最小正周期 T = ，
……（4 分） ……（6 分）
f () = − 3 .（直接带入也可） 34
……（8 分）
（Ⅱ） | f (x + ) + 3 |= a sin(2x + ) = −2a或2a .
12 2
6
……（10 分）
x
[0,
3 ] 4
2x
+
6
[
6
,
5 ] 3
，考虑要有
【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ） 6 3 【解析】
（Ⅰ）过点 A(x0 , y0 ) 作切线 l1 : y = k(x − x0 ) + y0
y = k(x
y
2
=
4x
−
x0 )
+
y0
ky2
−
4y
+
4 y0
−
4kx0
=
0
，
由
=
0
ky0
− k 2 x0
= 1 (ky0
− 2)2
=
0
k
=
2 y0
则 xT
……（8 分）
F(0,0,0), E(1 ,0,0), D(− 1 ,0,0), A(0, − 15 ,0), B( 3 , 15 ,0),C(−1, 15 ,0), P(0, 5 15 ,0) ,
2
2
2
44
2
14
设 A(0, a,b) ，由 AF = AF = 15 ， AA = 2 3 得 2
a2
所以 A 在面 ABC 上的射影点 H 在 AP 上.
APH 为直线 AP 与平面 BCD 所成角.
……（9 分）
由 余 弦 定 理 得 cos CAB = 7 ， 故 DE = 1 ， AF = AF = 15 ， 由 AA = 2 3 得
8
2
sin AAP = 5 ，所以 AH = 2 15 .
2 15
sin = | PA n | = 5 = 7 2 ,则 tan = 7 ，所以直线 AP 与平面 BCD 所成角的正 | PA | | n | 2 30 1 10 7
切值为 7.
……（15 分）
20．（本小题满分 15 分）
【答案】（Ⅰ） an
=
n+1 2 2 n+2
−1, n为奇数,;（Ⅱ）存在，
16
2
k1 k2 = ( y1 + 2
t ) ( y2 + 2
= t) t +m
= −2 , t
故 m = −( t + 1 ) . t
| BC |= m2 +1 | y1 − y2 |= 4 d = | 2t − 2m t | .
m2 +1
m2 +1
m2 − t .
S = 1 | BC | d = 4 (2t + 1)3 , | AF |= t +1 .
3
个解，结合图像可知
1 2
−2a
2a −
1,
3 2
,
……（12 分）
故 a[1 , 3) . 44
……（14 分）
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19．（本小题满分 15 分） 【答案】（Ⅰ）证明略（Ⅱ）7 【解析】
（Ⅰ）设 F 为 DE 的中点， D 为 AC 的中点， BE = 2EA ，则 AD = AE = 2 ，故