(完整版)高中数学必修一三角函数图像性质总结(精华版)

x

•正弦、余弦、正切函数图象和性质

正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

-5 3 7

~2~ ”

- 丁1

T V x

2*伽

-4

-7

-3 ' 、一 -2

-3

-

-1

o '2 5

3 J. ‘ 4

2

2

2

y=ta nx

J

J

J

1

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I

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y=cotx

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J f

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1

I

L

o

I

I

X2

1

三角函数的性质

1定义域与值域

2、奇偶性

(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y= tanx ；偶函数：y= cosx.

⑺八黒 ' -型三角函数的奇偶性

（i）g（x 丄^ 丁（x€ R）

(x)为偶函数-

U 山呂in（曲+ 训+

Cos（P= Ou> e二匕T +—〔七W E）

由此得-

同理或劝=丿血(阪+呦〔肚丘)为奇函数u 如卩二0吕貯=匕吋上亡£)丘）Q..I —「二一L> : C 2.

■■■ □ 为偶函数；.匚」一⑺一".S 为奇函数

O 炉=Rr+ —(h e 7)

3、周期性

1)基本公式

(i)基本三角函数的周期y= sinx , y= cosx 的周期为; y = tanx , y = cotx 的周期为；T•

(ii)—"，：'型三角函数的周期

尹=」幻n(购+ 朝 +匕尸=+炉)+上的周期为同

y=cosx

P =」tan （处: + &） +匕尸二（处卄洞+& 的周期为91 . （2）认知

（i ） •卜巳-，?|

型函数的周期

y = pisin (伽+ 剑| j = A cos(d&r+ 4?)|

的周期为

7T

y = |j4tan(dft + 训,y=血 ot 〔伽 + 训

的周期为

» = |了（曲+卩）+円往无0）的周期

》=|£血（血工+朝胡』=|1（：0£（处+©+上|

y = |^tan(&r + ^) +円 j =凶诃(你+昉+刈

的周期为’；

7T

的周期为'•

均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数

的周期不变•注意这一点与（i ）的区别•

（ii ） 若函数为-’二 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ） 探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明

•

（3）特殊情形研究

y 二门」 彳J

的解析式施加绝对值后，该函

JT (i) y = tanx — cotx 的最小正周期为 ； y = sin z|+|co5z| 7T

的最小正周期为二； 7T

（iii ） y = sin 4X + cos 4x 的最小正周期为 二. 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 . 4、单调性 （1） 基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ① 选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期； ② 写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③ 获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 . 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域

（2） 』— 丁 型三角函数的单调区间

2 ，

此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为

① 换元、分解：令u =，'"，将所给函数分解为内、外两层：y 二f (u ), u^ ';

② 套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u )的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；

③ 还原、结论：将u =""「A 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论•

正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

/

y si nx y cosx y tanx

y cotx

y (A 、

As in x

> 0) 定义域 R R x | x R 且x k 1 ,k Z

x |x R 且 x k ,k Z

R

值域 [1, 1]

[1, 1]

R

R

A, A

周期性

2

2

2

奇偶性

奇函数 偶函数

奇函数 奇函数 当 0,非奇非偶 当

0,奇函数

[2k 1 ,

—k ,— k

2 2

k ,k 1 上为减函

[2 2k ,

2k ] ; 数 (k

Z )

2k

2 (A),

—2k ] 上为增 函

上为增函数

2

数

(k Z )

2k

1

上为增函 [2k , 2

( A\

(A)

数

；

2k 1 ]

单调性

上为减

函

上为增函数；

【2

2k ,

数 2k

3

(k Z )

2 (A),

——2k ] 2

2k

3

上为减函

2

_ / A\

数(k Z )

(A)

上 为减 函数

(k Z )

注意：①y

sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般

sin x

与 y COS x 的周期是.

y sin( x )或 y cos( x )

的周期为2

(

T

2

0)的周期T —.

如图，翻折无效).

2 ( k Z )，对称中心(k ,0) ; y cos( x )的对称轴

方

o ) ； y tan( x )的对称中心(—,0 ).

,o

2

地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)

，则y f (x)在［a,b ］上递减(增).