《4.1.2 问题探索——求作抛物线的切线》教案
导学案：问题探索——求作抛物线的切线
问题探索——求作抛物线的切线学习要求：了解过曲线上一点的切线与曲线割线之间的辩证关系，能够求解过曲线上一点切线的斜率。
重点：（1）曲线的切线的概念；（2）过曲线上一点切线的斜率的计算方法。
难点：（1）用数学语言准确描述曲线的切线的概念；（2）正确使用极限的思想方法求解过曲线上一点的切线的斜率。
复习回顾问题1 什么是圆的切线？如何作圆的切线？问题2 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？新课内容1、过曲线上一点P处的切线的定义：2、求过曲线上一点P(x0,f(x))的切线的方法具体步骤：例1、已知f(x)=x2，求曲线y=f(x)在点P（2，4）处的切线的斜率。
解：练习：曲线y=2x2在点（1，2）处的切线的斜率为_________例2、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.解：练习：判断曲线y=2x2在点P（1，2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程。
例3.求二次函数y=f(x)=ax2+bx+c图像曲线上点P（u,f(u)）处切线的斜率。
总结：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤1、先利用直线斜率的定义求出割线的斜率；2、求出当△x趋近于0时切线的斜率3、然后利用点斜式y-y0=k(x-x)求切线方程.1、求曲线y=2x2-1在点P（1，1）处的切线的斜率。
2、已知A（1，4）是曲线y=2x2+2上一点，求（1）过点A的切线的斜率；（2）过点A的切线的方程。
提高题：求曲线f(x)=3-x2上在x=1处的切线的方程。
抛物线教案完整篇
抛物线教案完整篇引言本教案旨在帮助学生理解和掌握抛物线的基本概念和性质。
通过本教案的研究，学生将能够解决与抛物线相关的问题，并应用抛物线的知识进行实际推理和分析。
教学目标- 理解抛物线的定义和特点- 掌握抛物线的标准方程和顶点形式- 能够绘制给定抛物线的图像- 了解抛物线在实际生活中的应用，并能够应用抛物线解决相关问题教学内容1. 抛物线的定义和特点- 抛物线的定义- 抛物线的焦点和准线- 抛物线的对称性和轴线2. 抛物线的表示形式- 抛物线的标准方程- 抛物线的顶点形式3. 绘制抛物线的图像- 根据给定的方程绘制抛物线的图像- 理解抛物线图像的特点和形状4. 抛物线的应用- 抛物线在物体运动中的应用- 抛物线在桥梁和建筑设计中的应用- 解决与抛物线相关的实际问题教学方法- 讲解：通过课堂讲解介绍抛物线的定义、特点和相关概念。
- 案例分析：通过分析实际案例，引导学生理解抛物线的应用场景。
- 问题解答：提供一系列与抛物线相关的问题，让学生进行思考和解答。
- 实践操作：通过绘制抛物线的图像和解决实际问题，加深学生对抛物线的理解和掌握。
教学评估- 完成课堂练：检查学生对抛物线定义、特点和方程的掌握情况。
- 解决实际问题：要求学生应用抛物线知识解决一些实际问题。
- 课堂讨论：鼓励学生在课堂上主动参与讨论，分享自己的思考和理解。
教学资源- 抛物线的相关课件和教学PPT- 抛物线的绘图工具和实际应用案例教学扩展- 进一步探索抛物线的性质和变形，如离心率和焦点运动轨迹等。
- 探究其他曲线的性质和应用，如椭圆、双曲线等。
总结通过本节课的学习，学生将能够全面理解抛物线的定义、特点和表示形式，掌握绘制和解决抛物线相关问题的方法，并了解抛物线在实际生活中的应用。
这将为他们进一步学习数学和应用数学打下坚实的基础。
抛物线优秀课程设计
抛物线优秀课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解抛物线的定义，掌握其标准方程及基本性质。
2. 学生能运用抛物线知识解决相关问题，如计算焦点、准线、对称轴等。
3. 学生了解抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等。
技能目标：1. 学生通过观察、分析、总结，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 学生能够熟练运用抛物线相关公式，解决实际问题。
3. 学生在小组合作中，提高沟通协调能力和团队协作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生对抛物线知识产生兴趣，激发学习数学的热情。
2. 学生在学习过程中，培养勇于探索、克服困难的精神。
3. 学生通过抛物线知识的学习，认识到数学与生活的紧密联系，增强学以致用的意识。
分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程目标具体、可衡量，旨在帮助学生掌握抛物线知识，提高解决问题的能力，培养空间想象力和逻辑思维，同时注重培养学生的情感态度价值观，使学生在学习过程中获得全面、和谐的发展。
后续教学设计和评估将围绕这些具体学习成果展开。
二、教学内容本章节教学内容围绕抛物线的相关知识展开，包括以下方面：1. 抛物线的定义及标准方程- 引导学生理解抛物线的概念，掌握其标准方程y²=4ax和x²=4ay。
- 分析抛物线的焦点、准线、对称轴等基本性质。
2. 抛物线的图形及性质- 通过图形展示，让学生直观了解抛物线的图形特点，如开口方向、对称性等。
- 探讨抛物线与x轴、y轴的交点、顶点、对称轴等性质。
3. 抛物线的应用- 介绍抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等。
- 分析具体问题，让学生学会运用抛物线知识解决实际问题。
4. 综合练习与拓展- 设计不同难度的练习题，巩固学生对抛物线知识的掌握。
- 拓展抛物线相关的高级性质和复杂问题，提高学生的思维深度。
教学内容按照以下进度安排：1. 第1课时：抛物线的定义及标准方程2. 第2课时：抛物线的图形及性质3. 第3课时：抛物线的应用4. 第4课时：综合练习与拓展教学内容与教材章节关联，以人教版数学九年级下册教材为例，涉及第十七章“圆锥曲线与方程”中的抛物线相关内容。
教学设计：问题探索——求作抛物线的切线
作切线一、教学目标：1、理解曲线在一点的切线的概念；2、会求简单函数在某点处的切线方程。
二、教学重点：了解切线的几何意义教学难点：求函数在某点出的切线方程三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程：（一）、复习：圆的切线和割线。
（二）、探究新课设函数)(x f y =在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为x y ∆∆，如右图所示，它是过A （x 0，)(0x f ）和B （x 0＋Δx ，)(0x x f ∆+）两点的直线的斜率。
这条直线称为曲线)(x f y =在点A 处的一条割线。
如右图所示，设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx 趋于0时，点B 将沿着曲线)(x f y =趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l 。
直线l 和曲线)(x f y =在点A 处“相切” ，称直线l 为曲线)(x f y =在点A 处的切线。
例1、已知函数2)(x x f y ==， x 0＝－2。
（1）分别对Δx =2，1，求2x y =在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并画出过点（x 0，)(0x f ）的相应割线；（2）求函数2x y =在x 0＝－2处的切线。
解：（1）Δx =2，1，时，区间[x 0，x 0＋Δx ]相应为[-2，0]，[-2，-1]，[-2，]。
2x y =在这些区间上的平均变化率分别为22)2(02)2()0(22-=--=--f f ， 31)2()1(1)2()1(22-=---=---f f ， 5.35.0)2()5.1(5.0)2()5.1(22-=---=---f f . 其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l 1，过点（-2，4）和点（-1，1）的直线l 2，过点（-2，4）和点（，）的直线l 3.（2）2x y =在区间[-2，-2＋Δx ]上的平均变化率为x xx x x x ∆+-=∆∆+∆-=∆--∆+-4)(4)2()2(222. 令Δx 趋于0，知函数2x y =在x 0＝－2处的斜率为-4。
《4.1.2 问题探索——求作抛物线的切线》教案
《4.1.2 问题探索——求作抛物线的切线》教案一、教学目标、重点、难点知识目标：掌握抛物线的切线方程的求法，巩固“坐标法”在解决直线与抛物线线位置关系问题的应用.能力目标：培养学生的运算能力和思维能力，让学生进一步体会数形结合、化归与转化的数学思想.情感目标：通过问题的探究，培养学生勇于探索的精神，使学生经历一个发现问题，研究问题，解决问题的思维过程，从中领悟其过程所蕴涵的数学思想，体验数学发现和创造的历程，培养学生的创新精神.教学重点和难点：在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物线的位置关系问题.二、教学过程（一）引入在近5年高考中，有些省份的解析几何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题，如2005江西，2006全国卷II ，2007江苏，2008山东，2009浙江等试题中的解析几何题都以抛物线的切线形式出现，所以我们有必要研究这些题目，希望通过研究它们来进一步提高我们对直线与抛物线的位置关系的认识，提高我们的解题能力.（二）典型例题例1 (2007江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于,A B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q 两点.（1）若2OA OB ⋅=，求c 的值；（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.分析：(1)设出AB 的直线方程，及A ，B 两点坐标联立抛物线方程，利用韦达定理即可.（2）AQ 的斜率用A 点导数表示，也可用两点斜率公式表示，两者相等就得证.（3）先写出逆命题，再利用斜率相等. 解：（1）设直线AB 的方程为c kx y +=，将该方程代入2y x =得02=--c kx x .令A ),(211x x ,B),(222x x ，则c x x -=21. 22222121=+-=+=⋅c c x x x x OB OA ,.2.(1,2=-==∴c c c 故舍去）或(2)由题意知),2(21c x x Q -+，直线AQ 的斜率为121212121121222x x x x x x x x x c x k AQ=--=+-+=又2y x =的导函数为x y 2='，所以点A 处切线的斜率为12x .因些，QA 为此抛物线的切线. （3）（2）的逆命题成立，证明如下： 设),(0c x Q -，若AQ 为该抛物线的切线，则12x k AQ =.又直线AQ 的斜率为0121210121x x x x x x x c x k AQ--=-+=，1121212x x x x x x =--∴2121012x x x x x +=∴)0(21210≠+=∴x x x x所以点P 的横坐标为221x x +，即逆命题成立. 评析：本题只要抓住斜率相等关键条件，结合韦达定理，准确地运算，即可得到解答.例2（2010 浙江金华十校）已知抛物线C1：2x y =，椭圆2C ：1422=+y x .（1）设21,l l 是C1的任意两条互相垂直的切线，并设M l l =21 ，证明：点M 的纵坐标为定值；（2）在C1上是否存在点P ，使得C1在点P 处切线与2C 相交于两点B A 、，且AB 的中垂线恰为C1的切线？若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.分析：（1）设出切点坐标),(211x x ,),(222x x ，利用导数可写出两个切线方程)(21121x x x x y -=-，)(22222x x x x y -=-，又21l l ⊥可得到斜率之积12221-=x x 通过运算得到结论.（2）设出坐标写出切线方程联立椭圆方程，利用韦达定理及（1）找出相关的关系式进而解出点P 从标.解：(1)设切点分别为),(211x x ,),(222x x ，由x y 2='可得)(211211x x x x y l -=-的方程即2112x x x y -= ①的方程2l 2222x x x y -= ②联立①②并解之，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=21212x x y x x x即为点M 的坐标),2(2121x x x x +21l l ⊥ 12221-=∴x x ，所以4121-==x x y M即点M 的纵坐标为定值41-.（2）设),(200x x P ，则C1在点P 处的切线方程为2002x x x y -=，代入2C 方程04422=-+y x ，得044)44(4030220=-+-+x x x x x ， 设),(),,(4433y x B y x A ，则2040432********,1x x x x x x x x +-=+=+，0)44(164020>-+=∆x x 由（1）知41-=M y ，从而41243-=+y y ，即41)(20430-=-+x x x x ，进而得411202040-=-+x x x ，解得3120=x 经检验3120=x 满足0>∆，所以这样的点P 存在，其坐标为)31,33(± 评析：本题通过导数得到切线斜率，使求切线方程过程得到简化，为求点M 的坐标奠定基础，点M 又使两小量连接起来.关于存在性问题，务必要检验结论成立的条件.本题变量多，运算量大，只有在清晰的思路的引导下，规范书写，才能避免出错.（三）练习（2006全国II ，21）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（I ）证明⋅为定值；（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。
求抛物线在点处的切线方程
求抛物线在点处的切线方程好吧，今天我们来聊聊抛物线和它的切线方程。
听起来有点严肃，但别担心，我会让它变得轻松有趣。
抛物线，这个名字听起来是不是就有点高大上？它就是一种数学图形，形状像个大碗，或者像我们常说的“放飞自我”的感觉，哈哈。
想象一下，抛物线就像一个在空中优雅飞舞的小鸟，曲线优美，婉转动人。
什么是切线呢？切线就像是一根温柔的手，轻轻触碰抛物线的某个点，就那么一瞬间，它和抛物线有了亲密接触。
就像你跟朋友一起喝茶，随便聊聊，瞬间的默契，就是切线的感觉。
要找切线方程，首先得知道我们想要在哪个点上“握手”。
这点就叫做“切点”，听起来是不是很浪漫？好啦，我们要切线的点一般是给定的，比如（x₀, y₀）。
这时候，我们得先确定抛物线的方程。
假设这条抛物线的方程是y = ax² + bx + c。
哇哦，听起来像是开车上路的那种感觉。
a、b、c就像是车子的发动机、轮胎和车身，缺一不可。
每个参数都对我们的抛物线有影响，真是太神奇了。
我们得求导。
别担心，这不是高深的数学，这就像是给我们的车子加油，让它更有动力。
我们求导的结果是y' = 2ax + b。
这个y'代表的是切线的斜率，斜率就像是车子的坡度，爬坡的时候会累，但能让你欣赏到美丽的风景，对吧？好，我们要把切点（x₀, y₀）代入导数，得到切线的斜率。
就是y' = 2ax₀ + b。
就这么简单！想象一下，这个斜率像是一杯热咖啡的温度，让你感觉到温暖。
然后，切线的方程就可以用点斜式公式来表示，公式是y y₀ = m(x x₀)，其中m就是我们刚刚求出的斜率。
这就像是在给你的切线加个标记，告诉它你从哪儿出发，往哪儿去。
一旦代入这些值，你会得到一个具体的切线方程。
这样一来，抛物线和切线就像是好朋友一样，互相依偎，完美地结合在一起。
你看，数学有时候就像人生一样，虽然有些复杂，但只要慢慢来，总能找到方向。
再说说，这个切线方程的意义。
切线就像是一个指引，告诉你在这个点上抛物线的走势。
切线的判定和性质数学教案设计
切线的判定和性质数学教案设计第一章：导言1.1 课程背景本节课我们将学习一种特殊的直线——切线。
在初中阶段，我们已经学习了直线、射线、线段等基本概念。
通过学习切线，我们将对函数图像有更深入的了解，并掌握一种新的解决问题的方法。
1.2 教学目标（1）了解切线的定义及其特点；（2）掌握切线的判定方法；（3）能运用切线的性质解决实际问题。
第二章：切线的定义及特点2.1 教学内容本节课我们将学习切线的定义及特点。
我们通过具体例子观察函数图像上的切线，引导学生发现切线的特点。
给出切线的定义，并从几何角度分析切线的性质。
2.2 教学活动（1）展示几个函数图像，引导学生观察并描述切线的外观特点；（2）给出切线的定义，让学生理解切线与函数图像的关系；（3）通过几何图形，引导学生分析切线的性质，如切线与函数图像的交点为切点，切线与函数图像的切点处的导数为切线的斜率等。
第三章：切线的判定方法3.1 教学内容本节课我们将学习切线的判定方法。
我们回顾一下导数的定义，引入切线的判定方法。
通过实例讲解如何运用切线的判定方法。
3.2 教学活动（1）回顾导数的定义，让学生理解导数与切线的关系；（2）给出切线的判定方法，让学生掌握如何判断一条直线是否为切线；第四章：切线的性质4.1 教学内容本节课我们将学习切线的性质。
我们通过几何图形引导学生理解切线的性质。
给出切线的性质定理，并解释其含义。
通过实例讲解如何运用切线的性质。
4.2 教学活动（1）通过几何图形，引导学生理解切线的性质，如切线与函数图像的切点处的导数为切线的斜率，切线与函数图像的交点为切点等；（2）给出切线的性质定理，让学生掌握切线的性质；第五章：运用切线解决实际问题5.1 教学内容本节课我们将学习如何运用切线解决实际问题。
我们通过具体例子引导学生理解切线在实际问题中的应用。
给出运用切线解决实际问题的方法，并解释其原理。
通过实例讲解如何运用切线解决实际问题。
5.2 教学活动（1）展示几个实际问题，引导学生观察并发现其中涉及到的切线；（2）给出运用切线解决实际问题的方法，让学生理解切线在实际问题中的作用；第六章：切线方程的求法6.1 教学内容本节课我们将学习如何求解切线的方程。
数学选修2-2配套课件：4-1-2问题探索——求作抛物线的切线
4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线
[学习目标] 理解并掌握如何求抛物线的切线．
[知识链接] 1．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋d时，函数的改
变量Δy为________． 答案 f(x0＋d)－f(x0) 2．函数y＝x2在x＝1处的切线斜率k＝________. 答案 ΔΔyx＝1＋ΔΔxx2－12＝2＋Δx→2(Δx→0)．
＝3d＋3d2＋d3＋2d
＝5d＋3d2＋d3.
则k(1，d)＝5d＋3dd2＋d3＝5＋3d＋d2， 当d→0时，k(1)＝5， 则切线方程为y－3＝5(x－1)即5x－y－2＝0.
规律方法 求曲线上点(x0，y0)处切线方程的
步骤：
(1)求割线斜率；(2)求切线斜率；(3)求切线 方程．
跟踪演练2 求y＝f(x)＝x2－1在x＝1处的切线斜率及切线方 程． 解 f(x0＋d)－f(x0)＝f(1＋d)－f(1)＝(1＋d)2－1－(12－1)＝d2＋ 2d， d2＋d 2d＝d＋2→2(d→0)， 即在x＝1处切线斜率为2. ∵f(1)＝0， ∴切线方程为y＝2(x－1)， 即2x－y－2＝0.
“无类”指什么？
一、不分身份、地位均要 教育。
二、不管品行、习性，对 所有的人都平等地加以教 育。
选文1
子曰：“有教无类。”
【译文】孔子说：“人人我都教育，没有区别！
选文2
子曰：“中人以上，可以 语上也；中人以下，不可以语 上也。”
•【译文】 孔子说：“中上 等天赋的人，可以同他研究 高深的学问；中下等天赋的 人，不可以同他讨论高深的 学问。”
解 (1)kAB＝fxx22－ －fx1x1＝223－－113＝7. (2)kAB＝fxx22－ －fx1x1 ＝x0＋dd3－x30 ＝3x20d＋3dx0d2＋d3 ＝3x02＋3x0d＋d2.
抛物线教案完整范文
抛物线教案完整范文一、教学目标1.知识与能力目标：a.掌握抛物线的定义和性质；b.掌握抛物线的标准方程及相关公式；c.能够利用抛物线的性质解决相关问题。
2.过程与方法目标：a.通过引导学生观察、探索，培养学生的观察和发现能力；b.通过多种问题的解决，培养学生的分析和解决问题的能力；c.通过讨论和合作，培养学生的合作和沟通能力。
3.情感态度与价值观目标：a.通过实例引导学生体会物理学在日常生活中的应用；b.培养学生对科学的兴趣和好奇心；c.培养学生的创新思维和问题解决能力。
二、教学准备1.教学内容：a.抛物线的定义和性质；b.抛物线的标准方程及相关公式；c.抛物线的应用。
2.教学资源：a.教材、课件；b.抛物线实物模型；c.尺子、直尺、图形工具等。
三、教学过程1.导入（10分钟）a.引入：通过一段视频或图片展示抛物线的实例，激发学生对抛物线的兴趣。
b.提问：请举出你所知道的抛物线的实例，并描述其特点。
2.概念定义（15分钟）a.讲解：通过教师讲解和图示，介绍抛物线的定义和性质，如对称性、焦点、准线等。
b.实例引导：给出多个实例，要求学生找出其中的抛物线，并描述其特点。
3.抛物线的标准方程和相关公式（20分钟）a.讲解：通过教师讲解和示例演算，介绍抛物线的标准方程及相关公式，如焦点坐标、准线方程等。
b.实例演练：给出多个抛物线的实例，要求学生求出其标准方程和相关参数。
4.抛物线的应用（25分钟）a.讲解：通过教师讲解和实例分析，介绍抛物线在现实生活中的应用，如抛物线喷泉、抛物线拱桥等。
b.探究：让学生组成小组，探究一个抛物线应用的问题，并给出解决方案。
c.展示与讨论：学生小组分别展示和讨论自己的解决方案，并从中学习和借鉴。
5.综合运用（20分钟）a.综合实例：给出一个综合性问题，要求学生运用所学知识解决。
b.分组合作：学生分组合作，讨论并解决综合实例问题。
c.展示与评价：学生小组轮流展示自己的解决方案，并进行评价和互动。
《抛物线及其标准方程》教案
《抛物线及其标准方程》教案《抛物线及其标准方程》教案教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
下面是小编整理的《抛物线及其标准方程》教案，欢迎大家分享。
《抛物线及其标准方程》教案篇1一、目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。
并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程（一）复习旧知在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线。
例如：（1），（2）的图象（展示两个函数图象）：（二）讲授新课1.课题引入在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。
到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题2.4.1抛物线及其标准方程）2.抛物线的定义信息技术应用（课堂中展示画图过程）先看一个实验：如图：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。
拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有MH=MF,即点M 与定点F和定直线的距离相等。
（也可以用几何画板度量MH，MF的值）（定义引入）：我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
切线的判定和性质数学教案设计
切线的判定和性质数学教案设计第一章：导言1.1 课程引入介绍切线的基本概念，让学生了解切线在几何学中的重要性。
通过实际例子，引导学生思考切线与曲线的关系。
1.2 切线的定义给出切线的定义，解释切线与曲线的接触点。
引导学生通过图形加深对切线的理解。
第二章：切线的判定2.1 判定条件一：切点在曲线上引导学生理解切点在曲线上的条件。
通过实际例子，展示切点在曲线上时，切线的性质。
2.2 判定条件二：切线与曲线有唯一交点解释切线与曲线有唯一交点的条件。
通过图形和实际例子，引导学生理解判定条件二。
第三章：切线的性质3.1 性质一：切线与半径垂直引导学生理解切线与半径垂直的性质。
通过图形和实际例子，展示切线与半径垂直的性质。
3.2 性质二：切线与曲线相切时，切线斜率等于曲线导数解释切线斜率等于曲线导数的性质。
通过实际例子，展示切线斜率等于曲线导数的性质。
第四章：切线的应用4.1 应用一：求曲线在某点的切线方程引导学生掌握求曲线在某点的切线方程的方法。
通过实际例子，展示求曲线在某点的切线方程的步骤。
4.2 应用二：求曲线的切线与曲线的交点引导学生掌握求曲线的切线与曲线的交点的方法。
通过实际例子，展示求曲线的切线与曲线的交点的步骤。
引导学生回顾切线的判定和性质，加深对切线的理解。
通过练习题，巩固学生对切线的判定和性质的掌握。
5.2 拓展切线在其他领域的应用引导学生思考切线在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
激发学生对切线应用的兴趣和好奇心。
第六章：切线方程的求法6.1 切线方程的斜率截距式解释切线方程的斜率截距式的概念。
引导学生通过图形和实际例子，理解斜率截距式在求切线方程中的应用。
6.2 切线方程的一般式解释切线方程的一般式的概念。
引导学生通过图形和实际例子，理解一般式在求切线方程中的应用。
第七章：切线与曲线的位置关系7.1 切线与曲线相切解释切线与曲线相切的条件。
引导学生通过图形和实际例子，理解切线与曲线相切时的特点。
高中数学新湘教版精品学案《问题探索——求作抛物线的切线》
【学习目标】
1．掌握求解抛物线的切线的方法。
2．会利用图形结合的有关知识和方法来求解抛物线的切线方程与计算，进一步培养运算能力。
【学习重难点】
重点：判断抛物线在某点是否有切线，求解切线方程的方法和步骤。
难点：理解并掌握如何求解抛物线的切线，计算在某点处切线的斜率。
【学习过程】
（1）在曲线上取另一点 ，计算直线 的斜率 ；
（2）在所得到的 的斜率的表达式 中让 趋于0，如果 趋于确定的数值，则该数值就是曲线在点 处的切线的斜率。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．求曲线 在点 处的切线的斜率。
2．函数 在 处的切线斜率是多少？
二、课程总结
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．它们在解题中具体怎么应用？
一、新课学习
知识点一：抛物线的切线方程计算。
（1）取不同于 的点 。根据 两点坐标，计算出直线 的斜率为 ；
（2）在 的斜率 中让 趋于0，得到点 处切线斜率为 。
所以过点 的切线的直线方程为 。
根据前面的知识做一做：
练习：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．判断曲线 在点 处是由有切线，如果有，求出切线的方程？
知识点二：切线斜率的计算方法与应用。
三、习题检测
1．过曲线 上两点 的切线的斜率是多少？
2．计算抛物线 上任意一点 处切线的斜率，并求出抛物线顶点处切线的方程。
高中数学_抛物线的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
使用时间2014 年 12月 9日第 1 课时授课类型新授课教学目标知识与技能：①掌握抛物线的几何性质：范围，对称性，顶点，离心率②会运用抛物线的性质求标准方程③会求抛物线的焦点弦过程与方法：通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列教学活动，获得知识与技能，进一步感受数形结合与转化的思想方法。
情感态度与价值观：通过观察、表达与交流等探究活动，进一步培养学生善于观察、勇于探索的精神，激发学生积极主动地参与数学学习活动，使学生愿学、乐学。
教学重点抛物线的几何性质及其简单应用教学难点抛物线的几何性质及其简单应用教学设计教师活动（教学内容的呈现及教学方法）学生活动设计意图问题导入类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？（提问方式：可以先回顾椭圆、双曲线的性质回答）学生回答采用类比方式学习本节内容，消除学生对新知识的恐惧感，增加学习的兴趣自主学习我们不妨以抛物线的标准方程)0(22>=ppxy为例探究其几何性质类比椭圆双曲线的性质，借助教材完成下列表格自主学习学生自主完成对知识的初始认识，避免一言堂，增加学生的参与度，使得学习更加有趣，效果更好由于授课班级学生学习水平、掌握知识水平参差不齐，能力方面差异也很大，程度稍好的同学完全可以独立完成本节内容的学习，但缺乏联系之前知识使其网络化的能力；程度稍差的同学则需要引导和点拨才能更好的学习本节内容。
因此我采用了先学后教的教学模式，在课堂上采用学生回答、类比学习、动画演示、表格归纳、方法归纳、实物投影仪的使用、小组合作等等的教学方式，从而实现让程度好的学生知识掌握的更加牢固、知识更加的系统化网络化，程度稍差的学生掌握知识的目的，而且丰富多样的教学方式也可以让学生更加的乐于学习和发现问题，更好的实现教学目标。
1. 从知识与技能方面：采用类比、动画展示、错误展示等方法学习抛物线的简单几何性质，达到了很好的学习效果；采用实物投影、学生方法展示等方法解决几何性质的应用，完成了本节的教学目标2. 过程与方法：通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列教学活动，进一步感受数形结合与转化的思想方法，整个教学过程中都不是教师说结论，而是引导学生归纳总结，教师只是引导的作用3. 情感态度与价值观：丰富多样的教学方式实现了这个目标，所有的问题与方法都来源于学生，激发学生积极主动地参与数学学习活动，使学生愿学、乐学，实现课堂效率的最大化。
《过抛物线焦点弦端点的切线的探究》教案全面版
课题《过抛物线焦点弦端点的切线的探究》教案授课时间2008年3月24日授课教师牛文化授课班级高三（4）班教学目标1、掌握抛物线的图像和性质，巩固圆锥曲线中常见的垂直的证明方法，增强学生解决综合性问题的信心.2、通过学生的研究讨论，发挥学生自主学习的能动性，提高学生分析问题、解决问题的能力. 培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力.3、通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度.重点与抛物线焦点弦有关的垂直关系和证明及应用.难点与抛物线焦点弦有关的垂直关系的证明和应用.教学过程教师活动学生活动设计意图一、课前回顾与反思前面我们研究了过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，过这两点的切线的交点的轨迹问题.首先请一名同学回忆一下研究的过程和结果.研究过程为：已知：如图1，设抛物线为22(0)x py p，焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，过A、B的切线相交于点P，求点P的轨迹.解：设直线AB的方程为2py kx，联立直线AB方程和抛物线方程有222py kxx py整理有2220x pkx p由抛物线方程22(0)x py p，可设点A、B的坐标分别为211(,)2xxp、222(,)2xxp.由韦达定理可知122x x pk，212x x p学生回忆学生回答回忆研究的过程，从中体会研究的方法，为下面进一步探究做铺垫.。
高中数学第四章导数及其应用4.1导数概念4.1.2问题探索_求作抛物线的切线课件湘教版选修2_2
无限趋近于6.
点评 割线向切线逼近的过程是从有限到无限的过
程，也是d趋于0的过程，这一过程实现了从割线到
切线质的飞跃．
1．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)为函数y＝x3曲线上两不同点．
(1)求当x1＝1，x2＝2时，kAB. (k2A)B求. 当x1＝x0，x2＝x0＋d时，A、B两点连线斜率
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解 (1)kAB＝fxx22－－xf1x1＝223－－113＝7. (2)kAB＝fxx22－－xf1x1 ＝x0＋dd3－x30 ＝3x20d＋3x0d2＋d3
d ＝3x02＋3x0d＋d2.
题型二 有关切线方程的探索 【例2】 已知曲线方程为y＝f(x)＝x3＋2x，求曲线在点P(1,3)
尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲， 怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。
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解 (1)kPA1＝11－ －93＝4，kPA2＝42－ －93＝5，
kPA4＝146－－39＝7，kPA5＝255－－39＝126＝8.
(2)当A沿曲线趋近于P点时，x0的值趋近于3，不妨设x0＝3＋
d(d≠0)，当x0→3时，d→0， 则kPA＝xx200－－93＝x0＋3＝(3＋d)＋3＝6＋d，
处的切线方程．
解 f(x0＋d)－f(x0)＝f(1＋d)－f(1) ＝(1＋d)3＋2(1＋d)－(13＋2×1) ＝3d＋3d2＋d3＋2d ＝5d＋3d2＋d3. 则k(1，d)＝5d＋3dd2＋d3＝5＋3d＋d2， 当d→0时，k(1)＝5， 则切线方程为：y－3＝5(x－1)即5x－y－2＝0.
抛物线相关教案
抛物线相关教案教案标题：探索抛物线的相关教案教学目标：1. 理解抛物线的定义和特征。
2. 掌握抛物线的标准方程及其图像特征。
3. 能够解决与抛物线相关的实际问题。
教学重点：1. 抛物线的定义和特征。
2. 抛物线的标准方程及其图像特征。
教学准备：1. 投影仪或白板。
2. PowerPoint或其他教学工具。
3. 教科书和练习册。
教学过程：引入：1. 使用投影仪或白板展示一张抛物线的图像，并引导学生观察图像的特征。
2. 向学生提问：“你们对抛物线有什么了解？抛物线在现实生活中有哪些应用？”鼓励学生积极参与讨论。
探索抛物线的定义和特征：1. 通过教科书或其他教学资源，向学生介绍抛物线的定义和特征，包括焦点、顶点、对称轴等概念。
2. 使用示意图和实例来帮助学生理解这些概念，并与实际生活中的抛物线进行联系。
抛物线的标准方程及其图像特征：1. 引导学生推导出抛物线的标准方程，并解释每个参数的含义。
2. 使用实例和图像来说明不同参数对抛物线图像的影响，如平移、缩放、翻转等。
3. 强调焦点和顶点在标准方程中的表示方式，并与图像特征进行对比。
解决与抛物线相关的实际问题：1. 提供一些与抛物线相关的实际问题，如抛射运动、抛物线轨迹等，要求学生运用所学知识解决问题。
2. 分组讨论和展示解决方案，并进行同学间的互动和讨论。
巩固与拓展：1. 分发练习册或布置在线练习，让学生巩固所学知识。
2. 鼓励学生进行抛物线相关的实践活动，如使用软件绘制抛物线图像、观察抛物线的实际应用等。
评估：1. 设计一份与抛物线相关的小测验，检查学生对于抛物线定义、特征、标准方程等方面的理解和应用能力。
2. 对学生的参与度、表现和解决问题的能力进行评估。
教学延伸：1. 鼓励学生进行更深入的研究和探索，如抛物线的性质、抛物线方程的推导等。
2. 引导学生运用抛物线相关知识解决更复杂的问题，如抛物线的最值问题、抛物线与其他图形的关系等。
教学反思：1. 对学生的学习情况进行总结和反思，了解他们对于抛物线相关知识的掌握情况。
数学：新人教版数学复习教案-作抛物线的切线
问题探索 求作抛物线的切线典例剖析题型一 平均变化率例1：在曲线12+=x y 的图象上取一点(1 ,2)及邻近一点（1＋Δx ，2＋Δy ）求x Δ yΔ 解：ΘΔy=1)1(2+∆+x -(21+1)=2x ∆+2x ∆， ∴x Δ y Δ=x ∆+2 评析：平均变化率y x ∆∆0000()()()f x x f x x x x +∆-=+∆- 题型二 抛物线的切线例2. 求抛物线y=f(x)=22x -x 在（1，1）点处的切线斜率解：Θ xf x f ∆-∆+)1()1(=3+2x ∆，令x ∆趋于0，则3+2x ∆趋于3.∴切线的斜率k=3, 评析：以上三种类型的问题中例1是平均变化率，而例2与例3都是瞬时变化率。
瞬时变化率就是平均变化率在改变量x ∆趋于0时的极限值。
备选题例3：曲线12+=x y 在点P ）（00,x y 的切线斜率为2, 求点P ）（00,x y 的坐标.解：设1)(2+=x x f 则02200211)()()t (x t tx t x t x f x f +∆=∆--+∆+=∆-∆+ 0000(t)()(t 0)(2)(t 0)22f x f x t x x t+∆-∴∆→=∆+∆→==∆ 1x 0=∴312200-=--=∴x y）。
，的坐标为（点31-∴P点评：直线与抛物线相切,一般的解题方法是将直线方程代入抛物线方程消元,,利用0=∆求解.点击双基1. 抛物线f(x)=x 2－3x+1在点（1，－1）处的切线方程为（ ）A ．y=-x －1B ．y=xC ．y=－xD ．y=x+1 解：xx x ∆+--+∆+-∆+)131(1)1(3)1(2=-1+x ∆,当∆x 趋于0时,得切线斜率k=-1，切线方程为y+1=-1(x-1)，故选C2.若抛物线y=2x +1的一条切线与直线y=2x-1平行，则切点坐标为（ ）A ．（1，1）B （1，2）C （2，5）D （3，10） 解：平均变化率=xx x x ∆+-+∆+)1(1)(22=2x+x ∆,所以斜率k=2x=2,得 x=1,Y=1. 故选A3 过点M （－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则切线方程为（ ）（A ）3x+y+3=0或10x y -+= （B ）330x y -+=或10x y ++=（C ）10x y -+= （D ）330x y -+= 解：设切点N （a,b ）,则切线斜率k=2a+1=MN k =1+a b =112+++a a a ,得a=0或a=-2 切线斜率k=1或k=-3 ，故选A4. 已知曲线22x x y -=上有两点A （2,0），B （-2,-8），则割线AB 的斜率AB k 为 解：由斜率公式求得AB k =25．已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是为＿＿＿ ＿＿ 解：00000(t)()(t 0)(24)(t 0)44,1f x f x t x x x t+∆-∴∆→=∆+∆→==-=-∆，点M 的坐标是（-1，3）课外作业：一．选择题1、若曲线处的切线那么在点处的切线方程为：（在点P y x a f a P x f y ,01))(,)(=++= 斜率（ ）A ．大于0B ． 小于0C ．等于0D ．符号不定解：由切线方程得斜率为-1<0，故选B2、已知曲线122+=ax y 过点)3,(a ,则该曲线在该点处的切线方程为（ ）A ．14--=x yB 14-=x y ．C ．114-=x yD ．74+-=x y 解：先将点)3,(a 代入122+=ax y 得1=a ,然后求切线斜率，故选B3、若曲线y=-2x +4x 的一条切线l 与直线2x-y-5=0平行，则l 的方程为（ ）A.2x-y-4=0B.2x+y=0C.2x-y+1=0D.2x+y-5=0解：易得'f (x)=-2x+4,则-2x+4=2，得x=1； 切点（1，3），切线斜率k=2; 故选C4、若曲线f(x)=2x 的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为( )A ．4x-y-4=0B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 解：易得'f (x)=2x ，则2x=4,x=2；切点（2，4），切线斜率k=4，故选A ，5、已知直线10x y --=与抛物线y=2x +a 相切，则a=( ) A.4 B.-43 C.-41 D.21 解;x a x a x x ∆+-+∆+)()(22=2x+x ∆,∴'f (x)=2x=1,得x=21.切点（21，41+a ） 在切线10x y --=上，a=-43. 故选B 6、曲线f(x)=x x 62-在点（1，－5）处的切线斜率为( )A ．k=3B ．k=－3C ．k=－4D ．k=4解：平均变化率=[]1)1(61)1(6)1(2-∆+--∆+-∆+x x x =∆x-4.当∆x 趋向0时，平均变化率 趋于-4，故选 C7、函数y ＝a x 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ．18 B ．41 C ．21 D ．1 解：把两个解析式联立得方程a x 2-x ＋1=0,由∆=0即得a ＝41，故选B 8、过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（ ）（A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+=解：12)(+='x x f ，设切点坐标为00(,)x y ，则切线的斜率为2 01x +，且20001y x x =++，于是切线方程为200001(21)()y x x x x x ---=+-，因为点（－1，0）在切线上，可解得 0x ＝0或－4，故选D 。
苏科版数学九年级上册《切线》教学设计
苏科版数学九年级上册《切线》教学设计一. 教材分析《苏科版数学九年级上册》中的《切线》章节是学生在学习了函数、几何等知识后，进一步探讨直线与曲线的关系。
本章节内容包括切线的定义、性质、切线方程的求法以及应用。
通过本章节的学习，学生能更深入地理解函数的性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数、几何等基本知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，对于抽象的数学概念和理论的掌握仍存在困难，因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过实例来理解和掌握切线的性质和求法。
三. 教学目标1.理解切线的定义和性质，掌握求切线方程的方法。
2.能够运用切线的知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学抽象能力。
四. 教学重难点1.重点：切线的定义、性质和切线方程的求法。
2.难点：切线方程的求法以及在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过实例引入切线概念，引导学生主动探究切线的性质和求法，通过小组讨论，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：包括切线的定义、性质、切线方程的求法以及应用的案例。
2.教学案例：选取与生活实际相关的案例，引导学生运用切线知识解决问题。
3.练习题：包括基础题、提高题和拓展题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入切线概念，如：“在一条直线上，有一个点，求过这个点的切线方程。
”引导学生思考切线的定义和性质。
2.呈现（15分钟）呈现PPT，讲解切线的定义、性质和切线方程的求法。
通过实例和动画演示，让学生直观地理解切线的概念和性质，掌握切线方程的求法。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据切线的定义和性质，求出给定函数在某一点的切线方程。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，包括基础题、提高题和拓展题。
2022年《问题探索求作抛物线的切线》导学案
问题探索—求作抛物线的切线典例剖析题型一平均变化率例1.在曲线的图象上取一点(1 ,2)及邻近一点〔1＋Δ，2＋Δy〕求题型二抛物线的切线例2.求抛物线y=f(x)=2-x在〔1，1〕点处的切线斜率备选题例3.曲线在点P的切线斜率为2, 求点P的坐标.点击双基1.抛物线f(x)=x2－3x+1在点〔1，－1〕处的切线方程为〔〕A．y=-x－1 B．y=x C．y=－x D．y=x+12.假设抛物线y=+1的一条切线与直线y=2x-1平行，那么切点坐标为〔〕A．〔1，1〕B．〔1，2〕C．〔2，5〕D．〔3，10〕3.过点M〔－1，0〕作抛物线的切线，那么切线方程为〔〕A．3x+y+3=0或B．或C．D．4.曲线上有两点A〔2,0〕，B〔-2,-8〕，那么割线AB的斜率为.5.曲线在点M处的瞬时变化率为-4，那么点M的坐标是为.课外作业：一．选择题1、假设曲线斜率〔〕A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．符号不定2、曲线过点,那么该曲线在该点处的切线方程为〔〕A． B C．D．3、假设曲线y=-+4x的一条切线与直线2x-y-5=0平行，那么的方程为〔〕A．2x-y-4=0 B．2x+y=0 C．2x-y+1=0 D．2x+y-5=04、假设曲线f(x)=的一条切线与直线垂直，那么的方程为〔〕A．4x-y-4=0 B．C．D．5、直线与抛物线y=+a相切，那么a=〔〕A．4 B．- C．- D．6、曲线f(x)=在点〔1，－5〕处的切线斜率为〔〕A．k=3 B．k=－3 C．k=－4 D．k=47、函数y＝x2＋1的图象与直线y＝x相切，那么＝〔〕A．B．C．D．18、过点〔－1，0〕作抛物线的切线，那么其中一条切线为〔〕A．B．C．D．二．填空题：9、设曲线在点〔1，〕处的切线与直线平行，那么.10、曲线y=-3的一条切线的倾斜角为，那么切点坐标为.11、设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，那么点P横坐标的取值范围为.三．解答题：12、求抛物线y=f(x)=2-x在〔1，1〕点处的切线斜率.13、曲线在点P的切线斜率为2, 求点P的坐标.14、抛物线y=f(x)= +3与直线y=2x+2,求它们交点处的切线方程。
高中数学新湘教版精品学案《问题探索——求作抛物线的切线》8
问题探索——求作抛物线的切线【学习目标】掌握抛物线的切线方程的求法，巩固“坐标法”在解决直线与抛物线位置关系问题的应用【学习重难点】重点：抛物线的切线方程的求法。
难点：在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物线的位置关系问题。
【学习过程】一、新知识学习：1．求曲线上点P 处切线斜率的方法设(,())P u f u 是函数()y f x =的曲线上的任一点，则求点P 处切线斜率的方法是：（1）在曲线上取不同于P 的点(,())Q u d f u d ++，计算直线PQ 的斜率(,)k u d =_______。
（2）在所求得的PQ 的斜率的表达式(,)k u d 中让d 趋于0，如果(,)k u d 趋于______的数值()k u ，则______就是曲线在P 处的切线斜率。
2．过某点的曲线的切线方程要正确区分曲线“在点(,)u v 处的切线方程”和“过点(,)u v 的切线方程”。
前者以点(,)u v 为切点，后者点可能在曲线上，也可能不在曲线上，即使在曲线上，也不一定是切点。
3．曲线的割线与切线的区别与联系曲线的割线的斜率反应了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势，刻画了曲线在这一区间升降的程度，而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态，它实现了由割线向切线质的飞跃。
二、要点阐述1．求曲线()y f x =上一点00(,)x y 处切线斜率的步骤（1）作差求函数值增量y ∆，即00()()f x d f x +-。
（2）化简y d∆，用0x 与d 表示化简结果。
（3）令0d →，求y d ∆的极限即所求切线的斜率。
【达标检测】1．设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x d +时，函数的改变量y ∆为（ ）。
A ．0()f x d +B ．0()f x d +C ．0()f x d +D ．00()()f x d f x +-2．函数2y x =在1x =处的切线斜率k =______。
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《4.1.2 问题探索——求作抛物线的切线》教案
一、教学目标、重点、难点
知识目标：掌握抛物线的切线方程的求法，巩固“坐标法”在解决直线与抛物线线位置关系问题的应用.
能力目标：培养学生的运算能力和思维能力，让学生进一步体会数形结合、化归与转化的数学思想.
情感目标：通过问题的探究，培养学生勇于探索的精神，使学生经历一个发现问题，研究问题，解决问题的思维过程，从中领悟其过程所蕴涵的数学思想，体验数学发现和创造的历程，培养学生的创新精神.
教学重点和难点：在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物线的位置关系问题.
二、教学过程
（一）引入
在近5年高考中，有些省份的解析几何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题，如2005江西，2006全国卷II ，2007江苏，2008山东，2009浙江等试题中的解析几何题都以抛物线的切线形式出现，所以我们有必要研究这些题目，希望通过研究它们来进一步提高我们对直线与抛物线的位置关系的认识，提高我们的解题能力.
（二）典型例题
例1 (2007江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向
上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2
y x =相交于,A B 两点，一条垂直于
x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q 两点.
（1）若2OA OB ⋅=u u u r u u u r
，求c 的值；
（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.
分析：(1)设出AB 的直线方程，及A ，B 两点坐标联立抛物线方程，利用韦达定理即可.
（2）AQ 的斜率用A 点导数表示，也可用两点斜率公式表示，两者相等就得证.
（3）先写出逆命题，再利用斜率相等. 解：（1）设直线AB 的方程为c kx y +=，
将该方程代入2y x =得02=--c kx x .
令A ),(2
11x x ,B
),(222x x ，则c x x -=21. 222
22121=+-=+=⋅c c x x x x Θ,
.2.(1,2=-==∴c c c 故舍去）或
(2)由题意知
),2(
2
1c x x Q -+， 直线AQ 的斜率为
1
2
12
12121121222x x x x x x x x x c x k AQ
=--=+-
+=
又2
y x =的导函数为x y 2='，
所以点A 处切线的斜率为12x .因些，QA 为此抛物线的切线. （3）（2）的逆命题成立，证明如下： 设
)
,(0c x Q -，若AQ 为该抛物线的切线，则
1
2x k AQ =.
又直线AQ 的斜率为
012
1210121x x x x x x x c x k AQ
--=-+=，
1
12
1212x x x x x x =--∴
2
121012x x x x x +=∴
)0(212
10≠+=
∴x x x x
所以点P 的横坐标为
22
1x x +，即逆命题成立. 评析：本题只要抓住斜率相等关键条件，结合韦达定理，准确地运算，即可得到解答.
例2（2010 浙江金华十校）已知抛物线C1：2
x y =，
椭圆2C ：142
2
=+y x .
（1）设21,l l 是C1的任意两条互相垂直的切线，并设M l l =21I ，证明：点M 的纵坐标为定值；
（2）在C1上是否存在点P ，使得C1在点P 处切线与2C 相交于两点B A 、，且AB 的中垂线恰为C1的切线？若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.
分析：（1）设出切点坐标),(2
11x x ,
),(222x x ，利用导数可写出两个切线方程)(21121x x x x y -=-，
)(2222
2x x x x y -=-，又21l l ⊥可得到斜率之积12221-=x x 通过运算得到结论.
（2）设出坐标写出切线方程联立椭圆方程，利用韦达定理及（1）找出相关的关系式进而解出点P 从标.
解：(1)设切点分别为),(2
11x x ,
),(222x x ， 由x y 2='可得
)(211211x x x x y l -=-的方程即2112x x x y -= ①
的方程2l 2
2
22x x x y -= ②
联立①②并解之，得
⎪⎩⎪⎨⎧
=+=2
1212x x y x x x
即为点M 的坐标),2(
212
1x x x x +
21l l ⊥Θ12221-=∴x x ，所以
41
21-
==x x y M
即点M 的纵坐标为定值41
-
.
（2）设
)
,(2
00x x P ，则C1在点P 处的切线方程为2
02x x x y -=，
代入2C 方程
0442
2=-+y x ，得 0
44)44(4
030220=-+-+x x x x x ，
设
)
,(),,(4433y x B y x A ，则
2
4
0432********
,1x x x x x x x x +-=+=+，0)44(164020>-+=∆x x
由（1）知
41-
=M y ，从而41243-=+y y ，即41)(20430-=-+x x x x ，
进而得41120204
0-=-+x x x ，解得
3120
=x 经检验
31
2
0=
x 满足0>∆，所以这样的点P 存在，其坐标为
)31,33(± 评析：本题通过导数得到切线斜率，使求切线方程过程得到简化，为求点M 的坐标奠定基础，点M 又使两小量连接起来.关于存在性问题，务必要检验结论成立的条件.本题变量多，运算量大，只有在清晰的思路的引导下，规范书写，才能避免出错.
（三）练习
（2006全国II ，21）已知抛物线2
4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线
上的两动点，且
(0).AF FB λλ=>u u u r u u u r
过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设
其交点为M.
（I ）证明AB FM ⋅为定值；
（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的
最小值。
解：(I)由题意，设直线AB 的方程为1+=kx y 代入
24x y =得0442=--kx x
设),(),,(2211y x B y x A 则4,42121-==+x x k x x
又2x
y =
'所以切线方程分别为42211x x x y -=，
422
22x x x y -=从而)1,2(
2
1-+x x M
所以
22
21x x k FM +-
=
，故1
4222121-=+⋅+-=⋅x x x x k k FM 即
AB FM ⊥
所以0=⋅为定值.
(II) 由λ=得21x x λ=-，又有421-=x x 所以
λλ14,42
221==x x ，由（I ）可知点M 在抛物线的准线上，所以
2
1
221++
=++=λ
λy y AB
21
2)2(
||221++=++=λλx x FM
所以
2
3
)21
(||||21++=⋅=ΛλλFM AB S ABM
由基本不等式可求得面
积最小值为4.
四）课堂小结
1．通过本节课学习，我们发现这些题中都有一个相似的地方：过抛物线外一点作抛物线的两条切线，同时这两条切线所带来一些性质比如切点坐标，定值等，在这里还有其他性质我们在课外可以继续研究。
2．“坐标法”始终是解决直线与圆锥曲线位置关系的基
本方法，而“韦达定理”始终起到“桥梁”作用。
（五）作业
1．（2008山东，理22）如图，设抛物线方程为x2=2py(p
＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，
切点分别为A，B.
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，
410 AB=
，
求此时抛物线的方程.
2．（2005江西，理22）如图，设抛物线
2 :x
y
C=的
焦点为F，动点P在直线
2
:=
-
-y
x
l上运动，过P作
抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.。