【三维设计】人教版高中数学选修2-1练习：阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程(含答案解析)
人教版高二数学选修2-1第二章圆锥曲线测试题以及详细答案
、选择题:高二圆锥曲线单元测试姓名: 得分:1.动点M的坐标满足方程13tx2 2y |12x 5y 12|,那么动点M的轨迹是〔A. 抛物线B.双曲线C.椭圆D.以上都不对2.设P是双曲线2 2\上一1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3xa292y 0, F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,假设IP% | 5,那么| PF2 | (A. 1 或5B. 1 或9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为那么椭圆的离心率是〔〕F i、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,假设^ F1PF2为等腰直角三角形,A;八.2B. C. 2 2 D. 24.过点〔2,-1〕引直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线共有〔〕条A. 1B.2C. 3D.45.点A〔2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足PA PB 2y ,那么点P的轨迹是〔〕A.圆B,椭圆C,双曲线 D.抛物线6.如果椭圆A x 2y2 2x y36 90 B. x1的弦被点〔4, 2〕平分,那么这条弦所在的直线方程是〔7、无论为何值,方程2y 4 0 x22sinC . 2x 3y 12 0y21所表示的曲线必不是〔D x 2y 8 0A.双曲线B.抛物线2 28.万程mx ny 0与mx 2nyC.椭圆D.以上都不对1 (m n 0〕的曲线在同一坐标系中的示意图应是C2 2 y — 1和双曲线—9 7 2y — 1有以下命题:9三、解做题:,,—………,14 (1),1共焦点,它们的离心率之和为二,求双曲线方程.(12分)5216. P 为椭圆—25.y — 1上一点,92的面积；点P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PA PF(1)求点P 的坐标;(2)设M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线AP 的距离等于| MB | ,求椭圆上的点到 二、填空题:①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点；②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点 ③ 双曲线与椭圆共焦点；④椭圆与双曲线有两个顶点相同 .其中正确命题的序号是 10.假设直线 (1 a)x y 1 0与圆x 2 y 22x 0相切,那么a 的值为11、抛物线y x 2上的点到直线4x 3y 8 0的距离的最小值是 12、抛物线 C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,那么点Q 的坐标 2 2 13、椭圆 —L 1的焦点为F I 和F 2,点P 在椭圆上,如果线段 PF 1中点在y 轴上, 12 3那么|PR|是|PF 2|的 14.假设曲线1的焦点为定点,那么焦点坐标是17、求两条渐近线为2y 0且截直线x y 3 0所得弦长为曳3的双曲线方程.(14分)3.......................... 2 18、知抛物线y 焦点为F,顶点为.,点P 在抛物线上移动,Q 是OP 的中点,M 是FQ 的中点,求点M 的轨迹方程.(12分) 19、某工程要将直线公路 l 一侧的土石,通过公路上的两个道口道总AP 、BP 运往公路另一侧的 P 处,PA=100m, PB=150m,/ APB=60 ° ,试说明怎样运土石最省工? 20、点A 、B 分别是椭圆——36 20 1长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦点,2• , 一 x 9.对于椭圆一1615.双曲线与椭圆25F I 、F 2为左右焦点,假设 F 1PF 2 60(2)求P 点的坐标.(14分)M 的距离d 的最小值圆梦教育高二圆锥曲线测试题做题卡选择题(5*8=40)题号12345678答案、填空题(5*6=30)9. ______________ 10 ______11. _______________ 12 ______13. _______________ 14. ______17、(14 分)19、〔14 分〕20、〔14 分〕高二理科数学圆锥曲线测试题答案9.①② 10、-1 11 > -12.3三、解做题：1.、(,,1) 13. 7倍 14. (0, ±3)415.(12 分)解：由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为 e=4 ,所以双曲线的焦点为522c=4,a=2,b=2#.所以求双曲线方程为：匕 x- 1412x 2-4y 2 = o联立方程组得： X 4y ,消去y 得,3x 2-24x+(36+x y 3 0、选择题ADDCDDBA填空题: 16.［解析］：丁 a=5, b= 3 c = 4(1)设 | PF I | t 1 , | PF 2 1t 2 ,那么 t 1t 210 ①t 12 t ；F 1PF 22"2 cos60 1"2 sin 60 2 82②,1 122由①3 2—②得用21233(2)设 P(x,y),由 S F 1PF 222c |y14 1yH 寸 4| y | 3%；33 31y1方入椭圆方程解得x 5J3, 417、解：设双曲线方程为 x 2-4y 2=.P(迎幽或P (返,室)或4 , 44 ,4P ( 5713 33、成丁 J P(4 5 1343J.设直线被双曲线截得的弦为 AB,且AlxjyDBl x 2,y 2),那么: 那么：|AB|二、.(1 , 2 2k )[(X I X 2) 4x 1X 2] (1 1)(82 36 4 3)解得： =4,所以,所求双曲线方程是: X IX 1X2242x 2 8 36 3 12(368(12—)8.318 [解析]: 4设 M (x,y), P ( X 1,yJ, Q y 2 1X 2 FQ 的中点 (X2, y2),1 X 22 2y 2易求4x 的焦点F 的坐标为( 1, 0)X2 V22x 2y1 ,又Q 是OP 的中点X I 2V1X I 2x 2 4x2y 2 4yF(0, 4),离心率为 2,从而)=0••.P 在抛物线y 2 4x 上,(4y)2 4(4x 2),所以M 点的轨迹方程为y 2x 工219解析：设直线l 与椭圆交于P i (x i, y .、P 2(X 2, y 2), 将P i 、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率犬1 +/2当一为［网』 产 £k= 1 t =- -：1. '< =- 一 =-二二—J由点斜式可得l 的方程为x+2y-8=0. 答案：x+2y-8=0 解：以直线l 为x 轴,线段AB 的中点为原点对立直角坐标系,那么在l 一侧必存在经A 到P 和 经B 到P 路程相等的点,设这样的点为 M,那么 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即 |MA| — |MB|=|BP|- |AP|=50,| AB | 50 7 ,椭圆上的点(x , y )到点M 的距离d 有M 在双曲线2522y2252 61的右支上.故曲线右侧的土石层经道口 按这种方法运土石最省工.B 沿BP 运往P 处,曲线左侧的土石层经道口 A 沿AP 运往P 处, 20(14分)解:(1)由可得点uuu设点 P (x , y ),那么 AP =( x +6,A(-6,0),F(0,4)uuuy ) , FP = ( x — 4, y ),由可得2(x 6)(x 4) y 2那么 2x 2+9x —18=0, x =3或 x =—6.2由于y >0,只能x = 3,于25、. 3 y= ---------了 2.・•点P 的坐标是(3,5-13-) 2 2(2)直线AP 的方程是x — J 3 y +6=0.设点M( m ,0),那么M 到直线AP 的距离是于是m 6,又—6M < 6军得 m =2.36 202 2 2 2 5 2 4 9.2d (x 2) y x 4x 4 20 x (x ) 15,9 9 2由于一6<m <6,,当x = 9"时,d取得最小值v1152说明：在解析几何中求最值：一是建立函数关系,利用代数方法求出相应的最值；再是利用圆锥曲线的几何性质或者曲线的参数方程求最值.。
2018-2019学年高二数学选修2-1阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程
阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]二题 号一151617181920总 分得 分一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．(江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________________________．x 216y 292．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－＝1的渐近线的距离是________．y 233．方程＋＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是x 2(a －1)2y 2a 2_____________．4．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：－＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的x 29y 216长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．5．设点P 是双曲线－＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是x 2a 2y 2b 2双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．6．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是____________________________．7．已知双曲C 1＝－＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦x 2a 2y 2b 2点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________________________．8．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝8，则P 1P 2的值为________．9．椭圆＋＝1的右焦点到直线y ＝x 的距离是________．x 24y 233310．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两x 2a 2y 2b 2点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝，则C 的离心率为________．4511．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F x 2a 2y 2b 2的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________________________．12．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于__________________________．13．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．14．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆＋＝1的离心率e ＝；③抛物线x ＝2y 2的准线的方程是x ＝－；④双曲线x 23y 225318－＝－1的渐近线方程是y ＝±x .y 249x 22557其中所有不正确命题的序号是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)求与椭圆＋＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，x 2144y 2169并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．16．(本小题满分14分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．17.(本小题满分14分) 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线x 2a 2y 2b 2AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为40，求a ，b 的值．318．(浙江高考)(本小题满分16分)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的x 2a 2y 2b 2直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．9．(陕西高考)(本小题满分16分)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．20．(湖南高考)(本小题满分16分)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：· <2p 2；FM FN(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为，求抛物线E 的方程．755答 案1．解析：令－＝0，解得y ＝±x .x 216y 2934答案：y ＝±x342．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，所以所3求距离为＝.|±3×1－0|1＋332答案：323．解析：由题意得Error!解之得a <，且a ≠0，12即a 的取值范围是(－∞，0)∪.(0，12)答案：(－∞，0)∪(0，12)4．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －PA ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：445．解析：由Error!得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α，在△PF 1O 中，PF ＝OF ＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α ①，2121在△OPF 2中，PF ＝OF ＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α) ②，22由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝a ，2①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝＝＝.ca 3aa 3答案：36．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即＝2－x .(x ＋2)2＋y 2∴y 2＝－8x .答案：y 2＝－8x7．解析：∵双曲线C 1：－＝1(a >0，b >0)的率心率为x 2a 2y 2b 22.∴＝＝2，∴b ＝a .∴双曲线的渐近线方程为 x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)c a a 2＋b 2a33的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2.(0，p2)|3×0±p 2|2∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .答案：x 2＝16y8．解析：由题意知p ＝4，由抛物线的定义得P 1P 2＝P 1F ＋P 2F ＝＋＝(y 1＋y 2)＋p ＝8＋4＝12.(y 1＋p2)(y 2＋p2)答案：129．解析：∵椭圆＋＝1的右焦点为(1,0)，x 24y 23∴右焦点到直线x －3y ＝0的距离d ＝＝.333＋912答案：1210．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×＝36，则AF ＝6.由45AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝＝5.设椭AB2圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝＝.c a 57答案：5711．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝(x －3)，12代入椭圆方程＋＝1消去y ，得x 2－a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，x 2a 2y 2b 2(a 24＋b 2)3294所以AB 的中点的横坐标为＝1，即a 2＝2b 2，32a 22(a 24＋b 2)又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3.所以E 的方程为＋＝1.x 218y 29答案：＋＝1x 218y 2912．解析：令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由Error!得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝，∴AB ＝＝14(1＋22)(x 1－x 2)2＝.5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]15答案：1513．解析：如图，设椭圆的方程为＋＝1(a ＞b ＞0)，焦半径为x 2a 2y 2b 2c .由题意知∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2F 1＝60°.∴AF 2＝c ，AF 1＝2c ·sin 60°＝c .3∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(＋1)c .3∴e ＝＝＝－1.ca 23＋13答案：－1314．解析：①表示的图形是一个点(1,0)；②e ＝；33④渐近线的方程为y ＝±x .75答案：①②④15．解：椭圆＋＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，x 2144y 2169于是设双曲线方程是－＝1(a >0，b >0)，y 2a 2x 2b 2又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是－＝1，实轴长为4，y 24x 221焦距为10，离心率e ＝＝，c a 52渐近线方程是y ＝±x .2212116．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0，则x 1＋x 2＝.2k 2＋4k 2由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2，∴x 1＋x 2＋2＝8，即＋2＝8.2k 2＋4k 2解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)，即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.17．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝.12(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－(x －c )．3代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B .(85c ，－335c)所以|AB |＝·|c －0|＝c .1＋385165由S △AF 1B ＝|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝a ·c ·＝a 2＝40，解得a ＝10，b ＝5.12121653223533法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t .由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝a .85由S △AF 1B ＝a ·a ·＝a 2＝40知，1285322353a ＝10，b ＝5.318．解：(1)由题意得Error!所以椭圆C 1的方程为＋y 2＝1.x 24(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝，1k 2＋1所以AB ＝2＝2 .4－d 24k 2＋3k 2＋1又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由Error!消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－，y 0＝－1.8k4＋k 284＋k 2所以PD ＝.8k 2＋14＋k 2设△ABD 的面积为S ，则S ＝AB ·PD ＝，1284k 2＋34＋k 2所以S ＝≤＝，324k 2＋3＋134k 2＋33224k 2＋3·134k 2＋3161313当且仅当k ＝±时取等号．102所以所求直线l 1的方程为y ＝±x －1.10219．解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |.由此得|4－x |＝2，(x －1)2＋y 2化简得＋＝1，x 24y 23所以，动点M 的轨迹方程为＋＝1.x 24y 23(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入＋＝1中，x 24y 23有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，故k 2>.32由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－，①24k3＋4k 2x 1x 2＝.②243＋4k 2又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③将③代入①，②，得x 1＝－，x ＝，8k3＋4k 221123＋4k 2可得2＝，且k 2＞，(－8k3＋4k 2)123＋4k 232解得k ＝－或k ＝，3232所以直线m 的斜率为－或.3232法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵A 是PB 的中点，∴x 1＝，①x 22y 1＝.②3＋y 22又＋＝1，③x 214y 213＋＝1，④x 24y 23联立①，②，③，④解得Error!或Error!即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，所以直线m 的斜率为－或.323220．解：(1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F，(0，p 2)直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋.p 2由Error!得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk ＋p .21所以点M 的坐标为，＝(pk 1，pk )．(pk 1，pk 21＋p 2)FM 21同理可得点N 的坐标为，＝(pk 2，pk )．(pk 2，pk 2＋p 2)FN 2于是·＝p 2(k 1k 2＋k k )．FM FN 212因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<2＝1.(k 1＋k 22)故·<p 2(1＋12)＝2p 2.FM FN (2)由抛物线的定义得FA ＝y 1＋，FB ＝y 2＋，p 2p 2所以AB ＝y 1＋y 2＋p ＝2pk ＋2p ，21从而圆M 的半径r 1＝pk ＋p .21故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋2＝(pk ＋p )2，(y －pk 21－p 2)21化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k ＋1)y －p 2＝0.2134同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k ＋1)y －p 2＝0.234于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k －k )y ＝0.221又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0.因为p >0，所以点M 到直线l 的距离d ＝＝|2pk 21＋pk 1＋p |5p |2k 21＋k 1＋1|5＝.p [2(k 1＋14)2＋78]5故当k 1＝－时，d 取最小值.147p 85由题设，＝，解得p ＝8.7p 85755故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .。
(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(有答案解析)(2)
一、选择题1．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ．25B ．45C ．15D ．232．已知直线2y kx =+与椭圆2219x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥B ．09m <<C ．49m ≤<D ．4m ≥且9m ≠3．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ）A ．16B ．8C ．4D ．24．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（ ）A ．8B ．4C ．D ．7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±8．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．9169．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（ ）A ．11,164⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,162⎛⎫⎪⎝⎭ D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．45π B ．34πC ．(65)π-D ．54π11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3cos 5ABF ∠=，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．3C ．2D 612．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B 3C ．13D 23二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且2PQ =，则PQF △外接圆的方程为_____.15．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，13PF =，123F PF π∠=，则b =______．16．在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12+=x E y ，直线10x y +-=与椭圆E 交于A ，B 两点，则△AOB 的外接圆圆心的坐标为______．17．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.18．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过C 上一点A 作C 的准线l 的垂线，垂足为B ，连接FB 交x 轴于点D ，若||5AF =，则||AD =_________．19．已知点M 抛物线24y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，点A 在圆()()22:311C x y -+-=上，则MA MF +的最小值________．20．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，右焦点为()1,0F ，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为()123123,,0k k k k k k ≠.若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为-1（O 为坐标原点），则123111k k k ++=______. 三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与椭圆：2212x y +=的右焦点重合． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）记(4,0)P ，若抛物线C 上存在两点B ，D ，使PBD △为以P 为顶点的等腰三角形，求直线BD 的斜率的取值范围．22．已知椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的离心率为2e =，点1)-在椭圆D 上.（1）求椭圆D 的标准方程；（2）设点(2,0)M -，(2,0)N，过点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点(A 点在x 轴上方)，设直线MA ，NB (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，求证：12k k 为定值. 23．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在椭圆C上，且112AF F F ⊥，12AF F △的面积为32，点,2b B b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率存在且不为零的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，点M 的坐标为()8,0，若直线MP ，MQ 的倾斜角互补，求证：直线l 过定点．24．已知：椭圆221164x y +=，求：（1）以()2,1P -为中点的弦所在直线的方程； （2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．25．已知离心率e =C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B两点，且3AB =，求直线l 的方程. 26．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上运动，求12PF PF ⋅的取值范围； （2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB 、COD △的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则33y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=， 所以椭圆的离心率45EF e QE QF==+. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.2．D解析：D 【分析】由直线2y kx =+恒过(0,2)点，将问题转化为点(0,2)在椭圆2219x y m+=上或椭圆内，可得选项. 【详解】因为直线2y kx =+恒过(0,2)点，为使直线1y kx =+与椭圆2219x y m +=恒有公共点，只需点(0,2)在椭圆2219x y m +=上或椭圆内，所以220219m+≤，即4m ≥.又9m ≠，所以4m ≥且9m ≠.故选：D. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题.3．C解析：C 【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2c =. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±， ∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =，∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==≥当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方4．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 5．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．6．A解析：A 【分析】设122F F c =，求出1AF ，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .【详解】设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则223b c a a =-=， 所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形， 四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.7．C解析：C 【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b ，得渐近线方程． 【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c = 渐近线方程为by x a=±，其中一条为0bx ay -=，1==，1b =，∴a = ∴渐近线方程为y x =． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b ．解题时要注意椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ．两者不能混淆．8．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=， 即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=， 所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立003412x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.9．B解析：B 【分析】 当l ：0y =时，2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()222210my my +--=， 然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2||||FM AB 求解. 【详解】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())(),,0,0A B M，1,FM AB ==所以2||1||8FM AB =， 设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得： ()222210my my +--=，由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫⎪++⎝⎭， 所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭， 令0y = ，得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭， 所以221||2m MF m +=+，又()()2222281||2m AB m +==+， 所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 故选：B. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为AB ===k 为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1122O l d -==，圆C 面积的最小值为2455ππ⎛= ⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.11．A解析：A 【分析】在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率． 【详解】在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5ABF ∠=， 由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠， 从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．||16BF ∴'=，||10FF '=．2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =．5ce a ∴==． 故选：A.【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12．B解析：B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=，因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a+-=-=-+， 又1212011422AB y y k x x -+===--， 所以22212b a =，即2a b =，所以231c b e a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB 方程为33()34y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．【分析】由题可判断为直角三角形即外接圆的圆心为中点求出圆心和半径即可写出圆的方程【详解】由抛物线方程可知焦点准线方程为即则即为直角三角形外接圆的圆心为中点即圆心为半径为外接圆的方程为故答案为：【点睛 解析：()2212x y +-=【分析】由题可判断FPQ △为直角三角形，即PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程. 【详解】由抛物线方程可知焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，2PQ =，∴12P x +=，即1P x =，则2P y =， ()()1,2,1,2P Q ∴-，FP PQ ∴⊥，即FPQ △为直角三角形，∴PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，即圆心为()0,1，半径为122FQ =， ∴PQF △外接圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.15．【分析】作出图形利用椭圆的定义可求得利用余弦定理可求得的值进而可求得的值【详解】根据椭圆的定义：在焦点中由余弦定理可得：则所以故答案为：【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数考查解析：32【分析】作出图形，利用椭圆的定义可求得2PF ，利用余弦定理可求得c 的值，进而可求得b 的值. 【详解】根据椭圆的定义：2231PF a =-=，在焦点12PF F △中，由余弦定理可得：222212121242cos 73c F F PF PF PF PF π==+-⋅=，274c ∴=，则22279444b ac =-=-=，所以，32b =.故答案为：32.【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】首先联立方程求得设圆心坐标利用其到△三个顶点的距离相等列出等量关系式求得结果【详解】联立方程可得：设圆心坐标则得：故答案为：【点睛】该题考查的是有关圆的问题涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点解析：51,62⎛⎫⎪⎝⎭【分析】首先联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，求得()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设圆心坐标(),x y ，利用其到△AOB 三个顶点的距离相等，列出等量关系式，求得结果. 【详解】联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()0,1A ，41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设圆心坐标(),x y ，则()22222241133x y x y x y ⎛⎫-++=+=+- ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭， 得：56x =，12y =， 故答案为：51,62⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点，三角形外接圆的圆心的求法，属于简单题目.17．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案 解析：12【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则BC c ==，又30COB α∠==︒，则1sin 2c e a α===. 故答案为：12【点睛】本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.18．【分析】设根据利用抛物线的定义得到解得代入中得到AB 的坐标直线的方程令得D 的坐标用两点间的距离公式求解【详解】设因为所以得代入中得当时则直线为令得所以当时同理得故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线的解析：【分析】设()00,A x y ，根据||5AF =，利用抛物线的定义得到0||15AB y =+=，解得04y =，代入24x y =中，得到A ，B 的坐标，直线BF 的方程，令0y =，得D 的坐标，用两点间的距离公式求解. 【详解】设()00,A x y ，因为||5AF =， 所以0||15AB y =+=，得04y =，代入24x y =中，得04x =±，当(4,4)A 时，(4,1)B -，则直线BF 为112y x =-+， 令0y =，得(2,0)D ，所以||AD =当(4,4)A -时，同理得||AD =故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．3【分析】由题得抛物线的准线方程为过点作于根据抛物线的定义将问题转化为的最小值根据点在圆上判断出当三点共线时有最小值进而求得答案【详解】由题得抛物线的准线方程为过点作于又所以因为点在圆上且半径为故当解析：3 【分析】由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，根据抛物线的定义将问题转化为MA MN +的最小值，根据点A 在圆C 上，判断出当、、C N M 三点共线时，MA MN +有最小值，进而求得答案. 【详解】由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，又MN MF =， 所以=MA MF MA MN ++，因为点A 在圆()()22:311C x y -+-=上，且()3,1C ，半径为1r =，故当、、C N M 三点共线时，()min413MA MN CN r +=-=-=，所以MA MF +的最小值为3. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程与定义，与圆有关的最值问题，考查了学生的转化与化归的思想.20．2【分析】求出椭圆的方程利用点差法求得直线的斜率同理即可求得【详解】由题意可得所以所以椭圆的标准方程为设由两式作差可得则而故即同理可得所以故答案为：2【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法考查解析：2 【分析】求出椭圆的方程，利用“点差法”求得直线AB 的斜率，同理即可求得123111k k k ++ 【详解】 由题意可得1c =，22c a =，所以2a =221b a c =-=， 所以椭圆的标准方程为2212x y +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，1212,22x x y y D ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ， 两式作差可得()()()()212121212x x x x y y y y -+=--+，则()212121212y y x x y y x x -+=-+-， 而1212OD y y k x x +=+，故1122AB ODk k k =-=-，即112OD k k =-， 同理可得212OE k k =-，312OF k k =-， 所以()12311122OD OE OF k k k k k k ++=-++=. 故答案为：2 【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）方程为24y x =，准线为1x =-；（Ⅱ）2,,2⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为()1,0，即可求出p ，得出抛物线方程和准线； （Ⅱ）设直线BD 的方程为y kx m =+，联立直线与抛物线方程，可得1km <，表示出BD 中点M ，由题可得PM BD ⊥，由1PM k k=-建立关系可求. 【详解】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为()1,0， 抛物线与椭圆右焦点重合，12p∴=，即2p =， 故抛物线C 的方程为24y x =，准线为1x =-； （Ⅱ）设直线BD 的方程为y kx m =+，联立直线与抛物线方程24y kx m y x=+⎧⎨=⎩，可得()222240k x km x m +-+=，则()2222440km k m ∆=-->，可得1km <，设()()1122,,,B x y D x y ，212122242,km m x x x x k k-∴+==， 设BD 中点为()00,M x y ，则120222x x km x k +-==，002y kx m k=+=，PBD △为以P 为顶点的等腰三角形，则PM BD ⊥，则2220212244PMk k k km km k k k -===-----，整理可得222km k =-， 1km <，则2221k -<，解得2k <-或k >，故直线BD的斜率的取值范围为2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.22．（1）22142x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得到关于,a b 的方程组，解方程组即得解；（2）设直线l 的方程为x my =+理化简12kk 即得解.【详解】（1）椭圆D的离心率2e a ==，a ∴=，又点1)-在椭圆D 上，22211a b∴+=，得2a =，b = ∴椭圆D的标准方程22142x y +=.（2）由题意得，直线l 的方程为x my =+由22142x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消元可得()22220m y ++-=， 设())()1122,,,A x y B x y ，则1222y y m+=-+，12222y y m =-+， ()()1212121212222()4(2(4x x x x x x my my my my ++=+++=++++221212(2()2)m y y m y y =+++22222212(22222)m m m m m ⎛⎫+⎛⎫=-++-+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭()()()2112122121222212121212222223222422x k y x y y x y y y y k x y x y x x x x ----∴=⋅=⋅=⋅==-+++-++定值). 【点睛】方法点睛：定值问题在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明；（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.23．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）先求出21=b AF a，利用12AF F △的面积为32，点,2b B b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上列方程组，解出a 、b ，写出椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 的方程为y kx m =+()0k ≠，用“设而不求法”把直线MP ，MQ 的倾斜角互补，表示为0MP MQ k k +=，求出k 、m 的关系，利用点斜式方程求出定点坐标. 【详解】（1）解：设椭圆C 的焦距为2c ，令x c =，代入椭圆C 的方程可求2by a=±．∵112AF F F ⊥，∴21=b AF a由12AF F △的面积为32，可得232b c a =，有232b c a =．将点B 的坐标代入椭圆C 的方程，可得222214b b a b +=，解得2b a =．联立方程组2222,3,2b b c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：2a =，b =1c =， 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）证明：设直线l 的方程为y kx m =+()0k ≠，点P ，Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 后整理为()2224384120k x kmx m +++-=． 有122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+ 有()11111118888888MP k x k m y kx m k m k k x x x x -++++====+----， 同理：288MQ k mk k x +=+-， 所以()12128811288888MP MQ k m k m k k k k k k m x x x x ⎛⎫+++=+++=+++ ⎪----⎝⎭又()()2212222121212228162861611434126488864166445644343km k km x x k m km x x x x x x m km k k k --+++-++===-----+++++++++，由直线MP 、MQ 的倾斜角互补，有()121128088k k m x x ⎛⎫+++= ⎪--⎝⎭， 有()()222288620166445k m k km k m km k +++-=+++，通分整理后可得2k m =-，可得直线l 的方程为2y mx m =-+，即122y m x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，可知直线l 过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.（3）证明直线过定点，通常有两类：①把直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )； ②把直线方程整理为点斜式y - y o =k (x- x 0)，过定点(x 0,y 0) ． 24．（1）240x y --=；（2）18y x x ⎛=-<< ⎝⎭. 【分析】（1）设弦的端点()11,A x y ，()22,B x y ，可得：22111164x y +=，22221164x y +=，相减化简再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（2）设直线方程为：2y x m =+，弦的端点坐标及中点(),M x y ，与椭圆方程联立化为：2217164160x mx m ++-=，由0>，化为：268m <，再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出. 【详解】（1）设弦的端点()11,A x y ，()22,B x y ，可得：22111164x y +=， 22221164x y +=，相减可得：12121212()()()()0164x x x x y y y y +-+-+=，把1222x x +=，1212y y +=-， 1212y y k x x -=-代入可得： 12k =．∴以()2,1P -为中点的弦所在直线的方程为：()1122y x +=-，化为： 240x y --=． （2）设直线方程为：2y x m =+，弦的端点()11,A x y ， ()22,B x y ，中点(),M x y ．联立2221164y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为 2217164160x mx m ++-=，()22256684160m m =-->，化为： 268m <，∴1216227m x x x +=-=，化为： 882171717m m m x y m ⎛⎫=-=⨯-+= ⎪⎝⎭，．得1717x -<<，∴18y x x ⎛=-<< ⎝⎭【点睛】 关键点点睛：（1）涉及直线与圆锥曲线相交中点弦问题时，利用点差法；（2）由直线与椭圆的位置关系得出m 的范围.25．（1）2212x y +=；（2）1y x =+或1y x =-.【分析】（1）由离心率求出a ，再求出b ，可得椭圆方程；（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后代入弦长公式12AB x =-可求得参数m 值得直线方程．【详解】（1）由题意知，1c =，2c e a ==，∴a = 1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 化简，得2234220x mx m ++-=.由已知得，()2221612228240m m m ∆=--=-+>，即23m <，∴m <<1243m x x +=-，212223m x x -=.∴213AB x =-===， 解得1m =±，符合题意，∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交弦长问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)A x y B x y ，设出直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入弦长公式12AB x =-求解．26．（1）[0,3]；（2）2,2⎡⎢⎣⎦. 【分析】（1）设(),P x y ，求出21212PF PF x ⋅=，即得解；（2）①当直线l 的斜率不存在时，求得122S S =；②若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出12S S =换元求解.最后综合得解. 【详解】（1）由已知，())12,F F ，设(),Px y，(x ≤≤，())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-．结合22163x y +=，得22132y x =-，故2121[0,3]2PF PF x ⋅=∈. 所以12PF PF ⋅的取值范围为[0,3]. （2）①当直线l 的斜率不存在时，其方程为x=由对称性，不妨设x()(),,1,1,1,1ABC D -，故12221S S ==． ②若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，=()2221m k =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立， 得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+．结合OC OD =22221122113,322x y y x =-=-，可知12S S == 将根与系数的关系代入整理得：12S S =结合()2221m k =+，得12S S = 设2211t k =+≥，(]10,1u t=∈，则122,2S S ⎡===⎢⎣⎦． 12SS ∴的取值范围是2,2⎡⎢⎣⎦． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求出12S S =值范围.本题利用了两次换元，转化成二次函数求范围.换元法是高中数学常用的一个解题技巧，要理解掌握灵活运用.。
高中数学选修2-1章末检测卷28：第二章 圆锥曲线与方程
章末检测一、选择题1.抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1B.2C.4D.8 [答案] C[解析] 抛物线的焦点到准线的距离为p ＝4.2.已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( ) A.y ＝±5x B.y ＝±55xC.y ＝±3xD.y ＝±33x[答案] D[解析] ∵y 2＝8x 焦点是(2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴长b ＝1且a >0，所以a ＝22－12＝3，∴双曲线的渐近线方程是y ＝±33x .3.已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于P 点，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 2－y 28＝1(x >1) B.x 2－y 28＝1(x <－1) C.x 2＋y 28＝1(x >0) D.x 2－y 210＝1(x >1) [答案] A[解析] 设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. ∴|PM |－|PN |＝(|PE |＋|ME |)－(|PF |＋|NF |) ＝|MB |－|NB | ＝4－2＝2，所以点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，且a ＝1， ∴c ＝3，b 2＝8，所以双曲线方程是x 2－y 28＝1(x ＞1).4.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43B.75C.85D.3 [答案] A[解析] 设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，与抛物线联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋c ＝0y ＝－x 2，消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，解得c ＝－43，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋3y －43＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d ＝|－43＋8|42＋32＝43，故选A. 5.设k <3，k ≠0，则二次曲线x 23－k －y 2k ＝1与x 25＋y 22＝1必有( )A.不同的顶点B.不同的准线C.相同的焦点D.相同的离心率[答案] C[解析] 当0<k <3时，则0<3－k <3，∴x 23－k －y 2k ＝1表示实轴为x 轴的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.∴两曲线有相同焦点； 当k <0时，－k >0且3－k >－k ，∴x 23－k ＋y 2－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆. a 2＝3－k ，b 2＝－k . ∴a 2－b 2＝3＝c 2 与已知椭圆有相同焦点.6.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.1＋32D.1＋52[答案] D[解析] 不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则可令F (c,0)，B (0，b )，直线FB ：bx＋cy －bc ＝0与渐近线y ＝b a x 垂直，所以－b c ·ba ＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，即e 2－e－1＝0，所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去).7.已知点A (0,2)，B (2,0).若点C 在抛物线x 2＝y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A.4B.3C.2D.1 [答案] A[解析] 由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点； 当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点. 因此满足条件的C 点有4个，故应选A.8.已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263 C.3D.2[答案] A[解析] 如图所示，双曲线的渐近线方程为：y ＝±2ax ，若∠AOB ＝π3，则θ＝π6，tan θ＝2a ＝33，∴a ＝6> 2. 又∵c ＝6＋2＝22，∴e ＝c a ＝226＝233.9.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[答案] D[解析] 设|AF 1|＝x ，|AF 2|＝y ，因为点A 为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1上的点，所以2a ＝4，b ＝1，c ＝3；所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，即x ＋y ＝4.① 又四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即x 2＋y 2＝(2c )2＝(23)2＝12，②由①②得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4x 2＋y 2＝12，解得x ＝2－2，y ＝2＋2，设双曲线C 2的实轴长为2a ′，焦距为2c ′，则2a ′＝|AF 2|－|AF 1|＝y －x ＝22，2c ＝222－12＝23，所以双曲线C 2的离心率e ＝c ′a ′＝32＝62. 10.已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233 D.433[答案] D[解析] 经过第一象限的双曲线的渐近线为y ＝33x .抛物线的焦点为F (0，p2)，双曲线的右焦点为F 2(2,0).y ′＝1p x ，所以在M (x 0，x 202p )处的切线斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p ，即三点F (0，p 2)，F 2(2,0)，M (33p ，p 6)共线，所以p 2－00－2＝p 6－p233p ，即p ＝433，选D.二、填空题11.双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________.[答案] y ＝±34x[解析] a ＝4，b ＝3.∴y ＝±34x12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________. [答案] x 216＋y 28＝1[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由e ＝22知，c a ＝22，∴b 2a 2＝12.∵△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16， ∴a ＝4，∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.13.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. [答案] 2[解析] 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2) 抛物线y 2＝4x ，焦点为(1,0)，准线为x ＝－1. |AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1. 则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.14.抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，则m 的范围是________. [答案] (－10，10)[解析] 设抛物线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝m (x －3)对称，A ，B 中点M (x ，y )，则当m ＝0时，有直线y ＝0，显然存在点关于它对称.当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2⇒y 1－y 2x 1－x 2＝1y 1＋y 2＝12y ＝－1m ，所以y ＝－m 2，所以M 的坐标为(52，－m 2)，∵M 在抛物线内，则有52>(－m2)2，得－10<m <10且m ≠0，综上所述，m ∈(－10，10). 三、解答题15.如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A . (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0， 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A (2,1)，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2， 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.16.炮弹在某处爆炸，在F 1(－5000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5000,0)处晚30017s.已知坐标轴的单位长度为1m ，声速为340m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程.解 由声速为340m/s 可知F 1、F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6000(m)，因此爆炸点在以F 1、F 2为焦点的双曲线上.因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的一支上. 设爆炸点P 的坐标为(x ，y )，则|PF 1|－|PF 2|＝6000，即2a ＝6000，a ＝3000. 而c ＝5000，∴b 2＝50002－30002＝40002，∵|PF 1|－|PF 2|＝6000>0，∴x >0， 所求双曲线方程为x 230002－y 240002＝1(x >0).17.已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2). (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积.解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2) (x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.18.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过P 点作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值. 解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1得y ＝±b 2a，由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知：PF 1→·PM →|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM →|PF 2→||PM →|，PF 1→·PM →||PF 1→＝PF 2→·PM→||PF 2→，设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4， 将向量坐标代入并化简得：m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0，因为x 20≠4,所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈(－32，32) .(3)由题意可知，l 为椭圆的在p 点处的切线， 由导数法可求得，切线方程为： x 0x 4＋y 0y ＝1，所以k ＝－x 04y 0， 而k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3，代入1kk 1＋1kk 2中得1kk 1＋1kk 2＝－4(x 0＋3x 0＋x 0－3x 0)＝－8. 因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.。
人教新课标版数学高二-数学选修2-1综合素质检测 第二章 圆锥曲线与方程
第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·四川文，5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是()A．23B．2C. 3 D．1[答案] D[解析]由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝|2－3×0|12＋(－3)2＝1.2．已知椭圆x2a2＋y225＝1(a>5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为()A．10 B．20C．241 D．441[答案] D[解析]由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a.由题意可知b2＝25,2c＝8，∴c2＝16a 2＝25＋16＝41，∴a ＝41，∴L ＝441，故选D. 3．椭圆x 2m 2＋y 23－m ＝1的一个焦点为(0,1)，则m ＝( )A ．1 B.－1±172C ．－2或1D ．－2或1或－1±172[答案] C[解析] ∵焦点在y 轴上，∴3－m >m 2. 由3－m －m 2＝1得m ＝1或－2，∴选C.4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x[答案] C[解析] ∵2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3，∴a 2＝c 2－b 2＝3－1＝2，∴a ＝2，故渐近方程为y ＝±b a x ＝±22x .5．(2013·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2D ．3[答案] C[解析] ∵e ＝2，∴b 2＝3a 2，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3x ，不妨设A ＝(－p 2，3p 2)，B (－p 2，－3p2)，则AB ＝3p ，又三角形的高为p 2，则S △AOB ＝12×p2×3p ＝3，即p 2＝4，又p >0，∴p ＝2.6．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于1[答案] C[解析] ∵lg e 1＋lg e 2＝lga 2－b 2a＋lg a 2＋b 2a ＝lga 4－b 4a 2<lg a 2a 2＝lg1＝0，∴lg e 1＋lg e 2<0.7．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1[答案] B[解析] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22a ＋2b ＝2·2ca 2＋b 2＝c2，解得a ＝2，b ＝2.又焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1.8．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线[答案] A[解析] 由题意知，|QF 1|＝|QP |＋|PF 1|＝|PF 2|＋|PF 1|＝2a .(2a 为椭圆长轴长)，∴Q 点轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆．9．(2013·新课标Ⅱ理，11)设抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[答案] C[解析] 由已知F (34p,0)，A (0,2)，M (y 23p ，y 0)，∵AF ⊥AM ，∴k AF ·k AM ＝－1， 即2－34p ×2－y 0－y 203p＝－1，∴y 20－8y 0＋16＝0，∴y 0＝4，∴M (163p ，4)，∵|MF |＝5，∴5＝(34p －163p )2＋16，∴(34p －163p )2＝9.∴3p 4－163p ＝3或3p 4－163p ＝－3， ∴9p 2－36p －64＝0，① 或9p 2＋36p －64＝0， 由①得∴p ＝－43(舍)，p ＝163. 由②得p ＝43(p ＝－163舍)， ∴c 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .10．已知θ∈R ，则方程x 2＋y 2cos θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆[答案] A[解析] 当θ＝0时，cos θ＝1，方程表示圆； 当θ＝π3时，cos θ＝12，方程表示椭圆；当θ＝2π3时，cos θ＝－12，方程表示双曲线，故选A.11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254x B ．y 2＝454x C ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y[答案] C[解析] 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p ×40,2p ＝452，所以抛物线的方程应为y 2＝452x ，所给选项中没有y 2＝452x ，但方程x 2＝－452y 中的“2p ”的值为452，所以选项C 符合题意．12．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1[答案] D[解析] 设A 点坐标的(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1.两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b 2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2， ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2，又∵k ＝－1－01－3＝12，∴b 2a 2＝12，又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9， ∴b 2＝9，a 2＝18，即标准方程为x 218＋y 29＝1，故选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．椭圆x 24＋y 23＝1的两焦点为F 1、F 2点P 在椭圆上，使∠F 1PF 2＝90°的点P 有________个．[答案] 0[解析] 设a >b >0，c ＝a 2－b 2，以O 为圆心，以c 为半径画圆；当c <b 时，圆与椭圆无公共点，此时椭圆上无满足要求的点；当c ＝b 时，圆与椭圆切于短轴的两个端点，此时满足要求的点有两个，即椭圆短轴两个端点；当c >b 时，椭圆与圆有四个交点，此时满足条件的点有这四个点，这里a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝1，b ＝3，因此这样的点P 不存在．14．已知双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.[答案] 2[解析] ∵双曲线的焦点在x 轴上，∴ba ＝2， ∴b 2a 2＝4，∴b 2＝4，又∵b >0，∴b ＝2.15．(2013·辽宁理，15)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.[答案] 57[解析] 本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题． 在△ABF 中，由余弦定理得，cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |22|AB |·|BF |，∴|BF |2－16|BF |＋64＝0，∴|BF |＝8，设右焦点为F 1，因为直线过原点，∴|BF 1|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF 1|＝14，∴a ＝7， ∵O 为Rt △ABF 斜边AB 的中点， ∴|OF |＝12|AB |＝5，∴c ＝5，∴e ＝57.16．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52.其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． [答案] ③④[解析] 显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若已知椭圆x 210＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y2b ＝1有相同的焦点，又椭圆与双曲线交于点P (103，y )，求椭圆及双曲线的方程．[解析] 由椭圆与双曲线有相同的焦点得 10－m ＝1＋b ，即m ＝9－b ① 又点P (103，y )在椭圆、双曲线上，得 y 2＝89m ，②y 2＝b 9.③解由①、②、③组成的方程组得m ＝1，b ＝8，∴椭圆方程为x 210＋y 2＝1，双曲线方程为x 2－y28＝1.18．(本小题满分12分)求以直线x ＋2y ＝0为渐近线，且截直线x －y －3＝0所得弦长为833的双曲线的标准方程．[解析] 由于双曲线渐近线方程为x ＋2y ＝0，故可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．设直线x －y －3＝0与双曲线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎨⎧x －y －3＝0，x 2－4y 2＝λ.消去y ，整理得3x 2－24x ＋36＋λ＝0. 由Δ＝242－12(36＋λ)>0，解得λ<12. 由根与系数关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝36＋λ3.代入弦长公式中，|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·82－4×36＋λ3＝8(12－λ)3， 于是8(12－λ)3＝833，解得λ＝4(与λ<12符合)． 故所求的双曲线方程为x 24－y 2＝1.19．(本小题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[解析] (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4， 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4，方程4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.20．(本小题满分12分)(2013·新课标Ⅰ文，21)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.[解析] (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程式为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求出Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)，由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x－8＝0，解得x 1,2＝－4±627. 所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝23或|AB |＝187.21．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→.[解析] (1)由题意知双曲线的方程是标准方程．∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.把点(4，－10)代入双曲线方程得，λ＝6.∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)双曲线的焦点为F 1(－23，0)、F 2(23，0)．∵M 点在双曲线上，∴32－m 2＝6，m 2＝3.∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝0.22．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵F (2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A (2,3)，∴⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝3＋5＝8，∴⎩⎨⎧ c ＝2，a ＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝12，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程y ＝32x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1.消去y ，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. ∵直线l 与椭圆有公共点，∴Δ＝(3t )2－12(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3. 另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4， 可得，|t |94＋1＝4，∴t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，故符合题意的直线l 不存在．。
2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：第二章 圆锥曲线与方程 单元质量评估(二)
第二章单元质量评估(二)时限：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( C ) A ．4B ．－4C ．－14 D.142．若椭圆x 23m ＋y 22m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则实数m 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 解析：本题主要考查椭圆的基本概念．由题意得3m >0,2m ＋1>0且2m ＋1>3m ，得0<m <1，故选B.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x 解析：本题主要考查有关双曲线基本概念的运算．∵e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14.又a >0，b >0，∴b a ＝12，∴C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( C )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得|AF 1|＝2a －32 ①.在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22 ②.由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，应选C.5．已知双曲线y 2－x 2＝1的离心率为e ，且抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(e 2,0)，则p 的值为( D )A ．－2B ．－4C ．2D ．4解析：由条件知，双曲线的离心率为e ＝2，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以p2＝2，所以p ＝4.故选D.6．如图，过抛物线y 2＝3x 的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|AB |＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：本题主要考查抛物线的定义．如图，分别过点A ，B 作AA 1，BB 1垂直于准线l ，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线的定义得|BF |＝|BB 1|.∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， ∴|BF |＝1，|AB |＝4，故选A.7．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( C )A ．－13 B.13 C ．±13 D ．±12解析：本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用．由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点间的线段F 1F 2正好被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为( B )A ．y ＝±53xB ．y ＝±255xC ．y ＝±355x D ．y ＝±5x解析：∵双曲线的焦距为2a 2＋b 2，椭圆的焦距为2a 2－b 2，∴2a 2－b 2＝13·2a 2＋b 2，整理得4a 2＝5b 2，则a ＝52b .代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±255x .9．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A )A ．m >n ，且e 1e 2>1B ．m >n ，且e 1e 2<1C ．m <n ，且e 1e 2>1D ．m <n ，且e 1e 2<1解析：∵椭圆与双曲线的焦点重合，∴m 2－1＝n 2＋1.∴m 2－n 2＝2，∴m >n .∵e 1＝1－1m 2，e 2＝1＋1n 2，∴e 1e 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＝1＋1n 2－1m 2－1m 2n 2＝1＋m 2－n 2－1m 2n 2＝1＋1m 2n 2>1.10．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，在椭圆上有一个异于点A ，B 的动点P ，若直线P A 的斜率为k 0，则直线PB 的斜率为( B )A.34k 0 B ．－34k 0C ．－34k 0D ．－32k 0解析：本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算．由题设知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x 0，y 0)(x 0≠±2)，∴k P A ＝y 0x 0＋2，k PB ＝y 0x 0－2.∵点P 在椭圆上，∴x 204＋y 203＝1，∴y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204，∴k P A ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204x 20－4＝－34.∵k P A ＝k 0，∴k PB ＝－34k 0，故选B.11．抛物线x 2＝－6by 的准线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右支分别交于B ，C 两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若∠AOC ＝∠BOC ，则双曲线的离心率为( C )A.233 B ．3 C.433 D ．2 3解析：抛物线的准线为y ＝32b ，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－132a ，32b ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a ，32b .易得∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∴k OC ＝313b13a ＝tan60°＝ 3.∴b 2a 2＝133，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋133＝433，故选C.12．在焦点在x 轴上的椭圆中截得的最大矩形的面积范围是[3b 2,4b 2]，则椭圆离心率的范围是( A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤24，33解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．不妨设矩形ABCD 的对角线AC 所在直线方程为y ＝kx (假设k >0)．联立⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，解得x 2＝a 2b 2b 2＋a 2k 2，y 2＝a 2b 2k 2b 2＋a 2k2.所以矩形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝4a 2b 2k b 2＋a 2k 2＝4a 2b 2b 2k ＋a 2k ≤4a 2b 22b 2k ·a 2k ＝2ab ，当且仅当k ＝ba 时取等号．所以3b 2≤2ab ≤4b 2，解得12≤b a ≤23. 所以e ＝ca ＝1－b 2a 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，32.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝2 2.解析：双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，故抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－2，所以p2＝2，解得p ＝2 2.14．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|＝1或5. 解析：本题主要考查双曲线的定义及向量的中点表示．由题意知点F (3,0)为双曲线的右焦点．设双曲线x 24－y 25＝1的左焦点为F 1，由OQ →＝12(OP →＋OF →)，知Q 为PF 的中点．连接PF 1，则|OQ →|＝12|PF 1→|.由||PF 1→|－|PF →||＝4，|PF →|＝6，得|PF 1→|＝2或10，故|OQ →|＝1或5. 15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，A (－a,0)，B (0，b )为椭圆的两个顶点，若F 到直线AB 的距离等于b 7，则椭圆的离心率为12. 解析：直线AB 的方程为y b ＋x－a ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.设F (－c,0)，则|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，即|a －c |a 2＋b2＝17.因而7|a －c |＝a 2＋b 2. 又b 2＝a 2－c 2，代入上式，并整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，于是8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54(舍去)．16．设抛物线M ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 是双曲线N ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，若M 与N 的公共弦AB 恰好过点F ，则双曲线N 的离心率e ＝2＋1.解析：本题主要考查双曲线、抛物线的焦点．∵抛物线M ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线N ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)，∴p 2＝c .又公共弦AB 恰好过点F ，得AB 为抛物线M 的通径，∴AB ＝2p ＝2b 2a ，∴b 2＝2ac ⇒c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0，∴e ＝2＋1或e ＝1－2(舍去)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)椭圆的两个焦点F 1，F 2在x 轴上，以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P (3,4)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点坐标为F 1(c,0)，F 2(－c,0)． ∵以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P (3,4)，∴c ＝|OP |＝32＋42＝5.∴⎩⎨⎧32a 2＋42b2＝1，a 2＝b 2＋52，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45，b 2＝20，∴所求椭圆的方程为x 245＋y 220＝1. 18．(12分)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB→＝－3，求这个抛物线的方程． 解：(1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2. ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .19．(12分)设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝⎛⎭⎪⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求k 的值．解：(1)过P 作x 轴的垂线且垂足为N ，由题意可知|PM |－|PN |＝12，而y ≥0，所以|PN |＝y ，所以 x 2＋(y －12)2＝y ＋12，化简得x 2＝2y (y ≥0)为所求的方程．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝2y得x 2－2kx －2＝0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2，|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 24k 2＋8＝26，所以k 4＋3k 2－4＝0，而k 2≥0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.20．(12分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论．(2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围． 解：(1)x 1＋x 2＝0，证明：点F 在直线l 上⇒|F A |＝|FB |⇒A ，B 两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线是x 轴的平行线，∴上述条件等价于y 1＝y 2⇒x 21＝x 22⇒(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0，∵x 1≠x 2，∴当且仅当x 1＋x 2＝0时，直线l 经过抛物线的焦点F . (2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意，得l 的方程为y ＝2x ＋b .则过点A ，B 的直线方程可写为y ＝－12x ＋m ，联立⎩⎨⎧y ＝2x 2，y ＝－12x ＋m ，化简得2x 2＋12x －m ＝0，∴x 1＋x 2＝－14.∵A ，B 为抛物线上不同的两点，∴上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .又点N 在直线l 上，∴116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932，∴l 在y 轴上的截距的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫932，＋∞. 21．(12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→＋F 2Q →＝0，过A ，Q ，F 2三点的圆的半径为2.过定点M (0,2)的直线l 与椭圆C 交于G ，H 两点(点G 在点M ，H 之间)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由．解：(1)因为2F 1F 2→＋F 2Q →＝0，所以F 1为F 2Q 中点．设Q 的坐标为(－3c,0)，因为AQ ⊥AF 2，所以b 2＝3c ×c ＝3c 2，a 2＝4c ×c＝4c 2，且过A ，Q ，F 2三点的圆的圆心为F 1(－c,0)，半径为2c ，所以c ＝1. 所以a ＝2.b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k >0)，与椭圆方程联立，消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0.设点G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k3＋4k 2. 所以PG →＋PH →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，k (x 1＋x 2)＋4)．又GH →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(x 2－x 1，k (x 2－x 1))， 由于菱形对角线互相垂直，则(PG →＋PH →)·GH →＝0，所以(x 2－x 1)[(x 1＋x 2)－2m ]＋k (x 2－x 1)[k (x 1＋x 2)＋4]＝0.故(x 2－x 1)[(x 1＋x 2)－2m ＋k 2(x 1＋x 2)＋4k ]＝0. 因为k >0，所以x 2－x 1≠0.所以(x 1＋x 2)－2m ＋k 2(x 1＋x 2)＋4k ＝0，即(1＋k 2)(x 1＋x 2)＋4k －2m ＝0，所以(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 3＋4k 2＋4k －2m ＝0，解得m ＝－2k3＋4k 2，即m ＝－23k ＋4k. 由Δ>0，且k >0，可得k >12.因为k >12，可以使3k ＝4k ，所以－36≤m <0.故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－36，0.22．(12分)已知两定点E (－2,0)，F (2,0)，动点P 满足PE →·PF →＝0，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 满足PM →＝MQ →，点M 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与C 交于A ，B 两点，点N 满足ON→＝OA →＋OB →(O 为原点)，求四边形OANB 面积的最大值，并求此时的直线l 的方程．解：(1)因为动点P 满足PE →·PF→＝0，所以点P 的轨迹是以EF 为直径的圆，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.设M (x ，y )是曲线C 上任一点，因为PQ ⊥x 轴，PM→＝MQ →，所以点P 的坐标为(x,2y )， 因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 2＋(2y )2＝4，所以曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)因为ON→＝OA →＋OB →，所以四边形OANB 为平行四边形， 当直线l 的斜率不存在时显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －2，l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎨⎧ y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，由Δ＝162k 2－48(1＋4k 2)>0，得k 2>34，所以x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2， 因为S △OAB ＝12|OD ||x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，所以S▱OANB ＝2S △OAB ＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 1＋4k 22－4×121＋4k 2＝2162k 2－48(1＋4k 2)(1＋4k 2)2＝84k 2－3(1＋4k 2)2， 令4k 2－3＝t ，则4k 2＝t ＋3(由上可知t >0)， S ▱OANB ＝8t (t ＋4)2＝818＋t ＋16t ≤8116＝2， 当且仅当t ＝4，即k 2＝74时取等号；所以当k ＝±72，平行四边形OANB面积的最大值为2，7此时直线l的方程为y＝±2x－2.。
高二数学 人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案
第二章 2.4 2.4.1一、选择题1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] ∵点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x ＋2y ＝3垂直的直线．2．过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．抛物线[答案] D[解析] 如图，设点P 为满足条件的一点，不难得出结论：点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，故点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，故点P 的轨迹为抛物线，因此选D.3．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] 解法一：∵y ＝4，∴x 2＝4·y ＝16，∴x ＝±4， ∴A (±4,4)，焦点坐标为(0,1)， ∴所求距离为42＋(4－1)2＝25＝5.解法二：抛物线的准线为y ＝－1，∴A 到准线的距离为5，又∵A 到准线的距离与A 到焦点的距离相等．∴距离为5.4．抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A ．1B ．32 C ．2D ．52[答案] D[解析] ∵点P (2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m ，∴m ＝4，P 到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F 到准线距离为2， ∴M 到抛物线准线的距离为d ＝3＋22＝52.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4[答案] C[解析] 抛物线的准线为x ＝－p2，将圆方程化简得到(x －3)2＋y 2＝16，准线与圆相切，则－p2＝－1，∴p ＝2，故选C.6．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是6，则点P 到该抛物线焦点的距离为( )A ．12B ．8C ．6D ．4[答案] B[解析] ∵点P 到y 轴的距离为6，∴点P 到抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2的距离d ＝6＋2＝8， 根据抛物线的定义知点P 到抛物线焦点的距离为8. 二、填空题7．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为________.[答案] －18[解析] 抛物线方程化为标准形式为x 2＝1a y ，由题意得a <0，∴2p ＝－1a ，∴p ＝－12a ，∴准线方程为y ＝p 2＝－14a ＝2，∴a ＝－18.8．沿直线y ＝－2发出的光线经抛物线y 2＝ax 反射后，与x 轴相交于点A (2,0)，则抛物线的准线方程为________(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).[答案] x ＝－2[解析] 由直线y ＝－2平行于抛物线的轴知A (2,0)为焦点，故准线方程为x ＝－2. 三、解答题9．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程.[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6， ∴设点M 的坐标为(x,6)． 又∵点M 到准线的距离为10，∴⎩⎪⎨⎪⎧62＝2px ，x ＋p 2＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9，p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，p ＝18.故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x . 当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .10．求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线的标准方程.[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)， 又点(－2,3)在抛物线上，∴p ＝94，p ′＝23，∴抛物线方程为y 2＝－92x 或x 2＝43y .一、选择题1．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x[答案] D[解析] 依题意可知M 点到点F 的距离等于M 点到直线x ＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p ＝8，顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，∴其方程为y 2＝16x ，故答案是D.2．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．22C ．2 3D ．4[答案] C[解析] 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而y P ＝±26，∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3.3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|P 1F |＋|P 2F |＝|FP 3|B ．|P 1F |2＋|P 2F |2＝|P 3F |2C ．2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |D ．|P 2F |2＝|P 1F |·|P 3F |[答案] C[解析] ∵点P 1、P 2、P 3在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，两边同时加上p ， 得2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2，即2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |，故选C.4．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522 B ．522＋1 C.522－2D ．522－1[答案] D[解析] 设抛物线焦点为F ，过P 作P A 与准线垂直，垂足为A ，作PB 与l 垂直，垂足为B ，则d 1＋d 2＝|P A |＋|PB |－1＝|PF |＋|PB |－1，显然当P 、F 、B 三点共线(即P 点在由F 向l 作垂线的垂线段上)时，d 1＋d 2取到最小值，最小值为522－1.二、填空题5．已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，线段F A 交抛物于点B ，过B 点作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝________.[答案]2[解析] 由抛物线的定义可得BM ＝BF ，F (P2，0)，又AM ⊥MF ，故点B 为线段F A 中点，即B (p 4，1)，所以1＝2p ×p4⇒p ＝ 2.6．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,0)关于原点O 对称．点P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝4x 上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则x 0＝________.[答案] 1＋ 2[解析] ∵点B 与点A (－1,0)关于原点O 对称，∴B (1,0)，根据题意，得y 20x 20－1＝2，又y 20＝4x 0，∴2x 0＝x 20－1，即x 20－2x 0－1＝0，解得x 0＝2±82＝1±2，舍去负值，得x 0＝1＋ 2. 三、解答题7．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过抛物线y 2＝2mx 的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝6； (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，点P (－5，25)到焦点的距离是6.[解析] (1)设抛物线的准线为l ，交x 轴于K 点，l 的方程为x ＝－m2，如图，作AA ′⊥l于A ′，BB ′⊥l 于B ′，则|AF |＝|AA ′|＝|FK |＝|m |，同理|BF |＝|m |.又|AB |＝6，则2|m |＝6. ∴m ＝±3，故所求抛物线方程为y 2＝±6x .(2)设焦点F (a,0)，|PF |＝(a ＋5)2＋20＝6，即a 2＋10a ＋9＝0，解得a ＝－1或a ＝－9.当焦点为F (－1，0)时，p ＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－4x ；当焦点为F (－9,0)时，p ＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－36x .8．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值.[解析] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则B 点的坐标为(a2，－a 4)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a 4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay . 将(0.8，y )代入抛物线方程，得 0．82＝－ay ， 即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3，即a 4－0.82a >3，由于a >0，得上述不等式的解为a >12.21，∴a 应取13.。
人教A版高中数学选修2-1浙江专版阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程
阶段质量检测（二） 圆锥曲线与方程质(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59解析：选B 根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝ca ＝53. 2．(2019·北京高考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率是5，则a ＝( )A. 6 B ．4 C ．2D.12解析：选D 由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1，得b 2＝1，∴c 2＝a 2＋1.∴5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2. 结合a >0，解得a ＝12.3．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B .若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B ．x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：选A ∵|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，∴a ＝2c ＝2， ∴a ＝2，c ＝1，∴b ＝ 3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：选C ∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14，∴b a ＝12，则C 的渐近线方程为y＝±12x .5．已知直线y ＝kx －k (k 为实数)及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线没有公共点解析：选C 因为直线y ＝kx －k 恒过点(1,0)，点(1,0)在抛物线y 2＝2px 的内部，所以当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．6．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上，则PF 1―→·PF 2―→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析：选C 由渐近线方程为y ＝x ，知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x 2－y 2＝2，于是两焦点分别是F 1(－2,0)和F 2(2,0)，且P (3，1)或P (3，－1)．不妨取点P (3，1)，则PF 1―→＝(－2－3，－1)，PF 2―→＝(2－3，－1)．∴PF 1―→·PF 2―→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝－(2＋3)(2－3)＋1＝0.7．已知|AB ―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为坐标原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1 解析：选A 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝⎛⎭⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.8．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：选C 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p ×40，即2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x .虽然选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意． 9.我们把离心率为黄金分割系数5－12的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选A 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由已知，得A (a,0)，B (0，b )，F (－c,0)， 则BF ―→＝(－c ，－b )， BA ―→＝(a ，－b )． ∵离心率e ＝ca ＝5－12，∴c ＝5－12a ，b ＝a 2－c 2 ＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫5－12a 2＝5－12a ， ∴BF ―→·BA ―→＝b 2－ac ＝0，∴∠ABF ＝90°.10．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫62，2 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a 2≠0⇒a 2≠1，且此时Δ＝4a 2(2－a 2)>0⇒a 2<2，所以a 2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e ＝1a 2＋1，则a 2＝1e 2－1，从而e ∈⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，则a＝__________.F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，故a ＝2.又P 是双曲线上一点，故||PF 1|－|PF 2||＝4，而|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7.答案：2 712．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3(y －1)，消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，Δ＝(－10)2－4×3×3>0，y 1＋y 2＝103，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163. 答案：16313．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，则F 的坐标为________．若|FA |＝2|FB |，则k ＝________.解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，将y ＝k (x ＋2)代入y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－4k 2k2，x 1x 2＝4，由|FA |＝2|FB |及抛物线定义得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2＋2x 2，代入x 1x 2＝4，整理得x 22＋x 2－2＝0，解得x 2＝1或x 2＝－2(舍去)．所以x 1＝4，8－4k 2k 2＝5，解得k 2＝89，又因为k >0，所以k ＝223.答案：(2,0)22314．抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________，抛物线上横坐标为3的点到准线的距离为________．解析：依题意，设抛物线的焦点为F ，点Q 的横坐标是x 0(x 0≥0)，则有|QF |＝x 0＋p2的最小值是p 2＝1，则p ＝2.横坐标为3的点到准线的距离为3＋p2＝4.答案：2 415．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.则双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为________，若渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为____________．解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±x .因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25 b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25 b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.答案：y ＝±x x 220＋y 25＝116．已知二次曲线x 24＋y 2m ＝1，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m ∈[－2，－1]，∴曲线方程化为x 24－y 2－m ＝1，曲线为双曲线，∴e ＝4－m 2.∵m ∈[－2，－1]，∴52≤e ≤62. 答案：52，6217．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋(6－3)2＋42＝15.答案：15三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， ∵点P ⎝⎛⎭⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32.∴p ＝2， ∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝⎛⎭⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1， 得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)． ∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分15分)已知椭圆x 24＋y 29＝1及直线l ：y ＝32x ＋m ，(1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值．解：(1)由⎩⎨⎧y ＝32x ＋m ，x 24＋y29＝1，消去y ，并整理得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0.①Δ＝36m 2－36(2m 2－18)＝－36(m 2－18)． ∵直线l 与椭圆有公共点，∴Δ≥0，据此可解得－3 2≤m ≤3 2. 故所求实数m 的取值范围为[－3 2，3 2 ]． (2)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由①得：x 1＋x 2＝－6m9，x 1x 2＝2m 2－189，故|AB |＝1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322·⎝⎛⎭⎫－6m 92－4×2m 2－189＝133· －m 2＋18，当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26.20．(本小题满分15分)已知动圆C 过定点F (0,1)，且与直线l 1：y ＝－1相切，圆心C 的轨迹为E .(1)求动点C 的轨迹E 的方程；(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，求|PQ |的最大值． 解：(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，所以所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意易知直线l 2的斜率存在， 又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线l 2的斜率为0时，|PQ |＝4 2. 当直线l 2的斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2， 两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t2， 则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， 则|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝⎝⎛⎭⎫1＋t 24[4t 2－4(2t 2－8)] ＝(8－t 2)(4＋t 2)≤6， 当且仅当t ＝±2时取等号． 所以|PQ |的最大值为6.21.(本小题满分15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．解：(1)直线AB 的方程为：bx －ay －ab ＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab a 2＋b 2＝32，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在这样的k 值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋3y 2－3＝0，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0. ∴Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0.①设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－12k1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k2.②而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)， 当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1. 即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0.③将②式代入③整理解得k ＝76.经验证k ＝76使①成立．综上可知，存在k ＝76，使得以CD 为直径的圆过点E .22．(本小题满分15分)已知抛物线C 1：x 2＝4y的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC ―→与BD ―→同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)． 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点， 所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32， 所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因AC ―→与BD ―→同向，且|AC |＝|BD |，所以AC ―→＝BD ―→，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0. 而x 1，x 2是这个方程的两根， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根， 所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④⑤代入③， 得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.由Ruize收集整理。
(人教版)高中数学选修2-1检测第2章 圆锥曲线与方程2.1 Word版含答案
第二章(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．已知曲线的方程为＋＋－＝，则下列各点中在曲线上的点是( )．(－)．()．(－)．()解析：点(，)在曲线(，)上⇔(，)＝.答案：．“以方程(，)＝的解为坐标的点都是曲线上的点”是“曲线的方程是(，)＝”的()．充分条件．必要条件．既不充分也不必要条件．充要条件解析：(，)＝是曲线的方程必须同时满足以下两个条件：①以(，)＝的解为坐标的点都在曲线上；②曲线上的点的坐标都是方程(，)＝的解，故选.答案：．与点(－)和点()连线的斜率之和为－的动点的轨迹方程是( )．＋＝(≠±)．＋＝．＋＝(≠)．＝解析：设(，)，∵＋＝－，∴＋＝－，整理得＋＝(≠±)．答案：．方程(＋－)＝所表示的曲线是( )解析：原方程等价于(\\(＋－＝，＋≥))或＋＝.其中当＋－＝时，需有意义，即＋≥，此时它表示直线＋－＝上不在圆＋＝内的部分及圆＋＝.答案：二、填空题(每小题分，共分)．点(，－)在曲线－＝上，则的值为．解析：将点的坐标(，－)代入曲线方程，可得－·(－)＝，解得＝.答案：．已知点(，－)，当点在曲线＝＋上运动时，线段的中点的轨迹方程是．解析：设(，)，(，)，则＝＋.又为的中点，所以(\\(＝(＋)，＝(－)，))即(\\(＝，＝＋，))将其代入＝＋得，＋＝()＋，即＝.答案：＝三、解答题(每小题分，共分)．指出方程(＋－)(－)＝表示的曲线是什么？解析：因为(＋－)(－)＝，所以可得(\\(＋－＝，－≥))或者－＝，也就是＋－＝(≥)或者＝，故方程表示的曲线为一条射线＋－＝(≥)和一条直线＝.．已知方程＋(－)＝.()判断点(，－)，(，)是否在此方程表示的曲线上；()若点在此方程表示的曲线上，求的值．解析：()∵＋(－－)＝，()＋(－)＝≠，∴点(，－)在方程＋(－)＝表示的曲线上，点(，)不在方程＋(－)＝表示的曲线上．()∵点在方程＋(－)＝表示的曲线上，∴＝，＝－适合方程＋(－)＝，即＋(－－)＝，解得＝或＝－.∴的值为或－.．(分)已知圆：＋(－)＝，过原点作圆的弦，求中点的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)解析：方法一(直接法)：如图，因为是的中点，。
人教A高中数学选修21新课改地区阶段质量检测二 圆锥曲线与方程 含解析
阶段质量检测（二） 圆锥曲线与方程(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R .∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1, 且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1.又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．2．若a ＞1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.3．如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )A.25 B.35 C.235D.255解析：选B 由题图知2b ＝16.4,2a ＝20.5， 则b a ＝45，则离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.故选B.4．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0， 于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x .5．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．8解析：选C 双曲线x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，故a ＝2.又P 是双曲线上一点，故||PF 1|－|PF 2||＝4，而|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7.6．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：选A 设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k .若曲线C 为椭圆，则2a ＝6k,2c ＝3k ，∴e ＝12；若曲线C 为双曲线，则2a ＝2k,2c ＝3k ，∴e ＝32.7.我们把离心率为黄金分割系数5－12的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选A 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由已知，得A (a,0)，B (0，b )，F (－c,0)， 则BF ―→＝(－c ，－b )， BA ―→＝(a ，－b )． ∵离心率e ＝ca ＝5－12，∴c ＝5－12a ，b ＝a 2－c 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12a 2＝5－12a ， ∴BF ―→·BA ―→＝b 2－ac ＝0，∴∠ABF ＝90°.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 解析：选D 不妨设点A 在第一象限，由题意可知c ＝2，点A 的坐标为(1，3)，所以b a ＝3，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，b 2＝3，故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选 D.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 解析：选D 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.10．已知|AB ―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1解析：选A 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝⎛⎭⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454x C ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：选C 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p ×40，即2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x .虽然选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意．12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3解析：选C 法一：由题意，得F (1,0)， 则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)， 由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 法二：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°，则|MN |＝|MF |＝21－cos 60°＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)． 答案：x 216＋y 212＝114．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎨⎧x 26＋y 22＝1，x23－y 2＝1，得⎩⎨⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2.答案： 215．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|AF 1|＝|BF |＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.答案：5716．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py 消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．解：①焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且c ＝13.设双曲线为x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)，m ＝a －4.因为e 双e 椭＝73，所以a m ＝73，解得a ＝7，m ＝3.因为椭圆和双曲线的半焦距为13， 所以b 2＝36，n 2＝4. 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1.18．(本小题12分)已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . (2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0 可简化为x 2－5x ＋4＝0.从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.19．(本小题12分)如图所示，F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的左、右两个焦点，A ，B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P ，Q 两点，求△F 1PQ 的面积． 解：(1)由题设知，2a ＝4，即a ＝2，将点⎝⎛⎭⎫1，32代入椭圆方程得122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3， 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A (－2,0)，B (0，3)，所以k PQ ＝k AB ＝32，所以PQ 所在直线方程为 y ＝32(x －1)， 由⎩⎨⎧y ＝32(x －1)，x 24＋y23＝1，得8y 2＋43y －9＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－32， y 1·y 2＝－98，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝34＋4×98＝212，所以S △F 1PQ ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×212＝212. 20．(本小题12分)已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝1，F 是焦点，过点 A (－2,0)的直线与抛物线交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N .(1)求抛物线的方程及y 1y 2的值；(2)证明：若直线PQ ，MN 的斜率都存在，记直线PQ ，MN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值． 解：(1)依题意，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 由准线x ＝p2＝1，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝－4x .由题意，设直线PQ 的方程为x ＝my －2，代入y 2＝－4x . 消去x ，整理得y 2＋4my －8＝0，从而y 1y 2＝－8. (2)设M (x 3，y 3)，N (x 4, y 4)，则k 1k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·x 3－x 4y 3－y 4＝y 1－y 2y 21－4－y 22－4·y 23－4－y 24－4y 3－y 4＝y 3＋y 4y 1＋y 2. 设直线PM 的方程为x ＝ny －1，代入y 2＝－4x ，消去x ，整理得y 2＋4ny －4＝0，所以y 1y 3＝－4，同理y 2y 4＝－4.故k 1k 2＝y 3＋y 4y 1＋y 2＝－4y 1＋－4y 2y 1＋y 2＝－4y 1y 2＝－4－8＝12，为定值． 21．(本小题12分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m (km ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C ，D ，且C ，D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．解：(1)x 23－y 2＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，消去y 得，(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，由已知，1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0⇒m 2＋1＞3k 2.① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点P (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2， 因为AP ⊥CD ，所以k AP ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2－0＝m ＋1－3k 23km＝－1k ，整理得3k 2＝4m ＋1.② 联立①②得m 2－4m ＞0，所以m ＜0或m ＞4，又3k 2＝4m ＋1＞0， 所以m ＞－14，因此－14＜m ＜0或m ＞4.故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－14，0∪(4，＋∞)． 22．(本小题12分)已知抛物线C 1：x 2＝4y的焦点F 也是椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点．C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且BD ―→与AC ―→同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)， 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为：x 2＝4y ， 由此可知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32， 所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 因AC ―→与BD ―→同向，且|AC |＝|BD |， 所以AC ―→＝BD ―→，从而x 3－x 1＝x 4－x 2， 即x 3－x 4＝x 1－x 2，于是(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0， 而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤将④、⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2. 即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64， 即直线l 的斜率为±64。
高中数学人教A版选修2-1 章末综合测评2 Word版含答案.doc
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( ) A. 6 B ．26 C ．23D ．4 3【解析】 方程化为标准方程为x 23－y 29＝1， ∴a 2＝3，b 2＝9.∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3. 【答案】 D2．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，焦点为(0，1) B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1，0)D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 【解析】 抛物线可化为x 2＝14y ，故开口向上，焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，116.【答案】 B3．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是( ) 【导学号：18490079】A.12B.32 C ．1D. 3【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－1×0|（3）2＋12＝32，故选B. 【答案】 B4．已知抛物线C 1：y ＝2x 2的图象与抛物线C 2的图象关于直线y ＝－x 对称，则抛物线C 2的准线方程是( )A ．x ＝－18 B ．x ＝12 C ．x ＝18D ．x ＝－12【解析】 抛物线C 1：y ＝2x 2关于直线y ＝－x 对称的C 2的表达式为－x ＝2(－y )2，即y 2＝－12x ，其准线方程为x ＝18.【答案】 C5．已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB→·AB →＝0，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1＋32D.1＋52【解析】 ∵FB→·AB →＝0，∴FB ⊥AB ，∴b 2＝ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－1－e ＝0，∴e ＝1＋52.【答案】 D6．(2013·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12xD ．y ＝±x【解析】 由e ＝52，得c a ＝52， ∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x . 【答案】 C7.如图1，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O 为原点)，则该椭圆的离心率是( )图1A.22B.24C.12D.32【解析】 因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 又OP ∥AB ，所以b a ＝b 2ac ，即b ＝c . 于是b 2＝c 2，即a 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 【答案】 A8．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP→的取值范围为( ) A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 【解析】 因为双曲线左焦点的坐标为F (－2，0)， 所以c ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋1， 即4＝a 2＋1，解得a ＝ 3.设P (x ，y )，则OP→·FP →＝x (x ＋2)＋y 2， 因为点P 在双曲线x 23－y 2＝1上，所以OP →·FP →＝43x 2＋2x －1＝43⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－34－1.又因为点P 在双曲线的右支上，所以x ≥ 3. 所以当x ＝3时，OP→·FP →最小，且为3＋23，即OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)． 【答案】 B9．已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值是( )A.12B.32C.72D ．5【解析】 已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则点P 的轨迹是以A ，B 为左、右焦点的双曲线的右支，且a ＝32，c ＝2.所以|P A |的最小值是点A 到右顶点的距离，即为a ＋c ＝2＋32＝72，选C.【答案】 C10．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2n ＝1的离心率为12，则n ＝( ) A. 3 B.32 C.23D.83【解析】 依题意知，a ＝2，b ＝n ， ∴c 2＝a 2－b 2＝2－n ， 又e ＝12，∴c 2a 2＝2－n 2＝14，∴n ＝32.【答案】 B11．已知直线y ＝k (x ＋2)与双曲线x 2m －y 28＝1，有如下信息：联立方程组⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x 2m －y 28＝1，消去y 后得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，分类讨论：(1)当A ＝0时，该方程恒有一解；(2)当A ≠0时，Δ＝B 2－4AC ≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1, 3]B ．[3，＋∞)C ．(1，2]D ．[2，＋∞)【解析】 依题意可知直线恒过定点(－2，0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2，0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－m ，即0<m ≤4，又e ＝1＋b 2a 2＝1＋8m ，所以e ≥ 3.【答案】 B12．已知点P 为抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，直线l 过点P 且与x 轴平行，若同时与直线l 、直线PF 、x 轴相切且位于直线PF 左侧的圆与x 轴切于点Q ，则点Q ( )A ．位于原点的左侧B ．与原点重合C ．位于原点的右侧D ．以上均有可能【解析】 设抛物线的准线与x 轴、直线l 分别交于点D ，C ，圆与直线l 、直线PF 分别切于点A ，B .如图，由抛物线的定义知|PC |＝|PF |，由切线性质知|P A |＝|PB |，于是|AC |＝|BF |.又|AC |＝|DO |，|BF |＝|FQ |，所以|DO |＝|FQ |，而|DO |＝|FO |，所以O ，Q 重合，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2013·江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3， 所以两条渐近线方程为y ＝±34x . 【答案】 y ＝±34x14．(2016·东城高二检测)已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．【解析】 由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.【答案】 815.如图2所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________. 【导学号：18490080】图2【解析】 由题意知抛物线的焦点为F (2，0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2，0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK |2＝|AK |2－|AB |2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2，4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8. 【答案】 816．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|PQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x ＋1），联立得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2（k 2－2）k 2， ∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2， y 1＋y 22＝2k ，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2，2k .又|FQ |＝2，F (1，0)， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝4，解得k ＝±1. 【答案】 ±1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.求椭圆C 的方程．【解】 设椭圆的半焦距为c ，依题意， 得a ＝3且e ＝c a ＝63， ∴a ＝3，c ＝2， 从而b 2＝a 2－c 2＝1，因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．【解】 (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2563， ①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， ∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2. ②由①②得c ＝6，∴b ＝8.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为4的圆C 位于y 轴右侧，且与y 轴相切．(1)求圆C 的方程；(2)若椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，且左、右焦点为F 1，F 2.试探究在圆C 上是否存在点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．【解】 (1)依题意，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝16(a >0)． ∵圆与y 轴相切，∴a ＝4， ∴圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16. (2)∵椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45， ∴e ＝c a ＝25－b 25＝45，解得b 2＝9. ∴c ＝a 2－b 2＝4，∴F 1(－4，0)，F 2(4，0)， ∴F 2(4，0)恰为圆心C ，(ⅰ)过F 2作x 轴的垂线，交圆于点P 1，P 2，则∠P 1F 2F 1＝∠P 2F 2F 1＝90°，符合题意；(ⅱ)过F 1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P 3，P 4， 连接CP 3，CP 4，则∠F 1P 3F 2＝∠F 1P 4F ＝90°，符合题意． 综上，圆C 上存在4个点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形． 20．(本小题满分12分)(2016·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积． 【解】 (1)∵e ＝2， ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)法一 由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二 ∵MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0. (3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.21．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．【解】 (1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2，0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是 12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下： 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k .因为k ·⎝⎛⎭⎪⎫－14k≠－1， 所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程； 【导学号：18490081】(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB＝－b 2a 2.求证：△AOB 的面积为定值．【解】 (1)由题意得，b ＝|0－0＋6|2＝3，c a ＝12，又a 2＋b 2＝c 2，联立解得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标满足⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 化简得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，由Δ>0得4k 2－m 2＋3>0， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 24m 2－123＋4k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2. ∵k OA ·k OB ＝－34，y 1y 2x 1x 2＝－34，即y 1y 2＝－34x 1x 2，∴3m 2－12k 23＋4k2＝－34·4m 2－123＋4k 2，即2m 2－4k 2＝3， ∵|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋k 2）·48（4k 2－m 2＋3）（3＋4k 2）2＝48（1＋k 2）（3＋4k 2）2·3＋4k 22＝24（1＋k 2）3＋4k 2.又O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k 2. ∴S △AOB ＝12d |AB |＝12|m |1＋k 224（1＋k 2）3＋4k 2＝12m 21＋k 2·24（1＋k 2）3＋4k 2 ＝123＋4k 22·243＋4k 2＝3，为定值．。
高中数学(人教B版 选修2-1)学业分层测评第2章 圆锥曲线与方程 2.1 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．曲线－－－＋－＝与轴的交点坐标是( )．()和(－) ．()和(－)．()和() ．()和()【解析】在曲线－－－＋－＝中，令＝，则－－＝，∴＝－或＝.∴交点坐标为(－)和()．【答案】．方程(－)(－)＝表示的图形是( )．两条直线．四条直线．两个点．四个点【解析】由(－)(－)＝得(＋)(－)(＋)·(－)＝，所以＋＝或－＝或＋＝或－＝，表示四条直线．【答案】．在平面直角坐标系中，若定点()与动点(，)满足·＝，则点的轨迹方程是( )．＋＝．＋＝．＋＝．＋＝【解析】由＝(，)，＝()得·＝(，)·()＝＋＝，则＋＝即为所求的轨迹方程，故选.【答案】．方程(－＋)·＝表示的曲线是( )【导学号：】．一个点与一条直线．两个点．两条射线或一个圆．两个点或一条直线或一个圆【解析】原方程等价于＋－＝，即＋＝，或(\\(－＋＝，＋－≥，))故选.【答案】．已知方程＝和＝＋(＞)所确定的两条曲线有两个交点，则的取值范围是( )．＞．＜＜．＜＜或＞．∈∅【答案】二、填空题．“曲线上的点的坐标都是方程(，)＝的解”是“方程(，)＝是曲线的方程”的条件．【解析】“方程(，)＝是曲线的方程”⇒“曲线上的点的坐标都是方程(，)＝的解”，反之不成立．【答案】必要不充分．方程·(＋＋)＝表示的几何图形是．【解析】由方程得(\\(＋＋＝，－≥，))或－＝，即＋＋＝(≥)或＝.【答案】一条射线和一条直线．已知定点()，动点在轴上运动，点在轴上，且·＝，延长到点，使得＝，则点的轨迹方程是．【解析】由于＝，则为的中点．设(，)，则(－)，，由·＝，得·＝，所以(－)·＋·＝，则＝，即点的轨迹方程是＝.【答案】＝三、解答题．如图--，圆与圆的半径都是，＝，过动点分别作圆、圆的切线，(，分别为切点)，使得＝，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程．图--【解】以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，。
高二数学 人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 第1课时 Word版含答案
第二章 2.4 2.4.2 第1课时一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．抛物线x 2＝－8y 的通径为线段AB ，则AB 长是( )A ．2B ．4C ．8D ．1 [答案] C[解析] 抛物线x 2＝－8y ，通径为|－8|＝8，∴选C.3．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，点P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48 [答案] C[解析] 设抛物线方程y 2＝2px (p >0) |AB |即通径为∴2p ＝12，∴p ＝6，点P 到AB 的距离为P ＝6，∴S △ABP ＝12×12×6＝36.4．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6 B ．π4或3π4 C.π3或2π3 D ．π2[答案] B[解析] 解法一：∵抛物线y 2＝6x ，∴2p ＝6，∴p 2＝32，即焦点坐标F (32，0)设所求直线方程为y ＝k (x －32)与抛物线y 2＝6x 消去y ，得 k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ∴x 1＋x 2＝3k 2＋6k2∵直线过抛物线y 2＝6x 焦点，弦长为12.∴x 1＋x 2＋3＝12，∴x 1＋x 2＝9 即3k 2＋6k 2＝9，解得k 2＝1k ＝tan α＝±1，∵α∈[0，π) ∴α＝π4或3π4解法二：弦长|AB |＝2psin 2α(α为直线AB 倾斜角)∴12＝6sin 2α，∴sin 2α＝12sin α＝±22，∴α∈[0，π)，∴α＝π4或α＝3π4.5．设抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →的值是( )A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3[答案] B[解析] 抛物线y 2＝2x 焦点(12，0)当直线AB 斜率不存在时， 可得A (12，1)，B (12，－1)OA →·OB →＝(12，1)·(12，－1)＝14－1＝－34，∴选B. 6．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2[答案] B[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ， ∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4.二、填空题7．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为363，则a ＝________.[答案] ±2 3[解析] 设正三角形边长为x .363＝12x 2sin60°，∴x ＝12.当a >0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝23， 当a <0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23， 故a ＝±2 3.8．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______.[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)． 三、解答题9．一抛物线拱桥跨度为52 m ，拱顶离水面6.5 m ，一竹排上载有一宽4 m ，高6 m 的大木箱，问竹排能否安全通过？[解析] 如图所示建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x 2＝－2py ，则有A (26，－6.5)， 设B (2，y )，由262＝－2p ×(－6.5)得p ＝52， ∴抛物线方程为x 2＝－104y . 当x ＝2时，4＝－104y ，y ＝－126，∵6.5－126>6，∴能安全通过．10．已知抛物线y 2＝8x ，(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围．(2)以坐标原点O 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB ，|OA |＝|OB |，若焦点F 是△OAB 的重心，求△OAB 的周长．[解析] (1)抛物线y 2＝8x 的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0.(2)如图所示．由|OA |＝|OB |可知AB ⊥x 轴，垂足为点M ，又焦点F 是△OAB 的重心，则|OF |＝23|OM |. 因为F (2,0)，所以|OM |＝32|OF |＝3，所以M (3,0)，故设A (3，m )． 代入y 2＝8x 得m 2＝24，所以m ＝26或m ＝－26， 所以A (3,26)，B (3，－26)， 所以|OA |＝|OB |＝33，所以△OAB 的周长为233＋4 6.一、选择题1．一个动圆圆心在y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] 由题意得，抛物线的焦点坐标为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，因为动圆与x ＝－2相切，圆心在抛物线上，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，即动圆必过抛物线的焦点F (2,0)．2．抛物线y ＝4x 2上的某点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( )A ．(0,0)B ．(1,4)C ．(12，1)D ．以上都不对[答案] C[解析] 设直线y ＝4x ＋b 与抛物线y ＝4x 2相切，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋b y ＝4x 2，得4x 2－4x －b ＝0， Δ＝16＋16b ＝0，∴b ＝－1.∴方程4x 2－4x ＋1＝0的两根为x 1＝x 2＝12.将x ＝12代入y ＝4x 2得y ＝1，故选C.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )A.2 B ．3 C ．2 D ．2 3[答案] B[解析] ∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3， 又ba＝2，结合a 2＋b 2＝c 2，得e ＝3，故选B. 4．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.二、填空题5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.[答案] 2[解析] 由题意知直线l 的方程是x ＝p2，代入抛物线方程得y ＝±p ，即直线l 被抛物线所截得的弦长是2p ，故p ＝2.6．设A 、B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为16，则∠AOB ＝________.[答案] 90°[解析] 设A (x ，y )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 204x 0y 0＝16，解得x 0＝y 0＝4∴∠BOA ＝90°. 三、解答题7．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离.[解析] (1)因为抛物线方程为y 2＝6x ，所以准线方程为x ＝－32，F (32，0)，又因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l 的斜率为k ＝tan60°＝3，所以焦点l 的方程为y ＝3(x －32)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3(x －32)，消去y 得x 2－5x ＋94＝0，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)由抛物线的定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6， 于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以中点M 到准线的距离为3＋32＝92.8．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标.[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.。
【三维设计】人教版高中数学必修2练习：阶段质量检测2（含答案解析）
【三维设计】⼈教版⾼中数学必修2练习：阶段质量检测2（含答案解析）第⼆章
(时间90分钟，满分120分)
⼀、选择题(共10⼩题，每⼩题5分，共50分)
1．下列说法不正确的是()
A．空间中，⼀组对边平⾏且相等的四边形⼀定是平⾏四边形
B．同⼀平⾯的两条垂线⼀定共⾯
C．过直线上⼀点可以作⽆数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同⼀平⾯内D．过⼀条直线有且只有⼀个平⾯与已知平⾯垂直
答案：D
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平⾯()
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
答案：C
3.如右图所⽰，在四⾯体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点⼀定()
A．在直线DB上B．在直线AB上
C．在直线CB上D．都不对
答案：A
4.如右图所⽰，在正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
答案：B。
高中数学人教版选修2-1阶段质量检测(二) Word版含答案
阶段质量检测（二）(卷学业水平达标)(时间分钟，满分分)一、选择题(本题共小题，每小题分，共分)．抛物线＝的准线方程是( )．＝．＝－．＝－．＝解析：选由抛物线方程＝，可知抛物线的准线方程是＝－.．(全国乙卷)直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )解析：选不妨设直线经过椭圆的一个顶点(，)和一个焦点()，则直线的方程为＋＝，即＋－＝.由题意知＝×，解得＝，即＝.故选.．θ是任意实数，则方程＋θ＝的曲线不可能是( )．椭圆．双曲线．圆．抛物线解析：选由于θ∈，对θ的值举例代入判断：θ可以等于，这时曲线表示圆；θ可以小于，这时曲线表示双曲线；θ可以大于且小于，这时曲线表示椭圆．．设双曲线－＝(＞，＞)的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )．＝±．＝±．＝±．＝±解析：选由已知得到＝，＝，＝＝，因为双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为＝±＝±.．设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足∶∶＝∶∶，则曲线的离心率等于( )或或或或解析：选设＝，＝，＝.若曲线为椭圆，则＝＝，∴＝；若曲线为双曲线，则＝＝，∴＝.．若点到直线＝－的距离比它到点()的距离小，则点的轨迹为( )．椭圆．圆．双曲线．抛物线解析：选由题意得点到直线＝－的距离与它到点()的距离相等，因此点的轨迹是抛物线．．(天津高考)已知双曲线－＝(＞)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为( )－＝－＝－＝－＝解析：选由题意知双曲线的渐近线方程为＝±，圆的方程为＋＝，联立(\\(＋＝，＝()，))解得(\\(＝(,(＋))，＝(,(＋))))或\\(＝－(,(＋))，＝－(,(＋))，))即圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形为矩形，其相邻两边长为，，故＝，得＝.故双曲线的方程为－＝.故选.．已知＝，点，分别在轴和轴上运动，为原点，＝＋，则动点的轨迹方程是( )．＋＝＋＝＋＝．＋＝解析：选设(，)，(，)，()，由已知得(，)＝(，)＋()，即＝，＝，所以＝，＝.因为＝，所以＋＝，即＋()＝，化简整理得动点的轨迹方程是＋＝.．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为，灯深，则抛物线的标准方程可能是( )．＝．＝．＝－．＝－解析：选如果设抛物线的方程为＝(＞)，则抛物线过点()，从而有＝×，即＝，所以所求抛物线方程为＝.。
(人教版)高中数学选修2-1检测章末质量评估2 Word版含答案
第二章圆锥曲线与方程(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知抛物线的方程为＝，且过点()，则焦点坐标为( )．()．()解析：∵抛物线过点()，∴＝，∴＝，∴抛物线方程为＝，焦点坐标为.答案：．设椭圆＋＝(>，>)的右焦点与抛物线＝的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )＋＝＋＝＋＝＋＝解析：∵＝的焦点为()，∴＋＝的右焦点为()，∴>且＝.又＝＝，∴＝.∵＝－＝，∴＝.∴椭圆方程为＋＝.答案：．已知点(－)，()，动点(，)满足·＝，则点的轨迹是( )．椭圆．圆．抛物线．直线解析：依题意，＝(－－，－)，＝(－，－)．又·＝，∴(－－)(－)＋＝，即＝＋.∴点的轨迹是抛物线．答案：．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点(，－)，则它的离心率为()解析：设双曲线的标准方程为－＝(>，>)，所以其渐近线方程为＝±，因为点(，－)在渐近线上，所以＝，根据＝＋，可得＝，解得＝，＝.答案：．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为()＋＝＋＝＋＝或＋＝＋＝解析：＝，∴＝，∴＋＝，＝＋，∴(\\(＝，＝，))∴椭圆方程为＋＝或＋＝.答案：．已知双曲线－＝的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )．．．－．－解析：设点(，)，则－＝，由题意得(－)，(，)，则·＝(－－，－)·(－，－)＝－－＋，由双曲线方程得＝(－)，故·＝－－(≥)，可得当＝时，·有最小值－.故选.答案：．已知是抛物线＝的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是( )．＝－．＝－．＝－．＝－解析：设(，)，的中点为(，)，则＝，又()，∴(\\(＝()，＝(＋)，))∴(\\(＝，＝－，))代入＝得－＝()，化简得＝－，故选.答案：．抛物线＝的焦点到双曲线－＝的渐近线的距离是( )．解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为()，双曲线的渐近线方程为－＝或＋＝，则焦点到渐近线的距离＝＝或＝＝.答案：．直线＝＋与抛物线＝交于，两点，为坐标原点，且⊥，则＝( )。
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阶段质量检测（二） 圆锥曲线与方程(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(安徽高考)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1解析：选C 由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A 、B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C ．2．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析：选C 由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．3．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A ．12或32B ．23或2C ．12或2D ．23或32解析：选A 设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ．若曲线C 为椭圆，则2a ＝6k,2c ＝3k ，∴e ＝12；若曲线C 为双曲线，则2a ＝2k,2c ＝3k ，∴e ＝32．4．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1 ·PF 2的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选B 设P(x 0，y 0)，又F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴PF 1 ＝(－2－x 0，－y 0)，PF 2 ＝(2－x 0，－y 0)．|F 1F 2|＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2，∴|y 0|＝1．又x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6，∴PF 1 ·PF 2 ＝x 20＋y 20－4＝6＋1－4＝3．5．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．8解析：选C 双曲线x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，故a ＝2．又P 是双曲线上一点，故||PF 1|－|PF 2||＝4，而|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7．6．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：选C 准线x ＝－2，Q(－2,0)，设l ：y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2 ，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0． 当k ＝0时，x ＝0，即交点为(0,0)， 当k≠0时，Δ≥0，－1≤k ＜0或0＜k≤1． 综上，k 的取值范围是[－1,1]．7．(全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0．由题意知|－bc|b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12．故选B ．8．已知|AB|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ＝13OA ＋23OA ，则动点P 的轨迹方程是( )A ．x 24＋y 2＝1B ．x 2＋y 24＝1C ．x 29＋y 2＝1D ．x 2＋y 29＝1解析：选A 设P(x ，y)，A(0，y 0)，B(x 0,0)，由已知得(x ，y)＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y ．因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝⎛⎭⎫32x 2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1．9．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454x C ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：选C 如果设抛物线的方程为y 2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x ． 虽然选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意． 10．已知直线y ＝k(x ＋2)(k>0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k ＝( )A ．13B ．23C ．23D ．223解析：选D 将y ＝k(x ＋2)代入y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，设A(x 1，y 1), B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－4k 2k 2，x 1x 2＝4，抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2＋2x 2，代入x 1x 2＝4，整理得x 22＋x 2－2＝0，解得x 2＝1或x 2＝－2(舍去)．所以x 1＝4，8－4k 2k 2＝5，解得k 2＝89，又因为k>0，所以k ＝223．11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32．双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A ．x 28＋y 22＝1B ．x 212＋y 26＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．x 220＋y 25＝1解析：选D 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2．双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25 b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25 b×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1．12．(四川高考)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r>0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：选D 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(5＋rcos θ，rsin θ)则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当直线l 的斜率不存在时，显然符合条件的直线l 有两条． 当直线l 的斜率存在时， 可得2rsin θ(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2) ⇒k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2rsin θ． 又∵k MC ＝rsin θ－05＋rcos θ－5＝sin θcos θ．∴k AB ＝－1k MC ＝－cos θsin θ．∴2rsin θ＝－cos θsin θ⇒r ＝－2cos θ>2． 由于M 在抛物线的内部，∴(rsin θ)2<4(5＋rcos θ)＝20＋4rcos θ＝20＋4×(－2)＝12． ∴|rsin θ|<23．∴|rsin θ|＝r·r 2－4r ＝r 2－4<23⇒r 2<16⇒0<r<4．因此2<r<4．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)． 答案：x 216＋y 212＝114．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4， 设P 点坐标为(x ，y)．由⎩⎨⎧x 26＋y 22＝1，x23－y 2＝1，得⎩⎨⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y|＝12×4×22＝2．答案： 215．抛物线y 2＝2px(p>0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________． 解析：依题意，设抛物线的焦点为F ，点Q 的横坐标是x 0(x 0≥0)，则有|QF|＝x 0＋p2的最小值是p2＝1，则p ＝2．答案：216．已知二次曲线x 24＋y 2m ＝1，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m ∈[－2，－1]，∴曲线方程化为x 24－y 2－m ＝1，曲线为双曲线，∴e ＝4－m 2．∵m ∈[－2，－1]，∴52≤e≤62． 答案：52，62三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px(p>0)， ∵点P ⎝⎛⎭⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p×32．∴p ＝2， ∴所求抛物线的方程为y 2＝4x ．∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝⎛⎭⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1， 得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)． ∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1．18．(本小题满分12分)已知抛物线方程为y 2＝2x ，在y 轴上截距为2的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，O 为坐标原点．若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋2消去x 得ky 2－2y ＋4＝0． ∵直线l 与抛物线相交，∴⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，Δ＝4－16k>0，解得k<14且k ≠0．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1y 2＝4k，从而x 1x 2＝y 212·y 222＝4k2．∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即4k 2＋4k ＝0，解得k ＝－1符合题意， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋2．19．(本小题满分12分)已知椭圆x 24＋y 29＝1及直线l ：y ＝32x ＋m ，(1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值．解：(1)由⎩⎨⎧y ＝32x ＋m ，x 24＋y29＝1，消去y ，并整理得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0．①Δ＝36m 2－36(2m 2－18)＝－36(m 2－18)． ∵直线l 与椭圆有公共点，∴Δ≥0，据此可解得－3 2≤m≤3 2． 故所求实数m 的取值范围为[－3 2，3 2 ]． (2)设直线l 与椭圆的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由①得：x 1＋x 2＝－6m9，x 1x 2＝2m 2－189，故|AB|＝1＋k 2· x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322·⎝⎛⎭⎫－6m 92－4×2m 2－189＝133· －m 2＋18， 当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26．20．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝63，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．解：(1)直线AB 的方程为：bx －ay －ab ＝0． 依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab a 2＋b 2＝32，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1．(2)假若存在这样的k 值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋3y 2－3＝0，得 (1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0． ∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k 2)>0．① 设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k2.②而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4．要使以CD 为直径的圆过点E(－1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1．即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0．∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0．③将②式代入③整理解得k ＝76．经验证k ＝76使①成立．综上可知，存在k ＝76，使得以CD 为直径的圆过点E ．21．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为e ，若直线l ：x ＝a 2c与两条渐近线分别相交于P ，Q 两点，F 为右焦点，△FPQ 为等边三角形． (1)求双曲线C 的离心率e ；(2)若直线y ＝ax ＋b 被双曲线C 所截得的弦长为b 2e 2a ，求双曲线C 的方程．解：(1)双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，不妨设点P 在第一象限，则渐近线与直线l ：x ＝a 2c 的两交点分别为P a 2c ，ab c，Q ⎝⎛⎭⎫a 2c ，－ab c ． 设直线l 交x 轴于点M(如图)． ∵△PFQ 为等边三角形， ∴|MF|＝32|PQ|， 即c －a 2c ＝32⎝⎛⎭⎫ab c ＋ab c ， 即c 2－a 2c ＝3abc ，解得b ＝3a ，∴c ＝2a ，∴e ＝ca＝2．(2)由(1)得双曲线C 的方程为x 2a 2－y 23a2＝1．设直线y ＝ax ＋b 与双曲线C 的两交点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)． 把y ＝ax ＋b ＝ax ＋3a 代入双曲线C 的方程， 得(a 2－3)x 2＋23a 2x ＋6a 2＝0．则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3≠0，Δ＝12a 4－24a 2 a 2－3 >0， ∴a 2<6，且a 2≠3．又x 1＋x 2＝－23a 2a 2－3，x 1x 2＝6a 2a 2－3，∴直线y ＝ax ＋b 被双曲线C 所截得的弦长为 b 2e 2a＝ 1＋a 2 x 1－x 2 2＝ 1＋a 2 [ x 1＋x 2 2－4x 1x 2]＝1＋a 2·12a 4－24a 2 a 2－3a 2－3 2， 化简整理得13a 4－77a 2＋102＝0． ∴a 2＝2或a 2＝5113，满足a 2<6且a 2≠3．∴双曲线C 的方程为x 22－y 26＝1或13x 251－13y 2153＝1．22．(本小题满分12分)(湖南高考)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为26．过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC 与BD同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)． 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点， 所以a 2－b 2＝1．①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32， 所以94a 2＋6b2＝1．②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8． 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1．(2)如图，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．因AC 与BD同向，且|AC|＝|BD|，所以AC ＝BD，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4．③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0． 而x 1，x 2是这个方程的两根， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4．④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0． 而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2．⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2 9＋8k 2 2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9 k 2＋19＋8k 2 2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64．。