一元二次不等式的解法、集合及运算

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一元二次不等式的解集

一元二次不等式的解集一元二次不等式是指一个包含一个未知数的二次方程不等式。

解集指的是满足不等式条件的所有实数值的集合。

在本文中，我们将讨论一元二次不等式的性质、解法和解集的表示方法。

一、一元二次不等式的性质1. 一元二次不等式的基本形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

2. 当a > 0时，一元二次不等式的图像为开口向上的抛物线；当a < 0时，一元二次不等式的图像为开口向下的抛物线。

3. 一元二次不等式有零个、一个或两个解，解的个数取决于不等式的形式和系数的取值。

二、一元二次不等式的解法1. 通过图像法求解：通过绘制一元二次不等式的图像，可确定其解集的范围。

在绘制图像时，注意抛物线的开口方向和顶点的坐标。

2. 通过因式分解求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过因式分解将其转化为多个一次因式相乘的形式，然后利用每个因式的符号确定不等式的解集。

3. 通过配方法求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过配方法将其转化为一个平方差或完全平方式，然后利用平方差或完全平方式的性质求解不等式。

三、一元二次不等式解集的表示方法1. 解集的表示方法有三种常用形式：区间表示法、集合表示法和图像表示法。

a) 区间表示法：用区间形式表示解集，如(a, b)、[a, b]、(a, +∞)、(-∞, b]等。

b) 集合表示法：用集合的形式表示解集，如{x ∈ R | a < x < b}表示一个开区间。

c) 图像表示法：用图形的方式表示解集，通过绘制坐标轴上的区间来表示解集的范围。

2. 解集的界限问题：解集的上下界取决于不等式的形式和系数的取值。

对于开口向上的抛物线，解集的下界是抛物线的顶点坐标；对于开口向下的抛物线，解集的上界是抛物线的顶点坐标。

4. 解集的无解情况：有些一元二次不等式没有实数解，这意味着不等式在实数范围内不成立。

一元二次不等式及其解法

2
2 1 ∴原不等式的解集为{x|－ ≤ x≤ }． 3 2 (2)∵ Δ＝(－ 4)2－ 4× 2× 7＝－ 40<0 ∴原不等式的解集为 Ø.
例2
1 1 已知不等式 ax ＋bx＋2>0 的解为－ <x< ， 2 3
2
求 2x2＋bx＋a<0 的解．
1 1 变式练习 2 已知不等式 ax ＋5x＋c>0 的解集为{x| <x< }， 3 2
2．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是(
)
A．(0,2)
C．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0<x<2，故选A. 答案：A
3．不等式－ 6x2－ x＋ 2≤ 0 的解集为( 2 1 A． {x|－ ≤ x≤ } 3 2 1 C． {x|x≥ } 2
2
1 1 故①当 0<a<1 时，(x－1)(x－ )<0⇔1<x< ； a a 1 ②当 a＝1 时，(x－1)(x－ )<0⇔(x－1)2<0⇔x∈Ø； a 1 1 ③当 a>1 时，(x－1)(x－ )<0⇔ <x<1. a a
1 综上所述：当 a<0 时，解集为{x|x< 或 x>1}；当 a a 1 ＝0 时，解集为{x|x>1}；当 0<a<1 时，解集为{x|1<x< }； a 1 当 a＝1 时，解集为 Ø；当 a>1 时，解集为{x| <x<1}． a
)
2 1 B．{x|x≤－或 x≥ } 3 2 2 D． {x|x≤－ } 3

一元二次不等式及其解法

一元二次方程 ax 2 bx c 0a 0 与二次函数 y ax 2 bx c 0a 0 的关系是: （ 1 ）当 b2 4ac ≥ 0 时 , 一元二次方程 ax 2 bx c 0a 0 有实数根 , 二次函数 y ax 2 bx c 0a 0 的图象与 x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标
∵ 32 4 2 2 7 0
∴方程 2x 2 3x 2 0 无实数根 ∴原不等式的解集为 R.
习题 1: 解下列不等式: （1） x 2 5x 6 0 ;
（2） x 2 7x 6 ;
x 2 6x 10 0
（3） 2 xx 3 0 ;
;
当 a 1 ,即 a 1或0 a 1 时,原不等式的解集为 x a x 1 .
原不等式可化为 x 22 0 或 x 22 0 ,所以原不等式的解集为 x x 2或 x x 2;
当 0 ,即 4 a 4 时方程 x 2 ax 4 0 无实数根,所以原不等式的解集为 R.
例 7. 解不等式 m2 1x 2 4x 1≥0 m R.
第1页
（2）一元二次不等式 ax 2 bx c 0 （≤0）的解集就是二次函数 y ax 2 bx c 0a 0
的图象位于 x 轴下方（包括 x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.
表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:
判别式 b 2 4ac
解:∵ m 2 ≥0 ∴m2 1 0
42 4m2 1 12 4m2
当 0 ,即

一元二次不等式的解法全

2 . (1) 当x 2 3或x 2 3时，y 0
(2) 当x〉2 3或x〈2 3时，y〉0
(3) 当2 〈3 x〈2 3时，y〈0
3. x | x 4或x 3
y
五、小结
o ●x1
● x2 x
（1）一元二次不等式的解集与一元二次方程
的解及其相应的二次函数的图像相对于轴的
位置密切相关.解题时要注意解题格式，头脑
有两个相
有两个不等实根 x1,x2(x1<x2)
等实根 x1=x2
ax2+bx的+c解>0集（a>0）﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
﹛x|x1<x<x2﹜
Φ
无实根 R Φ
∆＝b2-4ac ∆>0
y
y∆=0 y ∆<0
二次函数 y=ax2+bx+c
以上四个不等式中我们规定了 a 0
如果题目中给出的不等式中二次项系数小于0，哪怎么办呢？对了，我们只要在不等式两边同乘-1，然后把不等式的方向改变一下，就可化为以上四种形式中的一种。
三、例题讲解
例1 解不等式2x2－3x－2>0 o －1/2 ●
●
2
x
解：因为∆>0，方程2x2－3x－2＝0 的解是
中要想象图像或划出草图.
（2）对于a<0的一元二次不等式可转化为
a>0的情形求解.
（3）一元二次不等式的解法是今后学习其他
不等式的基础，要求大家熟练掌握解法，准
确运算结果.
利用一元二次函数图象解一元二次不等式

一元二次不等式的代数解法

8、解不等式组：求一个不等式组的解集叫做解不等式组。
例1、解不等式：
x x 2 0
2
解：将不等式左边因式分解
:
x x 2 0
2
(x+1)(x-2) >0 x 1 0 x 2 0 或
x x
1 x 1 2 或 x 2

x 1 0 x 2 0
一、有关定义：
1、一元二次不等式：
只含一个未知数，且未知数的最高次数为 2次的不等式，称为一元二次不等式。 2 ax bx c ＞0（a≠0）标准形式：注：其中的“＞”也可以换成“＜”或“≥”、 “≤”。 2、不等式的解：使一个不等式成立的未知数x所取的每一个值叫做这个不等式的一个解。 3、不等式的解集：一个不等式的所有解组成的集合叫做这个不等式的解集。 4、解不等式：求一个不等式的解集叫做解不等式。
四、解不等式组。五、写出原不等式的解集：两个不等式组的解集的并集。
例2、解不等式： x2+x-6 ＜0
解： x2+x-6 ＜0 (x+3)(x-2)＜0

x 3 0 x 2 0 或

x 3 0 x 2 0

x 3 或 x 2

x 3 x 2
-3<x<2
x >2 或 x< -1
因此，不等式
x2 x 2 0
的解集是 :
{x|x>2}∪{x|x<-1} 即(2, ∞） ∪ （- ∞， 1)。
用因式分解法解一元二次不等式的基本步骤：
一、移项：使不等式右边为零。二、分解因式：将不等式左侧分解为一次因式乘积的形式。

高考数学十年真题专题汇总—集合概念与运算

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=，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．52．【2020年高考全国Ⅲ卷理数1】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．63．【2017新课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．04．【2018新课标2，理1】已知集合 = ，2+ 2≤3， ∈ ， ∈ ，则中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．45．【2013山东，理1】已知集合A ={0，1，2}，则集合B ={}|,x y x A y A -∈∈中元素的个数是A ．1B ．3C ．5D ．96．【2013江西，理1】若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a =A ．4B ．2C ．0D ．0或47．【2012江西，理1】若集合{1,1}A =-，{0,2}B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为()A ．5B ．4C ．3D ．28．【2011广东，理1】已知集合A ={(,)|,x y x y 为实数，且221}x y +=，B ={(,)|,x y x y 为实数，且1}x y +=，则A ⋂B 的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．19．【2011福建，理1】i 是虚数单位，若集合S ={－1，0，1}，则A ．i ∈SB ．2i ∈SC ．3i ∈SD ．2i∈S 10．【2012天津，文9】集合{}R 25A x x =∈-≤中的最小整数为_______．考点2集合间关系1．【2012新课标，文1】已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则A ．A BÜB ．B AÜC ．A B=D ．A B =∅2．【2012新课标卷1，理1】已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则()A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B3．【2015重庆，理1】已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则A ．A ＝BB ．A B =∅∩C ．A BÜD ．B AÜ4．【2012福建，理1】已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，下列结论成立的是()A ．N M⊆B ．M N M= C ．M N N= D ．{2}M N = 5．【2011浙江，理1】若{|1},{|1}P x x Q x x =<=>-，则()A ．P Q⊆B ．Q P⊆C ．R C P Q⊆D ．R Q C P⊆6．【2011北京，理1】已知集合P =2{|1}x x ≤，{}M a =．若P M P = ，则a 的取值范围是A ．(-∞，-1]B ．[1，+∞)C ．[-1，1]D ．(-∞，-1] [1，+∞)7．【2013新课标1，理1】已知集合A ={x |x 2－2x ＞0}，B ={x |－5＜x ＜5＝，则()A ．A ∩B =∅B ．A ∪B =RC ．B ⊆AD ．A ⊆B8．【2012大纲，文1】已知集合A ={x ︱x 是平行四边形}，B ={x ︱x 是矩形}，C ={x ︱x 是正方形}，D ={x ︱x 是菱形}，则A ．A ⊆BB ．C ⊆BC ．D ⊆C D ．A ⊆D9．【2012年湖北，文1】已知集合2{|320,}A x x x x =-+=∈R ，{|05,}B x x x =<<∈N ，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4考点3集合间的基本运算1．【2011课标，文1】已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M ∩N ，则P 的子集共有(A)2个(B)4个(C)6个(D)8个2．【2013新课标2，理1】已知集合M={x ∈R|2(1)4x -<}，N={-1，0，1，2，3}，则M ∩N=A ．{0，1，2}B ．{-1，0，1，2}C ．{-1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}3．【2013新课标2，文1】已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M ∩N=()(A)｛-2，-1，0，1｝(B)｛-3，-2，-1，0｝(C){-2，-1，0}(D){-3，-2，-1}4．【2013新课标I ，文1】已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A∩B=()(A)｛1，4｝(B)｛2，3｝(C){9，16}(D)｛1，2}5．【2014新课标1，理1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2}，则A B ⋂=A ．[-2，-1]B ．[-1，2)C ．[-1，1]D ．[1，2)6．【2014新课标2，理1】设集合M=｛0，1，2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=()A ．｛1｝B ．｛2｝C ．｛0，1｝D ．｛1，2｝7．【2014新课标1，文1】已知集合M ={|13}x x -<<，N ={|21}x x -<<则M N = ()A.)1,2(-B ．)1,1(-C ．)3,1(D ．)3,2(-8．【2014新课标2，文1】设集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=，则A B = ()A.∅B ．{}2C ．{0}D ．{2}-9．【2015新课标2，理1】已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<，则A B = ()A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,210．【2015新课标1，文1】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为()(A)5(B)4(C)3(D)211．【2015新课标2，文1】已知集合{}|12A x x =-<<，{}|03B x x =<<，则A B = ()A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,312．【2016新课标1，理1】设集合}034|{2<+-=x x x A ，}032|{>-=x x B ，则B A ⋂=(A)3(3,2--(B)3(3,2-(C)3(1,2(D)3(,3)213．【2016新课标2，理2】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = ()(A){1}(B){12}，(C){0123}，，，(D){10123}-，，，，14．【2016新课标3，理1】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>，则T S ⋂=(A)[2，3](B)(-∞，2]U [3，+∞)(C)[3，+∞)(D)(0，2]U [3，+∞)15．【2016新课标2，文1】已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B = ()(A){210123}--，，，，，(B){21012}--，，，，(C){123}，，(D){12}，16．【2016新课标1，文1】设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = ()(A){1，3}(B){3，5}(C){5，7}(D){1，7}17．【2016新课标3，文1】设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=(A){48},(B){026}，,(C){02610}，，,(D){0246810}，，，，,18．【2017新课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x => D ．A B =∅19．【2017新课标1，文1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则()A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A B=R20．【2017新课标2，理2】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B = ，则B =()A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,521．【2017新课标2，文1】设集合{}{}123234A B ==，，，，，，则A B =()A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，，22．【2017新课标3，文1】已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A ⋂B 中元素的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．423．【2018新课标1，理1】已知集合 = 2− −2>0，则∁ =A ． −1< <2B ． −1≤ ≤2C ． | <−1∪ | >2D ． | ≤−1∪ | ≥224．【2018新课标3，理1】已知集合 = | −1≥0， =0，1，2，则 ∩ =A ．0B ．1C ．1，2D ．0，1，225．【2018新课标1，文1】已知集合，，则()A ．B ．C ．D ．26．【2018新课标2，文1】已知集合，，则A ．B ．C ．D ．27．【2019新课标1，理1】已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=()A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<28．【2019新课标1，文2】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A =()A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,729．【2019新课标2，理1】设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={x |x -1<0}，则A ∩B =A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)30．【2019新课标2，文1】．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B =A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅31．【2019新课标3，理1】已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=()A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,232．【2019浙江，1】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B ð=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-33．【2019天津，理1】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ，则()A C B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,434．【2011辽宁，理1】已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N ð=M I ∅，则=N M A ．MB ．NC ．ID ．∅35．【2018天津，理1】设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ðA ．{01}x x <≤B ．{01}x x <<C ．{12}x x <≤D ．{02}x x <<36．【2017山东，理1】设函数24y x =-的定义域A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B = ()A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,1)-D ．[2,1)-37．【2017天津，理1】设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，{|15}C x x =∈-R ≤≤，则()A B C = A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-R ≤≤38．【2017浙江，理1】已知集合{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，那么P Q =A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)39．【2016年山东，理1】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞40．【2016年天津，理1】已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =A ．{1}B ．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}41．【2015浙江，理1】已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-=<≥≤，则()R P Q =ðA ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]42．【2015四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A=x x x +-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<43．【2015福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i =(i 是虚数单位)，{}1,1B =-，则A B 等于()A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．∅44．【2015广东，理1】若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N = A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅45．【2015陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞46．【2015天津，理1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U A B =ðA ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,847．【2014山东，理1】设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)48．【2014浙江，理1】设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U A ．∅B ．}2{C ．}5{D ．}5,2{49．【2014辽宁，理1】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B = A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<50．【2013山东，】已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集，且(){4}U A B = ð，{1,2}B =，则U A B =ðA ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．∅51．【2013陕西，理1】设全集为R ，函数()f x =的定义域为M ，则C M R 为A ．[－1，1]B ．(－1，1)C ．,1][1,)(∞-⋃+∞-D ．,1)(1,)(∞-⋃+∞-52．【2013湖北，理1】已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则()R A C B =A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ．{}|024x x x ≤<>或D ．{}|024x x x <≤≥或53．【2011江西，理1】若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===，则集合{5,6}等于A ．M N⋃B ．M N⋂C ．()()n n C M C N ⋃D ．()()n n C M C N ⋂54．【2011辽宁】已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N ð=M I ∅，则=N M A ．MB ．NC ．ID ．∅55．【2017江苏】已知集合{1,2}A =，2{,3B a a =+｝，若{1}A B = ，则实数a 的值为_．56．【2020年高考全国Ⅰ卷文数1】已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = ()A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}57．【2020年高考全国I 卷理数2】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =()A ．–4B ．–2C ．2D ．458．【2020年高考全国II 卷文数1】已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =()A ．∅B ．{–3，–2，2，3)C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}59．【2020年高考全国II 卷理数1】已知集合{}{}{}2,1,0,1,2,3,1,0,1,1,2U A B =--=-=，则()U A B =ð()A ．{}2,3-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--60．【2020年高考浙江卷1】已知集合P ={|14}x x <<，{|23}Q x x =<<则P Q =()A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|23}x x <≤D ．{|14}x x <<61．【2020年高考北京卷1】已知集合{1,0,1,2},{03}A B x x =-=<<，则A B = A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}62．【2020年高考山东卷1】设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则=A B A ．{|23}x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14}x x ≤<D ．{|14}x x <<63．【2020年高考天津卷1】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B = ð()A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---64．【2020年高考上海卷1】已知集合{}{}1,2,4,2,4,5A B ==，则A B = ．65．【2020年高考江苏卷1】已知集合{}{}1,0,1,2,0,2,3A B =-=，则A B =．考点4与集合有关的创新问题1．(2012课标，理1)．已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x y -∈A }，则B 中所含元素的个数为()A ．3B ．6C ．8D ．102．【2015湖北】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,B x y x y =≤≤,}x y ∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为()A ．77B ．49C ．45D ．303．【2013广东，理8】设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n = ，令集合{(,,)|,,S x y z x y z X =∈，且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S∈D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S∉4．【2012福建，文12】在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n k +丨n ∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a b -∈[0]”．其中正确的结论个数是()A ．1B ．2C ．3D ．45．【2013浑南，文15】对于E ={12100,,,a a a }的子集X ={12,,,kii i a a a }，定义X 的“特征数列”为12100,,,x x x ，其中121k i i i x x x ==== ，其余项均为0，例如子集{23,a a }的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0(1)子集{135,,a a a }的“特征数列”的前三项和等于；(2)若E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p 满足11p =，11i i p p ++=，1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”12100,,,q q q 满足11q =，121j j j q q q ++++=，1≤j ≤98，则P∩Q 的元素个数为_________．7．【2018北京，理20】设n 为正整数，集合12={|(,,,),{0,1},1,2,,}n k A t t t t k n αα=∈= ．对于集合A中的任意元素12(,,,)n x x x α= 和12(,,,)n y y y β= ，记(,)M αβ=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++-- ．(1)当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；(2)当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(,)M αβ是奇数；当,αβ不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(,)0M αβ=．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．。

一元二次不等式及其解法

2021年新高考数学总复习第七章《不等式》一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a{x|x∈R} ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0；ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )题组二教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |x <－2}∪{x |x >3}D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}．故选B.3． y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73， ∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 题组三易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)答案 (－4，1)。

一元二次不等式解法及集合运算练习题

必修5《一元二次不等式及其解法》演习卷【1 】常识点：1.一元二次不等式：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式．2.二次函数的图象.一元二次方程的根.一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++ ()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a -±∆=()12x x <有两个相等实数根122b x x a ==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++> ()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭ R 20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅∅同步演习：1.不等式2654x x +<的解集为（）A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2.设聚集{}12x x A =≤≤,{}0x x a B =-<,若A B ≠∅,那么实数a 的取值规模是（）A ．()1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．[)1,+∞3.若不等式210x mx ++>的解集为R ,则m 的取值规模是（） A ．RB ．()2,2- C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-4.设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则ab 的值是（）A ．6-B ．5-C ．6D ．55.不等式()221200x ax a a --<<的解集是（）A ．()3,4a a - B ．()4,3a a - C ．()3,4- D ．()2,6a a6.不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则a b -=（） A ．14-B ．14C ．10-D ．107.不等式222693191122x x x x -+++⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集是（）A ．[]1,10-B ．()[),110,-∞-+∞C ．RD ．(][),110,-∞-+∞8.不等式()()120x x --≥的解集是（）A ．{}12x x ≤≤ B ．{}12x x x ≥≤或C ．{}12x x <<D ．{}12x x x ><或9.不等式()20ax bx c a ++<≠的解集为∅,那么（）A ．0a <,0∆>B ．0a <,0∆≤C ．0a >,0∆≤D ．0a >,0∆≥ 10.设()21f x x bx =++,且()()13f f -=,则()0f x >的解集是（）A ．()(),13,-∞-+∞ B ．R C ．{}1x x ≠ D ．{}1x x =11.若01a <<,则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（）A ．1a x a <<B ．1x a a <<C ．x a <或1x a >D ．1x a <或x a >12.不等式()130x x ->的解集是（）A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,00,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭13.二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：x 3- 2- 1- 0 1 2 3 4 y60 4- 6- 6- 4- 0 6则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________． 14.若0a b >>,则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________．15.不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<,则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．16.不等式2230x x -->的解集是___________________________． 17.不等式2560x x -++≥的解集是______________________________．18.()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或,则k =_________． 19.已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<,则p q +=________． 20.不等式30x x +≥的解集为____________________． 21.求下列不等式的解集：⑴()()410x x +--<; ⑵232x x -+>; ⑶24410x x -+>． 22.已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,求a .b 的值．23.已知聚集{}290x x A =-≤,{}2430x x x B =-+>,求AB ,A B ．聚集的运算一、常识点：1．交集：由所有属于聚集A 属于聚集B 的元素所构成的聚集,叫做A 与B 的交集.即：=B A .2．并集：由所有属于聚集A 属于聚集B 的元素所构成的聚集,叫做A 与B 的并集.即：=B A .3．性质：=A A ,=φ A ,=B A ;=A A ,=φ A ,=B A ;A （A C U ）=,A （A C U ）=;（AC U ）（BC U ）=,（AC U ）（BC U ）=.4．全集：假如聚集S 含有我们所要研讨的各个聚集的,这个聚集就可以看作一个全集,全集通经常应用U 暗示.5．补集：设S 是一个聚集,A 是S 的子集,由S 中所有A 元素构成的聚集,叫做S 中子集A 的补集.即：=A C S .6．Card （A ∪B ）=. 二、例题讲授：例1.已知全集U ＝R ,A ＝｛x ｜｜x －1｜≥1｝．B ＝｛x ｜23--x x ≥0｝,求：(1)A ∩B ; (2)(UA )∩(UB )．例2.已知聚集M ＝{y |y ＝x 2＋1,x ∈R },N ＝{y |y ＝x ＋1,x ∈R },则M ∩N 等于( ) A ．(0,1),(1,2) B ．{(0,1),(1,2)} C ．{y |y ＝1或y ＝2} D ．．{y |y ≥1} 例 3.已知聚集 A.B 是全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集,A ∩B ＝{2},（UA ）∩（UB ）＝{1,9},（UA ）∩B ＝{4,6,8},求A,B ．例4．已知聚集}02|{2≤-+=x x x A ,B={x|2<x+1≤4},设聚集}0|{2>++=c bx x x C ,且知足φ=⋂⋃C B A )(,R C B A =⋃⋃)(,则b_________,c_________.演习：已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0},B＝{x|x2－5x＋8＝2},C＝{x|x2＋2x－8＝0},（1）若A∩B＝A∪B,求a的值;（2）若∅A∩B,A∩C＝∅,求a的值．例5．已知A＝｛x｜｜x－1｜＜b,b＞0},B＝｛x｜｜x－3｜＞4｝,且A∩B＝∅,求b的取值规模．演习：已知聚集A＝｛x｜x2－x－2≤0｝,B＝｛x｜a＜x＜a＋3｝且知足A∩B＝∅,则实数a的取值规模是_______．例6．已知聚集A＝{x|－2≤x＜－1或x＞1},B＝{x|x2＋ax＋b≤0},且A∩B＝{x|1＜x≤3},A∪B＝{x|x≥－2},试求a,b的值．例7．已知聚集A＝{x|x2－5x＋6＜0},B＝{x|x2－4ax＋3a2＜0}且A⊆B,求实数a的取值规模．本题考核含参数的一元二次不等式的解法,聚集的交.并运算及分类评论辩论的才能．思虑题：已知聚集2{|54A x x x=-+≤0},2{|22B x x ax a=-++≤0},且B A⊆,求实数a的取值规模.专项练习一.选择题1．已知全集U＝{a,b,c,d,e,f,g,h},A＝{c,d,e},B＝{a,c,f},那么聚集{b,g,h}等于（）A．A∪B B．A∩B C．（U A）∪（U B）D．（U A）∩（U B）2．已知聚集P={a,b,c,d,e},聚集Q P,且)(QPa⋂∈,)(QPb⋂∉,则知足上述前提的聚集Q的个数为（）A.7B.8C.15D.243．已知聚集M有3个真子集,聚集N有7个真子集,那么M∪N的元素个数为（）A.有5个元素B.至多有5个元素C.至少有5个元素D.元素个数不克不及肯定4．聚集A={（x,y）|y=a|x|},B={（x,y）|y=x+a},C=A∩B,且聚集C为单元素聚集,则实数a的取值规模为（）A .|a|≤1 B.|a|>1 C.a>1 D.a>0或a<0 5．聚集M={（x,y ）|x>0,y>0},N={（x,y ）|x+y>0,xy>0},则（） A .M=NNC. MN D. φ=⋂N M6．设全集I={1,2,3,4,5},}2,1{=⋂B C A I ,则聚集B A C I ⋂的个数为（） A.3 B.4 C.7 D .8 7．设U ＝{1,2,3,4,5},若A ∩B ＝{2},（UA ）∩B ＝{4},（UA ）∩（UB ）＝{1,5},则下列结论准确的是（）A ．3∉A 且3∉BB ．3∉A 且3∈BC ．3∉B 且3∈AD ．3∈A 且3∈B8．已知聚集M ＝{（x,y ）|x ＋y ＝3},N ＝{（x,y ）|x －y ＝5},那么聚集M ∩N 为（） A ．x ＝4,y ＝－1B ．（4,－1） C ．{4,－1}D ．{（4,－1）}9．设聚集A ＝{x|－1<x ≤3},B ＝{y|y ⊆A},则A.B 之间的关系为（） A ．B ∈A B ．A ⊆B C ．A ∈B D ．B ⊆A10．已知聚集A ＝{x|x 2－5x ＋6<0},B ＝{x|x<2a},若A B,则实数a 的规模为（）A ．［6,＋∞)B ．（6,＋∞）C ．（－∞,－1）D ．（－1,＋∞）11．已知聚集A ＝{－1,1},B ＝{x|mx ＝1},且A ∪B ＝A,则m 的值为（） A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－1或012．若聚集P ＝{x|3<x ≤22},非空聚集Q ＝{x|2a ＋1≤x<3a －5},则能使Q ⊆（P ∩Q ）成立的所有实数a 的取值规模为（）A ．（1,9）B ．［1,9］C ．（6,9）D ．［6,9) 三、填空题：13．高一某班有学生45人,个中介入数学比赛的有32人,介入物理比赛的有28人,别的有5人两项比赛均不介入,则该班既介入数学比赛又介入物理比赛的有__________人．14．已知A ＝｛x |x 2－2x －8＜0｝,B ＝｛x |x －a ＜0｝,A ∩B ＝φ．则a 的规模是________ 15．设T ＝{（x,y ）|ax ＋y －3＝0},S ＝{（x,y ）|x －y －b ＝0},若S ∩T ＝{（2,1）},则a ＝_______,b ＝_______．16．已知A ＝{x|x 2＋（p ＋2）x ＋1＝0},B ＝{x|x>0},若A ∩B ＝∅,则实数p 的取值规模为__________．四、解答题：17．已知全集U ＝{x|－4≤x ≤4,x ∈Z },A ＝{－1,a 2＋1,a 2－3},B ＝{a －3,a －1,a ＋1},且A ∩B ＝{－2},求U （A ∪B ）．18．已知U ＝{x|x 2－3x ＋2≥0},A ＝{x||x －2|＞1},B ＝{x|21--x x ≥0},求A ∩B,A ∪B,（UA ）∪B,A∩（UB ）．19．设{}2|120A x x x =--=,{}2|20B x x ax b =-+=,B ≠∅,且A B A =∪求a,b 的值.20．已知聚集A ＝{x|－x 2＋3x ＋10≥0},B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1},若B ⊆A,求实数m 的取值规模．21*．聚集A={（x,y ）22=+-+y mx x },聚集B={（x,y ）1=+-y x ,且02≤≤x },又A φ≠⋂B ,求实数m 的取值规模．。

不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法

2023《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》contents •一元二次不等式的定义与理解•一元二次不等式的解法•一元二次不等式的应用•一元二次不等式的扩展知识目录01一元二次不等式的定义与理解定义一元二次不等式是指形如`ax^2 + bx + c > 0`或`ax^2 + bx + c < 0`的不等式，其中`a`, `b`, `c`是常数，且`a`不等于0。

它是由一元二次方程的根的判别式和不等式的性质引出的。

一元二次不等式的解集就是使不等式成立的所有x的集合。

ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。

标准形式如`(x-a)(x-b) > 0`或`(x-a)(x-b) < 0`等。

特殊形式一元二次不等式的形式一元二次不等式的解集当判别式`Delta = b^2 - 4ac > 0`时，解集为两个开区间；当判别式`Delta = b^2 - 4ac < 0`时，解集为一个空集和两个开区间的并集。

当判别式`Delta = b^2 - 4ac = 0`时，解集为一个开区间和一个闭区间；注意：在求解一元二次不等式时，还需要考虑二次项系数a的正负情况，以及不等式的符号。

02一元二次不等式的解法总结词通过配方法将一元二次不等式转化为二次函数，利用二次函数的图像和性质求解。

详细描述将一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)化为a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a>0，再利用二次函数的图像和性质求解。

配方法总结词利用一元二次方程的求根公式，将一元二次不等式转化为两个一次不等式组，求解。

详细描述根据一元二次方程的求根公式，将一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)的两个根x1，x2代入，得到两个一次不等式组，求解即可得到解集。

公式法通过图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像，根据图像求解。

一元二次不等式的解集

二次项系数与常数项异号
当一元二次不等式的二次项系数与常数项异号时，不等式无解，解集为空集。
解集为全集的情况
• 判别式大于等于零且二次项系数与常数项同号：当一元二次不等式的判别式大于等于零且二次项系数与常数项同号时，不等式有实数解，解集为全集。
解集为单元素集的情况
判别式等于零
当一元二次不等式的判别式等于零时，不等式有唯一实数解，解集为单元素集。
将一元二次不等式因式分解为两个一次因式的乘积，然后根据不等式的性质求解。
适用范围
注意事项
在因式分解过程中，需要注意因式的选择和符号问题。
适用于部分一元二次不等式，特别是那些可以容易地因式分解空集的情况
判别式小于零
当一元二次不等式的判别式小于零时，不等式无实数解，解集为空集。
一元二次函数的零点与一元二次不等式的解集密切相关
一元二次函数的零点是一元二次不等式解集的边界点，通过求解一元二次函数的零点可以确定一元二次不等式的解集范围。
一元二次函数的图像与性质
一元二次函数的图像是一条抛物线
抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴等性质可以通过一元二次函数的系数确定。
一元二次函数的性质包括单调性、最值和对称性
进而求得函数的最大值或最小值。
在实际问题中的应用
求解最优化问题
在实际问题中，经常需要求解最优化问题，如最大利润、最小成本等。这些问题往往可以转化为一元二次不等式进行求解。
判断不等式的解集情况
在实际问题中，有时需要判断一个不等式的解集情况，如是否存在解、解集的范围等。这些问题可以通过求解一元二次不等式得到解决。
解集的概念及表示方法
01
02
03
解集
满足一元二次不等式的所有未知数的集合。

一元二次不等式组的解法

一元二次不等式组的解法一元二次不等式组是由一元二次不等式构成的一组不等式方程。

解决一元二次不等式组的问题，通常需要使用图像法和代数法两种方法。

下面将详细介绍这两种方法，并给出解决一元二次不等式组的步骤。

一、图像法图像法是通过绘制函数图像来解决一元二次不等式组的方法。

具体步骤如下：1. 将一元二次不等式组化简为标准形式，即将每个不等式的式子移到等式的一侧，形成 "式子≤ 0" 或 "式子≥ 0" 的形式。

2. 对每个不等式，将等号处的曲线标记为实心点（≤ 0）或空心点（≥ 0）。

3. 根据每个不等式的符号关系，确定标记点所在的区域。

4. 找出所有区域的交集，即得到不等式组的解集。

二、代数法代数法是通过进行代数运算来解决一元二次不等式组的方法。

具体步骤如下：1. 将一元二次不等式组化简为标准形式，即将每个不等式的式子移到等式的一侧，形成 "式子≤ 0" 或 "式子≥ 0" 的形式。

2. 对每个不等式的左侧进行因式分解，得到一元二次不等式的解析式。

3. 根据每个不等式的符号关系，确定解析式的正负关系，从而得到解集。

4. 找出所有解集的交集，即得到不等式组的解集。

三、综合运用在解决一元二次不等式组的问题时，图像法和代数法可以综合运用，以获得更准确的解集。

具体步骤如下：1. 根据题目给出的一元二次不等式组，将其化简为标准形式。

2. 根据题目要求，选择图像法或代数法进行求解。

3. 如果选择图像法，绘制函数图像，并确定交集区域；如果选择代数法，进行因式分解，并确定解析式的正负关系。

4. 根据图像法和代数法得到的解集，找出所有解集的交集，即为一元二次不等式组的解集。

总结：通过图像法和代数法，我们可以解决一元二次不等式组的问题。

在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，可以帮助我们更准确地得到不等式组的解集。

一元二次不等式及其解法

(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
注意讨论m＝0时的情况．当m＝0时，1－2x<0，即当x> 时，不等式恒成立；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满
∴－a2＋6a＋b－3>0，Δ＝24＋4b，当b≤－6时，Δ≤0，
∴f(1)>0的解集为∅；当b>－6时，3－ <a<3＋ . <a<3＋ }． ∴f(1)>0的解集为{a|3－
率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[思路点拨]
[课堂笔记] 设税率调低后的税收总收入为y元，
则y＝2 400m(1＋2x%)×(8－x)% ＝－ m(x2＋42x－400)．由题意知，0<x≤8，要使税收总收入不低于原计划的78%，
须y≥2 400m×8%×78%，
即－ m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2，又0<x≤8，∴0<x≤2，所以，x的取值范围是(0,2].
∴
即
，
解①，得x< 解②，得由①②，得 ∴x的取值范围为 < x<
或 x> . < x< .
，
．
若x∈[－1，＋∞)时，x2－2ax＋2≥a恒成立，试求a 的取值范围. 解：法一：令f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，＋∞) f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x ＝ a.

一元二次不等式的解法过程

一元二次不等式的解法过程一元二次不等式是指含有一个未知数的二次函数，其解的集合为一段数轴上的区间。

解一元二次不等式的步骤如下：1. 将一元二次不等式转化为标准形式：将不等式中的所有项都移到一边，使不等式的右边为零。

例如，对于不等式3x^2 - 4x + 1 < 0，将其转化为3x^2 - 4x + 1 - 0 < 0。

2. 求解一元二次方程：将不等式中的等号改为不等号，即求解3x^2 - 4x + 1 = 0的解。

使用求根公式或配方法求得方程的解，得到x1和x2。

3. 根据一元二次函数的图像判断不等式的解集：a) 如果a > 0（a为二次项的系数），则抛物线开口向上。

当x在x1和x2之间时，函数的值小于零，即解集为(x1, x2)。

b) 如果a < 0，则抛物线开口向下。

当x在x1和x2之间时，函数的值大于零，即解集为(-∞, x1)并(x2, +∞)。

c) 如果a = 0，则不是一元二次不等式。

4. 检验解的有效性：将不等式中的x值代入原始不等式中，验证不等式的成立性。

若成立，则解有效；若不成立，则解无效。

5. 表示解集：根据步骤3和4得到的解，将解集用数轴上的区间表示。

例如，解集为(x1, x2)时，在数轴上用一个开区间表示。

下面以一个具体的例子来说明一元二次不等式的解法过程：例题：解不等式x^2 - 5x + 6 > 0。

解法如下：1. 将不等式转化为标准形式：x^2 - 5x + 6 - 0 > 0。

2. 求解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

通过因式分解或求根公式得到x1 = 2和x2 = 3。

3. 根据一元二次函数的图像判断解集：由于a = 1 > 0，抛物线开口向上。

当x在2和3之间时，函数的值小于零，即解集为(2, 3)。

4. 检验解的有效性：将x = 2.5代入不等式x^2 - 5x + 6 > 0中，得到2.5^2 - 5(2.5) + 6 = 2.25 - 12.5 + 6 = -4.25，小于零，验证了解的有效性。

一元二次不等式及其解法

2
1 2 (5)－2x ＋3x－5>0；
(6)－2x2＋3x－2<0.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的
ax2－bx＋2<0 的解集为{x|1<x<2}，则 a＋b＝_________. (2)已知二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是－2,3， a>0，那么 ax2－bx＋c>0 的解集是__________________．
[规律小结] 1.对一元二次不等式概念的三点说明 (1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可． (2)“次数最高是 2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制． (3)必须是整式不等式．
3.2.1一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式的定义只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的不等式，称为一元二次不等式．即形如 ax2＋bx＋c>0(≥0) 或 ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的式的解
【跟踪训练 2】
解关于 x 的不等式：x2－ax－2a2<0.
题型三例3
“三个二次”之间的转化关系
若不等式 ax2，求
不等式 bx2＋2ax－c－3b<0 的解集．

一元二次不等式解法与集合运算练习题集doc

一元二次不等式解法与集合运算练习题集.doc一元二次不等式的解法与集合运算是高中数学中的重要内容，通过对这些知识点的练习可以帮助学生巩固理论知识，提高解题能力。

下面是一份含有答案的练习题集，供学生进行练习。

一、选择题1.若二次不等式 x^2 - 4x + 3 > 0 的解集为 A，下列说法正确的是： A. A= {x | x > 1 或 x < 3} B. A = {x | x > 1 且 x < 3} C. A = {x | x <1 或 x > 3} D. A = {x | x < 1 且 x > 3}2.若二次不等式 x^2 - 5x + 6 < 0 的解集为 B，下列说法正确的是： A. B= {x | x > 2 或 x < 3} B. B = {x | x > 2 且 x < 3} C. B = {x | x <2 或 x > 3} D. B = {x | x < 2 且 x > 3}3.若二次不等式 2x^2 - 3x - 2 ≤ 0 的解集为 C，下列说法正确的是： A.C = {x | x ≥ -2 或x ≤ 1/2} B. C = {x | x ≥ -2 且x ≤ 1/2} C.C = {x | x ≤ -2 或x ≥ 1/2} D. C = {x | x ≤ -2 且x ≥ 1/2}二、填空题1.解不等式 x^2 - 6x + 8 > 0 的解集为 _______。

2.解不等式 x^2 - 7x + 10 ≥ 0 的解集为 _______。

3.解不等式 3x^2 - 4x - 1 < 0 的解集为 _______。

4.解不等式 4x^2 - 9 < 0 的解集为 _______。

三、解答题1.解二次不等式 x^2 - 4x - 5 > 0，并用数轴表示解集。

一元二次不等式及其解法

一、一元二次不等式的解法1、二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之间的关系如下：（1）从函数观点来看，一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>的解集，就是二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图形在x 轴上方部分的点横坐标x 的集合；20(0)ax bx c a ++<>的解集，就是二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图形在x 轴下方部分的点横坐标x 的集合。

（2）从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>的解集就是大于大根，或者小于小根的实数的集合；20(0)ax bx c a ++<>的解集就是大于小根，且小于大根的实数集合。

2、求解一元二次不等式步骤：（1）通过变形化成标准的一元二次不等式的形式（要求二次项系数为正数且右边为0）（2）求出相应的一元二次方程是根，有三种情况：0,00∆=∆<∆>，（即求相应方程20(0)ax bx c a ++=>的根12,x x ）（3）画出对应二次函数的草图（4）结合图象求不等式的解集根据上述方法，有下表：例1：解不等式：29610x x -+>例2：解不等式：2210x x -++<练习：解下列不等式（1）22320x x --> （2）2350x x -+> （3）2620x x --+≥（4）22470x x -+< （5）2690x x -+> （6）2414x x -≥-二、含有参数的一元二次不等式的解法1、解含有参数的一元二次型（20ax bx c ++>）的不等式要注意：（1）要以二次项系数与0的大小作为分类标准进行分类讨论（2）转化为标准形式的一元二次不等式（即二次项系数大于0）后，再以判别式与0的大小作为分类标准进行分类讨论（3）如果判别式大于0，但两根的大小还不能确定，此时再以两根的大小作为分类标准进行分类讨论2、含参数的不等式的解题步骤（1）将二次项系数转化为正数（2）判断相应方程是否有实根（如果可以直接分解因式，可省去此步）（3）根据根的情况写出相应的解集（若方程有异实根，为了写出解集，还要分析根的大小）另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式。

一元二次不等式求解集用描述法

一元二次不等式求解集用描述法
一元二次不等式的一般形式为ax^2 + bx + c > 0（或< 0），其中a、b、c为实数且a不等于0。

我们以ax^2 + bx + c > 0为例来求解其解集。

首先，我们需要找到二次不等式的零点，即解出对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的根。

这可以通过求根公式x = (-b ±
√(b^2 4ac)) / (2a)来实现。

假设根为x1和x2（x1 <= x2），则二次函数在x1和x2之间为正（或负）。

接下来，我们需要考虑a的正负情况：
1. 当a > 0时，二次函数是开口向上的抛物线，因此当x在x1和x2之间时，函数值大于0，所以解集为(x1, x2)。

2. 当a < 0时，二次函数是开口向下的抛物线，因此当x在x1和x2之间时，函数值小于0，所以解集为(-∞, x1)并集(x2, +∞)。

因此，一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0的解集可以用描述
法表示为：
1. 当a > 0时，解集为{x | x1 < x < x2}。

2. 当a < 0时，解集为{x | x < x1}并{x | x > x2}。

这样就完成了一元二次不等式求解集的描述法表示。

希望这个回答能够帮到你。

一元二次不等式定义域-定义说明解析

一元二次不等式定义域-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它是对一元二次函数的研究和应用。

定义域是一元二次不等式的重要概念之一，它指的是一元二次函数中自变量的取值范围。

本文将对一元二次不等式的定义域进行深入探讨，包括定义域的概念、求解方法以及应用等方面，旨在帮助读者更好地理解和应用一元二次不等式的定义域，为进一步学习和研究提供基础。

部分的内容1.2 文章结构:本文将分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，将会对一元二次不等式的概述进行介绍，同时也会描述本文的结构和目的。

正文部分将会详细讨论一元二次不等式的定义、解法和图像，以及相关的数学概念和定理。

在结论部分，将对一元二次不等式的定义域进行总结，并探讨其在实际应用中的作用，同时也会展望一元二次不等式在未来的研究方向。

整篇文章将会全面而系统地介绍一元二次不等式的相关内容，为读者提供全面的信息和知识。

1.3 目的：本文的目的在于对一元二次不等式的定义域进行深入探讨和分析。

首先，我们将介绍一元二次不等式的定义域的概念和意义，以及为什么需要研究和应用一元二次不等式的定义域。

其次，我们将探讨一元二次不等式的定义域在实际问题中的应用，以及在解决数学和实际生活中的问题时的重要性。

最后，我们将展望一元二次不等式的定义域的研究方向，探讨可能的拓展和应用领域，为相关领域的进一步研究和应用提供一定的参考和启发。

通过本文的研究，旨在加深对一元二次不等式的定义域的理解，拓展其应用领域，促进相关领域的发展和应用。

2.正文2.1 一元二次不等式的定义一元二次不等式是指一个形式为ax^2 + bx + c > 0的不等式，其中a、b、c分别为实数，且a不等于0。

在一元二次不等式中，x代表未知数，而a、b、c则是已知的常数。

不等式的解是满足不等式的x的取值范围。

对于一元二次不等式，我们需要找到它的定义域，即使得不等式成立的x的取值范围。

一元二次不等式的解法、集合及运算

第1课一元二次不等式的解法、集合及运算一、一元二次不等式的解法1。

基本形式:①20(0)ax bx c a ++>> 或 20(0)ax bx c a ++≥> ②20(0)ax bx c a ++<> 或 20(0)ax bx c a ++≤> 2．当不等式可十字相乘时：设12x x <，则12()()0x x x x --≥的解集为12[,]x x ，12()()0x x x x --≤的解集为12(,][,)x x -∞+∞ 120x x x x -≥-的解集为12(,](,)x x -∞+∞,120x x x x -≤-的解集为12[,)x x ．【例1】解下列不等式:①2820x x -+< ②22530x x +-≥ ③2619x x -<解：①原不等式可化为2280x x -->，∴(2)(4)0x x +->，∴4x >或2x <- ∴原不等式的解集为(,2)(4,)-∞-+∞(或写成原不等式的解集为{}42x x x ><-或)②原不等式可化为23520x x --≤，∴(31)(2)0x x +-≤，∴123x -≤≤，∴原不等式的解集为1[,2]3-．（或写成原不等式的解集为123x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭）③原不等式可化为29610x x -+>,∴2(31)0x ->，∴x R ∈，且13x ≠， ∴原不等式的解集为13x x R x ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭,且．【变式】①21240x x --≥②22320x x +-<③2414x x ->④201x x -≤+ 解:①原不等式可化为24120x x +-≤，∴(6)(2)0x x +-≤，∴62x -≤≤ ∴原不等式的解集为[6,2]-（或写成原不等式的解集为{}62x x -≤≤） ②原不等式可化为22320x x -->，∴(21)(2)0x x +->,∴2x >或12x <-, ∴原不等式的解集为1(,)(2,)2-∞-+∞．(或原不等式的解集为{|2x x >或1}2x <-）③原不等式可化为24410x x -+<,∴2(21)0x -<，∴无实数解，∴原不等式的解集为Φ． ④12x -<≤，解集为[1,2)-3．当不等式不可十字相乘时，可用求根公式求出20(0)ax bx c a ++=> 的两个根:1x =，2x =12x x <则①20(0)ax bx c a ++>>的解集为12(,)(,)x x -∞+∞， ②20(0)ax bx c a ++<>的解集为12(,)x x 【例2】解下列不等式： 2220x x -++<原不等式可化为2220x x -->， ∵120∆=>，方程2220x x --=的两根是1211x x =={11x x x <>+或．练习:解下列不等式：210x x --<解：∵214(1)50∆=-⨯-=>，方程210x x --=的两根是1211,22x x +==∴原不等式的解集为12x ⎧+⎪<⎨⎪⎪⎩⎭ 二、集合的概念及运算 1．集合的含义与表示①集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性．②集合中元素与集合的关系: 属于与不属于,分别用符号∈与∉表示 ③常用数集的表示④集合的表示法：列举法、描述法． 2．集合间的基本关系 ①集合相等: A B =②子集:A B ⊆，真子集：若A B ⊆ 且A B ≠ ,则A 叫B 的真子集，记作：AB③空集：不含任何元素的集合，记作Φ，规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集 ④若集合A 有n 个元素，则A 有 2n 个子集,有21n - 个真子集，有22n -非空真子集【例3】(1)设集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，若11x =,则下列关系正确的是（）A ．x AB ．A x ∈C ．A x ∈}{D ．{}x A ⊇ 【答案】B（2）满足00{}{}123A⊆，，，的集合A 的个数是（）A ．7B ．8C ．6D ．3【解析】集合A 的个数就是{123}，，的真子集的个数3217-=个，选A 3。