一元二次不等式的解法、集合及运算

第1课 一元二次不等式的解法、集合及运算

一、一元二次不等式的解法

1. 基本形式：①2

0(0)ax bx c a ++>> 或 2

0(0)ax bx c a ++≥> ②2

0(0)ax bx c a ++<> 或 2

0(0)ax bx c a ++≤> 2．当不等式可十字相乘时：设12x x <，则

12()()0x x x x --≥的解集为12[,]x x ，12()()0x x x x --≤的解集为12(,][,)x x -∞+∞ 120x x x x -≥-的解集为12(,](,)x x -∞+∞，1

2

0x x x x -≤-的解集为12[,)x x ． 【例1】解下列不等式：

①2820x x -+< ②22530x x +-≥ ③2619x x -<

解：①原不等式可化为2280x x -->，∴(2)(4)0x x +->，∴4x >或2x <- ∴原不等式的解集为(,2)

(4,)

-∞-+∞（或写成原不等式的解集为{}42x x x ><-或） ②原不等式可化为23520x x --≤，∴(31)(2)0x x +-≤，∴1

23

x -≤≤， ∴原不等式的解集为1

[,2]3-

．（或写成原不等式的解集为123x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭

） ③原不等式可化为29610x x -+>，∴2

(31)0x ->，∴x R ∈，且1

3

x ≠， ∴原不等式的解集为13x x R x ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭

,且．

【变式】①21240x x --≥②22320x x +-<③2414x x ->④

2

01

x x -≤+ 解：①原不等式可化为24120x x +-≤，∴(6)(2)0x x +-≤，∴62x -≤≤ ∴原不等式的解集为[6,2]-（或写成原不等式的解集为{}

62x x -≤≤）

②原不等式可化为2

2320x x -->，∴(21)(2)0x x +->，∴2x >或12

x <-

， ∴原不等式的解集为1(,)

(2,)2-∞-+∞．

（或原不等式的解集为{|2x x >或1

}2

x <-） ③原不等式可化为2

4410x x -+<，∴2

(21)0x -<，∴无实数解，∴原不等式的解集为Φ．

④12x -<≤，解集为[1,2)-

3．当不等式不可十字相乘时，可用求根公式求出2

0(0)ax bx c a ++=> 的两个根：

1x =2b a --，2x =2b a

-+，其中12x x <

则①2

0(0)ax bx c a ++>>的解集为12(,)

(,)x x -∞+∞，

②2

0(0)ax bx c a ++<>的解集为12(,)x x 【例2】解下列不等式： 2220x x -++<

原不等式可化为2220x x -->， ∵120∆=>，方程2220x x --=的两根是

1211x x =={

11x x x <->或．

练习：解下列不等式：210x x --<

解：∵2

14(1)50∆=-⨯-=>，方程210x x --=的两根是12x x =

=

∴原不等式的解集为x ⎧⎪<⎨⎪⎪⎩⎭

二、集合的概念及运算 1．集合的含义与表示

①集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

②集合中元素与集合的关系： 属于 与不属于，分别用符号∈与∉表示 ③常用数集的表示

④集合的表示法：列举法、 描述法． 2．集合间的基本关系 ①集合相等： A B =

②子集：A B ⊆，真子集：若A B ⊆ 且A B ≠ ，则A 叫B 的真子集，记作：A

B

③空集：不含任何元素的集合，记作Φ，规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空

集合的真子集

④若集合A 有n 个元素，则A 有 2n 个子集，有21n - 个真子集，有22n -非空真子集 【例3】（1）设集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，若11x =，则下列关系正确的是（ ）

A ．x A

B ．A x ∈

C ．A x ∈}{

D ．{}x A ⊇ 【答案】B

（2）满足00{}{}123A

⊆，，，的集合A 的个数是（ ）

A ．7

B ．8

C ．6

D ．3

【解析】集合A 的个数就是{123}，，的真子集的个数3217-=个，选A 3.集合的运算

①交集的定义：}|{B x A x x B A ∈∈=，且 ． 并集的定义：A ∪B ={x |x ∈A ，或x ∈B }． 补集: },|{A x S x x A C S ∉∈=且

②性质：⇔=A B A A B ⊆；⇔=A B A B A ⊆； 【例4】（1）全集2

U {|90}x Z x =∈-≥，集合{|

0}3

x

A x N x =∈≤- ，{|03}

B x N x *=∈≤≤，则A B = ，A B = ，

U

B =

【解析】U {0,1,2,3}=±±±，{0,1,2}A =，{1,2,3}B = 所以{12}A

B =，，{012,3}A B =，，，

U

{0,1,2,3}B =---

（2）已知全集U R =，集合{|A x y ==

，集合{|B y y ==，则A B = ，A B = ，U

B =

【解析】∵{|1}(1,)A x x =>=+∞，{|02}[0,2]B y y =≤≤=，∴(1,2]A B =．

[0,)A B =+∞，

U

(,0)(2,)B =-∞+∞

（3）设{}{}

(,)46,(,)38A x y y x B x y y x ==-+==-，则A B =( )

{}

{}{}{}.2,2.(2,2).(2,2).(4,2).A B C D ----