绝对值方程与绝对值不等式教案

一、复习铺垫

1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

(1) ｜a ｜≥ 0

拓展 (2) ｜f 1(x)｜+｜f 2(x)｜+…+｜f n (x)｜≥ 0

(3) ｜f 1(x)｜·｜f 2(x)｜·…·｜f n (x)｜≥ 0

3、两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

4、测试题：

(1) 若______,21

==-

x x 则

(2) 化简4-+-ππ的结果是_______的值.

(3) 若032=-+-b a ，求a 、b

二、绝对值方程与绝对值不等式

由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．

例1 解方程｜x -2｜+｜2x+1｜=7．

分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零

掉绝对值符号再求解．

解：(1)当x ≥2时，原方程化为

(x -2)+(2x+1)=7，

-(x -2)+(2x+1)=7．

应舍去．

-(x -2)-(2x+1)=7．

说明 若在x 的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．

练1．解下列方程：｜x+3｜-｜x -1｜=x+1；

例2 解不等式：13x x -+-＞4．

解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；

①若1，

即24x -+＞4，解得x ＜0，

又x ＜1，

∴x ＜0；

②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，

即1＞4，

∴不存在满足条件的x ；

③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，

即24x -＞4， 解得x ＞4．

又x ≥3，∴x ＞4．

综上所述，原不等式的解为

x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．

所以，不等式13x x -+-＞4的几何意

义即为 |P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知

点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．

x ＜0，或x ＞4．

练2. ｜x+1｜+｜4-x ｜＜6；

三、巩固练习

1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.

2．选择题：

下列叙述正确的是（ ）

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > 1 A B 0 C D

x P |x －1|

|x －3| 图1．1－1

（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±

3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

4.｜3x -2｜-｜x+1｜=x+2；

5.｜3y -2｜=-｜5x -3｜．

3．解下列不等式：

(2)5≤｜5x -3｜≤10；

4．若a ＞0，b ＜0，则方程｜x -a ｜+｜x -b ｜=a -b 的解是什么？